Как найти область однолистности - AvtoShod.ru - решение различных проблем

Функции комплексного переменного

Основные понятия функций комплексного переменного

Основные понятия, связанные с функцией комплексного переменного, находятся так же, как и в действительной области.

Пусть заданы два множества и комплексных чисел.

Если каждому значению zin D ставится в соответствие число win G , то говорят, что на множестве задана функция w=f(z) комплексного переменного, т.е.

fcolon, forall zin D,~ Dsubset mathbb{C}~ to~ win G,~ Gsubset mathbb{C}~ Leftrightarrow~ w=f(z).

Если записать числа и в алгебраической форме: z=x+iy,~ w=u+iv , то замечаем, что действительная u=operatorname{Re}f(z) и мнимая v=operatorname{Im}f(z) части функции f(z) являются функциями переменных и ycolon, u=u(x,y) и v=v(x,y) .

Задание функции w=f(z),~ zin D эквивалентно заданию на множестве двух функций u=u(x,y),~ v=v(x,y) двух действительных переменных.

Кроме того, если для числа записать модуль $|w|=sqrt{u^2+v^2}$ и аргумент $arg w=varphi,~ operatorname{tg}varphi=frac{v}{u}$ для une0 и $varphi=pm frac{pi}{2}$ при u=0 ( $varphi=frac{pi}{2}$ при v>0 и $varphi=-frac{pi}{2}$ при v<0 ), то получим аналогичное утверждение. Задание функции комплексного переменного w=f(z) равносильно заданию двух функций двух действительных переменных. Первая из функций определяет модуль функции: $|f(z)|= F(x,y)= sqrt{u^2(x,y)+v^2(x,y)}$ , вторая — аргумент функции: arg f(z)=Phi(x,y) , где $operatorname{tg}Phi(x,y)= frac{v(x,y)}{u(x,y)}$ в точках, в которых $u(x,y)ne0;~ Phi(x,y)=frac{pi}{2}$ при u(x,y)=0,~ v(x,y)>0 и $Phi(x,y)=-frac{pi}{2}$ при u(x,y)=0,~ v(x,y)<0 .

Пример 2.1. Найти значение функции $f(z)=iz^2-overline{z}$ в точках z_1=1+i и z_2=2i .

Решение

$begin{gathered}f(z_1)= icdot (1+i)^2- (1-i)= icdot 2i-1+i=-3+i;\[5pt] f(z_2)= icdot (2i)^2-(-2i)= -4i+2i=-2i.end{gathered}$

Пример 2.2. Найти operatorname{Re}f(z),~ operatorname{Im}f(z) , если а) f(z)=z^2 ; б) $f(z)=frac{z-i}{z+2}$ .

Решение

Отображения на комплексной плоскости

Задание функции комплексного переменного f(z) с областью определения и областью значений есть отображение множества на множество , fcolon Dto G (рис. 2.1).

Точка win G называется образом точки при отображении w=f(z) , точка zin D — прообразом.

По определению предполагается однозначность отображения, т.е. каждому числу zin D соответствует единственное значение win G , но при этом может оказаться, что точка является образом двух или более точек zin D (на рис. 2.1 это точка w_0 , так как w_0=f(z_1) и w_0=f(z_2) ).

Отображение множеств на комплексной плоскости

Если любое значение win G является образом только одной точки zin D , то отображение называется однолистным в , в противном случае — неоднолистным. Из определения следует, что однолистное отображение является взаимно однозначным отображением.

Простейшими однолистными (во всей комплексной плоскости) отображениями являются отображения w=z,~ w=overline{z} . Первое отображает любую область, в том числе и всю комплексную плоскость, на себя, второе — верхнюю полуплоскость на нижнюю, а нижнюю на верхнюю.

Примером неоднолистного в mathbb{C} отображения является w=z^2 . Действительно, различным точкам, например z_1=1 и z_2=-1 , соответствует одно значение w=1 , а точкам pm i — одно значение w=-1 . Неоднолистным отображением является и w=z^n . Каждой точке w,~ wne0,~ wneinfty , соответствуют значений $z_{k},~ k=0,1,ldots,n-1$ . В силу этого отображение w=z^n при n>1 называют n-листным, а отображение w=z^2 — двулистным.

Из определения получаем и условие однолистности отображения, отображение является однолистным на множестве , если для любых точек z_1 и z_2 , принадлежащих , равенство f(z_1)= f(z_2) выполняется тогда и только тогда, когда z_1=z_2 . Иначе: отображение однолистно на множестве , если множество не содержит ни одной пары чисел z_1 и z_2 , таких, что z_1ne z_2 и выполняется условие f(z_1)= f(z_2) .

Пример 2.3. Найти область однолистности функции w=z^2 .

Решение

Во всей комплексной плоскости отображение не является однолистным. Но можно найти множество, где условие однолистности будет выполняться, т.е. множество, которое не содержит двух различных точек z_1 и z_2 , для которых f(z_1)=f(z_2) .

Рассмотрим две произвольные точки z_1 и z_2 и разность значений функции в них: w_1-w_2= z_1^2-z_2^2= (z_1-z_2)(z_1+z_2) . При z_1ne z_2 равенство w_1=w_2 выполняется, если z_1+z_2=0 . Таким образом, отображение w=z^2 будет однолистным в любой области, в которой не лежат одновременно две точки z_1 и z_2 , такие, что z_1=-z_2 . Эти точки нужно расположить на границе области. Так как указанному условию удовлетворяют точки, симметрично расположенные относительно начала координат, то в качестве границы можно выбрать любую прямую, доходящую через z=0 .

Отображение однолистно в любой полуплоскости, границей которой является прямая, проходящая через начало координат, например operatorname{Im}z>0 или operatorname{Im}z<0 . При этом каждую такую полуплоскость w=z^2 отображает на всю плоскость.

Рассмотрим подробнее отображение области operatorname{Im}z>0 . На границе выберем точки A(-1;0),~ O(0;0),~ B(1;0) (рис. 2.2,с), а обход границы в направлении от к . Образами точек и на плоскости w является одна точка w=1 (рис. 1.2,б). При этом и левая, и правая полуоси действительной оси отображаются в действительную положительную полуось. Любая область , принадлежащая верхней полуплоскости, взаимно однозначно отображается на соответствующую область .

Взаимная однозначность отображения нарушается на границе. Чтобы отображение было взаимно однозначным (однолистным) и на границе, сделаем «разрез» действительной положительной полуоси. Будем считать, что эта полуось состоит из двух «частей» — верхнего «берега» и нижнего «берега» (рис. 2.2,б). Полуось как граница пробегается точкой дважды, скачала по нижнему «берегу» в направлении от точки к , потом по верхнему — от к .

Функция w=z^2 взаимно однозначно отображает верхнюю полуплоскость на плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси.

Также на всю плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси функция w=z^2 отображает и нижнюю полуплоскость (на рис. 2.2,с обход от к ), только при этом образом точки будет точка нижнего «берега» разреза ( на рис. 2.2,б). Заметим также, что правая (operatorname{Re} z>0) и левая (operatorname{Re}z<0) полуплоскости переходят при отображении w=z^2 в плоскость с разрезом по отрицательной действительной полуоси.

В силу указанной особенности отображение является двулистным в .

Отображение области на комплексной плоскости

Пример 2.4. Исследовать на однолистность отображения: а) w=az+b,~ ane0 ; б) $w=frac{1}{z}$ ; в) w=z^n .

Решение

Обратные и многозначные функции комплексного переменного

Понятие обратной функции для функции комплексного переменного вводится, как и в действительной области.

Пусть задана функция w=f(z),~ fcolon Dto G . Тогда по определению любому числу из области соответствует одно или несколько значений из области таких, что f(z)=w , т.е. для любого win G уравнение f(z)=w имеет решения и области . В таком случае говорят, что уравнение f(z)=w определяет функцию $z=f^{-1}(w)$ , обратную функции w=f(z) .

Существование функции, согласно определению, предполагает ее однотипность, т.е. для случая обратной функции — это единственность решения уравнения f(z)=w при всяком фиксированном из . Очевидно, в общем случае уравнение определяет неоднозначную функцию.

Достаточным условием однозначности обратной функции является однолистность функции f(z) .

Пример 2.5. Найти функции, обратные к следующим однолистным функциям:

a) w=acdot z+b,~ ane0 ; б) $w=frac{a}{z},~ ane0$ ; в) w=overline{z} .

Решение

а) Из равенства w=az+b получаем $z=frac{w-b}{a}$ , или z=a_1w+b_1 . Обратная к линейной функции также является линейной, однозначной. Линейная функции взаимно однозначно отображает комплексную плоскость на себя: mathbb{C}to mathbb{C} . Если положить w(infty)=infty , то можно говорить о взаимно однозначном отображении расширенной плоскости на себя: overline{mathbb{C}}to overline{mathbb{C}} .

б) Из $w=frac{a}{z},~ ane0$ , получаем $z=frac{a}{w}$ . Функция сама себе обратная, однозначная; осуществляет взаимно однозначное соответствие плоскости с выброшенной точкой z=0 на всю комплексную плоскость. Если положить w(0)=infty , a w(infty)=0 , то получим отображение fcolon overline{mathbb{C}}to overline{mathbb{C}} .

в) Отображение w=overline{z} , очевидно, однолистное, так как из $w_1-w_2= overline{z}_1-overline{z}_2$ , или иначе $w_1-w_2= overline{z_1-z_2}$ , получаем, что для любых значений z_1 и z_2,~ z_1ne z_2 значения функции не совпадают, т.е. w_1ne w_2 . Функция z=overline{w} , обратная к функции w=overline{z} , является однозначной.

Функции, обратные к неоднолистным. Выделение однозначных ветвей

С неоднозначными функциями приходится встречаться в математическом анализе. Например, уравнение x^2+y^2=1 на множестве |x|<1 определяет двухзначную функцию $y=pmsqrt{1-x^2}$ , точнее, две функции: $y=-sqrt{1-x^2}$ и $y=sqrt{1-x^2}$ . Геометрически — это две части окружности, верхняя и нижняя полуокружности. Эти функции можно назвать двумя однозначными ветвями функции, определяемой неявно уравнением x^2+y^2=1 . Отделение этих функций — выделение однозначных ветвей — здесь не представляет затруднений. Говоря о верхней полуокружности, подразумеваем то решение уравнения x^2+y^2=1 , где y>0 , поэтому ветвь $y=sqrt{1-x^2}$ можно выделить, задавая значения функции во внутренней точке промежутка |x|<1 , например y(0)=1 ; говоря о нижней, можем задать y(0)=-1 .

Аналогично в комплексной области предполагаем однозначность функции, однако термин «функция» применяем и к случаю неоднозначных отображений.

Примерами неоднозначных отображений являются функции, обратные к неоднолистным. Например, функция w=sqrt{z} , обратная к функции w=z^2 , неоднозначная.

Вопрос о возможности выделения в соответствующих областях однозначных ветвей — однозначных, непрерывных функций и построении таких функций связан с исследованием простейшей многозначной функции w=operatorname{Arg}z .

Функция аргумента Arg(z)

Функция w=operatorname{Arg}z является многозначной, что следует из способа введения полярных координат, а именно аргумент числа z~(zne0) определяется с точностью до слагаемого, кратного 2pi .

При перемещении любой точки z~(zne0) по произвольной непрерывной кривой аргумент числа непрерывно изменяется. При этом, если кривая замкнутая, то возможны два случая. В одном случае точка после обхода возвращается в исходное положение с прежним значением аргумента. Так будет для любой кривой, не совершающей обхода вокруг начала координат (рис. 2.4,а). В другом случае аргумент изменяется на 2pi или (-2pi) в зависимости от направления обхода, а при n-кратном обходе — на 2kn,~ k=n или k=-n . Это имеет месте в случае, когда точка при перемещении обходит начало координат (рис. 2.4.б).

Аргумент комплексного числа

Аргумент как функция точки будет однозначной функцией в области, которая не содержит кривых, совершающих обход точки z=0 . В качестве такой области можно взять плоскость с разрезом по любому лучу, выходящему из начала координат, в частности, с разрезом по действительной отрицательной полуоси — область D_2,,-pi<arg z<pi ; можно выбрать разрез по действительной положительной полуоси — область D_1 , где главное значение аргумента определяется равенством 0<arg z<2pi (рис. 2.5). Заметим, что аргументы числа, геометрически соответствующего одной и той же точке областей D_1 и D_2 , могут быть различны. Например. в области $D_1colon,arg(-i)= frac{3pi}{2}$ , а в области $D_2colon,arg(-i)=-frac{pi}{2}$ .

Разрез по лучу на комплексной плоскости

Границами каждой из областей D_1 и D_2 являются два «берега» соответствующей полуоси, обход границ на рисунках указан стрелками.

Пример 2.6. Исследовать возможность выделения однозначных ветвей неоднозначной, функции w=sqrt{z} .

Решение

Функция является неоднозначной как обратная к неоднолистной w=z^2 . Её неоднозначность (двузначность), согласно правилу извлечения корня, связана с неоднозначностью аргумента: $sqrt{z}= sqrt{|z|}cdot e^{i left(frac{arg z}{2}+ kpiright)},~ k=0;1$ .

Для каждого z~(zne0) получаем два значения , для одного из которых $arg w_1= frac{1}{2}arg{z}$ , для другого $arg w_2= frac{1}{2}arg{z}+pi$ . При этом в силу равенства $e^{i,pi}=-1$ эти значения функции отличаются только знаком, $w_2=w_1cdot e^{ipi}$ , то есть w_1=-w_2 . Например, значению z=-1 (точка в плоскости на рис. 2.6 и 2.7) соответствуют два значения wcolon, w=pm i (точки в плоскости w на рис. 2.6 и 2.7).

В плоскости с разрезом по лучу [0;+infty) ( D_1 на рис. 2.5) возможно выделение однозначных ветвей аргумента. Можно рассмотреть две функции:

$w= bigl(sqrt{z}bigr)_1= sqrt{|z|}cdot exp frac{iarg z}{2},qquad w=bigl(sqrt{z} bigr)_2= sqrt{|z|}cdot exp frac{i(arg z+2pi)}{2},quad 0<arg z<2pi,.$

Первая из них переводит область D_1 — плоскость с разрезом — в область G_1 , где operatorname{Im}w>0 (на рис. 2.6 точка принадлежит области G_1 ), так как для $arg w= frac{1}{2}arg z$ имеем неравенство 0<arg w<pi .

Положительный обход границ указан стрелками. В точках границы области D_1 однозначность нарушается, но в силу сделанного разреза действительные положительные значения (z=x,~ x>0) рассматриваются дважды: на верхнем «берегу» и на нижнем «берегу». Например, при z=1 это точки — верхнего «берега» и — нижнего, а при z=2 точки — верхнего «берега» и — нижнего (рис. 2.6). При отображении $w=(sqrt{z})_1$ точкам верхнего «берега» соответствуют положительные значения sqrt{x} (точки и ), а точкам нижнего — отрицательные (точки и ).

Разрезы на комплексной плоскости

Вторая функция $(sqrt{z})_2$ переводит область D_2 — плоскость с разрезом [0;+infty) на нижнюю полуплоскость operatorname{Im}w<0 (рис. 2.7), так как для $arg w=frac{1}{2}arg z+pi$ имеем неравенство pi<arg w<2pi . На рис. 2.7 точка принадлежит области .

Разрезы на комплексной плоскости 2

Граничным точкам верхнего «берега» соответствуют отрицательные значения sqrt{z} (точка ), а точкам нижнего «берега» — положительные (точка ).

Отображение и разрез плоскости

Из приведенных рассуждений сформулируем следующее утверждение.

Утверждение 2.1. Двузначная функция sqrt{z} отображает плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси (область ) на верхнюю полуплоскости (область G_1 ) и нижнюю (область G_2 ). В области возможно выделение однозначных ветвей — двух однозначных функций, одна из которых отображает на G_1 , другая — на G_2 . Однозначное отображение всей плоскости (zne0)~0<|z|<+infty невозможно.

Замечание 2.1. Проведение разреза в плоскости позволило получить однозначные функции, с которыми можно производить обычные операции (нахождение значений функции, дифференцирование, интегрирование). Указание определенной ветви осуществляется заданием функции в некоторой точке области. Например, при задании условия sqrt{-1}=i рассматривается ветвь $(sqrt{z})_1$ ; при условии sqrt{-1}=-i — ветвь $(sqrt{z})_2$ (на рис. 2.6 и 2.7 (см. решение примера 2.6) точка ). Но, с другой стороны, проведение разреза нарушило непрерывность отображения. Нарушенную непрерывность можно восстановить следующим образом. На основе приведенных рассуждений имеем, что значения $(sqrt{z})_1$ на верхнем «берегу» границы области совпадают со значением функции $(sqrt{z})_2$ на нижнем «берегу» той же области, и наоборот (точки и на рис. 2.6 и 2.7 (см. решение примера 2.6)). Поэтому можно построить следующую модель.

Возьмем два экземпляра (листа) плоскости (плоскость с разрезом), а именно D_1 и D_2 и «склеим» верхний «берег» разреза D_1 с нижним для D_2 , a нижний D_2 — с верхним для D_1 . В плоскости (w) при этом получим полную плоскость overline{C} . Построенная модель называется римановой поверхностью функции w=z^2 .

Если в плоскости (z) точка описывает простую замкнутую кривую, обходя начало координат, то в плоскости (w) ей будет соответствовать кривая, совершающая дважды обход вокруг w=0 , а на римановой поверхности — простая кривая, по которой точка, взятая, например, на первом листе, перемещается по этому листу, потом по второму и возвращается в исходное положение, совершив один обход. Непрерывность и однозначность отображения соблюдены.

Точка z_0=0 , при обходе вокруг которой по замкнутой кривой точка переходит с одного листа на другой, называется точкой ветвления sqrt{z} . Также точкой ветвления sqrt{z} является точка z=infty .

Утверждение 2.2. Функция w=z^2 взаимно однозначно и непрерывно отображает полную плоскость (zne0,~ zneinfty) на риманову поверхность этой функции. Обратная функция z=sqrt{w} также взаимно однозначно и непрерывно отображает риманову поверхность функции w=z^2 на полную плоскость (zne0,~ zneinfty) .

Аналогично можно исследовать n-листную функцию e=z^n и обратную к ней w=sqrt[LARGE{n}]{z} .

Предел функции комплексного переменного

Число A~(Ain mathbb{C}) называется пределом функции f(z) в точке z_0 , если для любого числа varepsilon>0 найдется число delta(varepsilon) такое, что для , удовлетворяющих неравенству 0<|z-z_0|<delta(varepsilon) , выполняется неравенство |f(z)-A|<varepsiloncolon

$lim_{zto z_0}f(z)=A~~ Leftrightarrow~~ forall varepsilon>0~ existsdelta(varepsilon) colon, |f(z)-A|<varepsilon$ для $zin O_{delta}(z_0),~ zne z_0$ .

Геометрически это означает, что для точек из проколотой δ-окрестности точки $z_0~(zin O_{delta}(z_0),~ zne z_0)$ соответствующие значения функции принадлежат ε-окрестности точки $A~(f(z)in O_{varepsilon}(A))$ .

Напомним, что окрестность точки на комплексной плоскости — это круг с центром в этой точке. Так, $O_{varepsilon}(A)$ или |f(z)-A|<varepsilon есть круг радиуса с центром в точке , а проколотая окрестность точки $z_0colon, O_{delta}(z_0),~ zne z_0$ или $O_{delta}(z_0)setminus z_0$ , или 0<|z-z_0|<delta — круг радиуса delta с центром в точке z_0 за исключением точки z_0 .

Если записать числа в алгебраической форме, то нетрудно доказать справедливость следующего утверждения.

Условия существования предела функции комплексного переменного

Утверждение 2.3 (необходимое и достаточное условие существования предела функции комплексного переменного).

Для того чтобы в точке z_0 существовал предел функции f(z) , необходимо и достаточно, чтобы в точке (x_0,y_0),~ z_0=x_0+iy_0 существовали пределы двух функций действительных переменных u(x,y),~ v(x,y) , где u=operatorname{Re}f(z),~ v=operatorname{Im}f(z) ; при этом имеет место равенство

$lim_{zto z_0}f(z)= lim_{substack{xto x_0\ yto y_0}}u(x,y)+ ilim_{substack{xto x_0\ yto y_0}}v(x,y),quad f(x,y)=u+iv,quad z_0=x_0+iy_0.$

Иначе: $exists lim_{zto z_0}f(z)=A~ Leftrightarrow~ exists lim_{zto z_0}operatorname{Re}f(z)= operatorname{Re}A,~ exists lim_{zto z_0}operatorname{Im}f(z)= operatorname{Im}A$ .

Замечания 2.2

1. Из сформулированного критерия следует, что в комплексной области имеют место правила и свойства пределов такие же, как и в действительной области (за исключением, разумеется, свойств, связанных со знаками неравенств).

Например, $lim_{zto z_0}bigl(c_1f_1(z)+ c_2f_2(z)bigr)= c_1lim_{zto z_0}f_1(z)+ c_2lim_{zto z_0}f_2(z)$ (при условии, что существуют пределы в правой части равенства).

2. Можно определить понятие предела функции в точке, рассматривая не всю окрестность этой точки, а только некоторое связное множество точек из этой окрестности — предельный переход по множеству:

$lim_{substack{zto z_0\ zin M}}f(z)=A~ Leftrightarrow~ forall varepsilon>0~ existsdelta(varepsilon)colon, |f(z)-A|<varepsilon$ для $zin bigl{Mcap O_{delta}(z_0)setminus z_0bigr}$ .

Здесь точки принадлежат пересечению множества и проколотой окрестности точки z_0 . В частности, это имеет место, если — множество точек кривой, или — замкнутое множество M= overline{D} . Так, на рис. 2.8,а множество — кривая , функция f(z) определена на и $bigl{Mcap O_{delta}(z_0) setminus z_0bigr}$ — дута , за исключением точки z_0 . На рис. 2.8,б множество — множество overline{D}=Dcup C , функция определена в области (или ), $bigl{Mcap O_{delta}(z_0)setminus z_0bigr}$ — заштрихованная часть области .

Пересечение множеств на комплексной плоскости

Непрерывность в точке функции комплексного переменного

Функция комплексного переменного называется непрерывной в точке z_0 , если бесконечно малому приращению аргумента в точке соответствует бесконечно малое в этой точке приращение функции, т.е.

$lim_{Delta zto0}bigl(f(z_0+Delta z)-f(z_0)bigr)=0.$

Это эквивалентно следующему определению: функция f(z) непрерывна в точке z_0 , если предел функции в точке равен ее значению в этой точке, т.е.

$lim_{zto z_0}f(z)=f(z_0).$

Так как понятие непрерывности определяется через понятие предела, то, учитывая сформулированный выше критерий существования предела функции (утверждение 2.3), нетрудно убедиться в справедливости следующего утверждения.

Утверждение 2.4 (необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке). Для того чтобы функция f(z) была непрерывна в точке z_0 , необходимо и достаточно, чтобы в точке (x_0,y_0),~ (z_0=x_0+iy_0) были непрерывны функции

u=u(x,y),~~ v=v(x,y) , где u=operatorname{Re}f(z),~ v=operatorname{Im}f(z) .

Функция, непрерывная в каждой точке области , называется непрерывной в этой области.

Замечание 2.3. Как и в действительной области, справедливы свойства непрерывности в точке для суммы, произведения, частного двух функций, а также свойство непрерывности сложной функции.

▼ Примеры 2.7-2.12

Пример 2.7. Исследовать функцию w=z^n на непрерывность.

Решение. Функция w=z , очевидно, непрерывна во всей комплексной плоскости. Поэтому непрерывными во всей плоскости являются функции w=z^n при любом , согласно свойству непрерывности произведения.

Пример 2.8. Исследовать на непрерывность многочлен n-й степени P(z) , где a_k~(k=0,1,ldots,n) — любые комплексные числа, если

$P(z)=a_nz^n+ a_{n-1}z^{n-1}+a_{n-2}z^{n-2}+ldots+a_2z^2+a_1z+a_0.$

Решение. Функция w=c~(c=text{const}) , очевидно, непрерывна во всей комплексной плоскости. Поэтому, учитывая непрерывность суммы и произведения непрерывных функций и результат примера 2.7, заключаем, что многочлен P(z) есть функция, непрерывная во всей комплексной плоскости.

Пример 2.9. Исследовать на непрерывность рациональную функцию $R(z)= frac{P(z)}{Q(z)}$ , где P(z) и Q(z) — многочлены.

Решение. Согласно замечанию 2.3 рациональная функция $R(z)= frac{P(z)}{Q(z)}$ непрерывна во всей комплексной плоскости, за исключением точек, где Q(z)=0 .

Пример 2.10. Исследовать на непрерывность функции overline{z},~ |z|,~ operatorname{Re}z,~ operatorname{Im}z .

Решение. Функции overline{z},~ |z|,~ operatorname{Re}z,~ operatorname{Im}z непрерывны во всей комплексной плоскости (всюду в mathbb{C} ), что нетрудно установить, используя утверждение 2.4.

Пример 2.11. Исследовать на непрерывность функции $frac{z^2+1}{2z-1}$ и $frac{2z-1}{z^2+1}$ .

Решение. Функция $frac{z^2+1}{2z-1}$ непрерывна всюду в mathbb{C} , за исключением точки $z=frac{1}{2}$ , а функция $frac{2z-1}{z^2+1}$ — за исключением точек и . Этот вывод следует из решения примера 2.9.

Пример 2.12. Найти пределы функций комплексного переменного:

$lim_{zto1}frac{z^2+1}{2z-1},qquad lim_{zto i}frac{z^2+1}{2z-1},qquad lim_{zto i} frac{2z-1}{z^2+1}.$

Решение. В первых двух случаях в силу непрерывности функций в предельных точках получаем

$lim_{zto1}frac{z^2+1}{2z-1}= frac{1+1}{2cdot1-1}=2,qquad lim_{zto i}frac{z^2+1}{2z-1}= frac{-1+1}{2i-1}=0.$

Так как функция $f(z)= frac{z^2+1}{2z-1}$ является бесконечно малой в точке , то обратная ей дробь — функция $frac{1}{f(z)}= frac{2z-1}{z^2+1}$ бесконечно большая в этой точке. Поэтому $lim_{zto i}frac{2z-1}{z^2+1}=+infty$ .

Производная функции комплексного переменного

Производная функции комплексного переменного в точке $z_0inmathbb{C}$ вводится так же, как и в действительной области, а именно

$f'(z_0)= lim_{Delta zto 0} frac{f(z_0+Delta z)-f(z_0)}{Delta z}= lim_{Delta zto 0} frac{Delta f(z_0)}{Delta z},.$

(2.1)

Здесь Delta z стремится к нулю по любой кривой, по любому направлению.

Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке; функция, дифференцируемая в каждой точке области, называется дифференцируемой в области.

Из равенства (2.1) и свойств пределов получаем, что приращение дифференцируемой в точке функции можно записать в виде

Delta f(z_0)= f'(z_0)cdotDelta z+alpha(z_0,Delta z)cdotDelta z,

(2.2)

где alpha(z_0,Delta z) — бесконечно малая при Delta zto0 .

Очевидно, справедливо и обратное утверждение. Поэтому равенство (2.2) является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке z_0 .

Кроме того, из равенства (2.2) следует, что непрерывность функции в точке является необходимым условием дифференцируемости ее в этой точке, т.е. если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Вопрос
№1
Необходимые и достаточные условия
дифференцируемости функции комплексной
переменной

Теорема
3. Пусть
функция

определена в некоторой области G.
Для того, чтобы функция f(z)
была дифференцируемой в точке z
области G
необходимо и достаточно, чтобы

функции
u(x;y)
и v(x;y)
были дифференцируемы в точке z
как функции двух действительных
переменных;
в
точке z
выполнялись равенства

. (1)

При
выполнении всех условий теоремы
производная может быть представлена в
одном из следующих видов:

. (2)

Равенства
(1) называются условиями Коши-Римана
(или Даламбера-Эйлера).

Доказательство.

1)
Необходимость.

Пусть
функция f(z)
дифференцируема в точке z
области G.
Тогда по теореме 1 ее приращение может
быть представлено в виде

,
где

.

—
комплексная функция от z.
Следовательно,

,
где

.

—
комплексное
число,
значит,

,
a,b
.
Тогда

f(z)=u+iv=(a+ib)(x+iy)+(₁+i₂)(x+iy)=ax—by+i(ay+bx)+

+₁x-₂y+i(₁y+₂x)=(ax—by+₁x-₂y)+i(ay+bx+₁y+₂x).

Отсюда

u=ax—by+₁x-₂y,

v=bx+ay+₂x+₁y,
где

. (3)

Из
(3) следует, что

1)
функции u(x;y)
и v(x;y)
дифференцируемы в точке (x;y),

2)
их частные производные в точке (x;y):

Отсюда

,
т.е. удовлетворяют условиям Коши-Римана.

Тогда
для производной получаем:

2)
Достаточность.

Пусть
в точке z
области G
выполнены условия 1) и 2) теоремы. Придадим
точке z=(x;y)
приращение z=x+iy0.
По условию

где

. (4)

Приращение
функции

,
соответствующее приращению

,
имеет вид:

.
Разделим на

.
Используя условия Коши-Римана, перейдём
к частным производным по x:

. (5)

Т.к.

,
и

,
то

(огр.БМФ).

Следовательно,
переходя в (5) к

,
получим:

,
т.е. f(z)
дифференцируема в точке z.

Формулами
(2) можно пользоваться для вычисления
производных.

Вопрос
№2 Понятие функции аналитической в
точке и области. Гарм. функции. Необх. и
достат. условие.

Определение.
Функция f(z)
называется аналитической
(голоморфной,
регулярной,
правильной)
в точке

,
если она дифференцируема в каждой точке
некоторой окрестности точки

Заметим,
что необходимо различать понятие
дифференцируемости в точке и понятие
аналитичности в точке:

f(z)
дифференцируема в точке

,

f(z)
аналитическая в точке

Определение.
Функция
f(z)
называется аналитической
в области G,
если она дифференцируема в каждой точке
этой области. Т.е. понятия дифференцируемости
и аналитичности в области совпадают.

Примеры.

— аналитическая на

.

аналитическая
на

аналитическая
на

.

нигде
не является аналитической, так производная
существует только в точке

(см. пример 2 п.2).

Гармонические
функции

Определение.
Дифференциальное уравнение с частными
производными второго порядка

называется уравнением
Лапласа.

Обозначим

тогда

-краткая
запись уравнения Лапласа.

Определение.
Действительная
функция двух действительных переменных
называется гармонической
на области
G,
если она имеет непрерывные частные
производные второго порядка и на G
удовлетворяет уравнению Лапласа.

Определение.
Две гармонические функции, связанные
условиями Коши – Римана, называются
сопряжёнными
гармоническими функциями.

Позже
будет доказано, что производная
аналитической функции сама является
аналитической функцией. Используем
этот факт при доказательстве следующей
теоремы.

Теорема
5.
Для того чтобы функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
была аналитической в области G
необходимо и достаточно, чтобы её
действительная и мнимая часть были
сопряжёнными гармоническими функциями.

Доказательство.

Пусть
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
аналитическая в некоторой области G.
Тогда по теореме 2 u(x,y)
и v(x,y)-дифференцируемые
функции двух действительных переменных
и удовлетворяют условиям Коши – Римана:

Производная

может
быть представлена в одном из видов:

или

Так
как производная аналитической функции
является аналитической функцией, то

тоже дифференцируемые функции двух
действительных переменных и удовлетворяют
условиям Коши – Римана.

Применим
к паре функций

первое условие Коши– Римана, а для
функций

— второе:

,
,

, (7)
, (8)

т.е.
u
и v
удовлетворяют
уравнению Лапласа.

Покажем,
что u(x,y)
и v(x,y)
имеют непрерывные частные производные
второго порядка. Т.к. f(z)
— аналитическая функция, то

-тоже
аналитическая функция.

Дифференцируя

по x,
получим

.

Из
(7), (8)
.

Дифференцируя

по y,
получим

,

т.е.

является аналитической функцией и может
быть представлена в одном из видов:

Значит,
все частные производные второго порядка
являются (по теореме 2) дифференцируемыми
в области G
функциями, следовательно, они непрерывны.

Итак,
u(x,y)
и v(x,y)
имеют в G
непрерывные частные производные второго
порядка, удовлетворяют уравнению Лапласа
и условиям Коши – Римана. Значит, они
являются сопряжёнными гармоническими
функциями.

Пусть
u(x,y)
и v(x,y)
какие – либо сопряжённые гармонические
в области G
функции. Так как они дифференцируемы и
удовлетворяют условиям Коши – Римана,
то по теореме 2 функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
является дифференцируемой в G
и, следовательно, она аналитическая в
G.

.

Из
теоремы 5 следует, что действительной
или мнимой частью аналитической функции
может быть только гармоническая функция.

Например,
не существует аналитической функции
f(z),
у которой

Действительно,
функция

не является гармонической ни в какой
области G.

,
,
,
.

.
Следовательно,

только
на прямой

(не
является областью). Значит, u(x,y)
не является гармонической ни в какой
области G
из

Вопрос
№3. Теорема о восстановление
аналитической функции по заданной
действительной или мнимой части

Теорема
6. Для
заданной функции u(x,y),
гармонической в односвязной области
G,
существует бесконечное множество
аналитических в G
функций, действительной частью которых
является u(x,y).
Все они выражаются формулой

и
отличаются между собой на чисто мнимую
постоянную

.

Доказательство.

Пусть
дана гармоническая функция u(x,y).
Для нахождения аналитической функции
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
необходимо найти мнимую часть v(x,y),
которая дифференцируема в G
и связана с u(x,y)
условиями Коши – Римана:

,
.

Так
как u(x,y)
известна, то известны её частные
производные. Обозначим

Тогда
условия Коши – Римана запишутся в виде:

. (9)

Т.к.
u
гармоническая функция, то она имеет
непрерывные производные второго порядка,
следовательно, существуют

непрерывны в G.
Тогда уравнение Лапласа для функции u
примет вид

. (10)

Т.к.

непрерывны
в G
и удовлетворяют условию (10), то выражение
P(x,y)dx+Q(x,y)dy
является полным дифференциалом некоторой
функции v₀(x,y):

dv₀(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy

где
интеграл по кривой, соединяющий точки
(x₀,y₀)
и (x,y)
в

,
не зависит от пути интегрирования. Имеем

.
Надо найти функцию v(x,y)
удовлетворяющую условиям (9). Следовательно,

Учитывая
обозначения, получим

. (11)

Следовательно,
функция f(z)=
u(x,y)+iv(x,y),
где v(x,y)
определяется соотношением (11), является
аналитической функцией (u
и v-дифференцируемы
и связаны условиями Коши-Римана). Итак,

Аналогично
можно показать, что для любой функции
v(x,y),
гармонической на области G
существует аналитическая в G
функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y),
мнимая часть которой равна v(x,y).
Эта функция определяется с точностью
до постоянного слагаемого

.

Вопрос
№4. Линейная
и дробно-линейная функция комплексного
переменного. Свойства.

Определение.
Линейной
функцией
называется функция вида
, (1)

где
а,
b—
комплексные постоянные.

Эта
функция определена

,

.
Следовательно, если

,то
линейная функция производит конформное
отображение всей плоскости комплексного
переменного. При этом касательные ко
всем кривым поворачиваются на один и
тот же угол Arga,
а растяжение во всех точках равно

.
Если a=1,
то

,
значит, растяжение и поворот отсутствуют.
В этом случае получаем w=z+b.
Это отображение осуществляет сдвиг
всей плоскости на вектор

.

В
общем случае, переходя к показательной
форме записи комплексного числа

,
получим

.
Следовательно, линейное отображение
является композицией трех геометрических
преобразований:

—
поворот на угол

вокруг точки О;

—
подобие с коэффициентом r;

—
параллельный перенос на вектор

Подойдем
с другой стороны. Найдем число с,
такое что

.
Отсюда, т.к.

,
то

.
Значит, при

(и

)
отображение (1) сводится к повороту всей
плоскости вокруг точки

на угол

с последующим растяжением относительно
этой точки в

раз, (т.е. подобие с центром в точке

и коэффициентом подобия

Дробно-линейная
функция

Рассмотрим
функцию вида

, (2)

где
a,b,c,d—
комплексные числа.

Если

,
то получаем

-линейную
функцию.

Если

,
выделим в дроби целую часть

Если

,то
получаем, что

.
В дальнейшем будем считать, что

Определение.
Функция вида (2), где a,
b,
c,
d — комплексные
числа, такие что

,
называется дробно-линейной.

Свойства
дробно-линейного преобразования

1
Конформность

существует
во всех конечных точках комплексной
плоскости, кроме точки

и

0
(т.к.

).
Функция

является
аналитической во всех конечных точках
плоскости, кроме

.
Следовательно, отображение

является конформным во всех конечных
точках к плоскости, кроме

Т.к.

,
.

Таким
образом, функция

определена
на

.

Итак,
дробно-линейная функция

отображает взаимно однозначно и конформно
расширенную комплексную плоскость саму
на себя.

2
Круговое
свойство.

Рассмотрим
астный случай

. (3).

Положим

.Тогда
(3) примет вид

Следовательно,
отображение (3) разбивается на два
отображения. Сначала точка

переходит в точку

.Т.к.
эти точки лежат на одном луче, выходящем
из начала координат и их модули связаны
соотношением

,
то это преобразование инверсии
относительно единичной окружности.
Затем точка

переходит
в точку
,
симметричную ей относительно действительной
оси.

Теорема.
При отображении

совокупность прямых и окружностей на
комплексной плоскости

переходит в себя.

Доказательство.

Уравнение
для любой прямой или окружности имеет
вид:

А(x²+y²)+2Bx+2Cy+D=0.
(4)

При
А=0
и В,
С
0
одновременно это уравнение определяет
прямую, при А=0
и В²+С²-AD>0
– окружность.

Заменим
,
,
, (5)

получим

.

Обозначим

,
тогда

. (6)

Если
А=0,
а Е0,
то уравнение (6) определяет прямую, если
А0
и
,
то окружность. Т.е. любая окружность или
прямая на комплексной плоскости
определяется уравнением (6).

Верно
и обратное: уравнение вида (6) определяет
прямую или окружность на комплексной
плоскости. Для доказательства надо в
(6) сделать замену по формулам (5). Получим
(4) , которое является уравнением либо
прямой, либо окружности.

При
преобразовании

имеем

.
Линия (6) перейдет в линию:

. (7)

Уравнение
(7) имеет тот же вид, что и (6), с заменой A
на D,
D
на А,
E
на

.
Следовательно, при D=0
– это уравнение прямой, а при

—
уравнение окружности.

Теорема
2.
Образом прямой или окружности при
дробно-линейном отображении w=L(z)
является прямая или окружность, (причем
образом прямой может быть как окружность,
так и прямая, и образом окружности –
как прямая, так и окружность).

Доказательство.

Следовательно,
w=L(z)
является композицией трех отображений:
t=cz+d,

,
w=kq+l,
где

,

.
Первое и третье — линейные отображения.
Они и отображение

переводят в себя совокупность прямых
и окружностей.

Замечание.
Несложно установить, что при отображении
w=L(z)
все прямые и окружности, проходящие
через точку

переходят в прямые плоскости (w),
а все прямые или окружности, не проходящие
через точку ,
— в окружности плоскости (w).

3
Инвариантность двойного отношения

Дробно-линейное
преобразование однозначно определяется
заданием трех параметров (например,
если с0,
то ими могут быть

).
Поэтому это отображение определяется
заданием образов трех точек. Выведем
формулу дробно-линейного преобразования.

Пусть

,
k=1,2,3.
Пусть

.
Образуем разности

,
,

,
.

Разделим
почленно первое уравнение на второе и
третье и на четвертое.

Разделим
теперь снова первое уравнение на второе:

. (8)

Это
и есть искомое линейное преобразование.

Т.к.
за z₁,
z₂,
z₃,
z
и w₁,
w₂,
w₃,
w
могут быть приняты любые четверки точек,
соответствующие друг другу при
дробно-линейном преобразовании, то (8)
выражает следующее свойство:

отношение

сохраняется при дробно-линейном
отображении, т.е является его инвариантом.
Это отношение называется двойным
отношением четырех точек.

4
Сохранение симметрии

Если
точки z₁
и z₂
симметричны относительно некоторой
прямой или окружности ,
то при любом дробно-линейном отображении
w=L(z)
их образы w₁
и w₂
будут симметричны относительно образа
:

В
случае, когда 
— окружность, преобразование называют
инверсией.

5
Принцип соответствия обхода границ
(отображение областей, ограниченных
прямыми или окружностями)

Е
сли
при дробно-линейном отображении прямая
или окружность 
переходит в прямую или окружность 
,то область D,
которую ограничивает ,
преобразуется в одну из двух областей,
которые ограничивает .
При этом имеет место принцип соответствия
обхода границ: если при каком-то обходе
линии 
область D
оказывается слева (справа), то при
соответствующем
обходе линии 
область D
тоже должна оказаться слева (справа).

Вопрос
№5. Определение
показательной функции и ее свойства.

Показательной
функцией комплексного переменного
называется
функция вида
.

Свойства
expz

1
Если

,
то expz=expx=e^x,
т.е. на действительной оси показательная
функция комплексного переменного
совпадает с показательной функцией
действительного переменного.

2

С
другой стороны,

Следовательно,

Аналогичное
свойство имеет место для функции
действительного переменного:

.

Назовём
комплексное число z
показателем
функции expz.
Следовательно, при перемножении двух
значений показательной функции показатели
можно складывать. В связи с этим можно
вместе с обозначением expz
использовать обозначение e^z:
.

3
Из свойства 2
следует

.
С другой стороны

.
Следовательно,

4

Т.к.

,
то

5
expz
-периодическая функция с основным
периодом 2i,
т.е.

exp(z+2i)=expz.

Покажем
что 2i
-основной период функции expz,
т.е. любой другой период имеет вид
2ki,где

Действительно,
пусть

—
период expz.
Тогда exp(z+w)=expz
z.
Значит и при z=0
это равенство выполнено.

Для
z=0:

.
Отсюда

что
и требовалось доказать.

6
Если

так,
что

,то

Если

так, что

,
то

.

(6
следует из того, что

Выражение

лишено смысла. Отсюда, в частности,
следует, что expz
не совпадает ни с одним многочленом

.
Целые функции, отличные от многочленов,
называются трансцендентными
целыми функциями.
Следовательно expz
— трансцендентная целая функция.

7
Показательная
функция является аналитической на

_, (expz)=expz.

Вопрос
№6.
Тригонометрические функции. Гиперболические
функции.

Т.
к.

,
то при сложении и вычитании соответственно
получим:

, (14)

Формулы
(14) – формулы Эйлера, верные

.

Если

,
то функции

,

определены

и являются аналитическими, следовательно
они целые. При

они принимают действительные значения,
совпадающие соответственно с cosx
и sinx.
Поэтому по определению первую обозначают
через cosz,
а вторую – sinz
и называют косинусом и синусом z.

Определение.

(15)

Формулы
(15) тоже называются формулами Эйлера.
Если вторую умножить на i
и сложить с первой, то получим

– (16)
– тоже формула Эйлера.

Свойства
cosz
и
sinz

1
Из (15) следует cos(-z)=cosz,
sin(-z)=sinz
, следовательно cosz
– чётная, sinz
– нечётная.

2
cosz
и sinz
– периодические с периодом 2.

т.
к. 2i–
основной период expz.

Покажем,
что 2
– основной период cosz
и sinz.

Пусть
w
– период cosz.
Следовательно, cos(z+w)=cosz.

Если

,
то

.

Следовательно,

(по определению cosz).

Отсюда



Тогда,
поскольку из expz=w
следует

,
то

.
Значит w=k.

Если
z=0,
то

(чётное число).

Значит
w=2m.
Следовательно,
2
– основной период функции cosz.

Для
sinz
аналогично.

3
Для sinz
и cosz
справедливы основные формулы тригонометрии:

а)
(17)

Заменяя
в (16) z
на

,
получим

Следовательно,

Заменяя
здесь z₁
и z₂
на -z₁
и -z₂
и учитывая свойство 1, получим

Складывая
и вычитая две последних формулы, получим
(17).

Формулы
(17) являются основными в теории
тригонометрических функций.

б)
Из них следуют «формулы приведения».

Положим
в (17) z₁=z,

.
Тогда

,
.

Положим
в (17) z₁=z,

.
Следовательно,

,
.

в)
Положим в 1-й из формул (17) z₁=z,
z₂=-z,
получим

. (18)

4
Из (18) не следует, что

.

5
cosz=0
при

, sinz=0
при

.

cosz=0

Следовательно,

Для
sinz=0
аналогично.

6
Функции cosz
и sinz
аналитические в

Определение.

.

Свойства
tgz
и ctgz

,
.

2.
tgz=tgx,
ctgz=ctgx
при

3.
tg(-z)=-tgz, ctg(-z)=-ctgz

4.
tgz
и ctgz
– периодические с периодом .

5.
tgz
и ctgz
– непрерывны в своих областях определения.

6.
tgz
и ctgz
– аналитические в своих областях
определения,

,
.

7.
Нули tgz
совпадают с нулями sinz,
нули ctgz
– с нулями cosz.

8.
tgz
и ctgz
принимают любые значения из

,
кроме z=i
и z=-i.

Следовательно,

. (*)

Если
w=i,
то (*) примет вид

– нет решений;

если
w=-i,
то (*): 0=2 – не имеет смысла. Т. е.

.

Пусть
w=A
(
),
тогда

Следовательно,
существует точка z₀:

.
Т. к.

,
то, следовательно, существует

.

Гиперболические
функции

Определение. Гиперболический
косинус
,

гиперболический
синус
. (19)

Свойства
chz
и shz

1
Для

chz=chx
и shz=shx.

2
ch(-z)=chz
и sh(-z)=-shz.

3
chz=cos(iz)
и
shz=-isin(iz) (20)

(или
sin(iz)=ishz)

4
Из (20) следует
.

5
chz
и shz
аналитические в

6
chz
и shz
— периодические с периодом

.

Вернемся к sinz
и cosz.

Определим их
действительные, мнимые части и модули.

Покажем,
что

и

—
неограниченные функции.

Отсюда
следует

(эти
соотношения можно получить из (15)).

Т.к.

,
то из последних соотношений заключаем:

при

,
т. е. sinz
и cosz—
неограниченные функции.

Пусть
функция w=f(z)
— аналитическая в области D.
Пусть G
— образ области D
при отображении
w=f(z),
т.е. G=f(D).

Определение.
Если

(т.е. в различных точках области D
функция принимает различные значения),
то аналитическая функция w=f(z)
называется однолистной
в
области D.

Другими
словами, однолистная функция w=f(z)
взаимно однозначно отображает область
D
на G.

При
однолистном отображении w=f(z)
прообраз любой точки wG
состоит из единственного элемента:

Поэтому
z
можно рассматривать как функцию от
переменной

,
определенную на G.
Она обозначается

и
называется обратной
функцией.

Справедливы
тождества:

и
имеет место

Теорема.
Если f(z)-
однолистная и аналитическая на D,
и
на
D,
то

—
аналитическая
на G=f(D).

Определение.
Если
в области D
существует, по крайней мере, одна пара
точек

,
то функцию f(z)
называют многолистной
в области
D.

Если
отображение w=f(z)
является многолистным на D
(например, w=e^z,
w=sinz,
w=cosz,
w=zⁿ),
то в этом случае некоторым значениям
wG
соответствует более, чем одна точка
zD:
f(z)=w.

Следовательно,
обратное отображение

не является однозначным, оно является
многозначной функцией.

Определение.
Функция w=f(z)
называется многозначной
функцией
на
множестве E,
если некоторыми значениям zE
соответствует более чем одно значение
w.

Теорема.
Если аналитическая функция w=f(z)
многолистна в области D,
то эту область можно разбить на конечное
или счетное множество областей, в каждой
из которых функция f(z)
является однолистной.

К
многозначным функциям неприменимы
понятия аналитичности и непрерывности.
Они могут применяться только к однозначным
функциям. Для того, чтобы их использовать,
выделяют однозначные ветви многозначных
функций.

Определение.
Однозначная на области D
функция w=f(z)
называется
ветвью
многозначной функции F,
если значение f
в любой точке zD
совпадает с одним из значений F
в этой точке.

Е
сли
функция w=f(z)
многолистна на D,
то обратная функция

будет
многозначной. Чтобы выделить однозначную
ветвь этой функции поступают, следующим
образом: область D
разбивают на области однолистности

функции w=f(z)
так, что никакие две из областей не имеют
общих внутренних точек и так, чтобы
каждая точка zD
принадлежала одной из этих областей
или границе некоторых из них. В каждой
из этих областей однолистности определяют
функцию, обратную к w=f(z).
Она и является однозначной ветвью
многозначной функции

Н
айдем
области однолистности функции expz.
Выберем

Тогда
областью однолистности функции

будут полоса шириной не больше

,
параллельная действительной оси.

Разобьем
плоскость

на области однолистности:

.

_{Если,

например,}

,
то

.

Логарифмическая
функция

Как
было сказано, множество всех корней
уравнения w=e^z
(w
)
представляется формулой

z=ln|w|+iArgw=ln|w|+i(argw+2k)
),

Значит,
функция, обратная к z=e^w=e^u(cosv+isinv),
определена z0,
z
и задается формулой

w=ln|z|+iArgz.

Эта
функция многозначная (бесконечнозначная),
называется логарифмической
и обозначается Lnz:

w=Lnz=ln|z|+iArgz=ln|z|+i(аrgz+2k).

Назовем
значение логарифма ln|z|+iargz
главным
значением
и обозначим через lnz:

lnz=ln|z|+iargz.

Тогда
Lnz=lnz+2ki,

Следовательно,
любое комплексное число z0,
z

имеет бесконечное множество логарифмов
(значений логарифмической функции), из
которых любые два отличаются на целое
кратное 2
i.
Если

,
то Lnz=ln|z|
.
Но для этих

существует еще бесконечно много значений
логарифма. Например, Ln2=ln2+2ki,

Все
логарифмы комплексного числа z
имеют одну и ту же действительную часть
ln|z|,
а мнимые части отличаются на кратное
2.
Следовательно, все логарифмы комплексного
числа z
расположены на комплексной плоскости
на одной прямой параллельной оси Оy на
расстоянии 2

друг от друга.

Пример.
Ln1=ln1+2k
i=2k
i,

Свойства
логарифмической функции

1
Ln(z₁
z₂)=Lnz₁+Lnz₂.

Ln(z₁
z₂)=ln|z₁
z₂|+i
Arg(z₁
z₂)=ln|z₁|+ln|z₂|+i(Argz₁+Argz₂)=Lnz₁+Lnz₂.

2

.

Замечание.
Эти равенства означают равенство
множеств (в том смысле, что множества
состоят из одних и тех же элементов).
Отсюда следует что, например, Lnz²
2Lnz

Например, Ln(-1)²=Ln1=2ki,

2Ln(-1)=2(+2k)i=i(2+4k),

Ln(-1)²
2Ln(-1):
4i
Ln(-1)²,
но
4i2Ln(-1).

Степенная
функция и радикал

Определение.
Степенной
называется функция вида

.

Если

,
то

.
Следовательно,

—
многолистная функция.

при

.
Следовательно,

-аналитическая
в

функция.

Функция

обладает основными свойствами функции

действительного переменного:

Найдем
области однолистности функции

_.Выберем
произвольные

С
ледовательно,
областью однолистности функции

будет любой угол с вершиной в начале
координат и раствором
:

Если

,
то

Радикал

определяется как функция, обратную к
функции

.
Пусть

т.е.

,
тогда

Следовательно,

радикал имеет n
различных значений, которые выражаются
формулой

Следовательно,
функция

является
многозначной (n
– значной). Эти n
значений располагаются в вершинах
правильного n
– угольника, вписанного в окружность

.
При

получаем по одному значению функции

и

_{Чтобы

выделить однозначную ветвь, достаточно

указать, в какой области однолистности

изменяется}w.
Мы установили выше, что областью
однолистности функции

является
угол с вершиной в начале координат и
раствором

Любой
луч плоскости (
)

при
отображении

переходит
в луч плоскости (z):

.
Если луч

пробегает
область

против хода часовой стрелки, то луч

пробежит всю плоскость (z)
от

до

.
Следовательно, любая из областей
однолистности

перейдет в одну и ту же область

плоскости (z):
угол раствора 2π, границей которой служит
луч

.

Т
аким
образом, в области

получаем n
однозначных ветвей функции

_{Каждая из них определяется условием,

что ее значения}

принадлежат области

Будем
обозначать эти ветви

.

Вопрос
№8. Достаточное условие существования
интеграла

Определение.
Если
существует конечный предел интегральной
суммы (1) при

(или
при

),
не зависящий ни от способа разбиения T
кривой L,
ни от выбора точек

,
то этот предел называется интегралом
от функции f(z)
по кривой L
и обозначается

.

Таким
образом,

.

В
этом случае функция f(z)
называется интегрируемой
по кривой
L.

Теорема
1 (достаточное
условие существования интеграла от
функции комплексного переменного).
Пусть L
– простая гладкая кривая на

,
f(z)=u(x;y)+iv(x;y)
непрерывна на L.
Тогда существует

,
причем справедливо равенство:

. (2)

Доказательство.

Выберем
произвольно разбиение T
кривой L
на дуги

,
на каждой

выберем произвольно точку

.
Составим интегральную сумму

.
Выделим в

действительную и мнимые части:

z=x+iy,
f(z)=u(x;y)+iv(x;y),

.
Тогда

. (3)

В
правой части (3) стоят интегральные суммы
для криволинейных интегралов II типа
двух действительных функций u(x;y)
и v(x;y).
Если

и

,
то и

(или

Т.к.
L
– гладкая кривая, а функции u(x;y)
и v(x;y)
непрерывны на L,
то

и
.

Тогда
существует предел при

левой части (3), т.е. существует

Переходя
в (3) к пределу при

,
получим (2).

Вычисление
интеграла от функции комплексного
переменного

Пусть
вначале f(t)=u(t)+iv(t)
–комплексно-значная функция действительной
переменной. Тогда интеграл от f(t)
по отрезку [a;b]
определяется следующим образом:

Рассмотрим
теперь интеграл от функции комплексного
переменного по кривой L.

Теорема
2.Пусть
L
– простая гладкая кривая, заданная
параметрически:

L:
z(t)=x(t)+iy(t),
t,
функция f(z)
непрерывна на L.
Тогда справедливо равенство:

(где

Доказательство.

Т.к.
выполнены условия теоремы 1, то имеет
место равенство (2) . Каждый криволинейный
интеграл II типа можно заменить по
формуле, сводящей его вычисление к
вычислению обычного определенного
интеграла:

=
.

Вопрос
№9. Необходимое и достаточное условие
независимости интеграла. Интегральная
теорема Коши.

Рассмотрим

.
Он зависит от функции f(z)
и от вида кривой L.
Возникает вопрос: каким условиям должна
удовлетворять функция f(z),
чтобы интеграл не зависел от пути
интегрирования L,
а определялся начальной и конечной
точками кривой.

Как
и в случае криволинейного интеграла II
рода независимость интеграла от пути
интегрирования равносильна равенству
нулю этого интеграла по любому замкнутому
контуру.

Теорема.

не
зависит от пути интегрирования на
области D
тогда и только тогда, когда

по любому кусочно-гладкому контуру

.

Доказательство.

(
)
Пусть

,
где

и

-кривые,
лежащие в D
и соединяющие точки A
и B.
Тогда

,
где

.

(
)
Пусть

,
где C
— кусочно-гладкий замкнутый контур,

.
Разобьем C
точками A
и B
на кривые

так, что

.
Тогда

Для
доказательства интегральной теоремы
Коши нам понадобится следующая

Л
емма.
Пусть
f(z)-
непрерывная в области G
функция, L
— произвольная кусочно — гладкая линия,
LG.
Тогда >0
существует ломаная P,
вписанная в L,
PG,
такая что

Доказательство.

Разобьём
L
на частичные дуги

,

,…,

s_k
– длина

).
Впишем в L
ломаную P,
звенья которой стягивают дуги

.
Точки z₀,
z₁,…,z_n
– вершины ломаной P.
Звенья ломаной (и их длины) обозначим
через l_k,
k=

Рассмотрим
сумму

S=f(z₁)z₁+f(z₂)z₂+…+f(z_n)z_n
. (4)

S
является интегральной суммой для
интеграла

,
в которой в качестве точек _k
взяты точки z_k.
Так
как f(z)
– непрерывна в G,
а L
–
кусочно – гладкая линия, то

(
),
т.е. >0
₁>0:
T:
<₁


. (5),

Оценим

.
Так как

,
то (4) примет вид:

.
(6)

С
другой стороны,

. (7)

Вычтем
(6) из (7):

Так
как функция f(z)
непрерывна
в G,
то она равномерно непрерывна на любом
ограниченном замкнутом множестве точек
из G.
Следовательно, она непрерывна на ломаной
P.
По определению равномерной непрерывности:
для выбранного числа >0
₂>0:
z,
zP:
|z-z|<₂выполнено

.
Пусть <₂.
Так как k
на звене l_k|z—z_k|<
l_k<<₂,
то

.
Тогда

.
(8)

Выберем
=min{₁;₂}.
Из (5) и (8) получим: >0
>0:
T:
<
выполнено

Итак,
в линию L
всегда можно вписать ломаную P
так, что разность значений

будет
меньше любого наперёд заданного числа.

I.
Случай
односвязной области

Теорема
(Коши для односвяз.). Если
f(z)
аналитическая в односвязной области G
функция, то
,
где L—
любой замкнутый контур, лежащий в G.

Доказательство.

Согласно
лемме в линию L
можно вписать ломаную P
так, что

Следовательно,
если мы докажем, что

,
то отсюда будет следовать что

и, значит,

Следовательно,
теорему достаточно доказать для случая,
когда контуром интегрирования является
ломаная P.

Далее:
данный многоугольник с периметром P
можно разбить на треугольники. Тогда

,
так как по AC,
DA
интегрирование совершается два раза в
противоположных направлениях.
Следовательно, если допустить, что
теорема Коши доказана для случая, когда
контуром интегрирования является любой
треугольник, то из последнего равенства
будет следовать, что

И
так,
докажем, что если f(z)
– аналитическая в области G
функция, то
,
где -
периметр любого треугольника, лежащего
в G.

Положим

и докажем, что M=0.

Р
азделим
стороны треугольника пополам и соединим
точки деления. Треугольник, таким
образом, разобьётся на четыре равных
треугольника ₁,
₂,
₃,
₄.

Так
как

,
то существует периметр _k:

С
этим треугольником _k=⁽¹⁾
поступим так же, как и с ,
разбив на четыре разных треугольника.
Следовательно, существует треугольник
с периметром ⁽²⁾⁽¹⁾:

Этот
процесс продолжим неограниченно, получим
последовательность треугольников с
периметрами =⁽⁰⁾,
⁽¹⁾,
⁽²⁾,…,
⁽ⁿ⁾,…,
из которых каждый содержит следующий
и таких, что:

(n=0,1,…). (9)

Обозначим
периметр 
через U.
Тогда периметр

.

Оценим

.
Имеем {⁽ⁿ⁾}
– последовательность вложенных
треугольников. Их периметры стремятся
к 0 при n.
Следовательно, существует точка z₀,
принадлежащая всем треугольникам
последовательности {⁽ⁿ⁾}.
Так как z₀G,
а f(z)-аналитическая
в G,
то

.
Следовательно, >0
()>0:
z:
|z-z₀|<
выполнено

,
отсюда

. (10)

Начиная
с достаточно большого номера n₀,
треугольник ⁽ⁿ⁾
будет находиться в круге

и, следовательно, для оценки

можно использовать (10). Заметим, что

так
как

(см.
пример о

).

Тогда

.

Так
как z₀⁽ⁿ⁾,
то

(расстояние между z
и z₀
меньше периметра).

Следовательно,

. (11)

Из
(9) и (11) следует

.
Так как —
произвольное сколь угодно малое число,
то переходя к пределу при 
0,
получим M=0.
Следовательно,

II.
Случай
многосвязной области

Пусть
D—
многосвязная область, граница которой
L
состоит из внешнего контура L₀
и внутренних L₁,
L₂,…
L_n,

,
(D—
(n+1)-связная
область).

Определение.
Положительным обходом границы L
многосвязной области D
называется такое направление обхода
каждого контура, при котором область D
остаётся всё время слева.

Теорема
(Коши для многосвяз.). Пусть
f(z)
– аналитическая в области G,
D
– многосвязная область, которая вместе
со своей границей L
целиком лежит в G.
Т
огда
,
где интеграл берётся в положительном
направлении.

Доказательство.

Рассмотрим
случай n=2:

.
Соединим контуры L₁
и L₂
c
внешним контуром L₀
линиями l₁,
l₂(l₁
и l₂
выберем
так, чтобы они не пересекались). Т.о., мы
получим односвязную область D^*,
которая ограничена кривыми
L₀,
L₁,
L₂,
l₁,
l₂,
причём
l₁,
l₂
проходятся
дважды в противоположных направлениях.

.
– граница D^*.
По предыдущей теореме

Пользуясь свойством аддитивности
интеграла получим:

Следствие.
Если l₁
и l₂
кусочно – гладкие замкнутые кривые
ограничивающие кольцеобразную область
в области G,
и функция f(z)
– аналитическая в G,
то
.

Вопрос
№10. Первообразная. Формула ньютона-Лейбница.

Если
f(z)
аналитическая в односвязной области D
функция, то, как было установлено,
значение

,
взятого по любой кусочно – гладкой
кривой LD,
не зависит от вида кривой, а определяется
лишь начальной и конечной точками
кривой. Поэтому для интеграла вдоль
произвольной кусочно – гладкой кривой
L,
соединяющей точки z₀
и z,
используют обозначение
,
где z₀
и z
называются соответственно, нижним и
верхним пределами интегрирования.

Зафиксируем
z₀,
тогда

зависит только от точки z,
т.е. является однозначной функцией,
определённой на D,
т.е.

.

Теорема
1.
Пусть f(z)-функция,
непрерывная в области D,
для которой интеграл

вдоль любой кусочно – гладкой кривой
LD
не
зависит от вида кривой, а определяется
только начальной и конечной точками
кривой. Тогда

является аналитической на D
функцией и F’(z)=f(z)

Доказательство.

Пусть
L
D-кусочно-гладкая
кривая, соединяющая точки z₀
и z.
Выберем ∆z≠0
так, чтобы z+∆z
D.

. (1)

Т.к.

,
то

. (2)

Интегралы
(1) и (2) не зависят от пути интегрирования,
поэтому в качестве пути от z
до z+∆z
можно взять прямолинейный отрезок,
соединяющий эти точки. Из (1) и (2) следует:

. (3)

Зафиксируем
>0.
Так как f(z)
непрерывна на D,
то для
любой точки
z
D
выполнено



. (4)

В
равенстве (3)

.
Следовательно,

.
Поэтому если

,
то

,
значит, выполнено
(4).

Тогда
из (3) следует

Таким
образом,

.

По
определению это означает, что

,

то
есть F’(z)=f(z)

Замечание
1. Теорему
1 можно было сформулировать следующим
образом:

если
f(z)
аналитическая в области D
функция, то

— аналитическая функция и F’(z)=f(z),
где интеграл берётся по любой
кусочно-гладкой кривой, соединяющей
точки z₀
и z.

Действительно,
если f(z)
– аналитическая функция, то

не
зависит от пути интегрирования.

Определение.
Функция
F(z)
называется первообразной
для функции f(z)
на области G,
если F’(z)=f(z)

Из
определения следует, что если F(z)
первообразная для f(z)
на D,
то и функция F(z)+C
является первообразной для f(z)
на D
(
).

Следовательно,
если выполнены условия теоремы 1, то
функция f(z)
имеет первообразную.

Теорема
2.
Если f(z)-аналитическая
на односвязной области D,
и F(z),
(z)-две
первообразные для f(z)
на D,
то

справедливо
F(z)-Φ(z)=С=const.

Доказательство.

Пусть
F(z)
и Φ(z)
— две первообразные функции f(z)
на D.
Рассмотрим функцию w(z)=F(z)-Φ(z)

,
w(z)=u(x,y)+iv(x,y).

Тогда
w(z)=F’(z)-Φ’(z)=f(z)-f(z)=0

Так
как

,
то

Так
как w(z)
— аналитическая
функция, то

Итак,
,


u=aconst,


v=bconst.

Тогда
w(z)=a+ibconst.

Значит,
F(z)-Φ(z)=С.

Следствие
1. Если
f(z)-аналитическая
на односвязной области D,
то любая её первообразная имеет вид

,
где

. (5)

Следствие
2. Положим
в (5) z=z₀,
тогда C=F(z₀).Заменяя
в (5) C
на F(z₀)
получим:

—
формула Ньютона-Лейбница.

Таким
образом, интеграл от аналитической
функции комплексной переменной
вычисляется с помощью тех же методов и
формул, что и в случае функции действительной
переменной.

Вопрос
№11. Интегральная
формула Коши и ее следствия

Интегральная
формула Коши

Теорема.
Пусть
функция f(z)
аналитическая в односвязной области
D,
L-произвольный
замкнутый кусочно-гладкий контур,
лежащий в D.
Тогда для любой точки z₀,
лежащей внутри контура L,
справедлива формула:

, (1)

где
L
обходится в положительном направлении.

(1)
— интегральная формула Коши. Она выражает
значения аналитической функции внутри
контура через её значения на контуре.

Доказательство.

Пусть
z₀—
произвольная точка, лежащая внутри
контура L.
Рассмотрим окружность γ_r:
|z-z₀|=r
, где r
выберем так, чтобы γ_r
лежала внутри L.
В двусвязной области, ограниченной
контурами L
и
γ_r,
функция

является
аналитической, следовательно, она
аналитическая и на области

.
Тогда по следствию из теоремы Коши:

. (2)

Из
(2) следует, что значение

не
зависит от радиуса окружности γ_r.

Из
(2) следует, что для доказательства (1)
достаточно показать, что

. (3)

Так
как

,
то

или

. (4)

Из
(3) и (4) следует, что для доказательства
(1) надо доказать, что

. (5)

Заметим,
что интеграл в (5) не зависит от r
.

Возьмем

.
Так как f(z)
аналитическая на D,
то f(z)
непрерывна в точке z₀D.
Тогда

выполнено

Если
γ_r
такая, что r<δ,
то

выполнено
|z-z₀|=r<δ

|f(z)-f(z₀)|<ε.

. (6)

Так
как ε>0
– произвольное сколь угодно малое
число, а значение интеграла не зависит
от r,
то (6) может быть выполнено только если

,
то есть
выполнено (5),
а значит,
выполнено (1).

Следствие
. Если
две аналитические в односвязной области
D
функции f(z)
и g(z)
совпадают на замкнутом контуре LD,
то они совпадают и внутри контура L.

Замечание.
Если
точка z₀
лежит вне контура L,
то

.

Действительно,
в этом случае

является
аналитической не только на L,
но и внутри L,
следовательно, применима интегральная
формула Коши, согласно которой этот
интеграл равен 0.

Итак,

Источник

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте

его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву

, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения

и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему

Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена

или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

	Область однолистности функции 16.01.2013, 19:07
01/11/09 17	В комплекном анализе столкнулся с проблемами при решении следующей задачи: Имеем функцию. Нужно определить области аналитичности и однолистности. Мое решение: , где ,-действительные. Тогда несложно представить в виде : . То есть , . Область аналитичности нетрудно установить используя условия Коши-Римана (http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Riemann_equations). А вот с однолистностью возникают проблемы: По теореме о неявной функции, в окрестности любой точки, кроме нуля, существует обратная функция. Но это не дает нам возможности сказать, что функция однолистна во всех точках, кроме нуля. Таким образом, у меня трудности с поиском наибольшей области, где функция однолистна. Можете помочь?

g______d

Re: Область однолистности функции

16.01.2013, 19:30

Заслуженный участник

08/11/11
5940

Ну как, берете в окрестности любой точки, кроме нуля, обратную функцию, т. е. . Выбираете одну из двух ветвей. Тогда вопрос про однолистность — это вопрос о том, на какую максимальную область нужно можно продолжить эту ветвь . Проверьте, что продолжается в точности на области, не содержащие замкнутых кривых, обходящих вокруг нуля. Поэтому максимальной областью будет комплексная плоскость, из которой выкинули несамопересекающуюся кривую, выходящую из нуля и уходящую на бесконечность.

ex-math

Re: Область однолистности функции

16.01.2013, 19:34

Заслуженный участник

24/02/12
1842
Москва

Fidd	Re: Область однолистности функции 16.01.2013, 19:47
01/11/09 17	Ну как, берете в окрестности любой точки, кроме нуля, обратную функцию, т. е. . Выбираете одну из двух ветвей. Тогда вопрос про однолистность — это вопрос о том, на какую максимальную область нужно можно продолжить эту ветвь . Проверьте, что продолжается в точности на области, не содержащие замкнутых кривых, обходящих вокруг нуля. Поэтому максимальной областью будет комплексная плоскость, из которой выкинули несамопересекающуюся кривую, выходящую из нуля и уходящую на бесконечность. Спасибо за отзыв, а не могли бы вы несколько более формально описать способ?

g______d

Re: Область однолистности функции

16.01.2013, 20:06

Заслуженный участник

08/11/11
5940

Спасибо за отзыв, а не могли бы вы несколько более формально описать способ?

По-видимому, проще сказать как ex-math

и не мучиться с продолжением корня.

Более формально с корнем — нужна конструкция аналитического продолжения вдоль кривой, прочитайте где-нибудь про нее. Далее если есть область, то она связна, следовательно линейно связна, следовательно, можно продолжить корень в любую ее точку. Проблема может быть, если разные кривые дают разные продолжения в одну и ту же точку. Но тогда можно из них составить замкнутую кривую и убедиться, что эта кривая обходит вокруг нуля.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Источник

Лекция 4(23 сентября 2002 года).

2⁰. Функция Жуковского.

Определение. Функцией Жуковского называется (рациональная функция 2ого порядка).

Она осуществляет непрерывное отображение: . В каких точках отображение конформно? — конформное отображение. т.е. в 0 и отображение конформно. Рассмотрим остальные точки: здесь конформность нарушается.

Вывод. Функция Жуковского конформна в , за исключением точек .

Найдём области однолистности функции (биективности). Это любая область, не содержащая одновременно точек . Почему? С одной стороны они переходят в 2 точки, с другой это биекция, следовательно, такого не может быть.

Пример однолистности области. А) Единичный круг. .

Б) Верхняя полуплоскость. . Почему? Рассмотрим инверсию.

Задача. Функция Жуковского ? Найти эту область.

Решение. Рассмотрим расслоение единичного круга на окружности радиуса r.

, куда переходит окружность? Уравнение окружности: , вычислим: . . — полуоси. Найдём фокусное расстояние: Фокусы находятся в точках . Предельные случаи такие:

Пусть почти окрестность большого радиуса. область стягивается к отрезку. искомая область, т.е. доказано.

Теорема. Функция Жуковского осуществляет конформное отображение единичного круга на область G, равную с разрезом .

Хотим выразить z через w (функцией Жуковского). — функция, обратная функции Жуковского. Знак выбрали так, чтобы z лежало в единичном круге (помним, что ).

Задача. Куда функция Жуковского отображает верхнюю полуплоскость?

3⁰. Экспонента, логарифм и степенная функция.

Рассмотрим — голоморфизм во всём С (но не расширенном). В каких точках отображение конформно?

Вывод. Отображение конформно в каждой точке.

Область однолистности – любая область, не содержащая различных точек, отличающихся на период. (Период: ).

Пример. 1) Рассмотрим Куда экспонента отображает эту область?

Решение. , а угол меняется от 0 до .

Ответ: На области z: семейство прямых. На области w: семейство полуокружностей с радиусом от 1 до 2. Можно было фиксировать у. Экспонента переводит прямоугольную декартову сетку координат в полярную.

2) . С помощью отображения можно отобразить сетку с углом в сетку с углом . — это используется для .

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

1⁰. Спрямляемые и гладкие кривые.

Пусть — произвольная кривая на плоскости. , введём обозначение: Обозначим: — длина произвольной ломанной. .

Определение. Величина — длина кривой.

Определение. Если конечно, то кривая называется спрямляемой.

Замечание. В терминах действительного анализа спрямляемая кривая – непрерывная функция ограниченной вариации.

Задача. 1) Доказать, что длина кривой не зависит от выбора параметризации.

Пусть — строго возрастающая и непрерывная функция на т.ч. — имеют одну и ту же длину.

2) Доказать, что , параметр разбиения, т.е. .

3) Привести пример не спрямляемой кривой.

Определение. — гладкая кривая, если функция непрерывна, дифференцируема на отрезке [a,b] и .

Задача. Доказать, что длина гладкой кривой вычисляется по формуле:

2⁰. Определение интеграла.

Пусть — произвольная кривая, т.е. , , — это обозначения.

Пусть Ф: — произвольная комплексно-значная функция на отрезке [a,b]. Рассмотрим разбиение с отмеченными точками: . Составим интегральную сумму: .

Определение. Интегралом называется: , если этот предел существует. Обозначение интеграла: — интеграл от Ф по .

Замечание. В терминах действительного анализа мы дали определение интеграла Римана-Стильтьеса.

Задача. 1) Доказать, что интеграл не зависит от выбора параметризации.

2) Теорема — ния: Если кривая спрямляема, а функция Ф непрерывна, то существует.

3) Если Ф – непрерывна, а — гладкая кривая, то — с помощью введения параметризации.

Замечание. 1) Обычно интеграл используется в следующих частных случаях. Дана — множество точек на комплексной плоскости. Положим: — это важно для кривых с самопересечениями.

2) , т.е. интеграл от функции комплексного переменного = сумме двух криволинейных интегралов 2-ого рода.

3⁰. Свойства интеграла.

Интеграл от единичной функции. , где интеграл берётся по любой кривой, соединяющей точку А и В.
Линейность интеграла. .
Ориентированность интеграла. .
Аддитивность.
Оценка интеграла. Пусть — длина . на , тогда .

Замечание. 1) Предположим, что все интегралы

2) Все свойства доказываются по стандартной схеме: написать их для интегральных сумм и перейти к пределу. Рассмотрим на примере 1-ого свойства: .

3) Уточним, что такое ? Кривая – функция на отрезке. Без ограничения общности пусть это будет [0,1]. Тогда .

4) Свойство аддитивности мы берём в качестве определения интеграла по формальной сумме кривых.

4⁰. Примеры.

(

1) , где интеграл берётся по любой спрямляемой кривой, соединяющей точки А и В. Посчитаем, исходя из определения. Если кривая спрямляема, то предел существует. Интегральные суммы: знаем, что сходятся к I.

Возьмём среднее арифметическое: .

(2) Вычислим интеграл: Это гладкая кривая, следовательно введём параметризацию и тогда посчитаем. Уравнение окружности (параметризуемое): . т.к. это интеграл от sin, cos по периоду.

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ

Замечание. Если замкнутая и спрямляемая кривая, то .

Почему? Т.к. и

Гипотеза: Поскольку равенство 0 верно для линейной функции (по замкнутой кривой), тогда верно для любой голоморфной функции.

1⁰. Интегральная теорема Коши для односвязной области.

Теорема1. Если: 1) D – односвязная область

2) — замкнутая и спрямляемая кривая, лежащая в области D.

3) f(z) – голоморфная функция в D. Тогда

Доказательство(НЕ ПРАВИЛЬНОЕ). По теореме Грина в силу 2ого условия Коши-Римана. — непрерывны в D для условия теоремы Грина, а мы не знаем на самом деле того, что они непрерывны , так доказывать теорему нельзя…

Доказательство(ПРАВИЛЬНОЕ).

Замечание. 1) Теорему достаточно доказать для замкнутых ломаных.

Т.к. любую кривую можно приближать ломаной сколько угодно точно (по теореме Кантора о равномерной непрерывности) и интегралы по ломаным стремятся к длине кривой.

2) Теорему достаточно доказать для многоугольника (замкнутой ломанной без самопересечений). Т.к. точка пересечения разбивает любую замкнутую на многоугольники.

3) Теорему достаточно доказать для . Т.к. в любом многоугольнике диагонали, многоугольник разбивается на -ки.