Как найти объем измерения в математике - AvtoShod.ru

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Урок и презентация на тему: «Математическая статистика, элементы статистики»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Скачать:
Математическая статистика, элементы статистики (PPTX)

Статистика, введение

Темой сегодняшнего урока будет математическая статистика.
Этот предмет занимается статистикой, используя различные математические методы. Математическая статистика — это самостоятельно развивающийся раздел математики, в котором существуют и свои уникальные способы решения различных задач.

Так чем же занимается и для чего нужна математическая статистика?
Предположим, что у учеников девятых классов измерили рост. Как представить полученные данные? Можно записать их в строчку друг за другом, можно разделить данные по классам, можно попробовать создать таблицу. Все эти способы довольно громоздки и неудобны. Будет сложно извлечь информацию из такого набора чисел. А теперь представьте, что измерили рост учеников девятых классов всех школ в городе. Количество измерений может перевалить за тысячу.
Математическая статистика занимается обработкой данных и представлением их в виде удобном для восприятия. Это только одна из задач статистики. Построение прогнозов и оценок; применение различных методов исследования; достоверность проведенных испытаний и многое другое — вот чем занимается статистика.

Как же обрабатывает информацию статистика?

Данные измерений упорядочивают и группируют.
Составляют таблицы распределений данных.
По таблицам строят графики распределений.
В итоге создается паспорт измерений, в котором собраны числовые характеристики полученной информации.

Давайте рассмотрим эти пункты.

Упорядочивание и группировка данных

Первое, что необходимо сделать при анализе данных, определить рамки, в которых находится исследователь. Выбираются наименьшее и наибольшее допустимые значения, которые могут не совпадать с полученными данными. Например, при измерении роста учеников, шансов, что кто-то будет ниже 140 сантиметров и выше 200 сантиметров очень мало. Если найдется такой вариант, то данные статистики можно подкорректировать.
При измерении роста могут получиться числа: 140,150,160,170,180,190,200 – это общий ряд данных, которые принято располагать в порядке возрастания. Общий ряд данных может быть и другим, например: 140,145,150,155,160,…,190,195,200. Как представить общий ряд данных зависит от конкретной задачи.

Пример. Составить общий ряд данных, включающих:
а) месяцы рождения одноклассников,
б) годов рождения родственников и друзей,
в) буквы, с которых начинается слово.
Решение.
а) Всего месяцев 12, если их перечислить по цифрам, то получим общий ряд: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.
б) Шанс, что кто-то из родственников старше 100 лет — мал, а что, кто-то родился в этом году — есть. Тогда общий ряд годов рождения можно составить так: 1910,1911,1912,…, 2009,2010,2011,2012,2013,2014.
в) Слово может начинаться с любой буквы алфавита, кроме ь, ы, ъ. Тогда возможны 30 вариантов, если их представить численным рядом, то получим: 1,2,3,4,…,28,29,30.

Понятие «общий ряд» не является строгим, в примере б) мы могли начать ряд с 1900 года, ряд так же назывался «общим».

При проведении эксперимента данные из общего ряда могут не встретиться. Вернемся к нашему примеру б) и рассмотрим конкретный случай.
Вова назвал года рождения родственников: 1935,1937,1960,1965,1980,1981,1997,2005.
Общий ряд представлял собой последовательность: 1910,1911,1912,…,2009,2010,2011,2012,2013,2014.
У Вовы встретились конкретные измерения, которые называются «вариантой измерения».
Варианта измерения – это возможный вариант проведенного измерения.
Если все варианты измерений перечислить по порядку, то получится ряд данных измерения.
Для нашего примера составим таблицу:

Пример. Выписать ряд, состоящий из букв, которые встречаются в словах: мама, папа, брат, сестра, бабушка, дедушка, тетя, дядя.
Решение. Ряд будет выглядеть так: а, б, д, е, к, м, п, р, с, т, у, ш, я. Встретились 13 букв из 33.
Некоторые буквы встречаются несколько раз, например, буква а – девять раз, другие – реже.

Определение. Если среди всех данных конкретного измерения одна из вариант встретилась ровно к раз, то число к называют кратностью измерения.
В этом примере буква а имеет кратность — 9.
Запишем кратности для каждой из букв:

Далее варианты нужно сгруппировать. Создадим сгруппированный ряд данных:
а,а,а,а,а,а,а,а,а,б,б,б,д,д,д,д,е,е,е,к,к,м,м,п,п,р,р,с,с,т,т,т,т,у,у,ш,шя,я,я.
Число повторений каждой варианты равно кратности варианты.

Составление таблицы распределения данных

Если сложить все кратности, получится количество всех данных измерения или объем измерения. Объем измерения равен количеству букв встречающихся в наших словах. Для проверки всегда складывают кратности, сумма должна равняться количеству элементов измерения.
Далее вычисляют частоту варианты.

Частота варианты=Кратность варианты/Объем измерения.

Составим таблицу частот измерений:

Сумма всех частот всегда равна единице, так как это сумма всех дробей с одинаковым знаменателем, а сумма всех числителей как раз и равна знаменателю. Для удобства, часто переводят частоты в проценты от объема измерения. Составим таблицу еще одну таблицу, каждую частоту в новой строке помножим на 100.

Графическое представление данных

Давайте построим графики функций распределения по таблицам. Договоримся, что вместо букв будем использовать цифры 1,2,3,…,13.
Тогда наша таблица примет вид:

По оси абсцисс отложим цифры, соответствующие буквам, а по оси ординат – значения частот появления варианта. Графическое изображение имеющейся информации – график распределения частот.
Таблица значений:

График распределения частот:

График распределения частот также называют полигоном распределения.
Давайте построим график распределения частот процентов. Его тоже называют полигоном распределения процентов.
Таблица значений.

Полигон распределения процентов:

Даже не большая по объему данных задача, представляет собой довольно таки утомительную процедуру подсчета и составления таблиц и графиков распределений.

Числовые характеристики данных измерения

Наши данные обладают уникальными числовыми характеристиками. Давайте определим некоторые из них.

Разность между максимальной и минимальной вариантой называют размахом измерения.

На наших графиках — это область определения (разность крайнего правого значения и крайнего левого значения на оси абсцисс). В нашем примере размах равен $13-1=12$.
Варианта, которая встречается чаще других, называется модой. В нашем примере это буква а или число 1, в зависимости от обозначения.
Если у нас есть таблица распределения частот, то в строчке частот ищем наибольшее число, и смотрим, какому варианту оно соответствует. На графике, это точка в которой достигается максимальное значение.
Наиболее важная характеристика – среднее значение (среднее арифметическое или просто среднее).
Чтобы найти среднее значение нужно:
а) Просуммировать все данные измерения.
б) Полученную сумму разделить на количество вариантов.

Для нашего примера найдем среднее значение:

$frac{1*9+2*3+3*4+4*3+5*2+6*2+7*2+8*2+9*2+10*4+11*2+12*2+13*3}{40}=5,775$.

Среднее значение можно найти другим способом:
а) Каждую варианту умножить на ее частоту.
б) Сложить получившиеся значения.

Подсчитаем этим способом:

1*0,225+2*0,075+3*0,1+4*0,075+5*0,05+6*0,05+7*0,05+8*0,05+9*0,05+10*0,1+11*0,05+12*0,05+13*0,075=5,775.

Давайте рассмотрим еще один пример.
На экзамене по математике 25 учеников 9 класса получили такие оценки:
5,4,3,3,5,4,3,3,4,4,5,5,2,2,5,5,5,3,3,4,5,5,4,3,2.
а) Составить общий ряд данных. Упорядочить и сгруппировать.
б) Составить таблицы распределения и распределения частот.
в) Построить графики распределения и распределения частот.
г) Найти среднее, моду, размах.
Решение.
Возможны такие оценки: 1,2,3,4,5 – общий ряд данных.
В нашем примере встречаются оценки: 2,3,4,5 – ряд данных, все числа в ряде – варианты измерений.
Составим сгруппированный ряд: 2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5.
б) Объем измерения равен 25, так как 25 оценок выставлено.
Составим таблицу:

в) Нарисуем графики:
Полигон распределения данных:

Полигон распределения частот:

Полигон распределения частот процентов:

Все графики похожи между собой, различия только в масштабе оси ординат.
г)Найдем среднее значение:
$2*0,12+3*0,28+4*0,24+5*0,36=0,24+0,84+0,96+1,8=3,81$.
Мода: чаще всего встречается оценка пять, она и будет модой.
Размах: $5-2=3$.

