Как найти обратимое число - AvtoShod.ru - решение различных проблем

Обратные числа

Что такое обратные числа? Как найти число, обратное данному?

Определение

Обратные числа (взаимно-обратные числа) — это два числа, произведение которых равно единице.

Примеры обратных чисел.

1) 10 и 0,1

10∙0,1=1;

2) 0,125 и 8

0,125∙8=1;

$[3)2frac{5}{8}ufrac{8}{{21}}]$

$[2frac{5}{8} cdot frac{8}{{21}} = frac{{mathop {overline {21} }limits^1 cdot mathop {overline 8 }limits^1 }}{{mathop {underline 8 }limits_1 cdot mathop {underline {21} }limits_1 }} = 1;]$

$[4)frac{2}{7}u3,5]$

$[frac{2}{7} cdot 3,5 = frac{2}{7} cdot 3frac{5}{{10}} = frac{2}{7} cdot 3frac{1}{2} = frac{{2 cdot 7}}{{7 cdot 2}} = 1;]$

$[5)9ufrac{1}{9}]$

$[9 cdot frac{1}{9} = frac{{9 cdot 1}}{9} = 1.]$

Обратное число существует для любого числа, кроме нуля.

Число, обратное 1 — это 1. Таким образом, единица — число, являющееся обратным самому себе.

В общем виде взаимно-обратные дроби можно представить как

$[frac{a}{b}ufrac{b}{a},]$

натуральное число a и обратное ему число — как

$[a{rm{ u }}frac{1}{a}]$

Чтобы проверить, являются ли два числа обратными, надо найти их произведение. Если произведение равно единице, числа — взаимно-обратные, в противном случае числа обратными не являются.

Чтобы найти число, обратное данному, можно единицу разделить на данное число.

На практике обычно поступают проще.

Чтобы найти дробь, обратную обыкновенной дроби, числитель и знаменатель данной дроби меняют местами (дробь «переворачивают»).

Число, обратное натуральному, записывают как дробь с числителем 1 и знаменателем, равным данному натуральному числу.

Смешанные и десятичные дроби сначала переводят в обыкновенные дроби, а затем «переворачивают» и, если нужно, выделяют целую часть.

В алгебре по аналогии с взаимно-обратными числами вводится понятие взаимно-обратных выражений, в частности, обратных дробей.

Источник

Improve Article

Save Article

Like Article

Read

Discuss

Improve Article

Save Article

Like Article

A number is said to be a reversible if sum of the number and its reverse had only odd digits. The problem is to find out if a number is reversible or not.

Examples:

Input: 36 
Output: Reversible number
as 36 + 63 = 99 has only odd digits.

Input: 409 
Output: Reversible number
as 409 + 904 = 1313 has only odd digits.

Input: 35 
Output: Not Reversible number
as 35 + 53 = 88 has only odd digits

Naive Method

Calculate reverse of each number and add it to the number. If the resultant is reversible increment the value of count. Calculate this for every number from 1 to n.

Time complexity: O(10^n) as it should calculate reverse of each number.

Advance method

1 digit number: Any one digit number will add to itself, which always be an even number, And thus there are no solutions.
2 digits number: Both digits must be odd.
- If a+b > 10 ,then we have a carryover and thus the first digit of the result will have a different parity than the second digit.
- So, Solutions can only be formed where a+b < 10 and a + b is odd. So, total 20 such numbers are possible.
3 digits number:
- The middle digit needs to be added to itself. That means that the third digit must have a carryover and be odd.
- Since the third digit is odd the first digit is odd as well if the second digit does not have a carryover, which happens when the second digit is less than 5, which gives us 20 choices for the first/third digit set and 5 options for the middle.So, totals 100 pairs.
4 digits number: There are two pairs, say the inner and outer pair.
- If the inner pair has carryover then the outer pair must also have carryover.
- Otherwise, the two inner pairs will have different parity.
- If the inner pair has carryover then the outer pair will have different parity since the first digit will end up with a carry over which the last digit would not get.
- Therefore we have solutions only when none of the pairs have carry over.
- In total: For the outer pair, this gives us the 20 choices we have seen in the two digit case. And it gives us 30 cases for the inner pair since they can also contain a zero.
  Or in total we get 20*30 = 600 solutions.
5, 9, 13.. digits number: No solution as 1-digit number.
6, 8, 10.. digits number: Same as 2-digits number i.e. if n = 2*k then total solution = 20*30^(k-1).
7, 11, 15.. digits number: Same as 3-digits number i.e if n = 4k + 3 then total solution = 100*500^(k).

Generalizing the Solution:

All even numbered digits(2, 4, 6, 8..) have the same formula so we can generalize
that for some integer k such that n = 2k we have 20*30^(k-1) solutions
which represents the outer pair along with all the inner pairs.
For n (3, 7, 11..) of form 4k + 3 (k is an integer), we have that the middle digit and
the outer pair gives us 5 and 20 options, as in the case of 3 digit number.
Then we have sets of internal pairs which gives us 20 and 25 solutions.
So that means we can generalize it to 20*5*(20*25)^(k) = 100*500^(k).
For n of form 4k+ 1 which means 1, 5, 9.. none of these have any solutions.

Program To check if a number is reversible or not

C++

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

void checkReversible (int n)

{

int rev = 0, rem;

int flag = n;

while (flag)

{

rem = flag % 10;

rev *= 10;

rev += rem;

flag /= 10;

}

int sum = rev + n;

while (sum && (rem % 2 != 0))

{

rem = sum % 10;

sum /= 10;

}

if (sum == 0)

cout << "Reversible Number";

else

cout << "Non-Reversible Number";

}

int main()

{

int n = 36;

checkReversible(n);

return 0;

}

Java

import java.io.*;

class GFG {

static void checkReversible (int n)

{

int rev = 0, rem = 0;

int flag = n;

while (flag>0)

{

rem = flag % 10;

rev *= 10;

rev += rem;

flag /= 10;

}

int sum = rev + n;

while (sum > 0 && (rem % 2 != 0))

{

rem = sum % 10;

sum /= 10;

}

if (sum == 0)

System.out.println("Reversible Number");

else

System.out.println("Non-Reversible Number");

}

public static void main (String[] args)

{

int n = 36;

checkReversible(n);

}

Python3

def checkReversible (n):

rev = 0

flag = n

while (flag != 0):

rem = flag % 10

rev *= 10

rev += rem

flag //= 10

sum = rev + n

while (sum and ((rem % 2) != 0)):

rem = sum % 10

sum //= 10

if (sum == 0):

print("Reversible Number")

else:

print("Non-Reversible Number")

n = 36

checkReversible(n)

C#

using System;

class GFG {

static void checkReversible (int n)

{

int rev = 0, rem = 0;

int flag = n;

while (flag > 0)

{

rem = flag % 10;

rev *= 10;

rev += rem;

flag /= 10;

}

int sum = rev + n;

while (sum > 0 && (rem % 2 != 0))

{

rem = sum % 10;

sum /= 10;

}

if (sum == 0)

Console.WriteLine("Reversible Number");

else

Console.WriteLine("Non-Reversible Number");

}

public static void Main ()

{

int n = 36;

checkReversible(n);

}

Javascript

function checkReversible (n)

{

var rev = 0;

var flag = n;

while (flag != 0)

{

rem = flag % 10

rev *= 10

rev += rem

flag = Math.floor(flag / 10);

}

var sum = rev + n;

while (sum && ((rem % 2) != 0))

{

rem = sum % 10

sum = Math.floor(sum / 10);

}

if (sum == 0)

console.log("Reversible Number")

else

console.log("Non-Reversible Number")

}

let n = 36

checkReversible(n);

Output:

Reversible Number

Time complexity: O(log N) where N is no of digits of number n

Program To count total reversible numbers upto n

C++

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

void countReversible (int n)

{

int count = 0;

for ( int i = 1; i <= n; i++)

{

switch (i % 4)

{

case 0:

case 2:

count += 20 * pow( 30, ( i / 2 - 1));

break;

case 3:

count += 100 * pow ( 500, i / 4 );

break;

case 1:

break;

}

cout << count;

}

int main()

{

int n = 9;

countReversible(n);

return 0;

}

Java

import java.io.*;

class GFG {

static void countReversible (int n)

{

int count = 0;

for ( int i = 1; i <= n; i++)

{

switch (i % 4)

{

case 0:

case 2:

count += 20 * Math.pow( 30, ( i / 2 - 1));

break;

case 3:

count += 100 * Math.pow ( 500, i / 4 );

break;

case 1:

break;

}

System.out.println(count);

}

public static void main (String[] args)

{

int n = 9;

countReversible(n);

}

Python3

def countReversible (n):

count = 0;

for i in range(1, n + 1):

case = i % 4

if case == 0 or case == 2:

count += 20 * pow( 30, ( i // 2 - 1));

elif case == 3:

count += 100 * pow ( 500, (i // 4) );

elif case == 1:

pass;

print(count);

n = 9;

countReversible(n);

C#

using System;

class GFG {

static void countReversible (int n)

{

int count = 0;

for ( int i = 1; i <= n; i++)

{

switch (i % 4)

{

case 0:

case 2:

count += 20 * (int)Math.Pow( 30, ( i / 2 - 1));

break;

case 3:

count += 100 * (int)Math.Pow ( 500, i / 4 );

break;

case 1:

break;

}

Console.WriteLine(count);

}

public static void Main ()

{

int n = 9;

countReversible(n);

}

Javascript

function countReversible (n)

{

let count = 0;

for (let i = 1; i <= n; i++)

{

switch (i % 4)

{

case 0:

case 2:

count += 20 * Math.pow( 30, Math.floor( i / 2 - 1));

break;

case 3:

count += 100 * Math.pow ( 500, Math.floor(i / 4) );

break;

case 1:

break;

}

console.log (count);

}

let n = 9;

countReversible(n);

Output:

Time complexity : O(nlogn)
Auxiliary Space : O(1)

Reference : Project Euler 145: How many reversible numbers are there below one-billion?

This article is contributed by Shivam Pradhan (anuj_charm). If you like GeeksforGeeks and would like to contribute, you can also write an article using write.geeksforgeeks.org or mail your article to review-team@geeksforgeeks.org. See your article appearing on the GeeksforGeeks main page and help other Geeks.
Please write comments if you find anything incorrect, or you want to share more information about the topic discussed above.

Last Updated :
01 Sep, 2022

Like Article

Save Article

Источник

Возьмём дробь

и «перевернём» её, поменяв местами числитель и знаменатель.
Получим дробь.

Дробь

называют обратной дроби.

Если теперь дробь

опять «перевернуть», мы получим исходную дробь.

Поэтому такие дроби как

называют взаимно обратными.

Запомните!

Чтобы найти число обратное смешанному числу нужно:

записать его в виде неправильной дроби;

полученную дробь «перевернуть».

Пример. Найти число обратное смешанному числу:

Запишем смешанное число в виде неправильной дроби.

Переворачиваем полученную дробь. Обратным числом для смешанного числа будет обыкновенная дробь:

Взаимно обратные числа обладают важным свойством.

Запомните!

Произведение взаимно обратных чисел равно единице.

Пример произведения обратных дробей.

Опираясь на свойство обратных дробей, можно дать определение взаимно обратных чисел.

Запомните!

Взаимно обратными числами называют два числа, произведение которых равно единице.

Примеры с дробями

И так мы помним правило

Числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Исходя из правила

Чтобы найти число, обратное смешанному, смешанное число представляют в виде неправильной дроби:

Пример другой

Правило помним

Обратные числа (взаимно-обратные числа) — это два числа, произведение которых равно единице.

Примеры обратных чисел.

1) 10 и 0,1

10∙0,1=1;

2) 0,125 и 8

0,125∙8=1;

Обратное число существует для любого числа, кроме нуля.

Число, обратное 1 — это 1. Таким образом, единица — число, являющееся обратным самому себе.

В общем виде взаимно-обратные дроби можно представить как

натуральное число a и обратное ему число — как

Чтобы найти число, обратное данному, можно единицу разделить на данное число.

На практике обычно поступают проще.

Надеемся мы вам помогли, оставь отзыв и расскажи как ты понял( а) эту тему.

Исследуй дальше: Действия с обыкновенными дробями

Источник

Взаимно обратные числа

Как находить обратные числа

Взаимно обратные числа — это два числа, произведение которых равно единице:

Обратное число к данному числу — это число, умножение которого на данное число, даёт в результате единицу. Так, если числа p и q взаимно обратные, то можно сказать, что число p — это число, обратное числу q, а число q — это число, обратное числу p:

p · q = 1.

Как находить обратные числа

Если взять обыкновенную дробь и перевернуть её, т. е. поменять местами числитель со знаменателем, то мы получим дробь обратную данной.

Возьмём дробь и перевернём её, получится дробь :

Проверить, правильно ли найдено обратное число к данному можно с помощью умножения:

Теперь рассмотрим, как найти число, обратное натуральному числу: возьмём к примеру число 15, представим его в виде дроби , затем «перевернём» эту дробь, получится дробь .

Из сказанного следует, что:

Число, обратное данному натуральному числу, получается от деления единицы на это натуральное число.

Чтобы найти число обратное смешанному числу нужно:

Представить его в виде неправильной дроби.
Перевернуть полученную дробь.

Найдём обратное число для :

Проверяем:

Обратное число для десятичной дроби находится точно так же, как и для смешанного числа:

Проверяем:

Для единицы обратным числом является сама единица, так как:

1 · 1 = 1.

Для нуля не существует обратного числа, так как невозможно умножить нуль на какое-то число и получить единицу.

Таким образом, для любого числа, кроме нуля, существует обратное число.

Источник

Определение

Обратными (или взаимно-обратными) называют пару чисел, которые при перемножении дают 1. В самом общем виде обратными являются числа:

Как найти обратное число?

Для нахождения обратного числа, нужно единицу поделить на это число. В случае обыкновенной дроби просто поменять числитель и знаменатель местами.

Обратное число обыкновенной дроби

Когда ищем обратное число для обыкновенной дроби, то делить ее на 1 не очень удобно, так как запись получается громоздкой. В этом случае гораздо проще поступать иначе: дробь просто переворачиваем, меняя местами числитель и знаменатель. Если дана правильная дробь, то после переворачивания получается дробь неправильная, то есть такая, из которой можно выделить целую часть. Делать это или нет, решать нужно в каждом конкретном случае особо. Так, если с полученной перевернутой дробью далее придется совершать какие-то действия (к примеру, умножение или деление), то выделять целую часть не стоит. Если же полученная дробь – это конечный результат, то, возможно, выделение целой части и желательно.

Обратное число десятичной дроби

Если требуется найти обратное число к десятичной дроби, то следует воспользоваться первым правилом (деление 1 на число). В этой ситуации можно действовать одним из двух способов. Первый – просто разделить 1 на это число в столбик. Второй – сформировать дробь из 1 в числителе и десятичной дроби в знаменателе, а затем домножить числитель и знаменатель на 10, 100 или другое число, состоящее из 1 и такого количества нулей, которое необходимо, чтобы избавиться от десятичной запятой в знаменателе. В результате будет получена обыкновенная дробь, которая и является результатом. При необходимости ее может понадобиться сократить, выделить из нее целую часть или перевести в десятичный вид.

Как найти обратное число?

Принцип проверки основан на определении обратных чисел. То есть для того, чтобы убедиться, что числа являются обратными друг другу, нужно перемножить их. Если в результате будет получена единица, значит, числа – взаимно обратные.

Свойства обратных чисел

Свойство №1

Обратное число существует для любого числа, кроме 0.

Ограничение связано с тем, что нельзя делить на 0, а при определении обратного числа для нуля его как раз придется переместить в знаменатель, то есть фактически делить на него.

Свойство №2

Сумма пары взаимно-обратных чисел всегда не меньше, чем 2. Математически это свойство можно выразить неравенством:

Свойство №3

Умножение числа на два взаимно-обратных числа равносильно умножению на единицу. Математически:

Свойство №4

Взаимно-обратными могут быть числовые выражения.

Свойство №5

Для числа, представленного в виде степени с показателем х, обратным будет число в виде степени с показателем –х. Обоснование:

Это свойство означает, что и для всякой степени тоже может быть подобрано обратное число.

Даниил Романович | Просмотров: 3.7k

Источник

C++

Java

Python3

C#

Javascript

C++

Java

Python3

C#

Javascript

<img loading="lazy" decoding="async" onError="javascript: wp_broken_images = window.wp_broken_images || function(){}; wp_broken_images(this);" src="https://mentalar.ru/wp-content/uploads/2019/03/6-%E2%80%94-%D0%BA%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%8F.jpg" alt width="596" height="201" />

Взаимно обратные числа

Как находить обратные числа

Обратное число обыкновенной дроби

Обратное число десятичной дроби

Свойства обратных чисел

Не пропустите также: