Как найти объем задачи по математике

Задачи на нахождение объема прямоугольного параллелепипеда и куба – это геометрические задачи на построение и нахождение неизвестноых параметров прямоугольного параллелепипеда и куба используя формулы объема.

Алгоритм решения задач на нахождение объема прямоугольного параллелепипеда и куба:

1. Выполняем краткую запись задачи;
2. Определяем способ и решаем задачу;
3. Выписываем полный ответ.

Определяем способ решения:

Задача 1. Одно ребро прямоугольного параллелепипеда равно 6 дм, второе — в 2 раза больше первого, а третье — на 4 дм больше первого. Найти объем прямоугольного параллелепипеда, площадь его поверхности и сумму длин всего его ребер.

Краткая запись:

Решение:  

1. (6⋅2=12) (дм) — b;
2. (6+4=10) (дм) — c;
3. (V_п =a⋅b⋅c)
   (6⋅12⋅10=720) (дм3) — V;
4. (S_п= 2⋅)((ab+bc+ac))
   (2)((6⋅12+6⋅10+12⋅10))(=2)((72+60+120))(=2⋅252=504) (дм²) — S;
5. (4)((a+b+c)) — сумма длин всех ребер
   (4⋅)((6+12+10))(=4⋅28=112) (дм).

Ответ: объем прямоугольного параллелепипеда равен 720 дм³, площадь его поверхности — 504 дм², сумма длин всех ребер — 112 дм.

Стереометрия на Профильном ЕГЭ по математике, 1 часть, основные типы

Стереометрия на ЕГЭ. Вычисление объемов и площадей поверхности

Стереометрия на ЕГЭ по математике присутствует и в 1 части, и во второй. Чтобы решать задачи, для начала надо выучить формулы. Все они есть в наших таблицах:

• Куб, параллелепипед, призма, пирамида. Объем и площадь поверхности
• Цилиндр, конус, шар. Объем и площадь поверхности

Часто в задачах ЕГЭ, посвященных стереометрии, требуется посчитать объем тела или площадь его поверхности. Или как-то использовать эти данные. Поэтому заглянем в толковый словарь русского языка и уточним понятия.

Объем — величина чего-нибудь в длину, ширину и высоту, измеряемая в кубических единицах.
Другими словами, чем больше объем, тем больше места тело занимает в трехмерном пространстве.

Площадь — величина чего-нибудь в длину и ширину, измеряемая в квадратных единицах.
Представьте себе, что вам нужно оклеить всю поверхность объемного тела. Сколько квадратных сантиметров (или метров) вы бы обклеили? Это и есть его площадь поверхности.

Объемные тела — это многогранники (куб, параллелепипед, призма, пирамида) и тела вращения (цилиндр, конус, шар).
Если в задаче по стереометрии речь идет о многограннике, вам встретятся термины «вершины», «грани» и «ребра». Вот они, на картинке.

Чтобы найти площадь поверхности многогранника, сложите площади всех его граней.

Вам могут также встретиться понятия «прямая призма», правильная призма», «правильная пирамида».

Прямой называется призма, боковые ребра которой перпендикулярны основанию.
Если призма — прямая и в ее основании лежит правильный многоугольник, призма будет называться правильной.
А правильная пирамида — такая, в основании которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Перейдем к практике.

1. Одна из распространенных задач в части 1 — такая, где надо посчитать объем или площадь поверхности многогранника, из которого какая-нибудь часть вырезана. Например, такого:

Что тут нарисовано? Очевидно, это большой параллелепипед, из которого вырезан «кирпичик», так что получилась «полочка». Если вы увидели на рисунке что-то другое — обратите внимание на сплошные и штриховые линии. Сплошные линии — видимы. Штриховыми линиями показываются те ребра, которые мы не видим, потому что они находятся сзади.

Объем найти просто. Из объема большого «кирпича» вычитаем объем маленького. Получаем:

А как быть с площадью поверхности? Почему-то многие школьники пытаются посчитать ее по аналогии с объемом, как разность площадей большого и малого «кирпичей». В ответ на такое «решение» я обычно предлагаю детскую задачу — если у четырехугольного стола отпилить один угол, сколько углов у него останется?

На самом деле нам нужно посчитать сумму площадей всех граней — верхней, нижней, передней, задней, правой, левой, а также сумму площадей трех маленьких прямоугольников, которые образуют «полочку». Можно сделать это «в лоб», напрямую. Но есть и способ попроще.

Прежде всего, если бы из большого параллелепипеда ничего не вырезали, его площадь поверхности была бы равна . А как повлияет на него вырезанная «полочка»?

Давайте посчитаем сначала площадь всех горизонтальных участков, то есть «дна», «крыши» и нижней поверхности «полочки». С дном — все понятно, оно прямоугольное, его площадь равна .

А вот сумма площадей «крыши» и горизонтальной грани «полочки» тоже равна ! Посмотрите на них сверху.
…В этот момент и наступает понимание. Кому-то проще нарисовать вид сверху. Кому-то — представить, что мы передвигаем дно и стенки полочки и получаем целый большой параллелепипед, площадь поверхности которого равна . Каким бы способом вы ни решали, результат один — площадь поверхности будет такой же, как и у целого параллелепипеда, из которого ничего не вырезали.

Ответ: .

2. Следующую задачу, попроще, вы теперь решите без труда. Здесь тоже надо найти площадь поверхности многогранника:

. Из площади поверхности «целого кирпича» вычитаем площади двух квадратиков со стороной — на верхней и нижней гранях.

Ответ: 92.

3. А здесь нарисована прямоугольная плитка с «окошком». Задание то же самое — надо найти площадь поверхности.

Сначала посчитайте сумму площадей всех граней. Представьте, что вы дизайнер, а эта штучка — украшение. И вам надо оклеить эту штуку чем-то ценным, например, бриллиантами Сваровски. И вы их покупаете на свои деньги. (Я не знаю почему, но эта фраза мгновенно повышает вероятность правильного ответа!) Оклеивайте все грани плитки. Но только из площадей передней и задней граней вычтите площадь «окошка». А затем — само «окошко». Оклеивайте всю его «раму».
Ответ: .

Следующий тип задач — когда одно объемное тело вписано в другое.

4.  Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны . Найдите объем параллелепипеда.

Прежде всего, заметим, что высота цилиндра равна высоте параллелепипеда. Нарисуйте вид сверху, то есть круг, вписанный в прямоугольник. Тут сразу и увидите, что этот прямоугольник — на самом деле квадрат, а сторона его в два раза больше, чем радиус вписанной в него окружности. Итак, площадь основания параллелепипеда равна , высота равна , объем равен .

Ответ: 4.

5. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами и . Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. В ответ запишите .

Очевидно, высота цилиндра равна боковому ребру призмы, то есть . Осталось найти радиус его основания.
Рисуем вид сверху. Прямоугольный треугольник вписан в окружность. Где будет находиться радиус этой окружности? Правильно, посередине гипотенузы. Гипотенузу находим по теореме Пифагора, она равна . Тогда радиус основания цилиндра равен пяти. Находим объем цилиндра по формуле и записываем ответ: .

Ответ: 100.

6. В прямоугольный параллелепипед вписан шар радиуса . Найдите объем параллелепипеда.

Эта задача тоже проста. Нарисуйте вид сверху. Или сбоку. Или спереди. В любом случае вы увидите одно и то же — круг, вписанный в прямоугольник. Очевидно, этот прямоугольник будет квадратом. Можно даже ничего не рисовать, а просто представить себе шарик, который положили в коробочку так, что он касается всех стенок, дна и крышки. Ясно, что такая коробочка будет кубической формы. Длина, ширина и высота этого куба в два раза больше, чем радиус шара.

Ответ: .

Следующий тип задач — такие, в которых увеличили или уменьшили какой-либо линейный размер (или размеры) объемного тела. А узнать нужно, как изменится объем или площадь поверхности.

7. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Слова «другой такой же сосуд» означают, что другой сосуд тоже имеет форму правильной треугольной призмы. То есть в его основании — правильный треугольник, у которого все стороны в два раза больше, чем у первого. Мы уже говорили о том, что площадь этого треугольника будет больше в раза. Объем воды остался неизменным. Следовательно, в раза уменьшится высота.
Ответ: .

8. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в два раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

Давайте вспомним, как мы решали стандартные задачи, на движение и работу. Мы рисовали таблицу, верно? И здесь тоже нарисуем таблицу. Мы помним, что объем цилиндра равен .

	Высота	Радиус	Объем
Первая кружка
Вторая кружка

Считаем объем второй кружки. Он равен . Получается, что он в два раза больше, чем объем первой.

Следующая задача тоже решается сразу и без формул.

9. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен , проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Высота меньшей призмы такая же, как и у большой. А какой же будет ее площадь основания? Очевидно, в раза меньше. Вспомните свойство средней линии треугольника — она равна половине основания. Значит, объем отсеченной призмы равен .

И еще одна классическая задача. Никаких формул!

10. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в раза?

Только не надо обмирать от ужаса при слове «октаэдр». Тем более — он здесь нарисован и представляет собой две сложенные вместе четырехугольные пирамиды. А мы уже говорили — если все ребра многогранника увеличить в три раза, площадь поверхности увеличится в раз, поскольку .
Ответ: .

Следующий тип задач — такие, в которых надо найти объем части конуса, или части пирамиды. Они тоже решаются элементарно.

11. Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. Радиус цилиндра равен 15, высота равна 5. В ответе укажите .

Изображен не целый цилиндр, а его часть. Из него, как из круглого сыра, вырезали кусок. Надо найти объем оставшегося «сыра».
Какая же часть цилиндра изображена? Вырезан кусок с углом градусов, а — это одна шестая часть полного круга. Значит, от всего объема цилиндра осталось пять шестых. Находим объем всего цилиндра, умножаем на пять шестых, делим на , записываем ответ: .

Продолжение:   другие типы задач по стереометрии. Удачи вам в подготовке к ЕГЭ!

Тема урока:   Объем многогранников  и
тел вращения

 1. Повторение  теоретического материала  по теме «  Объем многогранников и тел
вращения»   

 Теория:     (Глава 7,  Геометрия 10—11 класс Атанасян Л.С. )

                   Многогранники

1.                
Призма. 

Объем призмы  равен произведению площади
Объем цилиндра равен произведению
площади основания на высоту. 

 V= _осн   ∙  h  ,   h-высота  призмы                                                 ∙
h ,        h-  высота цилиндра. 

 
                                                                                    Так
как в  основании цилиндра лежит круг, а площадь

  , то объем цилиндра
равен      -радиус  основания. .

2.                
Конус               
2. Пирамида

h            
 

Объем пирамиды: Vh

h

 В основании призмы и
пирамиды могут                                 

лежать: а)  треугольник:  h
                           

             б)
квадрат:     S=                                         

              в) прямоугольник: 
S=
а∙ в                         

2.     Образцы 
решения простейших задач на вычисление объемов

З д ч  №1.  Основание
пирамиды прямоугольник со сторонами 6см. и 2см., высота пирамиды равна 9см.
Найдите объем пирамиды.

                                                            
Дано: пирамида, АВ = 6см, ВС = 2см,  h = S O = 9
см                                                              Найти: V

       Решение :  Vh  

         В основании лежит прямоугольник АДСВ, 
площадь   которого   равна _о 
 = 
АВ  ВС,    
_о 
= 6 2
=12(см)

V 

Ответ:
36 .

З д ч  №2  Найдите
объем цилиндра, если радиус  его  основания равен 3см.,  а  высота 
9см.  

                                                                   
Дано: цилиндр , r = 3см.,  h = 9см.

                                                                    
Найти: V

                                                                     
Решение:    V=    

                                                                                     
    V=
= 81  () 

                                                           Обр тите
в им  ие , что значение  не подставляется.

                                                          
Ответ:    81
              

3.      
Задачи для самостоятельной работы  

1.     
В
основании пирамиды прямоугольник со сторонами  3см. и 6см., высота пирамиды 10
см.. Найдите  объем пирамиды.

2.     
Измерения
прямоугольного параллелепипеда  равны 2см. ,3 см., 5см.. Вычислите объем .

3.     
Найдите
объем цилиндра, если его высота 10см., а радиус    основания равен   
8см.

4.     
Вычислите
объем конуса,  его высота 9см.,а радиус основания 2см.

5.     
Найдите
объем цилиндра,   если диаметр его основания равен 10см. а высота
6см.

6.     
В
прямоугольном параллелепипеде длина равна 5см., ширина 3см. ,а высота 10см.
Вычислите объем. 

7.     
Найдите
объем пирамиды, в основании которой  лежит прямоугольник  со сторонами 5см. и
3см., а высота пирамиды равна 11см..

8.     
Вычислите
объем цилиндра, если его диаметр равен 6см. ,а высота7см.

9.     
Высота
пирамиды 12см. Найдите объем   пирамиды, если в  основании лежит квадрат со
стороной 5см.

Решив задачи в тетради
,полученные ответы внесите в таблицу

ПЕРИМЕТР

Периметр – сумма длин всех сторон плоской геометрической фигуры. Чаще всего периметр измеряется в сантиметрах, метрах и километрах.

Чаще всего периметр обозначается буквой P.

Периметр прямоугольника – удвоенная сумма длины и высоты — 2∙(a+b)

Периметр квадрата – произведение любой его стороны на 4, так как стороны равны.

ПЛОЩАДЬ

Площадь – характеристика замкнутой геометрической фигуры, которая показывает ее размер. Чаще всего площадь измеряется в квадратных сантиметрах, квадратных метрах и квадратных километрах.

В отличие от периметра, не существует универсальной формулы площади. Для каждого типа фигур площадь вычисляется по своей особой формуле. Мы будем рассматривать только прямоугольники, квадраты и составные фигуры из прямоугольников и квадратов.

Чаще всего площадь обозначается буквой S.

Площадь прямоугольника – произведение длины на высоту.

Хотите, чтобы ваш ребёнок обучался самостоятельно?
Вам поможет наш ВИДЕОКУРС

Разделим этот прямоугольник на квадраты

Мы получили 15 квадратов внутри этого прямоугольника – это и есть те самые 15 квадратных сантиметров, которые составляют площадь прямоугольника.

Площадь квадрата – произведение длины стороны на саму себя.

СОСТАВНЫЕ ФИГУРЫ

Разделим эту фигуру на прямоугольник и квадрат

Высота прямоугольника составит 5 – 3 = 2

СООТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДИ И ПЕРИМЕТРА

Фигуры с одной и той же площадью могут иметь разный периметр

Почему у нас изменился периметр, хотя площадь, т.е. число квадратиков внутри фигуры, осталась прежней?

Потому что изменилось число граней квадратиков, которые участвуют в формировании сторон фигуры, т.е. перметра. В первой фигуре – большом квадрате, в формировании сторон участвовали по две внешних грани каждого маленького квадратика – общее число таких граней 8, и периметр равен 8.

Во второй фигуре у нас в формировании сторон участвуют по три грани у двух крайних квадратиков и по две грани внутренних квадратов. Общее число таких граней 10, и периметр равен 10.

ОБЪЁМ

Объём – количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Чаще всего объём измеряется в кубических сантиметрах, кубических дециметрах, кубических метрах и литрах.

1 л = 1 дм³

Не существует универсальной формулы объема. Для каждого типа фигур объём вычисляется по своей особой формуле. Мы будем рассматривать только прямоугольные параллелепипеды.

Чаще всего объём обозначается буквой V.

Прямоугольный параллелепипед – замкнутая фигура, у которой 6 прямоугольных граней (передняя, задняя, нижняя, верхняя и две боковые), и каждая из граней расположены под прямым углом к соседним.

Объём прямоугольного параллелепипеда – произведение его длины, ширины и высоты

Зная объём и две стороны, мы можем найти третью сторону:

c = (V:a):b = V:S

ВИДЕОКУРС 2plus2.online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.

ЗАДАЧИ

Задача 1. Найдите периметр и площадь прямоугольника, у которого ширина 10 см, и она меньше длины на 6 см.

x = 10 см – ширина

1. Найдём длину

y = 10 + 6 = 16 см

2. Найдём периметр

P = 2∙(10+16) = 52 см

3. Найдём площадь

S = 10∙16 = 160 см²

Ответ: P = 52 см, S = 160 см²

Задача 2. Какую ширину имеет прямоугольник, длина которого 50 см, а площадь совпадает с площадью квадрата периметром 80 см?

1. Вычислим сторону квадрата

4∙n = 80 — периметр

n = 20 см

2. Вычислим площадь квадрата

20∙20 = 400 см²

3. Вычислим ширину прямоугольника

50∙x = 400 см²

x = 8 см

Ответ: 8 см

Задача 3. Чему равна ширина прямоугольника, длина которого равна 15 м, а площадь 7500 дм2 ?

1 дм = 10 см, 1 м = 100 см, 1 м = 10 дм

1. Переведём длину прямоугольника в дм

x = 15∙10 = 150 дм

2. Найдём ширину прямоугольника

150∙y = 7500

y = 7500:150 = 50 дм

Ответ: 50 дм

Задача 4. Длина прямоугольника равна 60 см, и она в 3 раза больше ширины стороны.

1. Найдём ширину прямоугольника

x = 60:3 = 20 см

2. Найдём площадь прямоугольника

S = 60∙20 = 1200 см

2. Найдём периметр прямоугольника

P = 2∙(60+20) = 160 см

3. Найдём сторону квадрата

y = 160:4 = 40 см

4. Найдём площадь квадрата

Sкв = 40∙40 = 1600 см²

5. Найдём площадь квадрата, которая в 12 раз меньше площади прямоугольника:

Sкв₂ = 1200:12 = 100 см²

6. Найдём сторону такого квадрата

Площадь квадрата = 100 см²

Из таблицы умножения мы знаем, что 10∙10 = 100, значит сторона квадрата = 10 см

7. Найдём периметр такого квадрата

P = 10∙4 = 40 см

ВИДЕОКУРС 2plus2.online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.

Задача 5. В прямоугольнике АВСД сторона АВ 3 см, сторона ВС на 1 см длиннее, а диагональ ВД на 2 см длиннее АВ. Найдите периметр и площадь прямоугольника АВСД и треугольника АВД.

1. Найдём сторону ВС

ВС = 3+1 = 4

2. Найдём диагональ ВД

ВД = 3+2 = 5

3. Найдём периметр АВСД

P = 2∙(3+4) = 14 см

4. Найдём площадь АВСД

Sавсд = 3∙4 = 12 см²

5. Найдём периметр треугольника АВД

Pавд = 3 + 5 + 4 = 13 см

6. Найдём площадь треугольника АВД

Треугольник АВД занимает половину площади прямоугольника АВСД

Sавд = Sавсд:2

Sавд = 12:2 = 6 см²

Задача 6. В аквариум в форме прямоугольного параллелепипеда, основание которого имеет стороны 80 и 40 см, налили до краёв 160 л. воды. Какова высота аквариума?

Решение

1. Переведём литры в кубические дециметры

1 л = 1 дм³, 160 л = 160 дм³

2. Переведём стороны аквариума в дециметры

1 дм = 10 см, 80 см = 8 дм, 40 см = 4 дм

3. Найдём высоту аквариума

V = a∙b∙c, a = 8, b = 4

c = (V:a):b

c = (160:8):4 = 5 дм

c = 5∙10 = 50 см

Ответ: 50 см

Объемы геометрических тел

Раньше для определения объемов геометрических тел традиционно использовались интегралы. Сегодня есть и другие подходы, которые подробно представлены в учебниках нашей корпорации. В одном из вебинаров Алексей Доронин рассказал о методах определения объема разных геометрических тел с помощью принципа Кавальери и других аксиом.

01 апреля 2019

Объемы геометрических тел

Раньше для определения объемов геометрических тел традиционно использовались интегралы. Сегодня есть и другие подходы, которые подробно представлены в учебниках нашей корпорации. В одном из вебинаров «Российского учебника» учитель высшей категории Алексей Доронин рассказал о методах определения объема разных геометрических тел с помощью принципа Кавальери и других аксиом.

Определение объема

Объем можно определить как функцию V на множестве многогранников, удовлетворяющую следующим аксиомам:

• V сохраняется при движениях.
• V удовлетворяет принципу Кавальери.
• Если внутренности многогранников M и N не пересекаются, то V(M ∪ N) = V(M) + V(N).
• Объем прямоугольного параллелепипеда V = abc.

Принцип Кавальери (итальянского математика, ученика Галилея). Если при пересечении двух тел плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, в сечениях этих тел любой из плоскостей получаются фигуры, площади которых относятся как m : n, то объемы данных тел относятся как m : n.

В открытом банке заданий ЕГЭ есть много задач для отработки этого способа определения объема.

Примеры

Задача 1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

Задача 2. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задача 3. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Разберем, как можно вычислять объемы изучаемых в школе фигур.

Объем призмы

В представленном случае известны площадь основания и высота призмы. Чтобы найти объем, используем принцип Кавальери. Рядом с призмой (Ф₂) поместим прямоугольный параллелепипед (Ф₁), в основании которого — прямоугольник с такой же площадью, как у основания призмы. Высота у параллелепипеда такая же, как у наклонного ребра призмы. Обозначим третью плоскость (α) и рассмотрим сечение. В сечении виден прямоугольник с площадью S и, во втором случае, многоугольник тоже с площадью S. Далее вычисляем по формуле:

V S_осн h

Объем пирамиды

Лемма: две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики. Докажем это, используя принцип Кавальери.

Возьмем две пирамиды одинаковой высоты и заключим их между двумя параллельными плоскостями α и β. Обозначим также секущую плоскость и треугольники в сечениях. Заметим, что отношения площадей этих треугольников связаны непосредственно с отношением оснований.

V ₁/V₂ = 1 <=> V₁ = V₂

Известно, что объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Данной теоремой апеллируют довольно часто. Однако откуда в формуле объема пирамиды появляется коэффициент 1/3? Чтобы понять это, возьмем призму и разобьем ее на 3 треугольные пирамиды:

V₁ = V₂

V₂ = V₃

V_призмы S h = 3V

V = 1/3 Sh

Объем цилиндра

Возьмем прямой круговой цилиндр, в котором известны радиус основания и высота. Рядом поместим прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит квадрат. Рассмотрим:

V_цил = πh × R²

Объем конуса

Конус лучше всего сравнивать с пирамидой. Например, с правильной четырехугольной пирамидой с квадратом в основании. Две фигуры с равными высотами заключаем в две параллельные плоскости. Обозначив третью плоскость, в сечении получаем круг и квадрат. Представления о подобиях приводят к числу π.

S_Ф1/S_Ф2 = π

V_конуса = 1/3 πR² h

Объем шара

Объем шара — одна из наиболее сложных тем. Если предыдущие фигуры можно продуктивно разобрать за один урок, то шар лучше отложить на последующее занятие.

Чтобы найти объем шара, шар часто предлагается сравнить со сложным геометрическим телом, которое связано с конусом и цилиндром. Но не стоит строить цилиндр, из которого вырезан конус, или вроде того. Возьмем половину шара с высотой R и радиусом R, а также конус и цилиндр с аналогичными высотами и радиусами оснований. Обратимся к полезным материалам на сайте
«Математические этюды», где объем шара рассматривается с использованием весов Архимеда. Цилиндр располагается на одной стороне уравновешенных весов, конус и половина шара — на другой.

Заключаем геометрические фигуры в две параллельные плоскости и смотрим, что получается в сечении. У цилиндра — круг с площадью πR². Как известно, если внутренности геометрических тел не пересекаются, то объем их объединения равен сумме объемов. Пусть в конусе и в половине шара расстояние до плоскости сечения будет x. Радиус — тоже x. Тогда площадь сечения конуса — π ∙ x². Расстояние от середины верха половины шара к краю сечения — R. Площадь сечения половины шара: π(R² — x²).

Заметим, что: πR² + πR² — πR² = πR²

V_цил = πR² × R = πR³ = 1/3 R³ π + V_шара

V_шара = 4/3 πR³

Итак, чтобы найти объем нового, не изученного геометрического тела, нужно сравнить его с тем телом, которое наиболее на него похоже. Многочисленные примеры заданий из открытого банка задач показывают, что в работе с фигурами имеет смысл использовать представленные формулы и аксиомы.

#ADVERTISING_INSERT#