Как найти обратную производную функции примеры

Производная обратной функции.

Определение. Пусть функция $y=f(x)$ непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки $x_0,$ и пусть в этой точке существует производная $f'(x_0)neq 0.$ Тогда обратная функция в точке $y_0=f(x_0)$ имеет производную, которая может быть найдена по формуле $left(f^{-1}(y_0)right)’=frac{1}{f'(x_0)}.$

Примеры.

Найти производные обратных функций  $left(f^{-1}(y)right)’.$

1) ${ y=x+x^3 }.$

Решение.

$$frac{dy}{dx}=1+3 x^2Rightarrowfrac{dx}{dy}=frac{1}{1+3x^2}.$$

Ответ: $x’_y=frac{1}{1+3x^2}.$

2) Найти $left(f^{-1}(0)right)’,$ $left(f^{-1}(6/5)right)’.$

${ y=x+frac{1}{5}x^5}.$

Решение.

Если $y=0,$ то

$0=x+frac{1}{5}x^5Rightarrow 0=xleft(1+frac{1}{5}x^4right)Rightarrow$ $left[begin{array}{lcl}x=0\1+frac{1}{5}x^4=0end{array}right.Rightarrow$ $left[begin{array}{lcl}x=0\x^4=-5end{array}right.Rightarrow x=0.$ 

Если $y=6/5,$ то $frac{6}{5}=x+frac{1}{5}x^5Rightarrow$ $x=1.$ (Функция имеет единственный корень, поскольку она строго монотонна).

$y’=1+x^4Rightarrow x’=frac{1}{1+x^4}.$ Таким образом,
$$x'(0)=frac{1}{1}=1; ,, x'(6/5)=frac{1}{1+1}=frac{1}{2}.$$

Ответ: $x'(0)=1; ,, x'(6/5)=frac{1}{2}.$

3) ${ y=2x-frac{cos x}{2},,, y=-frac{1}{2}. }$

Решение.

$2x-frac{cos x}{2}=-frac{1}{2},$ следовательно $x=0.$

$y’=2+frac{sin x}{2},$ поэтому  $x’=frac{1}{2+frac{sin x}{2}}.$ Таким образом, $x'(-frac{1}{2})=frac{1}{2}.$  

Ответ: $x'(-frac{1}{2})=frac{1}{2}.$

4) ${ y=0,1x+e^{0,1x} ,,, y=1.}$

Решение.

$0,1x+e^{0,1x}=1, $ следовательно $x=0.$

$y’=0,1+0,1e^{0,1x},$ поэтому $x’=frac{1}{0,1+0,1e^{0,1x}}.$
Таким образом, $x'(1)=frac{1}{frac{2}{10}}=5.$

Ответ: $x'(1)=5.$

Источник

Производная обратной функции

Теорема.

Если

– строго монотонная непрерывная функция
и

– обратная к ней функция, имеющая в
точке у
производную

,
то функция f
имеет в соответст-вующей точке х
производную


.

Доказательство.


,
так как функция f(x)
непрерывна, то при

и

,
тогда

.

Примеры
использования производной от обратной
функции

  1. Найти

    .
    Мы уже вывели эту формулу. Вывод был
    достаточно громоздкий.

Теперь:
если

,
то

,


.

– результат
тот же самый.

Если
а=е,
т.е. у=lnx,
то

.

Производные обратных тригонометрических функций

– строго
возрастает на отрезке [1,1].
Напомню график

Обратная
функция x=siny
имеет производную

,
если

.

Поэтому

Аналогично


Таким
образом, у нас имеется таблица производных
основных элементарных функций. Тем
самым ясно, как вычислять производные
элементарных функций, которые получают
из основных элементарных путем конечного
числа арифметических операций и взятия
функции от функции.

Производная
функции, заданной параметрически

Пусть
х
и у заданы
как функции некоторого параметра t:


.
(1)

Каждому
значению t
соответствуют значения х
и у.

Если
рассматривать эти значения x
и y
как координаты точки на плоскости xОy,
то каждому значению t
соответствует определенная точка
плоскости. При изменении t
от

эта
точка описывает на плоскости некоторую
кривую.

Уравнения
(1) называются параметрическими
уравне-ниями этой кривой, t
называется параметром, а способ задания
кривой (1) –параметрическим.

Предположим,
что функция

имеет обратную,

,
тогда

т.е. у
является сложной функцией от х.

По правилу
дифференцирования сложной функции


.
Но по правилу дифференцирования обратной
функции

.

Эта формула
называется формулой дифференцирования
функции, заданной параметрически.

Пример:

2.5 Уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции

Рассмотрим кривую, уравнение которой .

Возьмем
на этой кривой точку М

.
Уравнение любой прямой, проходящей
через эту точку, имеет вид

где k
– ее угловой коэффициент.

Для
касательной

,
поэтому уравнение касательной имеет
вид


.

Прямая,
проходящая через точку М

перпенди-кулярно касательной, называется
нормалью.

Для
нее

.
Поэтому уравнение нормали к графику в
точке М

имеет вид

;
здесь предполагается, что

.

2.6. Производные высшего порядка. Формула Лейбница

Если
найдена производная от функции f(x),
т.е. вычислена

– снова функция аргумента х.
Можно еще раз найти производную от

.
Если эта производная существует, то она
называется второй производной от f(x)
и обозначается через

или

.


.

По
индукции производная n-го
порядка определяется как первая
производная от производной (n–1)
порядка


.

Пример 1.

Пусть

,
где m
– целое число. Эта функция имеет
производные любого порядка.

  1. Пусть

    ,
    где


    произвольное (не целое) число. Тогда
    для x>0
    эта функция имеет любую производную,
    вычисляемую по аналогичной формуле:

3.

4.

Формула Лейбница

Это
формула дает возможность вычислить
производную n-го
порядка от произведения двух функций
u(x)v(x).

Давайте
найдем несколько первых производных и
установим общий закон, пригодный для
вычисления производной любого порядка.

Вспомним
бином Ньютона:

Если
в этой формуле заменить

(соответственно считая, что

),
то и получим формулу, которая носит
название формулы Лейбница.

Производные
различных порядков от неявных функций
и функций, заданных параметрически

  1. Сначала
    покажем способ нахождения производных
    различного порядка от неявных функций
    (на примере).

Пусть

– неявная связь у
и х
(у
не выражен явно через х).

Или

(1)

Дифференцируем
по х
обе части равенства, имея в виду, что у
есть функция х:


.

Отсюда:

.
Первая производная найдена, но выражена
она и через х
и через у.

Последнее
равенство еще раз дифференцируем по х
(имея опять в виду, что у=у(х)).

Подставляя
вместо

ее значение (зависящее от х
и у),
найдем

Из
(1) заметим, что

,
так что

Дифференцируя
по х
полученное равенство, найдем

и.т.д.

Производная
второго порядка от функции, заданной
параметрически

Мы
знаем формулу для первой производной

Продифференцируем
это равенство по х,
имея в виду, что t
– функция х.

Пример.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #

    12.05.2015384 Кб17д.doc

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Производная обратной функции

Если y=f(x) и x=g(y) — пара взаимно обратных функций, и функция y=f(x) имеет производную f'(x), то производная обратной функции g'(x)=1/f'(x).

Таким образом, производные взаимно обратных функций — обратные величины. Формула для производной обратной функции:

    [x{'_y} = frac{1}{{y{'_x}}}.]

Примеры. Найти производную обратной функции:

1) y=x²-7lnx.

Имеем:

    [y{'_x} = ({x^2} - 7ln x){'_x} = 2x - frac{7}{x} = frac{{2{x^2} - 7}}{x}]

Отсюда

    [x{'_y} = frac{x}{{2{x^2} - 7}}.]

    [2)y = 3x + 0,3cos x]

    [y{'_x} = (3x + 0,3cos x){'_x} = 3 - 0,3sin x = frac{{30 - 3sin x}}{{10}}]

Отсюда 

    [x{'_y} = frac{{10}}{{30 - 3sin x}}.]

    [3)y = frac{2}{9}{x^3} + {e^{5x}}]

Отсюда

    [y{'_x} = (frac{2}{9}{x^3} + {e^{5x}}){'_x} = frac{2}{9} cdot 3{x^2} + {e^{5x}} cdot (5x)' = ]

    [ = frac{2}{3}{x^2} + 5{e^{5x}} = frac{{2{x^2} + 15{e^{5x}}}}{3}]

и

    [x{'_y} = frac{3}{{2{x^2} + 15{e^{5x}}}}.]

