Решение задач на углы параллелограмма опирается на свойства параллелограмма.
Сумма двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равны 180º (так как они являются внутренними односторонними при параллельных прямых (противолежащих сторонах параллелограмма) и секущей (пересекающей их стороне).
Противоположные углы параллелограмма равны.
Поэтому, если в задаче дана сумма углов параллелограмма (не 180º ), то речь идет о его противолежащих углах.
Если сказано, что один из углов параллелограмма больше или меньше другого на некоторое количество градусов (или в несколько раз, или углы относятся в некотором отношении), то речь идет об углах, прилежащих к одной стороне параллелограмма.
Если в задаче требуется найти все углы параллелограмма, в начале изучения темы ищут все четыре угла.
В дальнейшем обычно находят только два из них (прилежащие к одной стороне), поскольку другие два им равны.
Рассмотрим некоторые задачи на нахождение углов параллелограмма.
Задача 1.
Найти углы параллелограмма, если один из его углов на 40º больше другого.
Дано: ABCD — параллелограмм,
∠B на 40º больше ∠A.
Найти: ∠A, ∠B, ∠C,∠D.
Решение:
Пусть ∠A=хº, тогда ∠B=х+40º.
Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то
∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).
Имеем уравнение:
х+х+40=180
2х=180-40
2х=140
х=70
Значит, ∠A=70º, тогда ∠B=70+40=110º.
∠C=∠A=70º, ∠D=∠B=110º (как противолежащие углы параллелограмма).
Ответ: 70º, 70º, 110º, 110º.
Задача 2.
Найти углы параллелограмма, если два из них относятся как 2:3.
Дано: ABCD — параллелограмм,
∠A:∠B=2:3.
Найти: ∠A, ∠B, ∠C,∠D.
Решение:
Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда ∠A=2kº, ∠B=3kº.
∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).
Составим уравнение и решим его:
2k+3k=180
5k=180
k=36
Значит, ∠A=2∙36=72º, ∠B=3∙36=108º.
∠C=∠A=72º, ∠D=∠B=108º (как противолежащие углы параллелограмма).
Ответ: 72º, 72º, 108º, 108º.
Задача 3.
Найти углы параллелограмма, если сумма двух из них равна 150º.
Дано: ABCD — параллелограмм,
∠A+∠C=150º.
Найти: ∠A, ∠B, ∠C,∠D.
Решение:
∠A=∠C=150:2=75º (как противолежащие углы параллелограмма).
∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).
Следовательно, ∠B=180º-∠A=180-75=105º.
∠D=∠B=105º (как противолежащие углы параллелограмма).
Ответ: 75º, 75º, 105º, 105º.
Углы параллелограмма
Угол
Параллелограмм представляет собой четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны и равны друг другу. Два угла, прилежащие к одной стороне параллелограмма, в сумме составляют 180°. Если известен один угол параллелограмма, несложно найти смежный с ним угол путем вычитания из 180° величину известного угла.
α = 180°-β
Таким образом, мы нашли значения всех углов, т.к. известно, что противолежащие углы параллелограмма равны.
Отрезок, проведенный из двух противоположных вершин параллелограмма, является его диагональю. Если заданы стороны и диагональ, можно определить углы параллелограмма. Диагональ делит параллелограмм на два одинаковых треугольника. Основанием треугольника является диагональ, боковыми сторонами — смежные стороны параллелограмма. Для определения угла используем теорему косинусов, по которой квадрат стороны треугольника (в нашем треугольнике это диагональ) равен сумме квадратов двух его сторон, образующих искомый угол, плюс удвоенное произведение этих сторон на косинус угла. Отсюда, косинус искомого угла равен сумме квадратов смежных сторон (а, b) минус квадрат третей стороны треугольника (в нашем случае — диагонали), противолежащей искомому углу, и все это деленное на удвоенное произведение смежных сторон:
d2 = a2 + b2 + 2ab cos (α)
cos (α) = (a2 + b2 — d2) / 2ab
,
где а, b — стороны параллелограмма, d — диагональ.
Воспользовавшись таблицей косинусов находим величину искомого угла. После чего находим смежный с ним угол.
Рассчитать углы параллелограмма зная стороны и диагональ
Как найти углы параллелограмма
Параллелограммом называют четырехугольник противолежащие стороны которого попарно параллельны. Также параллелограмм обладает такими свойствами, как противоположные стороны равны, противоположные углы равны, сумма всех углов равна 360 градусов.
Вам понадобится
- Знания по геометрии.
Инструкция
Предположим дан один из углов параллелограмма и равен A. Найдем значения остальных трех. По свойству параллелограмма противоположные углы равны. Значит угол, лежащий напротив данного равен данному и его значение равно А.
Найдем оставшиеся два угла. Так как сумма всех углов в параллелограмме равна 360 градусов, а противоположные углы между собой равны, то получается, что угол, принадлежащий одной стороне с данным, равен (360 — 2А)/2. Ну или после преобразования получим 180 — А. Таким образом в параллелограмме два угла равны А, а два других угла равны 180 — А.
Обратите внимание
Значение одного угла не может превышать 180 градусов. Полученные значения углов можно легко проверить. Для этого сложите их и, если сумма равна 360, все посчитано верно.
Полезный совет
Прямоугольник и ромб являются частным случаем параллелограмма, поэтому все свойства и методы вычисления углов применимы и к ним.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Углы параллелограмма
Параллелограмм — это геометрическая фигура,
у которой четыре угла и противоположные
стороны попарно параллельны и равны.
Так, как противоположные стороны параллельны,
значит они лежат на параллельных прямых.
Градусные меры противолежащих углов равны.
Сумма двух углов параллелограмма прилежащих к одной
из сторон равна 180 градусам. Внутренние односторонние
углы при параллельных прямых. Это одно из свойств
параллельных прямых для параллелограмма.
Сумма четырех углов параллелограмма — 360 градусов,
как у любого другого четырехугольника.
Формула нахождение углов параллелограмма, если известен только один угол:
Где x, y — два угла при какой-либо стороне.
Частными случаями параллелограмма являются ромб, прямоугольник, квадрат.
Параллелограмм можно условно разделить на два треугольника.
А как мы знаем сумма углов одного треугольника — 180 градусов,
двух — 360 градусов, поэтому сумма углов параллелограмма — 360 градусов.
Свойства сторон и углов параллелограмма
(Свойства сторон и углов параллелограмма)
В параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны.
Проведем в параллелограмме ABCD диагональ BD.
Рассмотрим треугольники ABD и CDB.
1) сторона BD — общая
2) ∠ ABD= ∠ CDB (как внутренние накрест лежащие при AB∥CD и секущей BD)
3) ∠ ADB= ∠ CBD (как внутренние накрест лежащие при AD∥BC и секущей BD)
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:
и равенство соответствующих углов:
В пунктах 2) и 3) обосновано, что ∠ ABD= ∠ CDB и ∠ ADB= ∠ CB.
∠ ABC= ∠ ABD+ ∠ CBD= ∠ CDB+ ∠ ADB= ∠ ADC,
Что и требовалось доказать.
II. Свойство углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне.
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180º.
Это свойство непосредственно вытекает из того, что углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых.
Для параллелограмма ABCD:
∠ A+ ∠ B=180º (как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей AB;
∠ C+ ∠ D=180º (как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей CD;
∠ A+ ∠ D=180º (как внутренние односторонние при AB∥CD и секущей AD;
∠ B+ ∠ C=180º (как внутренние односторонние при AB∥CD и секущей BC.
Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы
Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.
Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть
Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.
Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .
Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.
Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть
Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.
Соответственные углы равны, то есть
Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.
Накрест лежащие углы равны, то есть
Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .
Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.
Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.
Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .
Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть
2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .
3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.
Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.
Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .
Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,
http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/ugly-pri-parallelnyx-pryamyx/
Смежные углы параллелограмма в паре дают 180°, а противоположные его углы равны. Таким образом, зная любой один угол параллелограмма, можно найти значения всех остальных углов.
α=180°-β
Если даны диагональ параллелограмма и две его стороны, то можно вычислить меру угла, воспользовавшись теоремой косинусов. Согласно данной теореме, в треугольнике одна из сторон в квадрате (в нашем случае это диагональ параллелограмма) равна сумме квадратов двух известных сторон, образующих искомый угол, и их удвоенного произведения на косинус угла. Тогда косинус угла будет равен сумме квадратов смежных сторон за вычетом квадрата третьей стороны, лежащей напротив нужного угла, и деленной на удвоенное произведение смежных сторон.
d2=a2+b2+2ab cosα