Как найти односторонний предел в точках разрыва

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Функция f(x) называется непрерывной в точке х = а если:
1) она определена в этой точке;
2) существует предел функции в этой точке

3) значение предела равно значению функции в точке х = а, т.е.

Если одно из условий нарушается то функция называется разрывной в точке х = а, а сама точка х = а называется точкой разрыва. Все элементарные функции являются непрерывными на интервалах определенности.

Классификация точек разрыва

Точка х0 называется точкой разрыва первого рода функции у = f(x) если существуют конечные односторонние пределы справа

и слева
.

Если, кроме этого, выполняется хотя бы одно из условий

то функция в точке х = а имеет неустранимый разрыв первого рода.

Если пределы равны, однако функция не существует

то имеем устранимый разрыв первого рода.

Точка х0 называется точкой разрыва второго рода функции у= f(x) если граница справа или слева не существует или бесконечна.

Скачком функции в точке разрыва х = х0 называется разность ее односторонних границ

если они разные и не равны бесконечности.

При нахождении точек разрыва функции можно руководствоваться следующими правилами:

1) элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках, но не может быть разрывной на определенном интервале.
2) элементарная функция может иметь разрыв в точке где она не определена при условии, что она будет определена хотя бы с одной стороны от этой точки.
3) Неэлементарные функция может иметь разрывы как в точках где она определена, так и в тех где она определена.
Например, если функция задана несколькими различными аналитическими выражениями (формулами) для различных интервалов, то на границе стыка может быть разрывной.

Рассмотрим несколько задач по данной теме.

Задача 1.
Найти точки разрыва функции
а)

Решение:
Функция определена во всех точках кроме тех где знаменатель обращается в нуль x = 1, x = 1. Область определения функции следующая

Найдем односторонние пределы в точках разрыва

При нахождении односторонних границ подобного вида достаточно убедиться в знаке функции и в том, что знаменатель стремится к нулю. В результате получим границу равную бесконечности или минус бесконечности.

Поскольку в точках x = 1, x = -1 функция имеет бесконечные односторонние пределы, то аргументы являются точками разрыва второго рода. График функции приведен на рисунке ниже

——————————————————-

б)

Решение:
Задача достаточно простая. В первую очередь находим нули знаменателя

Таким образом функция определена на всей действительной оси за исключением точек , которые являются точками разрыва. Вычислим односторонние пределы справа и слева

Пределы бесконечны поэтому, по определению, имеем точки разрыва второго рода.

Из графиков приведенных функций видим что для ряда из них отыскания точек разрыва сводится до нахождения вертикальных асимптот. Но бывают функции которые и без вертикальных асимптот имеют разрывы первого или второго рода.

——————————————————-

в)

Решение:
Заданная функция непрерывна на всей числовой оси кроме точки x = -3. Вычислим односторонние границы в этой точке

Они различаются по значениям, однако есть конечными. Итак точка x = -3 является неустранимой точкой разрыва І рода.

——————————————————-

Задача 2.
Найти точки разрыва функции если они существуют. Вычислить скачок функции в точке разрыва. Построить график функции.

а)

Решение:
Для заданной функции точка x = 2 является точкой разрыва. Найдем предел функции , чтобы определить характер разрыва

По определению, точка x = 2 является неустранимой точкой разрыва первого рода. Вычислим скачок функции при x=2

График функции на интервале который нас интересует приведен далее

——————————————————-

б)

Решение:
Неэлементарная функция y (x) определена для всех положительных значений аргумента. Точки которые разбивают функцию на интервалы могут быть разрывами. Для проверки найдем соответствующие пределы

Поскольку предел функции в точке x = 2 равен значению функции в этой точке то функция — непрерывная.

Отсюда также следует, что для непрерывной функции скачок равен 6-6 = 0.

Исследуем на непрерывность вторую точку

По определению функция в точке x = 2 имеет неустранимый разрыв І рода.

Прыжок функции равен 29 — (- 3) = 31.

По условию задания построим график функции.

Из приведенного материала Вы должны научиться находить разрывы первого и второго рода, а также различать их. Для этого подобрано немного примеров, которые в полной мере раскрывают все важные вопросы темы. Все остальное сводится к нахождению простых односторонних пределов и не должно быть для Вас сложным.

Непрерывность функции в точке

30 декабря 2021

В этом уроке мы выясним, что такое непрерывность функции в точке, непрерывность на множестве; познакомимся с основными свойствами таких функций; научимся искать точки разрыва и решим множество интересных задач.

Содержание:

1. Интуитивное определение непрерывности
2. Непрерывность функции в точке
3. Непрерывность функции на множестве
4. Точки разрыва

Поначалу теория будет совсем простой, но затем выкладки и задачи начнут быстро усложняться. И чем глубже вы хотите разобраться в математике, тем больше пользы получите от этого урока.

1. Интуитивное определение непрерывности

Большинство студентов, когда слышат термин «непрерывная функция», представляют себе линию, которую можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги. Например, обычную параболу:

Или просто какую-нибудь плавную кривую:

Главное, чтобы у этих линий не было никаких особенностей. Они не «разваливаются» на куски, не «улетают» в бесконечность рядом с какой-то точкой, и вообще для любого $x$ мы прямо по графику можем определить, чему будет равен $y$.

Другое дело — функции с нарушением непрерывности. Или, как говорят, с точками разрыва. Обычно студенты сразу называют функцию $y={1}/{{{x}^{2}}};$ — классическую гиперболу, которая не определена в точке $x=0$, а график «улетает» в бесконечность в окрестности этой точки:

Впрочем, для возникновения разрыва функции вовсе не обязательно уходить куда-то в бесконечность. Достаточно просто иметь выколотую точку. Взгляните:

Перед нами всё та же парабола $y={{x}^{2}}$, но с выколотой точкой $x=-2$. Как такое возможно? Очень просто. Например, именно так выглядит график функции

[y=frac{{{x}^{2}}left( x+2 right)}{x+2}]

Значение этой функции не определено при $x=-2$, поскольку знаменатель дроби обращается в ноль. Но во всех остальных точках знаменатель $x+2ne 0$, и можно выполнить сокращение:

[y=frac{{{x}^{2}}left( x+2 right)}{x+2}={{x}^{2}}quad left( xne -2 right)]

И это не какая-то «искусственная» задача — такие функции регулярно встречаются на ОГЭ и ЕГЭ по математике, особенно в задачах с параметром.

Но и это ещё не всё. Функция может быть определена на всей числовой прямой — и всё равно иметь точку разрыва:

Это график кусочно-заданной функции

[fleft( x right)=left{ begin{align} & 1, & x gt 0 \ & 0, & x=0 \ & -1, & x lt 0 \ end{align} right.]

Она определена для всех $xin mathbb{R}$, в т.ч. при $x=0$. Однако именно в точке $x=0$ происходит скачкообразное изменение: $fleft( 0 right)=0$, но малейший шаг влево — и вот уже $fleft( x right)=-1$. А малейший шаг вправо — и $fleft( x right)=1$.

Итого проблемы возникают там, где функция «улетает» в бесконечность, либо меняется скачкообразно, либо вообще не определена. И тут мы переходим к строгому определению непрерывности.

2. Непрерывность функции в точке

Определение 1. Функция $fleft( x right)$ называется непрерывной в точке ${{x}_{0}}$, если она определена в этой точке и имеет предел, равный значению функции в этой точке:

[limlimits_{xto {{x}_{0}}} fleft( x right)=fleft( {{x}_{0}} right)]

На практике удобно считать, что функция непрерывна в точке ${{x}_{0}}$, если выполнены сразу три условия:

1. Функция определена в этой точке, т.е. существует $fleft( {{x}_{0}} right)$;
2. Существует конечный предел функции $limlimits_{xto {{x}_{0}}} fleft( x right)$;
3. Этот предел равен значению функции в точке: $limlimits_{xto {{x}_{0}}} fleft( x right)=fleft( {{x}_{0}} right)$.

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, функция перестаёт быть непрерывной. Так, в приведённых выше примерах гипербола $y={1}/{x};$ не определена и не имеет предела в точке $x=0$. Парабола с выколотой точкой просто не определена при $x=-2$. А кусочно-заданная функция определена в точке $x=0$, но имеет разные левые и правые пределы, отличные от $fleft( 0 right)$.

2.1. Непрерывность по Коши и по Гейне

Среди трёх условий непрерывности особый интерес представляет второй пункт — существование предела $limlimits_{xto {{x}_{0}}} fleft( x right)$. Именно на вычислении предела функции в точке спотыкается большинство учеников.

Если вы чувствуете себя неуверенно в вычислении таких пределов, рекомендую повторить тему «Что такое предел функции в точке». А сейчас мы адаптируем два ключевых определения из того урока — предел функции по Коши (в нотации «$varepsilon $—$delta $») и по Гейне (через последовательности) — для проверки непрерывности.

Определение 2. (непрерывность по Коши) Функция $fleft( x right)$ непрерывна в точке ${{x}_{0}}$, если

[begin{align} & forall left( varepsilon gt 0 right)quad exists left( delta =delta left( varepsilon right) gt 0 right): \ & xin {{overset{circ }{mathop{U}},}_{delta }}left( {{x}_{0}} right)Rightarrow left| fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right) right| lt varepsilon\ end{align}]

Когда «посвящённый» человек слышит фразу «предел функции в точке», он чаще всего вспоминает именно такое определение (по Коши, т.е. в нотации «$varepsilon $—$delta $»). Но есть ещё одно определение:

Определение 3. (непрерывность по Гейне) Функция $fleft( x right)$ непрерывна в точке ${{x}_{0}}$, если для любой числовой последовательности $left{ {{x}_{n}} right}$ такой, что

[limlimits_{nto infty } {{x}_{n}}={{x}_{0}}]

выполняется условие

[limlimits_{nto infty } fleft( {{x}_{n}} right)=fleft( {{x}_{0}} right)]

Все три определения непрерывности эквивалентны. Это следует из эквивалентности определения предела по Коши и по Гейне (доказательство такой эквивалентности — в уроке про пределы функции в точке).