Задачи статистики для самостоятельного решения

1.На экзамене по математике 50 учеников 9 класса получили такие оценки:
5,3,4,4,5,4,3,2,4,3,5,1,2,3,5,4,5,3,3,4,5,5,4,3,1,3,4,5,4,3,2,2,1,4,4,5,5,4,4,5,3,3,3,2,1,5,4,3,2,5.
а) Составить общий ряд данных. Упорядочить и сгруппировать.
б) Составить таблицы распределения и распределения частот.
в) Построить графики распределения и распределения частот.
г) Найти среднее, моду, размах.

Источник

Статьи

Среднее общее образование

Геометрия

Математика

Объемы геометрических тел

Раньше для определения объемов геометрических тел традиционно использовались интегралы. Сегодня есть и другие подходы, которые подробно представлены в учебниках нашей корпорации. В одном из вебинаров Алексей Доронин рассказал о методах определения объема разных геометрических тел с помощью принципа Кавальери и других аксиом.

01 апреля 2019

Объемы геометрических тел

Раньше для определения объемов геометрических тел традиционно использовались интегралы. Сегодня есть и другие подходы, которые подробно представлены в учебниках нашей корпорации. В одном из вебинаров «Российского учебника» учитель высшей категории Алексей Доронин рассказал о методах определения объема разных геометрических тел с помощью принципа Кавальери и других аксиом.

Определение объема

Объем можно определить как функцию V на множестве многогранников, удовлетворяющую следующим аксиомам:

V сохраняется при движениях.
V удовлетворяет принципу Кавальери.
Если внутренности многогранников M и N не пересекаются, то V(M ∪ N) = V(M) + V(N).
Объем прямоугольного параллелепипеда V = abc.

Принцип Кавальери (итальянского математика, ученика Галилея). Если при пересечении двух тел плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, в сечениях этих тел любой из плоскостей получаются фигуры, площади которых относятся как m : n, то объемы данных тел относятся как m : n.

В открытом банке заданий ЕГЭ есть много задач для отработки этого способа определения объема.

Примеры

Задача 1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

Задача 2. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задача 3. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Разберем, как можно вычислять объемы изучаемых в школе фигур.

Объем призмы

В представленном случае известны площадь основания и высота призмы. Чтобы найти объем, используем принцип Кавальери. Рядом с призмой (Ф₂) поместим прямоугольный параллелепипед (Ф₁), в основании которого — прямоугольник с такой же площадью, как у основания призмы. Высота у параллелепипеда такая же, как у наклонного ребра призмы. Обозначим третью плоскость (α) и рассмотрим сечение. В сечении виден прямоугольник с площадью S и, во втором случае, многоугольник тоже с площадью S. Далее вычисляем по формуле:

V S_осн h

Математика. Геометрия. Углублённый уровень. 11 класс. Задачник.

Задачник является Частью УМК для 10-11 классов, предназначенного для изучения предмета на углубленном уровне, и содержит более 1000 задач разной степени трудности, помогающих изучению и усвоению материала, изложенного в учебнике.
Пособие соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту среднего (полного) общего образования.

Купить

Объем пирамиды

Лемма: две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики. Докажем это, используя принцип Кавальери.

Возьмем две пирамиды одинаковой высоты и заключим их между двумя параллельными плоскостями α и β. Обозначим также секущую плоскость и треугольники в сечениях. Заметим, что отношения площадей этих треугольников связаны непосредственно с отношением оснований.

V ₁/V₂ = 1 <=> V₁= V₂

Известно, что объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Данной теоремой апеллируют довольно часто. Однако откуда в формуле объема пирамиды появляется коэффициент 1/3? Чтобы понять это, возьмем призму и разобьем ее на 3 треугольные пирамиды:

V₁= V₂

V₂ = V₃

V_призмы S h = 3V

V = 1/3 Sh

Объем цилиндра

Возьмем прямой круговой цилиндр, в котором известны радиус основания и высота. Рядом поместим прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит квадрат. Рассмотрим:

V_цил = πh × R²

Объем конуса

Конус лучше всего сравнивать с пирамидой. Например, с правильной четырехугольной пирамидой с квадратом в основании. Две фигуры с равными высотами заключаем в две параллельные плоскости. Обозначив третью плоскость, в сечении получаем круг и квадрат. Представления о подобиях приводят к числу π.

S_Ф1/S_Ф2 = π

V_конуса = 1/3 πR² h

Объем шара

Объем шара — одна из наиболее сложных тем. Если предыдущие фигуры можно продуктивно разобрать за один урок, то шар лучше отложить на последующее занятие.

Чтобы найти объем шара, шар часто предлагается сравнить со сложным геометрическим телом, которое связано с конусом и цилиндром. Но не стоит строить цилиндр, из которого вырезан конус, или вроде того. Возьмем половину шара с высотой R и радиусом R, а также конус и цилиндр с аналогичными высотами и радиусами оснований. Обратимся к полезным материалам на сайте
«Математические этюды», где объем шара рассматривается с использованием весов Архимеда. Цилиндр располагается на одной стороне уравновешенных весов, конус и половина шара — на другой.

Заключаем геометрические фигуры в две параллельные плоскости и смотрим, что получается в сечении. У цилиндра — круг с площадью πR². Как известно, если внутренности геометрических тел не пересекаются, то объем их объединения равен сумме объемов. Пусть в конусе и в половине шара расстояние до плоскости сечения будет x. Радиус — тоже x. Тогда площадь сечения конуса — π ∙ x². Расстояние от середины верха половины шара к краю сечения — R. Площадь сечения половины шара: π(R² — x²).

Заметим, что: πR² + πR² — πR² = πR²

V_цил = πR² × R = πR³ = 1/3 R³ π + V_шара

V_шара = 4/3 πR³

Итак, чтобы найти объем нового, не изученного геометрического тела, нужно сравнить его с тем телом, которое наиболее на него похоже. Многочисленные примеры заданий из открытого банка задач показывают, что в работе с фигурами имеет смысл использовать представленные формулы и аксиомы.

#ADVERTISING_INSERT#

Источник

Загрузить PDF

Объем фигуры представляет собой занимаемое этой фигурой трехмерное пространство.^[1] Представьте себе объем как количество жидкости (или воздуха, или песка), которым можно заполнить данную фигуру. Объем измеряется в кубических единицах (мм³, см³, м³).^[2] Эта статья расскажет вам, как вычислять объем шести трехмерных фигур. Вы можете заметить, что многие формулы для вычисления объема схожи, что упрощает их запоминание.

1
Куб – это трехмерная фигура, которая имеет шесть одинаковых квадратных граней, то есть все ее стороны (ребра) равны.^[3]
- Например, игральная кость – это куб.
2
Формула нахождения объема куба: V = s³, где V — объем, а s — длина ребра.
- Возведение в куб аналогично следующему умножению: s³ = s * s * s
3
Найдите длину стороны (ребра) куба. Она будет дана в задаче или вам нужно измерить ее (линейкой или рулеткой). Так как ребра куба равны, измеряйте любое ребро.
- Если вы не уверены, что ваша фигура является кубом, измерьте каждую сторону, чтобы убедиться, что они равны. Если они не равны, перейдите к следующему разделу.
4

Подставьте длину ребра куба в формулу V = s³. Например, если ребро куба равно 5 см, напишите формулу следующим образом: V = 5³ = 5 * 5 * 5 = 125 см³ – это объем куба.
5

К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере ребро куба измерялась в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах. Если, например, сторона куба равна 3 см, то V = 3³ = 27см³.

Реклама

1
Прямоугольный параллелепипед или прямоугольная призма – это трехмерная фигура с шестью гранями, каждая из которых является прямоугольником (вспомните коробку из под обуви). ^[4]
- Куб – это частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все ребра равны.
2

Формула нахождения объема прямоугольного параллелепипеда или прямоугольной призмы: V = l*w*h, где V = объем, l = длина, w = ширина, h = высота.^[5]
3
Длина прямоугольного параллелепипеда – это самое длинное ребро верхней или нижней грани, то есть грани, на которой стоит параллелепипед (нижняя грань) или параллельной ей грани (верхняя грань). Длина будет дана в задаче или вам нужно измерить ее (линейкой или рулеткой).
- Пример: длина прямоугольного параллелепипеда равна 4 см, то есть l = 4 см.
- Не беспокойтесь о том, какие ребра выбрать в качестве длины, ширины и высоты. В любом случае в итоге вы получите правильный ответ (только измерьте три ребра, перпендикулярные друг другу).
4
Ширина прямоугольного параллелепипеда – это самое короткое ребро верхней или нижней грани, то есть грани, на которой стоит параллелепипед (нижняя грань) или параллельной ей грани (верхняя грань). Ширина будет дана в задаче или вам нужно измерить ее (линейкой или рулеткой).
- Пример: ширина прямоугольного параллелепипеда равна 3 см, то есть w = 3 см.
- Если вы измеряете ребра параллелепипеда линейкой или рулеткой, не забудьте измерить их в одинаковых единицах измерения. Не измеряйте одно ребро в миллиметрах, а другое в сантиметрах.
5
Высота прямоугольного параллелепипеда – это расстояние между его нижней и верхней гранями. Высота будет дана в задаче или вам нужно измерить ее (линейкой или рулеткой).
- Пример: высота прямоугольного параллелепипеда равна 6 см, то есть h = 6 см.
6
Подставьте найденные значения в формулу V = l*w*h.
- В нашем примере l = 4, w = 3 и h = 6. Поэтому V = 4*3*6 = 72.
7
К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере ребра измерялись в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах: 72 см³.
- Если в прямоугольной призме l = 2 см, w = 4 см, h = 8 см, то V = 2*4*8 = 64 см³
Реклама

1
Цилиндр – это трехмерная фигура, ограниченная цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее.^[6]
- Например, банка или батарейка АА имеют форму цилиндра.
2
Формула нахождения объема цилиндра: V = πr²h, где V — объем, h — высота, r – радиус основания и πr² — площадь основания цилиндра.
- В некоторых задачах ответ требуется представить с пи, а в некоторых вместо пи подставить 3,14.
- Формула для нахождения объема цилиндра на самом деле очень похожа на формулу вычисления объема прямоугольной призмы, то есть вы перемножаете высоту и площадь основания. В прямоугольной призме площадь основания равна l*w, а в цилиндре она равна πr².
3

Найдите радиус основания. Он, скорее всего, дан в задаче. Если дан диаметр, разделите его на 2, чтобы найти радиус (d = 2r).
4
Если радиус не дан, измерьте его. Для этого измерьте основание цилиндра при помощи линейки или рулетки. Измеряйте основание в его самой широкой части (то есть измерьте диаметр основания), а затем разделите полученное значение на 2, чтобы найти радиус.
- Другой вариант – измерьте длину окружности цилиндра (то есть измерьте обхват цилиндра) при помощи рулетки, а затем найдите радиус по формуле r = с/2π, где с – обхват (длина окружности) цилиндра (2π = 6,28).
- Например, если обхват цилиндра равен 8 см, то радиус будет равен 1,27 см.
- Если вам нужно точное измерение, вы можете использовать оба метода, чтобы убедиться, что значения радиуса совпадают (нахождение радиуса через длину окружности является более точным методом).
5
Вычислите площадь круглого основания. Для этого подставьте радиус в формулу πr².
- Если радиус основания равен 4 см, то площадь основания равна π4².
- 4² = 4 * 4 = 16. 16*π = 16*3,14 = 50,24 см²
- Если дан диаметр основания, то помните, что d = 2r. Вам нужно разделить диаметр пополам, чтобы найти радиус.
6

Найдите высоту цилиндра. Это расстояние между двумя круглыми основаниями. Высота будет дана в задаче или вам нужно измерить ее (линейкой или рулеткой).
7
Умножьте площадь основания на высоту цилиндра, чтобы найти его объем. Или же просто подставьте значения соответствующих величин в формулу V = πr²h. В нашем примере, когда радиус основания равен 4 см, а высота равна 10 см:
- V = π4²10
- π4² = 50,24
- 50,24 * 10 = 502,4
- V = 502,4
8

К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере все величины измерялась в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах: 502,4 см³.

