Как найти обратима ли функция

Все очень просто. Функция является обратимой на своей области определения, если она монотонна на всей области определения. Или другими словами функция является обратимой, или имеет обратную, если она принимает каждое свое значение в единственной точке области определения.

Например, функция Y= x^2. Если задать ей область определения только промежуток от нуля до плюс бесконечности, то на этом промежутке функция монотонно возрастает, а следовательно является обратимой. Для нее обратной функцией является функция y1=корень (x).

Графика обратимой и обратной функции симметричны относительно прямой y=x.

As the name suggests Invertible means “inverse“, Invertible function means the inverse of the function. Inverse functions, in the most general sense, are functions that “reverse” each other. For example, if f takes a to b, then the inverse, f^-1, must take b to a.

The inverse of a function is denoted by f^-1

In other words, we can define as, If f is a function the set of ordered pairs obtained by interchanging the first and second coordinates of each ordered pair in f is called the inverse of f. Let’s understand this with the help of an example.

Example: 

function g = {(0, 1), (1, 2), (2,1)}, here we have to find the g^-1

As we know that g^-1 is formed by interchanging X and Y co-ordinates.

g = {(0, 1), (1, 2), (2, 1)}  -> interchange X and Y, we get

g^-1 = {(1, 0), (2, 1), (1, 2)}

So this is the inverse of function g.

Graph of Inverse Function

We can check for the function is invertible or not by plotting on the graph. We can plot the graph by using the given function and check for invertibility of that function, whether the function is invertible or not. Let’s plot the graph for the function and check whether it is invertible or not for f(x) = 3x + 6. This function has intercept 6 and slopes 3. Let’s plot the graph for this function

Example:

Let’s find out the inverse of the given function.

f(x) = 3x + 6 

Interchange x with y 
x = 3y + 6
x – 6 = 3y
 

y = (x – 6) / 3

y = (1 / 3)x / 3

f^-1(x) = (1 / 3) x / 3 

Now let’s plot the graph for f^-1(x). The inverse of a function having intercept and slope 3 and 1 / 3 respectively.

A function and its inverse will be symmetric around the line y = x. Then the function is said to be invertible. So let’s draw the line between both function and inverse of the function and check whether it separated symmetrically or not.

After drawing the straight line y = x, we observe that the straight line intersects the line of both of the functions symmetrically. So, the function f(x) is an invertible function and in this way, we can plot the graph for an inverse function and check the invertibility.

Conditions for the Function to Be Invertible

Condition: To prove the function to be invertible, we need to prove that, the function is both One to One and Onto, i.e, Bijective.

Explanation

We can say the function is One to One when every element of the domain has a single image with codomain after mapping. We can say the function is Onto when the Range of the function should be equal to the codomain. When we prove that the given function is both One to One and Onto then we can say that the given function is invertible. Let’s see some examples to understand the condition properly.

Example 1: Let A : R – {3} and B : R – {1}. Consider the function f : A -> B defined by f(x) = (x – 2) / (x – 3). Show that function f(x) is invertible and hence find f^-1.

Solution: 

To show the function is invertible, we have to verify the condition of the function to be invertible as we discuss above. To show that the function is invertible we have to check first that the function is One to One or not so let’s check.

Let x, y ∈ A such that f(x) = f(y)
 

=> (x – 2) / (x – 3) = (y – 2) / (y – 3)

=> (x – 2) (y – 3) = (x – 3) (y – 2)

=> xy – 3y – 2y + 6 = xy – 2x – 3y + 6

=> -3x + 2y + 6 = xy – 2x – 3y + 6

=> -3x + 2x = -3 + 2y 

=> -x = -y
=> x = y

Since f(x) = f(y) => x = y, ∀x, y ∈ A, so function is One to One.

We have proved the function to be One to One. Now let’s check for Onto. To show that f(x) is onto, we show that range of f(x) = its codomain. 

Let y = (x – 2) / (x – 3)

Put f(x) = y.

=> xy – 3y = x – 2

=> xy – x = 3y – 2

=> x(y – 1) = 3y – 2

=> x = (3y – 2) / (y -1)    —-(1)
 

Since x ∈  R – {3}, ∀y R – {1}, so range of f is given as = R – {1}. Also codomain of f = R – {1}.

Therefore, Range = Codomain => f is Onto function 

As both conditions are satisfied function is both One to One and Onto, Hence function f(x) is Invertible. Now as the question asked after proving function Invertible we have to find f^-1

from eq(1) we get,

f^-1(y) = (3y – 2) / (y – 1)

 => f^-1(x) = (3x – 2) / (y – 1) 

Example 2: Show that f: R – {0} -> R – {0} given by f(x) = 3 / x is invertible.

Solution: 

To show the function f(x) = 3 / x is invertible.

We have to check first whether the function is One to One or not.

Let x₁, x₂ ∈ R – {0}, such that  f(x₁) = f(x₂). Then,

f(x₁) = f(x₂)

=> 3 / x₁ = 3 / x₂
=> x₁ = x₂

Thus, f(x₁) = f(x₂) 

=> x₁ =x₂ ∀x, y ∈  R – {0}

So, function f is One to One.

We have proved that the function is One to One, now let’s check whether the function is Onto or not.

Let y be an arbitrary element of  R – {0}.

Then for y in the codomain  R – {0},

there exist its pre-image in the domain  R – {0}. So f is Onto.

Since we proved the function both One to One and Onto, the function is Invertible.

Example 3: Consider f: R⁺ -> [4, ∞] given by f(x) = x² + 4. Show that f is invertible, where R⁺ is the set of all non-negative real numbers.

Solution: 

To show that the function is invertible or not we have to prove that the function is both One to One and Onto i.e, Bijective

Let’s check for One to One.

Here function f: R⁺ -> [4, infinity)

Given by f(x) = x² + 4,

Let x, y ∈ R+, such that f(x) = f(y)
 

=> x² + 4  = y² + 4
 

=> x² = y²
 

=> x = y [Since we have to take only +ve sign as x, y ∈ R⁺]

Therefore, f is One to One function.

Now, we have to check for Onto.

For y ∈ [4, infinity), let y = x² + 4
 

=> x² = y – 4 ≥ 0 

=> x = √(y – 4) ≥ 0 [we take only +ve sign, as x ∈ R⁺]
 

Therefore, for any y ∈ R⁺ (codomain), there exists
 

x = √(y – 4) R⁺ (domain) such that
 

f(x) = f(√(y-4)) = (√(y – 4))² + 4 = y – 4 + 4 = y
 

Therefore, f is Onto function. 

Since function f(x) is both One to One and Onto, function f(x) is Invertible.

Determining If a Function is Invertible

As we had discussed above the conditions for the function to be invertible, the same conditions we will check to determine that the function is invertible or not. So let’s take some of the problems to understand properly how can we determine that the function is invertible or not.

Example 1: If f is an invertible function, defined as f(x) = (3x -4) / 5 , then write f^-1(x).

Solution:

In the question given that f(x) = (3x – 4) / 5 is an invertible and we have to find the inverse of x. So, firstly we have to convert the equation in the terms of x. In the below figure, the last line we have found out the inverse of x and y. So, this is our required answer.

Given, f(x) (3x – 4) / 5 is an invertible function.

Let, y = (3x – 5) / 5
5y = 3x – 4
3x = 5y + 4
x = (5y – 4) / 3
 

Therefore, f^-1(y) = (5y – 4) / 3 or f^-1(x) = (5x – 4) / 3

Example 2: f : R -> R defined by f(x) = 2x -1, find f^-1(x)?

Solution:

As we done in the above question, the same we have to do in this question too. In the question we know that the function f(x) = 2x – 1 is invertible. Let us have y = 2x – 1, then to find its inverse only we have to interchange the variables.

Given, 

f(x) = 2x -1 = y is an invertible function.
 

Let, y = 2x – 1
Inverse: x = 2y – 1
therefore, f^-1(x) = (x + 1) / 2 

Example 3: Show that the function f: R -> R, defined as f(x) = 4x – 7 is invertible of not, also find f^-1.

Solution:

In the question, given the f: R -> R function f(x) = 4x – 7. We have to check if the function is invertible or not. So, to check whether the function is invertible or not, we have to follow the condition in the above article we have discussed the condition for the function to be invertible. So as we learned from the above conditions that if our function is both One to One and Onto then the function is invertible and if it is not, then our function is not invertible. So, let’s solve the problem firstly we are checking in the below figure that the function is One-One or not.

One-One function means that every element of the domain have only one image in its codomain. So we had a check for One-One in the below figure and we found that our function is One-One. Now, the next step we have to take is, check whether the function is Onto or not. The function is Onto only when the Codomain of the function is equal to the Range of the function means all the elements in the codomain should be mapped with one element of the domain. So, we had checked the function is Onto or not in the below figure and we had found that our function is Onto. So, the condition of the function to be invertible is satisfied means our function is both One-One Onto. Hence we can prove that our function is invertible.

Given, f : R -> R such that f(x) = 4x – 7
 

For one to one:

Let x₁ and x₂ be any elements of R such that f(x₁) = f(x₂), Then 

f(x₁) = f(x₂)
4x₁ – 7 = 4x₂ – 7
4x₁ = 4x₂
x₁ = x₂
So, f is one to one
 

For onto:

Let y = f(x), y belongs to R. Then,
y = 4x – 7
x = (y+7) / 4

From above it is seen that for every value of y, there exist it’s pre-image x.

So, f is onto 

Thus, f is being One to One Onto, it is invertible.

Inverse Trigonometric Functions

Inverse functions are of many types such as Inverse Trigonometric Function, inverse log functions, inverse rational functions, inverse rational functions, etc. In the below table there is the list of Inverse Trigonometric Functions with their Domain and Range.

Finding Inverse Function Using Algebra

Example 1: Find the inverse of the function f(x) = (x + 1) / (2x – 1), where x ≠ 1 / 2

Solution:

For finding the inverse function we have to apply very simple process, we  just put the function in equals to y.

(x+1) / (2x-1) = y

x +1 = 2xy – y

x- 2xy = -y – 1

x(1- 2y) = -y – 1

x = (-y – 1) / (1 – 2y)

By taking negative sign common, we can write ,

x = (1 + y) / (2y – 1)

f^-1(x) = (1 + x / (2x – 1)

This is the required inverse of the function.

Example 2: Solve: f(x) = 2x  /  (x -1)

Solution:

As we done above, put the function equal to y, we get

2x / (x – 1) = y

2x = xy – y

2x – xy = -y

Taking x common from the left hand side

x (2 – y) = -y

x = -y / (2 – y)

Taking y common from the denominator we get,

x = y / (y – 2)

f^-1(x) = x / (x – 2) 

This is required inverse of the function.

Example 3: Find the inverse for the function f(x) = 2x² – 7x +  8

Solution:

We follow the same procedure for solving this problem too,

put the function equal to y, we get

 2x² – 7x +  8 = y

Taking 2 common from left hand side

2 [ x² – (7 / 2)x +  4] = y

To make the perfect square of (x – y)² , 

we have to divide and multiply by 2 with second term of the expression.

Adding and subtracting 49 / 16 after second term of the expression.

We get,

2[ x² – 2. (7 / 2*2). x + 49 / 16 – 49 / 16 +4] = y

See carefully the underlined portion, it is the formula (x – y)² = x² – 2xy + y²

We can write this,

2(x – (7 / 4))² – 49 / 8 + 8 = y

2(x – (7 / 4))² = y – (15 /

(x – (7 / 4))² = (y / 2) – (15 /

Now, remove square root,

x – (7 / 4) = square-root((y / 2) – (15 / 32))

x = (7 / 4) + square-root((y / 2) – (15 / 32))

f^-1(x) = (7 / 4) + square-root((x / 2) – (15 / 32))

This is the required inverse of the function. 

Restricting Domains of Functions to Make them Invertible

As the above heading suggests, that to make the function not invertible function invertible we have to restrict or set the domain at which our function should become an invertible function. We know that the function is something that takes a set of number, and take each of those numbers and map them to another set of numbers. So if we start with a set of numbers.

The above table shows that we are trying different values in the domain and by seeing the graph we took the idea of the f(x) value. When x = 0 then what our graph tells us that the value of f(x) is -8, in the same way for 2 and -2 we get -6 and -6 respectively. As we see in the above table on giving 2 and -2 we have the output -6 it is ok for the function, but it should not be longer invertible function. So, in the graph the function is defined is not invertible, why it should not be invertible?, because two of the values of x mapping the single value of f(x) as we saw in the above table. In the order the function to be invertible, you should find a function that maps the other way means you can find the inverse of that function, so let’s see

So if we find the inverse, and we give -8 the inverse is 0 it should be ok, but when we give -6 we find something interesting we are getting 2 or -2, it means that this function is no longer to be invertible, demonstrated in the below graph.

In the same way, if we check for 4 we are getting two values of x as shown in the above graph. Now, we have to restrict the domain so how that our function should become invertible. So, we can restrict the domain in two ways 

• (0, ∞)
• (-∞, 0)

Let’s try first approach, if we restrict domain from 0 to infinity then we have the graph like this

We have this graph and now when we check the graph for any value of y we are getting one value of x, in the same way, if we check for any positive integer of y we are getting only one value of x. Now, let’s try our second approach, in which we are restricting the domain from -infinity to 0. If we plot the graph our graph looks like this.

In this graph we are checking for y = 6 we are getting a single value of x. Now if we check for any value of y we are getting a single value of x. So in both of our approaches, our graph is giving a single value, which makes it invertible. So, our restricted domain to make the function invertible are

• (0, ∞)
• (-∞, 0)

План урока:

Взаимно обратные функции

Кубический корень

Корни n-ой степени

Арифметические корни n-ой степени

Свойства корня n-ой степени

Сравнение корней

Взаимно обратные функции

Напомним, что любая функция у = у(х) представляет собой некоторое правило, которое устанавливает соответствие между значениями х и значениями у. В частности, функция у = х² ставит в соответствие каждому действительному числу его квадрат. Приведем таблицу, содержащую значения этой функции для целых аргументов от – 2 до 2:

Но если есть соответствие между х и у, то должно существовать и обратное соответствие между у и х. Действительно, строки таблички можно «перевернуть» и она примет следующий вид:

Мы получили два взаимно обратных соответствия. Однако второе из них функцией не является, ведь функция должна ставить в соответствие своему аргументу только одно значение функции. Однако, судя по второй таблице, числу у = 1 соответствует сразу два х: х = – 1 и х = 1. В таком случае математики говорят, что исходная функция у = х² является необратимой.

Теперь изучим зависимость у = х³. Построим табличку и для неё:

Теперь «перевернем таблицу» и получим следующее:

Мы видим, что как каждому значению х соответствует единственное значение у, так и наоборот, каждому у соответствует единственное значение х. В математике для подобных соответствий используют понятие взаимно-однозначное соответствие.

Для лучшего понимания этого определения отвлечемся от чисел. Пусть в футбольном чемпионате играет несколько команд. Они образуют множество Х команд-участниц соревнования. За множество У примем отдельных футболистов, выступающих на турнире. Каждому игроку соответствует единственная команда, за которую он выступает, но обратное неверно – каждой команде соответствует несколько игроков. Значит, это пример соответствия, не являющегося взаимно-однозначным.

Пусть тренеры команд образуют множество Z. Каждый тренер тренирует лишь одну команду, и наоборот, каждую команду тренирует единственный тренер. Значит, между множествами X и Z есть взаимно-однозначное соответствие.

Вернемся к функциям. Если соответствие, которое задает функция у = у(х), является взаимно-однозначным, то каждому значению у будет соответствовать единственное значение х. Значит, существует некоторая функция х = х(у). Пары функций у = у(х) и х = х(у) называются взаимно обратными функциями.

Ещё раз скажем, что не для любой функции существует обратная функция, ведь не все они определяют взаимно-однозначное соответствие. Если всё же для у = у(х) есть обратная функция х = х(у), то у = у(х) называют обратимой функцией.

Покажем, какие функции являются обратными, на примере пары у = 4х + 12 и у = 0,25х – 3. Возьмем, например, значение х = 5 и подставим его в у = 4х + 12:

у = 4х + 12 = 4•5 + 12 = 32

Получили 32. Подставим это число в обратную функцию:

у = 0,25х – 3 = 0,25•32 – 3 = 8 – 3 = 5

Получили именно то число, которое первоначально подставили в первую функцию! Возьмем другое произвольное число, например, 10, и подставим его в у = 4х + 12:

у = 4•10 + 12 = 40 + 12 = 52

Полученный результат подставляем в у = 0,25х – 3:

у = 0,25•52 – 3 = 13 – 3 = 10

Снова получили исходное число! Выберете сами ещё несколько произвольных чисел и убедитесь, что и с ними будет происходить то же самое.

Посмотрим, как получить обратную функцию. Пусть дана зависимость

у = 5х + 20

Это, по сути, выражение для вычисления у. Выразим из него х:

у = 5х + 20

у – 20 = 5х

(у – 20)/5 = х

х = у/5 – 20/5

х = 0,2у – 4

Получили зависимость х от у. Чтобы мы получили из нее обратную функцию, необходимо просто поменять местами буквы х и у:

у = 0,2х – 4

Убедитесь самостоятельно на нескольких примерах, что полученная функция обратна функции у = 5х + 20.

Пример. Найдите функцию, обратную зависимости у = 1/(х + 7).

Решение. Умножим обе части равенства у = 1/(х + 7) на (х + 7):

у(х + 7) = 1

Далее поделим обе части нау:

х + 7 = 1/у

Перенесем семерку вправо и получим формулу для вычисления х:

х = 1/у – 7

Для получения обратной функции просто меняем х и у местами:

у = 1/х – 7

Ответ: у = 1/х – 7.

Предположим, у нас есть у= у(х), чей график нам известен, и необходимо построить график взаимно обратной функции. Как это сделать? Если одна точка на координатной прямой имеет координаты (a; b) и принадлежит функции у = у(х), то, обратной функции должна принадлежать точка (b; a):

Эти точки симметричны относительно прямой у = х:

Поэтому для построения графика обратной функции достаточно симметрично отобразить его относительно прямой у = х.

С помощью этого правила построим график функции, обратной у = х³:

Практика показывает, что не все школьники (да и взрослые тоже) понимают, что означает симметричность относительно прямой у = х, ведь эта прямая наклонена. Здесь требуется довольно высокий уровень пространственного мышления. Куда проще понять симметрию относительно вертикальной или горизонтальной линии. Поэтому мы покажем ещё один способ построения обратных функций, который состоит из двух этапов.

Он заключается в том, что сначала график отображают симметрично относительно вертикальной оси Оу:

На втором этапе полученное отображение поворачивают по часовой стрелке относительно начала координат:

Заметим важное правило. При построении обратной функции области определения и области значений меняются местами. Действительно, если какое-то число входит в область значения функции, то это значит, что его можно подставить в обратную функцию. Но это в свою очередь означает, что она входит в область определения обратной функции. Проиллюстрируем это правило картинкой:

До сих пор мы рассматривали способы построения обратных функций, но ведь в самом начале урока говорилось о том, что обратная функция существует не всегда. Действительно, попытаемся построить обратную функцию для у = х²:

Получилась та же парабола, но «лежащая на боку». Является ли она графиком функции? Нет. На рисунке проведена вертикальная линия, которая пересевает график в двух точках. Это значит, что одному значению х (в данном случае х = 5) соответствует сразу два значения у. Но подобное соответствие не является функцией. Это значит, что у = х² – необратимая функция.

Есть ли какой-то признак, позволяющий быстро сказать, является ли функция обратимой? Оказывается, есть. Если функция строго монотонна (то есть либо только возрастает, либо только убывает), то это гарантирует, что она ещё и обратима. Покажем это с помощью рисунков. Известно, что каждому значению строго монотонной функции соответствует лишь один аргумент. С точки зрения геометрии это означает, что любая горизонтальная линия пересекает монотонную функцию не более чем в одной точке:

К слову, это свойство мы использовали для решения некоторых уравнений. Теперь отобразим график симметрично прямой у = х, причем также отобразим и горизонтальные линии:

Горизонтальные линии превратились в вертикальные, при этом они всё также пересекают график не более чем в одной точке. Но это как раз и означает, что график задает функцию, а не какое-то другое соответствие. Отсюда делаем вывод – любая строго монотонная функция обратима.

Снова вернемся к функции у = х². Мы уже показали, что она необратима. Но теперь наложим на нее дополнительное ограничение: х⩾0. Тогда от графика параболы останется только одна ветвь. Для нее уже можно построить обратную функцию:

Можно сделать вывод – обратимость функции зависит не только от самого вида функции, но и от того, на какой области определения ее рассматривают.

Кубический корень

Ранее мы изучили понятие квадратного корня. Напомним, что извлечение квадратного корня – это операция, обратная возведению в квадрат. Другими словами, функция

является обратной для у = х².

Встает вопрос – а можно ли придумать функцию, обратную возведению в куб? Конечно же да, ведь мы убедились в том, что функция у = х³ обратима. Называют же функцию, обратную у = х³, кубическим корнем.

Можно дать и другое определение, не использующее понятие функции:

Например, мы знаем, что число 5 в кубе равно 125:

5³ = 125

Это значит, что кубический корень из 125 равен 5.

Для обозначения кубического корня используют тот же знак радикала, что и для квадратного корня. Чтобы их отличать друг от друга, в случае с кубическим корнем перед знаком радикала ставят тройку:

Заметим важное отличие кубического и квадратного корня. Мы привыкли, что под знаком радикала не должно стоять отрицательное число. Но кубический корень из отрицательного числа извлечь можно. Например, мы знаем, что (– 6)³ = – 216. Отсюда следует, что

График кубического корня можно получить, просто построив функцию, обратную у = х³:

Корни n-ой степени

Аналогично кубическому корню можно ввести понятие и корня произвольной n-ой степени.

Для обозначения корня n-ой степени используется знак радикала, перед которым стоит число n. Приведем пример. Мы знаем, что 2⁵ = 32. Это значит, что корень 5-ой степени из 32 равен 2:

Мы помним, что все степенные функции вида у = хⁿ схожи друг с другом и при этом могут быть разбиты на два класса, в зависимости от четности или нечетности показателя степени n. Если n– четное число (2, 4, 6…), то график будет похож на параболу у = х², просто он будет чуть сильнее «прижат» к оси Ох вблизи точки О (0;0), но вместе с тем он будет и быстрее возрастать:

Если же показателем n является нечетное число, то график у = хⁿ будет схож с графиком у = х³:

Мы видим, что при нечетном показателе получается строго монотонная (возрастающая) функция. Следовательно, она обратима. Функция, обратная функции у = хⁿ, и будет корнем степени n.

Если n нечетно, то корень можно извлечь и из отрицательного числа. Так, известно, что (– 3)⁷ = – 2187. Это значит, что корень седьмой степени из (– 2187) равен (– 3):

Очевидно, что корень получится отрицательным, если под ним стоит отрицательное число. Если же подкоренное выражение положительно, то и сам корень положителен. Более того, можно заметить, что корень из отрицательного числа равен корню из противоположенного ему положительного числа, взятого со знаком минус:

В общем случае графики всех корней нечетных степеней будут похожи на график кубического корня:

Несколько сложнее дело обстоит в том случае, если показатель n является четным. Мы уже выяснили, что у = х² – это необратимая функция. Аналогично и любая другая степенная функция у = хⁿ необратима. Однако у = х² обратима, если наложить дополнительное ограничение: х ≥ 0. Аналогично, при использовании такого же ограничения, обратимой будет и любая функция у = хⁿ, где n – четное число. График такой функции будет похож на квадратный корень:

При четном значении n корень n-ой степени нельзя извлечь из отрицательного числа. Действительно, попробуем возвести в четную степень положительное число:

5⁴ = 5•5•5•5 = 625

Получили другое положительное число. Теперь попробуем возвести в четную степень отрицательное число:

(– 5)⁴ = (– 5)•(– 5)•(– 5)•(– 5) = 625

Результат снова положительный! Минусы у отрицательных чисел «сократились» друг с другом, и получилось положительное произведение. Но раз при возведении в четную степень всегда получается неотрицательное число, значит, и под четным корнем должно также стоять неотрицательное число. Поэтому подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Арифметические корни n-ой степени

Мы видим, что складывается не очень удобная для математиков ситуация: корни n-ой степени из отрицательного числа можно извлечь, если n – нечетное число, но при четном n такая операция уже недопустима. Это порождает много проблем при работе с корнями. Для устранения этих проблем вводится понятие арифметического корня степени n. Его особенность в том, что он всегда извлекается из неотрицательного числа и сам принимает значения, не меньшие нуля.

Заметим, что корень нечетной степени из отрицательного числа всегда можно выразить с помощью арифметического корня, просто вынеся знак минус из-под корня:

Поэтому арифметических корней вполне хватает для работы в любых ситуациях.

Определение корня можно записать в более формализованном виде:

Это значит, что

Проиллюстрируем использование этой формулы:

Свойства корня n-ой степени

Далее рассмотрим некоторые свойства корней степени n, помогающие вычислять их значения. Сразу скажем, что они во многом идентичны свойствам квадратного корня.

Для доказательства этого свойства правую часть в n-ую степень:

Приведем примеры использования этого свойства:

Отсюда следует, что множители можно вносить и выносить из-под знака корня:

Следующее свойство помогает извлекать корни из дробей.

Доказывается это свойство так же, как и первое. Возведем в n-ую степень правую часть формулы:

Продемонстрируем применение доказанного тождества:

Заметим, что если под корнем находится степень какого-то числа, то ее вынести из-под радикала:

Доказать это можно, разложив число a^m в произведение:

a^m =a•a•a…•a

Всего справа стоит m множителей. Теперь извлечем корень степени n:

Справа всё те же m множителей, а потому

Таким образом, получаем, что

Покажем несколько примеров использования этого правила:

Далее посмотрим, как извлекать корень из другого корня.

Для доказательства возведем корень в левой части формулы в степень mn:

По определению корня получаем, что

Проиллюстрируем использование данного правила:

Последнее свойство, которое нам осталось изучить, называют основным свойством корня.

Доказательство записывается всего в одну строчку:

Степени в корне и под ним можно «сокращать»:

Сравнение корней

Естественно, что большинство корней – это не целые, а иррациональные числа, которые довольно сложно вычислять. Тем не менее есть несколько правил, которые помогают оценивать их значение. Из графиков корней видно, что все они являются возрастающими функциями. Поэтому, если необходимо сравнить два корня одной степени, достаточно сравнить их подкоренные выражения. Тот корень, у которого под корнем стоит большее число, и будет больше

В частности, справедливы неравенства:

В случае, если у корней различаются степени, следует постараться преобразовать их так, чтобы степени всё же совпали.

Пример. Сравните числа

Решение. Преобразуем первое число, чтобы у нас получился корень шестой степени:

Так как 121 > 119, то и

Пример. Сравните числа

Решение. Сначала избавимся от вложенных корней:

Получили два кубических корня. Меньше тот из них, у которого под радикалом меньшее число:

Пример. Сравните корни

Решение. Имеем корни 7-ой и 4-ой степени. К какой одинаковой степени можно привести оба корня? Это число 28, ведь оно представляет собой произведение 7•4:

Так как 16384 > 14641, то и