Как найти общем тела формул

Как найти объем — Pronto Costo

Как найти объем в кубических метрах

Кубические метры (м3) — это единица измерения объема, равная объему куба, стороны которого равны одному метру. Кубические метры являются предпочтительной единицей измерения при различных работах, например, при заливке бетона. Объем любого прямоугольного пространства длиной «L», шириной «W» и высотой «Н» вычисляется по формуле: Объем = L × W × H.

Вычисление объема трехмерных фигур

Измерьте все необходимые расстояния в метрах. Объем многих трехмерных фигур легко вычислить по соответствующим формулам. Однако все значения, подставляемые в формулы, должны измеряться в метрах. Таким образом, перед подстановкой значений в формулу убедитесь, что все они измеряются в метрах, или что вы конвертировали другие единицы измерения в метры.
1 мм = 0,001 м
1 см = 0,01 м
1 км = 1000 м

Для вычисления объема прямоугольных фигур (прямоугольный параллелепипед, куб) используйте формулу: объем = L × W × H (длину умножить на ширину умножить на высоту). Эту формулу можно рассматривать как произведение площади поверхности одной из граней фигуры на ребро, перпендикулярное этой грани.

Например, вычислим объем комнаты длиной 4 м, шириной 3 м и высотой 2,5 м. Для этого просто умножим длину на ширину и на высоту:
4 × 3 × 2,5
= 12 × 2,5
= 30. Объем этой комнаты равен 30 м3.
Куб – объемная фигура, у котрой все стороны равны. Таким образом, формулу для вычисления объема куба можно записать в виде: объем = L3 (или W3, или h4).

Для вычисления объема фигур в виде цилиндра используйте формулу: пи × R2 × H. Вычисление объема цилиндра сводится к умножению площади круглого основания на высоту (или длину) цилиндра. Найдите площадь круглого основания, умножив число пи (3,14) на квадрат радиуса круга (R) (радиус — расстояние от центра окружности до любой точки, лежащей на этой окружности). Затем полученный результат умножьте на высоту цилиндра (H), и вы найдете объем цилиндра. Все значения измеряются в метрах.

Например, вычислим объем колодца диаметром 1,5 м и глубиной 10 м. Разделите диаметр на 2, чтобы получить радиус: 1,5/2=0,75 м.
(3,14) × 0,752 × 10
= (3,14) × 0,5625 × 10
= 17,66. Объем колодца равен 17,66 м3.

Для вычисления объема шара используйте формулу: 4/3 х пи × R3. То есть вам нужно знать только радиус (R) шара.
Например, вычислим объем воздушного шара диаметром 10 м. Разделите диаметр на 2, чтобы получить радиус: 10/2=5 м.
4/3 х пи × (5)3
= 4/3 х (3,14) × 125
= 4,189 × 125
= 523,6. Объем воздушного шара равен 523,6 м3.

Для вычисления объема фигур в виде конуса используйте формулу: 1/3 х пи × R2 × H. Объем конуса равен 1/3 объема цилиндра, который имеет такую же высоту и радиус.

Например, вычислим объем конуса мороженного радиусом 3 см и высотой 15 см. Конвертируя в метры, получим: 0,03 м и 0,15 м соответственно.
1/3 х (3,14) × 0,032 × 0,15
= 1/3 х (3,14) × 0.0009 × 0,15

= 1/3 × 0.0004239
= 0,000141. Объем конуса мороженного равен 0,000141 м3.

pronto-costo.info

Калькулятор для расчета объёма груза. Как посчитать объём (м3)

Расчет
объема

Количество коробок

Рассчитать объём

Результат:

Объем одной
коробки(м3):

Общий
объем(м3):

Используйте полученный

результат для

оформления заявки

Количество труб

Рассчитать объём

Результат:

Объем одной трубы(м3):

Общий
объем(м3):

Используйте полученный

результат для

оформления заявки

У вас возник вопрос о доставке, а так же возникла необходимость знать, как вычислить объем груза, нужна наша помощь? Как вычислить объем груза мы знаем, на этой странице вы видите калькулятор, который точно выполнит расчеты.

А вообще, для какой цели рассчитывается объем?

Объем рассчитать необходимо для того, чтобы избежать недоразумений при погрузке груженых коробок в транспортное средство. Объем рассчитать при помощи современных технологий сегодня несложно, достаточно вашего нахождения тут.

Какие критерии мы используем для подсчета объема груза?

Во-первых, все знают – в процессе доставки важна каждая деталь, и немаловажно без ошибок посчитать объем груза в целом. Посчитать объем груза как уже говорилось поможет наш калькулятор объемов, он сделает это быстро и надежно!

Второе – калькулятор объемов, о его начини на нашем сайте, уже сказано выше, как видите, мы заботимся о наших клиентах. Калькулятор объемов, вот что может максимально облегчить работу с расчетами, и напрочь убить ваши сомнения.

Что мы вам даём?

Условия для умения объем груза рассчитать самостоятельно, т. е. это и формулы, пояснения к ним, и даже калькулятор. Объем груза рассчитать при таких возможностях можно за считанные минуты, главное не допустить никаких ошибок.

Что же еще необходимо?

Например…

Вы предприниматель, который занимается перевозками из Китая, и Вам постоянно необходим калькулятор расчета объема. Калькулятор расчета объемов вы быстро найдёте на страницах нашего сайта, и выполните свои расчеты сейчас же.

И все же.

В наше время предпринимательство держится на Китайском производстве товаров, а от куда возникла потребность рассчитать объем? Рассчитать объем необходимо для того что бы узнать общий объём груза, и далее выбрать вид транспорта.

Чем же является расчет объемов в доставке? И какую роль он играет?

Расчёт объема — это насколько, вы уже поняли очень важный этап в доставке, и доверять его надо в надёжные руки профессионалов. Расчёт объема груза надо делать тщательно, учитывая все размеры, и переведя их в метры кубические.

Но к сожалению, не все справляются с этими расчетами.

Еще в школьные времена мы изучали то как посчитать объем груза в м3, но к сожалению, всего этого не запомнишь. Как посчитать объем груза в м3 – бывают случаи когда этот вопрос встаёт на первое место, например во время доставки.

Для этого данная страница и существует!

Мы готовы объяснить, как посчитать объем м3, ведь это можно сделать самостоятельно или что бы проверить наши расчеты. Как посчитать объем м3, для этого необходимо перевести размеры в метры, затем перемножить, формула: Д*Ш*В.

Ведь эта страница для того и предназначена, чтобы помогать Вам в расчёте доставки.

Что бы выполнить расчет объема коробки, не надо стараться это делать самостоятельно, просто надо заполнить пустые поля. Расчет объема коробки автоматически выполнится нашим калькулятором, если вы сомневаетесь, проверьте сами.

Для этого мы и напомнили Вам формулу объемов.

Зачем вообще надо знать то, как рассчитать кубатуру?

Расчет объема груза в кубометрах необходим Вам для того, чтобы подать правильную заявку для его перевозки. Расчет объема груза в кубометрах, т. е. знание самого объема поможет определиться с тем какой вид доставки Вам подойдет.

А теперь перейдем к основному, поговорим о том, как совершать расчеты и для чего они необходимы.

Для начала разберемся…

А все ли помнят, что такое объем как посчитать его, формулу расчёта, конечно же большинство людей забыло, как и что это. Объем как посчитать его, пишется и объясняется в формулах, приведенных в статье, остается указать размеры.

Рассчитать объем груза не всегда просто, как кажется, всё это из-за того что, коробки могут быть разнообразной формы. Рассчитать объем груза прямоугольной коробки, пустяк, а вот остальных тяжеловато, необходимо знать формулы.

Для начала определим форму, для этого сначала узнаем, какие они существуют.

Какую форму может иметь коробка:

  • Куб;
  • Прямоугольника;
  • Цилиндра;
  • Усеченной пирамиды (очень редко).

Затем следуют измерения

Перед тем, как вычислить объем коробки измерим её, но запомните, чем точнее сделаны измерения, тем легче Вам. «Как вычислить объем коробки?» — что делать дальше: определить, какой она формы (куба или прямоугольника), размеры.

Что нам дает знание объёма?

Знание объёма коробки не позволит допустить недоразумений при погрузке товаров в любой вид транспорта, который может быть. От объёма коробки практически не чего не зависит, скорее наоборот все зависит от размеров самого товара.

А почему? Тут всё очевидно, прежде чем приобрести коробку, надо узнать размер груза, который Вы собираетесь перевозить через границу.

Ну вот Вы знаете размеры груза, теперь остаётся посчитать его объем (что бы приобрести коробу).

Итак, для того чтобы узнать, как рассчитать объем груза в м3 формула потребуется в первую же очередь. Как рассчитать объём груза в м3 формула поможет без сомнений в этом вопросе, вот так она выглядит V=a*b*h, всё очень просто.


Тем более она уже вам известна.

Хотим напомнить о том что…

Что бы Вам стало легче определить, какой вид транспорта выбрать для доставки, надо рассчитать объем груза в м3. Рассчитать объем груза в м3 очень просто, тут необходимо знать точные размеры, которые затем необходимо перемножить.

Единицы необходимо пе6реводить именно в м3, иначе не получится посчитать доставку.

А что делать, если форма коробки не прямоугольная, а округлая? Ведь это большая редкость, но все же бывает.

Можно объем посчитать коробки или ёмкости в основании которых лежит круг, и для этого так же существует формула. Объем посчитать коробки формой круга позволяет выражение V *r2*h, размеры прежде всего надо безошибочно измерить.

Калькулятор объемов

Предоставляем к вашему вниманию калькулятор: объем грузов в м3, с помощью него вы можете самостоятельно делать расчёты. Калькулятор объем грузов расположен на наем сайте специально для вашего удобства, и для быстроты расчетов.

Для чего нужен калькулятор расчета объема груза?

Мы с вами деловые люди и потерянное время порой несёт в себе большие минусы. Хотите получать грузы быстро и надёжно? И при этом в максимально короткие сроки узнавать цены на их перевозку и доставку?

Вот именно здесь, поможет калькулятор объёма груза!

Наш калькулятор объёмов позволяет вам рассчитать объём груза в м3, поэтому вопрос о объёме коробки больше не возникнет. Калькулятор объёмов простой и удобный в применении, он выдаст результаты как объёма коробки так и груза.

Итак, с помощью калькулятора объёма Вы решаете несколько вопросов:

Как вычислить объем груза (или коробки)? Не забывайте о количественной единице, которую вы берёте в расчёт.

Как посчитать объем коробки в м3? Калькулятор сразу считает в международной системной единице, никакого перевода не требуется.

Как рассчитать кубатуру коробки (груза)? Помните, что кубатура — это число кубических единиц в объёме данного тела.

Столкнулись с одним из них или возник подобный? Наша компания рада предложить для Вашего удобства объем в метрах кубических коробки посчитать, с помощью удобного калькулятора. 

А напоследок, давайте вспомним математику!

Часто возникает вопрос: «как высчитать объем?», только вот объем чего: какой фигуры, какой формы, всё всегда по-разному. Как высчитать объем коробки и груза в целом – это интересует вас, ведь именно по этой причине Вы на сайте!

Какая проблема самая распространённая?

Многие путают то как вычислять объём плоских фигур и объемных, т. к., ошибаются в понятиях, точнее затрудняются с ответом. Как вычислять объём не надо знать, хватит того, что вы укажете размеры, главное не забывайте, что их 3.

Закончив все расчеты, остается еще одна задача.

После того, как рассчитать объем груза оказалось не проблемой, необходимо думать о том, какой вид доставки подобрать. Рассчитать объем груза для подборки транспорта Вам придётся точно, не допуская не каких ошибок и недочетов.

А какой Вам нужен транспорт?

Напомним, в доставке кроме того, как рассчитать кубатуру есть еще не менее важные вещи, например размещение товаров. Как рассчитать кубатуру вы знаете, поэтому всё остальное в ваших руках, теперь выбор транспорта зависит от вас.

dobroezzhev.ru

Как найти объем в физике 🚩 все величины в физике 🚩 Естественные науки

Вам понадобится

  • калькулятор или компьютер, линейка, рулетка, мерная емкость

Инструкция

Чтобы найти массу , зная плотность, разделите объем тела или вещества на его плотность. То есть воспользуйтесь формулой: m = V / ρ, где:V – объем,
ρ – плотность,
V – объем.Перед расчетом массы приведите все единицы измерения в одну систему, например, в интернациональную систему измерения (СИ). Для этого, переведите объем в кубометры (м³), а плотность – в килограммы на кубометр (кг/м³). В этом случае значение массы получится в килограммах. Если плотность и объем заданы в одной системе единиц, то предварительный перевод в СИ производить необязательно. Масса тела или вещества в таком случае будет измеряться в той единице измерения массы, которая указана в числителе единицы измерения плотности (единицы измерения объема при расчете сократятся).
Так, например, если объем задан в литрах, а плотность в граммах на литр, то расчетная масса получится в граммах.

Если объем тела (вещества) неизвестен или не задан явно в условиях задачи, то попытайтесь его измерить, вычислить или узнать, используя косвенные (дополнительные) данные.
Если вещество сыпучее или жидкое, то оно, как правило, находится в емкости, которая обычно имеет стандартный объем. Так, например, объем бочки обычно равен 200 литров, объем ведра – 10 литров, объем стакана – 200 миллилитров (0,2 литра), объем столовой ложки – 20 мл, объем чайной – 5 мл. Об объеме трехлитровых и литровых банок нетрудно догадаться из их названия.
Если жидкость занимает не всю емкость или емкость нестандартная, то перелейте ее в другую тару, объем которой известен.
Если подходящей емкости нет, перелейте жидкость с помощью мерной кружки (банки, бутылки). В процессе вычерпывания жидкости просто посчитайте количество таких кружек и умножьте на объем мерной тары.

Если тело имеет простую форму, то вычислите его объем, используя соответствующие геометрические формулы. Так, например, если тело имеет форму прямоугольного параллелепипеда, то его объем будет равен произведению длин его ребер. То есть:Vпр.пар. = a*b*c, где:Vпр.пар. – объем прямоугольного параллелепипеда, а
a, b, c — значения его длины, ширины и высоты (толщины), соответственно.

Если тело имеет сложную геометрическую форму, то попробуйте (условно!) разбить его на несколько простых частей, найти объем каждой из них отдельно и затем сложить полученные значения.

Если тело невозможно разделить на более простые фигуры (например, статуэтку), то воспользуйтесь методикой Архимеда. Опустите тело в воду и измерьте объем вытесненной жидкости. Если тело не тонет, то «утопите» его с помощью тонкой палочки (проволоки).
Если объем вытесненной телом воды посчитать проблематично, то взвесьте вылившуюся воду, или найдите разность между начальной и оставшейся массой воды. При этом, количество килограммов воды будет равняться количеству литров, количество граммов – количеству миллилитров, а количество тонн – количеству кубометров.

www.kakprosto.ru

Как найти объем по химии 🚩 газ формула химия 🚩 Естественные науки

5 сентября 2011

Автор КакПросто!

Есть множество формул для нахождения объема. В первую очередь необходимо определить в каком агрегатном состоянии находится вещество, для которого мы ищем объем. Для объема газа подходят одни формулы, а для объема раствора совершенно другие.

Инструкция

Одна из формул объема раствора: V = m/p, где V – объем раствора(мл), m – масса(г), p – плотность(г/мл). Если требуется дополнительно найти массу, то это можно сделать, зная формулу и количество нужного вещества. С помощью формулы вещества мы найдем его молярную массу, сложив атомные массы всех элементов, входящих в его состав. Например, M(AgNO3) = 108+14+16*3 = 170 г/моль. Далее находим массу по формуле: m = n*M, где m – масса(г), n – количество вещества(моль), M – молярная масса вещества(г/моль). Подразумевается, что количество вещества дано в задаче. Следующая формула для нахождения объема раствора выводится из формулы молярной концентрации раствора: с = n/V, где c – молярная концентрация раствора(моль/л), n – количество вещества(моль), V – объем раствора(л). Выводим: V = n/c. Количество вещества можно дополнительно найти по формуле: n = m/M, где m – масса, M – молярная масса. Далее приведены формулы для нахождения объема газа. V = n*Vm, где V – объем газа(л), n – количество вещества(моль), Vm – молярный объем газа(л/моль). При нормальных условиях, т.е. давлении равным 101 325 Па и температуре 273 К молярный объем газа является величиной постоянной и равен 22,4 л/моль.

Для газовой системы существует формула: : q(x) = V(x)/V, где q(x)(фи) – объемная доля компонента, V(x) – объем компонента (л), V – объем системы (л). Из этой формулы можно вывести 2 другие: V(x) = q*V, а также V = V(x)/q.

Если в условии задачи присутствует уравнение реакции, решать задачу следует с помощью него. Из уравнения можно найти количество любого вещества, оно равно коэффициенту. Например, CuO + 2HCl = CuCl2 + h3O. Отсюда видим, что при взаимодействии 1 моля оксида меди и 2 моль соляной кислоты получилось 1 моль хлорида меди и 1 моль воды. Зная по условию задачи количество вещества всего одного компонента реакции, можно без труда найти количества всех веществ. Пусть, количество вещества оксида меди равно 0,3 моль, значит n(HCl) = 0,6 моль, n(CuCl2) = 0,3 моль, n(h3O) = 0,3 моль.

Обратите внимание

Не забывайте про единицы измерения!

Источники:

  • «Сборник задач по химии», Г.П. Хомченко, И.Г. Хомченко, 2002.
  • объем формула от массы

Масса любого вещества,молекулы равна сумме масс образующих ее атомов. Если при расчете использовать относительные атомные массы ,то получается относительная молекулярная масса вещества. Относительная молекулярная масса показывает во сколько раз абсолютная масса молекулы данного вещества больше 1/12 части абсолютной массы атома углерода. Обычно используют приблизительные значения относительных атомных и молекулярных масс. Эти величины безразмерны.

Инструкция

Подсчитайте в молекуле количество элементов.Например, молекула воды h3O состоит из двух атомов водорода и одного атома кислорода,а сульфат железа (III) Fe2(SO4)3 содержит два атома железа,три атома серы и двенадцать атомов кислорода. Подсчитайте,чему равна атомная масса каждого элемента в молекуле. Чтобы узнать относительную массу одного атома загляните в периодическую систему элементов.Порядковый номер и есть атомная масса. Также вы можете рассчитать ее по формуле Ar(элемента)=m(элемента)/1a.e.m. Для легкости расчетов используют приблизительные значения.
Ar(H)=1?2=2;Ar(O)=16?1=16Ar(Fe)=56?2=112;Ar(S)=32?3=96;Ar(O)=16?12=192

Сложите полученные результаты.Это и будет молекулярная масса вещества.
Mr(h3O)=2Ar(H)+Ar(O)=2+16=18
Mr(Fe2(SO4)3)=2Ar(Fe)+3Ar(S)+12Ar(O)=112+96+192=400

Кроме относительной молекулярной массы при расчетах чаще используют молярную массу. Ее единица измерения — г/моль. Она численно равна относительной молекулярной массе вещества.
M(h3O)=18 г/моль
M(Fe2(SO4)3=400 г/моль

Видео по теме

В химических реакциях принимают участие мельчайшие частицы (атомы, молекулы), и их число даже в небольшой порции вещества очень велико. Поэтому для упрощения расчетов была введена специальная единица измерения «количества вещества» — моль. 1 Моль содержит 6,02*1023 атомов или молекул. Как вычислить массу вещества?

Вам понадобится

  • — вещество;
  • — интернет;
  • — таблица Менделеева.

Инструкция

Определите какой вид массы вам нужно рассчитать: обычную, молекулярную или молярную. Найдите формулу химического соединения, массу которого вам нужно вычислить. Если ее нет в задаче, запустите поиск по названию в интернете.

Подсчитайте количество химических элементов, входящих в молекулу интересующего вас вещества. Например, сульфат алюминия Al2(SO4)3 состоит из двух атомов алюминия, трех атомов серы и двенадцати атомов кислорода.

Откройте таблицу Менделеева. Атомная масса указана для каждого элемента под его буквенным обозначением, точные числа из таблицы при расчетах округляйте до ближайшего целого. Так, атомная масса алюминия = 27 (26,98154 по таблице), серы = 32 (32,06 в таблице), кислорода = 16 (15,9994). Запишите атомную массу каждого из элементов. Молекулярная масса равна сумме атомных масс всех элементов вещества, с учетом их количества в соединении.

Сложите атомные массы, умножая каждую из них на количество данного химического элемента в формуле, вы получите молекулярную массу вещества:
2Al +3S+12О = 2*27+3*32+12*16 = 342
Молекулярная масса не имеет единицы измерения.

Для определения обычной массы некоторого количества вещества нужно знать молярную массу (масса одного моля данного соединения, выражается она в граммах на моль, г/моль, и напрямую связана с молекулярной массой). Для этого к полученному значению молекулярной массы просто допишите «г/моль». То есть молярная масса сульфата алюминия составляет 342 г/моль.

Молярная и обычная массы взаимосвязаны формулой: m = ? * M , где m — обычная масса, выраженная в граммах, ? — количество вещества в молях, М — молярная масса в г/моль. Умножьте молярную массу на количество молей и получите массу вещества. Так, 1 моль сульфата алюминия весит 342 грамма, 2 моля — 684 грамм и т.д.

Если вам известно количество вещества в молях и его обычная масса, то молярную массу рассчитывайте по формуле M = m / ?.

Видео по теме

Источники:

  • молярная масса алюминия
  • Четыре бруска одинаковой массы изготовлены из алюминия

Часто бывает так, что в ходе химической реакции образуется малорастворимое вещество, выпадающее в осадок (к примеру, сульфат бария, фосфат кальция, хлорид серебра и т.д.). Предположим, химику поставлена задача: определить массу этого осадка. Каким образом можно это сделать?

Инструкция

Если вам неизвестны точные количества исходных веществ, то придется действовать опытным путем. То есть сначала отделите осадок от раствора (путем фильтрования или на обычной воронке, или с использованием воронки Бюхнера). После чего тщательно высушите его и взвесьте на аналитических весах. Так вы получите достаточно точный результат.

Ну а если вам известны точные количества веществ, вступавших в реакцию, то все будет гораздо проще. Например, изначально было 28,4 грамма сульфата натрия и 20,8 грамма хлорида бария. Сколько граммов осадка образовалось? Напишите правильное уравнение химической реакции: Na2SO4 + BaCl2 = BaSO4 + 2NaCl.В результате этой реакции образуется практически нерастворимое вещество – сульфат бария, мгновенно выпадающий в виде плотного белого осадка.

Вычислите, какое из веществ было взято в недостатке, а какое – в избытке. Для этого подсчитайте молярные массы исходных реагентов:46 + 32 + 64 = 142 г/моль – молярная масса сульфата натрия;
137 + 71 = 208 г/моль – молярная масса хлорида бария.То есть в реакцию вступали 0,2 моля сульфата натрия и 0,1 моля хлорида бария. Сульфат натрия был взят в избытке, следовательно, весь хлорид бария прореагировал.

Подсчитайте количество образовавшегося осадка. Для этого разделите молекулярную массу сульфата бария на молекулярную массу хлорида бария и результат умножьте на количество исходного вещества:20,8 * 233/208 = 23,3 грамма.

А если бы сульфат натрия был в недостатке? Предположим, в реакцию вступило бы не 28,4 грамма этой соли, а в 5 раз меньше – всего 5,68 грамма. И тут нет абсолютно ничего сложного. 5,68 грамма сульфата натрия составляют 0,04 моля. Следовательно, в реакцию с таким количеством этой соли могло вступить также всего 0,04 моля хлорида бария, то есть 0,04 х 208 = 8,32 грамма. Прореагировало только 8,32 грамма из исходных 20,8 граммов.

Умножив эту величину на соотношение молярных масс сульфата бария и хлорида бария, получите ответ: 8,32 * 233/208 = 9,32 грамма осадка.

Источники:

  • как найти массу осадка в растворе
  • Вычисление молярной массы эквивалента

Некоторые химические задачи требуют выполнения стандартных действий, поэтому их знание часто оказывается полезным. Алгоритм нахождения количества вещества достаточно прост, он может пригодиться для упрощения хода решения.

Инструкция

Определите для себя, что как теоретическое понятие представляет собой количество вещества. Это число показывает то количество структурных элементов, которые входят в данное вещество. При этом в качестве структурных частиц рассматриваются как атомы и молекула, так и протоны, электроны и т.д. Понимание позволит вам быстрее понять, что в данной задаче будет полезно вычислить количество вещества.

Запомните основную единицу выражения количества вещества – моль. 1 Моль – это такое количество вещества, которое содержит число частиц, равное количеству атомов в 12 грамма нуклида углерода. Это количество носит название постоянной Авогадро: для вычислений вам потребуется знать его примерное значение: 6,022*1023.

Познакомьтесь также с еще одним понятием, которое потребуется вам для вычисления количества вещества: это молярная масса, или масса одного моля отдельного атома элемента. Уже из определения заметно, что она измеряется в г/моль. Воспользуйтесь стандартной таблицей, которая содержит значения молярной массы для некоторых элементов.

Примените формулу для нахождения количества вещества: n = m/M, где n – искомая величина, m – его масса, а М – молярная масса. В задаче могут содержаться данные о молекулярной массе, представляющей собой массу одной молекулы, выраженной в атомной единице массы. В этом случае для нахождения молярной массы вам потребуется умножить это число на постоянную Авогадро.

Воспользуйтесь формулой для вычисления количества вещества для газообразных веществ, если в задаче предъявлены соответствующие условия. В этом случае вам необходимо оперировать не с массой, а с объемом исходного элемента, а вместо молярной массы используйте молярный объем газа при нормальных условиях (2,24 л/моль).

Масса вещества находится при помощи прибора, который называется весы. Можно также рассчитать массу тела, если известно количество вещества и его молярная масса или его плотность и объем. Количество чистого вещества можно находите по его массе или количеству молекул, которое в нем содержится.

Вам понадобится

  • — весы;
  • — таблица плотностей;
  • — периодическая таблица элементов.

Инструкция

Чтобы найти массу тела положите его на весы и произведите измерения. В рычажных весах вес тела нужно будет уравновесить специальным противовесом, а в электронных просто положите тело на специальную платформу. Массу тела на рычажных весах типа медицинских определите по специальной шкале, а при равных плечах рычага (типа аптекарских), по массе противовеса.

Если взвесить вещество на весах не представляется возможным, рассчитайте его массу через плотность. Для этого найдите объем вещества. Измерьте его линейные размеры и произведите расчет. По специальной таблице найдите плотность этого вещества. Найдите его массу m, как произведение плотности ? на объем V (m=?•V). Например, если в комнате размером 6х8х3 метра находится воздух при температуре 20?С, то его массу найдите посчитав объем комнаты (газ занимает весь предоставленный ему объем) V=6•8•3=144 м?. После этого умножьте результат на плотность воздуха для этой температуры она равна 1,2 кг/м?, m=1,2•144=172,8 кг.

Для определения массы чистого вещества узнайте его химическую формулу. С помощью периодической таблицы элементов найдите его молярную массу. Для этого сложите массы всех элементов, входящих в формулу. Полученное число будет равно молярной массе вещества в граммах на моль. Для того чтобы найти массу m, умножьте молярную массу M на количество вещества ? (m=?•M). Массу получите в граммах.

Если же известна масса вещества, определите молярную массу по периодической таблице и найдите количество вещества. Для этого массу вещества в граммах m, поделите на его молярную массу M (?=m/M). Результат получите в молях. Например, если взято 108 грамм воды, то ее количество вещества будет ?=108/18= 6 моль, где 18 г/моль – молярная масса воды.

Если известно число молекул вещества, но найдите количество вещества, пользуясь числом Авогадро NA=6,022•10^23 1/моль (количество молекул вещества в 1 моле). Чтобы найти количество вещества поделите число молекул N на число Авогадро NA (? = N/ NA).

