Как найти объем прямой призмы задачи - AvtoShod.ru

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи по теме «Прямая и правильная призмы»

(blacktriangleright) Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.
Тогда:

1) боковые грани представляют собой прямоугольники;

2) боковое ребро является высотой призмы.

(blacktriangleright) Призма называется правильной, если она прямая и ее основания – правильные многоугольники.
Тогда:

боковые грани представляют собой равные прямоугольники.

Задание
1

#2859

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Дана правильная четырехугольная призма, диагональ которой равна (15), а диагональ основания равна (10sqrt2). Найдите площадь полной поверхности призмы.

Пусть (ABCDA_1B_1C_1D_1) – данная призма. Так как она правильная, то в основании лежит квадрат и она является прямой. Тогда (triangle
BB_1D) прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора [BB_1=sqrt{15^2-(10sqrt2)^2}=5.] Так как диагональ квадрата в (sqrt2) раз больше его стороны, то [AB=dfrac{BD}{sqrt2}=10.] Следовательно, [S_{text{пов-ти}}=2S_{ABCD}+4S_{AA_1D_1D}=2cdot 10^2+4cdot 10cdot 5=400.]

Ответ: 400

Задание
2

#2860

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дана прямая призма, в основании которой лежит равнобедренная описанная около окружности трапеция (ABCD) с боковой стороной, равной (5), и высотой, равной (3). Боковое ребро призмы равно (2). Найдите площадь полной поверхности призмы.

Пусть (AB=CD=5). Так как трапеция описанная, то суммы противоположных сторон равны, следовательно, (AD+BC=AB+CD=10). Следовательно, ее площадь равна [S_{ABCD}=dfrac{AD+BC}2cdot h=dfrac{10}2cdot 3=15.] Площадь боковой поверхности призмы равна [S’=(AB+BC+CD+AD)cdot AA_1=(10+10)cdot 2=40.] Следовательно, площадь полной поверхности равна [S_{text{пов-ти}}=40+15+15=70.]

Ответ: 70

Задание
3

#954

Уровень задания: Равен ЕГЭ

(ABCA_1B_1C_1) – правильная треугольная призма, (AB = sqrt[4]{3}), (AA_1 = sqrt[4]{27}). Найдите площадь полной поверхности призмы.

Площадь равностороннего треугольника со стороной (a) равна (dfrac{a^2sqrt{3}}{4}), тогда

[begin{aligned}
&S_{ABC} = S_{A_1B_1C_1} = dfrac{(sqrt[4]{3})^2sqrt{3}}{4} = dfrac{sqrt{3}cdotsqrt{3}}{4} = dfrac{3}{4},\
&S_{AA_1C_1C} = S_{CC_1B_1B} = S_{AA_1B_1B} = AA_1cdot AB = sqrt[4]{27}cdotsqrt[4]{3} = sqrt[4]{81} = 3.
end{aligned}]

Таким образом, площадь полной поверхности (ABCA_1B_1C_1) равна [2cdotdfrac{3}{4} + 3cdot 3 = 10,5.]

Ответ: 10,5

Задание
4

#1868

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В прямоугольной треугольной призме все боковые грани являются квадратами со стороной (10sqrt3). Найдите объем призмы.

У квадрата все стороны равны (Rightarrow) в основаниях призмы лежат равносторонние треугольники со сторонами, равными (10sqrt3).

Тогда площадь основания:
(displaystyle S_{text{осн.}} = frac{1}{2}cdot10sqrt3cdot10sqrt3cdotsin 60^circ = frac{1}{2}cdot10sqrt3cdot10sqrt3cdotfrac{sqrt3}{2} = 75sqrt3). Высота призмы равна стороне квадрата, тогда объем призмы: [10sqrt3cdot75sqrt3 = 2250.]

Ответ: 2250

Задание
5

#1869

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дана правильная треугольная призма. Площадь основания равна площади одной из боковых граней и равна (4sqrt3). Найдите объем призмы.

