Как вычислить объем прямоугольника
Некоторые школьники, начав изучать стереометрию, путают объемные и плоские фигуры. Так, например, шар иногда называют кругом, куб – квадратом, а прямоугольный параллелепипед – просто прямоугольником. Соответственно, такие ученики нередко пытаются вычислить объем прямоугольника или площадь куба.
Вам понадобится
- — линейка;
- — калькулятор.
Инструкция
Если школьник пытается рассчитать объем прямоугольника, то уточните: о какой конкретно фигуре идет речь – прямоугольнике или его объемном аналоге, прямоугольном параллелепипеде. Узнайте также: что именно требуется найти по условиям задачи – объем, площадь или длину. Кроме того, выясните: какая часть рассматриваемой фигуры имеется ввиду – вся фигура, грань, ребро, вершина, сторона или сечение плоскостью.
Чтобы вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, перемножьте между собой его длину, ширину и высоту (толщину). То есть воспользуйтесь формулой:
V = a * b * c,
где: a, b и с – длина, ширина и высота параллелепипеда (соответственно), а V – его объем.
Все длины сторон предварительно приведите к одной единице измерения, тогда и объем параллелепипеда получится в соответствующих «кубических» единицах.
Пример.
Какова будет емкость бака для воды, имеющего размеры:
длина – 2 метра;
ширина – 1 метр 50 сантиметров;
высота – 200 сантиметров.
Решение:
1. Приводим длины сторон к метрам: 2; 1,5; 2.
2. Перемножаем полученные числа: 2 * 1,5 * 2 = 6 (кубических метров).
Если речь в задаче идет все-таки о прямоугольнике, то наверняка требуется вычислить его площадь. Для этого просто умножьте длину прямоугольника на его ширину. То есть примените формулу:
S = a * b,
где:
a и b – длины сторон прямоугольника,
S – площадь прямоугольника.
Используйте эту же формулу, если в задаче рассматривается грань прямоугольного параллелепипеда – согласно определения, она также имеет форму прямоугольника.
Пример.
Объем куба составляет 27 м³. Чему равна площадь прямоугольника, образуемого гранью куба?
Решение.
Длина ребра куба (являющегося также и прямоугольным параллелепипедом) равняется корню кубическому из его объема, т.е. 3 м. Следовательно, площадь его грани (представляющей из себя квадрат) будет равна 3 * 3 = 9 м².
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Объем прямоугольника
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 108.
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 108.
В этой статье мы поговорим о разности определений объема и площади, а так же о прямоугольнике и параллелепипеде. Разделим все понятия, обсудим, как найти площадь и как определить объем.
Определения
Часто в жизни люди совершают математические ошибки. Причем зачастую не в силу какого-то грубого незнания, а просто из-за громоздкости названий. Это не совсем верно, поскольку ведет к увеличению числа ошибок.
Формулы объема прямоугольника не существует.
Фигура может быть:
- одномерной, то есть представлять собой точку или прямую
- двумерной, то есть быть составленной из точек или прямых в плоскости
- трехмерной, то есть воплощенной в пространстве. Трехмерные фигуры это то, что нас окружает. Арбуз идеальной формы – это пример шара, а пятирублевая монетка – круга; коробка здания представляет собой параллелепипед, колпаки волшебников из книг – конусы. Пространственная геометрия повсюду. Но если листовка с рекламой, это прямоугольник, то коробка – параллелепипед.
Разделение определений поможет избежать ошибок.
Двумерная фигура характеризуется периметром и площадью. Трехмерная имеет периметр, площадь поверхности и объем. Как понять, есть ли объем у фигуры? Достаточно представить себе, что засыпаешь в нее песок. Задержится ли он в фигуре?
В трехмерной: конусе, цилиндре, параллелепипеде – песок останется лежать, заполняя собой внутренне пространство (то есть объем). В двумерной песок просто насыплется сверху. Разделочную доску нельзя заполнить песком, так же как и нельзя найти объем прямоугольника.
Объем и площадь
Объем это пространственная характеристика. Она показывает, сколько место фигура занимает в пространстве или сколько нужно сыпучего материала или воды, чтобы заполнить фигуру изнутри.
Площадь это двумерная характеристика. Она показывает, к примеру, сколько места займет фигура на столе. Если нам нужно понять, сколько места занимает лист на столе, то считаем площадь, для того, что понять вместится ли учебник в ящик стола, нужно посчитать объем.
Из двумерных прямоугольников составляют трехмерную фигуру, которую называют прямоугольным параллелепипедом. Прямоугольный параллелепипед состоит из шести прямоугольников, которые называют гранями. Четыре боковых грани равны между собой, так же как равны между собой две оставшиеся грани-основания.
Чтобы найти площадь прямоугольника нужно перемножить между собой две стороны, выходящие из одной точки, то есть смежные. Для того, чтобы найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда нужно сложить площади всех его граней.
Удивительно, но понятие объема появилось еще в Древней Греции. Им оперировал Евклид, Аристотель и Архимед. Но определение было размытым и неточным. Древние ученые увлекались двумерным пространством. Точное определение объема было дано лишь в 19 веке учеными Пеано и Жорданом.
Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, нужно так же перемножить между собой стороны, выходящие из одной точки. Но в пространстве их будет три: длина, ширина и высота.
Что мы узнали?
Мы разделили понятия фигур по пространственным характеристикам. Узнали как создается прямоугольный параллелепипед и разделили параллелепипед и прямоугольник, поговорили о расчете площади и объема. Привели примеры геометрических фигур из реальной жизни. Узнали, что объема прямоугольника не существует.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
-
Ксения Кузнецова
5/5
Оценка статьи
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 108.
А какая ваша оценка?
Форма объекта и его линейные размеры определяют один из важных с геометрической точки зрения параметров — объём. Формула для прямоугольника, позволяющая его вычислить, довольно проста и основана на знании стороны и высоты. Но при решении не всегда известны значения рёбер фигуры, поэтому приходится использовать свойства параллелограмма, а именно — способы нахождения площади.
Оглавление:
- Общие сведения
- Вычисление объёма
- Решение задач
- Использование калькулятора
Общие сведения
По своей сути объём является количественной характеристикой пространства, которое занимает тело или вещество. Простыми словами, этот параметр показывает вместимость. В качестве единицы измерения, согласно СИ, принят кубический метр. За обозначение же объёма взята латинская буква V.
У тел, имеющих простую форму, характеристики находятся путём перемножения площади на высоту. Например, для куба он равен a3, прямоугольной призмы — h * b * a, пирамиды — (S * b * h) / 3. В эллипсоидных фигурах при расчётах используется радиус. Так, для конуса объём равен (p * R2 * h) / 3, сферы — (4 * p * R3) / 3, тора — 2 * p2 * R1 * R22.
Объём плоских фигур, таких как треугольник, круг, квадрат, прямоугольник, равен нулю. Но если их стороны или окружности имеют связанные с ними попарно параллельные линии, то они уже являются объёмными фигурами. Например, прямоугольник в пространстве называют параллелепипедом. Таким образом, чтобы найти объём прямоугольника, необходимо, чтобы он представлял собой прямоугольный параллелепипед, иначе действие будет бессмысленным.
Определить объём — значит, знать две основные величины фигуры:
- площадь — двумерная характеристика, определяющая размер фигуры;
- высоту — это длина перпендикуляра, опущенного из вершины на основание в трёхмерном пространстве.
Так как площадь измеряется в метрах квадратных, а высота просто в метрах, то перемножение площади и высоты как раз и даст единицу измерения объёма — метр кубический.
Чтобы узнать площадь прямоугольника, используют его свойства. Изучают их обычно в седьмом классе средней школы. К основным из них относят правило равенства противоположных сторон и углов, деление диагонали пополам в точке пересечения и их равенство.
Именно одинаковые диагонали являются отличительным свойством прямоугольника от параллелограмма. Фактически же диагональ делит фигуру на два прямоугольных треугольника. Это свойство довольно часто используют при проведении расчётов площади или объёма.
Вычисление объёма
Существует теорема сообщающая, что объём параллелепипеда, то есть тела основанием которой является параллелограмм, можно рассчитать, умножив площадь основания на высоту фигуры. Записывается это формула как V = h * S, при этом S является произведением сторон прямоугольника.
Исходя из этого вычислить объём прямоугольника (параллелепипеда) можно по формуле: V = a * b * h, где: a, b — рёбра фигуры; h — высота тела.
Другими словами, параметр находится как произведение трёх измерений фигуры. Для доказательства нужно рассмотреть два возможных случая.
- Пусть имеется фигура, которая состоит из трёх измерений: a, b, c. Первые два являются основанием, к которому пристроена третье. Основание можно представить, как совокупность прямоугольников с площадью S = a * b, состоящую их квадратных единиц. На каждом из квадратов размещается кубическая единица. В итоге получается слой, состоящий из S единиц в кубе. Учитывая, что высота слоя это одна линейная единица, а высота всей фигуры состоит из энного количества таких единиц, то внутри тела можно поместить энное число слоёв. А значит, объём тела равен произведению этих кубических единиц, то есть V = a * b * c.
- Имеется прямоугольный параллелепипед. В его основании лежит прямоугольник с вершинами A, A1, B, B1. Соответственно плоскости ABCD и A1B1C1D1 будут боковыми гранями. В середине фигуры можно построить перпендикулярную плоскость MNPQ являющуюся сечением. Она будет равновеликим прямому параллелепипеду с основанием MNPQ и высотой (боковым ребром) BC. По признаку перпендикулярности, плоскости с двугранными углами являются прямыми. Отсюда можно утверждать, что MNPQ — прямоугольное тело, а значит и параллелепипед прямоугольный. Значит, его объём можно найти как произведение MN * MQ * BC. Исходя из того, что MQ перпендикулярно BC, площадь основания можно рассчитать как MQ * BC. А так как MN высота, то объём параллелепипеда можно вычислить, умножив площадь его основания на высоту.
Действительно, можно понять и без доказательств, что формула объёма верна. Если представить замкнутую фигуру с любым основанием, образованную в пространстве прямыми линиями, то в её середину можно будет поместить столько оснований, сколько позволит высота тела. Используя законы умножения, чтобы узнать, сколько же поместится в середине фигуры таких площадей, нужно основание умножить на высоту. То есть и получается доказываемая формула: V = S * h.
Решение задач
На самом деле вычисление объёма не только выполняют на уроках математики. Это знание востребовано в довольно многих специальностях и науках. Например, при строительстве, в архитектуре, инженерии, физике, химии. Поэтому знание нахождения параметра может пригодиться не только в школе. Теорию обязательно необходимо закреплять на практике. Вот некоторые задачи, которые помогут усвоить рассматриваемый материал:
- Пусть есть параллелепипед с прямыми сторонами. Его рёбра у основания равняются 19 и 20 сантиметрам. Размер же боковой грани составляет 10 сантиметров. Вычислить объём фигуры. Эта задача на одну формулу, все данные для подстановки в неё известны. Так, V = a * b * c = 19 * 20 * 10 = 3 800 см3 = 0,0038 м³.
- Пусть имеется параллелепипед с основанием 1 см на 1,2 см и высотой 0,8 см. Из него был удалено другое прямоугольное тело с размерами 0,3 x 0,55 x 0,5. Найти объём получившейся фигуры. Так как искомый параметр новой фигуры равен разнице изначального и удалённого объёмов, то зная формулу найти ответ не составит труда: V = 0,8 * 1 * 1,2 — 0,3 * 0,5 * 0,55 = 0,877 см3.
- Дан прямоугольный параллелепипед с вершинами ABCD и A1B1C1D1. Сравнить объём образованного в середине пирамиды AA1BD тела со значением фигуры. Для удобства решения стороны AB, AD, AA соответственно можно обозначить как x, y, z. Тогда объём прямоугольного тела будет равен Vп = Sп * AA1 = x * y * z. Если начертить условие на рисунке, то можно отметить, что площадь пирамиды вполовину меньше площади основания прямоугольника. То есть, Sabd = 0,5 * Sabd. Тогда V = Sabd * AA1 / 3 = x * y * z / 3 * 2 = x * y* z / 6. Значит, объём вписанной пирамиды меньше в шесть раз чем у фигуры.
- В гальванической ванне помещается три тысячи литров раствора. Высота наполнения ёмкости при этом достигает 75 сантиметров. В ванную поместили заготовку, после чего уровень поднялся на два сантиметра. Найти объём заготовки в метрах кубических. Итак, в одном кубическом метре содержится тысяча литров. Поэтому изначально в ёмкости было 3 м³ раствора. Значит, изначально в ванне раствор занимал: 3 = S * 75. Отсюда s = 3/75 = 1/25 см2. Объём детали составляет: V = S * 2 = (1/25) * 2 = 2 / 25 = 0,08 м³.
Использование калькулятора
Конечно же, на обычном калькуляторе объём прямоугольника не подсчитаешь. Разве что известны три его грани и формула нахождения параметра. Тогда нужно будет просто перемножить три числа. В других же случаях, когда нужно решить сложную задачу, связанную с громоздкими вычислениями, можно использовать математические сайты, имеющие название онлайн-калькуляторы.
Это интернет-сервисы, предлагающие своим пользователям бесплатно воспользоваться услугами по вычислению объёма геометрических фигур и выполнить другие математические операции. Для того чтобы воспользоваться сайтами-решателями, нужно иметь любой гаджет с возможностью подключения его к интернету и установленным на него веб-обозревателем.
После загрузки онлайн-калькулятора все действия пользователя сводятся к заполнению специальной формы в которую вносится условие задания. Конечно же, такое решение не может называться самостоятельным, но для проверки полученного результата или выявления ошибок в расчёте подходит идеально. Кроме, непосредственно автоматического вычисления объёма большинство сайтов содержат на своих страницах теоретический материал, а также примеры решений типовых заданий. Так что при обучении учащихся их использование на первых порах вполне оправданно.
Как найти объем через площадь
Объем – мера вместимости, выраженная для геометрических фигур в виде формулы V=l*b*h. Где l – длина, b – ширина, h – высота объекта. При наличии только одной или двух характеристик вычислить объем в большинстве случаев нельзя. Однако при некоторых условиях представляется возможным сделатьэто через площадь.
Задача первая: вычислить объем, зная высоту и площадь. Это самая простая задача, т.к. площадь (S) -это произведение длинны и ширины (S= l*b), а объем – произведение длины, ширины и высоты. Подставьте в формулу вычисления объема вместо l*bплощадь. Вы получитевыражение V=S*h.Пример: Площадь одной из сторон параллелепипеда — 36 см², высота – 10 см. Найдите объем параллелепипеда.V = 36 см² * 10 см = 360 см³.Ответ: Объем параллелепипеда равен 360 см³.
Задача вторая: вычислить объем, зная только площадь. Это возможно, если вы вычисляете объем куба, зная площадь одной из его граней. Т.к. ребра куба равны, то извлекая из значения площади квадратный корень, вы получите длину одного ребра. Эта длина будет и высотой, и шириной.Пример: площадь одной грани куба — 36 см². Вычислите объем.Извлекитеквадратный корень из 36 см². Вы получили длину – 6 см. Для куба формула будет иметь вид: V = a³, где а – ребро куба. Или V = S*a, где S – площадь одной стороны, а – ребро (высота) куба.V = 36 см² * 6 см = 216 см³. Или V = 6³см = 216 см³.Ответ: Объем куба равен 216 см³.
Задача третья: вычислить объем, если известна площадь и некоторые другие условия.Условия могут быть разные, помимо площади могут быть известны другие параметры. Длина или ширина могут быть равны высоте, больше или меньше высоты в несколькораз. Также могут даваться дополнительные сведения о фигурах, которые помогут в вычислениях объема.Пример 1: найдите объем призмы, если известно, что площадь одной стороны 60 см², длина 10 см, а высота равна ширине.S = l * b; l = S : b
l = 60 см² : 10 см = 6 см – ширина призмы. Т.к. ширина равна высоте, вычислите объем:
V=l*b*h
V = 10 см * 6 см *6 см = 360 см³Ответ:объем призмы 360 см³
Пример 2: найдите объем фигуры, если площадь 28 см², длина фигуры 7 см. Дополнительное условие: четыре стороны равны между собой, и соединены друг с другом по ширине.Для решения следует построить параллелепипед. l = S : b
l = 28 см² : 7 см = 4 см – ширинаКаждая сторона представляет собой прямоугольник, длина которого 7 см, а ширина 4 см. Если четыре таких прямоугольника соединить между собой по ширине, то получится параллелепипед. Длина и ширина в нем по 7 см, а высота 4 см. V = 7 см * 7 см * 4 см = 196 см³Ответ: Объем параллелепипеда = 196 см³.
Форма объекта и его линейные размеры определяют один из важных с геометрической точки зрения параметров — объём. Формула для прямоугольника, позволяющая его вычислить, довольно проста и основана на знании стороны и высоты. Но при решении не всегда известны значения рёбер фигуры, поэтому приходится использовать свойства параллелограмма, а именно — способы нахождения площади.
Общие сведения
По своей сути объём является количественной характеристикой пространства, которое занимает тело или вещество. Простыми словами, этот параметр показывает вместимость. В качестве единицы измерения, согласно СИ, принят кубический метр. За обозначение же объёма взята латинская буква V.
У тел, имеющих простую форму, характеристики находятся путём перемножения площади на высоту. Например, для куба он равен a3, прямоугольной призмы — h * b * a, пирамиды — (S * b * h) / 3. В эллипсоидных фигурах при расчётах используется радиус. Так, для конуса объём равен (p * R2 * h) / 3, сферы — (4 * p * R3) / 3, тора — 2 * p2 * R1 * R22.
Объём плоских фигур, таких как треугольник, круг, квадрат, прямоугольник, равен нулю. Но если их стороны или окружности имеют связанные с ними попарно параллельные линии, то они уже являются объёмными фигурами. Например, прямоугольник в пространстве называют параллелепипедом. Таким образом, чтобы найти объём прямоугольника, необходимо, чтобы он представлял собой прямоугольный параллелепипед, иначе действие будет бессмысленным.
Определить объём — значит, знать две основные величины фигуры:
- площадь — двумерная характеристика, определяющая размер фигуры,
- высоту — это длина перпендикуляра, опущенного из вершины на основание в трёхмерном пространстве.
Так как площадь измеряется в метрах квадратных, а высота просто в метрах, то перемножение площади и высоты как раз и даст единицу измерения объёма — метр кубический.
Решение задач
На самом деле вычисление объёма не только выполняют на уроках математики. Это знание востребовано в довольно многих специальностях и науках. Например, при строительстве, в архитектуре, инженерии, физике, химии. Поэтому знание нахождения параметра может пригодиться не только в школе. Теорию обязательно необходимо закреплять на практике. Вот некоторые задачи, которые помогут усвоить рассматриваемый материал:
- Пусть есть параллелепипед с прямыми сторонами. Его рёбра у основания равняются 19 и 20 сантиметрам. Размер же боковой грани составляет 10 сантиметров. Вычислить объём фигуры. Эта задача на одну формулу, все данные для подстановки в неё известны. Так, V = a * b * c = 19 * 20 * 10 = 3 800 см3 = 0,0038 м³.
- Пусть имеется параллелепипед с основанием 1 см на 1,2 см и высотой 0,8 см. Из него был удалено другое прямоугольное тело с размерами 0,3 x 0,55 x 0,5. Найти объём получившейся фигуры. Так как искомый параметр новой фигуры равен разнице изначального и удалённого объёмов, то зная формулу найти ответ не составит труда: V = 0,8 * 1 * 1,2 — 0,3 * 0,5 * 0,55 = 0,877 см3.
- Дан прямоугольный параллелепипед с вершинами ABCD и A1B1C1D1. Сравнить объём образованного в середине пирамиды AA1BD тела со значением фигуры. Для удобства решения стороны AB, AD, AA соответственно можно обозначить как x, y, z. Тогда объём прямоугольного тела будет равен Vп = Sп * AA1 = x * y * z. Если начертить условие на рисунке, то можно отметить, что площадь пирамиды вполовину меньше площади основания прямоугольника. То есть, Sabd = 0,5 * Sabd. Тогда V = Sabd * AA1 / 3 = x * y * z / 3 * 2 = x * y* z / 6. Значит, объём вписанной пирамиды меньше в шесть раз чем у фигуры.
- В гальванической ванне помещается три тысячи литров раствора. Высота наполнения ёмкости при этом достигает 75 сантиметров. В ванную поместили заготовку, после чего уровень поднялся на два сантиметра. Найти объём заготовки в метрах кубических. Итак, в одном кубическом метре содержится тысяча литров. Поэтому изначально в ёмкости было 3 м³ раствора. Значит, изначально в ванне раствор занимал: 3 = S * 75. Отсюда s = 3/75 = 1/25 см2. Объём детали составляет: V = S * 2 = (1/25) * 2 = 2 / 25 = 0,08 м³.
Использование калькулятора
Конечно же, на обычном калькуляторе объём прямоугольника не подсчитаешь. Разве что известны три его грани и формула нахождения параметра. Тогда нужно будет просто перемножить три числа. В других же случаях, когда нужно решить сложную задачу, связанную с громоздкими вычислениями, можно использовать математические сайты, имеющие название онлайн-калькуляторы.
Это интернет-сервисы, предлагающие своим пользователям бесплатно воспользоваться услугами по вычислению объёма геометрических фигур и выполнить другие математические операции. Для того чтобы воспользоваться сайтами-решателями, нужно иметь любой гаджет с возможностью подключения его к интернету и установленным на него веб-обозревателем.
После загрузки онлайн-калькулятора все действия пользователя сводятся к заполнению специальной формы в которую вносится условие задания. Конечно же, такое решение не может называться самостоятельным, но для проверки полученного результата или выявления ошибок в расчёте подходит идеально. Кроме, непосредственно автоматического вычисления объёма большинство сайтов содержат на своих страницах теоретический материал, а также примеры решений типовых заданий. Так что при обучении учащихся их использование на первых порах вполне оправданно.