Как найти омегу электротехника

В таблице представлены основные расчетные формулы по электротехнике для расчета тока, напряжения, сопротивления, мощности и других парметров электрических схем.

Период, частота, амплитуда и фаза переменного тока

Период и частота переменного тока

Время, в течение которого совершается одно полное изме­нение ЭДС, то есть один цикл колебания или один полный оборот радиуса-вектора, называется периодом колебания пере­менного тока (рисунок 1).

Рисунок 1. Период и амплитуда синусоидального колебания. Период — время одного колебания; Аплитуда — его наибольшее мгновенное значение.

Период выражают в секундах и обозначают буквой Т.

Так же используются более мелкие единицы измерения периода это миллисекунда (мс)- одна тысячная секунды и микросекунда (мкс)- одна миллионная секунды.

1 мс =0,001сек =10^-3сек.

1 мкс=0,001 мс = 0,000001сек =10^-6сек.

1000 мкс = 1 мс.

Число полных изменений ЭДС или число оборотов ради­уса-вектора, то есть иначе говоря, число полных циклов колеба­ний, совершаемых переменным током в течение одной секунды, называется частотой колебаний переменного тока.

Частота обо­значается буквой f и выражается в периодах в секунду или в герцах.

Одна тысяча герц называется килогерцом (кГц), а миллион герц — мегагерцом (МГц). Существует так же единица гигагерц (ГГц) равная одной тысячи мегагерц.

1000 Гц = 10³ Гц = 1 кГц;

1000 000 Гц = 10⁶ Гц = 1000 кГц = 1 МГц;

1000 000 000 Гц = 10⁹ Гц = 1000 000 кГц = 1000 МГц = 1 ГГц;

Чем быстрее происходит изменение ЭДС, то есть чем бы­стрее вращается радиус-вектор, тем меньше период колебания Чем быстрее вращается радиус-вектор, тем выше частота. Таким образом, частота и период переменного тока являются величинами, обратно пропорциональными друг другу. Чем больше одна из них, тем меньше другая.

Математическая связь между периодом и частотой переменного тока и напряжения выра­жается формулами

Например, если частота тока равна 50 Гц, то период будет равен:

Т = 1/f = 1/50 = 0,02 сек.

И наоборот, если известно, что период тока равен 0,02 сек, (T=0,02 сек.), то частота будет равна:

f = 1/T=1/0,02 = 100/2 = 50 Гц

Частота переменного тока, используемого для освещения и промышленных целей, как раз и равна 50 Гц.

Частоты от 20 до 20 000 Гц называются звуковыми часто­тами. Токи в антеннах радиостанций колеблются с частотами до 1 500 000 000 Гц или, иначе говоря, до 1 500 МГц или 1,5 ГГц. Такие вы­сокие частоты называются радиочастотами или колебаниями высокой частоты.

Наконец, токи в антеннах радиолокационных станций, станций спутниковой связи, других спецсистем (например ГЛАНАСС, GPS) колеблются с частотами до 40 000 МГц (40 ГГц) и выше.

Амплитуда переменного тока

Наибольшее значение, которого достигает ЭДС или сила тока за один период, называется амплитудой ЭДС или силы переменного тока. Легко заметить, что амплитуда в масштабе равна длине радиуса-вектора. Амплитуды тока, ЭДС и напряжения обозначаются соответственно бук­вами Im, Em и Um (рисунок 1).

Угловая (циклическая) частота переменного тока.

Скорость вращения радиуса-вектора, т. е. изменение ве­личины угла поворота в течение одной секунды, называется угловой (циклической) частотой переменного тока и обозначается греческой буквой ? (оме­га). Угол поворота радиуса-вектора в любой данный момент относительно его начального положения измеряется обычно не в градусах, а в особых единицах — радианах.

Радианом называется угловая величина дуги окружности, длина которой равна радиусу этой окружности (рисунок 2). Вся окружность, составляющая 360°, равна 6,28 радиан, то есть 2.

Рисунок 2. Радиан.

Тогда,

1рад = 360°/2

Следовательно, конец радиуса-вектора в течение одного периода пробегают путь, равный 6,28 радиан (2). Так как в тече­ние одной секунды радиус-вектор совершает число оборотов, равное частоте переменного тока f, то за одну секунду его ко­нец пробегает путь, равный 6,28 * f радиан. Это выражение, характеризующее скорость вращения радиуса-вектора, и будет угловой частотой переменного тока — ?.

Итак,

?= 6,28*f = 2f

Фаза переменного тока.

Угол поворота радиуса-вектора в любое данное мгновение относительно его начального положения называется фазой переменного тока. Фаза характеризует величину ЭДС (или тока) в данное мгновение или, как говорят, мгновенное значение ЭДС, ее направление в цепи и направление ее изменения; фаза пока­зывает, убывает ли ЭДС или возрастает.

Рисунок 3. Фаза переменного тока.

Полный оборот радиуса-вектора равен 360°. С началом но­вого оборота радиуса-вектора изменение ЭДС происходит в том же порядке, что и в течение первого оборота. Следова­тельно, все фазы ЭДС будут повторяться в прежнем поряд­ке. Например, фаза ЭДС при повороте радиуса-вектора на угол в 370° будет такой же, как и при повороте на 10°. В обо­их этих случаях радиус-вектор занимает одинаковое положе­ние, и, следовательно, мгновенные значения ЭДС будут в обоих этих случаях одинаковыми по фазе.

Синусоидальный
ток и основные характеризующие его
величины.

Синусоидальный
ток представляет собой ток, изменяющийся
во времени по синусоидальному закону
(рис. 3.1):

Максимальное
значение функции называют амплитудой.
Амплитуду тока обозначают .
Период Т — это время, за которое
совершается одно полное колебание.

Частота
равна числу колебаний в 1 с (единица
частоты  —
герц (Гц) или 

Угловая
частота (единица угловой частоты —
рад/с или )

Аргумент
синуса, т. е.  называют
фазой. Фаза характеризует состояние
колебания (числовое значение) в данный
момент времени 

Любая
синусоидально изменяющаяся функция
определяется тремя величинами: амплитудой,
угловой частотой и начальной фазой.

В
странах СНГ и Западной Европе наибольшее
распространение получили установки
синусоидального тока частотой 50 Гц,
принятой в энергетике за стандартную.
В США стандартной является частота 60
Гц. Диапазон частот практически
применяемых синусоидальных токов очень
широк: от долей герца, например в
геологоразведке, до миллиардов герц в
радиотехнике.

Синусоидальные
токи и ЭДС сравнительно низких частот
(до нескольких килогерц) получают с
помощью синхронных генераторов (их
изучают в курсе электрических машин).
Синусоидальные токи и ЭДС высоких частот
получают с помощью ламповых или
полупроводниковых генераторов (подробно
рассматриваемых в курсе радиотехники
и менее подробно — в курсе ТОЭ).

Рис.
3.1

Источник
синусоидальной ЭДС и источник
синусоидального тока обозначают на
электрических схемах так же, как и
источники постоянной ЭДС и тока, но
обозначают их  и 

Синусоидальный
ток

Синусоидальный
ток представляет собой функцию времени.
То есть в отличие от постоянного тока
его значение меняется с течением времени.
Основными характеристиками синусоидального
тока являются. Амплитуда частота и
начальная фаза.

 Частота f это
количество колебаний в единицу времени.
За единицу времени в системе СИ принимается
одна секунда. Таким образом, количество
колебаний за секунду это и есть частота
синусоидального тока. И измеряется она
в Герцах. Названа в честь ученого Герца.
Величина обратная частоте называется
периодом колебания T=1/f.
Период измеряется в секундах. Определение
периода звучит так период это время
полного колебания. Если представить
себе маятник часов то период это время
за которое он совершит движение из
одного крайнего положения в другое и
обратно.

 Амплитуда
синусоидального тока это максимальное
значение тока, которое он достигает за
период колебания. Опять же если
рассматривать на примере маятника, то
амплитуда это расстояние от положения
равновесия до одного из крайних положений.

