Как найти одну грань треугольника

Треугольник

Треугольник является базовой фигурой геометрии, встречающейся повсеместно. Расчет всех геометрических фигур и тел основаны на наличии в них тех или иных треугольников, благодаря чему становится возможным применить множество теорем и формул, несвойственных конкретным фигурам по отдельности. Равносторонние треугольники, равнобедренные треугольники и прямоугольные треугольники составляют каркас решения геометрических задач, и обладая множеством дополнительных построений внутри треугольника, они предоставляют огромное количество значений тех или иных длин. Все биссектрисы, медианы, высоты, радиусы окружностей, вписанных или описанных около таких треугольников, можно рассчитать в этом разделе через геометрический калькулятор. Для этого необходимо ввести любые имеющиеся вводные данные, и калькулятор выдаст не только значения всех остальных параметров треугольника, но и объяснит преобразования формул, использованные для этих расчетов.

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

• для гипотенузы (с):
  • длины катетов a и b
  • длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
  • длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
• для катета:
  • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
  • длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
  • длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
  • длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
  • длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

следовательно: c = √ a² + b²

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:

c = √ 3² + 4² = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 см

Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:

c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:

c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по двум углам

Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.

Найти катет

Найти катет по гипотенузе и катету

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:

a = √ 5² — 4² = √ 25 — 16 = √ 9 = 3 см

Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:

b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см

Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:

a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см

Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:

b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см

Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

1. Три стороны треугольника.
2. Две стороны треугольника и угол между ними.
3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .

(1)

(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

.

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

И, наконец, находим угол C:

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

.

.

Далее, из формулы

.

.

(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

.

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

,

Из формулы (3) найдем cosA:

.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

.

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Калькулятор длин сторон треугольника онлайн умеет вычислять длину сторон 14 способами.
Калькулятор может:

1. Найти все стороны треугольника.
2. Найти все углы треугольника.
3. Найти площадь (S) и периметр (P) треугольника.
4. Найти радиус (r) вписанной окружности.
5. Найти радиус (R) описанной окружности.
6. Найти высоту (h) треугольника.

Просто введите любые имеюшиеся данные и, если их достаточно, то калькулятор сам подберет нужные формулы для вычислений и покажет подробный расчет с выводом формул.
 

Сторона треугольника (или длина сторон) может быть найдена различными методами. 
В большинстве случаев достаточно воспользоваться одной из ниже приведенных формул. Однако не редки случаи когда для нахождения искомой стороны понадобиться обратиться к дополнительным материалам или решения в два действия.

Как найти длину стороны треугольника?

Найти длину сторон треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же длина может быть найдена самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.

Для прямоугольного треугольника:

1) Найти катет через гипотенузу и другой катет

где a и b — катеты, с — гипотенуза.

2) Найти гипотенузу по двум катетам

где a и b — катеты, с — гипотенуза.

3) Найти катет по гипотенузе и противолежащему углу

где a и b — катеты, с — гипотенуза,α° и β° — углы напротив катетов.

4) Найти гипотенузу через катет и противолежащий угол

где a и b — катеты, с — гипотенуза,α° и β°- углы напротив катетов.

Для равнобедренного треугольника:

1) Найти основание через боковые стороны и угол между ними

где a — искомое основание, b — известная боковая сторона,α° — угол между боковыми сторонами.

2) Найти основание через боковые стороны и угол при основании

где a — искомое основание,b — известная боковая сторона,β° — угол при осноавнии.

3) Найти боковые стороны по углу между ними

где b — искомая боковая сторона, a — основание,α° — угол между боковыми сторонами.

4) Найти боковые стороны по углу при основании

где b — искомая боковая сторона, a — основание,β° — угол при осноавнии.

​​​​​Для равностороннего треугольника:

1) Найти сторону через площадь

где a — искомая сторона, S — площадь треугольника.

2) Найти сторону через высоту

где a — искомая сторона,h — высота треугольника.

3) Найти сторону через радиус вписанной окружности

где a — искомая сторона,r — радиус вписанной окружности.

4) Найти сторону через радиус описанной окружности

где a — искомая сторона,R — радиус описанной окружности.

​​​​​Для произвольного треугольника:

1) Найти сторону через две известные стороны и один угол (теорема косинусов)

где a — искомая сторона, b и с — известные стороны, α° — угол напротив неизвестной стороны.

2) Найти сторону через одну известную сторону и два угла (теорема синусов)

где a — искомая сторона, b — известная сторона, α° и β° известные углы.

Скачать все формулы в формате Word

Треугольник является базовой фигурой геометрии, встречающейся повсеместно. Расчет всех геометрических фигур и тел основаны на наличии в них тех или иных треугольников, благодаря чему становится возможным применить множество теорем и формул, несвойственных конкретным фигурам по отдельности. Равносторонние треугольники, равнобедренные треугольники и прямоугольные треугольники составляют каркас решения геометрических задач, и обладая множеством дополнительных построений внутри треугольника, они предоставляют огромное количество значений тех или иных длин. Все биссектрисы, медианы, высоты, радиусы окружностей, вписанных или описанных около таких треугольников, можно рассчитать в этом разделе через геометрический калькулятор. Для этого необходимо ввести любые имеющиеся вводные данные, и калькулятор выдаст не только значения всех остальных параметров треугольника, но и объяснит преобразования формул, использованные для этих расчетов.

Общие сведения

Произвольное множество точек называют геометрической фигурой. На плоскости они соединены замкнутыми линиями, образующими контур тела. В трёхмерном пространстве многоугольник, состоящий из трёх отрезков, не принадлежащих одной прямой, носит имя треугольник. Его линии называют сторонами или боковыми гранями, а место их пересечения — вершинами.

Треугольник — замкнутое геометрическое тело, состоящее из трёх сторон и такого же количества углов. Боковые грани принято обозначать маленькими латинскими буквами. Углы на рисунке показывают маленькой дугой, а в записи — символом ∠ с указанием соответствующей вершины. Точки же пересечения линий подписывают большими буквами.

Например, если имеется треугольник ABC, у него есть углы A, B, C и стороны a, b, c. Боковые грани могут обозначать и как отрезки, тогда в их имени учитываются ограничивающие точки. Например, AB, BC, CA. Строгого требования в виде обозначений нет, но существуют негласные правила, которых всё же рекомендуется придерживаться.

Хотя определение треугольника и его элементов одинаковое, выделяют 3 класса фигур:

• остроугольный — любой из углов тела не превышает 90 градусов;
• тупоугольный — форма одного из разворотов тупоугольная;
• прямоугольный — размер одного из трёх углов составляет 90 градусов.

Кроме этого, многоугольник классифицируют по числу равных сторон. Разносторонним он считается в том случае, если все они разной длины, равнобедренным — треугольник, имеющий 2 равные стороны, а равносторонним — у которого все стороны равны. Последний в литературе может ещё называться правильным.

На основании классификационных групп треугольники можно сравнивать между собой. Они считаются подобными, если 2 угла одного соответственно равны двум углам другого, или когда 2 стороны одного пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключённые между этими сторонами, равны. Эти правила называют признаками подобия. Они особенно популярны среди физиков. Их часто используют при вычислении элементов прямоугольников, квадратов, трапеций.

Элементы треугольника

Кроме сторон и вершин, фигура имеет различные точки и линии, называемые замечательными. Такое имя они получили из-за своих свойств. Но перед тем как их перечислить, нелишним будет привести основные величины, характеризующие фигуру, способы их нахождения и теоремы.

Периметр многоугольника можно определить, сложив все стороны: P = a + b + c. Площадь треугольника находится как половина произведения двух граней, умноженных на синус угла между ними: S = (a * b * sinC) / 2. Сумма углов равна 180 градусов, при этом напротив равных сторон лежат одинаковые углы.

К замечательным линиям относят:

1. Медиану — линию, проходящую через вершину к середине противолежащей стороны. Всего в треугольнике можно провести 3 таких отрезка. Точка их пересечения является центром массы. Если считать от вершины, в ней она делится в отношении 2 к 1. Каждая медиана разделяет фигуру на 2 объекта с одинаковой площадью.
2. Биссектрису — отрезок, построенный к стороне из угла и делящий его на 2 равные части. Она делит грань на 2 замкнутые линии, пропорциональные прилежащим сторонам. Точка, в которой пересекаются биссектрисы, является началом диаметра вписанной в треугольник окружности.
3. Высоту — перпендикуляр, опущенный из угла на противоположную сторону. Все они пересекаются в одной точке.
4. Срединную линию — проходит всегда параллельно одной из граней и соединяет середины двух оставшихся сторон. 3 таких линии разделят многоугольник на 4 равных треугольника.

При измерениях используют и «особенные» точки фигуры. Если в треугольник вписать окружность, её центр совпадёт с местом скрещивания перпендикуляров. А если поместить в круг, середина будет совпадать с пересечением биссектрис. Для других замечательных линий точки их соприкосновения также имеют свои названия: ортоцентр (высот) и центроид (медиан). Первая может принадлежать как внутренней площади фигуры, так и внешней (тупоугольный треугольник).