Так как призма является правильной, то в основаниях призмы лежат равносторонние треугольники, поэтому все боковые грани равны друг другу и являются прямоугольниками. Обозначим высоту призмы за (h), а сторону правильного треугольника за (x). Тогда найдем площадь основания:
(displaystyle S_{text{осн.}} = frac{1}{2}cdot x^2cdotsin 60^circ = frac{1}{2}cdot x^2cdotfrac{sqrt3}{2} = frac{sqrt3}{4}cdot x^2 = 4sqrt3) (Rightarrow) (x^2 = 16) (Rightarrow) (x = 4). Высоту выразим из формулы для площади боковой грани: (S = 4sqrt3 = xcdot h = 4cdot h) (Rightarrow) (h = sqrt3). Наконец, найдем объем призмы: [V = hcdot S_{text{осн.}} = sqrt3cdot4sqrt3 = 12.]

Ответ: 12

Задание
6

#3116

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В правильной четырехугольной призме (ABCDA_1B_1C_1D_1) известно, что (DB_1=2CD). Найдите угол между диагоналями (AC_1) и (B_1D). Ответ дайте в градусах.

Так как призма четырехугольная и правильная, то в основании лежит квадрат и она прямая. Следовательно, (AD=CD) и (DB_1=2AD).
Диагонали призмы пересекаются и точкой пересечения (O) делятся пополам, следовательно, (OD=frac12DB_1=AD). Так как призма правильная, то диагонали равны, значит, (AO=OD=AD). Следовательно, (triangle AOD) правильный и (angle AOD=60^circ). Это и есть угол между (DB_1) и (AC_1).

Ответ: 60

Задание
7

#3115

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В правильной треугольной призме (ABCA_1B_1C_1), все ребра которой равны (1), найдите угол между прямыми (AA_1) и (CB_1). Ответ дайте в градусах.

Для того, чтобы найти угол между прямыми, не лежащими в одной плоскости, нужно одну из прямых параллельно перенести в плоскость, в которой лежит вторая прямая. Заметим, что (BB_1parallel AA_1). Следовательно, угол между (AA_1) и (CB_1) равен углу между прямыми (BB_1) и (CB_1).
Так как все ребра призмы равны, то грань (BCC_1B_1) представляет собой квадрат, где (CB_1) – диагональ. Следовательно, (angle
BB_1C=45^circ).

Ответ: 45

Школьникам, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике, обязательно стоит научиться решать задачи на нахождение площади прямой и правильной призмы. Многолетняя практика подтверждает тот факт, что подобные задания по геометрии многие учащиеся считают достаточно сложными.

При этом уметь находить площадь и объем правильной и прямой призмы должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Только в этом случае они смогут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.

Основные моменты, которые стоит запомнить

Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, она называется прямой. Все боковые грани этой фигуры являются прямоугольниками. Высота прямой призмы совпадает с ее ребром.
Правильной является призма, боковые ребра которой перпендикулярны основанию, в котором находится правильный многоугольник. Боковые грани этой фигуры — равные прямоугольники. Правильная призма всегда является прямой.

Подготовка к единому госэкзамену вместе со «Школково» — залог вашего успеха!

Чтобы занятия проходили легко и максимально эффективно, выбирайте наш математический портал. Здесь представлен весь необходимый материал, который поможет подготовиться к прохождению аттестационного испытания.

Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию, основные формулы, теоремы и элементарные задачи с решением, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня.

Базовая информация систематизирована и понятно изложена в разделе «Теоретическая справка». Если вы уже успели повторить необходимый материал, рекомендуем вам попрактиковаться в решении задач на нахождение площади и объема прямой призмы. В разделе «Каталог» представлена большая подборка упражнений различной степени сложности.

Попробуйте рассчитать площадь прямой и правильной призмы или площадь боковой поверхности призмы прямо сейчас. Разберите любое задание. Если оно не вызвало сложностей, можете смело переходить к упражнениям экспертного уровня. А если определенные трудности все же возникли, рекомендуем вам регулярно готовиться к ЕГЭ в онлайн-режиме вместе с математическим порталом «Школково», и задачи по теме «Прямая и правильная призма» будут даваться вам легко.

УСТАЛ? Просто отдохни

Источник

Задача 1. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна а площадь поверхности равна

Решение: + показать

Задача 2. В правильной четырёхугольной призме известно, что Найдите угол между диагоналями и Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 3. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами и боковое ребро равно Найдите объем призмы.

Решение: + показать

Задача 4. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами и высота призмы равна Найдите площадь ее поверхности.

Решение: + показать

Задача 5. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами и Площадь ее поверхности равна . Найдите высоту призмы.

Решение: + показать

Задача 6. Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна Какой будет площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в два раза?

Решение: + показать

Задача 7. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны найдите угол между прямыми и . Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 8. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными и и боковым ребром, равным

Решение: + показать

Задача 9. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной и острым углом $60^{circ}.$ Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в $60^{circ}$ и равно Найдите объем параллелепипеда.

Решение: + показать

Задача 10. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна а высота —

Решение: + показать

Задача 11. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны а боковые ребра равны

Решение: + показать

Задача 12. В правильной шестиугольной призме все ребра равны . Найдите расстояние между точками и .

Решение: + показать

Задача 13. В правильной шестиугольной призме все ребра равны Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 14. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны найдите угол между прямыми и . Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 15. В правильной шестиугольной призме все ребра равны Найдите тангенс угла

Решение: + показать

Задача 16. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили см воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки см до отметки см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см

Решение: + показать

Задача 17. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение: + показать

Задача 18. Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 26, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.

Решение: + показать

Задача 19. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен Найдите объем исходной призмы.

Решение: + показать

Задача 20. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 12. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Задача 21. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами а боковые ребра равны и наклонены к плоскости основания под углом $30^{circ}.$

Решение: + показать

Задача 22. В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно и отстоит от других боковых ребер на и Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

Решение: + показать

Задача 23. В правильной треугольной призме стороны оснований равны боковые рёбра равны Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер , и и точку

Решение: + показать

Задача 24. В правильной треугольной призме стороны оснований равны боковые рёбра равны Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер и

Решение: + показать

Задача 25. Объём куба равен Построено сечение проходящее через середины рёбер и и параллельное ребру Найдите объём треугольной призмы

Решение: + показать

Задача 26. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки правильной треугольной призмы площадь основания которой равна а боковое ребро равно

Решение: + показать

Задача 27. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки правильной треугольной призмы площадь основания которой равна а боковое ребро равно

Решение: + показать

Задача 28. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки правильной шестиугольной призмы площадь основания которой равна а боковое ребро равно

Решение: + показать

Задача 29. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки правильной шестиугольной призмы площадь основания которой равна а боковое ребро равно

Решение: + показать

Вы можете пройти тест «Призма»

Источник

to continue to Google Sites

Not your computer? Use Guest mode to sign in privately. Learn more

Источник

Геометрия, 11 класс

Урок №12. Объемы прямой призмы и цилиндра

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Доказательство теорем об объемах прямой призмы и цилиндра

2) Определение призмы, вписанной в цилиндр и призмы описанной около цилиндра

3) Решение задач на нахождение объемов прямой призмы и цилиндра

V=Sh объем прямой призмы и цилиндра

Основная литература:

Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб.для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. Уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255, сс. 121-126.

Дополнительная литература:

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл.: учеб.для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 178-196.

Потоскуев Е.В., Звавич Л. И., Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 5-30.

Открытые электронные:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”. https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Цилиндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.

Прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, откуда следует, что все боковые грани являются прямоугольниками

Объем всякого цилиндра равен произведению площади основания на высоту

Объем призмы — это произведение площади ее основания на высоту

Призма вписана в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра.

Призма описана около цилиндра, если ее основания описаны около оснований цилиндра.

Высота любой призмы (вписанной в цилиндр или описанной около цилиндра), равна высоте самого цилиндра

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Найти объем прямой треугольной призмы высотой 6, в основании которой — прямоугольный треугольник с катетами 3 и 7.

Решение: Объем призмы вычисляется по формуле , т.к. в основании призмы – прямоугольный треугольник, то объем призмы будет вычисляться по формуле , где а и в – катеты треугольника. Подставляя все данные задачи в формулу, получаем ответ: .

№2. Найти объём правильной -угольной призмы, у которой каждое ребро равно а, если: а) n=3, б) n=4, в) n=6.

Решение: поскольку призма правильная, значит, это прямая призма и в основании лежит правильный многоугольник.

Формулу для вычисления объёма прямой призмы мы только что вывели . Поскольку, по условию все ребра призмы равны a, значит, высота призмы равна h=a. Осталось найти площадь основания.

Основанием правильной треугольной призмы является правильный, то есть равносторонний треугольник n=3. Площадь правильного треугольника со стороной f вычислить несложно, она равна .

Применяя формулу для вычисления объёма прямой призмы, получим, что объём правильной треугольной призмы равен .

Основанием правильной четырёхугольной призмы является квадрат n=4. Площадь квадрата со стороной a равна . Тогда объём правильной четырёхугольной призмы равен .

Основанием правильной шестиугольной призмы является правильный шестиугольник n=6. Своими большими диагоналями шестиугольник делится на 6 равносторонних треугольников. Площадь каждого из треугольников равна , значит, площадь правильного шестиугольника равна . Тогда объём правильной шестиугольной призмы равен .

Ответ 3/2 ед³

№3 Найди объём прямой призмы если =120°, АВ=5 см, ВС=3см и наибольшая из площадей боковых граней равна 35см² .

Решение: боковая грань прямой призмы является прямоугольником.

Площадь каждой боковой грани равна произведению высоты призмы на сторону основания.

То есть большая боковая грань содержит большую сторону основания.

По условию =120°, – тупой, а поскольку напротив большей стороны лежит больший угол, то большей стороной основания будет сторона АС. Вычислим длину стороны АС по теореме косинусов.

Получим, что длина стороны АС=7см.

Зная большую сторону основания и площадь наибольшей боковой грани призмы, длину высоты призмы вычислить нетрудно.

Получим, что длина высоты призмы равна .

Для нахождения объёма призмы, воспользуемся только что доказанной формулой . Площадь основания можно найти либо по формуле Герона , либо по формуле .

Мы воспользуемся второй формулой. Получим, что площадь основания равна .

Тогда объём прямой призмы равен .

Ответ 75/4 см³

Источник

Сегодня на уроке: мы выведем формулу для вычисления объёма прямой треугольной
призмы, произвольной прямой призмы, рассмотрим практическое применение этих
формул.

Прежде чем приступить к изучению новой темы, давайте
вспомним, что равные тела имеют равные объёмы и если тело составлено из
нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

Мы уже знаем, что объём прямоугольного
параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Ещё мы говорили, что:

Объём прямого параллелепипеда равен произведению
площади основания на высоту.

Объём прямой призмы, основанием которой является
прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

Сегодня мы поговорим про объём произвольной прямой
призмы.

Давайте сформулируем и докажем теорему: объём
прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

Доказательство.
Сначала докажем теорему для треугольной прямой призмы.

Рассмотрим прямую треугольную призму с объёмом и высотой . Проведём такую
высоту треугольника , которая
разделяет этот треугольник на два прямоугольных треугольника.

Легко увидеть, что в случае остроугольного
треугольника любая высота будет разбивать треугольник на два треугольника. В
случае прямоугольного или тупоугольного треугольников, найдется хотя бы одна
высота, которая разобьёт треугольник на два треугольника.

Плоскость разделяет
данную призму на две призмы, основаниями которых являются прямоугольные
треугольники и . А мы знаем,
что объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник,
равен произведению площади основания на высоту.

Тогда объёмы и соответственно
равны: и .

Тогда общий объём прямой треугольной призмы равен . Вынесем за
скобки и получим в
скобках сумму площадей треугольников , то есть
площадь треугольника . То есть мы
получили, что объём прямой треугольной призмы равен .

Теперь давайте докажем эту теорему для произвольной
прямой призмы с высотой и площадью
основания .

Такую призму нетрудно разбить на прямые треугольные
призмы с высотой .

Например, пятиугольную прямую
призму нетрудно разбить на три треугольные прямые призмы. Как вычислить объём
каждой из треугольных призм мы знаем, тогда для того, чтобы получить объём
пятиугольной прямой призмы, достаточно сложить объёмы всех треугольных прямых
призм . Вынесем общий
множитель за скобки, в
скобках получим сумму площадей оснований треугольных призм . А эта сумма
есть ничто иное, как площадь основания пятиугольной прямой призмы . То есть
получили, что объём прямой пятиугольной призмы тоже равен .

Если прямая призма не пятиугольная, а, например,
восьмиугольная, то доказательство проводится аналогично, просто разбивается она
не на три, а, например, на шесть треугольных прямых призм.

Таким образом, теорема доказана.

Решим несколько задач.

Задача:
найти объём правильной -угольной призмы, у которой каждое ребро равно , если: а) , б) , в) .

Решение:
поскольку призма правильная, значит, это прямая призма и в основании лежит
правильный многоугольник.

Формулу для вычисления объёма прямой призмы мы
только что вывели . Поскольку, по
условию все ребра призмы равны , значит, высота
призмы равна . Осталось найти
площадь основания.

Основанием правильной треугольной призмы является
правильный, то есть равносторонний треугольник . Площадь
правильного треугольника со стороной вычислить
несложно, она равна .

Применяя формулу для вычисления объёма прямой
призмы, получим, что объём правильной треугольной призмы равен .

Основанием правильной четырёхугольной призмы
является квадрат . Площадь
квадрата со стороной равна . Тогда объём правильной
четырёхугольной призмы равен .

Основанием правильной шестиугольной призмы является
правильный шестиугольник . Своими
большими диагоналями шестиугольник делится на 6 равносторонних треугольников.
Площадь каждого из треугольников равна , значит,
площадь правильного шестиугольника равна . Тогда объём
правильной шестиугольной призмы равен .

Задача:
найти объём прямой призмы если и наибольшая из
площадей боковых граней равна .

Решение:
боковая грань прямой призмы является прямоугольником.

Площадь каждой боковой грани равна произведению
высоты призмы на сторону основания.

То есть большая боковая грань содержит большую
сторону основания.

По условию – тупой, а
поскольку напротив большей стороны лежит больший угол, то большей стороной
основания будет сторона . Вычислим длину
стороны по теореме
косинусов.

Получим, что длина стороны .

Зная большую сторону основания и площадь наибольшей
боковой грани призмы, длину высоты призмы вычислить нетрудно.

Получим, что длина высоты призмы равна .

Для нахождения объёма призмы, воспользуемся только
что доказанной формулой . Площадь
основания можно найти либо по формуле Герона , либо по
формуле .

Мы воспользуемся второй формулой. Получим, что
площадь основания равна .

Тогда объём прямой призмы равен .

Задача:
наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна и составляет с
боковым ребром угол в °. Найти объём
призмы.

Решение:
построим правильную шестиугольную призму и проведём диагональ .

Тогда углом между диагональю и боковым ребром будет
угол . Рассмотрим . Поскольку
призма правильная, значит, перпендикулярно
основанию, значит, – прямоугольный
треугольник. По свойству катета, лежащего напротив угла в °, . По теореме
Пифагора нетрудно найти, что .

Теперь давайте найдём длину стороны основания
призмы.

Мы уже говорили, что правильный шестиугольник своими
большими диагоналями делится на 6 равносторонних треугольников, тогда одна
такая диагональ равна удвоенной стороне шестиугольника. Отсюда получим, что
сторона основания равна .

Площадь основания призмы будет равна .

Подставим полученные значения в формулу для
вычисления объёма и
получим, что объём правильной шестиугольной призмы равен .

Итоги:

Сегодня на уроке мы вывели формулу для вычисления
объёма прямой призмы. В ходе решения задачи вывели формулы для вычисления объёма
треугольной правильной призмы, четырёхугольной правильной призмы, шестиугольной
правильной призмы, со стороной основания и высотой . Решили
несколько задач с использованием этих формул.

Источник

Задачи по теме «Прямая и правильная призмы»

Основные моменты, которые стоит запомнить

Подготовка к единому госэкзамену вместе со «Школково» — залог вашего успеха!

Не пропустите также: