Как найти особые точки линии - AvtoShod.ru - решение различных проблем

Напомним определение. Точка называется особой точкой аналитической функции , если в ней аналитичность ее нарушается.

Определение 2. Точка называется изолированной особой точкой функции , если существует окрестность этой точки с исключенной точкой , в которой аналитична, кроме самой точки .

Существует три типа изолированных особых точек. Приведем их определения.

Определение 3. Точка называется устранимой особой точкой , если разложение ее в ряд Лорана в окрестности этой точки не содержит главной части.

Определение 4. Точка называется полюсом кратности N функции, если в разложении ее в ряд Лорана в окрестности точки главная часть содержит конечное число членов, причем младшим отличным от нуля коэффициентом является .

Определение 5. Точка называется существенно особой точкой функции , если главная часть ее разложения в ряд Лорана в окрестности этой точки содержит бесконечное число членов.

Приведем критерии типа изолированных особых точек.

1) для того, чтобы точка была устранимой особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы .

2) для того, чтобы точка была полюсом кратности N функции, необходимо и достаточно, чтобы , .

3) для того, чтобы точка была существенно особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы .

Полезна следующая теорема. Для того, чтобы точка была полюсом порядка N функции, нужно, чтобы она была нулем N — го порядка функции (связь между нулями и полюсами).

Пример 1. Для функции особой точкой является . Имеем — есть устранимая особая точка.

Пример 2. Для функции является особой точкой. Так как — это полюс. Так как для функции т. является нулем пятого порядка, то — полюс пятого порядка функции .

Пример 3. Для функции является особой точкой. Разложение в ряд Лорана: в главной части содержит бесконечное число членов: это существенно особая точка.

Пример 4. Найти все особые точки функции и определить их характер.

Решение. Особыми точками являются точка и точки, в которых знаменатель обращается в нуль. Имеем , откуда , причем эти точки являются нулями первого порядка. Следовательно, в точках , функция имеет простые полюса. Точка не является изолированной особой точкой, так как она является пределом полюсов: : это означает, что любая окрестность точки содержит бесконечное число особых точек .

Задачи для самостоятельного решения

У нижеследующих функций найти нули и определить их порядки:

132. . 133. . 134. . 135. . 136. .

137. .

Найти порядок нуля для следующих функций:

138. . 139. . 140. .

141. .

Определить характер особой точки для следующих функций:

142. . 143. . 144. .

Найти особые точки и определить их характер у следующих функций:

145. . 146. . 147. . 148. . 149. .

150. . 151. . 152. . 153. .

< Предыдущая		Следующая >

Источник

ЛЕКЦИЯ 4.
Особые точки и фазовые портреты нелинейных
систем.

План.

Уравнения нелинейной
системы.
Условия для
определения положений равновесия.
Исследование
характера особых точек. Метод изоклин.
Устойчивый и
неустойчивый предельные циклы.
Общие особенности
процессов в нелинейных системах.
Автоколебания системы.

Рассмотрим фазовые
траектории нелинейной системы второго
порядка

Особые точки,
отвечающие равновесным состояниям
системы, определяются из условия

Для выявления типа
каждой особой точки уравнения (1.16)
линеаризуются при малых отклонениях
координат в окрестности особой точки.
Затем определяются корни характеристического
уравнения линеаризованной системы, по
которым, согласно лекции 3, и устанавливается
тип особой точки.

Проведем рассмотрение
этого вопроса на примере. Пусть заданы
уравнения нелинейной системы

Уравнение фазовых
траекторий имеет вид

Найдем особые
точки согласно условиям (1,17)

откуда получаем
три решения:

1) х=0,
у=0,

2) x=1,
у=
-1,

3) х=
-1, у=1.

Следовательно,
система имеет три возможных равновесных
состояния.

Исследуем характер
особых точек.

1. В окрестности
точки х =
0, у = 0
линеаризованные уравнения имеют вид

Характеристическое
уравнение:

Корни 1,2
=±j
— чисто мнимые. Следовательно, это
особая точка типа «центр».

2. В окрестности
точки х
= 1, у= -1 вводим малые отклонения в
координатах =х-1,
=у+1.
Подставляя в уравнения (1.18) х=+1,
у=-1
и отбрасывая нелинейные члены, получим
линеаризованную систему

Характеристическое
уравнение имеет вид

Корни
характеристического уравнения

вещественны и
имеют разные знаки. Следовательно, это
особая точка типа «седло».

3. Рассматривая
линеаризованную систему в окрестности
точки х =-1,
у=1, подстановкой в уравнение (1.18) х=-1,
у=+1
приходим к тому же уравнению, что и
в предыдущем случае. Следовательно,
здесь тоже особая точка типа «седло».

Найдем асимптоты
фазовых траекторий в седловых точках.
Положив =k,,
из уравнения фазовых траекторий

получим

или

откуда находим

Рис. 1.24.

На рис. 1.24 эти
асимптоты показаны в окрестностях
соответствующих особых точек. Точка же
(0, 0) типа «центр» должна быть окружена
замкнутыми кривыми. Исходя из этого, на
рис. 1.25 изображен примерный ход фазовых
траекторий на всей плоскости.

Для определения
направления движения изображающей
точки по фазовым траекториям достаточно
исследовать какую-либо одну точку.
Возьмем, например, точку х
= 0, у = 1. Согласно уравнениям (1.18) в этой
точке имеем dx/dt
= -2, dу/dt
= 1, т. е. х
изменяется в сторону уменьшения, а
у- в сторону увеличения. В соответствии
с этим и поставлена стрелка па фазовой
траектории, проходящей через точку
(О, 1), а так как система непрерывна, в ту
же сторону будут направлены и все
соседние фазовые траектории.

Таким образом
выясняется качественная картина фазовых
траекторий. Отметим, что в данном примере
ни одно из трех возможных равновесных
состояний системы не является устойчивым.

Рис. 125.

Методом изоклин
можно уточнить очертания фазовых
траекторий. Уравнение изоклины, согласно
(1.19), имеет

вид

где с—крутизна
наклона (dy/dx)
пересекающих изоклину фазовых
траекторий. Например, значению с
= 1, т. о. углу
наклона траекторий, равному 45°,
соответствует, согласно (1.20), изоклина,
описываемая уравнением

Она проходит через
все три особые точки (штриховая линия
на рис. 1.25). В отличие от линейных систем,
здесь изоклина криволинейная.

Отметим теперь
некоторые общие особенности процессов
в нелинейных системах.

Рис. 1.26.

Прежде всего, это
возможность наличия двух пли нескольких
равновесных
состояний
(особых точек), как уже было видно на
приведенном примере. В соответствии
с этим на фазовой плоскости получаются
области с различными типами фазовых
траекторий. На рис. 1.25, например, эти
области разделены жирно обозначенными
кривыми. Такие особые
кривые, разделяющие
области с разными типами фазовых
траекторий, называются сепаратрисами.

Существуют и
другого типа особые кривые. Важным типом
особых кривых являются предельные
циклы —
замкнутые кривые, соответствующие
периодическим процессам, в окрестности
которых имеют место колебательные
переходные процессы. Если эти фазовые
траектории

Рис. 1.27.

изнутри и снаружи
сходятся к данному предельному циклу
(рис. 1.26, а), то мы имеем устойчивый
предельный цикл.
Если же они удаляются в обе стороны
(рис. 1.26, б),— неустойчивый
предельный цикл.
Возможен и случай двух предельных
циклов (рис. 1.26,в), из которых один
устойчивый (в данном случае внешний), а
второй неустойчивый.

Особая точка О на
рис. 1.26 представляет собой в первом
случае неустойчивое равновесное
состояние, а во втором и третьем —
устойчивое. Картина процессов во времени,
соответствующая рис. 1.26, а, б, изображена
на рис. 1.27, а, б.

Физический смысл
устойчивого периодического процесса,
отвечающего предельному циклу,—
автоколебания
системы. Это
собственные периодические колебания,
происходящие при отсутствии внешнего
периодического воздействия, причем
амплитуда и частота автоколебаний не
зависит от начальных условий, а
определяется внутренними свойствами
системы. Автоколебания могут возникать
только в нелинейных системах. Что же
касается линейных систем, то в них
собственные периодические колебания
возможны только на границе устойчивости
(1,2
=±j),
причем амплитуда их определяется
начальными условиями (см. рис. 1.23).

Физический смысл
неустойчивого предельного цикла совсем
иной. Как
видно из рис. 1.26, б, неустойчивый предельный
цикл — это граница
областей начальных условий.
При начальных условиях х(to),
у(to),
лежащих внутри неустойчивого предельного
цикла, получается затухающий переходный
процесс, если же они лежат снаружи —
расходящийся. Следовательно, равновесное
состояние О в данном случае устойчиво
при небольших начальных отклонениях,
а при больших — система неустойчива.
Говорят: система устойчива «в малом» и
неустойчива «в большом».

Здесь важно
отметить, что, в отличие от линейных
систем, типы динамических процессов
нелинейных систем могут существенно
зависеть от
начальных условий.

Интересно далее
отметить, что в первом случае (рис. 1.26,
а) единственным устойчивым установившимся
состоянием системы является
автоколебательный режим. Во втором
случае (рис. 1.26, б)—равновесное состояние
О.
В третьем же случае система имеет два
устойчивых установившихся состояния:
равновесное О,
и автоколебания с большой амплитудой
(внешний предельный цикл). Какой из них
установится, зависит от начальных
условий.

В первом случае
говорят, что имеет место «мягкое
возбуждение» автоколебаний (т. е. при
любых начальных условиях), а в третьем
случае—«жесткое возбуждение»
автоколебаний, так как, чтобы система
вышла на них, необходимо начальные
условия «забросить» за пределы внутреннего
неустойчивого предельного цикла.

Все это будет
проиллюстрировано в последующих главах
на примерах систем автоматического
регулирования. Кроме того, будут
проиллюстрированы и многие другие
особые свойства нелинейных систем, как,
например, отрезки равновесия,
скользящие процессы, а также особенности,
связанные с вынужденными колебаниями
и с процессами управления, в которых,
в отличие от линейных систем, не
соблюдается принцип суперпозиции.

Источник

Пересечение линии второго порядка и прямой.

Начать изучение
Тип линии.

Начать изучение
Диаметр линии второго порядка.

Начать изучение
Центр линии второго порядка.

Начать изучение
Сопряженные направления.

Начать изучение
Главные направления.

Начать изучение
Касательная к линии второго порядка.

Начать изучение
Особые точки.

Начать изучение

Пересечение линии второго порядка и прямой.

Рассмотрим линию второго порядка, заданную общим уравнением
$$
Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F=0label{ref1}
$$
в декартовой системе координат, и исследуем пересечение этой линии с произвольной прямой
$$
x=x_{0}+alpha t, y=y_{0}+beta t.label{ref2}
$$
Значения параметра (t), соответствующие точкам пересечения, должны удовлетворять уравнению, получаемому подстановкой eqref{ref2} в eqref{ref1}:
$$
A(x_{0}+alpha t)^{2}+2B(x_{0}+alpha t)(y_{0}+beta t)+C(y_{0}+beta t)^{2} +\+ 2D(x_{0}+alpha t)+2E(y_{0}+beta t)+F=0.label{ref3}
$$
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, мы получим уравнение
$$
Pt^{2}+2Qt+R=0,label{ref4}
$$
в котором
$$
P=Aalpha^{2}+2Balphabeta+Cbeta^{2},label{ref5}
$$
$$
Q=(Ax_{0}+By_{0}+D)alpha+(Bx_{0}+Cy_{0}+E)beta,label{ref6}
$$
или, при другой группировке слагаемых,
$$
Q=(Aalpha+Bbeta)x_{0}+(Balpha+Cbeta)y_{0}+Dalpha+Ebeta.label{ref7}
$$
Свободный член — это значение многочлена при (t=0), то есть
$$
R=Ax_{0}^{2}+2Bx_{0}y_{0}+Cy_{0}^{2}+2Dx_{0}+2Ey_{0}+F=0.label{ref8}
$$

Вообще говоря, уравнение eqref{ref4} квадратное, имеет не больше двух корней, и прямая пересекает линию или в двух точках, или в одной точке (кратные корни), или не пересекает ее (комплексные корни). Но возможны “исключительные” прямые, для которых (P=0), то есть
$$
Aalpha^{2}+2Balphabeta+Cbeta^{2}=0,label{ref9}
$$
и, следовательно, уравнение eqref{ref4} является линейным. В этом случае оно имеет один корень при (Q neq 0), а при (Q=0) либо выполнено тождественно (если и (R=0)), либо не имеет решений. Следовательно, “исключительные” прямые или пересекают линию в единственной точке, или лежат на ней целиком, или не имеют с ней общих точек.

В равенство eqref{ref9} не входят координаты начальной точки прямой. Кроме того, оно остается справедливым, если умножить (alpha) и (beta) на общий ненулевой множитель.

Определение.

Направление, определяемое вектором, компоненты которого удовлетворяют уравнению eqref{ref9}, называется асимптотическим направлением линии второго порядка.

Тип линии.

Выясним, сколько асимптотических направлений может иметь линия второго порядка. Обозначив
$$
delta=begin{vmatrix}
A& B\
B& C
end{vmatrix},nonumber
$$
сформулируем следующее утверждение.

Утверждение 1.

Линия второго порядка имеет два асимптотических направления, если (delta < 0), одно, если (delta=0), и ни одного, если (delta > 0).

Доказательство.

Рассмотрим несколько случаев.

Пусть (A=C=0). Тогда (B neq 0) и (delta=-B^{2} < 0). Уравнение eqref{ref9} имеет вид (2Balphabeta=0), и ему удовлетворяют векторы (1,0) и (0,1).
Пусть (C neq 0). Тогда вектор (0,1) не является решением этого уравнения, и каждое решение можно задать угловым коэффициентом (k=beta/alpha), удовлетворяющим уравнению (Ck^{2}+2Bk+A=0). Дискриминант этого уравнения равен (B^{2}-AC=-delta). Следовательно, оно имеет два вещественных корня при (delta < 0), один корень при (delta=0) и не имеет вещественных корней при (delta > 0).
Случай (A neq 0) исследуется аналогично случаю 2, только нужно рассматривать не угловой коэффициент, а отношение (alpha/beta).

Поскольку разобранные выше случаи исчерпывают все возможности, предложение доказано.

От противного нетрудно проверить, что и обратно число асимптотических направлений определяет знак (delta).

Мы определили асимптотические направления при помощи аналитического условия eqref{ref9}. Поэтому в принципе при изменении системы координат асимптотическое направление могло бы перестать быть асимптотическим, или, наоборот, обыкновенное направление стать асимптотическим. Из геометрического смысла асимптотических направлений видно, что в действительности асимптотические направления не зависят от выбора системы координат.

Используя канонические уравнения, легко проверить, что эллипс не имеет асимптотических направлений, парабола имеет одно, а гипербола — два асимптотических направления (рис. 9.1). Поэтому линии второго порядка называются линиями гиперболического, параболического или эллиптического типа, смотря по тому, имеют они два, одно или не имеют ни одного асимптотического направления.

Для линий гиперболического типа (delta < 0), для параболического типа (delta=0), а для эллиптического (delta > 0).

Рис. 9.1. Асимптотическое направление.

Диаметр линии второго порядка.

Назовем хордой любой отрезок, концы которого лежат на линии, а остальные точки на ней не лежат. Таким образом, хорда не может иметь асимптотического направления.

Предположим, что рассматриваемая линия второго порядка имеет по крайней мере одну хорду. Этому условию удовлетворяют эллипсы, гиперболы, пары пересекающихся прямых, параболы и пары параллельных прямых.

Фиксируем какое-нибудь неасимптотическое направление и исследуем множество середин хорд, имеющих это направление. Если начальная точка (M_{0}(x_{0}, y_{0})) секущей eqref{ref2} находится в середине хорды, то корни уравнения eqref{ref4} равны по абсолютной величине и отличаются знаком (рис. 9.2). Это будет так в том и только том случае, когда (Q=0). Используя eqref{ref7}, мы получаем, что середины хорд направления ((alpha, beta)^{2}) лежат на прямой
$$
(Aalpha+Bbeta)x+(Balpha+Cbeta)y+Dalpha+Ebeta=0.label{ref10}
$$

Рис. 9.2. Хорды.

Определение.

Прямая eqref{ref10} называется диаметром линии второго порядка, сопряженным направлению ((alpha, beta)).

Стоит обратить внимание на то, что диаметром называется вся прямая. Это не означает, что середины хорд заполняют ее целиком. Так может быть, но возможно также, что множество середин хорд есть, например, отрезок или луч.

Конечно, остается сомнение, действительно ли уравнение eqref{ref10} определяет прямую: не окажутся ли в нем коэффициенты при переменных оба равными нулю? Допустим, что это так, то есть
$$
Aalpha+Bbeta=0, Balpha+Cbeta=0.nonumber
$$

Умножим первое из этих равенств на (alpha), второе — на (beta) и сложим. Мы получим равенство eqref{ref9}, которое по предположению не имеет места. Следовательно, уравнение eqref{ref10} определяет прямую.

Центр линии второго порядка.

Обозначим левую часть уравнения eqref{ref1} через (boldsymbol{Phi}(x, y)) и введем еще одно понятие.

Определение.

Точка (O(x_{0}, y_{0})) называется центром линии второго порядка (boldsymbol{Phi}(x, y)=0), если для любого вектора (boldsymbol{a}(alpha, beta)) выполнено равенство
$$
boldsymbol{Phi}(x_{0}+alpha, y_{0}+beta)=boldsymbol{Phi}(x_{0}-alpha, y_{0}-beta).label{ref11}
$$

По-видимому, это определение зависит от выбора системы координат, так как в нем участвует не линия, а многочлен, стоящий в левой части ее уравнения. Допустим, что координаты (x_{0}, y_{0}) точки (O) в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению eqref{ref11}. Будут ли ее координаты ((tilde{x}_{0}, tilde{y}_{0})) в другой системе координат удовлетворять равенству того же вида для многочлена (tilde{boldsymbol{Phi}}(tilde{x}, tilde{y})), задающего ту же линию в новой системе координат? Легко видеть, что это так, потому что многочлен (tilde{boldsymbol{Phi}}) так и выбирается, чтобы для координат любой точки выполнялось равенство (tilde{boldsymbol{Phi}}(tilde{x}, tilde{y})=boldsymbol{Phi}(x, y)). Нам остается только выписать это равенство для точек, получаемых из (O) сдвигом на векторы (boldsymbol{a}) и (-boldsymbol{a}).

Ниже мы докажем, что в том случае, когда линия содержит хоть одну точку, центры линии и только они являются ее центрами симметрии. Однако понятие центра несколько более общее: линии, являющиеся пустыми множествами, имеют вполне определенные центры, хотя говорить об их центрах симметрии смысла нет. Например, каждая точка прямой (y=0) является центром линии с уравнением (y^{2}+1=0).

Получим систему уравнений для координат центра. С этой целью напишем подробнее равенство eqref{ref11}. Его левая часть равна
$$
A(x_{0}+alpha)^{2}+2B(x_{0}+alpha)(y_{0}+beta) +\+ C(y_{0}+beta)^{2}+2D(x_{0}+alpha)+2E(y_{0}+beta)+F.nonumber
$$
Правая часть отличается от левой только знаками у (alpha) и (beta). Поэтому при вычитании (boldsymbol{Phi}(x_{0}-alpha, y_{0}-beta)) из (boldsymbol{Phi}(x_{0}+alpha, y_{0}+beta)) уничтожаются все члены, кроме тех, в которые (alpha) и (beta) входят в первой степени, а члены с первыми степенями удвоятся. После упрощений мы получаем
$$
(Ax_{0}+By_{0}+D)alpha+(Bx_{0}+Cy_{0}+E)beta=0.label{ref12}
$$

Но равенство eqref{ref11}, а вместе с ним и равносильное равенство eqref{ref12} имеет место при любых (alpha) и (beta), в частности, при (alpha=1), (beta=0) и при (alpha=0), (beta=1). Отсюда следует, что координаты ((x_{0}, y_{0})) центра должны удовлетворять системе уравнений
$$
left{begin{array}{l}
Ax_{0}+By_{0}+D=0,\
Bx_{0}+Cy_{0}+E=0.
end{array}right.label{ref13}
$$

Легко видеть, что и обратно, если справедливы равенства eqref{ref13}, то, умножая их на произвольные числа (alpha) и (beta) и складывая, мы получим eqref{ref12}, а тем самым и eqref{ref11}.

Исследуем, обязательно ли существуют центры у линии второго порядка, а если они существуют, то сколько их и как они расположены. Система уравнений eqref{ref13} имеет единственное решение тогда и только тогда, когда
$$
delta=begin{vmatrix}
A& B\
B& C
end{vmatrix} neq 0.label{ref14}
$$
Таким образом, условие (delta neq 0) необходимо и достаточно для того, чтобы линия второго порядка имела единственный центр.

Линии второго порядка, имеющие единственный центр, называются центральными.

Полученное условие показывает, что центральными являются линии эллиптического и гиперболического типов.

Условие (delta=0) характеризует нецентральные линии. Это — линии параболического типа. При условии (delta=0) система eqref{ref13} либо не имеет решения, либо равносильна одному из составляющих ее уравнений (ранее мы уже доказывали этот факт). Это значит, что нецентральная линия либо не имеет центра (парабола), либо ее центры заполняют прямую линию (пары параллельных прямых, вещественных и мнимых, и пары совпавших прямых).

Утверждение 2.

Если линия второго порядка не является пустым множеством и имеет центр (O(x_{0}, y_{0})), то он — ее центр симметрии.

Доказательство.

В самом деле, рассмотрим произвольную точку линии (M(x, y)) и докажем, что симметричная ей относительно (O) точка (M_{1}(x_{1}, y_{1})) также лежит на линии. Точка (M_{1}) определяется равенством (overrightarrow{OM_{1}}=-overrightarrow{OM}). Если ((alpha, beta)) — координаты вектора (overrightarrow{OM}), то (x=x_{0}+alpha), (y=y_{0}+beta), а (x_{1}=x_{0}-alpha), (y_{1}=y_{0}-beta). Теперь ясно, что в силу eqref{ref11} из (boldsymbol{Phi}(x, y)=0) следует (boldsymbol{Phi}(x_{1}, y_{1})=0). Утверждение доказано.

Утверждение 3.

Если линия содержит хотя бы одну точку и имеет центр симметрии (O(x_{0}, y_{0})), то (O) является центром.

Доказательство.

Рассмотрим пересечение линии с прямой, проходящей через (O), приняв эту точку за начальную точку прямой. Имеются две возможности:

Точка (O) лежит на линии. Пусть прямая имеет неасимптотическое направление. Тогда (O) — единственная точка пересечения, так как иначе с учетом симметрии точек пересечения было бы не меньше трех. Следовательно, уравнение eqref{ref4} имеет кратный корень (t=0), откуда вытекает (Q=0). Итак, координаты точки (O) удовлетворяют равенству (12) при любых (alpha) и (beta), соответствующих неасимптотическим направлениям. Выберем два различных неасимптотических направления ((alpha, beta)) и ((alpha’, beta’)) и рассмотрим равенства
$$
begin{array}{cc}
& (Ax_{0}+By_{0}+D)alpha+(Bx_{0}+Cy_{0}+E)beta=0,\
& (Ax_{0}+By_{0}+D)alpha’+(Bx_{0}+Cy_{0}+E)beta’=0.
end{array}nonumber
$$
как систему уравнений с коэффициентами (alpha), (beta), (alpha’), (beta’), причем ((alphabeta’-alpha’beta neq 0)). Мы получаем равенства eqref{ref13}, как и требовалось.
Точка (O) не лежит на линии. Если прямая пересекает линию в точке (M), которой соответствует значение параметра (t_{1} neq 0), то существует симметричная точка пересечения со значением параметра (-t_{1}). Тогда (Pt_{1}^{2}+2Qt_{1}+R=0) и (Pt_{1}^{2}-2Qt_{1}+R=0), откуда следует (Q=0).

Таким образом, если линия имеет точки пересечения с двумя различными прямыми, проходящими через (O), то, как и выше, мы можем получить равенства eqref{ref13} для координат (O). Докажем, что такие прямые обязательно найдутся. Действительно, в противном случае все точки линии лежат на одной прямой. Согласно теореме о существующих типах линий второго порядка линии только двух классов обладают этим свойством: пары совпавших прямых и пары мнимых пересекающихся прямых. Но и для того, и для другого класса все центры симметрии принадлежат линии, что противоречит сделанному предположению. Утверждение доказано.

Сопряженные направления.

Направление ((alpha’, beta’)), определяемое диаметром, сопряженным направлению ((alpha, beta)), называется сопряженным направлению ((alpha, beta)). Компоненты ((alpha’, beta’)), направляющего вектора диаметра eqref{ref10} согласно доказанному ранее утверждению 6 удовлетворяют условию
$$
(Aalpha+Bbeta)alpha’+(Balpha+Cbeta)beta’=0label{ref15}
$$
или
$$
Aalphaalpha’+B(alpha’beta+alphabeta’)+Cbetabeta’=0label{ref16}
$$
В последнее выражение пары чисел ((alpha, beta)) и ((alpha’, beta’)) входят симметричным образом. Поэтому имеет место следующее утверждение.

Утверждение 4.

Если направление ((alpha’, beta’)), сопряженное с ((alpha, beta)), не является асимптотическим, то сопряженным для ((alpha’, beta’)) будет направление ((alpha, beta)) (рис. 9.3).

Рис. 9.3. Сопряженные направления.

Возникает вопрос, при каких условиях направление, сопряженное какому-нибудь направлению ((alpha, beta)) может оказаться асимптотическим. Это легко выяснить. Из равенства eqref{ref15} следует, что в качестве (alpha’) и (beta’) можно выбрать соответственно — (-(Balpha+Cbeta)) и ((Aalpha+Bbeta)). Подставим это в уравнение eqref{ref9} для асимптотических направлений:
$$
A(Balpha+Cbeta)^{2}-2B(Balpha+Cbeta)(Aalpha+Bbeta)+C(Aalpha+Bbeta)^{2}=0.nonumber
$$
После преобразований получаем ((AC-B^{2}) times (Aalpha^{2}+2Balphabeta+Cbeta^{2})=0). Поскольку исходное направление не асимптотическое, это произведение может обратиться в нуль только за счет первого сомножителя. Мы получаем новое утверждение.

Утверждение 5.

Если линия не центральная ((delta=0)), то для любого направления ((alpha, beta)) сопряженное направление — асимптотическое (рис. 9.4). Если линия центральная ((delta neq 0)), то направление, сопряженное любому направлению, не асимптотическое.

Рис. 9.4. Сопряженные направления у параболы.

Главные направления.

Если диаметр перпендикулярен хордам, которым он сопряжен, то он является осью симметрии рассматриваемой линии.

Определение.

Направление ((alpha, beta)) и направление ((alpha’, beta’)) сопряженного ему диаметра называются главными направлениями, если они перпендикулярны.

Если система координат декартова прямоугольная, то для главного направления компоненты ((alpha, beta)) должны быть пропорциональны коэффициентам уравнения eqref{ref10}, то есть должно существовать такое число (lambda), что
$$
Aalpha+Bbeta=lambdaalpha, Balpha+Cbeta=lambdabeta.label{ref17}
$$
Исключая (lambda), мы получаем уравнение для (alpha) и (beta):
$$
(A-C)alphabeta+B(beta^{2}-alpha^{2})=0.label{ref18}
$$

Если положить (alpha=cos varphi), (beta=sin varphi), то уравнение eqref{ref18} превратится в уравнение (2B cos 2varphi = (A-C)sin 2varphi), которое, как мы видели, обязательно имеет решение относительно (varphi). Поэтому имеет место следующее утверждение.

Утверждение 6.

Каждая линия второго порядка имеет хотя бы одну пару главных направлений.

Более подробное исследование уравнения eqref{ref18} показывает, что либо эта пара единственная, либо каждая пара перпендикулярных направлений является главной. Последний случай имеет место, когда (A=C), (B=0). При этом уравнение линии приводится к одному из канонических видов: (x^{2}+y^{2}=a^{2}), (x^{2}+y^{2}=-a^{2}) или (x^{2}+y^{2}=0). В двух последних случаях линия не имеет хорд, и результат лишен геометрического смысла.

Касательная к линии второго порядка.

Как известно, касательной к какой-либо линии называется предельное положение секущей, когда хорда стягивается в точку. Выведем уравнение касательной к линии второго порядка, заданной уравнением eqref{ref1}. Дадим предварительно следующее определение.

Определение.

Особой точкой линии второго порядка называется ее центр, который лежит на линии.

Особыми точками являются: точка пересечения пары пересекающихся прямых, единственная точка пары мнимых пересекающихся прямых и каждая точка пары совпавших прямых. В особой точке касательная не определена. Если точка лежит на прямой, входящей в состав линии, то касательная в этой точке совпадает с прямой. Исключив эти случаи, мы фактически ограничиваемся рассмотрением касательных к эллипсам, гиперболам и параболам.

Рассмотрим точку (M_{0}(x_{0, y_{0}})), лежащую на линии (L), и прямую с начальной точкой (M_{0}), заданную уравнением eqref{ref2}. С нашей точки зрения, приведенное выше определение касательной означает, что уравнение eqref{ref4}, определяющее точки пересечения (L) и прямой, имеет два совпадающих корня.

Так как начальная точка принадлежит (L), в уравнении eqref{ref4} (R=0), и один из его корней равен нулю. Корни совпадают, если и второй корень равен нулю, для чего необходимо, чтобы (Q=0). Если при этом окажется, что и (P=0), то прямая принадлежит линии второго порядка. Этот случай мы исключили, и потому уравнение имеет кратный корень (t=0) в том и только том случае, когда (Q=0). Мы рассматриваем равенство (Q=0) как условие, определяющее направляющий вектор касательной:
$$
(Ax_{0}+By_{0}+D)alpha+(Bx_{0}+Cy_{0}+E)beta=0.label{ref19}
$$

Так как (M_{0}) не особая точка, обе скобки здесь одновременно в нуль не обращаются, и условие eqref{ref19} определяет (alpha) и (beta) с точностью до общего множителя. Точка (M(x, y)) лежит на касательной тогда и только тогда, когда вектор (overrightarrow{M_{0}M}) коллинеарен (boldsymbol{a}(alpha, beta)), то есть его координаты (x-x_{0}) и (y-y_{0}) удовлетворяют тому же условию, что и ((alpha, beta)):
$$
(Ax_{0}+By_{0}+D)(x-x_{0})+(Bx_{0}+Cy_{0}+E)(y-y_{0})=0.label{ref20}
$$

Это и есть уравнение касательной к линии (L) в точке (M_{0}), лежащей на линии. Уравнение eqref{ref20} можно записать и иначе, если заметить, что координаты (M_{0}) удовлетворяют уравнению eqref{ref1} и, следовательно,
$$
(Ax_{0}+By_{0}+D)x_{0}+(Bx_{0}+Cy_{0}+E)y_{0}+Dx_{0}+Ey_{0}+F=0.nonumber
$$
Прибавляя это равенство к eqref{ref20} и группируя слагаемые, получим окончательное уравнение
$$
Axx_{0}+B(xy_{0}+x_{0}y)+Cyy_{0}+D(x+x_{0})+E(y+y_{0})+F=0.label{ref21}
$$

Особые точки.

Напомним, что особая точка линии второго порядка — это ее центр, лежащий на линии. Исследуем, при каких условиях линия второго порядка имеет особую точку. Для координат ((x_{0}, y_{0})) особой точки должны быть справедливы равенства
$$
begin{array}{cc}
& Ax_{0}+By_{0}+D=0, Bx_{0}+Cy_{0}+E=0,\
& Ax_{0}^{2}+2Bx_{0}y_{0}+Cy_{0}^{2}+2Dx_{0}+2Ey_{0}+F=0.
end{array}nonumber
$$
Умножим первое из них на (x_{0}), второе на (y_{0}) и вычтем из третьего. Мы получим эквивалентную систему уравнений
$$
left{begin{array}{l}
Ax_{0}+By_{0}+D=0,\
Bx_{0}+Cy_{0}+E=0,\
Dx_{0}+Ey_{0}+F=0.
end{array}right.label{ref22}
$$
Выберем какой-нибудь базис в пространстве и рассмотрим вспомогательные векторы (boldsymbol{p}(A, B, D)), (boldsymbol{q}(B, C, E)) и (boldsymbol{r}(D, E, F)). Равенства eqref{ref22} представляют собой координатную запись векторного равенства
$$
x_{0}boldsymbol{p}+y_{0}boldsymbol{q}=-boldsymbol{r}.label{ref23}
$$
Отсюда следует, что при наличии особой точки векторы (boldsymbol{p}), (boldsymbol{q}) и (boldsymbol{r}) компланарны, и потому
$$
triangle=begin{vmatrix}
A& B& D\
B& C& E\
D& E& F
end{vmatrix}=0.label{ref24}
$$

Если линия центральная, то векторы (boldsymbol{p}) и (boldsymbol{q}) не коллинеарны, и условие компланарности eqref{ref24} равносильно существованию разложения eqref{ref23}, то есть существованию решения системы eqref{ref22}. Мы получили ещё одно утверждение.

Утверждение 7.

Центральная линия имеет особую точку тогда и только тогда, когда (triangle=0).

Итак, сочетание (delta < 0), (triangle=0) характеризует пары пересекающихся прямых, а (delta > 0), (triangle=0) — пары мнимых пересекающихся прямых.

Рассмотрим нецентральные линии. Для них существует центр, хотя бы не являющийся особой точкой, тогда и только тогда, когда (triangle=0). В этом (и только этом) случае векторы (boldsymbol{p}) и (boldsymbol{q}) коллинеарны. Действительно, так как (delta=0), по предложению 9 § 2 гл. II, если система уравнений eqref{ref13} имеет решение, она равносильна одному из составляющих ее уравнений: либо коэффициенты и свободный член одного из уравнений равны нулю, либо коэффициенты и свободные члены обоих уравнений пропорциональны. Тогда (triangle=0) независимо от (boldsymbol{r}).

Обратно, пусть для нецентральной линии (triangle=0). Докажем, что (boldsymbol{p}) и (boldsymbol{q}) коллинеарны, что равносильно совместности уравнений центра. Действительно, в противном случае (boldsymbol{r}) по ним раскладывается, и согласно eqref{ref23} существует особая точка. Она — центр, (boldsymbol{p}) и (boldsymbol{q}) коллинеарны, и мы получаем противоречие.

Утверждение 8.

Для нецентральных линий условие (triangle=0) равносильно существованию центра.

Итак, сочетание (delta=triangle=0) характеризует пары параллельных прямых (вещественных, мнимых или совпавших).

Из последних двух утверждений следует, что равенство (triangle=0) является инвариантным: оно не может измениться при переходе к другой системе координат.

Источник

Изолированные особые точки функций и полюсы

Классификация особых точек

Важное место в изучении и применении теории функций комплексного переменного занимает исследование их поведения в особых точках, где нарушается аналитичность функции. В частности, это точки, где функция не определена.

Исследование функции в особой точке z_0 определяется поведением ее в окрестности этой точки, т.е. исследованием $limlimits_{zto z_0}f(z)$ . Очевидно, имеют место три возможности:

а) $limlimits_{zto z_0}f(z)$ не существует;
б) $limlimits_{zto z_0}f(z)$ существует и равен конечному числу;
в) $limlimits_{zto z_0}f(z)$ равен бесконечности.

Исследование пределов функции в комплексной области — задача более сложная, чем в действительной области, так как, согласно определению, переменная стремится к z_0~(zto z_0) по любому направлению. Вычисление пределов в точках аналитичности не представляет интереса, так как в этих случаях $limlimits_{zto z_0}f(z)=f(z_0)$ .

Будем рассматривать $limlimits_{zto z_0}f(z)$ , где z_0 — особая точка.

Пример 4.1. Исследовать существование $limlimits_{zto0}exp frac{1}{z},~ limlimits_{zto0} exp frac{1}{z^2}$ в случаях a) z=xinmathbb{R} ; б) zinmathbb{C} .

Решение

a) В действительной области $limlimits_{zto0}exp frac{1}{z}$ не существует, так как не равны односторонние пределы $limlimits_{xto0+0}exp frac{1}{x}=infty,~ limlimits_{xto0-0}exp frac{1}{x}=0$ , но существует предел второй функции: $limlimits_{xto0}exp frac{1}{x^2}=infty$ .

б) В комплексной области, очевидно, $limlimits_{zto0}exp frac{1}{z}$ не существует, так как он не существует в частном случае z=x .

Но для второй функции полученного выше результата $limlimits_{xto0}exp frac{1}{x^2}=infty$ не достаточно, так как рассмотрены только два направления на плоскости — по действительной положительной и действительной отрицательной полуосям.

Рассмотрим еще какое-нибудь направление, например по мнимой оси, т.е. z=iy,~ yto0colon

$limlimits_{zto0}exp frac{1}{z^2}= limlimits_{zto0}exp frac{1}{(iy)^2}= limlimits_{zto0}exp frac{-1}{y^2}=0.$

Сравнивая этот результат с полученным выше $limlimits_{xto0}exp frac{1}{x^2}=infty$ , заключаем, что в комплексной области $limlimits_{zto0}exp frac{1}{z^2}$ не существует.

Аналогично можно показать, что не существует $limlimits_{zto0}exp frac{1}{z^4}$ , хотя $limlimits_{zto0}exp frac{1}{z^4}=infty$ для случаев z=x и z=iy (по действительной и мнимой осям).

Эти простые примеры показывают, что исследование функции в особой точке с помощью $limlimits_{zto z_0}f(z)$ может представлять большие сложности. Но, с другой стороны, в примере 3.36 при вычислении пределов функции в особых точках было использовано разложение функции в ряд.

Представление функции в виде ряда как один из способов ее аналитического задания, может быть использовано для исследования функции, в частности, в особых точках.

Будем рассматривать изолированные особые точки функций, т.е. особые точки, для каждой из которых существует такая ее окрестность, в которой нет других особых точек функции.

В частности, конечная особая точка $z_0inmathbb{C}$ является изолированной особой точкой функции f(z) , если существует число r>0 , такое, что в круге |z-z_0|<r эта точка- единственная особая точка f(z) , а в проколотой окрестности, т.е. в 0<|z-z_0|<r функция f(z) аналитическая.

Бесконечно удаленная особая точка z_0=infty является изолированной особой точкой функции f(z) , если существует число R>0 , такое, что в области |z|>R эта точка — единственная особая точка f(z) , а в кольце R<|z|<infty функция f(z) — аналитическая.

Согласно теореме Лорана, функция, аналитическая в кольце, в частности, в проколотой окрестности особой точки, может быть представлена рядом Лорана. Это позволяет свести исследование функции в изолированной особой точке к исследованию соответствующего ряда. Особенности рядов как представления аналитических функций можно заметить, проанализировав некоторые примеры предыдущих лекций.

Пример 4.2. Исследовать поведение и вид ряда Лорана в окрестности особой точки z=0 функций:

а) $frac{sin z}{z}$ ; б) $frac{sin z}{z^n},~n>1$ ; в) $exp frac{1}{z}$ .

Решение

Эти простые примеры показывают, что поведение функции в особой точке связано с видом главной части ряда Лорана: трем отмеченным выше случаям нахождения предела функции в точке z_0 соответствуют три различных случая вида главной части ряда Лорана в окрестности точки. В примере 4.2 исследовалась конечная особая точка. Такой же результат можно получить, рассматривая точку z=infty , например, для функций $exp frac{1}{z},~ z^2+frac{1}{z}$ и e^z .

Типы особых точек функции

В зависимости от трех случаев поведения функции в особой точке (исследования $limlimits_{zto z_0}f(z)$ ) особые точки функций делят на три типа — производится классификация особых точек. В качестве определения типа особых точек можно выбрать либо поведение функции в особой точке, либо вид ряда Лорана. Выберем первый подход.

Изолированная особая точка $z_0in overline{C}$ функции f(z) называется:

– устранимой особой точкой, если $limlimits_{zto z_0}f(z)$ существует и конечен (4.1);
– полюсом, если $limlimits_{zto z_0}f(z)=infty$ (4.2);
– существенно особой точкой, если $limlimits_{zto z_0}f(z)$ не существует (4.3).

Замечание 4.1. Если в случае устранимой особой точки z_0 положить $f(z_0)= limlimits_{zto z_0}f(z)$ , то f(z) будет аналитической в $O_{delta}(z_0)$ и точку z_0 можно считать правильной, т.е. не особой. В этом случае говорят, что в точке z_0 устранена особенность.

Пример 4.3. Определить тип особой точки z=0 для функций $frac{sin z}{z};~~frac{sin z}{z^n},~n>1;~~exp frac{1}{z},~~ exp frac{1}{z^2}$ .

Решение

На основании результатов решения примеров 4.1, 4.2 заключаем, что z=0 является устранимой особой точкой функции $frac{sin z}{z}$ ; полюсом для $frac{sin z}{z^n}$ при любом n>1 ; существенно особой точкой для функций $exp frac{1}{z}$ и $exp frac{1}{z^2}$ .

Пример 4.4. Определить тип особой точки z=infty для функций $f_1(z)=z^nsin frac{1}{z}$ и f_2(z)=e^z .

Решение

Рассмотрим $limlimits_{ztoinfty}f(z)$ . Для удобства введем обозначение $frac{1}{z}=xi$ . Для функции f_1(z) получим $limlimits_{ztoinfty}f_1(z)= limlimits_{xito0} frac{sinxi}{xi^n}=infty~(n>1)$ (см. пример 4.2), поэтому z=infty является полюсом функции $f_1(z)=z^nsin frac{1}{z}$ . Для функции f_2(z)=e^z точка z=infty является существенно особой, так как $limlimits_{ztoinfty}e^z= limlimits_{xito0}exp frac{1}{xi}$ не существует (см. пример 4.1).

Пример 4.5. Найти все конечные особые точки функций: а) $f_1=frac{sin z}{z^4+1}$ б) $f_2(z)= frac{sin z}{sin z^{-1}}$ и определить их тип.

Решение

Особыми точками дробей являются особые точки числителя, особые точки знаменателя и нули знаменателя.

а) Так как числитель и знаменатель функции f_1(z) — функции аналитические, то ее особыми точками являются только нули знаменателя, т.е. корни уравнения z^4+1=0 . Это четыре точки $z_k=exp frac{(pi+2kpi)i}{4},~k=0,1,2,3$ , или в алгебраической форме: $z_{1,2}= frac{pm1+i}{sqrt{2}},~ z_{3,4}= frac{pm1-i}{sqrt{2}}$ . Заметим, что точки расположены в вершинах квадрата, вписанного в окружность радиуса R=1 с центром в начале координат, и справедливы равенства $z_2=iz,~ z_3=-z_1,~ z_4= overline{z}_1$ .

Очевидно, все точки изолированные и являются полюсами, так как $limlimits_{zto z_k}f_1(z)=infty$ для любой точки z_k,~k=1,2,3,4 .

б) Особыми точками функции f_2(z) являются нули знаменателя, т.е. точки, для которых $frac{1}{z_k}=kpi$ или $z_k=frac{1}{kpi},~ k=pm1,pm2,ldots$ , а также z=0 — особая точка знаменателя. Точки z_k являются полюсами, так как $limlimits_{zto z_k}f_2(z)=infty$ . Точка z=0 — неизолированная особая точка функции, так как в любой ее окрестности |z|<r ( — любое число, r>0 ), кроме этой точки, расположено бесконечное множество особых точек вида $z_k=frac{1}{kpi},~ k=pm1,pm2,ldots$ . Точку z=0 в таком случае называют предельной точкой полюсов $z_k=frac{1}{kpi}$ , так как $limlimits_{ktoinfty}z_k=0$ .

Теоремы Сохоцкого и Пикара

Для исследования поведения функции в существенно особой точке имеют место следующие две теоремы.

Теорема 4.1 (Сохоцкого). Если r_0 — существенно особая точка функции f(z) , то для любого Ain overline{mathbb{C}} существует последовательность ${z_n}$ , сходящаяся к точке z_0 , такая, что $limlimits_{ntoinfty}f(z_n)=A$ .

Теорема 4.2 (Пикара). В любой окрестности существенно особой точки функция f(z) принимает любое значение (причем бесконечное число раз) кроме, быть может, одного.

Пример 4.6. Исследовать поведение следующих функций в существенно особых точках, проиллюстрировать теоремы Сохоцкого и Пикара:

a) $f_1(z)=exp frac{1}{z},~ f_2(z)= exp frac{1}{z^2},~ z_0=0$ ; б) f_3(z)=e^z,~ z_0=infty .

Решение

В примерах 4.3 и 4.4 показано, что точки z_0=0 и z_0=infty являются существенно особыми точками соответствующих функций. Исследуем пределы функций.

а) Для иллюстрации теоремы Сохоцкого выбираем A=0 и A=infty . Используя результат примера 4.1, имеем $limlimits_{zto0}exp frac{1}{z}=0$ , если z=x<0 , и $limlimits_{zto0}exp frac{1}{z}=infty$ , если z=x>0 , то есть $limlimits_{ntoinfty}f_1(z_n)=0$ для последовательности z_n=x_n , такой, что $limlimits_{ntoinfty}x_n=0$ и x_n<0 , и $limlimits_{ntoinfty}f_1(z_n)=0$ для последовательности z_n=x_n , такой, что $limlimits_{ntoinfty}x_n=0$ и x_n>0 .

Аналогично исследуем функцию f_2(z) . Для числа A=0 выбираем z_n=iy_n , где $limlimits_{ntoinfty}y_n=0$ и тогда $limlimits_{ntoinfty}f_2(z_n)=0$ , а для A=infty выбираем z_n= x_n , где $limlimits_{ntoinfty}x_n=0$ и тогда $limlimits_{ntoinfty} f_2(z_n)=infty$ .

Справедливость теоремы Пикара для этих функций следует из рассмотрения уравнений $exp frac{1}{z}=A,~ exp frac{1}{z^2}=A$ , которые, как известно, имеют бесконечное множество решений для любого Ain mathbb{C},~ Ane0 .

Например, для функции $f_1(z)= expfrac{1}{z}$ имеем $expfrac{1}{z}=A$ . Отсюда получаем

$frac{1}{z}= operatorname{Ln}A,quad frac{1}{z}= ln|A|+i(arg A+2kpi),quad k=0,pm1,pm2,ldots$ или $z_k=frac{1}{ln|A|+i(arg A+2kpi)}$ .

В частности, функция $exp frac{1}{z}$ в любой окрестности точки z_0=0 принимает значение A=1 бесконечное множество раз: в точках $z_k=frac{-i}{2kpi},~ k=pm1,pm2,ldots$ (рис. 4.1).

Рис. 4.1.

б) Точка z=infty является существенно особой точкой функции e^z (пример 4.4). Обозначив $z=frac{1}{xi}$ , можно повторить рассуждения предыдущего пункта для функции $expfrac{1}{xi}$ и точки xi=0 .

Ряд Лорана в окрестности особой точки

В предыдущем разделе на примере простых функций (см. пример 4.2) было высказано предположение, что вид ряда Лорана в окрестности особой точки зависит от типа особой точки и потому задача исследования функции в особой точке может быть сведена к исследованию соответствующего ряда Лорана . Подтверждением этого предположения в общем случае является доказательство соответствующих утверждений.

Утверждение 4.1

1. Для того чтобы особая точка функции была ее устранимой особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки отсутствовала главная часть. Это означает, что если z_0 — устранимая особая точка, то ряд Лорана функции f(z) имеет вид

$f(z)= sum_{n=0}^{infty} c_n(z-z_0)^n,quad 0<|z-z_0|<r$

(4.4)

для z_0 — конечной точки $z_0inmathbb{C}$ , и (для z_0=infty )

$f(z)= c_0+sum_{n=1}^{infty} frac{c_{-n}}{z^n},quad R<|z|<infty.$

(4.5)

2. Для того чтобы особая точка функции была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала конечное число членов. Ряд Лорана функции f(z) в случае z_0 полюса имеет вид

$f(z)=sum_{k=-n}^{infty} c_k(z-z_0)^k,quad 0<|z-z_0|<r,$

(4.6)

если $z_0inmathbb{C}$ , и (если z_0=infty )

$f(z)=sum_{k=-infty}^{n}c_kz^k,quad R<|z|<infty,$

(4.7)

3. Для того чтобы особая точка функции была ее существенно особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала бесконечное число членов. Ряд Лорана функции f(z) в случае z_0 — существенно особой точки имеет вид

$f(z)= sum_{n=-infty}^{infty} c_n(z-z_0)^n,quad 0<|z-z_0|<r,$

(4.8)

если $z_0inmathbb{C}$ , и (если z_0=infty )

$f(z)= sum_{n=-infty}^{infty}c_nz^n,quad R<|z|<infty.$

(4.9)

Замечания 4.2

1. Номер старшего члена главной части ряда Лорана функции в ее разложении в окрестности полюса называется порядком полюса.

Так, точка $z_0inmathbb{C}$ является полюсом порядка (Pi(n)) функции f(z) , если в разложении (4.6) $c_{-n}ne0,~ c_k=0$ при k<-n . Точка z_0=infty является полюсом порядка (Pi(n)) функции f(z) , если в разложении (4.7) c_nne0,~ c_k=0 при k>n .

2. Главная часть ряда Лорана в случае полюса порядка и записывается следующим образом:

а) в случае $z_0inmathbb{C}$ в виде $sum_{k=-n}^{-1} c_k(z-z_0)^n$ , или $sum_{k=1}^{n} frac{c_{-k}}{(z-z_0)^k}$ , или, подробнее:

$frac{c_{-n}}{(z-z_0)^n}+frac{c_{-n+1}}{(z-z_0)^{n-1}}+ ldots+ frac{c_{-1}}{z-z_0},quad c_{-n}ne0,;$

(4.10)

б) в случае z_0=infty в виде $sum_{k=1}^{n}c_nz^k$ , или $sum_{k=-n}^{-1} frac{c_{-k}}{z^k}$ (см. (4.7)), или, подробнее:

$c_ncdot z^n+ c_{n-1}cdot z^{n-1}+ldots+c_1cdot z,quad c_nne0.$

(4.11)

3. Главная часть ряда Лорана в случае существенно особой точки записывается так:

а) в случае $z_0inmathbb{C}$ в виде $sum_{n=-infty}^{-1} c_n(z-z_0)^n$ , или $sum_{n=1}^{infty} frac{c_{-n}}{(z-z_0)^n}$ (см.(4.8)), или, подробнее:

$frac{c_{-1}}{z-z_0}+ frac{c_{-2}}{(z-z_0)^2}+ ldots+ frac{c_{-n}}{(z-z_0)^n}+ldots;$

(4.12)

б) в случае z_0=infty в виде $sum_{n=-infty}^{-1} frac{c_{-n}}{z^n}$ или $sum_{n=1}^{infty}c_nz^n$ (см.(4.9)), или, подробнее:

c_1cdot z+c_2cdot z^2+ldots+c_ncdot z^n+ldots

(4.13)

Пример 4.7. Определить тип особых точек функций: а) $f_1(z)=frac{z+2}{z^2-2z-3}$ ; б) $f_2(z)=frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}$ .

Решение

Особыми точками функций являются z_1=-1,~z_2=3,~z_3=infty . Чтобы определить тип особой точки, используем разложения функций в окрестности каждой точки, полученные в примерах 3.31 , 3.33 , 3.34.

a) $f_1(z)= frac{-1}{4}cdot frac{1}{z+1}-sum_{n=0}^{infty} frac{5(z+1)^n}{4^{n+2}},~ 0<|z+1|<4$ . В главной части разложения — один член ряда: $frac{-1}{4}cdot frac{1}{z+1}$ , здесь $c_{-1}=frac{-1}{4}ne0$ , все c_n=0 для n<-1 . Следовательно, в точке z=-1 — полюс первого порядка, т.е. простой полюс функции f_1(z) .

Аналогично из разложения $f_1(z)= frac{5}{4}cdot frac{1}{z-3}+ sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^{n+1}}{4^{n+2}}(z-3)^n,~ 0<|z-3|<4$ получим такой же результат: точка z=3 — простой полюс функции f_1(z) .

Разложение $f_1(z)= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n+5cdot3^{n-1}}{4}cdot frac{1}{z^n},~ |z|>3$ . Функции в окрестности z=infty не содержит главной части — разложение имеет вид (4.5). Следовательно, точка z=infty — устранимая особая точка функции f_1(z) .

б) Из разложения $f_2(z)= frac{5}{16}cdot frac{1}{z-3}+ sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^{n+1}(n+6)}{4^{n+3}}(z-3)^n,~ 0<|z-3|<4$ следует, что z=3 — простой полюс функции f_2(z) .

Из разложения $f_2(z)= frac{-5}{16}cdot frac{1}{z+1}+ frac{-1}{4}cdot frac{1}{(z+1)^2}+ sum_{n=0}^{infty} frac{-5(z+1)^n}{4^{n+3}},~ 0<|z+1|<4$ , где $c_{-2}=frac{-1}{4}ne0$ и все c_n=0 для n<-2 , получаем, что z=-1 — полюс второго порядка функции f_2(z) .

Разложение f_2(z) в окрестности z=infty и не содержит положительных степеней, в чем можно убедиться, проанализировав разложения элементарных дробей (см. пример 3.34). Поэтому z=infty — устранимая особая точка функции f_2(z) .

Пример 4.8. Определить тип конечных особых точек для функций:

а) $exp frac{1}{z-a},~ sin frac{1}{z-a},~ cos frac{1}{z-a}$ ; б) $frac{sin z}{z^n},~ frac{1-cos z}{z^3}$ .

Решение

а) Используем разложения функций по степеням (z-a)colon

$begin{gathered}exp frac{1}{z-a}= 1+frac{1}{z-a}+ frac{1}{2!(z-a)^2}+ldots;qquad sinfrac{1}{z-a}= frac{1}{z-a}- frac{1}{3!(z-a)^3}+ldots;\ cosfrac{1}{z-a}= 1-frac{1}{2!(z-a)^2}+ldots end{gathered}$

Убеждаемся, что для всех указанных функций точка z=a является существенно особой точкой, так как в разложениях главная часть содержит бесконечное число членов, т.е. имеется бесконечное число членов с отрицательными степенями (см. п.1 утверждения 4.1).

б) Запишем разложения функций по степеням zcolon

$begin{aligned}frac{sin z}{z^n}&= frac{1}{z^n}! left(z-frac{z^3}{3!}+ldotsright)= frac{1}{z^{n-1}}-frac{1}{z^{n-3}cdot3!}+ldots;\ frac{1-cos z}{z^3}&= frac{1}{z^3}! left(1-left(1-frac{z^2}{2!}+frac{z^4}{4!}+ldotsright)right)= frac{1}{2!z}-frac{z}{4!}+ldots end{aligned}$

Для первой функции при n=1 в разложении отсутствует главная часть — совокупность членов с отрицательными степенями. Следовательно, согласно п.1 утверждения 4.1, точка z=0 для $frac{sin z}{z}$ является устранимой особой точкой.

При n>1 главная часть разложения содержит конечное число членов, поэтому точка z=0 для $frac{sin z}{z^n}$ является полюсом (см. п.2 утверждения 4.1). Кроме того, так как при n>1 в разложении старшая отрицательная степень равна (n-1) , то, согласно п. 1 замечаний 4.2, заключаем, что z=0 для $frac{sin z}{z^n}$ при n>1 является полюсом порядка (n-1) . Рассуждая аналогично, получаем, что z=0 является полюсом первого порядка — простым полюсом для функции $frac{1-cos z}{z^3}$ .

Сравнивая разложения функций по степеням в окрестности z_0=0 (формулы (4.4),(4.6),(4.8) при z_0=0 ) и z=infty (формулы (4.5), (4.7), (4.9)), можно сделать следующее заключение.

Утверждение 4.2

1. Чтобы z=infty была устранимой особой точкой функции f(z) , необходимо и достаточно, чтобы точка xi=0 была устранимой (или не особой) для $varphi(xi)= f!left(frac{1}{xi}right)$ .

2. Чтобы z=infty была полюсом порядка функции f(z) , необходимо и достаточно, чтобы точка xi=0 была полюсом порядка функции $varphi(xi)= f!left(frac{1}{xi}right)$ .

3. Чтобы z=infty была существенно особой точкой функции f(z) , необходимо и достаточно, чтобы точка xi=0 была существенно особой точкой функции $varphi(xi)= f!left(frac{1}{xi}right)$ .

Замечание 4.3. Как и в случае конечной особой точки z_0 , в которой функция не определена, но $limlimits_{zto z_0}f(z)=0$ (см. утверждение 3.5) , так и для z=0 в случае $limlimits_{ztoinfty}f(z)=0$ , устранимую особую точку z=infty можно считать нулем функции f(z) . Порядок нуля можно определить как порядок нуля функции varphi(xi) в точке xi=0 .

Пример 4.9. Исследовать точку z=infty для функций: a) $f(z)=frac{1}{z^2(z-2)}$ ; б) $f(z)=frac{z^2+1}{3z^2-2}$ ; в) $f(z)= zsinfrac{1}{z}$ .

Решение

Правила определения порядка полюса

Используя формулу (4.6) разложения функции в ряд в окрестности полюса, можно получить практически удобные правила определения порядка полюса, не требующие записи разложений в ряд в каждом конкретном случае.

Пусть $z_0~(z_0in mathbb{C})$ — полюс порядка n~(Pi(n)) функции f(z) . Разложение (4.6), где главная часть имеет вид (4.10) , преобразуем следующим образом:

$f(z)=frac{1}{(z-z_0)^n}bigl[c_{-n}+c_{-n+1}cdot (z-z_0)+ ldots+c_0(z-z_0)+ ldotsbigr]$ или $f(z)=frac{varphi(z)}{(z-z_0)^n}$ ,

где varphi(z) — функция, аналитическая в точке z_0 , как сумма степенного ряда, записанного в скобках, и $varphi(z_0)=c_{-n}ne0$ .

Далее рассмотрим функцию $F(z)=frac{1}{f(z)}$ , то есть $F(z)=frac{(z-z_0)^n}{varphi(z)}$ или F(z)=(z-z_0)^n varphi_1(z) , где — аналитическая в точке z_0 и varphi_1(z_0)ne0 . Из этого, согласно утверждению 3.5, следует, что z_0 является нулем порядка функции F(z) . Можно доказать и обратное утверждение.

А именно, если функция представлена в виде $f(z)=frac{varphi(z)}{(z-z_0)^n}$ , где — функция, аналитическая в точке z_0 , и varphi(z_0)ne0 , то z_0 — полюс порядка функции f(z) , а также, если z_0 — нуль порядка функции F(z) , то для функции $f(z)=frac{1}{F(z)}$ эта точка является полюсом порядка .

Кроме того, рассмотрим частное $f(z)=frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ , где точка z_0 является нулем порядка для функции f_1(z) и нулем порядка для функции f_2(z) , то есть $f(z)= frac{(z-z_0)^k varphi_1(z)}{(z-z_0)^m varphi_2(z)}$ . При m>k получаем $f(z)= frac{varphi(z)}{(z-z_0)^{m-k}}$ , из чего, с учетом приведенных выше рассуждений, находим, что z_0 — полюс порядка (m-k) . Заметим, что при m=k точка z_0 — устранимая особая точка; случай m<k рассмотрен ранее. Результаты приведенных рассуждений запишем в виде утверждения.

Утверждение 4.3

1. Для того чтобы точка z_0 была полюсом порядка функции f(z) , необходимо и достаточно, чтобы ее можно было записать в виде

$f(z)= frac{varphi(z)}{(z-z_0)^n},quad varphi(z_0)ne0.$

(4.14)

2. Для того чтобы точка z_0 была полюсом порядка функции f(z) , необходимо и достаточно, чтобы она была нулем порядка функции $frac{1}{f(z)}$ (связь нулей с полюсами).

3. Если точка z_0 является нулем порядка функции f_1(z) и нулем порядка функции f_2(z)~(m>k) , то она — полюс порядка (m-k) для $frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ .

Пример 4.10. Определить порядок полюсов функций из примеров: а) 4.7 ; б) 4.8.

Решение

Замечания 4.4

1. Так как конечными особыми точками рациональной дроби $frac{P_n(z)}{Q_m(z)}$ являются только нули знаменателя, то это либо полюсы, либо устранимые особые точки функции.

2. Такое же заключение можно сделать и для функции вида $f(z)= frac{varphi(z)}{Q_m(z)}$ , где — аналитическая функция. При этом, используя определение устранимой особой точки (4.1) и правила определения порядка нуля и полюса (утверждения 3.5 и 4.3), можно сделать следующие выводы относительно особой точки z_0 — нуля порядка k~[0(k)] знаменателя:

а) z_0 — полюс порядка функции f(z) , если varphi(z_0)ne0 ;
б) z_0 — полюс порядка (k-n) , если z_0 — нуль порядка функции varphi(z) и k>n ;
в) z_0 — устранимая особая точка функции f(z) , если z_0 — нуль порядка функции ;

г) z_0 — нуль порядка (n-k) функции f(z) , если z_0 — нуль порядка функции varphi(z) и n>k ; при этом полагаем $f(z_0)= limlimits_{zto z_0}f(z)=0$ .

▼ Примеры нахождения особых точек и определения их типа

Пример 4.11. Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип:

а) $f(z)= frac{z^2-4z+3}{(z-1)^3(z+2)^2}$ ; б) $f(z)= frac{z+2i}{z^3+8i}$ .

Решение

Конечными особыми точками этих рациональных дробей являются нули знаменателя. Чтобы для каждой их этих точек определить, является ли она полюсом или устранимой особой точкой, нужно, согласно определению, найти предел функции в этой точке. В случае полюса, т.е. когда $limlimits_{zto z_0}f(z)=infty$ , далее следует определить его порядок. Для этого используется утверждение 4.3.

Можно поступить иначе — согласно замечанию 4.4. Для этого нужно найти и нули числителя.

а) Особые точки функции z_1=1,~ z_2=-2 . Для точки z_2=-2 можно применить формулу (4.14) и из $f(z)= frac{varphi(z)}{(z+2)^2}$ , где $varphi(z)= frac{z^2-4z+3}{(z-1)^3}$ и varphi(-2)ne0 , получить, что эта точка — полюс второго порядка. Для точки z_1=1 формула (4.14) не применима, так как из $varphi(z)= frac{z^2-4z+3}{(z+2)^2}$ имеем varphi(1)=0 . Поступаем далее согласно замечанию 4.4. Раскладываем на множители числитель и записываем функцию

$f(z)= frac{(z-1)(z-3)}{(z-1)^3(z+2)^2}= frac{z-3}{(z-1)^2(z+2)^2}= frac{varphi(z)}{(z-1)^2},quad varphi(1)ne0.$

Получаем, что z=1 — полюс второго порядка для f(z) .

б) Особые точки функции — корни уравнения z^3+8i=0 , то есть z=sqrt[LARGE{3}]{-8i} или $z_k= exp left[left(-frac{pi}{6}+ frac{2kpi}{3}right)!iright],~ k=0,1,2$ . Все эти точки: $z_{1,3}=2! left(pmfrac{sqrt{3}}{2}-i frac{1}{2}right)!,~ z_2=2i$ — простые нули знаменателя, и так как числитель в этих точках не обращается в нуль, то они — простые полюсы функции f(z) .

Пример 4.12. Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип:

а) $f(z)= frac{z^6+z^4-z^2-1}{(z^2-4z+3)^2}$ ; б) $f(z)= frac{z-2i}{z^3+8i}$ .

Решение

Пример 4.13. Найти конечные особые точки функций и определить их тип:

а) $f(z)=frac{cospi z}{(4z^2-1)(z^2+3)}$ ; б) $f(z)=frac{sinpi z}{z^4-1}$ .

Решение

Конечными особыми точками этих функций вида $f(z)= frac{varphi(z)}{Q_4(z)}$ , где — аналитическая функция, являются только нули знаменателя.

а) Особые точки функции: $z_1=frac{2}{2},~ z_2=-frac{1}{2},~ z_3=isqrt{3},~-i sqrt{3}$ . Точки z_3 и z_4 — простые полюсы, так как числитель в этих точках не обращается в нуль и функцию можно представить в виде $f(z)= frac{varphi(z)}{z-z_0},~ varphi(z_0)ne0,~ z_0$ — точка z_3 или z_4 . В точках $z=pmfrac{1}{2}$ числитель обращается в нуль. Очевидно, это простые нули числителя, и поэтому его можно записать в виде cospi z= (z-z_0)cdot varphi(z),~ varphi(z_0)ne0,~ z_0 — точка z_1 или z_2 . Тогда для функции f(z) получаем

$f(z)= frac{(z-z_0)cdot varphi(z)}{4 left(z-dfrac{1}{2}right)!! left(z+ dfrac{1}{2}right)! (z^2+3)},.$

Так как $limlimits_{zto z_k} f(z)neinfty$ для $z_0=z_1=frac{1}{2}$ или $z_0=z_2=-frac{1}{2}$ , то эти точки — устранимые особые точки функции f(z) .

б) Особые точки функции: $z_{1,2}=pm1,~ z_{3,4}=pm i$ . Точки z_3=i и z_4=-i — простые полюсы.

Для точек z_1=1 и z_2=-1 проводим рассуждения, как в предыдущем пункте, и находим, что они — устранимые особые точки f(z) .

Пример 4.14. Определить тип особой точки z=0 для следующих функций: а) $f(z)= frac{e^z-1-z}{e^{z^5}-1}$ ; б) $f(x)= frac{cos z^2-1}{z^3sin^2z^2}$ .

Решение. В точке z=0 и числитель, и знаменатель каждой из функций обращается в нуль. Определим порядок нуля в каждом случае и используем п.3 утверждения 4.4.

а) Из разложений по степеням функций

$begin{gathered} e^z-1-z&= left(1+z+frac{z^2}{2!}+ldotsright)-1-z= frac{z^2}{2!}+frac{z^3}{3!}+ldots\ e^{z^5}-1&= left(1+z^5+frac{z^{10}}{2!}+ldotsright)-1= z^5+frac{z^{10}}{2!}+ldots end{gathered}$

находим, что z=0 — нуль второго порядка для числителя (0(2)) и нуль пятого порядка для знаменателя (0(5)) . Следовательно, z=0 — полюс третьего порядка для функции f(z) .

б) Используя правила определения порядка нуля, в частности, как и в предыдущем пункте, раскладывая функции в ряды по степеням , находим, что z=0 является 0(2) для числителя и 0(7) для знаменателя. Следовательно, z=0 -полюс пятого порядка для f(z) .

Пример 4.15. Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип:

а) $f(z)= frac{e^{2+2i}}{z^4-16}$ ; б) $f(z)= frac{(z+pi) sin frac{pi z}{2}}{zsin^2z}$ .

Решение

Пример 4.16. Определить тип особой точки z=0 для следующих функций:

а) $f(z)= frac{sin z-z}{cos z-1-dfrac{z^2}{2}}$ ; б) $f(z)= frac{sin z+z}{operatorname{ch}z-1-dfrac{z^2}{2}}$ ; в) $f(z)= frac{sin z-z}{cos z-1+dfrac{z^2}{2}}$ ; г) $f(z)= frac{sin z+z}{operatorname{ch}z-1+dfrac{z^2}{2}}$ .

Решение

Точка z=0 является нулем и знаменателя, и числителя для каждой из функций. Определим порядок нуля в каждом случае, используя правило определения порядка нуля (утверждение 3.5), в частности, раскладывая соответствующую функцию по степеням .

а) Из разложений

$begin{aligned}sin z-z&= left(z-frac{z^3}{3!}+ldotsright)-z=-frac{z^3}{3!}+ frac{z^5}{5!}+ldots\ cos z-1-frac{z^2}{2}= left(1-frac{z^2}{2!}+ frac{z^4}{4!}-ldotsright)-1-frac{z^2}{2}=-z^2+frac{z^4}{4!}-ldots end{aligned}$

находим, что z=0 является 0(3) для числителя и 0(2) — для знаменателя, поэтому она — устранимая особая точка. Так как

$limlimits_{zto0}f(z)= limlimits_{zto0} frac{z^3! left(-frac{1}{3}+ frac{z^2}{5!}+ ldotsright)}{z^2! left(-1+frac{z^2}{4!}-ldotsright)}=0,$

то, полагая f(0)=0 , можно считать, что z=0 — нуль для f(z) , причем 0(1) (см. замечания 4.4).

б) Из разложений

$sin z+z=2z-frac{z^3}{3!}+ldots$ и $operatorname{ch}z-1-frac{z^2}{2}= left(1+frac{z^2}{2!}+ frac{z^4}{4!}+ldotsright)-1-frac{z^2}{2}= frac{z^4}{4!}+ frac{z^6}{6!}+ldots$

находим, что z=0 является 0(1) для числителя и 0(4) — для знаменателя. Поэтому z=0 — полюс третьего порядка для f(z) .

в) Как и в предыдущих пунктах, находим, что z=0 является 0(3) для числителя и 0(4) — для знаменателя. Поэтому z=0 — простой полюс для f(z) .

г) Точка z=0 является простым нулем числителя, нулем второго порядка для знаменателя. Следовательно, это простой полюс для f(z) .

Определение порядка полюса в бесконечно удаленной точке

Рассмотрим бесконечно удаленную точку. Тип особой точки можно определить, вычисляя $limlimits_{ztoinfty}f(z)$ или раскладывая функцию в ряд Лорана (см. примеры 4.4, 4.7). Можно свести задачу к исследованию конечной точки $xi=0,left(frac{1}{z}= xiright)$ (см. утверждение 4.2 и пример 4.9). В двух последних случаях определяется и порядок полюса.

Практически удобное правило определения порядка полюса z=infty можно получить, используя п. 2 утверждения 4.2 и правила определения порядка полюса в конечной точке (утверждение 4.3). Действительно, пусть z=infty-Pi(n) для функции f(z) , тогда xi=0-Pi(n) для $f! left(frac{1}{xi}right)$ и можно записать $f! left(frac{1}{xi}right)= frac{F(xi)}{xi^n},~ F(xi)ne0$ (см. (4.14)). Поэтому, обозначив $f! left(frac{1}{z}right)= varphi(z)$ , для f(z) получим

$f(z)=z^ncdot varphi(z),qquad limlimits_{ztoinfty} varphi(z)ne0,qquad limlimits_{ztoinfty} varphi(z)neinfty.$

(4.15)

Представление функции в виде (4.15) является необходимым и достаточным условием полюса порядка функции f(z) в точке z=infty .

Замечание 4.5. Используя формулу (4.15), нетрудно убедиться, что если z=infty-Pi(m) для f_1(z) и Pi(k) для f_2(z) , то z=infty — полюс порядка (m-k) для функции $f(z)= frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ .

Пример 4.17. Определить тип особой точки z=infty для функций: а) f(z)= z^2(z-2) ; б) $f(z)=frac{z^5+z^2+1}{z^3-2z}$ .

Решение

Так как $limlimits_{ztoinfty}f(z)=infty$ в обоих случаях, то z=infty для данных функций — полюс. Определим порядок полюса.

а) Точка z=infty является полюсом третьего порядка, в чем можно убедиться любым из следующих способов.

Первый способ. Разложение функции по степеням имеет вид f(z)=z^3-2z,~c_3ne0 , все c_n=0,~n>3 , и по определению (см. формулы (4.7), (4.11)) заключаем, что z=infty-Pi(3) .

Второй способ. Обозначим $z=frac{1}{xi}$ , получим функцию $f! left(frac{1}{xi}right)= frac{1-2xi}{xi^3}$ , для которой xi=0-Pi(3) . Поэтому, согласно п. 2 утверждения 4.2, точка z=infty-Pi(3) для f(z) .

Третий способ. Запишем функцию в виде $f(z)=z^3! left(1-frac{2}{z}right)$ и, так как функция $varphi(z)=left(1-frac{2}{z}right)$ — удовлетворяет условиям формулы (4.15), получим, что z=infty-Pi(3) для f(z) .

б) Разложение функции в ряд по степеням представляет некоторые трудности. Используем другие способы.

Первый способ. Обозначим $z=frac{1}{xi}$ , получим $f! left(frac{1}{xi}right)= frac{(xi^5+xi^3+1)cdotxi^3}{xi^5cdot(1-2xi^2)}$ , или $f! left(frac{1}{xi}right)= frac{xi^5+xi^3+1}{xi^2cdot(1-2xi^2)}$ .

Поэтому xi=0 является Pi(2) для $f!left(frac{1}{xi}right)$ и, следовательно, z=infty-Pi(2) для f(z) .

Второй способ. Представим функцию в виде $f(z)= frac{z^5cdot left(1+ dfrac{1}{z^3}+dfrac{1}{z^2}right)}{z^3cdot left(1-dfrac{2}{z^2}right)}$ или f(z)= z^2cdot varphi(z) , где $limlimits_{ztoinfty} varphi(z)=1$ , и, согласно формуле (4.15), z=infty-Pi(2) для f(z) .

Третий способ. Используем замечание 4.5. Можно определить порядок полюса z=infty для дроби $frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ , зная соответствующие порядки полюсов числителя и знаменателя. Здесь, очевидно, z=infty-Pi(5) для числителя и Pi(3) — для знаменателя (см. формулы (4.7), (4.11)). Поэтому z=infty-Pi(2) для f(z) .

Пример 4.18. Определить порядок полюса в точке z=infty для следующих функций: а) $f(z)= frac{z^3}{z-1}$ ; б) $f(z)=z^2+1+frac{1}{z^2-1}$ .

Решение

Определение типа особых точек для суммы, разности, произведения и частного функций

Пусть z_0 — особая точка функций f_1(z) и f_2(z) и тип особой точки для каждой из функций известен. Требуется определить тип особой точки для функций $f_1(z)pm f_2(z);~ f_1(z)cdot f_2(z);~ frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ . Рассмотрим следующие случаи.

Первый случай. Пусть точка го является полюсом порядка m~(Pi(m)) для функции f_1(z) и полюсом порядка k~(Pi(k)) для функции f_2(z) .

а) При исследовании суммы f(z)= f_1(z)+ f_2(z) воспользуемся формулой (4.14) (п.1 утверждения 4.3) и запишем слагаемые в виде

$f_1(z)=frac{varphi_1(z)}{(z-z_0)^m},~~ f_2(z)=frac{varphi_2(z)}{(z-z_0)^k}$ , где varphi_1(z_0)ne0,~varphi_2(z_0)ne0 .

При k=m для суммы f(z)= f_1(z)+ f_2(z) получаем $f(z)= frac{varphi_1(z)+varphi_2(z)}{(z-z_0)^m}$ или $f(z)=frac{varphi(z)}{(z-z_0)^m}$ , где varphi(z)= varphi_1(z)+ varphi_2(z) . Если varphi(z_0)ne0 , то z_0-Pi(m) для функции f(z) . Однако для функций f_1(z),, f_2(z) может выполняться условие varphi_1(z_0)+ varphi_2(z_0)=0 и’ следовательно, varphi(z_0)=0 . В этом случае формула (4.14) не применима и точка z_0 не будет полюсом порядка для f(z) . В соответствии с п.3 утверждения 4.3 порядок полюса будет меньше, чем , и равен (m-p) в случае m>p , где — порядок нуля функции varphi(z) . Если p=m , то z_0 — устранимая особая точка для f(z) .

Таким образом, при сложении функций порядок полюса в точке может оказаться равным или меньше, чем наибольший из порядков слагаемых.

б) Для исследования произведения f_1(z)cdot f_2(z) воспользуемся формулой связи нулей с полюсами (п.2 утверждения 4.3) и рассмотрим вспомогательные функции $F_1(z)= frac{1}{f_1(z)},~ F_2(z)= frac{1}{f_2(z)}$ . Для первой из этих функций z_0-0(m) , для второй соответственно z_0-0(k) . а поэтому для F(z)= F_1(z)cdot F_2(z) она будет 0(m+k) . Согласно п.2 утверждения 4.3, z_0 является Pi(m+k) для .

в) Аналогичные рассуждения для частного $frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ приводят к результату: при m>k точка z_0 является Pi(m-k) для $frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ .

Второй случай. Пусть точка z_0 является полюсом, устранимой особой точкой или не особой для f_1(z) и существенно особой для f_2(z) . Так как $limlimits_{zto z_0}f_2(z)$ не существует, то по свойству пределов он не существует для каждой из рассматриваемых комбинаций $f_1(z)pm f_2(z);~ f_1(z)cdot f_2(z);~ frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ . Следовательно, для каждой из них z_0 — существенно особая точка. Заметим, что для функции $frac{1}{f_2(z)}$ эта точка является либо существенно особой точкой, либо не является изолированной особой точкой. Последнее проиллюстрировано в примере 4.5 для функции $frac{1}{sin z^{-1}}$ .

Третий случай. Пусть z_0 — полюс порядка для f_1(z) и устранимая особая точка для f_2(z) . Разложения этих функций в ряд в окрестности z_0 имеют вид (4.6) и (4.4) соответственно.

а) При сложении рядов в общей области сходимости получится ряд, главную часть которого будет составлять главная часть ряда функции f_1(z) . Следовательно, для f(z)= f_1(z)pm f_2(z) точка z_0 — полюс порядка .

б) Аналогичные рассуждения приводят к заключению, что такой же результат получится и для f(z)= f_1(z)cdot f_2(z) , если $limlimits_{zto z_0}f_2(z)ne0$ .

Если $limlimits_{zto z_0}f_2(z)=0$ и z_0-0(p),~ p<n для функции f_2(z) , то из равенства

$f_1(z)cdot f_2(z)= frac{varphi_1(z)}{(z-z_0)^n}cdot varphi_2(z)cdot (z-z_0)^p= frac{varphi(z)}{(z-z_0)^{n-p}}$ заключаем, что z_0-Pi(n-p) .

в) Для частного $frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ при условии $limlimits_{zto z_0} f_2(z)ne0$ из равенства $f(z)= frac{f_1(z)}{f_2(z)}= frac{varphi_1(z)}{(z-z_0)^n f_2(z)}= frac{varphi(z)}{(z-z_0)^n}$ заключаем, что z_0-Pi(n) для f(z) .

Если $limlimits_{zto z_0}f_2(z)=0$ и z_0-0(p) для f_2(z) , то, используя условие кратного нуля, из равенства

$f(z)= frac{f_1(z)}{f_2(z)}= frac{varphi_1(z)}{(z-z_0)^n varphi_2(z) (z-z_0)^p}= frac{varphi(z)}{(z-z_0)^{n+p}}$

заключаем, что z_0 является Pi(n+p) для $frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ , где — порядок полюса функции f_1(z),~p — порядок нуля функции f_2(z) в точке z_0 .

Подводя итог, запишем следующее утверждение.
Утверждение 4.4

1. Пусть точка z_0 является Pi(m) для функции f_1(z) и Pi(k) для функции f_2(z) . Тогда:

а) для f_1(z)pm f_2(z) она будет Pi(n),~ n leqslant max(m,k) , а при n=0 — устранимой особой точкой;

б) для f_1(z)cdot f_2(z) она является Pi(n),~ n=m+k ;

в) для $frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ она будет Pi(n),~ n=m-k .

2. Пусть z_0 — существенно особая точка для функции f_2(z) и устранимая особая точка или полюс для функции f_1(z) . Тогда z_0 — существенно особая точка для $f_1(z)pm f_2(z);~ f_1(z)cdot f_2(z);~ frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ .

3. Пусть точка z_0 является Pi(n) для функции f_1(z) и устранимой особой точкой для функции f_2(z) . Тогда:

а) для f_1(z)pm f_2(z) она будет Pi(n) ;

б) для f_1(z)cdot f_2(z) она является Pi(n) , если $limlimits_{zto z_0}f_2(z)ne0$ , и Pi(n-p) , если $limlimits_{zto z_0}f_2(z)=0$ и — порядок нуля f_2(z) в точке z_0 ;

в) для $frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ она будет Pi(n) , если $limlimits_{zto z_0}f_2(z)ne0$ , и Pi(n+p) , если $limlimits_{zto z_0}f_2(z)=0$ и — порядок нуля f_2(z) в точке z_0 ;

4. Если точка z_0-Pi(n) для varphi(z) , то она существенно особая точка для сложной функции f(varphi(z)) . В этом можно убедиться, рассматривая ряды для и в окрестности z_0 .

Пример 4.19. Определить тип особой точки z=0 для функции f(z) , если f(z)= f_1(z)+ f_2(z) , где $f_1(z)= frac{1}{z^2}$ , а функция f_2(z) определяется следующим образом:

а) $f_2(z)= frac{1}{z}-frac{2}{z^2}$ ; б) $f_2(z)= frac{1}{z}-frac{1}{z^2}$ ; в) $f_2(z)=1-frac{1}{z}$ .

Решение

Пример 4.20. Найти особые точки функции $f(z)= frac{1}{e^z-1}-frac{1}{z}$ . Определить их тип.

Решение

Особыми точками функции являются особые точки первого слагаемого z=2kpi i,~ kinmathbb{Z} , особая точка второго слагаемого z=0 входит в это множество. Точки z_k=2kpi i,~kne0 являются простыми нулями знаменателя и поэтому простыми полюсами первой функции; для второго слагаемого эти точки не являются особыми. Поэтому точки -простые полюсы f(z) (см. п. 3 «а» утверждения 4.4).

Точка z=0 — простой полюс и для первого, и для второго слагаемого. Для f(z) — это или простой полюс, или устранимая особая точка (см. п.1 «а» утверждения 4.4). Преобразуем разность в дробь: $f(z)= frac{z-e^z+1}{(e^z-1)z}$ . Точка z=0 является нулем второго порядка и для числителя, и для знаменателя. Следовательно, это — устранимая особая точка, в чем можно убедиться, используя определение, т.е. находя $limlimits_{zto0}f(z)$ . Действительно,

$limlimits_{zto0}f(z)= limlimits_{zto0} frac{-1-z-dfrac{z^2}{2!}+ldots+z+ 1}{left(-1-z-dfrac{z^2}{2!}+ldots-1 right)!z}= limlimits_{zto0} frac{-dfrac{z^2}{2!}-dfrac{z^3}{3!}-ldots}{z^2! left(1+dfrac{z}{2!}+ldotsright)}= limlimits_{zto0} frac{-z^2! left(dfrac{1}{2!}+ dfrac{z}{3!}+ldotsright)}{ z^2!left(1+dfrac{z}{2!}+ldotsright)}=-frac{1}{2},.$

Точка z=infty для данной функции является неизолированной особой точкой, так как в любой ее окрестности |z|>R содержится бесконечное множество особых точек вида z_k=2kpi i . Эта точка- предельная точка полюсов. Заметим, что для знаменателя первого слагаемого функции она — существенно особая точка.

Пример 4.21. Найти особые точки следующих функций, определить их тип:

а) $f(z)= frac{z-pi}{sin^2z}cos frac{1}{z-2i}+ frac{1}{z^6+1}$ ; б) $f(z)= frac{1}{z^2-1} sin frac{pi z}{2z+1}+ frac{1}{e^z+i}$ .

Решение

Обозначим f_1(z) — первое слагаемое, f_2(z) — второе слагаемое функции f(z) , т.е. имеем f(z)=f_1(z)+f_2(z) .

а) Для f_1(z) точка z=2i является существенно особой точкой, так как это существенно особая точка для $cos frac{1}{z-2i}$ множителя этой функции. Поэтому она — существенно особая точка для f(z) (п. 2 утверждения 4.4).

Точки z_k=kpi,~kne1 — полюсы второго порядка функции f_1(z) , так как ее можно записать в виде $f_1(z)=frac{varphi(z)}{sin^2z}$ , где varphi(z_k)ne0 , а для знаменателя эти точки — нули второго порядка . Так как для f_2(z) эти точки не особые, то z_k=kpi,~znepi — полюсы второго порядка для f(z) (п. 3 утверждения 4.4).

С помощью аналогичных рассуждений получаем, что z=pi — простой полюс для f(z) .

Особыми точками f_2(z) являются корни уравнения z^6+1=0 , то есть $z_k=exp frac{(-pi+2kpi)i}{6},~ k=0,1,ldots,5$ . Все они — простые нули знаменателя- функции F(z) , а потому — простые полюсы для $f_2(z)= frac{1}{F(z)}$ . Так как эти точки не являются особыми для f_1(z) , то для f(z) — это простые полюсы.

Точка z=infty — неизолированная особая точка f(z) .

б) Точка $z=frac{-1}{2}$ — полюс дроби $frac{pi z}{2z+1}$ является существенно особой точкой для $sinfrac{pi z}{2z+1}$ (п.4 утверждения 4.4), поэтому она — существенно особая точка для f_1(z) и, следовательно, для f(z) .

Точка z=1 — простой полюс для f_1(z) , так как можно записать $f_2(z)= frac{varphi(z)}{z-1},~ varphi(z)ne0$ . Поскольку z=1 не является особой точкой для f_2(z) , то она — простой полюс для f(z) .

Точка z=-1 — устранимая особая точка для f_1(z) , так как она — простой нуль и для числителя, и для знаменателя дроби $frac{sindfrac{pi z}{2z+1}}{z^2-1}$ . Так как z=-1 не является особой точкой для f_2(z) , то она — устранимая особая точка для f(z) .

Особыми точками f_2(z) являются простые нули знаменателя — корни уравнения e^z+i=0 , или e^z=-i , то есть z=operatorname{Ln}(-i) . Все точки

z_k=ln|-i|+ibigl(arg(-i)+2kpibigr) , или $z_k=i! left(2kpi-frac{pi}{2}right)!,~ kin mathbb{Z}$

являются простыми полюсами для f_2(z) и, следовательно, простыми полюсами для f(z) .

Точка z=infty — неизолированная особая точка f(z) .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Пересечение линии второго порядка и прямой.

Тип линии.

Диаметр линии второго порядка.

Центр линии второго порядка.

Сопряженные направления.

Главные направления.

Касательная к линии второго порядка.

Особые точки.

Изолированные особые точки функций и полюсы

Классификация особых точек

Типы особых точек функции

Теоремы Сохоцкого и Пикара

Ряд Лорана в окрестности особой точки

Правила определения порядка полюса

Определение порядка полюса в бесконечно удаленной точке

Определение типа особых точек для суммы, разности, произведения и частного функций

Не пропустите также: