Как найти объем многогранника правильной треугольной призмы - AvtoShod.ru

Дорогие друзья! Для вас очередная статья с призмами. Имеется в составе экзамена такой тип заданий, в которых требуется определить объём многогранника. При чём он дан не в «чистом виде», а сначала его требуется построить. Я бы выразился так – его нужно «увидеть» в другом заданном теле.

Статья на с такими заданиями уже была на блоге, посмотрите. В представленных ниже заданиях даются прямые правильные призмы – треугольная или шестиугольная. Если совсем позабыли что такое призма, то вам сюда.

В правильной призме в основании лежит правильный многоугольник. Следовательно в основании правильной треугольной призмы лежит равносторонний треугольник, а в основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник.

При решении задач используется формула объёма пирамиды, рекомендую посмотреть информацию в этой статье. Так же будет полезно посмотреть статью с параллелепипедами, принцип решения заданий схож. Ещё раз посмотрите формулы, которые необходимо знать.

Объём призмы:

Объём пирамиды:

245340. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, А₁ правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁, площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Получили пирамиду с основанием АВС и вершиной А₁. Площадь её основания равна площади основания призмы (основание общее). Высота также общая. Объём пирамиды равен:

Ответ: 2

245341. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, А₁, С₁, правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Это пирамида с основанием АА₁С₁С и высотой равной расстоянию между ребром АС и вершиной В. Но в данном случае вычислять площадь этого основания и указанную высоту слишком долгий путь к результату. Проще поступить следующим образом:

Чтобы получить объём указанного многогранника необходимо из объёма данной призмы АВСА₁В₁С₁ вычесть объём пирамиды ВА₁В₁С₁. Запишем:

Ответ: 4

245342. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А₁, В₁, В, С, правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Чтобы получить объём указанного многогранника необходимо из объёма призмы АВСА₁В₁С₁ вычесть объёмы двух тел – пирамиды ABCА₁ и пирамиды CА₁В₁С₁. Запишем:

Ответ: 4

245343. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, A₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Это пирамида имеющая общее основание с призмой и высотой равной высоте призмы. Объём пирамиды будет равен:

Ответ: 4

245344. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, С, A₁, B₁, C₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Полученный многогранник является прямой призмой. Объём призмы равен произведению площади основания и высоты.

Высота исходной призмы и полученной общая, она равна трём (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть треугольника АВС.

Так как призма правильная, то в её основании лежит правильный шестиугольник. Площадь треугольника АВС равна одной шестой части этого шестиугольника, подробнее об этом посмотрите здесь (пункт 6). Следовательно площадь АВС равна 1. Вычисляем:

Ответ: 3

245345. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, D, E, A₁, B₁, D₁, E₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Полученный многогранник является прямой призмой.

Высота исходной призмы и полученной общая, она равна двум (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть четырёхугольника АВDЕ.

Так как призма правильная, то в её основании лежит правильный шестиугольник. Площадь четырехугольника АВDЕ равна четырём шестым этого шестиугольника. Почему? Подробнее об этом посмотрите информацию здесь (пункт 6). Следовательно площадь АВDЕ будет равна 4. Вычисляем:

Ответ: 8

245346. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, C, D, A₁, B₁, С₁, D₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Полученный многогранник является прямой призмой.

Высота исходной призмы и полученной общая, она равна двум (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть четырёхугольника АВCD. Отрезок AD соединяет диаметрально противоположные точки правильного шестиугольника, а это означает, что он разбивает его на две равные трапеции. Следовательно площадь четырёхугольника АВCD (трапеции) равна трём.

Вычисляем:

Ответ: 6

245347. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Полученный многогранник является пирамидой с основанием АВС и высотой ВВ₁.

*Высота исходной призмы и полученной общая, она равна трём (это длина бокового ребра).

Остаётся определить площадь основания пирамиды, то есть треугольника АВC. Она равна одной шестой площади правильного шестиугольника, являющегося основанием призмы. Вычисляем:

Ответ: 1

245357. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны корню из трёх.

Объём призмы равен произведению площади основания призмы и её высоты.

Высота прямой призмы равна её боковому ребру, то есть она уже нам дана – это корень из трёх. Вычислим площадь правильного шестиугольника лежащего в основании. Его площадь равна шести площадям равных друг другу правильных треугольников, при чём сторона такого треугольника равна ребру шестиугольника:

*Использовали формулу площади треугольника – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними.

Вычисляем объём призмы:

Ответ: 13,5

Что можно отметить особо? Внимательно стройте многогранник, не мысленно, а именно на листочке прорисуйте его. Тогда вероятность ошибки из-за невнимательности будет исключена. Запомните свойства правильного шестиугольника. Ну и формулы объёма, которые использовали важно помнить.

Решите две задачи на объём самостоятельно:

27084. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны √3.

Посмотреть решение

27108. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны 2√3 и наклонены к плоскости основания под углом 30⁰.

Посмотреть решение

На этом всё. Удачи!

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен, если расскажете о сайте в социальных сетях

Источник

На чтение 4 мин Просмотров 66.3к. Опубликовано 13 февраля, 2019

Здесь вы найдёте: Объем правильной треугольной призмы понятие, Объем призмы треугольной формула нахождения, Площадь треугольной призмы

Треугольная призма — это трехмерное тело, образованное соединением прямоугольников и треугольников. В этом уроке вы узнаете, как найти размер внутри (объем) и снаружи (площадь поверхности) треугольной призмы.

Содержание

Призма треугольная — определение
Элементы треугольной призмы
Виды треугольных призм
Прямая треугольная призма
Наклонная треугольная призма
Основные формулы для расчета треугольной призмы
Объем треугольной призмы
Площадь боковой поверхности призмы
Площадь полной поверхности призмы
Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.
Пример призмы
Задачи на расчет треугольной призмы

Призма треугольная — определение

Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.

Элементы треугольной призмы

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ являются основаниями призмы.

Четырехугольники A₁B₁BA, B₁BCC₁ и A₁C₁CA являются боковыми гранями призмы.

Стороны граней являются ребрами призмы (A₁B₁, A₁C₁, C₁B₁, AA₁, CC₁, BB₁, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.

Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).

Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.

Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.

Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы.

Виды треугольных призм

Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная.

У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.)

Прямая треугольная призма

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой.

Наклонная треугольная призма

Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной.

Основные формулы для расчета треугольной призмы

Объем треугольной призмы

Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы.

Объем призмы = площадь основания х высота

или

V=S_осн^. h

Площадь боковой поверхности призмы

Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту.

Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота

или

S_бок=P_осн^.h

Площадь полной поверхности призмы

Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности.

так как S_бок=P_осн^.h, то получим:

S_{полн.пов.}=P_осн^.h+2S_осн

Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Свойства призмы:

Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.
Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
Боковые ребра призмы параллельные и равны.

Совет: при расчете треугольной призмы вы должны обратить внимание на используемые единицы. Например, если площадь основания указана в см², то высота должна быть выражена в сантиметрах, а объем — в см³ . Если площадь основания в мм², то высота должна быть выражена в мм, а объем в мм³ и т. д.

Пример призмы

В этом примере:
— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.

Задачи на расчет треугольной призмы

Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:

V = 1/2 · 6 · 8 · 5 = 120.

Задача 2.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

Решение:

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = S_осн ·h.

Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S₂ = S₁k² = S₁2² = 4S₁.

Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.

Таким образом, искомый объём равен 20.

Источник

Download Article

It’s easy to assume that you’d calculate the volume of a triangular prism the same way you would for a pyramid. However, a triangular prism is a three-sided polyhedron with two parallel triangular bases and three rectangular faces. To calculate the volume, all you have to do is find the area of one of the triangular bases and multiply it by the height of the prism.

1
Find the height and width of a triangle base. Look at the triangle and write down the base width and height. For example, your triangle might have a base of 8 cm and a height of 9 cm.^[1]
- Keep in mind that you’re identifying the height of the triangle, not the entire prism.
- You can use either of the triangular bases, since they should have the same dimensions.
2
Plug the numbers into the formula to find the triangular area. Once you know the width and height of the triangle, put the numbers into the formula for calculating triangular area:^[2]
- Area = 1/2 x width x height. You might also see it written as $A={frac {1}{2}}bh$
Advertisement
3
Multiply 1/2 by width by height to get the area of the triangle. In order to find the area of the triangular base for the prism, multiply the width by the height by 1/2. Remember to put the answer in square units because you’re calculating area.^[3]
- For example, if the base is 8 and the height is 9, your formula will look like ${displaystyle A={frac {1}{2}}*8*9}$ . The area of the triangle is 36 cm ².

1
2
Identify the height of the prism and put it in the formula. Now you need to find the height of the triangular prism, which is the length of 1 of its sides. For example, the prism may be 16 cm high. Place this number in the place of the formula.^[5]
- For example, your formula should now look like .
3
Multiply the triangular area by the height of the prism to find the volume. Since you now have all the parts of the equation, multiply the area by the height. The result will be the volume of the triangular prism.^[6]
- So, if , the answer is 576 cm ³.

Triangular Prism Volume Calculator, Practice Problems, and Answers

Add New Question

Question

How do I calculate the area of a triangular prism?

To find the surface area of a triangular prism, you would find the area of all the faces, then add them together.
Question

How can I find the volume of a rectangular prism?

To find the volume of a rectangular prism, multiply the prism’s width, height, and length. V = w*h*l
Question

How do I find the volume of a square pyramid?

V = (1/3)(s²)(h), where s is the length of a side of the base, and h is the height.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Ensure that the units of measurement are the same for all parts of the triangular prism before you begin the calculation. For example, if 1 part of the prism is in millimeters and the rest is in centimeters, convert the millimeters to centimeters first.

Thanks for submitting a tip for review!

References

About This Article

Article SummaryX

To calculate the volume of a triangular prism, first you need to find the area of one of the triangular bases by multiplying ½ by the base of the triangle and by the height of the triangle. For example, if the base is 8 and the height is 9, you would get ½ x 8 x 9 = 36. Therefore, the area is 36. Next, plug the area into the formula for finding the volume of a triangular prism, which is V = b x h, or volume equals the area of the base multiplied by the height of the prism. Now, plug the height of the prism into the formula and solve. As an example, if the area of the triangular base is 36 and the height of the prism is 16, you would get 36 x 16 = 576. Therefore, the volume of the triangular prism is 576. Write your answer in cubic units. If you want to learn how to calculate the height of a regular triangle, keep reading!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 1,169,529 times.

Did this article help you?

Источник

Загрузить PDF

Некоторые люди полагают, что объем треугольной призмы вычисляется так же, как объем пирамиды. Но треугольная призма — это фигура с тремя боковыми прямоугольными гранями и двумя параллельными треугольниками, которые лежат в основаниях призмы. Чтобы вычислить объем, нужно найти площадь одного из треугольников в основании и умножить ее на высоту призмы.

1
Найдите высоту и основание треугольника. Основание — это сторона, на которую опущена высота треугольника. Например, основание треугольника равно 8 см, а высота 9 см.^[1]
- Имейте в виду, что здесь мы работаем с высотой треугольника, а не с высотой призмы.
- Если в основании призмы лежит равносторонний треугольник, в качестве основания можно выбрать любую сторону.
2
Подставьте известные значения в формулу, чтобы найти площадь треугольника. Если вам даны основание и высота треугольника, подставьте их в формулу для вычисления площади треугольника:^[2]
- Площадь = 1/2 х основание х высота. Формула записывается так: $S={frac {1}{2}}bh$
3
Умножьте 1/2 на основание и на высоту, чтобы найти площадь треугольника. Не забудьте записать ответ в квадратных единицах измерения, потому что вы вычислили площадь.^[3]
- В нашем примере b = 8 см, h = 9 см. Поэтому: ${displaystyle S={frac {1}{2}}*8*9}$ . Площадь треугольника равна 36 см².
Реклама

1
Подставьте найденное значение площади треугольника в формулу, чтобы найти объем призмы. Площадь треугольника — это одно из двух чисел, которые необходимы для вычисления объема призмы. В формуле S — площадь треугольника.^[4]
- В нашем примере: .
2
Определите высоту призмы и подставьте ее в формулу. Помните, что высота призмы равна ее боковому ребру. Например, ребро призмы равно 16 см. Подставьте это число вместо «h» в формулу .^[5]
- В нашем примере: .
3
Умножьте площадь треугольника на высоту призмы. Так вы найдете объем треугольной призмы.^[6]
- В нашем примере: = 576 см³.
Реклама

Советы

Перед тем как приступить к вычислению объема, убедитесь, что все величины даны в одинаковых единицах измерения. Например, если сторона треугольника дана в миллиметрах, а ребро призмы — в сантиметрах, сначала преобразуйте миллиметры в сантиметры.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 19 569 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, B 1, D 1 единичного куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Ответ: Искомый многогранник ABCB 1 D 1 составлен из двух треугольных пирамид с общим основанием. Он получается из куба отсечением трех треугольных пирамид. Его объем равен 0,5.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, A 1 правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является треугольная пирамида A 1 ABC. Ее объем равен 1/3.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, A 1, C 1 правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является треугольная пирамида C 1 ABA 1. Ее объем равен 1/3.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, E, F, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является шестиугольная пирамида A 1 ABCDEF. Ее объем равен 1/3.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является треугольная пирамида A 1 ABC. Ее объем равен 1/18.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является четырехугольная пирамида A 1 ABCD. Ее объем равен 1/6.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, E, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является пятиугольная пирамида A 1 ABCDE. Ее объем равен 5/18.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, A 1, B 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является четырехугольная пирамида СABB 1 A 1. Ее объем равен 1/9.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, A 1, B 1, C 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является треугольная призма ABCA 1 B 1 C 1. Ее объем равен 1/6.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, A 1, B 1, C 1, D 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является четырехугольная призма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Ее объем равен 1/2.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, D, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является треугольная пирамида A 1 ABD. Ее объем равен 1/9.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, C, E, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является треугольная пирамида A 1 ACE. Ее объем равен 1/6.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, B 1, C 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является треугольная пирамида C 1 ABB 1. Ее объем равен 1/18.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, С 1, D 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является треугольная пирамида D 1 ABC 1. Ее объем равен 1/18.

А B C D E F Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3. А1А1А1А1 C1C1C1C1 F1F1F1F1 E1E1E1E1 D1D1D1D1 B1B1B1B1 3 х 1 0 х В

2. 2. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3. А B C D E F А1А1А1А1 C1C1C1C1 D1D1D1D1 E1E1E1E1 F1F1F1F1 А BC Найдем площадь треугольника АВС и площадь 6-угольника. aa =sin B1B1B1B1

A BCD Найти это отношение можно исследуя геометрический чертеж, а не вычисляя площади. Шестиугольник – 6 треугольников. Треугольник АВС содержит 1 такой треугольник. А B C D E F А1А1А1А1 C1C1C1C1 D1D1D1D1 E1E1E1E1 F1F1F1F1 3 B1B1B1B1 3 S 6 = 6 3 х 1 0 х В

3. 3. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, D, E, B 1, C 1, D 1, E 1, правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 14. А B C D E F А1А1А1А1 C1C1C1C1 D1D1D1D1 F1F1F1F1 E1E1E1E1 B1B1B1B1 B CDE4 3 х 1 0 х В Площадь трапеции BCDE равна половине площади 6-угольника

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, D, E, A 1, B 1, D 1, E 1, правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания которой равна 14, а боковое ребро равно 3. А B C D E F А1А1А1А1 C1C1C1C1 F1F1F1F1 3 E1E1E1E1 B CDE Найдем площадь 6- угольника и прямоугольника. D1D1D1D1 B1B1B1B1 aa = – cos60 0 a 3 a

5. 5. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A 1, B 1, C 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 7. А B C D E F А1А1А1А1 C1C1C1C1 D1D1D1D1 E1E1E1E1 F1F1F1F1 А BC Найдем площадь треугольника АВС и площадь 6-угольника. aa =sin60 0 B1B1B1B1 77 7

A BCD Найти это отношение можно исследуя геометрический чертеж, а не вычисляя площади. Шестиугольник – 6 треугольников. Треугольник АВС содержит 1 такой треугольник. C1C1C1C1 А B C D E F А1А1А1А1 D1D1D1D1 E1E1E1E1 F1F1F1F1 B1B1B1B1 7 7 S 6 = х 1 0 х В 11 3, 5 5.

В А С С1С1С1С1 В1В1В1В Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A 1, B 1, В, С правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3. Искомый объем можно рассмотреть как разность объема треугольной призмы и двух пирамид. А1А1А1А1 3 х 1 0 х В 11 4

В А С С1С1С1С1 В1В1В1В Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, A 1, С 1 правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 D 1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2. Искомый объем можно рассмотреть как разность объема треугольной призмы и пирамиды A 1 B 1 C 1 B. А1А1А1А1 3 х 1 0 х В 11 4

А В С С1С1С1С1 А1А1А1А1 В1В1В1В Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, A 1 правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1, площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно х 1 0 х В 11 2

C D А B D1D1 C1C1 B1B1 A1A Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, C, B 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у которого АВ=3, АD=3, AA 1 = х 1 0 х В 11 4, 5 abS 2 1 = 33

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А 1, В, C, C 1, B 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у которого АВ=4, АD=3, AA 1 =4. D A B C A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 Получилась четырехугольная пирамида с основанием СВВ 1 С 1. Мне хочется опрокинуть параллелепипед на грань CBВ 1 C 1. C B B1B1 C1C1 A DD1D1 A1A х 1 0 х В

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, B 1, C 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у которого АВ=5, АD=3, AA 1 =4. C D A B D1D1 C1C1 B1B1 A1A1 Неудобный чертеж, т.к. не совсем ясен вид отсеченного многогранника. Мне хочется опрокинуть параллелепипед на грань ABВ 1 А 1. A B B1B1 A1A1 C DD1D1 C1C1 АВВ 1 С 1 – треугольная призма с основанием АВС и высотой В 1 С х 1 0 х В abS 2 1 = 54

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, C, D 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у которого АВ=4, АD=3, AA 1 =4. C D A B D1D1 C1C1 B1B1 A1A х 1 0 х В 11 8 abS 2 1 = 34

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, D, A 1, B, C, B 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у которого АВ=3, АD=4, AA 1 =5. D A В C A1A1 D1D1 C1C1 В1В х 1 0 х В Диагональное сечение делит параллелепипед на два равных многогранника. Равные фигуры имеют равные объемы.

Статья на с такими заданиями уже была на блоге, . В представленных ниже заданиях даются прямые правильные призмы – треугольная или шестиугольная. Если совсем позабыли что такое призма, то .

При решении задач используется формула объёма пирамиды, рекомендую посмотреть информацию .
Так же будет полезно с параллелепипедами, принцип решения заданий схож.
Ещё раз посмотрите формулы, которые необходимо знать.

Объём призмы:

Объём пирамиды:

245340. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, А
1 правильной треугольной призмы АВСА
1 В
1 С
1 , площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3.

Получили пирамиду с основанием АВС и вершиной А
1 . Площадь её основания равна площади основания призмы (основание общее). Высота также общая. Объём пирамиды равен:

Ответ: 2

245341. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, А 1 , С 1 , правильной треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 , площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Это пирамида с основанием АА
1 С
1 С и высотой равной расстоянию между ребром АС и вершиной В. Но в данном случае вычислять площадь этого основания и указанную высоту слишком долгий путь к результату. Проще поступить следующим образом:

Чтобы получить объём указанного многогранника необходимо из объёма данной призмы АВСА
1 В
1 С
1 вычесть объём пирамиды ВА
1 В
1 С
1 .
Запишем:

Ответ: 4

245342. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А 1 , В 1 , В, С, правильной треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Чтобы получить объём указанного многогранника необходимо из объёма призмы АВСА
1 В
1 С
1 вычесть объёмы двух тел – пирамиды ABCА
1 и пирамиды CА
1 В
1 С
1 . Запишем:

Ответ: 4

245343. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Это пирамида имеющая общее основание с призмой и высотой равной высоте призмы. Объём пирамиды будет равен:

Ответ: 4

245344. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, С, A 1 , B 1 , C 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Так как призма правильная, то в её основании лежит правильный шестиугольник. Площадь треугольника АВС равна одной шестой части этого шестиугольника, подробнее об этом (пункт 6). Следовательно площадь АВС равна 1.
Вычисляем:

Ответ: 3

245345. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, D, E, A 1 , B 1 , D 1 , E 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Так как призма правильная, то в её основании лежит правильный шестиугольник. Площадь четырехугольника АВDЕ равна четырём шестым этого шестиугольника. Почему? Подробнее об этом посмотрите (пункт 6). Следовательно площадь АВDЕ будет равна 4. Вычисляем:

Ответ: 8

245346. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, C, D, A 1 , B 1 , С 1 , D 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Полученный многогранник является прямой призмой.

Вычисляем:

Ответ: 6

245347. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Полученный многогранник является пирамидой с основанием АВС и высотой ВВ 1 .

*Высота исходной призмы и полученной общая, она равна трём (это длина бокового ребра).

Ответ: 1

245357. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны корню из трёх.

Объём призмы равен произведению площади основания призмы и её высоты.

Вычисляем объём призмы:

Ответ: 13,5

Решите две задачи на объём самостоятельно:

27108. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны 2√3 и наклонены к плоскости основания под углом 30 0 .

На этом всё. Удачи!

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен, если расскажете о сайте в социальных сетях

Источник задания: Решение 2943. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Ответ.

Задание 8.
Найдите объём
многогранника, вершинами которого являются вершины D, Е, F, D1, E1, F1
правильной
шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1,
площадь
основания которой равна 10, а боковое ребро равно 12.

Решение.

В
основании призмы лежит правильный шестигранник. Вершины DEF образуют
треугольник в основании призмы. Таких равных треугольников в основании призмы
ровно 6 (см. рисунок ниже).

Легко
показать, что площади треугольников AFO и FOD равны. Например,
высота треугольника AFO равна y/2 (синяя линия к
стороне FA на рисунке), а
основание FA=x. Тогда площадь AFO S=1/2∙x∙y/2=xy/4. По аналогии
площадь треугольника FOD. У него высота x/2, проведенная
к стороне FD=y. Получаем
площадь: S=1/2∙y∙x/2=xy/4. Также из
рисунка хорошо видно, что треугольники AFO и DOC равны, и отсальные
4 треугольника также равны. Поэтому площадь треугольника DEF равна 1/6 от площади
основания призмы: 10/6. В результате получаем объем многогранника.

Источник

Призма треугольная — определение

Элементы треугольной призмы

Виды треугольных призм

Прямая треугольная призма

Наклонная треугольная призма

Основные формулы для расчета треугольной призмы

Объем треугольной призмы

Площадь боковой поверхности призмы

Площадь полной поверхности призмы

Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Пример призмы

Задачи на расчет треугольной призмы

Triangular Prism Volume Calculator, Practice Problems, and Answers

References

About This Article

Did this article help you?

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Источник задания: Решение 2943. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Ответ.

Не пропустите также: