Как найти остаток от деления вычитанием

Подобно тому, как вычитание является обратным действием для сложения, так и для умножения существует свое обратное арифметическое действие.

Рассмотрим задачу. В школьной столовой раздали 90 яблок по 3 яблока каждому ученику класса. Сколько учеников учатся в этом классе?

Если бы нам было известно количество учеников в классе и количество яблок, которое получил каждый из них, то общее число яблок мы узнали бы, умножив число учеников на число яблок, доставшееся каждому. То есть, количество учеников – это первый сомножитель, количество яблок – второй сомножитель, а сколько яблок раздали – это произведение.

Таким образом, в нашей задаче даны произведение и множитель (один из сомножителей), а неизвестный второй сомножитель необходимо отыскать. То есть, нам нужно найти число, умножив которое на 3, мы получим 90. Это число 30, потому что (textcolor{red} {30 cdot 3 = 90})

Деление – это арифметическое действие, которое состоит в нахождении одного из
сомножителей при помощи данного произведения и второго сомножителя.

Делимое – это число, которое мы делим на другое. Это то самое произведение,
которое нам дано.

Делитель – это число, на которое мы делим делимое. Это данный нам один из
множителей.

Частное – это результат действия деление, то есть, искомый нами второй
сомножитель.

На записи действие деление обозначается: двоеточием ( (textcolor{red} {:}) ), знаком обелюс ( (textcolor{red} {div}) ), горизонтальной чертой или косой чертой ( (textcolor{red} {/}) ).

Так, решение нашей задачи
можно записать следующими способами:

• (textcolor{red} {90:3=30})
• (textcolor{red} {90div 3=30})
• (textcolor{red} {90/3=30})
• (textcolor{red} {Large frac{90}{3} normalsize =30})

При записи от руки действие деление принято записывать в виде двоеточия, обелюс применяется в печатной литературе, косая черта, которая по-другому называется слеш, – при записи на компьютере, а горизонтальная черта используется при записи деления в виде обыкновенной дроби.

Итак, разделить число a на число b – это значит найти такое число c, которое при умножении его на число b дает в результате числа a.
То есть: (textcolor{red} {adiv b=c}) , если (textcolor{red} {bcdot c=a}) .

И еще одно пояснение для понимания: разделить число a на число b означает разделить число a на b одинаковых частей, каждая из которых равна c. Иными словами, мы одно число a делим на равные части. Количество этих частей равно числу b. А величина каждой из этих частей – это результат действия деления, и эта величина равна c.

Например, нам нужно разделить 15 роз между пятью девочками так, чтобы каждая получила одинаковое количество цветов. Чтобы узнать, какое количество роз получит каждая девочка, нужно общее количество (15) цветов разделить на количество девочек (5), то есть, на 5 одинаковых частей. Нетрудно понять, что каждая из девочек получит 3 розы, потому что (textcolor{red} {5cdot 3=15}) .

Компоненты действия
деление:

Деление с остатком и неполное частное

Но не всегда можно одно число разделить на другое. Вернее сказать, что не всегда можно сделать это полностью. Например, 37 нельзя разделить на 5, потому что нет такого натурального числа, умножив которое на 5, мы получили бы 37. В этом случае говорят, что 37 не делится нацело на 5.

К примеру, если мы захотим раздать все 37 яблок поровну между пятью детьми, то у нас это сделать не получится. Мы сможем раздать (использовать из всего количества яблок) только по 7 яблок каждому ( (textcolor{red} {7cdot 5=35}) ), и у нас останется 2 яблока ( (textcolor{red} {37-35=2}) ).

В таком случае действие деление также состоит из делимого (в нашем случае 37) и делителя (5). Полученное число 7 называется неполное частное, потому что не все делимое число мы смогли разделить на необходимое число частей. А разница между полным делимым (37) и использованными из него единицами (35), то есть число 2, называется остаток.

Итак, деление с остатком – это нахождение
такого наибольшего целого числа, умножив которое на делитель, мы получим число,
максимально близкое к делимому, но не превосходящее его. Это искомое число
называется неполное частное. Разница
между делимым и неполным частным называется остаток.

Остаток всегда меньше делителя!

Отсюда следует общий вид действия деления натуральных чисел для случаев деления без остатка и с остатком.
Разделить целое число a (делимое) на целое число b (делитель) означает найти такие числа c и d, при которых справедливы следующие соотношения:
(textcolor{red} {a=bcdot c+d}) ;
(textcolor{red} {d<b}) .
Если (textcolor{red} {d=0}) , тогда говорят, что a делится на b без остатка.

Компоненты действия
деление с остатком:

Задачи, которые решаются при помощи
действия деления

В курсе математики
средней школы наиболее часто используется деление при решении таких задач,
когда нужно:

• Узнать, во сколько раз одно число меньше и больше другого? Этот вопрос может звучать по-другому: сколько раз меньшее число содержится (помещается) в большем? Или: сколько раз поместится в большем числе меньшее?
  Например: сколько пятиграммовых стиков сахара находится в килограммовой упаковке? (1000 г : 5 г = 200 шт.).
• Число разделить на заданное количество равных частей.
  Например: сколько получится грамм сахара в каждом пакете, если пересыпать килограмм сахара в 5 одинаковых пакетов поровну? (1000 г : 5 шт. = 200 г).
• Уменьшить число в заданное количество раз.
  Например: для приготовления блюда на 5 человек использовали 1 кг сахара, а сколько сахара потребуется для приготовления этого же блюда для одного человека? (1000 г : 5 чел. = 200 г).

Связь деления с умножением, сложением и
вычитанием

Когда мы выполняем находим
произведение двух чисел, эти числа нам известны, а от нас требуется найти
результат действия умножение. При делении (без остатка) нам известно
произведение двух чисел, а найти нужно такое число, которое при умножении на
известное данное число дает это самое произведение.

Следовательно, действие
деление является обратным действию умножения.

Справедливо также и
обратное, что действие умножение обратно действию деления. Таким образом:

Умножение и деление – это
взаимно обратные действия.

Связь деления с
умножением, а также со сложением и вычитанием прекрасно видна, если
рассмотреть, как с помощью этих действий можно выполнить действие деление.

Рассмотрим их на примере: 345 разделить на 69.

Деление двух чисел при помощи сложения

Чтобы узнать при помощи сложения, сколько раз число 69 содержится в 345, нужно складывать последовательно 69 до тех пор, пока не получим нужного нам числа:

(textcolor{red} {69+69=138}) ;      (textcolor{red} {138+69=207});      (textcolor{red} {207+69=276});      (textcolor{red} {276+69=345}).

Число 69 было слагаемым всего 5 раз, значит, (textcolor{red} {345div 69=5}) .

Деление двух чисел при помощи вычитания

Аналогично предыдущему способу, мы можем узнать, сколько раз в числе 345 содержится число 69, вычитанием. Для этого мы будем последовательно вычитать из 345 число 69 до тех пор, пока не получим нуль, и считать количество действий:

(textcolor{red} {345-69=276});      (textcolor{red} {276-69=207});      (textcolor{red} {207-69=138});    
(textcolor{red} {138-69=69});      (textcolor{red} {69-69=0}).

То есть, 69 от 345 можно отнять 5 раз, поэтому (textcolor{red} {349div 69=5}).

Деление двух чисел при помощи умножения

При помощи умножения узнать ответ на наш вопрос можно перебирая множитель числа 69 до тех пор, пока не получим заданное нам 345:

(textcolor{red} {69cdot 2=138});     (textcolor{red} {69cdot 3=207});      (textcolor{red} {69cdot 4=276});     (textcolor{red} {69cdot 5=345}).

Искомое частное равно полученному множителю числа 69, то есть, 5.

Но эти три способа очень
громоздки, особенно если частное представляет собой очень большое число. Их
нужно знать только для того, чтобы понимать суть действия деления, суть тех
задач, которые решаются посредством него.

Общий принцип деления в столбик

Если частное от деления двух чисел является многозначным числом, нахождение его происходит путем деления в столбик. Еще его называют деление уголком.

Решим пример (textcolor{red} {295383div 34}).

Прежде всего, нужно узнать количество цифр в частном и первое неполное делимое; как их находить, я подробно расписал в этой статье. В нашем случае первое неполное делимое равно 295 тысяч, а в частном будет 4 цифры.

Далее записываем известные
компоненты деления следующим образом:

и начинаем вычисление:

1. Берем первое неполное делимое
и пытаемся его разделить на делитель.

Вот тут нам и пригодится способ нахождения однозначного частного. Воспользовавшись им, находим, что в 295 тысячах делитель 34 содержится целиком 8 тысяч раз.

Записываем в частное первую найденную цифру
разряда тысяч, а под неполным делимым пишем результат произведения неполного
частного и делителя. И сразу же находим остаток от этого действия, т.е.
вычитаем из неполного частного результат этого произведения.

В результате умножения первой найденной цифры частного на делитель у нас получилось (textcolor{red} {8cdot 37=272}). Записываем его под 295 и находим разницу: (textcolor{red} {295-272=23}). Значит, 23 тысячи у нас остаются неразделенными.

В качестве еще одного действия самопроверки нужно сравнить полученную разницу с делителем. Если она меньше делителя, то мы на правильном пути, если же разница равна или больше делителя, то мы или неправильно нашли цифру частного, или допустили ошибку при умножении на делитель либо при нахождении остатка.

2. Оставшиеся неразделенные 23 тысячи представляют собой 230 сотен. Прибавляем к ним те 3 сотни, которые содержатся в делимом (говорят: сносим пять) и получаем второе неполное делимое 233 сотни.

Находим результат деления второго неполного делимого на делитель. 233 сотни разделить на 34 будет 6 сотен. Значит, в разряде сотен частного будет цифра 6. Умножаем ее на делитель 34, получаем 204 и еще 29 сотен неразделенных.

3. 29 неразделенных сотен – это 290 десятков. Добавляем (сносим) к ним 8 десятков делимого, получаем третье неполное делимое 298 десятков.

При делении второго неполного делимого 298 десятков на делитель 34 получается 8 десятков, и еще 26 десятков неразделенных (как и в предыдущих действиях, я умножил 8 на 34 и результат отнял от 298). Поэтому, в частном, в разряде десятков записываем цифру 8.

4. И наконец, 26 десятков – это 260 простых единиц. Добавляем (сносим) к ним 3 единицы делимого и получаем четвертое неполное делимое 263 единицы.

Разделив 263 единицы на 34, получаем 7 полных единиц и 25 неразделенных. Записав в частном последнюю цифру разряда единиц, получаем окончательный ответ действия (textcolor{red} {295383div 34=8687}) и 25 в остатке.

Рассмотрим еще один пример. (textcolor{red} {25326div 63}).

Первое неполное делимое будет 253 сотни, количество цифр в частном – 3.

Делим 253 сотни на 63, получается 4 полных сотни и неразделенная 1 сотня в остатке.

1 сотня = 10 десятков, добавляем (сносим) 2 десятка из делимого, получаем второе неполное делимое 12 десятков.

Но 12 не делится нацело на 63 части, то есть, нет ни одного целого десятка в каждой части. Значит, мы в частном в разряде десятков должны записать 0, поскольку все 12 десятков оказались неразделенными. А к этим 12 десяткам (т.е. 120 сотням) добавить (снести) 6 единиц делимого.

Итак, запомните, что
каждое неполное делимое образует в частном одну цифру соответствующего разряда
и что даже если неполное делимое меньше делителя, то в частном все равно нужно
записать нулевой результат этого действия.

126 единиц делим на 63, получается 2 единицы без остатка. Теперь мы можем записать окончательный ответ деления (textcolor{red} {25326div 63=402}).

Итак, в общем виде алгоритм деления в столбик выглядит так:
1. Находим первое неполное делимое и количество цифр в частном.
2. Делим неполное делимое на делитель. Цифру, полученную в результате деления записываем ниже черты под делителем.
3. Умножаем полученную цифру на делитель, результат записываем под неполным делимым.
4. Ставим между ними знак минус и выполняем действие.
5. К полученной разнице сносим цифру следующего разряда (если она есть) и получаем второе неполное делимое.
6. Выполняем пункты 2-5 до тех пор, пока в делимом не останется ни одной неснесенной цифры.
7. Если неполное делимое невозможно разделить на делитель, то в частном ставится 0 и к этому неполному делимому сносится следующая цифра.

Деление на числа, заканчивающиеся нулями

Как и в случае с
умножением, деление чисел облегчается, если делитель заканчивается одним или
несколькими нулями. Рассмотрим два возможных случая:

• частный – когда делитель является единицей с нулями
• общий – когда делитель любое число, оканчивающееся нулями.

Рассмотрим первый случай.

Деление на единицу с любым количеством
нулей

Единица с любым количеством нулей – это не что иное как единица соответствующего разряда. Например, 10 – это 1 единица разряда десятков, 1000 – это одна единица разряда тысяч, 10000000 – 1 единица разряда десятков миллионов и т.д.

Следовательно, разделить число, к примеру, на 10, 1000, 10000000 и т.д. – это значит определить, сколько в нем содержится десятков, тысяч, десятков миллионов. А как узнать, сколько в каком-либо числе содержится единиц любого разряда я уже рассказывал в уроке разряды и классы. Для завершения действия деления нужно лишь записать в остаток число, которое получается из отбрасываемых нами цифр.

Например:

(textcolor{red} {75427916div 10=7542791}) (остаток 6);
(textcolor{red} {75427916div 1000=75427}) (остаток 916);
(textcolor{red} {75427916div 10000000=7}) (остаток 5427916).

Запишите:
Чтобы разделить какое-нибудь число на единицу с любым количеством нулей, нужно отсчитать в делимом справа столько цифр, сколько нулей содержится в делителе; тогда все цифры, находящиеся слева от разделения, составят частное, а те, что справа – будут остатком.

Деление на число, оканчивающееся нулями

Рассмотрим на примере (textcolor{red} {284556div 2800}).

Делитель здесь не что иное как 28 сотен. Логично предположить, что эти 28 сотен могут хотя бы один раз содержаться только в сотнях делимого. Значит, нам нужно определить, сколько в делимом всего единиц разряда сотен, и разделить их на 28 единиц разряда сотен делимого. А отброшенные цифры десятков и простых единиц добавятся к остатку.

В числе 284556 всего 2845 сотен да еще 56 единиц. Разделим 2845 сотен на 28 сотен, получим частное 101 и 17 сотен неразделенными. Прибавив к неразделенным 17 сотням 56 единиц из делимого, получим 1756. В этом числе делитель 2800 не помещается ни один раз, значит, 1756 – это остаток: (textcolor{red} {284556div 2800=101}) (остаток 1756).

Запишите:
Чтобы разделить какое-нибудь число на число, заканчивающееся нулями, нужно отбросить мысленно нули в делителе, в делимом тоже отбросить мысленно такое же количество цифр, как и нулей в делителе. Получившееся число в делимом разделить на получившееся число в делителе, а к остатку прибавить (снести) те цифры делимого, которые отбросили ранее.

Проверка деления

Так как делимое – это
делитель, умноженный на частное и плюс остаток, что следует из определения
деления, то результат выполнения деления можно проверить умножением.

Например:

После того, как мы умножили частное 241 на делитель 33, а к полученному произведению прибавили остаток 9, мы получили число 7962, что равно делимому. Значит, можно с большой уверенностью сказать, что действие деление выполнено верно.

Если в результате
действия деления не получилось остатка, то деление можно проверить и делением.
Действительно, если делимое – это произведение делителя и частного, то разделив
делимое на частное (один из сомножителей), мы должны получить второй
сомножитель, то есть, делитель.

 Например:

Свойства деления

Свойства деления я
представлю двумя группами:

• действия с
  единицей и нулем;
• распределительные
  свойства деления.

Давайте рассмотрим каждую
группу подробнее.

Действия деления с единицей и нулем

При делении числа на единицу получается то же самое число.

Действительно, разделить
число на единицу означает узнать, сколько единиц содержится в данном числе. А
количество единиц в числе – это не что иное, как само это число.

И ли вот, например, если 10 яблок нужно раздать одному человеку (10 поделить на 1), то ему все эти 10 яблок и достанутся, правда?

При деление одинаковых чисел (числа на равное число) в результате будет 1 (единица).

В самом деле, если все единицы какого-то числа разделить на количество частей, равное количеству единиц этого числа, то в каждая часть получит по 1 единице.

Например, если 20 яблок раздать 20 школьникам, то каждому достанется по 1 яблоку.

При делении нуля на любое число, отличное от нуля, в результате будет нуль.

Разделить нуль на число
означает найти такое число, умножив которое на данный делитель, мы получим в
результате нуль. А такое число только одно – это нуль.

На нуль делить нельзя, то есть, нуль не может выступать в роли делителя.

При делении каких угодно
чисел делителем может быть любое число, кроме нуля.

Рассмотрим два случая:
когда нулём является только делитель, и когда делимое и делитель оба нули.

Пусть делимое равно какому угодно числу, отличному от нуля, например, 12. Разделить число 12 на нуль – это значит найти такое число, которое при умножении на 0 дало бы в результате число 12. Но как известно, если любое число умножить на 0, то и получим тоже нуль. Следовательно, такого числа, какое нам нужно, не существует.

Допустим, что делимое и делитель оба являются нулями. В этом случае нам нужно отыскать такое число, которое при умножении на 0 дало бы в результате 0. А поскольку какое бы мы ни взяли число, при умножении его на 0, получим тоже нуль, то частным может выступать любое число из бесконечного множества чисел, следовательно, какого-то определенного результата от такого деления быть не может.

Распределительные свойства деления

Чтобы найти частное от деления суммы на число, нужно поделить каждое слагаемое на это число, и найти сумму полученных частных.
(textcolor{red} {(a+b+c)div d=adiv d+bdiv d+cdiv d}).
При этом подразумевается, что все действия деления получаются без остатка.

Например, чтобы найти результат деления суммы (textcolor{red} {24+16+48}) на 8, то есть, определить, какое количество восьмерок находится в сумме этих чисел, мы узнаем, сколько раз восьмерка содержится отдельно в каждом из чисел, а потом складываем полученные результаты.

Так, в 24 находится 3 восьмерки, в 16 – две, в 48 – шесть, итого (textcolor{red} {3+2+6=11}). А если мы сперва найдем значение всей суммы (textcolor{red} {24+16+48=88}), и поделим ее на 8, то ответ будет также (textcolor{red} {88div 8=11}).

Чтобы найти частное от деления разности на число, нужно поделить на это число отдельно сперва уменьшаемое, а потом вычитаемое, после чего найти разность первого частного и второго.
(textcolor{red} {(a-b)div c=adiv c-bdiv c})
При этом также предполагается, что при делениях уменьшаемого и вычитаемого на число не получается остатков.

Например: [textcolor{red} {(36-24)div 6=36div 6-24div 6=6-4=2}] Число 36 состоит из 6 шестерок, а 24 – из 4 шестерок, а забрав у 6 шестерок 4 шестерки, получим 2 шестерки. Такой же итог будет и если мы сперва у 36 отнимем 24 единицы (останется 12), а потом найдем, сколько в этой разнице содержится шестерок: (textcolor{red} {12div 6=2}).

Чтобы найти частное от деления произведения на число, нужно поделить на него только один из сомножителей, а результат умножить на неизмененные остальные.
(textcolor{red} {(acdot bcdot c)div d=adiv dcdot bcdot c=bdiv dcdot acdot c=cdiv dcdot acdot b}).

В самом деле, разделить, к примеру, (textcolor{red} {20cdot 25cdot 35}) на 5 означает уменьшить произведение в 5 раз. А так как если уменьшить один из сомножителей в определенное количество раз, то и произведение уменьшится в это же количество раз, тогда нам достаточно разделить любое из чисел 20, 25 или 35 на 5, чтобы получить ответ:
(textcolor{red} {(20cdot 25cdot 35)div 5=20div 5cdot 25cdot 35=3500}).

Чтобы найти частное от деления числа на произведение, нужно это число поделить на первый сомножитель, результат деления поделить на второй сомножитель, полученное частное – на третий и так далее.
(textcolor{red} {adiv (bcdot ccdot dcdot e)=adiv bdiv cdiv e}).
При этом предполагается, что при всех этих делениях не получается остатков.

Допустим, нужно поделить 30 на произведение (textcolor{red} {2cdot 3}). Мы знаем, что деление – это разложение числа на равные части. Значит, разделив 30 единиц на 2, мы находим, что в каждой из 2 равных частей содержится по 15 единиц. После этого мы эти 15 единиц делим на 3 равные части, и узнаем, что каждая из них содержит по 5 единиц.

На рисунке наглядно видно, что в итоге после применения этого правила, число 30 получилось разделенным на 6 равных частей.

Изменение частного при изменении
делимого и делителя

При рассмотрении
изменений частного в результате изменений делимого и делителя предполагается,
что действие деление происходит без остатка. В противном случае изменения могут
быть не такими, о которых идет речь ниже.

При увеличении делимого в определенное количество раз, частное увеличится в это же количество раз, а при уменьшении – уменьшится.

Если мы в примере (textcolor{red} {24div 4=6}) делимое увеличим, к примеру, в 3 раза, то мы можем переписать это выражение в виде (textcolor{red} {(24+24+24)div 4}). Используя свойство деления суммы на число, мы увидим, что теперь нам нужно сложить три слагаемых, каждое из которых равно начальному выражению: (textcolor{red} {24div 4+24div 4+24div4}). Отсюда очевидно, что результат будет больше начального в 3 раза.

Если мы в этом же примере (textcolor{red} {24div 6}) уменьшим делимое в 3 раза, то есть, разделим его на три равные части, то очевидно, что результат деления одной части на 6 будет в 3 раза меньше, чем результат деления трех таких же частей. Посмотрите сами. Начальное выражение (textcolor{red} {24div 6}) можно записать в виде: (textcolor{red} {(8+8+8)div 6=8div 6+8div 6+8div 6}), а уменьшенное в 3 раза делимое даст нам только одно из трех таких слагаемых: (textcolor{red} {8div 6}).

При увеличении делителя в определенное количество раз, частное уменьшится в это же количество раз, а при уменьшении – увеличится.

Действительно, изменение
делителя означает, что делимое необходимо разделить на большее или меньшее
количество равных частей. Соответственно, если нужно разделить на большее число
частей, то каждая часть будет меньше, чем изначально, а если делить на меньшее
число частей, то каждая часть будет крупнее.

В случае одновременного изменения делимого и делителя, частное может вести себя по-разному, или же вообще оставаться без изменений. Если нужно узнать, станет оно больше или меньше, нужно сперва посмотреть, как частное изменится после изменения делимого, а потом – как изменится после изменения делителя.

При увеличении или уменьшении делимого и делителя в одинаковое количество раз, частное не меняется.

Попробуйте самостоятельно
доказать справедливость этого утверждения. Пишите в комментариях, получилось
это, или нет.