Алгебраические дроби складывают и вычитают по
правилам сложения и вычитания
обыкновенных дробей.
Сложение алгебраических дробей
Запомните!
Складывать можно только дроби с одинаковыми знаменателями!
Нельзя складывать дроби без преобразований
Можно складывать дроби
При сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:
- числитель первой дроби складывается с числителем второй дроби;
- знаменатель остаётся прежним.
Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей.
Так как знаменатель у обеих дробей «2а», значит, дроби можно сложить.
Сложим числитель первой дроби с числителем второй дроби, а знаменатель оставим прежним.
При сложении дробей в полученном числителе
приведем подобные.
Вычитание алгебраических дробей
Запомните!
Вычитать можно только дроби с одинаковыми знаменателями!
При вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:
- из числителя первой дроби вычитается числитель второй дроби.
- знаменатель остаётся прежним.
Важно!
Обязательно заключите в скобки весь числитель вычитаемой дроби.
Иначе вы сделаете ошибку в знаках при раскрытии скобок вычитаемой дроби.
Рассмотрим пример вычитания алгебраических дробей.
Так как у обеих алгебраических дробей знаменатель «2с», значит, эти дроби можно вычитать.
Вычтем из числителя первой дроби «(a + d)» числитель второй дроби
«(a − b)».
Не забудем заключить числитель вычитаемой дроби в скобки. При раскрытии скобок используем
правило раскрытия скобок.
Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю
Рассмотрим другой пример. Требуется сложить алгебраические дроби.
В таком виде сложить дроби нельзя, так как у них разные знаменатели.
Прежде чем складывать алгебраические дроби их необходимо привести к общему знаменателю.
Правила приведения алгебраических дробей к общему знаменателю очень похожи на
правила приведения к общему знаменателю
обыкновенных дробей.
.
В итоге мы должны получить многочлен, который без остатка разделится на каждый прежний знаменатель дробей.
Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю необходимо сделать следующее.
- Работаем с числовыми коэффициентами. Определяем
НОК
(наименьшее общее кратное) для всех числовых коэффициентов. - Работаем с многочленами. Определяем все различные многочлены в наибольших степенях.
- Произведение числового коэффициента и всех различных многочленов в наибольших степенях и будет общим знаменателем.
- Определяем, на что нужно умножить каждую алгебраическую дробь, чтобы получить общий знаменатель.
Вернемся к нашему примеру.
Рассмотрим знаменатели «15a» и «3» обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.
- Работаем с числовыми коэффициентами. Находим НОК (наименьшее общее кратное — это число, которое без остатка
делится на каждый числовый коэффициент).
Для «15» и «3» — это «15». - Работаем с многочленами. Необходимо перечислить все многочлены в наибольших степенях.
В знаменателях «15a» и «5» есть только
один одночлен — «а». - Перемножим НОК из п.1 «15» и одночлен «а» из п.2. У нас получится «15a». Это и будет общим знаменателем.
- Для каждой дроби зададим себе вопрос: «На что нужно умножить знаменатель этой дроби, чтобы получить «15a»?».
Рассмотрим первую дробь. В этой дроби и так знаменатель «15a», значит, ее не требуется ни на что умножать.
Рассмотрим вторую дробь. Зададим вопрос: «На что нужно умножить «3», чтобы получить «15a»?»
Ответ — на «5a».
При приведении к общему знаменателю дроби умножаем на «5a»
и числитель, и знаменатель.
Сокращенную запись приведения алгебраической дроби к общему знаменателю можно записать через
«домики».
Для этого держим в уме общий знаменатель. Над каждой дробью сверху «в домике» пишем, на что умножаем каждую из дробей.
Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, дроби можно сложить.
Рассмотрим пример вычитания дробей с разными знаменателями.
В таком виде вычитать дроби нельзя, так как у них разные знаменатели. Чтобы вычесть дроби, необходимо привести их к общему знаменателю.
Рассмотрим знаменатели «(x − y)» и «(x + y)» обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.
- Работаем с числовыми коэффициентами. Числовых коэффициентов в знаменателях нет, поэтому переходим к многочленам.
- Работаем с многочленами. Находим все различные многочлены из знаменателей в наибольших степенях и перемножаем их.
Важно!
Многочлены необходимо рассматривать целиком!
Для удобства заключайте целый многочлен в скобки.
У нас есть два различных многочлена в знаменателях «(x − y)» и «(x + y)».
Их произведение будет общим знаменателем, т.е. «(x − y)(x + y)» — общий знаменатель.
Теперь дроби можно вычитать, т.к. у них одинаковый знаменатель.
Сложение и вычитание алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения
В некоторых примерах, чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, нужно использовать
формулы сокращенного умножения.
Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей, где нам потребуется использовать формулу разности квадратов.
В первой алгебраической дроби знаменатель «(p2 − 36)». Очевидно, что к нему можно
применить формулу разности квадратов.
После разложения многочлена «(p2 − 36)» на произведение
многочленов
«(p + 6)(p − 6)»
видно, что в дробях повторяется многочлен «(p + 6)».
Значит, общим знаменателем дробей будет произведение многочленов «(p + 6)(p − 6)».
Важно!
Прежде чем приводить многочлены к общему знаменателю, попытайтесь
использовать формулы сокращённого умножения или вынесение общего множителя за скобки.
Примеры сложения и вычитания дробей с разными знаменателями с использованием формул сокращенного умножения.
Сложение и вычитание алгебраических дробей с вынесением общего множителя за скобки
На первый взгляд одинаковых многочленов в обеих дробях нет.
Вынесем общий множитель
«а» за скобки в обоих знаменателях.
После вынесения общего множителя «а» за скобки, в
обоих знаменателях появился одинаковый одночлен «а».
Значит, общий знаменатель для обеих дробей будет выглядеть так: «а(а + 1)(b + 1)».
Сложение алгебраической дроби с одночленом или числом
Рассмотрим пример. Требуется сложить алгебраическую дробь с одночленом (буквой).
Чтобы сложить одночлен или число с алгебраической дробью,
нужно представить одночлен в виде дроби со знаменателем «1».
Представим одночлен «а» как алгебраическую дробь со знаменателем «1».
Подобное действие можно сделать, так как при делении на единицу получается тот же самый одночлен.
Теперь приведем алгебраические дроби к общему знаменателю «(а − 1)» и решим пример.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
Например, для дробей (frac{1}{5a}) и (frac{3}{b}) общим знаменателем будет (5ab), потому что именно это выражение содержит в себе все множители первого знаменателя (то есть, пятерку и (a)), а также все множители второго (это (b)).
Получается, что для нахождения общего знаменателя достаточно просто перемножить знаменатели всех дробей? Да, вообще говоря, это так. Однако на практике такой способ часто бывает неудобен, так как приводит к громоздким вычислениям в дальнейшем. Поэтому обычно находят наименьший общий знаменатель.
Например, для дробей (frac{1}{ab}) и (frac{3}{abc}) наименьшим общим знаменателем будет выражение (abc), но не (a^2 b^2c) (которое мы получим, если просто перемножим (ab) и (abc)).
Как искать наименьший общий знаменатель?
В приведенном выше примере наименьший общий знаменатель был очевиден. Однако в более сложных случаях его вот так сходу не напишешь.
Чтобы найти наименьший общий знаменатель нескольких дробей нужно все знаменатели разложить на множители, а потом собрать из этих множителей наименьший общий знаменатель.
Пример. Найдите общий знаменатель для дробей (frac{3}{x^2-5x}) и (frac{x}{x^2-25}).
Решение.
Пример. Найдите общий знаменатель для дробей (frac{a+1}{5a^2}), (frac{11-b}{a^3-9a}) и (frac{7}{(a-3)^2}).
Решение. И вновь раскладываем на множители знаменатели всех трех дробей, а потом собираем нашего «Франкенштейна»:
Общий знаменатель зависит только от знаменателей дробей, числители же на него не влияют вообще никак!
Поиск общего знаменателя важный этап при работе с алгебраическими дробями, а также при решении дробно-рациональных уравнений.
Скачать статью
Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю
Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю выполняется по тем же правилам, что и приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю. Следовательно, чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, нужно:
- найти общий знаменатель для данных дробей;
- найти дополнительный множитель для каждой дроби;
- умножить числитель каждой дроби на её дополнительный множитель;
- записать дроби с найденными новыми числителями и общим знаменателем.
Чтобы найти наименьший общий знаменатель для дробей, надо разложить знаменатель каждой дроби на множители и взять каждый множитель в наибольшей встречающейся степени.
Пример 1. Привести дроби к общему знаменателю:
| 2b | , | c | и | a | . |
| 3a2 | 2b | 6ab |
Решение: Разложим знаменатели дробей на множители:
3a2 = 3 · a2;
2b = 2 · b;
6ab = 2 · 3 · a · b.
Выпишем множители первого знаменателя и добавим к ним недостающие множители из второго и третьего знаменателя:
3 · a2 · 2 · b = 6a2b.
Мы нашли наименьший общий знаменатель для данных дробей. Теперь, чтобы привести дроби к общему знаменателю, нам надо найти для каждой дроби дополнительный множитель. Для этого нужно разделить общий знаменатель на знаменатель каждой дроби:
6a2b : 3a2 = 2b;
6a2b : 2b = 3a2;
6a2b : 6ab = a.
Умножаем числитель каждой дроби на её дополнительный множитель:
2b · 2b = 4b2;
c · 3a2 = 3a2c;
a · a = a2.
Осталось записать дроби с найденными новыми числителями и их общим знаменателем:
| 4b2 | , | 3a2c | и | a2 | . |
| 6a2b | 6a2b | 6a2b |
Пример 2. Привести дроби к общему знаменателю:
Решение: Разложим на множители знаменатель второй дроби, используя формулу разности квадратов:
a2 — 4 = a2 — 22 = (a + 2)(a — 2).
Получившееся произведение и будет общим знаменателем для данных дробей. Значит, для приведения дробей к общему знаменателю, нам нужно только умножить числитель первой дроби на сумму чисел (a + 2).
3a · (a + 2) = 3a2 + 6a.
В результате у нас получилось:
| 3a2 + 6a | и | 4 | . |
| (a + 2)(a — 2) | (a + 2)(a — 2) |
Произведение суммы и разности чисел a и 2 можно обратно свернуть в квадрат разности для более краткой записи дробей:
| 3a2 + 6a | и | 4 | . |
| a2 — 4 | a2 — 4 |
Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю
- Найти наименьшее общее кратное знаменателей – это будет общий знаменатель.
- Найти дополнительные множители для каждой из дробей.
- Умножить числитель каждой из дробей на её дополнительный множитель, записать результат с общим знаменателем.
Например: привести к общему знаменателю $ frac{2}{ab^2}, frac{3a}{b}, frac{1}{3ab}$
Шаг 1. В наименьшее общее кратное – общий знаменатель–входят $3ab^2$.
Шаг 2. Дополнительные множители:
$$ frac {2^{/3}}{ab^2}, frac {3a^{/3ab}}{b}, frac{1^{/b}}{3ab} $$
Шаг 3. Результат:
$$ frac{6}{3ab^2}, frac{9a^2 b}{3ab^2}, frac{b}{3ab^2} $$
Примеры
Пример 1. Привести дроби к общему знаменателю:
а) $$ frac{1}{b}, frac{2b}{3a^2}, frac{3}{ab} $$
Общий знаменатель: $3a^2 b$
Дополнительные множители:
$$ frac{1^{/3a^2}}{b}, frac{2b^{/b}}{3a^2}, frac{3^{/3a}}{ab} $$
Результат:
$$ frac{3a^2}{3a^2 b}, frac{2b^2}{3a^2 b}, frac{9a}{3a^2 b} $$
б) $$ frac{1}{x-y}, frac{2}{x+y}, frac{x}{x^2-y^2} $$
Общий знаменатель: $x^2-y^2$
Дополнительные множители:
$$ frac{1^{/(x+y)}}{x-y}, frac{2^{/(x-y)}}{x+y}, frac{x^{/1}}{x^2-y^2} $$
Результат:
$$ frac{x+y}{x^2-y^2}, frac{2(x-y)}{x^2-y^2}, frac{x}{x^2-y^2} $$
в) $$ frac{2k}{m^3}, frac{11}{m^2-1}, frac{1}{m+1} $$
Общий знаменатель: $m^3 (m^2-1) = m^3 (m-1)(m+1)$
Дополнительные множители:
$$ frac{2k^{/(m^2-1)}}{m^3}, frac{11^{/m^3}}{m^2-1}, frac{1^{/m^3 (m-1)}}{m+1} $$
Результат:
$$ frac{2k(m^2-1)}{m^3 (m^2-1)}, frac{11m^3}{m^3 (m^2-1)}, frac{m^3 (m-1)}{m^3 (m^2-1)}$$
г) $$ frac{x+5}{x^2+3x+9}, frac{1}{x^3-27}, frac{x^2}{x-3} $$
Общий знаменатель: $x^3-27 = (x-3)(x^2+3x+9)$
Дополнительные множители:
$$ frac{x+5^ {/ (x-3) } }{x^2+3x+9}, frac{1^ {/1} }{x^3-27}, frac{x^{2/(x2+3x+9)}}{x-3}$$
Результат:
$$ frac{(x+5)(x-3)}{x^3-27}, frac{1}{x^3-27}, frac{x^2 (x^2+3x+9)}{x^3-27} $$
☰
Общий знаменатель для алгебраических дробей
При сложении и вычитании алгебраический дробей с разными знаменателями сначала дроби приводят к общему знаменателю. Это значит, находят такой один знаменатель, который делится на исходный знаменатель каждой алгебраической дроби, входящей в состав данного выражения.
Как известно, если числитель и знаменатель дроби умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то значение дроби не изменится. Это является основным свойством дроби. Поэтому, когда дроби приводят к общему знаменателю, по-сути умножают исходный знаменатель каждой дроби на недостающий множитель до общего знаменателя. При этом надо умножить на этот множитель и числитель дроби (для каждой дроби он свой).
Например, дана такая сумма алгебраических дробей:
Требуется упростить выражение, т. е. сложить две алгебраические дроби. Для этого в первую очередь надо привести слагаемые-дроби к общему знаменателю. Первым делом следует найти одночлен, который делится и на 3x и на 2y. При этом желательно, чтобы он был наименьший, т. е. найти наименьшее общее кратное (НОК) для 3x и 2y.
Для числовых коэффициентов и переменных НОК ищется отдельно. НОК(3, 2) = 6, а НОК(x, y) = xy. Далее найденные значения перемножаются: 6xy.
Теперь надо определить, на какой множитель надо умножить 3x, чтобы получить 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y
Значит, при приведении первой алгебраической дроби к общему знаменателю ее числитель надо умножить на 2y (знаменатель уже был умножен при приведении к общему знаменателю). Аналогично ищется множитель для числителя второй дроби. Он будет равен 3x.
Таким образом, получаем:
Далее уже можно действовать как с дробями с одинаковыми знаменателями: складываются числители, а в знаменателе пишется один общий:
После преобразований получается упрощенное выражение, представляющее собой одну алгебраическую дробь, являющуюся суммой двух исходных:
Алгебраические дроби в исходном выражении могут содержать знаменатели, представляющие собой многочлены, а не одночлены (как в приведенном выше примере). В таком случае, перед поиском общего знаменателя следует разложить знаменатели на множители (если это возможно). Далее общий знаменатель собирается из разных множителей. Если множитель есть в нескольких исходных знаменателях, то его берут единожды. Если множитель имеет разные степени в исходных знаменателях, то его берут с большей. Например:
Здесь многочлен a2 – b2 можно представить как произведение (a – b)(a + b). Множитель 2a – 2b раскладывается как 2(a – b). Таким образом, общий знаменатель будет равен 2(a – b)(a + b).