Примеры для самопроверки. Найти производную обратной функции:

1) y=3x²-5x

    [2)y = frac{1}{3}x + {e^{frac{x}{5}}}.]

Показать решение

Добавить комментарий

Источник

Производная обратной функции

Автор статьи

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Определение

Если некоторая функция $g$ в каждой точке $х$ области значений обратимой функции $f$ принимает значение у такое, что $f(y) = x$, то говорят, что функция $g$ — есть обратная к $f$ функция.

Пусть дан график некоторой обратимой функции $f$. Для того, чтобы построить график обратной функции, можно пользоваться следующим утверждением: график функции $f$ и обратной к ней функции $g$ будут симметричны относительно прямой, заданной уравнением $y = x$.

Обратные функции

Рисунок 1. Обратные функции

Если функция $g$ является обратной к функции $f$, то функция $g$ будет являться обратимой функцией. А функция $f$ будет обратной к функции g. Обычно говорят, что две функции f и g взаимно обратные друг к другу.

Пусть $y = f(x)$ и $x = varphi (y)$ — взаимно обратные функции. Тогда если функция $y = f(x)$ имеет не равную нулю производную $f`(x)$, то обратная функция имеет производную $varphi `(y)$.

Логотип baranka

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

$phi ‘(y)=frac{1}{f'(y)} $ или $x’_{y} =frac{1}{y’_{x} } $

Поскольку $y = f(x)$ и $x = varphi (y)$ — взаимно обратные функции, то $x = varphi (f(x))$. Применяя дифференцирование, получаем:

[1=phi ‘(y)f'(x)]

Пример 1

Найти производную функции

[y=sqrt[{n}]{x} ]

Решение.

  1. Найдем функцию, обратную данной. Для этого выразим $х$ через $у$.

    2. [y=f(x)=sqrt[{n}]{x} ]

    [y^{n} =left(sqrt[{n}]{x} right)^{n} ]

    [x=phi (y)=y^{n} ]

  2. По теореме производной обратной функции:

    3. [left(sqrt[{n}]{x} right){{‘} } =f'(x)=frac{1}{phi ‘(y)} =frac{1}{left(y^{n} right){{‘} } } =frac{1}{ny^{n-1} } ]

  3. Заменим переменную $y$

    4. [left(sqrt[{n}]{x} right){{‘} } =frac{1}{nleft(sqrt[{n}]{x} right)^{n-1} } ]

Пример 2

Найти производную функции

[y=ln x]

Решение.

  1. Найдем функцию, обратную данной. Для натурального логарифма обратной является функция $еy$.

    2. [left(ln xright){{‘} } =f'(x)=frac{1}{phi ‘(y)} =frac{1}{left(e^{y} right){{‘} } } =frac{1}{e^{ln x} } ]

  2. Применим основное логарифмическое тождество

    3. [left(ln xright){{‘} } =frac{1}{e^{ln x} } =frac{1}{x} ]

«Производная обратной функции» 👇

Пример 3

Найти производную функции

[y=sqrt[{4}]{x^{2} -1} ]

Решение.

  1. Найдем функцию, обратную данной. Для этого выразим $х$ через $у$.

    2. [y=sqrt[{4}]{x^{2} -1} ]

    [y^{4} =x^{2} -1]

    [x=phi (y)=sqrt{y^{4} +1} ]

  2. Вычислим производную

    3. [y’=f'(x)=frac{1}{phi ‘(x)} =frac{1}{left(sqrt{y^{4} +1} right){{‘} } } ]

    [y’=frac{1}{left(sqrt{y^{4} +1} right){{‘} } } =frac{sqrt{y^{4} +1} }{frac{1}{2} cdot 4y^{3} } =frac{sqrt{y^{4} +1} }{2y^{3} } ]

Пример 4

Найти производную функции

[y=sqrt{2-sqrt{x} } ]

Решение.

  1. Найдем функцию, обратную данной. Для этого выразим $х$ через $у$.

    2. [y=sqrt{2-sqrt{x} } ]

    [y^{2} =2-sqrt{x} ]

    [sqrt{x} =2-y^{2} ]

    [x=left(2-y^{2} right)^{2} ]

  2. Вычислим производную

    3. [left(sqrt{2-sqrt{x} } right){{‘} } =frac{1}{phi ‘(x)} =frac{1}{left(2-y^{2} right)^{2} {{‘} } } ]

    [left(sqrt{2-sqrt{x} } right){{‘} } =frac{1}{-2left(2-y^{2} right)2y} ]

  3. Упростим выражение

    4. [left(sqrt{2-sqrt{x} } right){{‘} } =frac{1}{-4yleft(2-y^{2} right)} ]

  4. Произведем замену $y$

    5. [left(sqrt{2-sqrt{x} } right){{‘} } =frac{1}{-4sqrt{2-sqrt{x} } left(2-left(sqrt{2-sqrt{x} } right)^{2} right)} =frac{1}{-4sqrt{2-sqrt{x} } left(2-2-sqrt{x} right)} =frac{1}{-4sqrt{2-sqrt{x} } left(-sqrt{x} right)} ]

  5. Упростим

    6. [left(sqrt{2-sqrt{x} } right){{‘} } =frac{1}{-4sqrt{2-sqrt{x} } left(-sqrt{x} right)} =frac{1}{4sqrt{x} sqrt{2-sqrt{x} } } ]

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 11.12.2022

Источник

Содержание:

  • Формула
  • Примеры вычисления производной обратной функции

Формула

$$left(frac{1}{x}right)^{prime}=-frac{1}{x^{2}}$$

Известно свойство степеней, что

$$frac{1}{x^{n}}=x^{-n}$$

тогда

$$frac{1}{x}=frac{1}{x^{1}}=x^{-1}$$

Используя производную степенной функции:

$$left(x^{n}right)^{prime}=n x^{n-1}$$

будем иметь:

$$left(frac{1}{x}right)^{prime}=left(x^{-1}right)^{prime}=-1 cdot x^{-1-1}=-x^{2}=-frac{1}{x^{2}}$$

Примеры вычисления производной обратной функции

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=-frac{3}{x}$

Решение. Искомая производная

$$y^{prime}(x)=left(-frac{3}{x}right)^{prime}$$

Константу — 3 выносим за знак производной (согласно
правилам дифференцирования):

$$y^{prime}(x)=-3 cdotleft(frac{1}{x}right)^{prime}$$

Тогда, согласно формуле получаем:

$$y^{prime}(x)=-3 cdotleft(-frac{1}{x^{2}}right)$$

Или после упрощения

$$y^{prime}(x)=frac{3}{x^{2}}$$

Ответ. $y^{prime}(x)=frac{3}{x^{2}}$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Вычислить производную функции
$y(x)=frac{1}{x-1}$

Решение. В знаменателе заданной функции стоит функция
$u(x)=x-1$, то есть

$$y(x)=frac{1}{u(x)}$$

Поэтому необходимо найти
производную сложной функции. Для этого находим производную от
$frac{1}{u(x)}$ :

$$left(frac{1}{u(x)}right)^{prime}=-frac{1}{u^{2}(x)}$$

и умножаем на производную от функции $u(x)$ :

$$u^{prime}(x)=(x-1)^{prime}$$

Итак, имеем:

$$y^{prime}(x)=left(frac{1}{u(x)}right)^{prime}=-frac{1}{u^{2}(x)} cdot u^{prime}(x)=-frac{1}{(x-1)^{2}} cdot(x-1)^{prime}$$

Производная суммы/разности равна сумме/разности производных. Тогда имеем:

$$y^{prime}(x)=-frac{1}{(x-1)^{2}} cdotleft[(x)^{prime}-(1)^{prime}right]$$

Производная от независимой переменной равна единице:
$(x)^{prime}=1$, а производная от единицы, как от константы, равна нулю:
$(1)^{prime}=0$

$$y^{prime}(x)=-frac{1}{(x-1)^{2}} cdot(1-0)=-frac{1}{(x-1)^{2}}$$

Ответ. $y^{prime}(x)=-frac{1}{(x-1)^{2}}$

Читать дальше: производная корня икс, sqrt(x)’.

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Как найти синус между двумя сторонами треугольника
  • Как найти красивую коляску
  • Как правильно составить исковое заявление в суд на страховую
  • Как найти массу человека по формуле
  • Найди мужа как хочет мама

    • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии