Как найти общее напряжение в смешанной цепи

Смешанное соединение резисторов. Расчет смешанного соединения

Здравствуйте, уважаемые читатели сайта sesaga.ru. Смешанное соединение резисторов представляет собой сложную электрическую цепь, в которой часть резисторов соединена последовательно, а часть параллельно.

В радиолюбительской практике такое включение резисторов встретить трудно, так как нет смысла подбирать сопротивление таким сложным способом. Достаточно соединить два, ну максимум три резистора последовательно или параллельно, чтобы подобрать нужный номинал.

Смешанное соединение встречается в основном в учебниках физики или электротехники в виде задач. Мне вспоминается такая задачка из школьной программы, но тогда она мне показалась сложной и правильно решить ее не получилось.

И вот, исходя из полученного опыта, хочу рассказать Вам, как вычислить общее сопротивление смешанного соединения резисторов. Вдруг кому-нибудь в жизни да и пригодится.

Расчет смешанного соединения резисторов.

Расчет начинают от дальнего участка цепи по отношению к источнику питания.
Определяют участок с параллельным или последовательным соединением двух резисторов и высчитывают их общее сопротивление Rобщ. Затем полученное сопротивление складывают с рядом стоящим резистором и т.д.

Суть данного метода заключается в уменьшении количества элементов в цепи с целью упрощения схемы и, соответственно, упрощению расчета общего сопротивления.

Разберем схему смешанного соединения из семи резисторов:

Самым дальним участком схемы оказались резисторы R6 и R7, соединенные параллельно:

Вычисляем их общее сопротивление используя формулу параллельного соединения:

Теперь если сравнить первоначальную схему с получившейся, то здесь мы видим, что она уменьшилась на один элемент и вместо двух резисторов R6 и R7 остался один R6 с суммарным сопротивлением равным 30, 709 кОм.

Продолжим расчет и следующим дальним участком схемы оказались резисторы R5 и R6, соединенные последовательно:

Вычисляем их общее сопротивление используя формулу последовательного соединения. Сопротивление резистора R5 составляет 27 Ом, а R6 = 30,709 кОм, поэтому для удобства расчета килоомы переводим в Омы (1 кОм = 1000 Ом):

Схема уменьшилась еще на один элемент и приняла вид:

Теперь дальним участком оказались резисторы R4 и R5 соединенные параллельно:

Вычисляем их общее сопротивление:

Первоначальная схема опять изменилась и теперь состоит всего из четырех резисторов соединенных последовательно. Таким образом мы максимально упростили схему и привели ее к удобному расчету.

Теперь все просто. Складываем сопротивления оставшихся четырех резисторов, используя формулу последовательного соединения, и получаем общее сопротивление всей цепи:

Вот в принципе и все, что хотел сказать о смешанном соединении резисторов и расчете смешанного соединения.
Удачи!

Источник

Ток и напряжение при параллельном, последовательном и смешанном соединении проводников

Реальные электрические цепи чаще всего включают в себя не один проводник, а несколько проводников, как-то соединенных друг с другом. В самом простом виде электрическая цепь имеет только «вход» и «выход», то есть два вывода для соединения с другими проводниками, через которые заряд (ток) имеет возможность втекать в цепь и из цепи вытекать. При установившемся токе в цепи, значения величин токов на входе и на выходе будут одинаковы.

Если взглянуть на электрическую цепь, включающую в себя несколько разных проводников, и рассмотреть на ней пару точек (вход и выход), то в принципе остальная часть цепи может быть рассмотрена как одиночный резистор (по ее эквивалентному сопротивлению).

При таком подходе говорят, что если ток I – это ток в цепи, а напряжение U – напряжение на выводах, то есть разность электрических потенциалов между точками «входа» и «выхода», то тогда отношение U/I можно рассмотреть как величину эквивалентного сопротивления R цепи целиком.

Если закон Ома выполняется, то эквивалентное сопротивление можно вычислить довольно легко.

Ток и напряжение при последовательном соединении проводников

В простейшем случае, когда два и более проводников объединены друг с другом в последовательную цепь, ток в каждом проводнике окажется одним и тем же, а напряжение между «выходом» и «входом», то есть на выводах всей цепи, будет равным сумме напряжений на составляющих цепь резисторах. И поскольку закон Ома справедлив для любого из резисторов, то можно записать:

Итак, для последовательного соединения проводников характерны следующие закономерности:

Для нахождения общего сопротивления цепи, сопротивления составляющих цепь проводников складываются;

Ток через цепь равен току через любой из проводников, образующих цепь;

Напряжение на выводах цепи равно сумме напряжений на каждом из проводников, образующих цепь.

Ток и напряжение при параллельном соединении проводников

При параллельном соединении нескольких проводников друг с другом, напряжение на выводах такой цепи — это напряжение на каждом из проводников, составляющих цепь.

Напряжения на всех проводниках равны между собой и равны напряжению приложенному (U). Ток через всю цепь — на «входе» и «выходе» — равен сумме токов в каждой из ветвей цепи, параллельно объединенных и составляющих данную цепь. Зная, что I = U/R, получаем, что:

Итак, для параллельного соединения проводников характерны следующие закономерности:

Для нахождения общего сопротивления цепи — складываются обратные величины сопротивлений составляющих цепь проводников;

Ток через цепь равен сумме токов через каждый из проводников, образующих цепь;

Напряжение на выводах цепи равно напряжению на любом из проводников, образующих цепь.

Эквивалентные схемы простых и сложных (комбинированных) цепей

В большинстве случаев схемы цепей, являясь комбинированным соединением проводников, поддаются пошаговому упрощению.

Группы соединенных последовательно и параллельно частей цепи, заменяют эквивалентными сопротивлениями по приведенному выше принципу, шаг за шагом вычисляя эквивалентные сопротивления кусочков, затем приводя их к одному эквивалентному значению сопротивления всей цепи.

И если сначала схема выглядит довольно запутанной, то будучи упрощенной шаг за шагом, она может быть разбита на меньшие цепочки из последовательно и параллельно соединенных проводников, и так в конце концов сильно упрощена.

Между тем, не все схемы подаются упрощению таким простым путем. Простая с виду схема «моста» из проводников не может быть исследована таким образом. Здесь нужно применять уже несколько правил:

Для каждого резистора выполняется закон Ома;

В любом узле, то есть в точке схождения двух и более токов, алгебраическая сумма токов равна нулю: сумма токов втекающих в узел, равна сумме токов вытекающих из узла (первое правило Кирхгофа);

Сумма напряжений на участках цепи при обходе по любому пути от «входа» до «выхода» равна приложенному к цепи напряжению (второе правило Кирхгофа).

Мостовое соединение проводников

Дабы рассмотреть пример использования приведенных выше правил, рассчитаем цепь, собранную из проводников, объединенных в схему моста. Чтобы вычисления получились не слишком сложными, примем, что некоторые из сопротивлений проводников равны между собой.

Обозначим направления токов I, I1, I2, I3 на пути от «входа» в цепь — к «выходу» из цепи. Видно, что схема симметрична, поэтому токи через одинаковые резисторы одинаковы, поэтому обозначим их одинаковыми символами. В самом деле, если поменять у цепи местами «вход» и «выход», то схема будет неотличима от исходной.

Для каждого узла можно записать уравнения токов, исходя из того, что сумма токов втекающих в узел равна сумме токов вытекающих из узла (закон сохранения электрического заряда), получится два уравнения:

Следующим шагом записывают уравнения сумм напряжений для отдельных участков цепи при обходе цепи от входя к выходу различными путями. Так как схема является в данном примере симметричной, то достаточно двух уравнений:

В процессе решения системы линейных уравнений, получается формула для нахождения величины тока I между зажимами «входным» и «выходным», исходя из заданного приложенного к цепи напряжения U и сопротивлений проводников:

А для общего эквивалентного сопротивления цепи, исходя из того, что R = U/I, следует формула:

Можно даже проверить правильность решения, например приведя к предельным и к частным случаям величины сопротивлений:

Теперь вы знаете, как находить ток и напряжение при параллельном, последовательном, смешанном, и даже при мостовом соединении проводников, применяя закон Ома и правила Кирхгофа. Эти принципы очень просты, и даже самая сложная электрическая цепь с их помощью в конце концов приводится к элементарному виду путем нескольких несложных математических операций.

Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!

Подписывайтесь на наш канал в Telegram!

Просто пройдите по ссылке и подключитесь к каналу.

Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:

Источник

Решение задач на смешанное соединение проводников.

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

При решении задач на смешанное соединение проводников обычно составляют так называемые эквивалентные схемы, выделяя участки с последовательным и параллельным соединением.

Сопротивление R _1,2 заменило выделенный участок цепи, в котором два проводника соединены параллельно.

Тогда мы можем найти сопротивление этого участка с параллельным соединением проводников:

А теперь видно, что проводники R _1,2 и R ₃ соединены последовательно. Общее сопротивление равно R = R _1,2 + R ₃ = 4 + 2 = 6 .

В данном случае нужно развернуть схему, двигаясь от точки к точке. Видно, что в точке Б схема разветвляется, а в точке В ветви соединяются. Таким образом, эквивалентные схемы будут иметь вид:

R ₂ , R ₃ и R ₄ соединены последовательно. Поэтому R _2,3,4 = R ₂ + R ₃ + R ₄ = 1 + 10 + 1 = 12

R _2,3,4 и R ₅ соединены параллельно. Поэтому

И в последней схеме проводники соединены последовательно. R = R _2-5 + R ₁ + R ₆ = 1 + 4,8 + 1 = 6,8.

Пример 3. Найти распределение токов и напряжений в цепи.

Так как известны сила тока и сопротивление на первом участке, то можно найти напряжение на нем: U ₁ = I ₁ R ₁ = 1 ∙ 10 = 10 B .

Первый и второй проводники соединены параллельно. Значит, напряжение на них одинаково, т.е. U ₁ = U ₂ = 10 В. Так как первый и второй проводники имеют одинаковое сопротивление, то сила тока на них одинакова: I ₂ = 1 А. При параллельном соединении I _1,2 = I ₁ + I ₂ = 2 А.

Найдем общее сопротивление участка 3-4-5:

R _3,4,5 = 3 Ом. Тогда можно найти напряжение на 3-4-5, при параллельном соединении оно одинаково на всех участках. U _3,4,5 = I _3,4,5 ∙ R _3,4,5 = 2 ∙ 3 = 6 В.

U ₃ = U ₄ = U ₅ = 6 В. Зная напряжение на каждом из участков и сопротивление, можно найти силу тока на каждом участке.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс профессиональной переподготовки

Физика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Курс повышения квалификации

Современные педтехнологии в деятельности учителя

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

В России планируют создавать пространства для подростков

Апробацию новых учебников по ОБЖ завершат к середине 2022 года

Утверждено стратегическое направление цифровой трансформации образования

ВПР для школьников в 2022 году пройдут весной

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Смешанное соединение проводников. Расчёт электрических цепей

Повторение. Факты про последовательное и параллельное соединение проводников.

1. При по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии про­вод­ни­ков общее со­про­тив­ле­ние участ­ка равно сумме со­про­тив­ле­ний про­вод­ни­ков:

2. При по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии про­вод­ни­ков силы тока в каж­дом из про­вод­ни­ков равны и равны общей силе тока на участ­ке цепи:

3. При по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии про­вод­ни­ков сумма на­пря­же­ний равна об­ще­му на­пря­же­нию на участ­ке цепи:

4. При па­рал­лель­ном со­еди­не­нии про­вод­ни­ков общая про­во­ди­мость участ­ка равна сумме про­во­ди­мо­стей про­вод­ни­ков:

5. При па­рал­лель­ном со­еди­не­нии про­вод­ни­ков сумма сил токов равна общей силе тока на участ­ке цепи:

6. При па­рал­лель­ном со­еди­не­нии про­вод­ни­ков на­пря­же­ния в каж­дом из про­вод­ни­ков равны и равны об­ще­му на­пря­же­нию на участ­ке цепи:

Задача 1

Че­ты­ре оди­на­ко­вые лампы под­клю­че­ны к ис­точ­ни­ку по­сто­ян­но­го на­пря­же­ния (см. Рис. 1). Опре­де­ли­те силу тока в каж­дой лампе, если на­пря­же­ние на ис­точ­ни­ке со­став­ля­ет 30 В.

Дано: ;

Найти: , , ,

Ре­ше­ние

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

На ри­сун­ке 1 изоб­ра­же­на элек­три­че­ская цепь со сме­шан­ным со­еди­не­ни­ем про­вод­ни­ков: лампы 2 и 3 со­еди­не­ны па­рал­лель­но, а лампы 2 и 4 со­еди­не­ны по­сле­до­ва­тель­но с участ­ком цепи, со­сто­я­щим из ламп 2 и 3.

Про­во­ди­мость участ­ка цепи, со­сто­я­ще­го из ламп 2 и 3, равна:

Сле­до­ва­тель­но, со­про­тив­ле­ние этого участ­ка равно:

Так как лампы 1 и 4 со­еди­не­ны по­сле­до­ва­тель­но с участ­ком цепи, со­сто­я­щим из ламп 2 и 3, то общее со­про­тив­ле­ние ламп будет равно:

Со­глас­но за­ко­ну Ома, сила тока всей цепи равна:

Так как при по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии про­вод­ни­ков силы тока в каж­дом из про­вод­ни­ков равны и равны общей силе тока на участ­ке цепи, то:

Необ­хо­ди­мо найти силу тока на лам­пах 2 и 3. Для этого вы­чис­лим на­пря­же­ние на участ­ке цепи, ко­то­рый со­сто­ит из ламп 2 и 3:

Так как лампы 2 и 3 со­еди­не­ны па­рал­лель­но, то на­пря­же­ния на этих лам­пах равны:

От­сю­да сила тока в каж­дой лампе равна:

Ответ:  ;  

Задача 2

Уча­сток цепи, ко­то­рый со­сто­ит из че­ты­рёх ре­зи­сто­ров, под­клю­чён к ис­точ­ни­ку с на­пря­же­ни­ем 40 В (см. Рис. 2). Вы­чис­ли­те силу тока в ре­зи­сто­рах 1 и 2, на­пря­же­ние на ре­зи­сто­ре 3. Со­про­тив­ле­ние пер­во­го ре­зи­сто­ра равно 2,5 Ом, вто­ро­го и тре­тье­го – по 10 Ом, чет­вёр­то­го – 20 Ом.

Дано: ; ; ;

Найти: , ,

Ре­ше­ние

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Через ре­зи­стор  течёт такой же ток, как и через весь уча­сток (), сле­до­ва­тель­но, со­глас­но за­ко­ну Ома:

То есть для на­хож­де­ния  нужно вы­чис­лить со­про­тив­ле­ние (R) всего участ­ка цепи, ко­то­рый со­сто­ит из двух по­сле­до­ва­тель­но под­клю­чён­ных ча­стей, одна часть с ре­зи­сто­ром , дру­гая часть с ре­зи­сто­ра­ми :

Ре­зи­стор  со­еди­нён па­рал­лель­но ре­зи­сто­рам  и , сле­до­ва­тель­но:

Ре­зи­сто­ры  и  со­еди­не­ны по­сле­до­ва­тель­но, по­это­му:

Сле­до­ва­тель­но, со­про­тив­ле­ние всей цепи равно:

Под­ста­вим дан­ное зна­че­ние в фор­му­лу для на­хож­де­ния тока в ре­зи­сто­ре :

Так как при па­рал­лель­ном со­еди­не­нии про­вод­ни­ков на­пря­же­ния в каж­дом из про­вод­ни­ков равны и равны об­ще­му на­пря­же­нию на участ­ке цепи, то:

От­сю­да:

При по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии силы тока оди­на­ко­вы, по­это­му:

По­лу­чи­ли си­сте­му урав­не­ний:

Решив эту си­сте­му по­лу­чим, что:

Так как  и  со­еди­не­ны по­сле­до­ва­тель­но:

На­пря­же­ние на ре­зи­сто­ре  равно:

Ответ: ;  ;  

Задача 3

Най­ди­те пол­ное со­про­тив­ле­ние цепи (см. Рис. 3), если со­про­тив­ле­ние ре­зи­сто­ров , , . Най­ди­те силу тока, иду­ще­го через каж­дый ре­зи­стор, если к цепи при­ло­же­но на­пря­же­ние 36 В.

Дано: ; ; ;

Найти: , , , , , , ;

Ре­ше­ние

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ре­зи­сто­ры , ,  со­еди­не­ны по­сле­до­ва­тель­но, по­это­му со­про­тив­ле­ние на этом участ­ке равно:

Ре­зи­стор  под­клю­чён па­рал­лель­но участ­ку с ре­зи­сто­ра­ми , , , по­это­му со­про­тив­ле­ние на участ­ке с ре­зи­сто­ра­ми ,, ,  равно:

Ре­зи­сто­ры  и  со­еди­не­ны с участ­ком цепи с ре­зи­сто­ра­ми ,, ,  по­сле­до­ва­тель­но, то есть общее со­про­тив­ле­ние цепи равно:

Через ре­зи­стор  и   () нераз­ветв­лён­ной цепи течёт весь ток цепи, по­это­му:

По за­ко­ну Ома этот ток равен:

Общее на­пря­же­ние цепи будет со­сто­ять из на­пря­же­ний , так как ,,  со­еди­не­ны по­сле­до­ва­тель­но (, по­то­му что  и  па­рал­лель­ны):

Со­глас­но за­ко­ну Ома:

Ре­зи­сто­ры , ,  со­еди­не­ны по­сле­до­ва­тель­но, сле­до­ва­тель­но:

Ответ: ; ; ;   

Разветвление: Задача на бесконечную электрическую цепь

Най­ди­те со­про­тив­ле­ние R бес­ко­неч­ной цепи, по­ка­зан­ной на ри­сун­ке 4.

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ре­ше­ние

По­сколь­ку рас­смат­ри­ва­е­мая в за­да­че цепь бес­ко­неч­на, уда­ле­ние одной «ячей­ки», со­сто­я­щей из ре­зи­сто­ров  и , не вли­я­ет на её со­про­тив­ле­ние. Сле­до­ва­тель­но, вся цепь, на­хо­дя­ща­я­ся пра­вее звена , тоже имеет со­про­тив­ле­ние R. Это поз­во­ля­ет на­ри­со­вать эк­ви­ва­лент­ную схему цепи (см. Рис. 5) и за­пи­сать для неё урав­не­ние.

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

По­лу­чи­ли квад­рат­ное урав­не­ние от­но­си­тель­но R. Решая это урав­не­ние и от­бра­сы­вая от­ри­ца­тель­ный ко­рень (от­ри­ца­тель­но­го со­про­тив­ле­ния не су­ще­ству­ет), по­лу­ча­ем фор­му­лу для об­ще­го со­про­тив­ле­ния цепи:

Про­ана­ли­зи­ро­вав дан­ную фор­му­лу, можно за­ме­тить, что если , то общее со­про­тив­ле­ние цепи . То есть ре­зи­стор с малым со­про­тив­ле­ние  прак­ти­че­ски за­ко­ро­тит всю по­сле­ду­ю­щую бес­ко­неч­ную цепь.

Ответ:

Итоги

Мы рас­смот­ре­ли раз­лич­ные за­да­чи на сме­шан­ное со­про­тив­ле­ние про­вод­ни­ков, а также на рас­чёт элек­три­че­ских цепей.

Разветвление: Задача из ЕГЭ

Со­про­тив­ле­ние каж­до­го ре­зи­сто­ра в цепи (см. Рис. 6) равно 100 Ом. Уча­сток под­клю­чён к ис­точ­ни­ку по­сто­ян­но­го на­пря­же­ния вы­во­да­ми AиB. На­пря­же­ние на ре­зи­сто­ре  равно 12 В. Найти на­пря­же­ние между вы­во­да­ми схемы на участ­ке A–B(ва­ри­ан­ты от­ве­та: а) 12 В; б) 18 В; в) 24 В; г) 36 В.

Дано: ;

Найти:

Ре­ше­ние

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ре­зи­сто­ры  рас­по­ло­же­ны по­сле­до­ва­тель­но, зна­чит, силы тока на этих ре­зи­сто­рах равны:

Так как, по усло­вию, , то и на­пря­же­ния на этих ре­зи­сто­рах будут равны:

Сле­до­ва­тель­но, общее на­пря­же­ния на участ­ке, со­сто­я­щем из ре­зи­сто­ров , будет равно:

Так как уча­сток с ре­зи­сто­ра­ми  со­еди­нён с участ­ком с ре­зи­сто­ра­ми  па­рал­лель­но, то на­пря­же­ния на этих участ­ках равны между собой и равны об­ще­му на­пря­же­нию на участ­ке A–B:

Ответ: г) 36 В

Дан­ную за­да­чу, как видим, можно ре­шить, не зная зна­че­ний со­про­тив­ле­ния, а зная толь­ко то, что они равны. Также эту за­да­чу можно ре­шить, зная зна­че­ние со­про­тив­ле­ний , даже если они не равны.

Вопросы к конспектам

Как нужно со­еди­нить че­ты­ре ре­зи­сто­ра, со­про­тив­ле­ния ко­то­рых 0,5 Ом, 2 ОМ, 3,5 Ом и 4 Ом, чтобы их общее со­про­тив­ле­ние было 1 Ом?

При разработке электрических цепей применяется последовательное и параллельное соединение проводников. Умение анализировать (как количественно, так и качественно) и рассчитывать такие схемы является базовым принципом знаний электротехники.

Виды соединений электрических проводников

Основными схемами подключения являются параллельное и последовательное соединение. Также существуют комбинации из этих двух включений.

Последовательное

При последовательном (в зарубежной терминологии serial) соединении выводы элементов соединяются так, чтобы получилась цепочка. Один вывод устройства подключается к одному соседнему звену, а второй – к другому, с противоположной стороны.

Параллельное

При параллельном (parallel) включении одноименные выводы элементов цепи соединяются между собой. Практический пример – лампы в многорожковой люстре или повторители светового сигнала поворота в автомобиле.

Смешанное

В одной цепи схема подключения может быть комбинированной – serial+parallel. Часть элементов подключена в параллель, образуя звенья. Эти звенья могут быть включены в последовательную цепочку. Или наоборот – последовательные цепи включаются параллельно.

Как вычисляются напряжение, сила тока и электрическая мощность в зависимости от подключения

Параметры электрической цепи рассчитываются по-разному в зависимости от типа подключения. Чтобы разобраться, какова будет сила тока, проходящего через каждое сопротивление, можно воспользоваться первым законом Кирхгофа. Одна из его формулировок гласит, что алгебраическая сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из узла. Остальные зависимости будут вытекать из данного рассуждения.

При параллельном соединении

Если рассмотреть параллельное соединение, например, трех резисторов, то можно отметить, что втекающий ток I в узле 1 распадается на три ветви I₁, I₂, I₃, причем Кирхгоф утверждает, что их сумма I₁+ I₂+ I₃ = I. В узле 2 все токи стекаются в один ток, и снова I= I₁+ I₂+ I₃.

Очевидно, что напряжение на каждом резисторе одинаково и равно U, следовательно, по закону Ома:

• I₁=U/R₁;
• I₂=U/R₂;
• I₃=U/R₃;
• I=U/R_общ.

Отсюда U/R_общ= U/R₁+ U/R₂+ U/R₃, после сокращения обеих частей на U получается формула для нахождения общего сопротивления при параллельном соединении резисторов:

1/R_общ= 1/R₁+ 1/R₂+ 1/R_3.

Отсюда следует, что при параллельном соединении общее сопротивление будет меньше наименьшего сопротивления в наборе. При соединении двух резисторов формула принимает вид R_общ=R₁* R₂/(R₁+ R₂).

Также из равенства I=U/R₁+U/R₂+U/R₃ следует, что токи через параллельно включенные резисторы распределяются обратно пропорционально значениям их сопротивлений – чем выше сопротивление, тем ниже ток, и наоборот. Если все резисторы имеют одинаковый номинал, то ток, текущий через каждый из них, находится делением общего тока на количество сопротивлений. Если элементов в сборке три, то через каждый течет треть общего тока, а если параллельно включены n одинаковых резисторов, то через каждый протекает I/n.

Так как электрическая мощность равна P=U*I, а напряжение на каждом резисторе равно, то мощность, выделяемая на каждом элементе, распределяется пропорционально току и обратно пропорционально сопротивлению резистора. Если все элементы одинаковы, то и мощность на них будет рассеиваться одинаковая.

Для наглядности видео.

При последовательном соединении

Если рассматривать последовательную цепь из трех элементов, можно заметить, что ток, втекающий в узел 1 будет равен вытекающему. В узле 2 выполняется то же самое соотношение и так до бесконечности.

Отсюда сила тока в последовательном соединении будет одинакова для любого элемента и равна I. Напряжение, приложенное к цепи и равное I*R, распределится между резисторами:

U=U₁+U₂+U₃=I*R₁+I*R₂+I*R₃ = I* R_общ

После сокращения на I можно найти общее сопротивление цепи. Оно равно сумме составляющих, и общее значение сопротивления будет выше сопротивления любого элемента:

R_общ=R₁+R₂+R₃

Очевидно, что падение напряжения в последовательной цепи прямо пропорционально сопротивлению каждого элемента – чем выше сопротивление, тем выше на нем напряжение. Точно так же, эти соотношения выполняются для цепи из n элементов.

Примеры расчетов

В качестве практических примеров можно рассмотреть несколько вариантов расчетов параметров цепи в разных схемах соединения.

Для резисторов

Самым простым примером расчета будет цепь из двух сопротивлений – 10 Ом и 100 Ом, соединенных в цепочку. К цепи приложено 12 вольт.

Сначала надо найти R_общ, оно равно сумме R₁ и R₂. R_общ=100+10=110 Ом. Отсюда ток в цепи I=U/R=12/110=0,109 ампер. Падение на каждом элементе можно вычислить исходя из равенств U₁=I*R₁ и U₂=I*R₂. Отсюда U₁=1,1 В, а U₂=10,9 В. Очевидно, что U₁/U₂=R₁/R₂. На первом элементе будет рассеиваться мощность P₁=U₁*I=1,1*0,109=0,12 ватт (для практики подойдет стандартный компонент на 0,125 ватт), а на втором – P₂=U₂*I=10,9*0,109=1,19 ватт (для практической реализации понадобится двухваттник).

Если соединить эти же два резистора параллельно и подать то же самое напряжение, то параметры распределятся по-другому.

Сначала надо определить R_общ=R₁*R₂/(R₁+R₂)=110*10/(110+10)=1100/120=9,17 Ом (меньше наименьшего значения в 10 Ом). Общий ток составит I=U/Rобщ=12/9,17=1,31 ампер. Через первый элемент потечет I₁=U/R₁=12/10=1,2 ампер, через второй I₂=U/R₂=12/100=0,12. Очевидно, что I₁+I₂=I (с учетом погрешностей округления). Мощности потребуются такие:

• P₁=I₁*U=1,2*12=14,2 ватт;
• P₂=I₂*U=0,12*12=1,42 ватт.

Если имеется смешанное соединение элементов, надо сначала преобразовать схему к однотипному виду – параллельному или последовательному. Пусть имеется схема следующего вида.

В данном случае удобно заменить параллельную сборку R₁ и R₂ на резистор с эквивалентным сопротивлением R₁₂, а R₃ и R₄ – на R₃₄. Сначала находится R₁₂=R₁*R₂/(R₁+R₂)=9,17 Ом. Тем же способом рассчитывается R₃₄=150*5/(150+5)=4,8 Ом. Тогда общее сопротивление эквивалентной цепи будет равно R₁₂+R₃₄=9,17+4,8=13,97 Ом.

Отсюда I=U/R=12/13,97=0,86 ампер. На “гирлянде» R₁R₂ падает U₁₂=I*R₁₂=0,86*9,17=7,87 вольт, а на R₃R₄ падение составит U₃₄= I*R₃₄=0,86*4,8=4,13 вольт. Дальше надо вернуться к исходной схеме и рассмотреть отдельно участок схемы R₁R₂ с найденными параметрами.

Отсюда I₁=U/R₁=7,87/10=0,787 ампер, I₂=U/R₂=7,87/100=0,0787 ампер. По мощностям – P₁=U*I₁=7,87*0,787=6,2 ватт, P₂= U*I₂=7,87*0,0787=0,62 ватт.

Аналогично рассчитывается и участок, содержащий элементы R₃R₄.

Для лампочек

Точно такими же способами можно рассчитать параметры цепи, состоящей из двух или более лампочек накаливания – на практике с такой ситуацией можно столкнуться чаще. Но есть две проблемы. Первая из них – на лампочках и в технических данных на них не указывается сопротивление нити. Его придется пересчитывать исходя из номинального напряжения и мощности. Так как P=U*I, а I=U*R, то P=U²/R, а R=U²/P. Так, для 10-ваттной лампочки на 12 вольт сопротивление нити будет равно 12²/10=144/10=14,4 Ом. Можно рассчитать характеристики цепи для двух последовательно и параллельно соединенных лампочек.

В первом случае ток, текущий через каждую лампу будет общим, и равным I=U/Rобщ=12/(14,4+14,4)=12/28,8=0,42 А. На каждой лампе упадет U/2=6 вольт. А электрическая мощность каждого элемента составит 0,42*6=2,5 Вт, что составляет ¼ от номинала лампочки. Такое уменьшение произошло из-за двукратного снижения тока и двукратного снижения напряжения. Естественно, лампочки будут светиться далеко не в полный накал. Чтобы довести яркость свечения до нормальной, придется вдвое увеличивать напряжение, что одновременно вдвое увеличит ток.

Если лампочки соединить в параллель, то на каждой из них упадет номинальный уровень в 12 вольт. Через каждый элемент потечет I=U/R= 12/14,4=0,83 А, а мощность на каждой лампочке будет равна P=U*I=12*0,83=10 ватт, то есть, номинал. И каждая нить будет светить в полный накал. Но вся цепь будет потреблять 20 ватт и через нее потечет 0,83*2=1,66 А, что вдвое больше значения для одной лампы.

Есть и вторая проблема. В общем случае сопротивление зависит от тока и приложенного напряжения, но у ламп накаливания эта зависимость выражена ярко. Нить в холодном состоянии имеет низкое сопротивление, а номинального значения достигает при прогреве в номинальном режиме. Поэтому данные выше расчеты верны лишь для штатного напряжения 12 вольт. В других условиях характеристики лампы будут другими, и, по большому счету, расчет для параллельного случая неточен – сопротивление нити будет меньше 14,4 Ом. Зато это свойство позволяет применять лампу в качестве стабилизатора тока – при увеличении его значения нить нагреется, сопротивление вырастет, ток упадет примерно до прежнего уровня. При его уменьшении произойдет обратный процесс со снижением уровня накала нити лампочки.

Рекомендуем посмотреть видео урок «Просто физика»

Для светодиодов

Еще сложнее ситуация со светодиодами. В отличие от лампочек они стабилизируют напряжение, причем не всегда, а только после открывания. Иными словами, сначала при росте напряжения на последовательной цепочке (LED+резистор), она ведет себя согласно закону Ома. После того, как светодиод открылся (и начал светиться), увеличение падения на нем прекратилось, и рост напряжения на цепочке ведет к росту тока и увеличению U на резисторе. На полупроводниковом приборе напряжение остается стабильным (в зависимости от технологии изготовления – от 1,2 до 3 вольт или выше), хотя ток через него также растет.

По мере освоения приемов расчета можно научиться анализировать все более сложные схемы, содержащие как параллельное, так и последовательное подключение элементов. Потом можно переходить к следующему этапу – анализ и расчет устройств, содержащих реактивные (а впоследствии – и нелинейные) компоненты.

Смешаннымсоединением называют
сочетание последовательного и
парал­лельного соединений резисторов.
Большое разнообразие этих соединений
не позволяет вывести общую формулу для
определения эквивалентного сопро­тивления
цепи. Поэтому в каждом конкретном случае,
используя методы расчета при
последовательном и параллельном
соединениях, можно рассчитать
эквива­лентное сопротивление при
смешанном соединении. Поясним это на
конкретном примере расчета электрической
цепи (рис. 1.20 а).

Электрическую цепь постепенно упрощают
и приводят к простейшему виду (рис. 1.20
б, в)

;;;

.

Рис. 1.20

Проверка: 1)2).

1.8.4. Метод преобразований треугольника резисторов в эквивалентную звезду и наоборот

Рассмотрим
две электрические цепи (рис. 1.21). Одна
из них имеет вид тре­угольника, другая
– трехлучевой звезды. В дальнейшем
такие соединения будем называть
соответственно соединением в треугольник
и соединением звездой.

Рис. 1.21

Соединения такого вида очень распространены
в трехфазных цепях, в кото­рых часто
возникает необходимость перехода от
одного вида соединения к другому
(эквивалентному). Эквивалентность
треугольника и звезды резисторов
заключается в том, что их замена не
изменяет потенциалов узловых точек
(φ_а,
φ_b
иφ_с),
являющихся вершинами треугольника и
эквивалентной звезды. Не изме­няются
также токи, напряжения и мощности в
остальной части схемы, не затро­нутой
преобразованием.

Формулы пересчета без вывода сопротивлений
ветвей треугольника
,,в эквивалентную звезду,,имеют вид

(1.39)

При переходе от звезды к треугольнику
можно воспользоваться следую­щими
формулами

(1.40)

Если сопротивления всех ветвей цепи
по схеме треугольник одинаковы, т.е.
,
сопротивления эквивалентной звезды
будут также одина­ковые:,
причем

.

1.8.5. Последовательное соединение источников энергии

В практике последовательное и согласное
включение источников приме­няют для
увеличения напряжения. Рассмотрим схему
с двумя согласно и одним встречно
включенными источниками (рис. 1.22).

Рис. 1.22

По второму закону Кирхгофа запишем

.
(1.41)

Отсюда

,
(1.42)

где
.

Напряжения на зажимах источников и
приемника

.

При последовательном соединении
источников с одинаковыми парамет­рами

.
(1.43)

1.8.6. Параллельное соединение источников энергии

В тех случаях, когда номинальное
напряжение приемника равно напряже­нию
одного источника, а его ток больше
допустимого тока одного источника,
применяют параллельное соединение
источников (рис. 1.23 а).

При параллельном
соединении источников с одинаковыми
параметрами их общая ЭДС не изменится,
но уменьшатся токи через каждый источник
и внутрен­нее сопротивление общего
источника. Тогда эквивалентный источник
(рис. 1.23 б) имеет следующие параметры:

.

Рис. 1.23

Приисточниках

.
(1.44)

Пример
1.1. Определить
эквивалентное сопротивление цепи (рис.
1.24 а),
если
1Ом;
3Ом.

а) б)

в) г)

Рис. 1.24

Решение. Преобразуем
треугольник сопротивлений
в эквивалент­ную
звезду сопротивлений
(рис. 1.24 б).
Так как
,
то

Ом.

Дальнейшее решение
выполним преобразованием последовательно

или параллельно
соединенных сопротивлений резисторов
их эквивалентными сопротивлениями
«свертыванием» схемы. Резисторы
и,
а такжеисоединены последовательно, поэтому их
общие сопротивления

Ом;Ом.

Полученная
схема приведена на рис. 1.24 в.

Резисторы
исоединены параллельно, поэтому (рис.
1.24 г)

Ом.

Эквивалентное сопротивление всей цепи

Ом.

Пример 1.2.Определить токи в ветвях
цепи (рис. 1.25 а), если задано:Ом;= 6Ом;Ом;= 2Ом;= 100В.

Решение. Резисторы
исоединены последовательно и образуют
ветвь с током.
Резисторыивключены параллельно, а относительно
резистора– последовательно. Вычислим эквивалентные
сопротивления:

Ом;

Ом.

Рис. 1.25

Резисторы
исоединены параллельно, а по отношению
к– после­довательно, поэтому (рис. 1.25
б, в)

Ом.

Эквивалентное сопротивление цепи

Ом.

Ток в ветви с источником

А.

Так как сопротивления резисторов
иодинаковы, то

А.

Аналогично, при

А.