Как найти ординату в треугольнике

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Содержание:

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение к простейшим задачам

Прямоугольные координаты точки на плоскости

Координатами точки на плоскости называются числа, определяющие положение этой точки на плоскости.

Прямоугольные декартовы координаты (по имени математика Декарта) на плоскости вводятся следующим образом: на этой плоскости выбираются точка О (начало координат) и проходящие через нее взаимно перпендикулярные направленные прямые Ох и Оу (оси координат) (рис. 1). Для удобства рассмотрения будем предполагать, что ось Ох 0ось абсцисс) горизонтальна и направлена слева направо, а ось Оу (ось ординат) вертикальна и направлена снизу вверх; таким образом, ось О у повернута относительно оси Ох на угол 90° против хода часовой стрелки 1 ). Кроме того, выбирается единица масштаба для измерения расстояний.

Для данной точки М введем в рассмотрение два числа: абсциссу х и ординату у этой точки.

Абсциссой х называется число, выражающее в некотором масштабе расстояние от точки до оси ординат, взятое со знаком плюс, если точка лежит вправо от оси ординат, и со знаком минус, если точка лежит влево от оси ординат. Ординатой у называется число, выражающее в некотором масштабе (обыкновенно в том же, как и для абсциссы) расстояние от точки до оси абсцисс, взятое со знаком плюс, если точка лежит выше оси абсцисс, и со знаком минус, если точка лежит ниже оси абсцисс.

Эти два числа х и у и принимаются за координаты точки М, так как они полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел х и у соответствует единственная точка, координатами которой являются эти числа; и обратно, каждая точка плоскости имеет определенные координаты х и у. Если точка М имеет координаты х и у, то это обстоятельство обозначают так: М (х, у) (на первом месте ставится абсцисса х, а на втором — ордината у). При записи координат знак плюс, как обычно, можно опускать.

Оси Ох и Оу разбивают плоскость на четыре части, называемые квадрантами. Производя нумерацию квадрантов (I, II, III и IV) в направлении против хода часовой стрелки, отправляясь от того квадранта, где обе координаты положительны, получим следующую таблицу знаков координат:

Отрезок ОМ у соединяющий начало координат О с точкой М (рис. 2), называется ее радиусом-вектором. Обозначая через ф угол, образованный отрезком ОМ с положительным направлением оси Ох, и через его длину, для точки М, лежащей в I квадранте, из треугольников ОММ’ и ОММ» получим

Нетрудно убедиться, что формулы (1) будут справедливы для координат точек всех квадрантов. Таким образом, знак абсциссы х точки М совпадает со знаком косинуса, а знак ее ординаты у — со знаком синуса в соответствующем квадранте.

Легко видеть, что если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината у равна нулю; если же она лежит на оси ординат, ее абсцисса х равна нулю, и обратно. Следовательно, если точка совпадает с началом координат, то равны нулю обе ее координаты.

В дальнейшем прямоугольные декартовы координаты для краткости будем называть просто прямоугольными координатами.

В следующих параграфах рассмотрим некоторые простейшие задачи на применение прямоугольных координат на плоскости.

Преобразование прямоугольной системы координат

При решении задач иногда выгодно вместо данной прямоугольной системы координат выбрать другую прямоугольную систему координат О’х’у определенным образом ориентированную относительно первой. Например, при межпланетных путешествиях можно пользоваться системой координат, связанной с центром Земли (геоцентрическая система координат); однако более удобно использовать систему координат, связанную с центром Солнца (гелиоцентрическая система координат).

Возникает вопрос о том, как от одной системы координат перейти к другой.

Рассмотрим сначала простейший случай (рис. 3), когда оси «новой системы координат» О’х’у’ параллельны соответствующим осям «старой системы координат о Оху и имеют одинаковые направления с ними (параллельный перенос системы координат).

Пусть начало новой системы координат — точка О’ — имеет координаты (а, Ь) в старой системе координат. Точка М плоскости со «старыми координатами» (х, у) будет иметь некоторые «новые координаты» [х у’] (для ясности мы их обозначаем квадратными скобками). Из рис. 3 непосредственно получаем

х’ = х — а, у’ = у — b, (1)

т. е. новые координаты точки равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала.

Обратно, из (1) находим

х = х’ + а, у = у’ + Ь. (2)

Пусть теперь «новая система» координат Ох’у при неизменном начале О, повернута относительно «старой системы» Оху на угол а (рис. 4), т. е. , причем а считается положительным, если поворот осуществляется против хода часовой стрелки, и отрицательным — в противоположном случае (поворот системы координат).

Обозначим через угол, образованный радиусом-вектором г = ОМ точки М с осью Ох’; тогда отрезок ОМ, с учетом знака угла ), будет составлять с осью Ох угол . Отсюда на основании формул (1) из при любом расположении точки М имеем

Так как новые координаты точки М, очевидно, есть

то из формул (3) и (4) получаем

Для запоминания формул (6) используют следующий мнемонический прием: говорят, что первая формула (6) содержит полный беспорядок, а вторая — полный порядок. Действительно, в первой формуле на первом месте стоит cos, на втором — sin; кроме того, присутствует знак минус. Во второй формуле (6) никаких нарушений правильности в этом смысле нет.

Формулы (6) выражают старые координаты х и у точки М через ее новые х’ и у’. Чтобы выразить новые координаты х’ и у’ через старые х и у, достаточно разрешить систему (6) относительно х’и у’. Однако можно поступить проще, а именно принять систему Ох’у’ за «старую», а систему Оху за «новую». Тогда, учитывая, что вторая система повернута относительно первой на угол — а, заменяя в формулах (6) х’ и у’ соответственно на х и у и обратно и принимая во внимание, что cos (-a) = cos a, sin (-a) = -sin a, будем иметь

Наконец, в общем случае, когда новое начало координат есть точка О’ (a, Ь) и ось О’х’ образует с осью Ох угол а, соединяя формулы (2) и (6), находим

Здесь угол Р считается положительным, если радиус-вектор ОМ повернут относительно оси Ох’ против хода часовой стрелки, и отрицательным, если он повернут относительно этой оси по ходу часовой стрелки.

Аналогично, из формул (1) и (7) получаем

Из формул (8) и (9) вытекает, что формулы перехода от одной прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системе координат являются линейными функциями как новых, так и старых координат, т. е. содержат эти координаты в первой степени.

Пример:

Отрезок ОМ, где точка М имеет координаты (х, г/), повернут на угол а = 120° против хода часовой стрелки (рис. 5). Каковы будут координаты х’ и у’ нового положения М’ точки М?

Решение:

Предполагая, что с точкой М связана подвижная система координат Ох’у на основании формул (6) будем иметь

Расстояние между двумя точками на плоскости

1) Найдем сначала расстояние г от начала координат О (0, 0) до точки М (х, у) (рис. 6).

Расстояние г = ОМ, очевидно, является гипотенузой прямоугольного ОММ’ с катетами . По теореме Пифагора получаем

Таким образом, расстояние от начала координат до некоторой точки равно корню квадратному из суммы квадратов координат этой точки.

2) В общем случае, пусть для точек A и Б (рис. 7) требуется найти расстояние d = АВ между этими точками.

Выберем новую систему координат Ах’у’ начало которой совпадает с точкой А и оси которой параллельны прежним осям и имеют, соответственно, одинаковые направления с ними. Тогда в новой системе координат точки Л и В будут иметь координаты А [0, 0] и Б . Отсюда на основании формулы (1) получаем

т. е. расстояние между двумя точками плоскости (при любом их расположении) равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат этих точек.

Замечание. Формула (2) дает также длину отрезка АВ. Легко определить направление этого отрезка. Из прямоугольного А ABC имеем

(dx и dy называются проекциями отрезка АВ на оси координат Оху). Отсюда получаем где d определяется формулой (2).

Пример:

Танк на местности переместился из точки А (-30, 80) в точку Б (50, 20) (относительно некоторой системы координат Оху)> причем координаты точек даны в километрах. Найти путь d, пройденный танком, если он двигался, не меняя направления.

Решение:

Применяя формулу (2), имеем

Деление отрезка в данном отношении

Предположим, что отрезок АВ (рис. 8), соединяющий точки A (xl9 уг) и В (x2t у2), разделен точкой С на два отрезка АС и СБ, причем отношение АС к СБ равно I (I > 0):

Требуется выразить координаты х и у точки С(х, у) через координаты концов отрезка АВ.

Опустим перпендикуляры соответственно из точек А, В и С на ось Ох. Тогда получим, что три параллельные прямые пересекают стороны угла (не обозначенного на рисунке), образованного прямыми АВ и Ох. Как известно из элементарной геометрии, пучок параллельных прямых рассекает стороны угла на пропорциональные части; поэтому

откуда на основании равенства (1) будем иметь

Из рис. 8 видно, что х2 — х. Подставляя эти выражения в формулу (2), получим

Решая уравнение (3) относительно неизвестной абсциссы х, будем иметь

Итак, координаты точки С (ху у), делящей отрезок АВ в отношении / (считая от А к В), определяются формулами Если точка С делит отрезок АВ пополам, то АС = СВ и, следовательно, I = АС/СВ = 1. Обозначая координаты середины отрезка АВ через х, у, получим на основании формул (4)

т. е. координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов.

Примечание. При выводе формул (4) и (5) мы предполагали, что концы А и В отрезка АВ лежат в первом квадранте и, следовательно, координаты точек Аи В положительны. Легко доказать, что формулы (4) и (5) будут справедливы и в случае произвольного расположения отрезка АВ на координатной плоскости.

Пример:

Вычислить координаты точки С (х, у)> делящей отрезок АВ между точками А (-5, -3) и В (4, -6) в отношении АС/СВ = 3/2.

Решение:

В этом случае I = 3/2 и, следовательно,

Площадь треугольника

Пусть требуется найти площадь S треугольника ABC (рис. 9) с вершинами

Пусть АВ = с, АС = Ь, а углы, образованные этими сторонами с осью Ох, соответственно равны .

На основании (см. замечание) имеем (рис. 9)

и

Пусть ; очевидно (рис. 9), . По известной формуле тригонометрии получаем

Отсюда в силу (1) и (2) имеем

Заметим, что формула (4) при ином расположении вершин может дать площадь треугольника S со знаком минус. Поэтому формулу для площади треугольника обычно пишут в виде

где знак выбирается так, чтобы для площади получалось положительное число,

Используя понятие определителя второго порядка

формулу (4′) можно записать в удобной для запоминания форме:

Формула (4′) упрощается, если точка А находится в начале координат. А именно, полагая получим

Отметим, что если точки А, В, С находятся на одной прямой, то площадь S = 0; и обратно, если S = 0, то вершины А, Б и С расположены на одной прямой.

Пример:

Вспаханное поле имеет форму треугольника с вершинами А (-2, -1), В (3, 5) и С (-1, 4) (размеры даны в километрах). Определить площадь S этого поля.

По формуле (5) имеем

Замечание. Вычисление площади многоугольника сводится к вычислению площадей треугольников. Для этого достаточно разбить многоугольник на треугольники, площади которых вычисляют по формуле (4).

• Линии второго порядка
• Полярные координаты
• Непрерывность функции
• Уравнения поверхности и линии в пространстве
• Интегрирование рациональных дробей
• Интегрирование тригонометрических функций
• Интегрирование тригонометрических выражений
• Интегрирование иррациональных функций

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Задача 22142 1. Площадь треугольника ABC с вершинами.

Условие

1. Площадь треугольника ABC с вершинами А(-2; 1), В(2; 2), C(4; y) равна 15. Найти ординату вершины С.

Решение

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов СА и СB.
S (Δ ABC) =(1/2)*|vector×vector|

S (Δ ABC) = 1/2 * |4y-10|
S(Δ ABC) = |2у-5|.

По условию S(Δ ABC) =15,
получаем уравнение
|2у-5|=15.
2y-5=-15 или 2у-5=15
у=-5 или у=10

Таблица 1

Объяснение и обоснование

1. Определение тригонометрических функций. Из курса геометрии вам известно определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике. Напомним их.

   Синусом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы: sin α = a / c (рис. 61).

   Косинусом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы: cos α = b / c.

   Тангенсом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего: tg α = a / b.

   Котангенсом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего: ctg α = b / a.

   В курсе геометрии было обосновано, что синус и косинус острого угла зависят только от величины угла и не зависят от длин сторон треугольника и его расположения, то есть синус и косинус (а таким образом, и тангенс, и котангенс) являются функциями величины угла, которые называются тригонометрическими функциями.

   Для сокращения формулировок мы будем использовать термин «тригонометрическая функция угла», понимая, что рассматривается «тригонометрическая функция величины угла» (при этом величина угла может быть выражена как в радианах, так и в градусах).

Рис. 61   

   Также в курсе геометрии с использованием окружности с центром в начале координат было введено определение тригонометрических функций для углов от 0° до 180°. Эти определения можно применить для нахождения тригонометрических функций любых углов. Напомним их (но теперь будем рассматривать любые углы α от –∞ до +∞).

   Возьмем окружность радиуса R с центром в начале координат. Обозначим точку окружности на положительной полуоси абсцисс через P₀ (рис. 62). Необходимые нам углы будем образовывать поворотом радиуса OP₀ около точки O. Пусть в результате поворота на угол α около точки O радиус OP₀ займет положение OP_α (говорят, что при повороте на угол α радиус OP₀ переходит в радиус OP_α, а точка P₀ переходит в точку P_α). Напомним, что при α > 0 радиус OP₀ поворачивается против часовой стрелки, а при α < 0 — по часовой стрелке.

   Пусть точка P_α имеет координаты (x; y). Тогда:

     синусом угла α называется отношение ординаты точки P_α (x; y) окружности к ее радиусу: sin α = y / R;

   косинусом угла α называется отношение абсциссы точки P_α (x; y) окружности к ее радиусу: cos α = x / R;

   тангенсом угла α называется отношение ординаты точки P_α (x; y) окружности к ее абсциссе: tg α = y / x (конечно, при x ≠ 0);

   котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки P_α (x; y) окружности к ее ординате: ctg α = x / y (при y ≠ 0).

     Как и для тригонометрических функций острых углов, значения sin α, cos α, tg α, ctg α зависят только от величины угла α и не зависят от радиуса R^*. Удобно взять R = 1, что позволит несколько упростить приведенные определения тригонометрических функций.

* Это следует из того, что две концентрические окружности гомотетичны (центр гомотетии — точка О, а коэффициент гомотетии k — отношение радиусов этих окружностей), тогда и точки Pα на этих окружностях также будут гомотетичны. Таким образом, при переходе от одной окружности к другой в определениях тригонометрических функций числитель и знаменатель соответствующей дроби умножаются на k, а значение дроби не изменяется.

   Окружность радиуса 1 с центром в начале координат будем называть единичной окружностью.

     Пусть при повороте на угол α точка P₀ (1; 0) переходит в точку P_α (x; y)
(то есть при повороте на угол α радиус OP₀ переходит в радиус OP_α) (рис. 63).

Синусом угла α называется ордината точки P_α (x; y) единичной окружности:

sin α = y.

Косинусом угла α называется абсцисса точки P_α (x; y) единичной окружности:

cos α = x.

Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки P_α (x; y) единичной окружности к ее абсциссе, то есть отношение sin α / cos α.

   Таким образом, tg α = sin α / cos α (где cos α ≠ 0).

Заметим, что при cos α = 0 значение функции tg α не определено, а значение функции ctg α не определено при sin α = 0.

Пользуясь этими определениями, найдем синус, косинус, тангенс и котангенс угла 2π / 3 радиан.

♦ Рассмотрим единичную окружность (рис. 64). При повороте на угол 2π / 3 радиус OP₀ переходит в радиус OP_2π/3 (а точка P₀ переходит в точку P_2π/3). Координаты точки P_2π/3 можно найти, используя свойства прямоугольного треугольника OAP_2π/3 (с углами 60° и 30° и гипотенузой 1): x = — OA=−1/2; y = AP_2π/3 = √3/2. Тогда: sin 2π/3 = y = √3/2; cos 2π/3 = x = -1/2; tg 2π/3 = sin 2π/3 / cos 2π/3 = — √3; ctg 2π/3 = — 1/√3.◊

   Аналогично находятся значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов, градусные и радианные меры которых указаны в верхней строке таблицы 19 (с. 156).

   Укажем, что таким образом можно найти тригонометрические функции только некоторых углов. Тригонометрические функции произвольного угла обычно находят с помощью калькулятора или таблиц.

2. Тригонометрические функции числового аргумента. Введенные определения позволяют рассматривать не только тригонометрические функции углов, но и тригонометрические функции числовых аргументов, если рассматривать тригонометрические функции числа α как соответствующие тригонометрические функции угла в α радиан. То есть:

   синус числа α — это синус угла в α радиан;
   косинус числа α — это косинус угла в α радиан.

Например: sin π/6 = sin (π/6 радиан) = sin 30° = 1/2 (см. также пункт 2 табл. 7).

Таблица 19

3. Линии тангенсов и котангенсов. Для решения некоторых задач полезно иметь представление о линиях тангенсов и котангенсов.

♦ Проведем через точку P₀ единичной окружности прямую AP₀, параллельную оси Oy (рис. 65). Эта прямая называется линией тангенсов.
Пусть α — произвольное число (или угол), для которого cos α ≠ 0. Тогда точка P_α не лежит на оси Oy и прямая OP_α пересекает линию тангенсов в точке A. Поскольку прямая OP_α проходит через начало координат, то ее уравнение имеет вид y = kx. Но эта прямая проходит через точку P_α с координатами (cos α; sin α), значит, координаты точки P_α удовлетворяют уравнению прямой y = kx, то есть sin α = k cos α. Отсюда k = sin α / cos α = tg α. Следовательно, прямая OP_α имеет уравнение

y = (tg α) x. Прямая AP₀ имеет уравнение x = 1. Чтобы найти ординату точки A, достаточно в уравнение прямой OP_α подставить x = 1. Получаем y_A = tg α. Таким образом,

тангенс угла (числа) α — это ордината соответствующей точки на линии тангенсов.◊

     Аналогично вводится и понятие линии котангенсов: это прямая CB (рис. 66), которая проходит через точку C (0; 1) единичной окружности параллельно оси Ox.

     Если α — произвольное число (или угол), для которого sin α ≠ 0 (то есть точка P_α не лежит на оси Ox), то прямая OP_α пересекает линию котангенсов в некоторой точке B (x_B; 1).

   Аналогично вышеизложенному обосновывается, что x_B = ctg α, таким образом,

котангенс угла (числа) α — это абсцисса соответствующей точки на линии котангенсов.

Вопросы для контроля

1. Сформулируйте определения тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике.

2. Сформулируйте определения тригонометрических функций произвольного угла:
а) используя окружность радиуса R с центром в начале координат;
б) используя единичную окружность.

3. Что имеют в виду, когда говорят о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе числа α?

Упражнения

1°. Постройте на единичной окружности точку Pα, в которую переходит точка P₀ (1; 0) единичной окружности при повороте на угол α. В какой координатной четверти находится точка P_α в заданиях 3–6?
1) α = 3π;                      2) α = –4π;                      3) α=7π/6;

4) α=−3π/4;                   5) α=4π/3;                      6) α=7π/4.

2. Найдите значение sin α, cos α, tg α, ctg α (если они существуют) при:
1) α = 3π;                      2) α = –4π;                      3) α=−π/2;

4) α=5π/2;                     5*) α=−5π/6;                  6*) α=3π/4.

3°. Пользуясь определением синуса и косинуса, с помощью единичной окружности укажите знаки sin α и cos α, если:
1) α=6π/5;                     2) α=−π/6;                      3) α=5π/6;

4) α=−2π/3;                  5) α=π/10.

4*. Пользуясь линией тангенсов, укажите знак tg α, если:
1) α=4π/3;                    2) α=−3π/4;                     3) α=11π/6;

4) α=−7π/6;                  5) α=9π/4.

5*. Пользуясь линией котангенсов, укажите знак сtg α, если:
1) α=−4π/3;                  2) α=3π/4;                       3) α=−11π/6;

4) α=7π/6;                    5) α=−9π/4.

Приложения:

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

на главную

Как найти координаты точки

Поддержать сайт

Содержание:

В этой лекции вы узнаете, что представляют собой синус, косинус и тангенс угла

Решение треугольников

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам).

Синус, косинус и тангенс угла от 0 до 180

Понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла вам известны из курса геометрии 8 класса. Расширим эти понятия для произвольного угла где

В верхней полуплоскости координатной плоскости рассмотрим полуокружность с центром в начале координат, радиус которой равен 1 (рис. 1.1). Такую полуокружность называют единичной.

Будем говорить, что углу соответствует точка единичной полуокружности, если где точки имеют соответственно координаты (рис. 1.1). Например, на рисунке 1.1 углу, равному соответствует точка углу, равному — точка углу, равному — точка

Пусть — острый угол. Ему соответствует некоторая точка дуги единичной полуокружности (рис. 1.2). В прямоугольном треугольнике имеем:

Поскольку то

Итак, косинус и синус острого угла — это соответственно абсцисса и ордината точки единичной полуокружности, соответствующей углу

Полученный результат подсказывает, как определить синус и косинус произвольного угла где

Определение. Косинусом и синусом угла называют соответственно абсциссу и ординату точки единичной полуокружности, соответствующей углу (рис. 1.3).

Пользуясь этим определением, можно, например, установить, что

Если — произвольная точка единичной полуокружности, то Следовательно, для любого угла где имеем:

Если — тупой угол, то абсцисса точки, соответствующей этому углу, отрицательна. Следовательно, косинус тупого угла является отрицательным числом. Справедливо и такое утверждение: если — тупой или развернутый угол.

Из курса геометрии 8 класса вы знаете, что для любого острого угла а выполняются равенства:

Эти формулы остаются справедливыми также для и для (убедитесь в этом самостоятельно).

Пусть углам соответствуют точки единичной полуокружности (рис. 1.4).

Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу Отсюда Следовательно,

Убедитесь самостоятельно, что эти равенства остаются верными для

Если — острый угол, то, как вы знаете из курса геометрии 8 класса, справедливо равенство, которое называют основным тригонометрическим тождеством:

Это равенство остается верным для (убедитесь в этом самостоятельно).

Пусть — тупой угол. Тогда угол является острым. Имеем:

Следовательно, равенство выполняется для всех

Определение. Тангенсом угла где называют отношение то есть

Поскольку не определен для

Очевидно, что каждому углу соответствует единственная точка единичной полуокружности. Значит, каждому углу соответствует единственное число, которое является значением синуса (косинуса, тангенса для Поэтому зависимость значения синуса (косинуса, тангенса) от величины угла является функциональной.

Функции соответствующие этим функциональным зависимостям, называют тригонометрическими функциями угла

Пример №1

Докажите, что

Решение:

Пример №2

Найдите

Решение:

Имеем:

Теорема косинусов

Из первого признака равенства треугольников следует, что две стороны и угол между ними однозначно определяют треугольник. А значит, по указанным элементам можно, например, найти третью сторону треугольника. Как это сделать, показывает следующая теорема.

Теорема 2.1 (теорема косинусов). Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон и косинуса угла между ними.

Доказательство: Рассмотрим треугольник Докажем, например, что

Возможны три случая:

1. угол острый;
2. угол тупой;
3. угол прямой.

Первый случай. Пусть угол острый. Тогда хотя бы один из углов или является острым.

Пусть Проведем высоту Она будет полностью принадлежать треугольнику (рис. 2.1). В прямоугольном треугольнике :

В прямоугольном треугольнике

Пусть Проведем высоту треугольника из вершины Она будет полностью принадлежать треугольнику Доказательство для этого случая аналогично рассмотренному. Проведите его самостоятельно.

Второй случай. Пусть угол тупой. Проведем высоту треугольника (рис. 2.2).

В прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике BDC:

Третий случай. Пусть угол прямой (рис. 2.3). Тогда Надо доказать, что Это равенство следует из теоремы Пифагора для треугольника

Доказательство теоремы косинусов показывает, что теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов, а теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора.

Если воспользоваться обозначениями для длин сторон и величин углов треугольника (см. форзац), то, например, для стороны, длина которой равна можно записать:

С помощью теоремы косинусов, зная три стороны треугольника, можно определить, является ли он остроугольным, тупоугольным или прямоугольным.

Теорема 2.2 (следствие из теоремы косинусов). Пусть — длины сторон треугольника, причем — длина его наибольшей стороны. Если то треугольник является остроугольным. Если то треугольник является тупоугольным. Если то треугольник является прямоугольным.

Доказательство: По теореме косинусов

Отсюда

Пусть Тогда Отсюда то есть Поэтому угол острый.

Поскольку — длина наибольшей стороны треугольника, то против этой стороны лежит наибольший угол, который, как мы доказали, является острым. Следовательно, в этом случае треугольник является остроугольным.

Пусть Тогда Отсюда то есть Поэтому угол тупой. Следовательно, в этом случае треугольник является тупоугольным.

Пусть Тогда Отсюда Следовательно, В этом случае треугольник является прямоугольным. 

Пример №3

Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Решение:

На рисунке 2.4 изображен параллелограмм Пусть тогда Из треугольника по теореме косинусов получаем:

Из треугольника по теореме косинусов получаем:

Отсюда

Сложив равенства (1) и (2), получим:

Пример №4

В треугольнике сторона на 4 см больше стороны Найдите стороны

Решение:

По теореме косинусов

Пусть тогда см.

Имеем:

Корень -10 не удовлетворяет условию

Следовательно,

Ответ:

Пример №5

На стороне треугольника отметили точку так, что Найдите отрезок если

Решение:

По теореме косинусов из треугольника (рис. 2.5) получаем:

Отсюда

Поскольку то

Тогда из треугольника получаем:

Следовательно,

Ответ:

Пример №6

Две стороны треугольника равны 23 см и 30 см, а медиана, проведенная к большей из известных сторон, — 10 см. Найдите третью сторону треугольника.

Решение:

Пусть в треугольнике известно, что отрезок — медиана,

На продолжении отрезка за точку отложим отрезок равный медиане (рис. 2.6). Тогда

В четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам по условию, по построению). Следовательно, четырехугольник — параллелограмм.

Так как сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон (см. ключевую задачу 1), то

Тогда

Ответ: 11 см.

Теорема синусов

При доказательстве ряда теорем и решении многих задач применяют следующую лемму.

Лемма. Хорда окружности равна произведению диаметра и синуса любого вписанного угла, опирающегося на эту хорду.

Доказательство: На рисунке 3.1 отрезок — хорда окружности с центром в точке Проведем диаметр Тогда как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Пусть величина вписанного угла равна Тогда из прямоугольного треугольника получаем:

Все вписанные углы, опирающиеся на хорду равны или Следовательно, их синусы равны. Поэтому полученное равенство (1) справедливо для всех вписанных углов, опирающихся на хорду

Из второго признака равенства треугольников следует, что сторона

и два прилежащих к ней угла однозначно определяют треугольник. Следовательно, по указанным элементам можно найти две другие стороны треугольника. Как это сделать, подсказывает следующая теорема.

Теорема 3.1 (теорема синусов). Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство: Пусть в треугольнике известно, что Докажем, что

Пусть радиус описанной окружности треугольника равен Тогда согласно лемме Отсюда

Следствие. Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле

где — длина стороны треугольника, — величина противолежащего этой стороне угла.

Пример №7

В треугольнике известно, что см, Найдите угол

Решение:

По теореме синусов

Тогда

Поскольку Следовательно, угол — острый.

Отсюда, учитывая, что получаем:

Ответ:

Пример №8

В треугольнике известно, что Найдите угол

Решение:

По теореме синусов Тогда

Поскольку Тогда угол может быть как острым, так и тупым. Отсюда

Ответ:

Пример №9

На стороне треугольника отметили точку так, что (рис. 3.2). Найдите отрезок если

Решение:

Угол — внешний угол треугольника Тогда отсюда

Из треугольника по теореме синусов получаем:

Следовательно,

Из треугольника по теореме синусов получаем:

Следовательно,

Ответ:

Пример №10

Отрезок — биссектриса треугольника (рис. 3.3). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника если радиус окружности, описанной около треугольника равен см.

Решение:

Пусть — радиус окружности, описанной около треугольника

Поскольку отрезок — биссектриса треугольника, то

Из треугольника получаем:

По следствию из теоремы синусов Отсюда

Из треугольника получаем:

Пусть — искомый радиус окружности, описанной около треугольника

Тогда отсюда

Ответ:

Как решать треугольников

Решить треугольник — это значит найти неизвестные его стороны и углы по известным сторонам и углам

Теоремы косинусов и синусов позволяют решить любой треугольник.

В следующих задачах значения тригонометрических функций будем находить с помощью калькулятора и округлять эти значения до сотых. Величины углов будем находить с помощью калькулятора и округлять эти значения до единиц. Вычисляя длины сторон, результат будем округлять до десятых.

Пример №11

Решите треугольник (рис. 4.1) по стороне см и двум углам

Решение:

Используя теорему о сумме углов треугольника, получаем:

По теореме синусов

Отсюда

Имеем:

Вновь применяя теорему синусов, запишем:

Отсюда

Имеем:

Ответ:

Пример №12

Решите треугольник по двум сторонам см, см и углу между ними.

Решение:

По теореме косинусов

Отсюда

Далее имеем:

Отсюда

Используя теорему о сумме углов треугольника, получаем:

Ответ:

Пример №13

Решите треугольник по трем сторонам см,

Решение:

По теореме косинусов Отсюда

Получаем:

Пo теореме синусов Отсюда

Поскольку — длина наименьшей стороны данного треугольника, то угол является острым. Тогда находим, что Используя теорему о сумме углов треугольника, получаем:

Ответ:

Пример №14

Решите треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему одной из сторон:

Решение:

1) По теореме синусов

Отсюда

Поскольку угол данного треугольника тупой, то угол является острым. Тогда находим, что

Используя теорему о сумме углов треугольника, получаем:

По теореме синусов

Отсюда

Ответ:

2) По теореме синусов

Отсюда что невозможно.

Ответ: задача не имеет решения.

3) По теореме синусов Отсюда

Возможны два случая: или

Рассмотрим случай, когда

Используя теорему о сумме углов треугольника, получаем:

Пo теореме синусов

Отсюда (см).

Рассмотрим случай, когда

Используя теорему о сумме углов треугольника, получаем:

Поскольку (см)

Ответ:

Тригонометрия наука об измерении треугольников

Вы знаете, что древние путешественники ориентировались по звездам и планетам. Они могли достаточно точно определить положение корабля в океане или каравана в пустыне по расположению светил на небосклоне. При этом одним из ориентиров служила высота, на которую поднималось над горизонтом то или иное небесное светило в данной местности в данный момент времени.

Понятно, что непосредственно измерить эту высоту невозможно. Поэтому ученые стали разрабатывать методы косвенных измерений. Здесь существенную роль играло решение треугольника, две вершины которого лежали на поверхности Земли, а третья являлась звездой (рис. 4.3) — знакомая вам задача 3.17.

Для решения подобных задач древним астрономам необходимо было научиться находить взаимосвязи между элементами треугольника. Так возникла тригонометрия — наука, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника. Термин «тригонометрия» (от греческих слов «тригонон» — треугольник и «метрео» — измерять) означает «измерение треугольников».

На рисунке 4.4 изображен центральный угол равный Из прямоугольного треугольника имеем: Следовательно, если в единичной окружности измерить половины длин хорд, на которые опираются центральные углы с величинами то тем самым мы можем вычислить значения синусов углов соответственно.

Измеряя длины полухорд, древнегреческий астроном Гиппарх (II в. до н. э.) составил первые тригонометрические таблицы.

Понятия синуса и косинуса появляются в тригонометрических трактатах индийских ученых в IV-V вв. н. э. В X в. арабские ученые оперировали понятием тангенса, которое возникло из потребностей гномоники — учения о солнечных часах (рис. 4.5).

В Европе первой работой, в которой тригонометрия рассматривалась как отдельная наука, был трактат «Пять книг о треугольниках всех видов», впервые напечатанный в 1533 г. Его автором был немецкий ученый Региомонтан (1436-1476). Этот же ученый открыл и теорему тангенсов:

где — длины сторон треугольника, — величины углов треугольника, противолежащих соответственно сторонам с длинами

Современный вид тригонометрия приобрела в работах великого математика Леонарда Эйлера.

Леонард Эйлер

(1707-1783) Выдающийся математик, физик, механик и астроном, автор более 860 научных работ. Член Петербургской, Берлинской, Парижской академий наук, Лондонского королевского общества, многих других академий и научных обществ. Имя Эйлера встречается почти во всех областях математики: теоремы Эйлера, тождества Эйлера, углы, функции, интегралы, формулы, уравнения, подстановки и т. д.

Формулы для нахождения площади треугольника

Из курса геометрии 8 класса вы знаете, что площадь треугольника со сторонами и высотами можно вычислить по формулам

Теперь у нас появилась возможность получить еще несколько формул для нахождения площади треугольника.

Теорема 5.1. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними.

Доказательство: Рассмотрим треугольник площадь которого равна такой, что Докажем, что

Возможны три случая:

1. угол острый (рис. 5.1);
2. угол тупой (рис. 5.2);
3. угол прямой.

На рисунках 5.1 и 5.2 проведем высоту треугольника

Тогда

Из прямоугольного треугольника в первом случае (см. рис. 5.1) получаем: а во втором (см. рис. 5.2): Отсюда для двух первых случаев имеем:

Если угол прямой, то Для прямоугольного треугольника с катетами имеем:

Теорема 5.2 (формула Герона — Площадь треугольника со сторонами можно вычислить по формуле

где — его полупериметр.

Доказательство: Рассмотрим треугольник площадь которого равна такой, что Докажем, что

Пусть Запишем формулу площади треугольника:

Отсюда

По теореме косинусов Тогда

Поскольку то:

Отсюда

Теорема 5.3. Площадь треугольника со сторонами и можно вычислить по формуле

где — радиус окружности, описанной около треугольника.

Доказательство: Рассмотрим треугольник площадь которого равна такой, что Докажем, что — радиус описанной окружности треугольника.

Пусть Запишем формулу площади треугольника:

Из леммы п. 3 следует, что

Тогда

Заметим, что доказанная теорема позволяет находить радиус описанной окружности треугольника по формуле

Теорема 5.4. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра и радиуса вписанной окружности.

Доказательство: На рисунке 5.3 изображен треугольник в который вписана окружность радиуса Докажем, что

где — площадь данного треугольника, — его полупериметр.

Пусть точка — центр вписанной окружности, которая касается сторон треугольника в точках Площадь треугольника равна сумме площадей треугольников

Проведем радиусы в точки касания. Получаем: Отсюда:

Следовательно,

Теорему 5.4 обобщает следующая теорема.

Теорема 5.5. Площадь описанного многоугольника равна произведению его полупериметра и радиуса вписанной окружности.

Докажите эту теорему самостоятельно (рис. 5.4).

Заметим, что теорема 5.5 позволяет находить радиус вписанной окружности многоугольника по формуле

Пример №15

Докажите, что площадь параллелограмма можно вычислить по формуле

где — длины соседних сторон параллелограмма, — угол между ними.

Решение:

Рассмотрим параллелограмм в котором (рис. 5.5). Проведем диагональ Поскольку то запишем:

Пример №16

Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей и синуса угла между ними.

Решение:

Пусть угол между диагоналями четырехугольника равен На рисунке 5.6 Тогда Имеем:

Пример №17

Стороны треугольника равны 17 см, 65 см и 80 см. Найдите наименьшую высоту треугольника, радиусы его вписанной и описанной окружностей.

Решение:

Пусть

Найдем полупериметр треугольника:

Площадь треугольника вычислим по формуле Герона:

Наименьшей высотой треугольника является высота, проведенная к его наибольшей стороне, длина которой равна

Поскольку

Радиус вписанной окружности

Радиус описанной окружности

Ответ:

Вневписанная окружность треугольника

Проведем биссектрисы двух внешних углов с вершинами треугольника (рис. 5.8). Пусть — точка пересечения этих биссектрис. Тогда точка равноудалена от прямых

Проведем три перпендикуляра: Очевидно, что Следовательно, существует окружность с центром в точке которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Такую окружность называют вневписанной окружностью треугольника (рис. 5.8).

Поскольку то точка принадлежит биссектрисе угла

Любой треугольник имеет три вневписанные окружности. На рисунке 5.9 их центры обозначены Радиусы этих окружностей обозначим соответственно

По свойству касательных, проведенных к окружности через одну точку, имеем: (рис. 5.8). Тогда Следовательно, периметр треугольника равен сумме Однако Тогда где — полупериметр треугольника

Имеем:

Отсюда где — площадь треугольника

Аналогично можно показать, что

Справочный материал

Косинус и синус

Косинусом и синусом угла которому соответствует точка единичной полуокружности, называют соответственно абсциссу и ординату точки

Тангенс

Тангенсом угла называют отношение

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон и косинуса угла между ними:

Следствие из теоремы косинусов

Пусть — длины сторон треугольника, причем — длина его наибольшей стороны. Если то треугольник является остроугольным. Если то треугольник является тупоугольным. Если то треугольник является прямоугольным.

Лемма о хорде окружности

Хорда окружности равна произведению диаметра и синуса любого вписанного угла, опирающегося на эту хорду.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

Формулы для нахождения площади треугольника

Формула Герона:

Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника

Площадь многоугольника, описанного около окружности

Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его полупериметра и радиуса вписанной окружности.