 Начальная
фаза синусоидального тока это то время,
на которое отстает либо опережает
синусоида начальный момент времени.
Представим две синусоиды одна, из которых
начинается условно в нуле а другая в 1.
То можно сказать, что вторая синусоида
отстаёт по фазе от первой. Если обе
синусоиды начинаются в одной точке то
можно сказать что они синфазные, то есть
имеют одну фазу. При этом они обе могут
отставать от начального момента времени
на одну и ту же величину, то есть иметь
одинаковую начальную фазу.

Рисунок
1  — Графическое представление
синусоидального тока

 Математически
синусоидальный ток описывается
уравнением:

i=Im*sin(wt+j)

где

   i    
мгновенное значение тока это величина
тока в определенный момент времени с
учетом частоты и начальной фазы тока.

   Im   
амплитуда тока.

   j начальная
фаза  

   w    
угловая частота выражается как 

Содержание:

Однофазные электрические цепи переменного тока:

Для получения, передачи и распределения электрической энергии применяются в основном устройства переменного тока: генераторы, трансформаторы, линии электропередачи и распределительные цепи переменного тока.

Постоянный ток, необходимый в некоторых областях народного хозяйства (транспорт, связь, электрохимия и др.), получают выпрямлением переменного тока.

Переменным электрическим током называют ток, периодически изменяющийся по величине и направлению.

Основное достоинство переменного тока заключается в возможности трансформировать напряжение. Кроме того, электрические машины переменного тока надежней в работе, проще по устройству и эксплуатации.

Говоря о переменном токе, обычно имеют в виду синусоидальный переменный ток, т. е. ток, изменяющийся по синусоидальному закону. При синусоидальном токе ЭДС электромагнитной индукции, самоиндукции и взаимоиндукции изменяются по синусоидальному закону.

Синусоидальный переменный ток проходит в замкнутой линейной электрической цепи под действием синусоидальной ЭДС.

Рассмотрим получение синусоидальной ЭДС. Если в однородном магнитном поле с индукцией В равномерно со скоростью V вращается рамка (рис. 10.1), то в каждой активной стороне этой рамки длиной

где а — угол, под которым активный проводник рамки пересекает магнитное поле (угол между ), или угол поворота рамки относительно нейтральной плоскости как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.

Плоскость называется нейтральной, т. к. ЭДС в рамке, расположенной в этой плоскости, равна нулю (а = 0, следовательно, sin а = 0).

как — величина постоянная по условию, то е пропорциональна sin а, т. е. ЭДС в этой рамке, при вращении ее вокруг оси изменяется по синусоидальному закону. Если к этой рамке включить нагрузку (потребитель), то в замкнутой цепи (рис. 10.1) идет ток, который, как и ЭДС, изменяется по синусоидальному ну. Поэтому такой ток и называется синусоидальным.

Синусоидальная ЭДС изображена на графике рис. 10.2. график принято называть «волновая диаграмма». (Если изменяющаяся величина изображена в зависимости от времени то ее называют «временная диаграмма».) На этой диаграмме синусоида ограничивает величины ЭДС (ординаты) при раз-личных углах поворота рамки относительно нейтральной плоскости NN». Как видно, синусоидальная ЭДС изменяется по величине и направлению.

Величины, характеризующие синусоидальную ЭДС

Амплитуда — это максимальное значение периодически изменяющейся величины.

Обозначаются амплитуды прописными буквами с индексом m, т. е.

Нетрудно видеть (рис. 10.2), что ЭДС достигает своих амплитудных значений тогда, когда рамка повернется на угол а = 90° или на угол а = 270°, так как . Следовательно, 

Тогда 

Период — это время, в течение которого переменная величина делает полный цикл своих изменений, после чего изменения повторяются в той же последовательности.

Обозначается период буквой Т и измеряется в секундах, с (сек) т.е. = с.

Значение ЭДС через каждый период определяется следующим равенством (рис. 10.3):

где к — целое число.

На рис. 10.3 изображена временная диаграмма синусоидальной ЭДС при вращении рамки в магнитном поле.

Частота — число периодов в единицу времени, т. е. величина, обратная периоду.

Обозначается частота буквой , и измеряется в герцах (Гц):

Стандартной частотой в электрических сетях России является частота = 50 Гц. Для установок электронагрева пользуются частотами Гц ( Гц = 1 МГц — мегагерц).

При частоте =50 Гц, т.е. 50 периодов в секунду, период

Угловая частота (угловая скорость) характеризуется углом поворотом рамки в единицу времени.

Обозначается угловая частота буквой (омега):

Измеряется угловая частота в единицах радиан в секунду, так как угол измеряется в радианах (рад).

Так, время одного периода Т рамка повернется на угол 360° = рад. Следовательно, угловую частоту можно выразить следующим образом:  

Мгновенное значение — это значение переменной величины в й конкретный момент времени.

Мгновенные значения обозначаются строчными буквами..

Из выражения (10.2) следует, что угол поворота рамки , мгновенные значения синусоидальных величин можно записать так:

Таким образом, любая синусоидальная величина характеризуется амплитудой и угловой частотой, которые являются постоянными для данной синусоиды. Следовательно, по формулам (10.4) можно определить синусоидальную величину в любой конкретный момент времени t, если известны амплитуда и угловая частота.

Фаза и сдвиг фаз

Если в магнитном поле вращаются две жестко скрепленные между собой под каким-то углом одинаковые рамки (рис. 10.4а), т.е. амплитуды ЭДС и угловые частоты со их одинаковы, то мгновенное значение их ЭДС можно записать в виде

где — углы, определяющие значения синусоидальных величин в начальный момент времени (t = 0), т.е.

Поэтому эти углы называют начальными фазами синусоид.

Начальные фазы этих ЭДС различны.

Таким образом, согласно (10.5) каждая синусоидальная величина характеризуется амплитудой , угловой частотой со и начальной фазой . Для каждой синусоиды эти величины являются постоянными. В выражениях (10.4) начальные фазы синусоид равны нулю ( = 0).

Величина называется фазой синусоиды.

Разность начальных фаз двух синусоидальных величин одинаковой частоты определяет угол сдвига фаз этих величин:

При вращении против часовой стрелки (рис. 10.4а) ЭДС в первой рамке достигает амплитудного и нулевого значения раньше, чем во второй, т. е. опережает по фазе или  отстает по фазе (рис. 10.46). Угол сдвига фаз показывает, на какой угол синусоидальная величина опережает или отстает от другой, достигает своих амплитудных и нулевых значений раньше позже).

Две синусоидальные величины одинаковой частоты, достигаю-одновременно своих амплитудных (одного знака) и нулевых сечений, считаются совпадающими по фазе (рис. 10.5а).

Если две синусоиды одинаковой частоты достигают одновременно своих нулевых и амплитудных значений разных знаков (рис. 10.56), то они находятся в противофазе.

Время, на которое одна синусоидальная величина опережает и отстает от другой, характеризует время сдвига фаз , которое можно выразить через период Т и частоту синусоиды следующим образом:

Среднее и действующее значения переменного тока

Кроме амплитудных и мгновенных значений переменный ток, напряжение, ЭДС характеризуются еще средними и действующими (эффективными) значениями.

Среднее значение переменного тока

Среднее значение переменного тока равно величине такого постоянного тока, при котором через поперечное сечение провод-проходит то же количество электричества Q, что и при переменном токе.

Таким образом, среднее значение переменного тока эквивалентно постоянному току по количеству электричества Q, проходящему через поперечное сечение проводника в определенный промежуток времени.

Средние значения переменных величин обозначаются прописными буквами с индексом «с», т. е. .

Если ток изменяется по синусоидальному закону, то за половину периода через поперечное сечение проводника проходит определенное количество электричества Q в определенном направлении, а за вторую половину периода через то же сечение проходит то же количество электричества в обратном направлении. Таким образом, среднее значение синусоидального тока за период равно нулю, т. е. = 0.

Поэтому для синусоидального переменного тока определяется его среднее значение за половину периода Т/2, т. е.

Из выражения (2.1) значение переменного тока , откуда . Следовательно, среднее значение синусоидального тока  с начальной фазой = 0 за полупериод определяется (рис. 10.6) выражением 

где

Графически среднее за полупериод значение синусоидального тока равно высоте прямоугольника с основанием, равным Т/2, и площадью, равной площади, ограниченной кривой тока и осью абсцисс за половину периода (рис. 10.6).

Под средним значением переменной величины понимают постоянную составляющую этой величины.

Средние значения синусоидального напряжения и ЭДС за полупериод можно определить по аналогии с током.

Действующее значение переменного тока

Действующее (или эффективное) значение переменного тока — значение переменного тока, эквивалентное постоянному току тепловому действию.

Действующее значения переменных величин обозначается прочими буквами без индексов: I, U, Е.

Действующее значение переменного тока I равно величине такого постоянного тока, которое за время, равное одному периоду первого тока Т, выделит в том же сопротивлении R такое же количество тепла, что и переменный ток i:

Откуда действующее значение переменного тока 

Если переменный ток изменяется по синусоидальному закону с начальной фазой, равной нулю, т.е. , то действующее сечение такого синусоидального тока будет равно

Действующее значение синусоидального тока в =1 ,41 раза меньше его амплитудного значения. Так же можно определить действующие значения синусоидального напряжения и ЭДС.

Номинальные значения тока и напряжения в электрических цепей и устройствах выражаются их действующими значениями.

Так, например, стандартные напряжения электрических сетей U= 127 В или U = 220 В выражают действующие значения этих напряжений. А изоляцию необходимо рассчитывать на амплитудное значение этих напряжений, т. е.

При расчете цепей переменного тока и их исследованиях чаще всего пользуются действующими (эффективными) значениями тока, напряжения и ЭДС.

На шкалах измерительных приборов переменного тока указывается действующие значение переменного тока или напряжения.

Именно действующие значения тока, напряжения и ЭДС указываются в технической документации, если нет специальных оговорок.

Коэффициенты формы и амплитуды

Отклонения кривых тока, напряжения и ЭДС от синусоиды характеризуются коэффициентами формы  и амплитуды .

Коэффициент формы определяется отношением действующего значения переменной величины к ее среднему значению:

Коэффициент формы необходимо учитывать при проектировании и изучении выпрямительных устройств и электрических машин.

Для синусоидальных величин коэффициент формы будет равен

Коэффициент амплитуды определяется отношением амплитудного значения переменной величины к ее действующему значению: 

Для синусоидальных величин коэффициент амплитуды равен

Чем больше коэффициент формы и коэффициент амплитуды отличается от значений = 1,11 и = 1,41, тем больше рассматриваемая кривая отличается от синусоиды. Так, например, если  = 1,41, то исследуемая кривая имеет более острую форму, чем синусоида, а если < 1,41, то более тупую.

График прямоугольной формы имеет коэффициент амплитуды 1.

Векторные диаграммы

Для наглядности синусоидальные величины изображают векторами, вращающимися против часовой стрелки со скоростью, равной угловой частоте со этих синусоид. Так как эти векторы изображают синусоиды в начальный момент времени (t = 0), то они подвижны. Длина вектора в выбранном масштабе определяется амплитудой синусоиды, а угол поворота вектора против часовой стрелки относительно положительного направления оси абсцисс начальной фазе синусоиды. Таким образом, вектор учитывают все значения, характеризующие синусоидальную величину — амплитуду, угловую частоту и начальную фазу, пример, три синусоидальные ЭДС одинаковой частоты

можно изобразить векторами (рис. 10.7).

Совокупность нескольких векторов, изображающих синусоидальные величины одинаковой частоты в начальный момент времени, называется векторной диаграммой.

На векторной диаграмме (рис. 10.7) на-ю видны величины синусоид (ампли-), их начальные фазы и углы сдвига между ними. Очевидно, наибольшую амплитуду имеет ЭДС , а наименьшую ЭДС  ЭДС  опережает по фазе  угол 45°, а ЭДС отстает от ЭДС по фазе на угол 105° и т. д. Начало отсчета времени можно выбирать произвольно, т. е. один из векторов векторной диаграммы направляется произвольно, а остальные векторы (соответствующих длин) изображаются отношению к нему под углами, равными углам сдвига фаз между ними (рис. 10.8). При указанном ЭДС могут быть записаны так:

При этом амплитуды ЭДС и углы сдвига фаз остаются неизменными (как и угловая частота), а меняются только начальные фазы синусоид, изображенных на векторной диаграмме (рис. 10.7). В расчетах, если специально не оговорено, начальные фазы не играют роли.

Сложение синусоидальных величин

Сложение и вычитание синусоидальных величин одинаковой частоты можно осуществлять аналитически и графически. В результате такого сложения (вычисления) получается синусоида с той же частотой, с определенной амплитудой и определенной начальной фазой.

Аналитическое сложение предусматривает сложение мгновенных значений синусоидальных величин, выраженных аналитически, т. е.

где

Тогда

Математический анализ позволяет определить суммарную ЭДС е и ее аналитическое выражение.

Графическое сложение можно осуществлять по: 1) волновым (временном) диаграммам и 2) векторным диаграммам.

1. Графическое сложение по временным диаграммам (рис. 10.9) осуществляется следующим образом: ординаты суммарной синусоиды определяются сложением ординат слагаемых синусоид в различные моменты времени.

Как видно, в рассматриваемом примере амплитуда суммарной синусоиды не равна алгебраической сумме амплитуд слагаемых синусоид. Начальная фаза суммарной синусоиды также не является результатом арифметических действий, т.е. по временным диаграммам производятся только графические действия.

2. Графическое сложение по векторным диаграммам осуществляется в следующей последовательности. Прежде всего необходимо построить векторную диаграмму слагаемых синусоидальных величин (рис. 10.10а).

Определение вектора, изображающего суммарную синусоиду, осуществляется сложением векторов слагаемых синусоид по правилу многоугольника, т. е. из какой-либо точки О изображают вектор, соответствующий первой слагаемой синусоиде 10.106), из конца этого вектора изображают вектор, соответствующий второй слагаемой синусоиде, и т.д.

Вектор, соответствующий суммарной синусоиде, проводят из и О к концу последней слагаемой синусоиды.

Тот вектор (рис. 10.106), в масштабе изображения слагаемых синусоид, соответствует амплитуде суммарной синусоиды . Угол поворота этого вектора против часовой стрелки относительно положительного направления оси абсцисс соответствует положительному значению начальной фазы суммарной синусоиды, угловая частота суммарной синусоиды равна частоте слагаемых синусоид.

Вычитание синусоидальной величины равносильно умножение этой величины на отрицательную единицу (—1), что соответствует повороту вектора этой величины на 180″ (рис. 10.10 в).

Сложение и вычитание синусоидальных величин по векторный диаграммам рассматривается в примере 10.1.

Пример 10.1

Заданы мгновенные значения четырех токов:

Определить:

1)суммарный ток при условии

2)суммарный ток при условии

3)частоту f всех синусоид.

Решение

Для построения векторной диаграммы слагаемых токов задаются определенным масштабом токов (например, = 1 А/см). В этом масштабе построена векторная диаграмма токов на рис. 10.10а.

1. Для определения суммарного тока производится сложение векторов по правилу многоугольника (рис. 10.106). Суммарный ток в результате сложения будет равен . Амплитуда суммарного тока = 1,5 А определена из многоугольника в выбранном масштабе, а начальная фаза его измерена транспортиром = 90°.

2. Построение многоугольника для заданного условия показано на рис. 10.10в. Из многоугольника определяется результирующий ток

3. Частота слагаемых и результирующих токов будет равна

В заключение можно сделать вывод, что самым удобным и, следовательно, распространенным методом сложения синусоидальных величин является метод графического сложения по векторным диаграммам. Этот метод и будет использован при расчете электрических цепей однофазного и трехфазного тока, изменяющегося по синусоидальному закону.

Так как действующие значения синусоидальных величин пропорциональны их амплитудным значениям (см. (10.9)), то вектор, отражающий в определенном масштабе амплитудное значение, в этом масштабе представляет действующее значение той же вены. Исходя из этого, в дальнейшем на векторных диаграммах будут изображаться векторы, в определенном масштабе представляющие не амплитудное, а действующее значение синусоидальной вены, которое чаще всего используется при расчетах цепей переменного тока.