Нас сейчас интересует другое: а как вообще проверить, что все эти пределы существуют? Тут нам на помощь приходят односторонние пределы.

2.2. Критерий существования предела в точке

Теорема 1. Предел функции в точке $limlimits_{xto a} fleft( x right)$ существует и равен числу $Ain mathbb{R}$ тогда и только тогда, когда существуют конечные односторонние пределы $limlimits_{xto a+} fleft( x right)$ и $limlimits_{xto a-} fleft( x right)$, причём эти пределы должны быть равны числу $A$:

[limlimits_{xto a} fleft( x right)=limlimits_{xto a+} fleft( x right)=limlimits_{xto a-} fleft( x right)=A]

Эта теорема прекрасно подходит и для проверки непрерывности, и для классификации точек разрыва (об этом позже). Давайте рассмотрим пару примеров, а затем сформулируем общий алгоритм.

Пример 1. Непрерывная функция.

Рассмотрим график функции $y={{x}^{2}}$ и найдём односторонние пределы в точке ${{x}_{0}}=2$.

Вот график с интересующей нас точкой:

Если встать в начало координат, а затем приближаться к точке ${{x}_{0}}=2$ слева, значения функции будут постепенно расти, становясь всё ближе к $y=4$:

А если двигаться из бесконечности влево, приближаясь к ${{x}_{0}}=2$, значения функции будут убывать, становясь всё ближе к тому же $y=4$:

Получается, что односторонние пределы существуют и равны одному и тому же числу:

[limlimits_{xto 2-} {{x}^{2}}=limlimits_{xto 2+} {{x}^{2}}=4]

Это значит, что и стандартный предел функции в точке ${{x}_{0}}=2$ тоже существует и равен

[limlimits_{xto 2} {{x}^{2}}=4]

Значение функции $y={{x}^{2}}$ в точке ${{x}_{0}}=2$ тем более определено и равно тому же самому числу:

[fleft( 2 right)={{2}^{2}}=4]

Вот и получается, что (1) функция равна 4, (2) предел существует (мы доказали это через односторонние пределы) и равен 4, (3) значения функции и предела в точке совпадают. Следовательно, функция $y={{x}^{2}}$ непрерывна в точке ${{x}_{0}}=2$.

Возможно, прочитав всё это, вы скажете: «Спасибо, кэп. А разве бывает иначе?» Ещё как бывает! Взгляните на следующий пример.

Пример 2. Функция с разрывом в точке ${{x}_{0}}=0$.

Рассмотрим график функции $y={left| x right|}/{x};$ и найдём односторонние пределы в точке ${{x}_{0}}=0$.

Этот график весьма схож с тем, что мы рассматривали в самом начале урока. Для удобства обозначим точки $left( 0;1 right)$ и $left( 0;-1 right)$, не принадлежащие графику, выколотыми точками (а не стрелками, как было раньше):

Функция не определена в нуле — одно из условий непрерывности уже не выполняется, и на этом можно было бы закончить. Но нас сейчас интересуют односторонние пределы.

Начнём движение по левой ветке графика — из минус бесконечности влево к $x=0$:

При этом значение функции будет оставаться неизменным: $y=-1$. Следовательно,

[limlimits_{xto 0-} frac{left| x right|}{x}=-1]

Теперь пройдёмся по правой ветке — из плюс бесконечности к $x=0$:

Как бы близко к нулю мы ни приближались, значения функции всё равно равны $y=1$. Поэтому

[limlimits_{xto 0+} frac{left| x right|}{x}=1]

Получается, что односторонние пределы существуют, но не равны:

[limlimits_{xto 0-} frac{left| x right|}{x}ne limlimits_{xto 0+} frac{left| x right|}{x}]

Следовательно, общего предела функции в точке $x=0$ не существует.

2.3. Алгоритм исследования функции на непрерывность

Сформулируем универсальный алгоритм, по которому доказывается непрерывность функции $fleft( x right)$ в точке ${{x}_{0}}$. Или наоборот — опровергается. Алгоритм состоит из трёх шагов:

1. Проверить, определена ли функция $fleft( x right)$ в точке $x={{x}_{0}}$. Другими словами, можно ли найти значение $fleft( {{x}_{0}} right)$. Если посчитать $fleft( {{x}_{0}} right)$ нельзя — функция не является непрерывной, исследование закончено. Если можно, переходим к пункту 2;
2. Найти односторонние пределы и проверить: выполняется ли критерий существования предела функции в точке. Если односторонние пределы существуют и равны — переходим к пункту 3. Если хотя бы один односторонний предел не существует, либо они не равны — функция не является непрерывной, исследование закончено.
3. Сравнить значения $fleft( {{x}_{0}} right)$ и $limlimits_{xto {{x}_{0}}} fleft( x right)$. Если они равны, функция непрерывна. Если нет — значит, функция не является непрерывной.

Может показаться, что действий слишком много. И что проверка слишком сложная. На самом деле это не так. Взгляните:

Пример 3. Доопределите функцию $fleft( x right)$ в точке ${{x}_{0}}$ так, чтобы она стала непрерывной:

[fleft( x right)=frac{sin x}{x},quad {{x}_{0}}=0]

Это одна из любимейших задач всех преподавателей по матанализу. Очевидно, функция не проходит уже первый пункт проверки: $fleft( 0 right)$ не существует, поскольку деление на ноль не определено.

Однако нам предлагают доопределить функцию, т.е. найти такое $Ain mathbb{R}$, чтобы полученная функция

[fleft( x right)=left{ begin{align} & frac{sin x}{x}, & xne 0 \ & A, & x=0 \ end{align} right.]

была непрерывна в точке ${{x}_{0}}=0$.

Поэтому проверим пункт 2. Посчитаем левосторонний и правосторонний пределы:

[begin{align} & limlimits_{xto 0+} frac{sin x}{x}=1; \ & limlimits_{xto 0-} frac{sin x}{x}=limlimits_{xto 0-} frac{sin left( -x right)}{-x}=limlimits_{tto 0+} frac{sin t}{t}=1 \ end{align}]

[begin{align} limlimits_{xto 0+} frac{sin x}{x}&=1; \ limlimits_{xto 0-} frac{sin x}{x}&=limlimits_{xto 0-} frac{sin left( -x right)}{-x} \ &=limlimits_{tto 0+} frac{sin t}{t}=1 \ end{align}]

Односторонние пределы легко сводятся к первому замечательному пределу и равны $A=1$. Следовательно, если мы доопределим $fleft( x right)$ так, чтобы $fleft( 0 right)=1$, мы получим функцию, непрерывную в ${{x}_{0}}=0$:

[fleft( x right)=left{ begin{align} & frac{sin x}{x}, & xne 0 \ & 1, & x=0 \ end{align} right.]

Вот и всё. Задача решена.

Обратите внимание на график функции $y=fleft( x right)$. Вот так он выглядит изначально (очевидно нарушение непрерывности в ${{x}_{0}}=0$):

А вот так — после того, как мы доопределим $fleft( 0 right)=1$:

Получили функцию, которая непрерывна в любой точке. И это видно на графике. Из чего сразу сделаем два замечания:

Замечание 1. Если в задании требуется исследовать функцию на непрерывность, обязательно постройте хотя бы примерный график этой функции. Так вы сразу поймёте: где могут быть проблемы, как ведёт себя функция в окрестности «проблемных» точек и что с этим можно сделать.

Замечание 2. Исследование на непрерывность всегда проводится в конкретных точках. Но график функции — это чаще всего бесконечное множество точек, большинство из которых ничем не примечательны. Поэтому нужно научиться определять непрерывность на бесконечных множествах.

Вот вторым пунктом — непрерывностью на бесконечных множествах — мы сейчас и займёмся.

3. Непрерывность функции на множестве

До сих пор мы говорили о непрерывности лишь в одной конкретной точке — некой ${{x}_{0}}in mathbb{R}$. Но большинство функций определено на огромных множествах — вплоть до всей числовой прямой. Как быть в этом случае? Здесь нам помогут следующие определения.

3.1. Непрерывность на интервале

Определение 4. Функция $fleft( x right)$ непрерывна на интервале $left( a;b right)$, если она непрерывна в каждой точке ${{x}_{0}}in left( a;b right)$.

Пример. Функция $y={1}/{x};$ непрерывна на интервале $left( -infty ;0 right)$ и на интервале $left( 0;+infty right)$.

Почему именно интервал? Почему не отрезок? Потому что интервал — это открытое множество, т.е. каждая точка ${{x}_{0}}in left( a;b right)$ входит в этот интервал с некоторой своей $delta $-окрестностью. На языке кванторов записывается это так:

[begin{align} {{x}_{0}}in left( a;b right) & Rightarrow exists left( delta gt 0 right): \ xin {{U}_{delta }}left( {{x}_{0}} right) & Rightarrow xin left( a;b right) \ end{align}]

А на числовой прямой всё это безобразие выглядит так:

На интервале мы никогда достигаем границ — точек $a$ и $b$. Поэтому не имеет значения, как близко к этим границам располагается точка ${{x}_{0}}$. Всегда можно взять расстояние до ближайшей границы (например, $left| {{x}_{0}}-a right|$), поделить пополам — вот вам и отступ $delta gt 0$.

3.2. Непрерывность на отрезке

Отрезок $left[ a;b right]$ принципиально отличается от интервала $left( a;b right)$ тем, что мы можем зайти, например, в левый конец отрезка — точку $a$ — и ничего левее этой точки принадлежать отрезку уже не будет.

Никакие отступы, никакие $delta $-окрестности тут не помогут. Поэтому нам нужны два новых определения.

Определение 5. Функция $fleft( x right)$ называется непрерывной справа в точке ${{x}_{0}}$, если

[limlimits_{xto {{x}_{0}}+} fleft( x right)=fleft( {{x}_{0}} right)]

непрерывной слева в точке ${{x}_{0}}$, если

[limlimits_{xto {{x}_{0}}-} fleft( x right)=fleft( {{x}_{0}} right)]

Теперь мы можем рассматривать непрерывность на любых привычных нам множествах — интервалах и отрезках. Чуть позже в этом уроке мы сформулируем замечательную теорему о непрерывности элементарных функций, но пока давайте рассмотрим пару примеров.

Пример 4. Функция $fleft( x right)=sqrt{4-{{x}^{2}}}$ непрерывна на всей своей области определения.

Проверить это и построить график.

Для начала найдём область определения $fleft( x right)$. Поскольку арифметический квадратный корень определён только из неотрицательного числа, имеем:

[begin{align} 4-{{x}^{2}} & ge 0 \ {{x}^{2}} & le 4 \ left| x right| & le 2 \ x& in left[ -2;2 right] \ end{align}]

Для лучшего понимания ситуации начертим график $y=sqrt{4-{{x}^{2}}}$. Заметим, что

[begin{align} {{y}^{2}} & =4-{{x}^{2}} \ {{x}^{2}}+{{y}^{2}} & ={{2}^{2}} \ end{align}]

это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $r=2$. Графиком функции будет лишь та часть этой окружности, для которой $yge 0$:

Очевидно, что функция непрерывна для всех $xin left[ -2;2 right]$, причём в $x=-2$ непрерывна справа, в $x=2$ непрерывна слева.

Пример 5. Функция $fleft( x right)=sqrt{x}$ непрерывна на всей своей области определения.

Проверить это и построить график.

Область определения функции $fleft( x right)=sqrt{x}$:

[xin left[ 0;+infty right)]

График — стандартная «уложенная набок» ветвь параболы:

Видим, что функция $fleft( x right)$непрерывна во всех точках $xin left[ 0;+infty right)$, причём в $x=0$ непрерывна справа. Задача решена.

Возможно, вы уже заметили, что все функции, которые мы сегодня изучали, были непрерывны на всей своей области определения. Проблемы возникали лишь во всяких конструкциях вида ${1}/{x};$, где возможно деление на ноль. Но даже гипербола $y={1}/{x};$ не определена лишь в точке $x=0$, а во всех остальных точках она определена и непрерывна.

И это не случайно. Существует целый класс функций, которые непрерывны на всей своей области определения. Настала пора познакомиться с ними.

3.3. Непрерывность элементарных функций

В математическом анализе существует особый класс функций, которые называются элементарными.

Определение 6. Элементарные функции — это любые функции из списка:

1. Любой многочлен $Pleft( x right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+…+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}$;
2. Рациональная функция $fleft( x right)={Pleft( x right)}/{Qleft( x right)};$, где $Pleft( x right)$ и $Qleft( x right)$ — многочлены;
3. Степенная функция $fleft( x right)={{x}^{a}}$, где $ain mathbb{R}$;
4. Логарифмическая функция $fleft( x right)={{log }_{a}}x$, где $a gt 0$, $ane 1$;
5. Показательная функция $fleft( x right)={{a}^{x}}$, где $a gt 0$, $ane 1$;
6. Все тригонометрические функции: $sin x$, $cos x$, $operatorname{tg}x$, $operatorname{ctg}x$;
7. Все обратные тригонометрические функции: $arcsin x$, $arccos x$, $operatorname{arctg}x$, $operatorname{arcctg}x$;
8. Любые функции, которые можно составить из предыдущих с помощью конечного числа арифметических операций и композиций.

Кстати, модуль тоже является элементарной функцией:

[left| x right|=sqrt{{{x}^{2}}}]

Для всех таких функций выполняется замечательная теорема:

Теорема 2. Все элементарные функции непрерывны на всей своей области определения.

Если область определения представляет собой отрезок или иное замкнутое множество, то на концах таких отрезков выполняется односторонняя непрерывность.

Универсального доказательства этой теоремы сразу для всех элементарных функций не существует. Сначала доказывают непрерывность степенной и показательной функции. Затем показывают непрерывность арифметических операций (тот ещё квест, особенно для многочленов).

Кроме того, есть целая группа теорем, которые верны для всех непрерывных функций:

• 1.Теорема о нуле непрерывной функции и о промежуточном значении на отрезке.
• 2.Теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции на отрезке и о достижении точной верхней и нижней грани.
• 3.Теоремы о непрерывности обратной функции и композиции функций.

Каждой из этих теорем посвящён отдельный урок — с точной формулировкой, доказательством и примерами (см. содержание раздела). Сейчас нас интересуют более приземлённые вопросы.

Например, может возникнуть вопрос: а что, разве есть какие-то другие функции, помимо элементарных? Конечно есть.

Пример 6. Функция Дирихле:

[Dleft( x right)=left{ begin{align} & 1, & xin mathbb{Q} \ & 0, & xnotin mathbb{Q} \ end{align} right.]

Функция Дирихле определена для всех $xin mathbb{R}$. Она равна единице в том случае, если $x={p}/{q};$ — рациональное число, и равна нулю во всех остальных случаях.

Очевидно, что в любой $delta $-окрестности точки ${{x}_{0}}in mathbb{Q}$ и слева, и справа найдутся иррациональные числа. И наоборот: в любой $delta $-окрестности иррационального числа $ain mathbb{R}backslash mathbb{Q}$ найдутся его рациональные приближения с избытком и недостатком. Следовательно, односторонние пределы

[limlimits_{xto {{x}_{0}}-} Dleft( x right)quad limlimits_{xto {{x}_{0}}+} Dleft( x right)]

не существуют ни в одной точке графика. И функция Дирихле терпит разрыв в каждой точке числовой прямой.:)

Кстати, сам график выглядит примерно так:

Линия $y=1$ проведена пунктиром из тех соображений, что множество рациональных чисел счётно, а множество всех действительных чисел — нет. Но это всё условности.:)

Пример 7. Исследовать на непрерывность функцию

[fleft( x right)=sin left( {1}/{x}; right)]

Эта функция представляет собой композицию двух элементарных функций: $sin x$ и ${1}/{x};$. Следовательно, перед нами элементарная функция, которая определена и непрерывна везде, кроме $x=0$.

Посчитаем левосторонний и правосторонний предел в точке $x=0$. Для этого заметим, что при $xto 0$ величина ${1}/{x};to infty $. Следовательно, в любой $delta $-окрестности точки $x=0$ найдутся и точки вида $t=pi n$, $nin mathbb{Z}$, в которых $sin t=0$; и точки вида $t={pi }/{2};+pi n$, в которых $sin t=pm 1$.

Следовательно, ни левосторонний, ни правосторонний пределы не определены:

[limlimits_{xto 0+} sin frac{1}{x}quad limlimits_{xto 0-} sin frac{1}{x}]

А это значит, что общий предел в точке $x=0$ тоже не определён. Следовательно, $x=0$ — не просто точка разрыва (это и так понятно, поскольку в нуле функция не определена). Принципиально невозможно доопределить $fleft( x right)$ в нуле так, чтобы получилась непрерывная функция.

График $y=sin left( {1}/{x}; right)$ выглядит так (единичный отрезок — две клетки):

Чем ближе $xto 0$, тем быстрее график «бегает» между $y=-1$ и $y=1$. В какой-то момент из-за конечной толщины линий на чертеже строить график становится невозможно. Даже если мы возьмём за единичный отрезок тысячу клеток. Даже если будем чертить на огромных листах. Никакие листы и отрезки не могут сравниться с бесконечностью.:)

Ну и перед тем как переходить к практике, давайте разберёмся, что же произойдёт, если хотя бы одно условие непрерывности не выполняется.

4. Точки разрыва

Урок о непрерывности функции в точке будет неполным, если мы не поговорим про точки разрыва.

Напомню, что функция $fleft( x right)$ является непрерывной в точке ${{x}_{0}}$, когда выполнены три условия:

1. Функция $fleft( x right)$ определена в этой точке, т.е. мы можем посчитать $fleft( {{x}_{0}} right)$.
2. Существует конечный предел $limlimits_{xto {{x}_{0}}} fleft( x right)$.
3. Должно выполняться равенство $limlimits_{xto {{x}_{0}}} fleft( x right)=fleft( {{x}_{0}} right)$.

А что, если хотя бы одно условие не выполнено? Перед нами точка разрыва.

Определение 7. Если функция $fleft( x right)$ не является непрерывной в точке ${{x}_{0}}$, то она называется разрывной в точке ${{x}_{0}}$. Сама точка ${{x}_{0}}$ при этом называется точкой разрыва функции $fleft( x right)$.

Определение 8. Точка разрыва ${{x}_{0}}$ называется точкой разрыва первого рода функции $fleft( x right)$, если существуют конечные односторонние пределы $limlimits_{xto {{x}_{0}}+} fleft( x right)$ и $limlimits_{xto {{x}_{0}}-} fleft( x right)$.

В противном случае ${{x}_{0}}$ называется точкой разрыва второго рода.

Классический пример точки разрыва второго рода:

[y=frac{1}{x},quad {{x}_{0}}=0]

Ветви гиперболы «улетают» в бесконечность рядом с точкой ${{x}_{0}}=0$.

Ещё один пример:

[y=sin frac{1}{x},quad {{x}_{0}}=0]

Мы уже рассматривали график этой функции и знаем, что односторонних пределов в ${{x}_{0}}=0$ не существует. Поэтому функция терпит разрыв второго рода.

Да даже обычный $y=operatorname{tg}x$ терпит разрыв второго рода в точках вида ${{x}_{n}}={pi }/{2};+pi n$, $nin mathbb{Z}$.

Определение 9. Разрыв первого рода в точке ${{x}_{0}}$ называется устранимым, если существует конечный предел $limlimits_{xto {{x}_{0}}} fleft( x right)=A$, но $Ane fleft( {{x}_{0}} right)$.

То же самое, если существует конечный предел $limlimits_{xto {{x}_{0}}} fleft( x right)=A$, но $fleft( {{x}_{0}} right)$ не определена.

Из определения очевидно, что устранимыми могут быть только разрывы первого рода. Вот несколько примеров:

• $y=frac{sin x}{x}$, ${{x}_{0}}=0$ (устранимый: $yleft( 0 right)=1$)
• $y=frac{left| x-1 right|}{x-1}$, ${{x}_{0}}=1$ (неустранимый)
• $y=frac{{{x}^{2}}left( x+2 right)}{x+2}$, ${{x}_{0}}=-2$ (устранимый: $yleft( -2 right)=4$)

Рассмотрим более сложный пример

Пример 8. Исследуйте точки разрыва функции

[y=xcdot {{e}^{{1}/{x};}}]

Это элементарная функция, поэтому единственная точка разрыва: $x=0$ — в ней не определена дробь ${1}/{x};$.

Выясним, какого рода этот разрыв. Посчитаем предел слева:

[begin{align} limlimits_{xto 0-} xcdot {{text{e}}^{{1}/{x};}} & =limlimits_{xto 0-} frac{x}{{{text{e}}^{-{1}/{x};}}}=frac{limlimits_{xto 0-} x}{limlimits_{xto 0-} {{text{e}}^{-{1}/{x};}}}= \ & =frac{0}{limlimits_{xto 0+} {{text{e}}^{{1}/{x};}}}=left[ frac{0}{infty } right]=0 end{align}]

[begin{align}limlimits_{xto 0-}xcdot {{text{e}}^{{1}/{x};}}&=limlimits_{xto 0-}frac{x}{{{text{e}}^{-{1}/{x};}}}= \ &=frac{limlimits_{xto 0-}x}{underset{xto 0-}{{text{e}}^{-{1}/{x};}}}= \ &=frac{0}{limlimits_{xto 0+}{{text{e}}^{{1}/{x};}}}= \ &=left[ frac{0}{infty } right]=0 end{align}]

И предел справа:

[begin{align} limlimits_{xto 0+} xcdot {{text{e}}^{{1}/{x};}} & =limlimits_{xto 0+} frac{{{text{e}}^{{1}/{x};}}}{{1}/{x};}=left[ {x=1}/{t}; right]= \ & =limlimits_{tto +infty } frac{{{text{e}}^{t}}}{t}=+infty\ end{align}]

[begin{align}limlimits_{xto 0+}xcdot {{text{e}}^{{1}/{x};}}&=limlimits_{xto 0+}frac{{{text{e}}^{{1}/{x};}}}{{1}/{x};}= \ &=left[ {x=1}/{t}; right]= \ &=limlimits_{tto +infty }frac{{{text{e}}^{t}}}{t}=+infty end{align}]

Понятно, что показательная функция $y={{text{e}}^{t}}$ растёт быстрее линейной $y=t$ при $tto +infty $. Поэтому конечного предела нет.

Итого функция терпит разрыв второго рода в точке $x=0$. Этот разрыв хорошо виден на графике:

Обратите внимание: точка $x=1$ является точкой локального минимума, а прямая $y=x+1$ — наклонная асимптота нашего графика. Чтобы находить такие точки, нужно разобраться с производными.

О производных и дифференциалах мы поговорим в отдельных уроках. А пока лишь одна заключительная рекомендация:

При исследовании функции на непрерывность обязательно чертите её график. Хотя бы в виде эскиза. Даже если задание кажется вам «очевидным».

Так вы защитите себя от глупых ошибок. И намного быстрее поймёте, как ведёт себя функция в окрестностях точек разрыва.

На этом всё. Приступайте к практике.:)

Смотрите также:

1. Теоремы Вейерштрасса о непрерывной функции
2. Критерий Коши сходимости последовательности
3. Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
4. Не пишите единицы измерения в задаче B12
5. Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения
6. Задача B4: тарифы на сотовую связь

Содержание:

Точки разрыва и их классификация

Непрерывность или разрыв функции может зависеть от конкретных условий, в которых рассматривается задача. Рассмотрим, например, численность населения земного шара как функцию времени. Она увеличивается на 1 в момент рождения каждого человека и уменьшается на 1 в момент смерти. Но рождения и смерти следуют друг за другом через бесконечно малые интервалы времени и изменение численности населения планеты на 1 настолько мало его меняет, что практически функцию можно рассматривать непрерывной. По стоит перейти от численности населения земного шара к численности населения одной квартиры, как рождение или смерть отдельного ее жителя будут так заметно менять ее численность, что функцию нельзя будет рассматривать как непрерывную.

Если хотя бы одно из условий определения непрерывности функции в точке (см. п. 3.1) не выполнено, то в данной точке функция терпит разрыв. Различают три вида точек разрыва непрерывной функции.

1. Точка

Чтобы устранить разрыв в точке достаточно положить В этом случае говорят, что функция доопределена до непрерывной в точке

2. Точка называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) имеет конечные пределы слева и справа не равные друг другу:

При этом величина называется скачком функции f(x) в точке

3. Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует, то называется точкой разрыва второго рода функции f(x).

Пример №32

Исследовать функции на непрерывность. В случае устранимого разрыва доопределить функцию до непрерывной.

Решение:

1. Данная функция элементарная, т.к. получена с помощью конечного числа арифметических действий над основными элементарными функциями: экспоненциальной, постоянной и степенной. Следовательно, она непрерывна в области определения При х=0 функция

не определена и поэтому разрывна. Исследуем характер точки разрыва. Так как то х=0 — точка устранимого разрыва.

Если положить f(0)=0, то функция будет непрерывной для всех х.

2. Функция является элементарной как композиция основных элементарных функций. Следовательно, она непрерывна в области определения и х=2 — точка разрыва. Для исследования характера точки разрыва найдем односторонние пределы:

Так как один из односторонних пределов равен бесконечности, то х=2 -точка разрыва второго рода.

Пример №33

Исследовать функцию на непрерывность. Построить схематично график функции.

Решение:

Область определения этой функции — вся числовая прямая: Однако функция является составной. Составляющие ее функции непрерывны на множестве действительных чисел как элементарные. Поскольку функция задана различными аналитическими выражениями, то проверить на непрерывность нужно точки «стыка» Исследуем точку

Так как — точка разрыва первого рода. Скачок функции в данной точке равен

Исследуем точку

Поскольку то в точке функция непрерывна. Следовательно, искомая функция непрерывна для всех

Построим график функции.

——

Точки разрыва и их классификация

Точка, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва функции, а сама функция называется разрывной в этой точке.

Точка  будет точкой разрыва функции  если выполняется одно из условий:

1. функция в точке  не определена;
2. не существует предела функции в точке  или он равен бесконечности;
3. предел функции в точке  не совпадает со значением функции в этой точке.

Различают два вида точек разрыва — первого рода и второго рода (рис.55).

Исследуя точки разрыва, используют односторонние пределы. Это означает, что рассматривают поведение функции для значений  только справа или слева от точки  Таким образом получают соответственно правосторонний или левосторонний пределы.

Обозначают:

Точку  называют точкой разрыва первого рода, если в ней существуют конечные односторонние пределы (рис. 56, а).

Точку  называют точкой разрыва второго рода, если хоть один из односторонних пределов является бесконечным, либо вообще не существует (рис. 56, б).

Если левосторонний и правосторонний пределы в точке  — конечные и равные между собой, но не равны значению функции в этой точке, то точку  называют устранимой точкой разрыва (рис. 56, в).

Пример №522

Найдите точки разрыва функции  и выясните их характер.

Решение:

Поскольку на ноль делить нельзя, то точкой разрыва данной функции является  Для выяснения её характера вычислим односторонние границы данной функции в этой точке.

 Итак, односторонние пределы равны бесконечности, поэтому  — точка разрыва второго рода.

Пример №523

Исследуйте функцию  на непрерывность и постройте её график.

Решение:

На каждом из интервалов  функция непрерывна как многочлен. Поскольку вся область определения функции разделена на два промежутка точкой  то в этой точке функция может иметь разрыв. Выясним, существует ли предел функции в этой точке.

Если  слева, то функция имеет вид

  а при  справа  Следовательно,  — точка разрыва первого рода, неустранимый разрыв. График этой функции изображён на рисунке 57.

Односторонние пределы используют для нахождения вертикальных асимптот кривых.

Прямая  называется вертикальной асимптотой кривой, если при  (справа или слева) значение функции стремится к бесконечности, т.е. выполняется одно из условий:

Например, ось  является вертикальной асимптотой для графиков функций  (см. рис. 17, б) и  (см. рис. 33).

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №524

Найдите вертикальные асимптоты кривой

Решение:

Поскольку функция не определена в точке  то в этой точке кривая может иметь вертикальную асимптоту. Вычислим пределы:

Следовательно,  вертикальная асимптота данной кривой.

Замечание: Если  — вертикальная асимптота функции  — точка разрыва второго рода.

Пример №525

Исследуйте заданные функции на непрерывность и выясните характер их точек разрыва:

Решение:

Заданные в условии функции элементарные, а потому непрерывные в каждой точке области определения, а именно на множестве 

а) Функция  не определена в точке  следовательно, эта точка является точкой разрыва. Поскольку  является точкой разрыва первого рода, устранимый разрыв.

б) Функция  не определена в точке  эта точка является точкой разрыва. Поскольку  то  является точкой разрыва второго рода.

Пример №526

Заданные функции до определить в точке  так, чтобы они стали непрерывными в этой точке:

Решение:

а) Имеем  Положив  получим, что  т.е. функция непрерывна в точке  Итак, 

б) Вычислим предел заданной функции в точке  Имеем:

Если теперь за значение функции в точке  взять число  , то функция станет непрерывной в этой точке.

Итак, 

Пример №527

Имеет ли уравнение  хотя бы один действительный корень на отрезке 

Рассмотрим функцию  Эта функция непрерывна на отрезке  и на его концах приобретает различные по знаку значения:  Итак, согласно теореме Больцано—Коши существует по крайней мере одна точка  в которой значение функции равно нулю. Число-с и является корнем заданного уравнения.

Пример №528

Имеет ли горизонтальные и вертикальные асимптоты кривая 

Решение:

1) Найдём вертикальные асимптоты. Заданная функция не определена в точке  Поскольку  то прямая  — вертикальная асимптота. 2) Найдём горизонтальные асимптоты.

Горизонтальных асимптот нет.