В ходе химической реакции могут образоваться самые разные вещества: газообразные, растворимые, малорастворимые. В последнем случае они выпадают в осадок. Часто возникает необходимость узнать, какова точная масса образовавшегося осадка. Каким образом это можно вычислить?

Вам понадобится

  • — стеклянная воронка;
  • — бумажный фильтр;
  • — лабораторные весы.

Инструкция

Можете действовать опытным путем. То есть, проведите химическую реакцию, тщательно отделите образовавшийся осадок от фильтрата с помощью обычной стеклянной воронки и бумажного фильтра, например. Более полное отделение достигается с помощью вакуумной фильтрации (на воронке Бюхнера).

После этого осадок высушите – естественным путем или под вакуумом, и взвесьте с возможно большей точностью. Лучше всего, на чувствительных лабораторных весах. Вот так будет решена поставленная задача. К этому методу прибегают, когда неизвестны точные количества исходных веществ, вступивших в реакцию.

Если же вам известны эти количества, тогда задачу можно решить гораздо проще и быстрее. Предположим, необходимо вычислить, сколько хлористого серебра образовалось при взаимодействии 20 грамм хлористого натрия — поваренной соли — и 17 грамм азотнокислого серебра. Прежде всего, напишите уравнение реакции:NaCl + AgNO3 = NaNO3 + AgCl.

В ходе этой реакции образуется очень мало растворимое соединение – хлорид серебра, выпадающий в виде белого осадка.

Подсчитайте молярные массы исходных веществ. Для хлористого натрия она примерно составляет 58,5 г/моль, для азотнокислого серебра – 170 г/моль. То есть, изначально по условиям задачи вы имели 20/58,5 = 0,342 моля хлористого натрия и 17/170 = 0,1 моля азотнокислого серебра.

Таким образом, получается, что хлористый натрий изначально был взят в избытке, то есть, реакция по второму исходному веществу пройдет до конца (прореагируют все 0,1 моля азотнокислого серебра, «связав» те же 0,1 моля поваренной соли). Сколько же образуется хлористого серебра? Для ответа на этот вопрос, найдите молекулярную массу образовавшегося осадка: 108 + 35,5 = 143,5. Умножив изначальное количество азотнокислого серебра (17 грамм) на соотношение молекулярных масс продукта и исходного вещества, получите ответ: 17* 143,5/170 = 14,3 грамма. Вот такова будет точная масса осадка, образовавшегося в ходе реакции.

Полезный совет

Разумеется, полученный ответ не очень точный, поскольку вы использовали в расчетах округленные значения атомных масс элементов. Если требуется большая точность, необходимо учесть, что атомная масса серебра, к примеру, равна не 108, а 107,868. Соответственно, атомная масса хлора не 35,5, а 35, 453 и т.д.

Источники:

  • вычислите массу осадка который образовался при взаимодействии

В задачах по химии школьного курса, как правило, требуется вычислить объем для газообразного продукта реакции. Вы можете это сделать, если известно количество молей любого участника химического взаимодействия. Или найдите это количество из других данных задачи.

Вам понадобится

  • — ручка;
  • — бумага для записей;
  • — калькулятор;
  • — таблица Менделеева.

Инструкция

Прежде всего, составьте уравнение реакции. Возьмите для примера реакцию горения аммиака в кислороде с образованием азота и воды. Вам необходимо найти объем выделившегося газа N2. Проставьте коэффициенты в уравнении. Чтобы проверить себя, сосчитайте количество атомов одного элемента в левой и правой части уравнения. Обратите внимание, в каком соотношении химические соединения участвуют в реакции. Теперь, зная количество любого из участников реакции, вы можете определить, сколько молей азота образовалось.

Например, известно, что масса полученной воды, m(h3O), 72 грамма. Рассчитайте молярную массу воды. Для этого найдите в таблице Менделеева значения атомных масс элементов, составляющих молекулу, и сложите их: М(h3O) = 2*1 + 16 = 18 г/моль. Вычислите количество молей образовавшейся воды: v(h3O) = m(h3O)/M(h3O) = 72/18 = 4 моля.

Определите, сколько молей азота получилось, составив пропорцию: 6 моль Н2О — 2 моля N2; 4 моля Н2О – х моль N2. Решите уравнение, найдя х: х = 2*4/6 = 1,33 моль.

Согласно закону Авогадро, один моль любого газа в нормальных условиях, т.е. при температуре 0о и давлении 101325 Па, занимает 22,4 литра. Рассчитайте объем выделившегося 1,33 моля азота: V(N2) = 22,4*1,33 = 29,8 литра.

Если вы знаете, что в реакцию вступило, к примеру, 18 литров кислорода, воспользуйтесь законом объемных отношений Гей-Люссака. Он определяет, что объемы газов, участвующих в реакции, относятся друг к другу, как простые целые числа. То есть из уравнения реакции следует, что из трех литров O2 получается два литра N2. Вы можете сделать вывод, что из 18 литров кислорода образуется 12 литров азота.

Источники:

  • вычислите продукт реакции н2 s

www.kakprosto.ru

Как правильно с помощью формул найти объем прямоугольного параллелепипеда?

Прямоугольный параллелепипед, с точки зрения математики, является объемной фигурой с шестью гранями. Увидеть его можно, если посмотреть на прямоугольный бассейн, кирпич или спичечный коробок.

Эта фигура очень часто встречается в повседневной жизни, однако, нередко возникает необходимость узнать ее объем, что для многих представляет некоторые трудности. Например, какого объема необходим бак для воды на дачном участке, или каким размером делать бассейн.

Во многих других ситуациях возникает проблема, как найти объем параллелепипеда правильно.

Между тем вычислить это значение очень просто. Достаточно лишь знать ширину, длину и высоту предмета или объекта. И также необходимо знать формулу, с помощью которой и находят объем данной геометрической фигуры.

Основные особенности и формула для расчета

Для того чтобы найти объем параллелепипеда необходимо:

  • определить длину, высоту и ширину объекта;
  • и после этого перемножить данные значения друг на друга;
  • получившиеся данные и будут объемом.

Это все предельно просто и не таит никаких подводных камней. Главное — это знать требуемые значения, без которых выполнить расчет будет невозможно.

При этом важно знать, что определить параметр можно в сантиметрах, кубометрах, дециметрах и некоторых других размерностях в зависимости от требований. Если говорить о Международной системе единиц (СИ), параметр рассчитывают в сантиметрах. Это оптимальный вариант. Но при желании всегда можно перевести значение в требуемые размерности.

Формула расчета в двух вариантах

Итак, для расчета по формуле нужно знать длину, ширину и высоту измеряемого предмета. Эти данные следует обозначить соответственно как А, B и C, а объем обычно представляют буквой V. Формула для определения объема прямоугольного параллелепипеда при этом будет выглядеть следующим образом: V = A x B x C.

Если определятся объем бассейна, то необходимо его длину, ширину и глубину перемножить. Для более простого восприятия давайте разберем правила расчета объема параллелепипеда на примере. Допустим, что его длина составляет 10 метров, ширина достигает 3 метров, а глубина — 1,5. В этом случае объем этого объекта определяется следующим образом: 10x3x1,5=45 кубометров, или 45 кубических метров.

Можно выделить и другую формулу, которая имеет некоторое отличие. Она представляет собой произведение площади основания на высоту. Формула выглядит следующим образом: V = S x h. Здесь h — высота параллелепипеда. S — площадь основания, которая представлена произведением двух сторон основания. Обычно их обозначают, как a и b: S = a x b.

При расчете можно пользоваться любой из двух приведенных формул. Обе являются верными и позволяют получить точные данные. Последний вариант удобен, когда уже известна площадь основания. Если же она неизвестна, проще перемножать сразу три линейных размера, исключая необходимость в лишней процедуре.

О чем еще следует знать для правильности расчета?

Для вычисления объема параллелепипеда необходимо понять, что это за фигура. Она представляет собой призму, основание которой — параллелограмм. Параллелепипед имеет 6 граней, каждый из которых является параллелограммом. При этом выделяют несколько видов фигур. Принцип расчета не имеет конкретных отличий, но сами фигуры внешне отличаются. Итак, можно выделить такие виды:

  1. Прямоугольный параллелепипед. Эта фигура представляет собой параллелепипед, который имеет все грани в виде прямоугольников.
  2. Прямым параллелепипедом является фигура, у которой 4 боковые грани — прямоугольники.
  3. Куб — это еще один вид параллелепипеда. Он представляет собой прямоугольный параллелепипед, все стороны которого равны между собой. Другими словами, все шесть граней такой фигуры, как куб — это равные квадраты.

И также важно помнить о том, что в процессе выполнения расчета у каждой составляющей формулы должна быть одна и та же размерность. Если опустить это простое правило, получить верный результат не удастся. Если вы выполняете расчеты просто на уроках математики, проблемой могут стать только неудовлетворительные оценки. А при проектировании и наличии ошибок в расчетах проблемы могут быть более серьезными.

Не стоит думать, что основные математические формулы по определению объемов геометрических фигур встречаются исключительно на уроках математики. В большинстве случаев они пригодятся и в последующей жизни. В частности, во время ремонтных или строительных работ, при проектировании и декорированию интерьера, а также в ряде других случаев. Именно тогда без правильной формулы обойтись не удастся.

Можно подвести итог: объем параллелепипеда равен произведению трех линейных размеров — длины, ширины, высоты. Параметр напрямую зависит от трех единиц измерения при любом вращении и повороте. Результат будет неизменным.

Видео

Видео поможет вам научиться находить объем прямоугольного параллелепипеда.

liveposts.ru

Как вычислить объем

Можно вычислить объем несколькими способами. Обычно для каждой из геометрических фигур существует несколько методов вычисления объема.
Рассмотрим основные способы нахождения объема основных правильных геометрических фигур.

  1. Объем прямоугольного параллелепипеда можно через его длину, высоту и ширину. Для этого их нужно перемножить:
  1. Объем цилиндра находят через радиус его основания и его высоту. Для этого нужно радиус возвести в квадрат и умножить на высоту и постоянное число Пи:

Известно, что радиус равен половине диаметра, поэтому данную формулу можно записать через диаметр:

  1. Объем пирамиды можно вычислить через площадь его основания и высоту пирамиды. Для этого нужно найти их произведение и разделить на три:
  1. Объем конуса находят через радиус основания и высоту. Для этого находят произведение квадрата радиуса на высоту и число Пи, а затем делят результат на три:

Или через диаметр:

  1. Объем сферы находят через ее радиус. Для этого радиус возводят в третью степень и умножают на число Пи и дробь 4/3:

Или через диаметр:

ru.solverbook.com

Как найти объем вещества?

Химия и физика всегда подразумевают вычисление различных величин, в том числе и объём вещества. Объем вещества можно рассчитать при помощи некоторых формул. Главное знать, в каком состоянии находится данное вещество. Агрегатных состояний, в которых могут пребывать частицы, существует четыре:

  • газообразное;
  • жидкое;
  • твёрдое;
  • плазменное.

Для вычисления объёма каждого из них есть своя конкретная формула. Для того чтобы найти объем, нужно иметь определённые данные. К ним относятся масса, молярная масса, а также для газов (идеальных) – газовая постоянная.

Процесс нахождения объема вещества

Давайте рассмотрим, как найти объём вещества, если оно находится, к примеру, в газообразном состоянии. Для подсчёта нужно выяснить условия задачи: что известно, какие параметры даются. Формула, по которой можно определить, каков объём данного газа, такова:

V = n*Vm

Необходимо молярное количество имеющегося вещества (именуемого n) умножить на молярный его объём (Vm). Так можно узнать объём (V). Когда газ находится в нормальных условиях — н. у., то его Vm – объём в молях составляет 22,4 л./моль. Если в условии сказано, сколько вещества в молях имеется (n), то нужно подставить данные в формулу и выяснить конечный результат.

Если условия не предусматривают указания данных о молярном количестве (n), его нужно выяснить. Есть формула, которая поможет сделать вычисление:

n = m/M

Нужно массу вещества (в граммах) разделить на его молярную массу. Теперь можно сделать вычисление и определить молярное количество.  М – это константа, которую можно посмотреть  в таблице Менделеева. Под каждым элементом есть число, которое обозначает его массу в молях.

Определение объема вещества в миллилитрах

Как определить объём вещества в миллилитрах? Что может быть указано в условиях задачи: масса (в граммах), консистенция в молях, количество данного вам вещества, а также его плотность. Существует такая формула, по которой можно подсчитать объём:

V = m/p

Масса в граммах должна быть разделена на плотность указанного вещества.

Если вам не известна масса, то её можно рассчитать так:

m = n*M

Молярное количество вещества нужно умножить на его молярную массу. Для того чтобы правильно подсчитать молярную массу (М), нужно знать формулу того вещества, которое даётся в условии задачи. Нужно сложить атомную массу каждого из элементов вещества. Также если нужно узнать плотность вещества, можно пользоваться такой обратной формулой:

q =m/V

Если вам известно молярное количество (n) и концентрация (с) вещества, можно также подсчитать объём. Формула будет выглядеть следующим образом: 

V = n/c

Вам необходимо молярное количество данного в задаче вещества разделить на его молярную концентрацию. Отсюда можно вывести форму

elhow.ru

Все основные формулы для объема тела

Объем тел

Как найти объем тела с помощью простых и понятных формул ? Очень просто, нажимаем на нужную ссылку. Если требуется, вывести все формулы на странице, нажимаем на ссылку:

Все формулы раздела

Подробности

Автор: Administrator

Опубликовано: 26 сентября 2011

Обновлено: 14 ноября 2017

Прежде чем мы перейдём к нашей теме, давайте
ненадолго вернёмся в алгебру и вспомним формулу Ньютона-Лейбница, которая
позволяет нам вычислить определённый интеграл, повторим основные свойства
интеграла.

Если функция  непрерывна
на отрезке ,
то справедлива формула:

 –
первообразная для .

 
геометрический смысл определённого интеграла.

Изучая алгебру, мы говорили, что с помощью определённого
интеграла можно вычислять площадь плоских фигур.

Сегодня на уроке мы попробуем применить определённый
интеграл к вычислению объёмов тел.

Заключим тело ,
объём которого нужно найти между двумя параллельными плоскостями  и
.

Введём систему координат так, чтобы ось ,
абсциссы точек пересечения оси  с
плоскостями  и
 обозначим
буквами  и
.
Пусть .

Пересечём наше тело произвольной плоскостью,
перпендикулярной к оси .
Фигура  –
полученная в сечении тела плоскостью является либо кругом либо многоугольником
для любого  из
отрезка .
В граничных точках сечение может вырождаться в точку, как, например, в нашем
случае при .

Обозначим площадь фигуры  за
.
Предположим, что  –
это непрерывная функция на числовом отрезке .

Разобьём числовой отрезок  на
 равных
отрезков.

Длина каждого отрезка равна .

Через точки с абсциссами  проведём
плоскости, перпендикулярные к оси .
Тогда наше тело  разобьётся
на  тел
,
,
…, .

Высота каждого из этих тел равна .

Если фигура  –
круг, то объём тела  приближённо
равен объёму цилиндра, с основанием  и
высотой .

Если же в сечении – многоугольник, то объём тела  приближённо
равен объёму прямой призмы с основанием  и
высотой .

Каждый из этих объёмов равен произведению площади
основания на высоту .
Тогда объём всего тела равен сумме этих объёмов .
Чем больше ,
тем точнее приближённое значение объёма всего тела и меньше .

Без доказательства примем, что объём тела  равен
.

С другой стороны, сумма  является
интегральной суммой для непрерывной функции  на
числовом отрезке ,
поэтому можно записать, что предел .

Тогда получим, что объем тела  равен
.

Эта формула называется основной формулой для
вычисления объёмов тел.

Давайте теперь попробуем найти с помощью определённого
интеграла объёмы пространственных тел.

Начнём с прямоугольного параллелепипеда, высота
которого равна ,
а площадь основания – .

Площадь сечения прямоугольного параллелепипеда не
изменяется в любой точке отрезка от  до
 и
равна площади основания. Тогда получим, что объём прямоугольного
параллелепипеда равен .
Вынесем  за
знак интеграла и получим, что объём прямоугольного параллелепипеда равен .

Теперь попробуем с помощью интеграла вычислить объём
прямой призмы.

Пусть дана прямая  -угольная
призма с площадью основания  и
высотой .

Как и в случае прямоугольного параллелепипеда,
площадь сечения прямой призмы не изменяется в любой точке отрезка от  до
 и
равна площади основания. Тогда получим, что объём прямой призмы равен .
Вынесем  за
знак интеграла и получим, что объём прямой призмы равен .

Теперь рассмотрим цилиндр с высотой  и
площадью основания .

Как и в случае прямоугольного параллелепипеда и
прямой призмы, площадь сечения цилиндра не изменяется в любой точке отрезка от  до
 и
равна площади основания. Тогда получим, что объём цилиндра равен .
Вынесем  за
знак интеграла и получим, что объём цилиндра равен .

Решим несколько задач.

Задача:
сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси  и
проходящей через точку с абсциссой ,
является квадратом, сторона которого равна .
Найти объем этого тела.

Решение:
воспользуемся только что доказанной формулой.

По рисунку видно, что пределами интегрирования будут
числа .
Поскольку сечение плоскости – квадрат, значит, площадь сечения равна .

Тогда получим, что объём этой фигуры равен .

Задача:
найти объём тела, полученного вращением данной кривой вокруг оси .

Решение:
очевидно, что границами интегрирования будут числа .

В сечении полученного тела плоскостью,
перпендикулярной оси  будет
круг, радиус которого равен ординате точки с абсциссой ,
то есть радиусом этого круга будет .

Площадь такого круга равна .
Поскольку  принимает
только неотрицательные значения, то можно записать, что площадь сечения равна .

Вычислим объём полученного тела как .
Применив формулу Ньютона-Лейбница, получим, что объём данного тела равен .

Задача:
найти объём тела, полученного вращением данной кривой вокруг оси .

Решение:
давайте внимательно посмотрим на получившееся тело.

Его можно получить из цилиндра, который получится
при вращении прямоугольника вокруг своей стороны. Для этого надо из данного
цилиндра «вынуть» фигуру, которую мы получили в предыдущей задаче.

Объём такой фигуры будет равен разности объёмов .

Радиусом основания цилиндра будет ордината точки с
абсциссой равной 1. То есть радиус основания цилиндра равен .
Высота цилиндра тоже равна .
Тогда получим, что объём цилиндра равен .

Тогда объём искомой фигуры равен .

Итоги:

Сегодня на уроке мы показали, что объём
геометрического тела можно найти с помощью определённого интеграла. Определили
объёмы известных нам тел через интегралы. Рассмотрели несколько задач.

План урока:

Вычисление объема тела с помощью интеграла

Вычисление объема тел вращения

Объем наклонной призмы

Объем пирамиды

Объем конуса

Объем шара

Шаровой сегмент

Площадь сферы

Вычисление объема тела с помощью интеграла

Пусть у нас есть произвольная фигура, расположенная между двумя параллельными плоскостями:

1 obem slozhnyh tel

Как найти ее объем? Поступим следующим образом. Проведем прямую, перпендикулярную этим плоскостям. Эта прямая будет осью координат х. Пусть одна из плоскостей пересекает эту ось в точке а, а другая – в точке b. Таким образом, на координатной прямой появляется отрезок [a; b]. Далее разобьем этот отрезок на n равных отрезков, длина каждого из них будет равна величина ∆х. Обозначим концы этих отрезков как х0, х1, х2…, хn, причем точке х0 будет совпадать с точкой а, а точка хn – с точкой b. Ниже показано такое построение для n = 10:

2 obem slozhnyh tel

Далее через полученные точки проведем сечения, параллельные двум плоскостям, ограничивающим фигуру. Площадь сечения, проходящую через точку с номером i, обозначим как S(xi). Эти плоскости рассекут тело на n других тел. Обозначим объем тела, заключенного между сечениями с площадями S(xi) и S(xi+1) как V(xi). Можно приближенно считать, что эти тела имеют форму прямых цилиндров (напомним, что в общем случае цилиндром необязательно считается фигура, основанием которой является круг, основание может иметь и любую другую форму). Высота всех этих цилиндров будет равна величине ∆х. Тогда объем V(xi) может быть приближенно рассчитан так:

3 obem slozhnyh tel

Общий же объем исследуемой фигуры будет суммой объемов этих прямых цилиндров:

4 obem slozhnyh tel

Здесь знак ∑ означает сумму i слагаемых, каждое из которых равно величине S(xi)•∆х. Ясно, что чем больше мы возьмем число n, тем точнее будет полученная нами формула. Поэтому будет увеличивать число n до бесконечности, тогда приближенная формула станет точной:

5 obem slozhnyh tel

В правой части стоит предел суммы бесконечного числа слагаемых. Мы уже сталкивались с такими пределами, когда изучали определенный интеграл в курсе алгебры. Так как х0 = a, а число хn-1 при бесконечном увеличении n приближается к числу хn, то есть к b, то можно записать следующее:

6 obem slozhnyh tel

Здесь S(x) – это некоторая функция, которая устанавливает зависимость между площадью сечения объемной фигуры и координатой х, указывающей расположение этого сечения. Данная формула позволяет вычислять объем с помощью интеграла.

7 obem slozhnyh tel

Итак, для вычисления объема тела необходимо:

1) выбрать в пространстве какую-то удобную ось координат Ох;

2) найти площадь произвольного сечения фигуры, проходящей перпендикулярно оси Ох через некоторую координату х;

3) найти значение чисел а и b – координат сечений, ограничивающих тело в пространстве;

4) выполнить интегрирование.

Понятно, что сразу понять, как используется эта формула, тяжело. Поэтому рассмотрим простой пример.

Задание. Фигура расположена в пространстве между двумя плоскостями, перпендикулярными оси Ох, причем координаты этих сечений равны 1 и 2. Каждое сечение фигуры с координатой х является квадратом, причем его сторона равна величине 1/х. Найдите объем тела.

8 obem slozhnyh tel

Решение. В данной задаче ось Ох уже проведена. Известны и числа а и b – это 1 и 2, ведь именно плоскости, проходящие через точки х =1 и х = 2, ограничивают исследуемое тело. Теперь найдем площадь произвольного сечения с координатой х. Так как оно является квадратом со стороной 1/х, то его площадь будет квадратом этой стороны:

9 obem slozhnyh tel

Вычисление объема тел вращения

Телом вращения называют тело, которое может быть получено вращением какой-то плоской фигуры относительно некоторой оси вращения. Например, цилиндр получают вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон, а усеченный конус – вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию.

10 obem slozhnyh tel

В задачах на вычисление объемов таких тел ось координат Ох уже задана естественным образом – это ось вращения тела. Ясно, что каждое сечение тела, перпендикулярное оси вращения, будет являться кругом.

Рассмотрим случай, когда вокруг оси Ох поворачивают график некоторой функции у = f(x), ограниченный прямыми х = а и у = b. Тогда получится тело, сечениями которого являются круги, причем их радиусы будут равны величине f(x). Напомним, что площадь круга вычисляют по формуле:

11 obem slozhnyh tel

11 2 esli telo vraschenija polucheno vrascheniem edited

Рассмотрим, как на практике используется эта формула.

Задание. Объемное тело получено вращением ветви параболы

12 obem slozhnyh tel

вокруг оси Ох. Оно ограничено плоскостями х = 0 и х = 4. Каков объем такой фигуры?

13 obem slozhnyh tel

Решение. Здесь пределами интегрирования, то есть числами а и b, будут 0 и 4. Используем формулу для тела вращения:

14 obem slozhnyh tel

Объем наклонной призмы

Теперь, используя методы интегрирования, мы можем составить формулы для вычисления объема некоторых фигур. Начнем с треугольной наклонной призмы.

Пусть есть треугольная призма АВСА2В2С2. Проведем ось Ох так, чтобы точка О располагалась в плоскости АВС. Пусть Ох пересечет плоскость А2В2С2 в некоторой точке О2. Тогда отрезок ОО2 будет высотой призмы, ведь он окажется перпендикулярным к обоим основаниям.

15 obem slozhnyh tel

Обозначим длину высоты ОО2 буквой h. Далее докажем, что всякое сечение А1В1С1 призмы, перпендикулярное оси Ох, будет равно ∆АВС. Действительно, если АВС⊥ОО2 и А1В1С1⊥ОО2, то АВС||А1В1С1. Прямые АВ и А1В1 принадлежат одной грани АВВ2А1, но не пересекаются, ведь они находятся в параллельных плоскостях. Аналогично АС||А1С1 и ВС||В1С1. Теперь посмотрим на четырехугольник АВВ1А1. АВ||A1В1 и АА1||ВВ1. Тогда АВВ1А1 по определению является параллелограммом. Это означает, что отрезки АВ и А1В1 одинаковы. Аналогично доказывается, что одинаковы отрезки АС и А1С1, а также ВС и В1С1. Но тогда одинаковы и ∆АВС и ∆А1В1С1.

Итак, площади всех сечений одинаковы и равны площади основания призмы. Обозначим ее как S. Так как S не зависит от координаты, то интегрирование будет выглядеть так:

16 obem slozhnyh tel

Итак, объем треугольной наклонной призмы – это произведение площади ее основания на высоту. Теперь рассмотрим произвольную призму, в чьем основании находится n-угольник. Такой n-угольник можно разбить на треугольные призмы с общей высотой h и площадями оснований S1, S2, S3, …

17 obem slozhnyh tel

Тогда площадь S основания всей призмы будет суммой этих чисел:

18 obem slozhnyh tel

18 2 obem naklonnoj prizmy raven proizvedeniju edited

Задание. Основание призмы – это треугольник со сторонами 10, 10 и 12. Боковое ребро имеет длину 8 и образует с основанием угол в 60°. Вычислите объем призмы.

19 obem slozhnyh tel

Решение. Пусть в основании призмы АВСА1В1С1 лежит ∆АВС со сторонами АВ = 12 и АС = ВС = 10. Его площадь можно найти разными способами, но быстрее всего применить формулу Герона. Сначала найдем полупериметр ∆АВС:

20 obem slozhnyh tel

Далее надо найти высоту призмы. Опустим из точки В1 перпендикуляр В1О на плоскость АВС. Тогда в прямоугольном ∆ОВВ1 ∠В = 60° (по условию задачи и по определению угла между плоскостью и прямой). Зная длину бокового ребра ВВ1, найдем высоту ОВ1:

21 obem slozhnyh tel

Объем пирамиды

Для начала рассмотрим треугольную пирамиду. Вершину пирамиды примем за начало координат точку О, а ось Ох проведем перпендикулярно основанию, причем ось будет направлена от вершины пирамиды к основанию.

22 obem slozhnyh tel

Пусть ось Ох пересечет основание АВС в точке М. Тогда ОМ – это высота, чью длину мы обозначим как h.

Далее построим сечение А1В1С1, параллельное АВС. Это сечение пересечется с ОМ в точке ОМ1. Тогда ОМ1 – это координата х, характеризующая расположение сечения А1В1С1.

Осталось составить выражение для площади ∆А1В1С1. Так как АВ||A1B1, то ∠АВО и ∠А1В1О одинаковы как соответственные углы. Тогда у ∆АВО и ∆А1В1О есть два равных угла (ведь ∠АОВ у них общий), а потому эти треугольники подобны по первому признаку подобия. Это означает, что

23 obem slozhnyh tel

Надо как-то найти значение коэффициента k, который, очевидно, как-то зависит от переменной х. Рассмотрим теперь ∆ОМВ и ∆ОМ1В1. Они прямоугольные, ведь ОМ перпендикулярен плоскостям этих треугольников. Также у них есть общий угол ∠ОВМ. Значит, они подобны, и поэтому

24 obem slozhnyh tel

Итак, если пирамида имеет высоту h и площадь основания S, то объем пирамиды равен:

25 obem slozhnyh tel

Выведенная нами формула справедлива для треугольной пирамиды. Однако если в основании пирамиды лежит произвольный многоугольник, то, разбив этот многоугольник на треугольники, мы разобьем и пирамиду на несколько треугольных пирамид. У них будет общая высота h и площади оснований S1, S2, S3…, которые в сумме составляют площадь многоугольника S.

26 obem slozhnyh tel

Объем треугольных пирамид рассчитывается по выведенной нами формуле:

27 obem slozhnyh tel

27 2 obem piramidy raven odnoj treti ot proizvedenija edited

Задание. В основании пирамиды высотой 15 лежит квадрат со стороной 4. Вычислите ее объем.

Решение. Сначала находим площадь основания. Для этого надо сторону квадрата умножить саму на себя:

28 obem slozhnyh tel

Задание. В кубе АВСDA1В1С1D1 отмечены точки Е и F – середины ребер ВС и CD соответственно. Во сколько раз объем пирамиды С1EFC меньше объема куба?

29 obem slozhnyh tel

Решение. Обозначим длину ребра куба буквой а. Тогда его объем рассчитывается так:

30 obem slozhnyh tel

Задание. Отрезок MN перпендикулярен плоскости пятиугольника АВСDE. Точка K, принадлежащая этой плоскости, делит отрезок MN в отношении 2:1. Во сколько раз объем пирамиды MABCDE больше объема пирамиды NABCDE?

31 obem slozhnyh tel

Решение. Запишем формулы для объемов этих пирамид. При этом учтем, что MK – высота для MABCDE, а NK – это высота для NABCDE.

32 obem slozhnyh tel

Далее рассмотрим такую фигуру, как усеченная пирамида. Ясно, что ее объем можно вычислить, если из объема исходной пирамиды вычесть объем отсеченной верхушки.

33 obem slozhnyh tel

Снова рассмотрим пирамиду ОАВС, через которую проведено сечение А1В1С1, параллельное основанию.

34 obem slozhnyh tel

Обозначим площадь нижнего основания пирамиды как S2, а площадь верхнего основания – как S1. Далее высоту усеченной пирамиды (отрезок ММ1) обозначим как h. Мы уже выяснили ранее, что основания АВС и А1В1С1 – это подобные треугольники, причем коэффициент их подобия k равен отношению высот ОМ и ОМ1. Тогда можно записать:

35 obem slozhnyh tel

Далее используем основное свойство пропорции:

36 obem slozhnyh tel

Далее числитель дроби мы раскладываем на множители, используя формулу разности кубов:

37 obem slozhnyh tel

37 2 obem usechennoj piramidy edited

Задание. Основаниями усеченной пирамиды являются квадраты со сторонами 9 см и 5 см, а высота пирамиды составляет 6 см. Найдите ее объем.

Сначала вычислим площади оснований:

38 obem slozhnyh tel

Объем конуса

Рассмотрим конус с высотой h и радиусом основания R. Совместим начало координат с вершиной конуса и направим ось Ох в сторону основания конуса. Тогда она пересечет основание в какой-то точке М c координатой h. Далее через точку М1 на оси Ох, имеющей координату х, проведем сечение, перпендикулярное оси Ох. Это сечение будет окружностью.

39 obem slozhnyh tel

Также построим образующую ОА, которая будет проходить через сечение в точке А1. Теперь сравним ∆ОАМ и ∆ОА1М1. Они прямоугольные, и у них есть общий угол ∠АОМ. Это значит, что они подобны, и поэтому справедливо отношение:

40 obem slozhnyh tel

Полученную формулу можно переписать в другом виде так, чтобы она содержала площадь основания, причем она будет похожа на аналогичную формулу для пирамиды:

41 obem slozhnyh tel

41 2 obem konusa mozhet byt vychislen po formulam edited

Задание. Радиус конуса – 8 см, а его высота составляет 12 см. Определите его объем.

Решение. Здесь надо просто применить выведенную формулу:

42 obem slozhnyh tel

Задание. В сосуде, имеющем форму перевернутого конуса, вода доходит до уровня, соответствующего 2/3 высоты сосуда. При этом ее объем составляет 192 мл. Каков объем всего сосуда?

43 obem slozhnyh tel

Решение. В задаче фигурируют два конуса. Один из них – это сам сосуд, а второй – его часть, заполненная водой. При выведении формулы объема мы уже выяснили, что радиусы таких конусов пропорциональны их высотам:

44 obem slozhnyh tel

Мы уже заметили, что формулы для объема пирамида и конуса идентичны. По сути, конус можно рассматривать как особый случай пирамиды, у которой в основании лежит не многоугольник, а окружность. Аналогично и усеченный конус можно считать особым случаем усеченной пирамиды, а поэтому для расчета его объема можно применять такую же формулу:

45 obem slozhnyh tel

Задание. Вычислите объем усеченного конуса с высотой 9 и радиусами оснований 7 и 4.

Решение. Сначала находим площади оснований:

46 obem slozhnyh tel

Объем шара

Пришло время разобраться и с таким телом, как шар. Здесь можно использовать тот же метод интегрирования, что и в случае с конусом и пирамидой. Но можно поступить и иначе – использовать выведенную нами для тел вращения формулу

47 obem slozhnyh tel

Шар как раз является телом вращения. Он получается при вращении полуокружности вокруг диаметра, на который эта дуга опирается.

48 obem slozhnyh tel

Напомним известное нам уравнение окружности, чей центр совпадает с началом координат:

49 obem slozhnyh tel

Здесь надо уточнить, что если у получившейся функции впереди записан знак «+», то ее график соответствует полуокружности, находящейся над осью Ох. Если же используется знак «–», то получается уже нижняя полуокружность, расположенная под осью Ох:

50 obem slozhnyh tel

В принципе мы можем поворачивать любую из этих полуокружностей вокруг Ох, но мы выберем верхнюю полуокружность. Заметим, что эта дуга начинается в точке х = – R и заканчивается в точке х = R, эти числа будут пределами интегрирования. Тогда объем шара равен:

51 obem slozhnyh tel

51 2 obem shara vychisljaetsja edited

Задание. Найдите объем шара с радиусом 6.

Решение. Подставляем радиус из условия в формулу:

52 obem slozhnyh tel

Задание. В цилиндр вписан шар. Во сколько раз объем цилиндра больше объема такого шара?

53 obem slozhnyh tel

Решение. Ясно, что так как шар вписан в цилиндр, то радиусы этих тел одинаковы. Обозначим этот радиус как R. Также ясно, что раз шар касается оснований цилиндра, то расстояние между ними (то есть высота цилиндра) равно двум радиусам шара:

54 obem slozhnyh tel

Шаровой сегмент

Когда плоскость проходит через шар, она рассекает его на две фигуры, которые именуются шаровым сегментом. Если из центра шара О провести радиус ОА длиной R в направлении плоскости сечения, который перпендикулярен этой плоскости, то он пересечет ее какой-то точке В. Длину отрезка АВ называют высотой шарового сегмента и обозначают буквой h:

55 obem slozhnyh tel

Ясно, что при этом отрезок ОВ – это расстояние от секущей плоскости (или от основания сегмента) до центра шара, причем этот отрезок имеет длину R –h.

Можно считать, что шаровой сегмент, как и шар, получается при вращении дуги окружности вокруг оси Ох. Однако если сам шар при этом ограничен плоскостями x = R и х = – R, то сегмент ограничен другими плоскостями: х = R и х = R – h. Это значит, что его объем можно вычислить с помощью интеграла также, как и объем шара, отличаться будет лишь нижний предел интегрирования:

56 obem slozhnyh tel

56 2 obem sharovogo segmenta edited

Заметим, что шар можно рассматривать как шаровой сегмент, чья высота вдвое больше его радиуса. И действительно, если в выведенную формулу мы подставим значение h = 2R, то получим уже известную нам формулу объема шара.

Задание. Найдите объем шарового сегмента высотой 6, если он отсечен от шара радиусом 15.

Решение. Используем выведенную формулу:

57 obem slozhnyh tel

Задание. Диаметр шара разделили на три равных отрезка. Через концы этих отрезков провели секущие плоскости, перпендикулярные диаметру. Чему равен объем тела, заключенного между этими двумя плоскостями (оно называется шаровым слоем), если радиус шара обозначен буквой R?

58 obem slozhnyh tel

Решение. Ясно, что для вычисления объема шарового слоя достаточно вычесть из объема шара объемы двух шаровых сегментов, образующихся при проведении секущих плоскостей. Так как они разделили диаметр на три одинаковых отрезка, то высота этих сегментов будет в три раза меньше диаметра шара:

59 obem slozhnyh tel

Площадь сферы

В предыдущих уроках мы уже узнали формулу для вычисления площади сферы, однако тогда мы ее не доказывали. Однако теперь мы можем ее доказать, используя формулу объема шара. Но сначала напомним саму формулу:

60 obem slozhnyh tel

Впишем сферу в многогранник с n гранями. Ясно, что расстояние от граней этого многогранника до центра сферы равно радиусы сферы R. Далее построим пирамиды, чьи вершины находятся в центре сферы, а основания – это грани многогранника. Заметим, что такие пирамиды будут иметь одинаковые высоты длиной R.

Обозначим площади граней многогранника как S1, S2, S3,…Sn. Тогда объемы пирамид, построенных на этих гранях, вычисляются так:

61 obem slozhnyh tel

Заметим, что в сумме эти объемы дают объем всего многогранника, а сумма площадей S1, S2, S3,…Sn – это площадь всей его поверхности. Тогда можно записать:

62 obem slozhnyh tel

62 2 obem mnogogrannika v kotoryj vpisana sfera edited

Теперь начнем неограниченно уменьшать размеры граней многогранника. Тогда число n будет расти, объем многогранника будет приближаться к объему шара, а площадь многогранника – к площади к сфере. Тогда и доказанное равенство можно будет записать так:

63 obem slozhnyh tel

Задание. Необходимо изготовить закрытый сосуд с заранее заданным объемом V. Предлагается два варианта формы этого сосуда – шар и куб. Так как поверхность сосуда покрывается очень дорогой краской, то необходимо выбрать вариант с меньшей площадью поверхности. Какую форму для сосуда следует выбрать?

Решение. Обозначим радиус шара как R, а ребро куба как а. Тогда можно записать:

64 obem slozhnyh tel

Теперь надо выяснить, какое из полученных значений больше. Для этого поделим площадь куба на площадь сферы. Если получится число, большее единицы, то площадь куба больше:

65 obem slozhnyh tel

Получившееся число больше единицы, ведь 6 больше числа π, равного 3,1415926… Значит, и площадь куба больше, а потому необходимо выбрать сосуд, имеющий форму шара.

Ответ: шар.

Примечание. Более сложными математическими методами можно доказать, что если второй сосуд имеет не форму куба, а вообще любую форму, отличную от шара, то всё равно следует выбирать именно сосуд в форме шара. То есть из всех поверхностей, ограничивающих определенный объем, именно сфера имеет наименьшую площадь. Этот факт имеет и физическое следствие – капли дождя и мыльные пузыри стремятся принять форму шара, также как и любые жидкости, находящиеся в невесомости.

Итак, мы научились вычислять объемы таких тел, как конус, пирамида, шар, призма. Также помощью интегрирования можно находить объемы и ещё более сложных тел, если мы можем составить функцию, описывающую площадь их сечения.

Объем тела V, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры , , где y1(x) и y2(x) — непрерывные неотъемлемые функции, равняется определенному интегралу от разницы квадратов функций yi(x) по переменной x

Объем тела V, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры , , где y(x) — однозначная непрерывная функция, равняется определенному интегралу, рассчитанному по формуле

Примеры выбраны из учебной программы для студентов механико-математического факультета Львовского национального университета имени Ивана Франко. 

Первый номер в примерах отвечает номеру основного задания из сборника М. В. Заболоцький, Фединяк С.И., Филевич П.В. «Практикум из математического анализа» (рядом стоит номер из сборника Б. П. Демидовича).
Для изучения основных моментов схема интегрирования и формулы вычисления объема тела вращения будут повторяться из примера в пример.

ІV. Найти объемы тел, ограниченными поверхностями, полученными при вращении отрезков следующих линий

Пример 2.139 (2472) Найти объем тела, образованного вращением кривой (нейлоїд) xє[0;a] вокруг оси Ox.
Решение: Складываем подинтегральную функцию:

Пределы интегрирования известны за условием: [0;a].
Найдем объем тела интегрированием:

Всегда помните, что объем измеряется в кубических единицах.

Пример 2.140 (2473) Найти объем тела, образованного вращением кривой y=2x-x^2, y=0 
а) вокруг оси Ox; б) вокруг оси Oy.
Решение: Запишем подинтегральные функции:
а)
б)
Из приведенных формул Вы можете видеть разницу, в каких случаях применять каждую из формул объема.
Найдем пределы интегрирования:

И заключительным шагом вычисляем объемы интегрированием.
а) Найдем объем тела вращения вокруг оси Ox:

б) Вычислим объем тела вращения вокруг оси Oy:

В этом примере интегралы легко берутся и нет потребности объяснять детали операций.

Пример 2.141 (2474) Вычислить объем тела, образованного вращением кривой y=sin(x)

а) вокруг оси Ox; б) вокруг оси Oy.
Решение: Выпишем подинтегральные функции:
а)
б)
Пределы интегрирования берем из начального условия:

Осталось вычислить определенные интегралы:
а) Найдем объем тела вращения вокруг оси Ox:

б) Выполняем вычисление объема тела при вращении вокруг оси Oy:

Замена переменных помогает найти последний интеграл.

Пример 2.143 (2476) Найти объем тела, образованного вращением кривой y=e— x, y=0,
а) вокруг оси Ox; б) вокруг оси Oy
.
Решение: Уравнение подинтегральных функций :
а) y2=e-2x;
б) x*y (x) =xe-x.
Запишем пределы интегрирования (известно за условием):

а) Находим объем тела вращения вокруг оси Ox:

б) Найдем объем тела вращения вокруг оси Oy:

Здесь, чтобы вычислить интегралы придется находить границу при переменной направляющейся к безграничности.
Во втором интеграле выполняем интегрирование частями.

Пример 2.144 (2477) Вычислить объем тела, образованного вращением кривой x2+(y-b)2=a2, , вокруг оси Ox.
Решение: Фигурой вращения является круг с центром в точке (0;b) и радиусом a.
При выражении самой функции получим две ветки корневых функций:

При поднесении к квадрату разница слагаемых сложит такое выражение подинтегральной функции:

Запишем пределы интегрирования: для круга они равны xє[-a;a] или два полукруга из на промежутке xє[0;a].
Через интеграл находим объем тела вращения вокруг оси Ox:

Внимательно разберите приведенный пример.

Пример 2.145 (2478) Найти объем тела, образованного вращением кривой x2-xy+y2=a2, вокруг оси Ox.
Решение: Сведем кривую к каноническому виду (методами из аналитической геометрии) устанавливаем, что заданная линия является эллипсом
— уравнение в канонической системы координат.
В приведенной системе координат уравнения эллипса имеет вид:

Прямая y=x/2 является осью симметрии этой фигуры.
Запишем подинтегральную функцию:

Найдем пределы интегрирования из условия равности функций y2(x)=y1(x):


или двукратный объем на интервале

Но тогда еще нужно отнять объем тела в пределах

(которая не принадлежит эллипсу) и ограничена первой кривой

и результат умножить на 2 (симметрия).

Последним шагом вычисляем объем тела вращения вокруг оси Ox:

Формула интеграла вышла достаточно длинным, однако его удобно читать пользователям, которые заходят на сайт из мобильных устройств.

Пример 2.146 (2479) Найти объем тела, образованного вращением кривой вокруг оси Ox.
Решение: Запишем подинтегральную функцию:
y2(x)=e-2x*sin (x).
Установим пределы интегрирования: при , где k=0,1,2.
Таким образом имеем бесконечный ряд промежутков интегрирования.
При нахождении объема тела вращения вокруг оси Ox получим бесконечный ряд интегралов, который совпадает:

Здесь вычислили интеграл дважды выполнив замену переменных:

тому
— это числовой ряд.
В данном случае бесконечно нисходящая геометрическая прогрессия, у которой b1=1, b2=e-4Pi, поэтому q=e— 4Pi, а сумма прогрессии равна

Объем тела, образованного вращением вокруг полярной оси плоской фигуры

Чтобы найти объем тела V, образованного в результате вращением вокруг полярной оси плоской фигуры r(phi)
необходимо вычислить определенный интеграл по формуле

Пример 2483 Найти объем тела, образованного вращением кривой r=a (1+cos (phi)), , y=0
а) вокруг полярной оси;
б) вокруг прямой


Решение: Чтобы достать подинтегральную функцию подносим к кубу заданную функцию:

Пределы интегрирования записываем из начального условия:

а) Сначала найдем объем тела вращения вокруг полярной оси:

Для упрощения вычислений переходим к новой переменной под интегралом.
б) Перейдем к новым координатам с помощью формул: x1=y, y1=-x-a/4.
Определяем пределы интегрирования:
при росте угла от 0 к Pi/2 координата x1 растет от 0 к , при росте от Pi/2 к Pi переменная x1 спадает от к 0, поэтому пределы ограничены интервалом

Запишем подинтегральную функцию:
Уравнения перехода между системами координат имеют вид

Подстановкой в уравнение получим:
,
Найдем объем тела вращения вокруг прямой :

откроем скобки, возведем подобные слагаемые и, приняв во внимание, что интеграл равен нулю получим

Здесь последние интегралы выражаются через факториалы

(смотри пример 2.59, часть І).
Парные факториалы вычисляем по правилу

Пример 2484.1 Найти объем тела, образованного вращением кривой r=a*phi (a>0)вокруг полярной оси.
Решение: Запишем подинтегральную функцию:

С пределами интегрирования проблем нет:

Чтобы найти объем тела вращения вокруг полярной оси выполняем ряд манипуляций с интегралами:

Внимательно проанализируйте, как находится этот «тригонометрический» интеграл.

Пример 2484.2 Найти объем тела, образованного вращением кривой phi=Pi*r3, phi=Pi, вокруг полярной оси.
Решение: Запишем подинтегральную функцию:

Пределы интегрирования:
 
Вычисляем объем тела вращения вокруг полярной оси:

Здесь синус вносим под дифференциал и выполняем интегрирование частями.
На данное время это все примеры, которые мы смогли подготовить для Вас по данной теме.

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Как найти место родника
  • Как найти среднюю скорость теплового движения молекул
  • Как составить вопрос по английски угадай какого цвета рыба
  • Как составить скрипт разговора с клиентом входящий звонок
  • Как найти колличество элементов в массиве

  • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии