Как найти обратное число для комплексного числа

How to find the reciprocal of a complex number?

Let z = x + iy be a non-zero complex number. Then

(frac{1}{z})

= (frac{1}{x + iy})

= (frac{1}{x + iy}) × (frac{x — iy}{x — iy}), [Multiplying numerator and denominator by conjugate of denominator i.e., Multiply both numerator and denominator by conjugate of x + iy]

= (frac{x — iy}{x^{2} — i^{2}y^{2}})

= (frac{x — iy}{x^{2} + y^{2}})

=  (frac{x}{x^{2} + y^{2}}) +  (frac{i(-y)}{x^{2} + y^{2}})

Clearly, (frac{1}{z}) is equal to the multiplicative inverse of z. Also,

(frac{1}{z}) = (frac{x — iy}{x^{2} + y^{2}}) = (frac{overline{z}}{|z|^{2}})

Therefore, the multiplicative inverse of a non-zero complex z is equal to its reciprocal and is represent as

(frac{Re(z)}{|z|^{2}}) + i(frac{(-Im(z))}{|z|^{2}})= (frac{overline{z}}{|z|^{2}})

Solved examples on reciprocal of a complex number:

1. If a complex
number z = 2 + 3i, then find the reciprocal of z? Give your answer in a + ib
form.

Solution:

Given z = 2 + 3i

Then, (overline{z}) = 2 — 3i

And |z| = (sqrt{x^{2} + y^{2}})

= (sqrt{2^{2} + (-3)^{2}})

= (sqrt{4 + 9})

= (sqrt{13})

Now, |z|(^{2}) = 13

Therefore, (frac{1}{z}) = (frac{overline{z}}{|z|^{2}}) = (frac{2 — 3i}{13}) = (frac{2}{13}) + (-(frac{3}{13}))i, which is the required a + ib form.

2. Find the
reciprocal of the complex number z = -1 + 2i. Give your answer in a + ib form.

Solution:

Given z = -1 + 2i

Then, (overline{z}) = -1 — 2i

And |z| = (sqrt{x^{2} + y^{2}})

= (sqrt{(-1)^{2} + 2^{2}})

= (sqrt{1 + 4})

= (sqrt{5})

Now, |z|(^{2})= 5

Therefore, (frac{1}{z}) = (frac{overline{z}}{|z|^{2}}) = (frac{-1 — 2i}{5}) = (-(frac{1}{5})) + (-(frac{2}{5}))i, which is the required a + ib form.

3. Find the
reciprocal of the complex number z = i. Give your answer in a + ib form.

Solution:

Given z = i

Then, (overline{z}) = -i

And |z| = (sqrt{x^{2} + y^{2}})

= (sqrt{0^{2} + 1^{2}})

= (sqrt{0 + 1})

= (sqrt{1})

= 1

Now, |z|(^{2})= 1

Therefore, (frac{1}{z}) = (frac{overline{z}}{|z|^{2}}) = (frac{-i}{1}) = -i
= 0 + (-i), which is the required a + ib form.

Note: The reciprocal of i is its own conjugate —
i.

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 27 октября 2012;
проверки требуют 12 правок.

Обра́тное число́ (обратное значение, обратная величина) — это число, на которое надо умножить данное число, чтобы получить единицу. Два числа, произведение которых равно единице, называются взаимно обратными.

Обратное к действительному числу [править]

Для любого действительного (или комплексного) числа, отличного от нуля, существует число, обратное ему. Обратное к действительному числу можно подать в виде дроби или степени с показателем -1. Но, как правило, используется запись через дробь.

Примеры
Число
Обратное

Не стоит путать термины «обратное число» и «противоположное число». Два числа называются противоположными, если их сумма равна нулю. Например, число, противоположное к 3, это -3, а обратное 1/3.

Обратное к нулю [править]

В арифметике, которая оперирует действительными (или комплексными) числами, нет понятия бесконечности (нет числа «бесконечность»). Поэтому в ней считается, что на ноль делить нельзя. Таким образом, ноль не имеет обратного числа. Но, с момента ввода предельного перехода (в математическом анализе), появились такие понятия как бесконечно малая и бесконечно большая величины, которые являются взаимно обратными.
Используя предельный переход, получаем: _ или _ .
Таким образом, обратной величиной для нуля формально является бесконечность.

Обратное к комплексному числу [править]

Числа, обратные к комплексным, выглядят несколько сложнее нежели обратные к действительным. Существует три формы комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая и показательная.

Формы комплексного числа	Число	Обратное [1]
Алгебраическая
Тригонометрическая
Показательная

Таким образом, при нахождении обратного к комплексному числу, удобнее пользоваться его показательной формой.

Пример:

Формы комплексного числа	Число	Обратное [1]
Алгебраическая
Тригонометрическая	или [2]	или [2]
Показательная

Обратное к мнимой единице [править]

Существует лишь два числа (комплексно-сопряженные), обратное и противоположное числа к которым равны. Это .

Число	Равенство обратного и противоположного
Запись обратного через дробь	Запись обратного через степень

Примечания [править]

1. ↑ ^{1 2} Обратное к комплексному числу записывается в такой же форме, как и это число .
2. ↑ ^{1 2} Запись комплексного числа в тригонометрической форме с использованием конкретного значения косинуса и синуса аргумента:

См. также [править]

• Обратный элемент
• Обратная матрица
• Деление
• Дробь
• Противоположное число

Сразу хочу сказать, что здесь никакой воды про комплексные числа, и только нужная информация. Для того чтобы лучше понимать что такое
комплексные числа, комплексное число, комплексного числа, мнимая единица , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Алгебра.

комплексные числа (от лат. complex — совокупный, тесно связанный ; о двойном ударении см. примечание[K 1]) — числа вида , где — вещественные числа, —
мнимая единица , то есть число, для которого выполняется равенство: Множество комплексных чисел обычно обозначается символом Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид . Главное свойство — в нем выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен -й степени ( ) имеет корней. Доказано[⇨], что система комплексных чисел логически непротиворечива[K 2].

Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания[⇨], умножения[⇨] и деления[⇨]. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше[⇨]. Удобно представлять комплексные числа точками на комплексной плоскости[⇨]; например, для изображения сопряженных чисел используется операция отражения относительно горизонтальной оси[⇨]. Альтернативное представление
комплексного числа в тригонометрической записи оказалось полезным для вычисления степеней и корней[⇨]. Функции комплексного аргумента изучаются в комплексном анализе[⇨].

Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения кубических уравнений, при котором в формуле Кардано под знаком квадратного корня получалось отрицательное число . Большой вклад в исследование комплексных чисел внесли такие математики, как Эйлер, который ввел общепризнанное обозначение для мнимой единицы, Декарт, Гаусс[⇨]. Сам термин «
комплексное число » ввел в науку Гаусс в 1831 году .

Уникальные свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, теории колебаний, теории упругости и многих других [⇨]. Преобразования комплексной плоскости оказались полезны в картографии и гидродинамике. Современная физика полагается на описание мира с помощью квантовой механики, которая опирается на систему комплексных чисел.

• Действительное число a записывается также в виде a + 0i .
• Чисто мнимое число bi, т.е. 0 + bi .
• Два комплексных числа z1 = a + bi и z2 = c + di считаются равными, если a = c и b = d.

  Число z1 = a — bi называется сопряженным числу z = a + bi.

Известно также несколько обобщений комплексных чисел — например, кватернионы

Определения

Комплексное число — это выражение вида a + bi, где a, b — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, символ, квадрат которого равен –1, то есть i2 = –1. Число a называется действительной частью, а число b — мнимой частью комплексного числа z = a + bi. Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a. Видно, что действительные числа — это частный случай комплексных чисел.

Почему для расчетов в цепях переменного тока используются комплексные числа

Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, а умножение — по правилу (a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i (здесь как раз используется, что i2 = –1). Число = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi. Равенство z · = a2 + b2 позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:

.

(Например, .)

У комплексных чисел есть удобное и наглядное геометрическое представление: число z = a + bi можно изображать вектором с координатами (a; b) на декартовой плоскости (или, что почти то же самое, точкой — концом вектора с этими координатами). При этом сумма двух комплексных чисел изображается как сумма соответствующих векторов (которую можно найти по правилу параллелограмма). По теореме Пифагора длина вектора с координатами (a; b) равна . Эта величина называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается |z|. Угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси абсцисс (отсчитанный против часовой стрелки), называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z. Аргумент определен не однозначно, а лишь с точностью до прибавления величины, кратной 2π радиан (или 360°, если считать в градусах) — ведь ясно, что поворот на такой угол вокруг начала координат не изменит вектор. Но если вектор длины r образует угол φ с положительным направлением оси абсцисс, то его координаты равны (r · cos φ; r · sin φ). Отсюда получается тригонометрическая форма записи комплексного числа: z = |z| · (cos(Arg z) + i sin(Arg z)). Часто бывает удобно записывать комплексные числа именно в такой форме, потому что это сильно упрощает выкладки. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме выглядит очень просто: z1 · z2 = |z1| · |z2| · (cos(Arg z1 + Arg z2) + i sin(Arg z1 + Arg z2)) (при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются). Отсюда следуют формулы Муавра: zn = |z|n · (cos(n · (Arg z)) + i sin(n · (Arg z))). С помощью этих формул легко научиться извлекать корни любой степени из комплексных чисел. Корень n-й степени из числа z — это такое комплексное число w, что wn = z. Видно, что , а , где k может принимать любое значение из множества {0, 1, …, n – 1}. Это означает, что всегда есть ровно n корней n-й степени из комплексного числа (на плоскости они располагаются в вершинах правильного n-угольника).

Формы записи комплексных чисел и действия над ними

Комплексная арифметика

Связанные определения

Всякое комплексное число состоит из двух компонентов :

Противоположным для комплексного числа является число Например, для числа противоположным будет число

Четыре арифметические операции для комплексных чисел имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. В отличие от последних, комплексные числа нельзя сравнивать на больше/меньше; доказано, что нет способа распространить порядок, заданный для вещественных чисел, на все комплексные так, чтобы порядок был согласован с арифметическими операциями (например, чтобы из вытекало ). Однако комплексные числа можно сравнивать на равно/не равно) :

Сложение и вычитание

Определение сложения и вычитания комплексных чисел :

Следующая таблица показывает основные свойства сложения для любых комплексных

Свойство	Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность)
Ассоциативность (сочетательность)
Свойство нуля
Свойство противоположного элемента
Выполнение вычитания через сложение

Умножение

Определим произведение комплексных чисел и :

.

Следующая таблица показывает основные свойства умножения для любых комплексных .

Свойство	Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность)
Ассоциативность (сочетательность)
Свойство единицы
Свойство нуля
Дистрибутивность (распределительность) умножения относительно сложения

Правила для степеней мнимой единицы:

и т. д.

Деление

Комплексное число называется сопряженным к комплексному числу (см. подробнее ниже).

Для каждого комплексного числа , кроме нуля, можно найти обратное к нему комплексное число . Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число , комплексно сопряженное знаменателю

Определим результат деления комплексного числа на ненулевое число :

Как и для вещественных чисел, деление можно заменить умножением делимого на число, обратное к делителю.

Другие операции

Для комплексных чисел определены также извлечение корня, возведение в степень и логарифмирование.

Возведение в степень

Если x > 0 вещественное, а z комплексное, возведение в степень определяется как

где ln обозначает натуральный логарифм.

Кажется естественным распространить эту формулу на комплексные значения x , но возникают некоторые трудности, связанные с тем, что комплексный логарифм на самом деле не функция, а многозначная функция .

Комплексный логарифм

В реальном случае натуральный логарифм может быть определен как величина, обратная экспоненциальной функции. Чтобы распространить это на комплексную область, можно начать с формулы Эйлера. Это означает, что если комплексное число z записано в полярной форме

тогда его комплексный логарифм должен быть

Однако, поскольку косинус и синус являются периодическими функциями, добавление кцелого числа, кратного 2 π . не меняет z . Например, возможные значения натурального логарифма .

Следовательно, комплексный логарифм необходимо определять как многозначную функцию :

В качестве альтернативы, для определения истинной функции можно использовать разрез ветви . Если z не является отрицательным действительным числом, главное значение комплексного логарифма получается с помощьюЭто аналитическая функция вне отрицательных действительных чисел, но она не может быть продолжена до функции, которая является непрерывной при любом отрицательном действительном числе.

Отсюда следует, что если z такое же, как указано выше, и если t — другое комплексное число, то возведение в степень — это многозначная функция

Целые и дробные показатели

Геометрическое представление корней 2–6 комплексного числа z в полярной форме re iφ,  где r = | z  | и φ = arg z . Если z вещественное число, φ = 0 или π . Основные корни показаны черным.

Если в предыдущей формуле t — целое число, то синус и косинус не зависят от k . Таким образом, если показатель степени n является целым числом, тохорошо определена, и формула возведения в степень упрощается до формулы де Муавра :

П п й корни из комплексного числа г задается

для 0 ≤ k ≤ n — 1 . (Вотявляется обычным (положительным) корнем n- й степени из положительного действительного числа r .) Поскольку синус и косинус периодичны, другие целые значения k не дают других значений.

Хотя корень n- й степени положительного действительного числа r выбирается как положительное действительное число c, удовлетворяющее условию c n = r , естественного способа отличить один конкретный комплексный корень n- й степени комплексного числа не существует. Следовательно, корень n- й степени является n- значной функцией от z . Это означает, что, в отличие от положительных действительных чисел, мы имеем

поскольку левая часть состоит из n значений, а правая часть — одно значение.

Основные отличия комплексных чисел от вещественных

Уже упоминалось, что комплексные числа нельзя сравнивать на больше-меньше. Другое отличие: любой многочлен с вещественными или комплексными коэффициентами имеет, с учетом кратности, столько корней (вообще говоря, комплексных), какова его степень (основная теорема алгебры) .

В системе вещественных чисел из отрицательного числа нельзя извлечь корень четной степени. Для комплексных чисел возможно извлечение корня из любого числа любой степени, однако результат неоднозначен — комплексный корень -й степени из ненулевого числа имеет различных комплексных значений[10]. См., например, корни из единицы.

Дополнительные отличия имеют функции комплексного переменного[⇨]..

Замечание

Число не является единственным числом, квадрат которого равен . Число также обладает этим свойством.

Следует также заметить, что выражение , ранее часто использовавшееся вместо , не вполне корректно, так как арифметический корень определяется только для неотрицательных чисел. Во избежание ошибок, выражение с квадратными корнями из отрицательных величин в настоящее время принято записывать как , а не , несмотря на то, что даже в XIX веке второй вариант записи считался допустимым[11].

Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

.

При использовании современной записи такой ошибки не возникло бы:

Риманова поверхность для √z. По вертикали откладывается действительная часть функции. Чтобы получить поверхность соответствует мнимой части, надо развернуть фигуру на 180 ° вокруг вертикальной оси

Геометрическое представление

Комплексная плоскость

Геометрическое представление комплексного числа

Комплексные числа можно представить на плоскости с прямоугольной системой координат: числу соответствует точка плоскости с координатами (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней расположены на горизонтальной оси, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями[12].

Модуль и аргумент комплексного числа

Бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат (см. рисунок справа), в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль[⇨]) и угол радиус-вектора точки с горизонтальной осью (аргумент[⇨]).

В этом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов, а вычитанию чисел соответствует вычитание радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него соответствует повороту радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа[13]. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза»[14].

Пример: умножение на поворачивает радиус-вектор числа на прямой

продолжение следует…

Продолжение:

Часть 1 Комплексные числа, определение и применение, операции над ними, физический смысл
Часть 2 Формы представления комплексного числа — Комплексные числа, определение и применение,…
Часть 3 Место в общей алгебре, топологии и теории множеств — Комплексные…
Часть 4 Вариации Обобщения и связанные с ними понятия — Комплексные числа,…