В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса совпадают. При этом их центр является серединой как вписанной окружности, так и описанного круга. А угол, из которого построен один из таких отрезков, будет разделён на 2 одинаковых разворота равных 30 градусам.

Основные формулы

Найти любой элемент треугольника можно по специальным формулам. Чаще всего приходится искать стороны фигуры. Зная их, можно найти практически любые параметры, просто подставив в выражения значения размеров граней.

Найти длину отрезка, формирующего контур фигуры, можно, зная длины двух сторон и угла или значения двух углов и одной стороны. Для первого случая формула имеет вид a = b * sin (a) / sin (b) = b * sin (a) / sin (a + c), а второго: a = √(b² + c² — 2bc * cos (a)). Если имеется тупой угол, косинус будет отрицательный. Это необходимо учитывать при расчётах.

Это общие формулы, подходящие для любого типа треугольника. Но в то же время для прямоугольного существует своё правило, связывающее все 3 грани в одну формулу: c = √(b² + a²). Называется оно теоремой Пифагора. В равнобедренном вычислить сторону можно, зная любую другую и угол. Для основания используют равенство b = 2a * cos (a), а для равных граней: a = b / 2 * cos (a).

Из множества других существующих формул для определения различных элементов фигуры, можно указать на те, что чаще всего используются при решении примеров:

1. Высота: h = (2 / a) * √(p * (p — a) * (p — b) * (p — c)) или h = b * sin© = c * sin (b). Отрезок можно найти, зная площадь и сторону h = 2 * S / a или радиус описанной окружности: h = (b * c) / 2 * R.
2. Биссектриса: L = √(a * b * (a + b + c) * (a + b — c)) / (a + b). Формулу можно упростить, используя периметр: L = 2 * √ (a * b * P) * (P — c)) / (a + b), где P = p /2 (полупериметр).
3. Медиана: М = √(2 * a² + 2b² — c²) / 2. Линию можно определить, зная только 2 стороны и лежащий между ними угол: М = √(a² + b² — 2 * a * b * cos (с)) / 2. В прямоугольном треугольнике она равняется радиусу описанного круга или половине гипотенузы: М = R = c / 2.

Существуют и упрощённые выражения. Формула Герона позволяет высчитать площадь, используя полупериметр и длины сторон: S = √(P * (P — a) * (P — b) * (P — c)). Также величину можно определить, зная высоту и длину основания: S = (a * H) / 2.

Для нахождения элементов треугольника в 7 классе ученикам дают ещё 2 фундаментальные теоремы: косинусов и синусов. Первая сообщает, что квадрат грани фигуры равен удвоенному произведению двух сторон и косинуса угла между ними, вычтенному из сумы квадратов: a² = b² + c² — 2 * b * c * cos (a). Согласно же второй, стороны пропорциональны синусам противолежащих углов: a / sin (a) = b / sin (b) = c / sin©.

Решение примеров

Формул для вычисления элементов треугольников можно насчитать несколько десятков. Запомнить их довольно сложно, поэтому нужно выучить основные определения и выражения, а сделать это лучше всего, решая практические примеры. Вот некоторые из них:

1. В треугольнике проведено 2 высоты. Одна равняется 63 см, а другая 56 см. Найти истинный отрезок, если основание AC = 84 см, а размер медианы BK совпадает с длиной стороны BC. Так как точка K делит отрезок AC пополам, AK = KC = AC / 2 = 84 /2 = 42 см. В треугольнике BKC 2 стороны равны друг другу, согласно условию, значит, он равнобедренный. Следовательно, высота является одновременно и медианой. KH = HC = MC /2 = 42 / 2 = 21 см. Искомый отрезок будет равен: h = AK + KC = 42 + 21 = 63 см. Следовательно, правильный первый вариант.
2. Пусть дан треугольник ABC. Найти возможный отрезок BN, на который биссектриса поделит сторону BC, если AB = 6 см, BC = 7 см, AC = 8 см. Для решения понадобится вспомнить свойство биссектрисы. Из него следует, что BN / NC = AB / AC = 6 / 8. Если искомый отрезок принять за икс, будет верным равенство KC = 7 — x. Значит: x / (7 — x) = 6 / 8. Отсюда можно выразить неизвестное: x = 42 / 14 = 3 см. Теперь останется подставить найденное число и найти искомое значение: KC = 7 — 3 = 4 см.
3. Завод начал выпускать новую серию объёмных фигур. Определить, какой тип многоугольника лежит в их основании, если её стороны равны 3, 2 и √3. Чтобы найти ответ, нужно проанализировать исходные данные. Так как сумма двух меньших сторон больше третей боковой грани, в основании лежит треугольник. 3 в квадрате не равно 2² + (√3)². Следовательно, геометрическое тело непрямоугольное. По теореме косинусов можно записать: a² = b² + c² — 2 * b * c * cos (a). Исходя из того, что cos (a) = -1/ √ 3, то есть он отрицательный, можно утверждать, что разворот угла тупой. Значит, треугольник у основания тупоугольный.

Проверить правильность вычислений можно, воспользовавшись онлайн-калькуляторами. Это сервисы, предоставляющие услуги по расчёту различных математических величин. Воспользоваться ими сможет любой, даже тот, кто не знает ни одной формулы и теоремы. Всё, что требуется от пользователя — правильно ввести исходные данные в специальную форму и нажать кнопку «Рассчитать». Через несколько секунд ответ, а в некоторых случаях и решение, появится на экране.

Треугольником называется фигура, которая состоит их трех точек (вершины), которые не лежат на одной
прямой и трех попарно соединяющих эти точки отрезков (стороны). Треугольники бывают остроугольными,
тупоугольными, прямоугольными, равнобедренными, равносторонними, разносторонними. С данной фигурой
связано много формул, теорем, правил. Ниже приведены формулы и примеры по нахождению стороны
треугольника.

Сторона равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Для того чтобы найти сторону равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
необходимо ее радиус умножить на корень квадратный из трех. Таким образом, формула будет выглядеть
следующим образом:

a = R * √3

где а — сторона треугольника, R — радиус описанной окружности.

Пример. Пусть дан равносторонний треугольник с радиусом описанной окружности 10см. Подставим в
формулу и получится: a = 10*√3 = 10 * 1,732 ≈ 17,3 см.

Сторона равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Для нахождения стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности следует
использовать формулу радиуса r= a (√3 / 6). Отсюда можно вывести формулу следующим образом: a = r (6
/ √3) = r *(6√3 / √3√3) = r * (6√3 / 3). Формула будет следующая (удвоенный радиус умножить на
квадратный корень из трех):

a = 2r * √3

где а — сторона треугольника, R — радиус вписанной окружности.

Пример. Пусть дан равносторонний треугольник с радиусом вписанной окружности 23см. Подставим в
формулу и получится: a = 2 * 23 * √3 = 2 * 23 * 1,732 ≈ 79,7см.

Сторона равностороннего треугольника через высоту

Для того чтобы найти сторону равностороннего треугольника через высоту следует применить теорему
Пифагора. Сторона равностороннего треугольника a² будет равна сумме квадратов высоты и половины
основания, которое также является стороной a: a² = h² + (a/2)² ⇒ a² = h² + a²/4 ⇒ a² — a²/4
=h² ⇒ (4a² — a²) / 4 = h² ⇒ 3a²/4 = h² ⇒ a² = 4*h²/3 ⇒a = √(4h²/3). Отсюда можно вывести
формулу для нахождения стороны через высоту:

a = 2h / √3

где а — сторона, h —  высота равностороннего треугольника.

Пример. Пусть дан равносторонний треугольник с высотой 45см. Подставим в формулу и получится: a = 2 *
45 / √3 = 2 * 45 / 1,732 ≈ 51,963 см.

Сторона равностороннего треугольника через площадь

Для того чтобы найти сторону равностороннего треугольника через площадь нужно применить следующую
формулу

a = √(4S / √3)

где а — сторона, S —  площадь равностороннего треугольника.

Пример. Пусть дан равносторонний треугольник с площадью 64м². Подставим в формулу и получится: a =
√(4*64 / √3)= √(4 * 64 / 1,732) ≈ 12,157 см.

Основание равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними

Равнобедренным называется треугольник, у которого есть две равные стороны, называемые ребрами, а
третья сторона основанием. Для того чтобы найти основание нужно знать или один из углов, или высоту
треугольника, приводящаяся к основанию. Его можно вычислить по данной формуле:

a = 2b * sin (α/2)

где a — длина основания треугольника, b — длина стороны треугольника; α — это угол,
который противоположен основанию.

Пример. Если сторона a = 10 см, а ∠β = 12°, то: a = 2⋅10⋅sin 12/2 = 2⋅10⋅0,1045 =2,09 см.

Основание равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол при основании

Угол при основании равнобедренного треугольника равен разности 90º и половины угла при его вершине и
чем больше угол при вершине равнобедренного треугольника, тем он меньше. Может быть только острым,
то есть прямым или тупым он быть не может. Если известен угол при основании и боковые стороны, то
можно найти основание равнобедренного треугольника по следующей формуле:

a = 2b + cos β

где b — боковая сторона, β — угол при основании.

Пример. Если сторона a = 10 см, а ∠β = 40°, то: a = 2⋅10⋅cos 40 = 2⋅10⋅0,766 =15.32 см.

Боковая сторона равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами

В равнобедренном треугольнике углы при основании (т.е. между боковыми сторонами и основанием) равны,
из чего можно сделать вывод что если углы при основании треугольника одинаковы по значению, значит
он является равнобедренным.  Это значит, что α = β.

Формула, выражающая боковую сторону равнобедренного треугольника через основание и угол боковыми
сторонами:

b = a / (2 * sin(α/2))

где d — основание равнобедренного треугольника, α — угол между боковыми сторонами.

Пример. Если сторона a = 17 см, а ∠α = 50°, то: a = 17 / 2 * sin (50/2) = 17 / 2 * sin 25 = 20.11
см.

Боковая сторона равнобедренного треугольника через основание и угол при основании

Если известно основание и угол при нем, то формула боковой стороны равнобедренного треугольника будет
выглядеть следующим образом:

b = a / 2 * cos β

где a — это основание, β — угол при основании равнобедренного треугольника.

Здесь длина боковых сторон будет равно b: AB=BC=b, длина основания a: AC=a. Для доказательства
формулы боковой стороны применяется теорема косинусов, вернее, ее следствие.

Пример. Пусть основание (a) равно 35мм, а угол β — 60º, тогда подставив в формулу получим b =
35 / 2 * 0,5=35 мм.

Катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол

Катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол выражается данным образом: катет,
противолежащий углу α, равен произведению гипотенузы на sin α, то есть формула будет выглядеть
следующим образом:

a = c * sin α

где c — гипотенуза, α — острый угол прямоугольного треугольника.

Пример. Пусть гипотенуза с равна 77см, а острый угол 80º, тогда подставив в формулу значения получим
следующее:  a = 77 * 0,98 = 75,8см.

Катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и другой известный катет

Если известен один катет и гипотенузу, то можно найти другой катет. Для этого необходимо
воспользоваться формулой:

a = √(c² — b²)

где c — гипотенуза, b — катет который известен прямоугольного треугольника.

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а
катет b = 4 см: a = √(5² — 4)² = √(25 — 16) = √9 = 3 см

Гипотенуза прямоугольного треугольника через катет и острый угол

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему
угол можно узнать по формуле:

c = a / sin(β)

где a — катет, β — острый угол прямоугольного треугольника.

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 4 см, а
противолежащий к нему ∠β =60°: c = 4 / sin(60) = 4 / 0,87 = 8,04 см.

Гипотенуза прямоугольного треугольника через катеты

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b) можно рассчитать по
формуле используя теорему Пифагора. Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов
катетов: c² = a² + b² следовательно:

c = √(a² + b²)

где c — гипотенуза, a и b — катеты.

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет
b = 4 см: c = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5 см

Сторона треугольника через две известные стороны и угол между ними

По стороне и двум углам или по двум сторонам и углу можно тоже вычислить длину стороны
треугольника:

a = b² + c² — 2bc * cos α

где a, b, c — стороны произвольного треугольника, α — угол между сторонами который
известен.

Обязательно обратите внимание что при подстановке в формулу, для тупого угла (α>90), cosα
принимает отрицательное значение.

Пример. Пусть сторона с равна 10 см, сторона b — 7, угол α — 60 градусов. Таким образом
получим подставив в формулу:
a = 7² + 10² — 2 * 7 * 10 * cos 60 = 8,89 см.

Сторона треугольника через известную сторону и два угла

Для нахождения стороны треугольника через известную сторону и два угла необходимо воспользоваться
теоремой синусов и формула будут следующая:

a = (b * sin α) / sin β

где b — сторона треугольника; β, α — углы треугольника.

Пример. Пусть сторона треугольника b равна 10, угол β  = 30º, угол α = 35º. Тогда получим подставив в
формулу следующие значения: Сторона (a) = (10 * sin 35) / sin 30   = 8.71723 мм.