The general way to do this is to take the GCD of the two polynomials. In particular, one can apply the Euclidean algorithm to this, just like taking the GCD of two integers. In particular, the computation goes as follows: We start with
$$gcd(x^5+2x^4+x^3-5x^2-7,2x^7+4x^6-14x^4+3x^3+6x^2-21)$$
Then, we take the second polynomial mod the first. That is, we subtract multiples of $P_1$ from $P_2$ until we get a polynomial of degree 4. In particular, $P_2-(2x^2-2)P_1=5x^3+10x^2-35$, so we reduce the above to
$$gcd(5x^3+10x^2-35,x^5+2x^4+3x^3-5x^2-7)$$
Then, we take the polynomial remainder of the second polynomial mod the fist again, which results in $0$ since
$$x^5+2x^4+3x^3-5x^2-7-(-1/5x^2-1/5)(5x^3+10x^2-35) = 0$$
thus, we can reduce to
$$gcd(0,5x^3+10x^2-35)$$
meaning that $5x^3+10x^2-35$ is the GCD of the two polynomials. This means that $x$ is a root of both $P_1$ and $P_2$ if and only if it is a root of $5x^3+10x^2-35$ or, equivalently, of $x^3+2x^2-7$.
This essentially works on the principle that if a polynomial has roots $r_1,ldots,r_n$, then $(x-r_1)(x-r_2)ldots (x-r_n)$ divides it. Thus, the product of all the shared roots must divide both polynomials and, in particular, must divide their GCD as well.
Теорема: многочлены
у которых, по крайней мере, один из
коэффициентов
и
отличен
от нуля, т. и т.т. имеют общий корень,
когда существуют многочлены
и
удовлетворяющие следующим условиям:
1)
2)
многочлены
и
представимы в виде
;
3)
по крайней мере, один из многочленов
и
отличен от нуля.
до-во:
Необходимость.
Пусть
многочлены f(x)
и g(x)
имеют общий корень α
.
Тогда
они представимы в виде
(1)
Многочлены
f(x)
и g(x)
в равенствах (1) удовлетворяют условиям
1-3теоремы. Действительно, умножив обе
части первого равенства на h(x)
получим:
Таким
образом, выполняется условие 2. Наконец,
хотя бы один из многочленов q(x)
и h(x)
отличен от нуля, в противном случае оба
многочлена f(x)
и g(x)
были бы равны нулю, что противоречит
условию.
до-но.
42. Результант многочленов Решение системы двух уравнений с двумя переменными с помощью результанта.
Определение:
результантом
многочленов
называется
определитель
определяемый равенством:
=
Теорема: многочлены
у которых, по крайней мере, один из
коэффициентов
и
отличен
от нуля, тогда и только тогда имеют
общий корень, когда результант
этих многочленов равен 0.
Следствие: если
результант f
и g
равен нулю, то либо эти многочлены имеют
общий корень, либо оба коэффициента
и
в этих многочленах равны нулю.
Результант
многочленов находит практическое
применение при решении
системы двух уравнений с двумя переменными,
из которых хотя быодно нелинейное, т.е.
системы вида:
-(4)
где
и
многочлены
из кольца
Расположим члены
в многочленах
и
по
убыванию степеней одной изпеременных,
например
.
;
;
Где
,
– многочлены от одной переменной
.
Рассматривая многочлены
и
как многочлены от одной переменной
,
составим результант
который очевидно является многочленом
от одной переменной
над полем
.
Пусть
– решение системы (4). Тогда многочлены
и
имеют общий корень
. По теореме 4.2 в таком случае
С другой стороны, если
то либо оба коэффициента
(β)
и
(β)
равны нулю, либо многочлены
и
имеют общий корень α
. Во втором случае вектор
является решением системы (4).
Таким образом,
систему (4) можно решать в следующем
порядке:
1.
Строится результант
многочленов
и
2.
Находятся корни результанта
3.
Найденные корни результанта
подставляются последовательно в
многочлены
и
Пусть,
например,
– корень результанта
тогда в результате подстановки получим
многочлены
и
от одной переменной
.
Далее находятся общие корни этих
многочленов. Ими будут те и только
те числа, которые являются корнями
наибольшего общего делителя многочленов
и
4.
Составляются всевозможные пары чисел
где
–
корень многочлена
а α
– общий корень многочленов
и
Эти пары и составляют
множество решений системы (4).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Теорема Безу и следствия из неё
19 июля 2022
Теорема Безу позволяет решать уравнения высших степеней, которые на первый взгляд не решаются, и раскладывать на множители многочлены, которые не раскладываются.:)
Формулировка теоремы довольно проста:
Терема Безу. Остаток от деления многочлена
[Pleft( x right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}]
на двучлен $x- color{red}{a}$ равен значению этого многочлена в точке $x= color{red}{a}$:
[r=Pleft( color{red}{a} right)]
На практике нас интересует не сама теорема Безу, а некоторые следствия из неё — именно они помогают решать уравнения и раскладывать многочлены на множители. В этом уроке мы рассмотрим все такие следствия и станем настоящими мастерами в работе с многочленами.
Содержание
- Деление с остатком
- Разложение на множители
- Целые корни многочленов
- Рациональные корни многочленов
- Доказательства
В разных учебниках теорему Безу проходят то в 9-м классе, то в 10-м. Этот урок построен так, что вы поймёте его вне зависимости от школы, класса и учебника.
1. Деление с остатком
Итак, есть многочлен $Pleft( x right)$ и двучлен $x- color{red}{a}$. Разделим $Pleft( x right)$ на $x- color{red}{a}$ с остатком:
[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( x- color{red}{a} right)+r]
Теперь найдём значение многочлена $Pleft( x right)$ в точке $x= color{red}{a}$:
[Pleft( color{red}{a} right)=Qleft( color{red}{a} right)cdot left( color{red}{a}- color{red}{a} right)+r=r]
Собственно, мы только что доказали теорему Безу. А заодно подготовили основу для первого важного следствия.
Следствие 1. Деление на произвольный двучлен
Теорема Безу прекрасно работает не только для двучлена $x-color{red}{a}$, но и для любого линейного выражения вида $color{blue}{k}x+color{red}{b}$.
Следствие 1. Остаток от деления многочлена
[Pleft( x right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}]
на двучлен $color{blue}{k}x+color{red}{b}$ равен значению этого многочлена в точке $x=-color{red}{b}/ color{blue}{k};$:
[r=Pleft( -frac{color{red}{b}}{color{blue}{k}} right)]
На практике для большей надёжности рекомендуется приравнять двучлен $color{blue}{k}x+color{red}{b}$ к нулю:
[begin{align} color{blue}{k}x+color{red}{b} &=0 \ x &=-frac{color{red}{b}}{color{blue}{k}} \ end{align}]
Затем подставить найденное значение $x=-{color{red}{b}}/{color{blue}{k}};$ в многочлен $Pleft( x right)$ и таким образом найти $Pleft( -{color{red}{b}}/{color{blue}{k}}; right)$:
[r=Pleft( -frac{color{red}{b}}{color{blue}{k}} right)]
Пример 1. Стандартный многочлен
Не выполняя деления, найдите остаток от деления многочлена
[Pleft( x right)=4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5x-6]
на двучлен $Tleft( x right)=x-2$.
Решение. Это стандартный двучлен вида $x-color{red}{a}$, поэтому решаем по стандартной теореме Безу, согласно которой остаток от деления многочлена $Pleft( x right)$ на двучлен $x-color{red}{2}$ равен $Pleft( color{red}{2} right)$:
[begin{align}r &=Pleft( color{red}{2} right)= \ &=4cdot {color{red}{2}^{3}}-3cdot {color{red}{2}^{2}}+5cdotcolor{red}{2}-6 \ &=32-12+10-6=24 end{align}]
Ответ: 24.
Пример 2. Более сложный многочлен
Не выполняя деления, найдите остаток от деления многочлена
[Pleft( x right)={{left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+5 right)}^{3}}{{left( 2x+1 right)}^{5}}]
на двучлен $Tleft( x right)=x+1$.
Решение. Многочлен $Pleft( x right)$ представлен в виде произведения двух других многочленов, которые ещё и возведены в степени. Если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, получится обычный многочлен вида
[Pleft( x right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}]
По свойствам степеней найдём степень такого многочлена:
[deg Pleft( x right)=3cdot 3+1cdot 5=14]
Раскрывать скобки и приводить подобные в многочлене 14-й степени долго и трудно, а главное — в этом нет никакой необходимости. Ведь по теореме Безу остаток от деления $Pleft( x right)$ на двучлен $x-color{red}{a}$ всегда равен $Pleft( color{red}{a} right)$ — и не важно, как записан исходный многочлен $Pleft( x right)$.
Для надёжности, чтобы найти $color{red}{a}$, приравняем к нулю двучлен $Tleft( x right)=x+1$:
[begin{align}x+1 &=0 \ x &=color{red}{-1} \ end{align}]
Теперь подставим $x=color{red}{-1}$ в многочлен $Pleft( x right)$ и найдём остаток:
[begin{align}r &=Pleft( color{red}{-1} right)= \ &={{left( {{left( color{red}{-1} right)}^{3}}-2cdot {{left( color{red}{-1} right)}^{2}}+5 right)}^{3}}cdot {{left( 2cdot left( color{red}{-1} right)+1 right)}^{5}}= \ &={{left( -1-2+5 right)}^{3}}cdot {{left( -2+1 right)}^{5}}=-8 end{align}]
Ответ: −8.
Пример 3. Рациональные коэффициенты
Не выполняя деления, найдите остаток от деления многочлена
[Pleft( x right)=3{{x}^{20}}+{{x}^{19}}-7x+1]
на двучлен $Tleft( x right)=3x+1$.
Решение. Воспользуемся Следствием 1 из теоремы Безу. Для надёжности приравняем к нулю двучлен $Tleft( x right)$ и найдём $color{red}{a}$:
[begin{align}3x+1 &=0 \ x &=color{red}{-{1}/{3};} end{align}]
Подставим найденное $x=color{red}{-{1}/{3};}$ в многочлен $Pleft( x right)$ и найдём остаток:
[begin{align} Pleft( color{red}{-frac{1}{3}} right) &=3cdot {{left( color{red}{-frac{1}{3}} right)}^{20}}+{{left( color{red}{-frac{1}{3}} right)}^{19}}-7cdot left( color{red}{-frac{1}{3}} right)+1= \ &=frac{1}{{{3}^{19}}}-frac{1}{{{3}^{19}}}+frac{7}{3}+1=frac{10}{3} end{align}]
Ответ: ${10}/{3};$.
Пример 4. Иррациональные коэффициенты
Не выполняя деления, найдите остаток от деления многочлена
[Pleft( x right)={{x}^{6}}-12{{x}^{4}}+48{{x}^{2}}+64]
на двучлен $Tleft( x right)=left( 1-sqrt{3} right)x+2$.
Решение. Вновь воспользуемся Следствием 1 из теоремы Безу. Приравняем двучлен $Tleft( x right)$ к нулю и найдём $color{red}{a}$:
[left( 1-sqrt{3} right)x+2=0]
Это линейное уравнение с иррациональными коэффициентами. Такое уравнение решается стандартно (см. урок «Линейные уравнения»):
[x=-frac{2}{1-sqrt{3}}=frac{2}{sqrt{3}-1}]
Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряжённое:
[x=frac{2color{blue}{left( sqrt{3}+1 right)}}{left( sqrt{3}-1 right) color{blue}{left( sqrt{3}+1 right)}}=frac{2left( sqrt{3}+1 right)}{2}= color{red}{sqrt{3}+1}]
Степень исходного многочлена: $deg Pleft( x right)=6$. Если подставить в такой многочлен иррациональное число, то это число придётся возводить в шестую степень. Это слишком долго и трудно, поэтому перепишем многочлен $Pleft( x right)$ так:
[begin{align} Pleft( x right) &=left( {{x}^{6}}-12{{x}^{4}}+48{{x}^{2}}-64 right)+128= \ &={{left( {{x}^{2}}-4 right)}^{3}}+128 end{align}]
Мы выделили точный куб разности — классическую формулу сокращённого умножения. Как это работает — см. уроки «Формулы сокращённого умножения» и «Куб суммы и разности».
В такую формулу намного проще подставить $x=color{red}{sqrt{3}+1}$:
[begin{align}Pleft( color{red}{sqrt{3}+1} right) &={{left( {{left( color{red}{sqrt{3}+1} right)}^{2}}-4 right)}^{3}}+128= \ &={{left( {{left( sqrt{3} right)}^{2}}+2sqrt{3}+{{1}^{2}}-4 right)}^{3}}+128= \ &={{left( 2sqrt{3} right)}^{3}}+128= \ &=24sqrt{3}+128 end{align}]
Ответ получился некрасивым, но это и есть искомый остаток от деления.
Ответ: $24sqrt{3}+128$.
2. Разложение на множители
Сейчас будет немного теории, которая может показаться непонятной, но далее на примерах всё встанет на свои места.
Рассмотрим ещё раз деление многочлена $Pleft( x right)$ на двучлен $x-color{red}{a}$ с остатком:
[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( x-color{red}{a} right)+r]
По теореме Безу мы легко найдём остаток $r=Pleft( color{red}{a} right)$. В частности, при $Pleft( color{red}{a} right)=0$ многочлен примет вид
[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( x-color{red}{a} right)]
А это значит, что многочлен $Pleft( x right)$ разделился на двучлен $x-color{red}{a}$ без остатка, и мы получили разложение на множители.
Кроме того, равенство $Pleft( color{red}{a} right)=0$ означает, что число $x=color{red}{a}$ — корень многочлена $Pleft( x right)$. И это ещё одно замечательное следствие теоремы Безу.
Следствие 2. Корни многочлена и деление
Следствие 2. Число $x=color{red}{a}$ является корнем многочлена $Pleft( x right)$ тогда и только тогда, когда $Pleft( x right)$ делится без остатка на $left( x-color{red}{a} right)$.
На практике это означает, что для разложения многочлена на множители мы просто перебираем разные числа $x=color{red}{a}$ до тех пор, пока не окажется, что $Pleft( color{red}{a} right)=0$. В этот момент многочлен перепишется в виде
[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( x-color{red}{a} right)]
Такой перебор особенно эффективен в сочетании со схемой Горнера (см. урок «Схема Горнера»). Потому что параллельно с вычислением $Pleft( color{red}{a} right)$ мы получаем ещё и коэффициенты нового многочлена $Qleft( x right)$.
Пример 10. Обычный многочлен
Разложите на множители многочлен
[Pleft( x right)={{x}^{4}}+3{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-11x-6]
Решение. Для наглядности отметим синим цветом коэффициенты многочлена $Pleft( x right)$:
[Pleft( x right)= color{blue}{1}cdot {{x}^{4}}+color{blue}{3}cdot {{x}^{3}}+left( color{blue}{-3} right)cdot {{x}^{2}}+left( color{blue}{-11} right)cdot x+left( color{blue}{-6} right)]
Составим из них таблицу для схемы Горнера:
[begin{array}{r|r|r|r|r|r} {} & color{blue}{1} & color{blue}{3} & color{blue}{-3} & color{blue}{-11} & color{blue}{-6}\ hline{} & {} & {} & {} & {} & {}\ end{array}]
Все коэффициенты целые, поэтому логично проверять целые $x=color{red}{a}$, начиная с самых простых и маленьких чисел:
[x=pm 1; pm 2; pm 3; ldots ]
Проверим $x=color{red}{1}$ и $x=color{red}{-1}$:
[begin{array}{r|r|r|r|r|r}{} & color{blue}{1} & color{blue}{3} & color{blue}{-3} & color{blue}{-11} & color{blue}{-6}\ hline color{red}{1} & 1 & 4 & 1 & -10 & color{red}{-16}\ hline color{red}{-1} & 1 & 2 & -5 & -6 & color{green}{0}\ end{array}]
Проверка числа $x=color{red}{1}$ окончилась неудачей: остаток $r=color{red}{-16}$. Зато проверка $x=color{red}{-1}$ дала остаток $r=color{green}{0}$. Следовательно, $x=color{red}{-1}$ является корнем многочлена $Pleft( x right)$, и сам многочлен можно переписать так:
[begin{align}Pleft( x right) &=Qleft( x right)cdot left( x-left( color{red}{-1} right) right) \ &=left( {{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-5x-6 right)left( x+1 right) end{align}]
Теперь разложим многочлен $Qleft( x right)$ по схеме Горнера. Проверим ещё раз число $x=color{red}{-1}$:
[begin{array}{r|r|r|r|r|r}{} & 1 & 3 & -3 & -11 & -6\ hline color{red}{-1} & color{blue}{1} & color{blue}{2} & color{blue}{-5} & color{blue}{-6} & color{green}{0}\ hline color{red}{-1} & 1 & 1 & -6 & color{green}{0} & {}\ end{array}]
И вновь получили $r=color{green}{0}$. Исходный многочлен примет вид
[Pleft( x right)=left( {{x}^{2}}+x-6 right){{left( x-1 right)}^{2}}]
В первой скобке стоит квадратный трёхчлен. Разложим его на множители по теореме Виета:
[{{x}^{2}}+x-6=left( x+3 right)left( x-2 right)]
Итого окончательное разложение многочлена $Pleft( x right)$:
[left( x+3 right)left( x-2 right){{left( x-1 right)}^{2}}]
Однако это было довольно простое задание: теорема Безу использовалась лишь в качестве обоснования, почему вместо $Pleft( x right)$ мы пишем $Qleft( x right)left( x-color{red}{a} right)$.
Следующее задание будет намного интереснее.:)
Пример 11. Многочлен с двумя переменными
Разложите на множители многочлен
[Pleft( x,y right)=y{{x}^{2}}+3yx+x-4y-1]
Решение. Это многочлен от двух переменных. Он квадратный относительно переменной $x$ и линейный относительно $y$. Чтобы разложить такой многочлен на множители, сгруппируем его слагаемые относительно переменной $x$:
[Pleft( x,y right)= color{blue}{y}cdot {{x}^{2}}+left( color{blue}{3y+1} right)cdot x+left( color{blue}{-4y-1} right)]
Составляем таблицу:
[begin{array}{c|c|c|c}{} & color{blue}{y} & color{blue}{3y+1} & color{blue}{-4y-1}\ hline {} & {} & {} & {}\ end{array}]
Чтобы воспользоваться теоремой Безу, нужно найти такое $x=color{red}{a}$, чтобы $r=Pleft( color{red}{a} right)= color{green}{0}$. Поскольку в роли коэффициентов выступают выражения, содержащие переменную $y$, вновь рассмотрим самые простые варианты, которые приходят в голову:
[x=pm 1; pm y]
Проверим, например, $x=color{red}{1}$:
[begin{array}{c|c|c|c}{} & color{blue}{y} & color{blue}{3y+1} & color{blue}{-4y-1}\ hline color{red}{1} & y & 4y+1 & color{green}{0}\ end{array}]
Первая же попытка привела к успеху: $r=color{green}{0}$, поэтому $x=color{red}{1}$ — крень многочлена $Pleft( x,y right)$. Разложим этот многочлен на множители согласно Следствию 2 теоремы Безу:
[Pleft( x,y right)=left( ycdot x+4y+1 right)cdot left( x-color{red}{1} right)]
В первой скобке стоит новый многочлен, линейный по $x$ и по $y$. Его уже нельзя разложить на множители, поэтому ответ окончательный:
[Pleft( x,y right)=left( xy+4y+1 right)left( x-1 right)]
Важное замечание. Строго говоря, линейность многочлена по каждой переменной ещё не означает, что его нельзя разложить на множители. Простой контрпример:
[xy-x+y-1=left( x+1 right)left( y-1 right)]
Однако в нашем случае дальнейшее применение теоремы Безу и проверки по схеме Горнера не даст никаких новых множителей.
3. Целые корни многочленов
До сих пор мы подставляли числа наугад. И если удавалось найти число $x=color{red}{a}$ такое, что $Pleft( color{red}{a} right)=0$, мы объявляли его корнем, а многочлен $Pleft( x right)$ переписывали в виде
[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( x-color{red}{a} right)]
Однако с помощью теоремы Безу можно значительно ускорить отыскание корней, отбросив заведомо неподходящие варианты. В этом нам поможет следующее утверждение.
Следствие 3. Целочисленные корни
Пусть $Pleft( x right)$ — приведённый многочлен с целыми коэффициентами:
[Pleft( x right)={{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}]
Тогда свободный член ${{a}_{0}}$ делится на любой целый корень многочлена $Pleft( x right)$.
Обратите внимание: старший коэффициент при ${{x}^{n}}$ равен единице. Именно поэтому многочлен $Pleft( x right)$ называется приведённым. Кроме того, все коэффициенты ${{a}_{n-1}},ldots ,{{a}_{0}}$ должны быть целыми числами.
И вот тогда целые корни следует искать среди делителей свободного члена ${{a}_{0}}$.
Пример 5. Простое уравнение
Решите уравнение
[{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2=0]
Решение. Это приведённое кубическое уравнение с целыми коэффициентами. Рассмотрим многочлен
[Pleft( x right)= color{blue}{1}cdot {{x}^{3}}+left( color{blue}{-2} right)cdot {{x}^{2}}+left( color{blue}{-1} right)cdot x+color{blue}{2}]
Если у него есть целые корни, то по Следствию 3 теоремы Безу все они находятся среди делителей свободного члена ${{a}_{0}}=2$. Таких делителей всего четыре:
[x=pm 1; pm 2]
Подставим эти числа в схему Горнера:
[begin{array}{r|r|r|r|r}{} & color{blue}{1} & color{blue}{-2} & color{blue}{-1} & color{blue}{2}\ hline color{red}{1} & 1 & -1 & -2 & color{green}{0}\ hline color{red}{-1} & 1 & -2 & color{green}{0} & {}\ end{array}]
Уже на первом шаге мы получили $r=color{green}{0}$. Следовательно, $x=color{red}{1}$ — корень многочлена $Pleft( x right)$, и сам многочлен можно переписать так:
[Pleft( x right)=left( {{x}^{2}}-x-2 right)left( x-color{red}{1} right)]
Впрочем, если учесть третью строку таблицы, то можно вообще записать
[Pleft( x right)=left( x-2 right)left( x-left( color{red}{-1} right) right)left( x-color{red}{1} right)]
В любом случае, корни многочлена, как и корни уравнения — это числа 2, 1 и −1.
Ответ: $x=1$, $x=-1$, $x=2$.
Формула понижения степени
Итак, с помощью теоремы Безу мы можем:
- Найти целый корень многочлена;
- Разложить исходный многочлен на множители;
- Далее искать корни многочлена степени на единицу меньше.
В самом деле, если $Pleft( color{red}{a} right)=0$, тогда по Следствию 2 теоремы Безу мы переписываем многочлен $Pleft( x right)$ в виде
[Pleft( x right)=Qleft( x right)left( x-color{red}{a} right)]
Далее мы ищем корни многочлена $Qleft( x right)$, степень которого на единицу меньше $Pleft( x right)$.
Этот приём называется понижением степени. Он помогает свести исходный многочлен к квадратному, корни которого легко считаются, например, через дискриминант.
Пример 6. Среднее уравнение
Решите уравнение
[{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x+12=0]
Решение. Это уравнение третьей степени. Достаточно найти один корень — далее останется решить квадратное уравнение. Заметим, что многочлен
[Pleft( x right)= color{blue}{1}cdot {{x}^{3}}+left( color{blue}{-3} right)cdot {{x}^{2}}+left( color{blue}{-4} right)cdot x+color{blue}{12}]
является приведённым с целочисленными коэффициентами. По Следствию 3 теоремы Безу все целые корни этого многочлена содержатся среди делителей свободного члена ${{a}_{0}}=12$. Таких делителей довольно много:
[x=pm 1; pm 2; pm 3; pm 4; pm 6; pm 12]
Впрочем, нам достаточно найти всего один корень. Воспользуемся схемой Горнера:
[begin{array}{r|r|r|r|r}{} & color{blue}{1} & color{blue}{-3} & color{blue}{-4} & color{blue}{12}\ hlinecolor{red}{1} & 1 & -2 & -7 & color{red}{5}\ hlinecolor{red}{-1} & 1 & -4 & 0 & color{red}{12}\ hlinecolor{red}{2} & 1 & -1 & -6 & color{green}{0}\ end{array}]
Проверка закончилась неудачей для $x=color{red}{1}$ и $x=color{red}{-1}$. Но для $x=color{red}{2}$ мы нашли то, что искали: остаток $r=color{green}{0}$. Следовательно, $x=color{red}{2}$ — корень многочлена $Pleft( x right)$.
Разложим многочлен на множители согласно теореме Безу:
[Pleft( x right)=left( {{x}^{2}}-x-6 right)left( x-color{red}{2} right)]
В первой скобке стоит квадратный трёхчлен. Его корни легко найти по теореме Виета:
[Pleft( x right)=left( x-3 right)left( x+2 right)left( x-2 right)]
Приравниваем полученное произведение к нулю и решаем уравнение: $x=3$, $x=-2$, $x=2$.
Ответ: $x=2$, $x=-2$, $x=3$.
Пример 7. Сложное уравнение
Решите уравнение
[{{x}^{4}}-{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+3x+2=0]
Решение. Слева приведённый многочлен с целочисленными коэффициентами, поэтому все целые корни находятся среди делителей свободного члена ${{a}_{0}}=2$:
[x=pm 1; pm 2]
Достаточно подобрать два корня — далее уравнение сведётся к квадратному. Воспользуемся схемой Горнера:
[begin{array}{r|r|r|r|r|r}{} & color{blue}{1} & color{blue}{-1} & color{blue}{-5} & color{blue}{3} & color{blue}{2}\ hlinecolor{red}{-1} & 1 & -2 & -3 & 6 & color{red}{-4}\ hlinecolor{red}{1} & 1 & 0 & -5 & -2 & color{green}{0}\ hlinecolor{red}{-2} & 1 & -2 & -1 & color{green}{0} & {}\ end{array}]
Получили корни $x=color{red}{1}$ и $x=color{red}{-2}$. Разложим многочлен на множители:
[left( {{x}^{2}}-2x-1 right)left( x-color{red}{1} right)left( x-left( color{red}{-2} right) right)=0]
Решим квадратного уравнение из первой скобки:
[{{x}^{2}}-2x-1=0]
Дискриминант положителен:
[begin{align} D &={{left( -2 right)}^{2}}-4cdot 1cdot left( -1 right)= \ &=4+4=8 end{align}]
Следовательно, уравнение имеет два корня:
[x=frac{2pm 2sqrt{2}}{2}=1pm sqrt{2}]
Ответ: $x=1$, $x=-2$, $x=1pm sqrt{2}$.
4. Рациональные корни
До сих пор мы работали лишь с приведёнными многочленами, где старший коэффициент равен единице. Однако теорема Безу прекрасно работает и для неприведённых многочленов — при условии что все коэффициенты остаются целыми.
Рассмотрим уравнение
[{{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}=0]
где ${{a}_{n}},ldots ,{{a}_{0}}$ — целые числа, причём ${{a}_{n}}ne 0$.
Следствие 4. Если рациональное число $x=color{red}{p}/color{blue}{q};$, где $color{red}{p}in mathbb{Z}$, $color{blue}{q}in mathbb{N}$ и дробь $color{red}{p}/color{blue}{q};$ несократима, является корнем уравнения
[{{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}=0]
то свободный член ${{a}_{0}}$ делится на $color{red}{p}$, а старший коэффициент ${{a}_{n}}$ делится на $color{blue}{q}$.
Это утверждение будет доказано в конце урока. Сейчас важен практический смысл, который состоит в том, что все рациональные корни уравнения
[{{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}=0]
имеют вид $x=color{red}{p}/color{blue}{q};$, где $color{red}{p}$ следует искать среди делителей ${{a}_{0}}$, а $color{blue}{q}$ — среди положительных делителей ${{a}_{n}}$.
Пример 8. Простой многочлен
Найдите рациональные корни многочлена
[Pleft( x right)=2{{x}^{5}}-{{x}^{4}}+4x-2]
Решение. Делители свободного члена ${{a}_{0}}=-2$:
[p=pm 1; pm 2]
Положительные делители старшего коэффициента ${{a}_{4}}=2$:
[q=1; 2]
Возможные рациональные корни многочлена $Pleft( x right)$ по Следствию 4 теоремы Безу:
[x=pm 1; pm 2; pm {1}/{2};]
Проверять числа $x=color{red}{pm 1}$ нет смысла, поскольку все коэффициенты многочлена $Pleft( x right)$, за исключением одного, чётные. Следовательно, при подстановке нечётных чисел многочлен принимает нечётные значения, которые точно не равны нулю.
Остальные числа проверим по схеме Горнера:
[begin{array}{r|r|r|r|r|r|r}{} & color{blue}{2} & color{blue}{-1} & color{blue}{0} & color{blue}{0} & color{blue}{4} & color{blue}{-2}\ hlinecolor{red}{2} & 2 & 3 & 6 & 12 & 28 & color{red}{54}\ hlinecolor{red}{-2} & 2 & -5 & 10 & -20 & 44 & color{red}{-90}\ hline color{red}{{1}/{2};} & 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & color{green}{0}\ hline color{red}{-{1}/{2};} & 2 & -2 & 1 & -{1}/{2}; & {17}/{4}; & color{red}{-{33}/{8};}\ end{array}]
Подошло лишь одно число: $x=color{red}{{1}/{2};}$. Следовательно, многочлен имеет лишь один рациональный корень.
Ответ: $x={1}/{2};$.
Обратите внимание: проверку дробных чисел можно прекращать, как только в строке таблицы появилась дробь. Потому что дальше это число будет лишь умножаться на новые дроби и складываться с другими целыми числами. При таких обстоятельствах получить $r=color{green}{0}$ уже невозможно.
Пример 9. Сложный многочлен
Найдите рациональные корни многочлена
[Pleft( x right)=3{{x}^{7}}+2{{x}^{6}}-5{{x}^{5}}+3{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-7x+5]
Решение. Это многочлен с целыми коэффициентами. Делители свободного члена ${{a}_{0}}=5$:
[p=pm 1; pm 5]
Положительные делители старшего коэффициента ${{a}_{7}}=3$:
[q=1; 3]
Кандидаты в корни согласно Следствию 4 теоремы Безу:
[x=pm 1; pm 5; pm {1}/{3};; pm {1}/{5};]
Всего восемь кандидатов. Проверим их все по схеме Горнера:
[begin{array}{r|r|r|r|r|c|c|c|c}{} & color{blue}{3} & color{blue}{2} & color{blue}{-5} & color{blue}{0} & color{blue}{3} & color{blue}{-1} & color{blue}{-7} & color{blue}{5}\ hlinecolor{red}{1} & 3 & 5 & 0 & 0 & 3 & 2 & -5 & color{green}{0}\ hlinecolor{red}{-1} & 3 & 2 & -2 & 2 & 1 & 1 & color{red}{-6} & {}\ hlinecolor{red}{5} & 3 & 20 & 100 & color{red}{500} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & {}\ hlinecolor{red}{-5} & 3 & -10 & 50 & color{red}{-250} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & {}\ hlinecolor{red}{{1}/{3};} & 3 & 6 & 2 & color{red}{{2}/{3};} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & {}\ hlinecolor{red}{-{1}/{3};} & 3 & 4 & color{red}{-{4}/{3};} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & {}\ hlinecolor{red}{{5}/{3};} & 3 & 10 & color{red}{{50}/{3};} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & {}\ hlinecolor{red}{-{5}/{3};} & 3 & 0 & 0 & 0 & 3 & -3 & color{green}{0} & {}\ end{array}]
Обратите внимание: для чисел $x=color{red}{5}$ и $x=color{red}{-5}$ мы прекратили вычисления досрочно, поскольку получили явно неадекватные числа, которые дальше будут только расти.
При проверке $x=color{red}{{1}/{3};}$, $x=color{red}{-{1}/{3};}$ и $x=color{red}{{5}/{3};}$ мы в какой-то момент возникли дроби, после чего дальнейшие вычисления теряют смысл.
Итого найдены два рациональных корня: $x=color{red}{1}$ и $x=color{red}{-{5}/{3};}$. Пожалуй, это одно из самых утомительных заданий на применение теоремы Безу, которые я когда-либо решал.:)
5. Доказательства
Рассмотрим доказательства всех ключевых утверждений сегодняшнего урока.
5.1. Теорема Безу
Мы сформулировали эту теорему в самом начале урока:
Терема Безу. Остаток от деления многочлена
[Pleft( x right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}]
на двучлен $x-color{red}{a}$ равен значению этого многочлена в точке $x=color{red}{a}$:
[r=Pleft( color{red}{a} right)]
Доказательство. Разделим многочлен $Pleft( x right)$ на двучлен $x-color{red}{a}$ с остатком:
[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( x-color{red}{a} right)+r]
Такое представление всегда однозначно (см. урок «Деление многочленов с остатком»). Здесь многочлен $Qleft( x right)$ — неполное частное, $r$ — остаток, причём
[begin{align}deg r lt deg left( x-color{red}{a} right) &=1 \ deg r &=0 \ end{align}]
Другими словами, остаток $r$ — это просто число.
Теперь найдём значение $Pleft( x right)$ в точке $x=color{red}{a}$:
[Pleft( color{red}{a} right)=Qleft( color{red}{a} right)cdot left( color{red}{a}-color{red}{a} right)+r=r]
Теорема Безу доказана. Однако её доказательство опирается на единственность деления с остатком.
5.2. Целочисленные корни
Целочисленные корни приведённого многочлена с целыми коэффициентами следует искать среди делителей свободного члена.
Следствие 3. Пусть $Pleft( x right)$ — приведённый многочлен с целыми коэффициентами:
[Pleft( x right)={{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}]
Тогда свободный член ${{a}_{0}}$ делится на любой целый корень многочлена $Pleft( x right)$.
Доказательство. Пусть $color{red}{b}in mathbb{Z}$ — корень многочлена $Pleft( x right)$, т.е. $Pleft( color{red}{b} right)=0$. Подставим число $x=color{red}{b}$ в формулу многочлена и получим уравнение:
[{color{red}{b}^{n}}+{{a}_{n-1}}{color{red}{b}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}color{red}{b}+{{a}_{0}}=0]
Перенесём последнее слагаемое вправо, а слева из оставшихся слагаемых вынесем множитель $color{red}{b}$ за скобку:
[color{red}{b}cdot left( {color{red}{b}^{n-1}}+{{a}_{n-1}}{color{red}{b}^{n-2}}+ldots +{{a}_{1}} right)=-{{a}_{0}}]
Поскольку $-{{a}_{0}}in mathbb{Z}$, а слева стоят два целочисленных множителя, получаем, что число $-{{a}_{0}}$ делится на $color{red}{b}$. Следовательно, свободный член ${{a}_{0}}$ тоже делится на $color{red}{b}$, что и требовалось доказать.
5.3. Рациональные корни
Рассмотрим уравнение
[{{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}=0]
где ${{a}_{n}},ldots ,{{a}_{0}}$ — целые числа, причём ${{a}_{n}}ne 0$.
Утверждение. Если рациональное число $x=color{red}{p}/color{blue}{q};$, где $color{red}{p}in mathbb{Z}$, $color{blue}{q}in mathbb{N}$ и дробь $color{red}{p}/color{blue}{q};$ несократима, является корнем уравнения $Pleft( x right)=0$, то свободный член ${{a}_{0}}$ делится на $color{red}{p}$, а старший коэффициент ${{a}_{n}}$ делится на $color{blue}{q}$.
Доказательство. Подставим число $x=color{red}{p}/color{blue}{q};$ в исходное уравнение. Поскольку $x=color{red}{p}/color{blue}{q};$ — корень, уравнение обратится в верное числовое равенство:
[{{a}_{n}}cdot {{left( frac{color{red}{p}}{color{blue}{q}} right)}^{n}}+{{a}_{n-1}}cdot {{left( frac{color{red}{p}}{color{blue}{q}} right)}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}cdot frac{color{red}{p}}{color{blue}{q}}+{{a}_{0}}=0]
Домножим обе части на ${color{blue}{q}^{n}}$. Получим
[{{a}_{n}}{color{red}{p}^{n}}+{{a}_{n-1}}{color{red}{p}^{n-1}}color{blue}{q}+ldots +{{a}_{1}}color{red}{p}{color{blue}{q}^{n-1}}+{{a}_{0}}{color{blue}{q}^{n}}=0]
Перенесём последнее слагаемое ${{a}_{0}}{color{blue}{q}^{n}}$ вправо, а в левой части из оставшихся слагаемых вынесем множитель $color{red}{p}$ за скобку:
[color{red}{p}left( {{a}_{n}}{color{red}{p}^{n-1}}+{{a}_{n-1}}{color{red}{p}^{n-2}}color{blue}{q}+ldots +{{a}_{1}}{color{blue}{q}^{n-1}} right)=-{{a}_{0}}{color{blue}{q}^{n}}]
Слева и справа от знака равенства стоят целые числа, поскольку все слагаемые и множители являются целыми. Мы видим, что левая часть делится на $color{red}{p}$. Следовательно, правая часть тоже делится на $color{red}{p}$:
[-{{a}_{0}}{color{blue}{q}^{n}} vdots color{red}{p}]
По условию теоремы дробь $color{red}{p}/color{blue}{q};$ несократима. Следовательно, числа $color{blue}{q}$ и $color{red}{p}$ не имеют общих делителей, и единственный возможный вариант — это когда ${{a}_{0}}$ делится на $color{red}{p}$.
Аналогично доказывается, что старший коэффициент ${{a}_{n}}$ делится на $color{blue}{q}$. Теорема доказана.
Вот и всё.:)
Смотрите также:
- Схема Горнера
- Деление многочленов уголком
- Теорема Виета
- Задача B3 — работа с графиками
- Метод коэффициентов, часть 2
- Нестандартная задача B2: студенты, гонорары и налоги