Реклама

1
Пирамида – это трехмерная фигура, в основании которой лежит многоугольник, а грани являются треугольниками, имеющими общую вершину. ^[7] Правильная пирамида – это трехмерная фигура, в основании которой лежит правильный многоугольник (с равными сторонами), а вершина проецируется в центр основания.^[8]
- Обычно мы представляем пирамиду, имеющую квадратное основание, но в основании пирамиды может лежать многоугольник с 5, 6 или даже со 100 сторонами!
- Пирамида с круглым основанием называется конусом, который будет обсуждаться в следующем разделе.
2
Формула нахождения объема правильной пирамиды: V = 1/3bh, где b – площадь основания пирамиды, h – высота пирамиды (перпендикуляр, соединяющий основание и вершину пирамиды).
- Эта формула для вычисления объема пирамиды одинаково годна как для правильных пирамид (в которых вершина проецируется в центр основания), так и для наклонных (в которых вершина не проецируется в центр основания).
3
Вычислите площадь основания. Формула будет зависеть от фигуры, лежащей в основании пирамиды. В нашем примере в основании пирамиды лежит квадрат со стороной 6 см. Площадь квадрата равна s², где s – сторона квадрата. Таким образом, в нашем примере площадь основания пирамиды равна 6² = 36 см²
- Площадь треугольника равна 1/2bh, где h – высота треугольника, b – сторона, к которой проведена высота.
- Площадь любого правильного многоугольника можно вычислить по формуле: А = 1/2ра, где А – площадь, р – периметр фигуры, а – апофема (отрезок, соединяющий центр фигуры с серединой любой стороны фигуры). Для получения дополнительной информации о нахождении площади многоугольников прочитайте эту статью.^[9]
4

Найдите высоту пирамиды. Высота будет дана в задаче. В нашем примере высота пирамиды равна 10 см.
5
Умножьте площадь основания пирамиды на ее высоту, а затем разделите полученный результат на 3, чтобы найти объем пирамиды. Формула для вычисления объема пирамиды: V = 1/3bh. В нашем примере площадь основания равна 36, а высота равна 10, поэтому объем: 36*10*1/3 = 120.
- Если, например, дана пирамида с пятиугольным основанием площадью 26, а высота пирамиды равна 8, то объем пирамиды: 1/3*26*8 = 69,33.
6

К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере все величины измерялась в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах: 120 см³.

Реклама

1
Конус – это трехмерная фигура, которая имеет круглое основание и одну вершину. Или конус – это особый случай пирамиды с круглым основанием.^[10]
- Если вершина конуса находится непосредственно над центром круглого основания, то конус называется прямым; в противном случае конус называется наклонным. Но формула для вычисления объема конуса одинаковая для обоих типов конуса.
2
Формула для вычисления объема конуса: V = 1/3πr²h, где r – радиус круглого основания, h – высота конуса.
- b = πr² – это площадь круглого основания конуса. Таким образом, формулу для вычисления объема конуса можно записать так: V = 1/3bh, что совпадает с формулой нахождения объема пирамиды!
3
Вычислите площадь круглого основания. Радиус должен быть дан в задаче. Если дан диаметр основания, то помните, что d = 2r. Вам нужно разделить диаметр пополам, чтобы найти радиус. Для вычисления площади круглого основания подставьте радиус в формулу πr².
- Например, радиус круглого основания конуса равен 3 см. Тогда площадь этого основания равна π3².
- π3² = π(3*3) = 9π.
- = 28,27 см²
4

Найдите высоту конуса. Это перпендикуляр, опущенный из вершины к основанию пирамиды. В нашем примере высота конуса равна 5 см.
5

Перемножьте высоту конуса и площадь основания. В нашем примере площадь основания равна 28,27 см², а высота равна 5 см, поэтому bh = 28,27 * 5 = 141,35.
6
Теперь умножьте полученный результат на 1/3 (или просто разделите его на 3), чтобы найти объем конуса. В описанном выше шаге вы нашли объем цилиндра, а объем конуса всегда в 3 раза меньше объема цилиндра.
- В нашем примере: 141,35 * 1/3 = 47,12 – это объем конуса.
- Или: 1/3π3²5 = 47,12
7

К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере все величины измерялась в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах: 47,12 см³.

Реклама

1

Шар – это идеально круглая трехмерная фигура, каждая точка поверхности которой равноудалена от одной точки (центра шара). ^[11]
2

Формула для вычисления объема шара: V = 4/3πr³, где r – радиус шара.^[12]
3

Найдите радиус шара. Радиус должен быть дан в задаче. Если дан диаметр шара, то помните, что d = 2r. Вам нужно разделить диаметр пополам, чтобы найти радиус. Например, радиус шара равен 3 см.
4
Если радиус не дан, вычислите его. Для этого измерьте длину окружности шара (например, теннисного мяча) в его самой широкой части при помощи веревки, нити или другого подобного предмета. Затем измерьте длину веревки, чтобы найти длину окружности. Разделите полученное значение на 2π (или на 6,28), чтобы вычислить радиус шара.
- Например, если вы измерили мяч и нашли, что длина его окружности равна 18 см, разделите это число на 6,28 и получите, что радиус мяча равен 2,87 см.
- Проделайте 3 измерения окружности шара, а затем усредните полученные значения (для этого сложите их и сумму разделите на 3), чтобы убедиться, что вы получили значение, близкое к истинному.
- Например, в результате трех измерений длины окружности вы получили следующие результаты: 18 см, 17,75 см, 18,2 см. Сложите эти значения: 18 + 17,5 + 18,2 = 53,95, а затем разделите их на 3: 53,95/3 = 17,98. Используйте это среднее значение в расчетах объема шара.
5

Возведите радиус в куб (r³). То есть r³ = r*r*r. В нашем примере r = 3, поэтому r³ = 3 * 3 * 3 = 27.
6

Теперь умножьте полученный результат на 4/3. Вы можете использовать калькулятор или выполнить умножение вручную, а затем упростить дробь. В нашем примере: 27*4/3 = 108/3 = 36.
7
Умножьте полученный результат на π (3,14), чтобы найти объем шара.
- В нашем примере: 36*3,14 = 113,09.
8

К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере все величины измерялась в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах: 113,09 см³.

Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 74 810 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Объём — это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении тел трёхмерного евклидова пространства. Первые точные определения были даны Пеано (1887) и Жорданом (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

Для определения объёма существует несколько существенно различных подходов, которые дополняют друг друга и согласованы по конечному результату на «хороших множествах». Обычно под понятием объёма понимается мера Жордана, но иногда мера Лебега. Для римановых многообразий понятие объёма вводится аналогично понятию площади поверхности.

Все формулы объема геометрических тел

Объем куба

Куб

Объем куба равен кубу длины его грани.

Формула объема куба:

V = a ³

где:

V — объем куба,
a — длина грани куба.

Объем призмы

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы:

где:

V- объем призмы,
S_o — площадь основания призмы,
h — высота призмы.

Объем параллелепипеда

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Формула объема параллелепипеда:

где:

V- объем параллелепипеда,
S_o — площадь основания,
h — длина высоты.

Объем пирамиды

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S (ABCDE) на высоту h (OS).

Формула объема пирамиды:

где:

V — объем пирамиды,
S_o — площадь основания пирамиды,
h — длина высоты пирамиды.

Объем усеченной пирамиды

Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S₁(abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S₂ (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.

Формула объема усеченной пирамиды:

Где:

S1 — площадь верхнего основания усеченной пирамиды,
S2 — площадь нижнего основания усеченной пирамиды,
h — высота усеченной пирамиды.

Объем цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

Формула объема цилиндра:

V= π R²h

V= S_оh

Где:

V — объем цилиндра,
S_o — площадь основания цилиндра,
R — радиус цилиндра,
h — высота цилиндра,
π = 3.141592

Объем правильной треугольной пирамиды

Объем правильной треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного треугольника, являющегося основанием S (ABC) на высоту h (OS).

Формула объема правильной треугольной пирамиды:

Где:

V — объем пирамиды;
h — высота пирамиды;
a — сторона основания пирамиды.

Объем конуса

Объем круглого конуса равен трети произведения площади основания S на высоту H.

Формула объема конуса:

Где:

V — объем конуса;
R — радиус основания;
H — высота конуса;
I — длина образующей;
S — площадь боковой поверхности конуса.

Объем усеченного конуса

Объем усеченного конуса равен разности объемов двух полных конусов.

Формула объема усеченного конуса:

Где:

V — объем усеченного конуса;
H — высота усеченного конуса;
R и R²— радиусы нижнего и верхнего оснований.

Объем тетраэдра

Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.

Формула тетраэдра: