Привет! В этом уроке начнём знакомиться с таким видом деформации, как растяжение (сжатие). Обычно, с этой темы и начинают изучать сопротивление материалов — объясняются основные понятия, которые дальше используются на протяжении всего обучения.
Задание, которое будем рассматривать в этой статье, как правило, дается студентам в первую очередь в качестве домашней работы. После изучения материалов этого урока ты научишься строить следующие эпюры: продольных сил, нормальных напряжений, а также осевых перемещений поперечных сечений. Не пугайся мудрёных названий, на самом деле, все эти эпюры строятся очень просто!
Что же давай приступим к изучению!
Построение эпюры продольных сил
В качестве примера возьмём простенькую расчётную схему стержня (также часто ступенчатый стержень, который работает на растяжение или сжатие, называют брусом). Загрузим наш стержень сосредоточенными силами, вот так:
Теперь наша первостепенная задача – построить эпюру продольных сил. И давай сразу будем разбираться в терминологии.
Что такое эпюра?
Эпюра – это график, который принято строить для визуализации распределения какой-либо величины. В нашем случае, продольной силы.
Построив такой график, мы можем увидеть, где определённая величина достигает максимальных или минимальных значений, что может быть полезно при проведении прочностных расчётов и других. Кроме того, эпюры могут служить вспомогательными инструментами для построения других эпюр, о чём мы будем говорить далее.
Что такое продольная сила?
Продольная сила – это внутренняя сила, которая возникает в сечениях стержня, работающего на растяжение или сжатие под действием внешней нагрузки.
Расчёт эпюры продольных сил
Чтобы построить эпюру продольных сил, нужно разбить брус на несколько участков, где эпюра будет иметь постоянное значение. Конкретно, для этого стержня, границами участков служат те точки, где прикладываются сосредоточенные силы.
То есть для нашего примера, нужно рассмотреть всего 2 участка:
Важно! Эпюра продольных сил, никак не зависит от формы бруса, в отличие от других эпюр, которые будем дальше рассчитывать.
Правило знаков для продольных сил
Правило знаков для продольных сил следующее:
- если внешняя сила (F) растягивает брус, то продольная сила (N) в сечениях будет положительная;
- если внешняя сила (F) сжимает брус, то продольная сила (N) в сечениях будет отрицательная.
Расчёт продольных сил на участках
На первом участке сила F1 растягивает брус на величину 5 кН, поэтому на этом участке, продольная сила будет положительной и равной:
Откладываем это значение на графике — эпюре. Эпюры, принято заштриховывать перпендикулярно к нулевой линии, а также указывать знак продольной силы:
На втором же участке, помимо силы F1, также действует сила F2, которая сжимает брус, поэтому в уравнении ее нужно учесть со знаком «минус»:
Откладываем полученное значение на эпюре:
Расчёт реакции в жёсткой заделке
Прежде всего, следует разобраться с тем, что вообще такое реакция. Всё дело в том, что помимо внутренних усилий, возникающих внутри нагруженного элемента конструкции, в том месте, где закреплён этот элемент, также возникают некоторые силы (сила), которые являются реакцией на внешнюю нагрузку и удерживающие эту конструкцию в состоянии статического равновесия.
Например, стул на котором ты сейчас сидишь и давишь на него своим весом, сопротивляется, чтобы удерживать тебя в состоянии равновесия. Если переводить на язык сопромата, твой вес в этом случае это внешняя сила, а сила с которой стул реагирует на твой вес – это реакция опоры, равная по модулю этой силе, но противоположно направленная.
Так и в нашей конструкции, в жёсткой заделке, также возникает реакция! Осталось только научиться — определять эту силу. Так как она должна компенсировать всю нагрузку, которая приложена к стержню, условие равновесия для нашей схемы можно записать так:
То есть, так как система находится в состоянии равновесия, то сумма всех сил, действующих на конструкцию, будет равна нулю.
Из этого условия равновесия и найдём искомую реакцию. Приложим некоторую силу R в месте, где закреплён наш стержень, при этом направить её можно в любую сторону, хоть влево, хоть вправо, главное, чтобы она была направлена горизонтально, так как у нас вся нагрузка, направлена так, то и реакция в заделке будет возникать исключительно — горизонтальная:
Чтобы составить уравнение равновесия, введём продольную ось – x, относительно неё будем составлять это уравнение, при этом силы, которые будут совпадать с положительным направлением оси x, в уравнении будем учитывать с «плюсом», а противоположно направленные с «минусом»:
Находим из этого уравнения реакцию в заделке:
А теперь, давай обсудим, что можем делать с этим теперь. В нашей конкретной задаче реакция может помочь проверить эпюру продольных сил. Если в первом уроке, считали стержень, строго справа налево, то теперь, зная численное значение реакции, можно рассчитать стержень и слева направо. Или как минимум увидеть, что левый участок эпюры, был построен верно.
Да, можно было вполне обойтись, без расчёта этой реакции конкретно в этом случае. Но, чаще всего, решение задач по сопромату начинается как раз с определения реакций, потому что без этого в большинстве случаев, невозможно определить внутренние усилия, а тем самым произвести какие-либо дальнейшие расчёты. Но с этим мы ещё многократно будем сталкиваться в следующих уроках, особенно в задачах на изгиб.
Построение эпюры нормальных напряжений
В отличие от продольных сил, нормальные напряжения уже зависят от формы бруса, а если точнее, то от площади его поперечных сечений.
Формула для определения нормальных напряжений выглядит так:
Таким образом, чтобы найти нормальное напряжение в любом сечении бруса, нужно: продольную силу в этом сечении разделить на площадь сечения.
Нормальные напряжения, как и продольные силы, изменяются по одному закону в пределах участков. Однако, так как форма бруса сказывается на распределении нормальных напряжений, здесь границами участков также служат места изменения геометрии бруса. Таким образом, для нашей расчетной схемы, нужно рассмотреть три участка и вычислить напряжения, соответственно, 3 раза:
Будем считать, что по условию задачи нам известны все параметры бруса, включая площади поперечных сечений: на первом участке площадь поперечного сечения A1=2 см2, а на втором и третьем A2 = A3 = 4 см2.
Вычисляем напряжения на каждом участке:
По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений:
По полученной эпюре нормальных напряжений, можно определить те поперечные сечения, в которых напряжения будут максимальными (все сечения на участке 1), что полезно при проведении прочностного расчёта.
Построение эпюры осевых перемещений поперечных сечений
Под действием внешней нагрузки поперечные сечения бруса перемещаются вдоль продольной оси. Под нагрузкой брус может как удлиниться, так и укоротиться. И в этом разделе будем учиться определять эти перемещения.
Для начала подготовимся к расчету и расставим точки в характерных сечениях. Чтобы потом к ним привязываться по ходу решения:
Если для первых двух эпюр, расчет начинался справа налево, от свободного конца. То здесь нам нужно начать считать с закрепленного конца, с жесткой заделки и так как сечение A, закреплено жестко, то никакие перемещения этого сечения невозможны, поэтому сразу можем записать:
Эпюра перемещений так же, как и остальные эпюры, меняется по одному закону, в пределах участков. Поэтому, чтобы построить эпюру, достаточно определить эти перемещения в характерных точках.
Перемещение точки B будет складываться из перемещения предыдущего расчетного сечения:
А также удлинения (или укорочения) участка между расчетными сечениями:
В свою очередь, удлинение (или укорочение) любого участка, можно определить по следующей формуле:
Поэтому формулу, для нахождения перемещения сечения B, можно записать и в другом виде:
Подставив все численные значения, найдем искомое перемещение:
Откладываем полученное значение на эпюре:
Также важно отметить, что при вычислении удлинения или укорочения участка (Δl), фактически площадь эпюры продольных сил (ω) делится на жесткость при растяжении или сжатии (EA).
Это свойство нам еще пригодится, когда будем рассматривать более сложную задачу.
Для точек C и D перемещения находятся аналогичным способом, так же как и для точки B, поэтому подробно комментировать не буду, приведу решение.
Точка C
Точка D
Откладываем полученные значения на эпюре:
По полученной эпюре, можно увидеть — в какую сторону и насколько переместится любое поперечное сечение стержня. Наиболее интересной характеристикой здесь является перемещение сечения D, то есть перемещение свободного конца бруса или фактическое удлинение. Как видим, сечение D переместится вправо на величину WD (т. к. значение WD — положительное). То есть, под действием всей нагрузки брус удлинится на 0.575 мм.
Учёт распределённой нагрузки
А теперь предлагаю рассмотреть немного измененную задачу. Приложим к нашему брусу дополнительно распределенную нагрузку q с интенсивностью равной 2 кН/м. После чего рассчитаем и построим все те же эпюры: продольных сил, нормальных напряжений и перемещений.
Чтобы учесть распределенную нагрузку, необходимо интенсивность нагрузки (q) умножить на длину участка, на котором действует нагрузка. В чистом виде, только от распределенной нагрузки, эпюра продольных сил будет треугольная.
Расчет продольных сил
На первом участке, сила по-прежнему растягивает стержень, записываем ее в уравнение с «плюсом», а распределенная нагрузка сжимает, соответственно, ее учитываем с «минусом»:
Найдем значения продольной силы на границах первого участка:
Откладываем рассчитанные значения:
На втором участке, распределенная нагрузка будет действовать точно так же, как и сосредоточенная сила:
Рассчитываем продольную силу на третьем участке:
Строим окончательную эпюру продольных сил:
Расчет нормальных напряжений
Нормальные напряжения рассчитываются точно так же, как и для первой задачи, единственное отличие только в том, что на первом участке необходимо рассчитать напряжения два раза — на границах участка:
По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений:
Расчет перемещений
Для точек A, B и С перемещения рассчитываются аналогично, как в первой задаче:
Строим эпюру перемещений на втором и третьем участке:
Чтобы рассчитать удлинение на первом участке, нужно вычислить площадь эпюры продольных сил на этом участке и разделить на жесткость (EA):
Так как на этом участке, эпюра состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников, но по разные стороны от нулевой линии, с учетом знаков, ожидаемо, получим, что перемещение точки D, будет равно перемещению точки C.
Однако, необходимо учесть еще одну особенность. На участках, где действуют распределенные нагрузки, эпюры перемещений изменяются не по линейному закону, а по квадратичному.
То есть на участке с распределенной нагрузкой, эпюра перемещений всегда будет иметь либо выпуклость, либо вогнутость:
Чтобы понять, как же будет выглядеть эпюра перемещений, на участке с распределённой нагрузкой, нужно проанализировать эпюру продольных сил.
Как видим, начиная от точки C и до пересечения нулевой линии, эпюра продольных сил – отрицательна, а это значит, что эпюра перемещений, на этом отрезке, также должна убывать, как показано зелёной пунктирной линией. Поэтому изображаем эпюру перемещений следующим образом:
Но чтобы окончательно убедиться в верности наших рассуждений, можно также определить экстремум на эпюре перемещений (там, где эпюра достигает своего максимального значения). Или в той точке, где эпюра продольных сил пересекает нулевую линию:
Отмечаем найденное значение на эпюре перемещений:
3. Растяжение и сжатие
Растяжение или сжатие бруса вызывается действием внешних сил вдоль оси бруса. При растяжении в поперечных сечениях бруса (стержня) возникают только нормальные силы N. В предыдущем разделе были рассмотрены простейшие схемы растяжения (рис. 3.1,а) и сжатия (рис. 3.1,б) при испытании образцов.
Рис. 3.1
Принято, что при растяжении нормальная сила положительная (N>0) и направлена от сечения, а при сжатии нормальная сила отрицательная (N<0) и направлена к сечению. В рассматриваемых простых случаях при растяжении N = P (см. рис 3.1,а) и при сжатии N = — P (см. рис. 3.1,б). Рассмотрим определение нормальных сил в более сложных случаях.
Нормальная сила N в произвольном сечении стержня определяется по методу сечений. Рассмотрим нагружение стержня сосредоточенными силами и равномерной погонной нагрузкой qi = const (рис. 3.2,а).
Рис. 3.2
В произвольном сечении бруса на участке АB нормальная сила N определяется из условия равновесия отсеченной части (рис. 3.2,б). В данном случае отброшена правая часть стержня, так как в заделке предварительно реакция не определена. Нормальная сила направлена
35
(3.1)
от сечения, т.е. в положительном направлении. Уравнение равновесия имеет вид:
Σ Fz = 0 , —P1 + q1l1 – qz + N = 0 → N = P1 – ql1 + qz.
Выражение для N можно записать сразу, если придерживаться следующего правила: нормальная сила в сечении равна алгебраической сумме всех сил, действующих на оставшуюся часть стержня:
где Pi — сосредоточенные силы и равнодействующие распределенных нагрузок.
При этом внешняя сила условно считается положительной, если растягивает рассматриваемый участок, и отрицательной, если сжимает. Например, в выражении (3.1) сила Р1 и равнодействующая сила qz растягивают участок длиной z, а равнодействующая сила q1l сжимает
(см. рис. 3.2,б).
При z = 0 нормальная сила в сечении А равна: NA = P1— q1l1. При z = l нормальная сила в сечении В равна: NВ = P1— q1l1+ql.
Значения NА и NВ можно получить непосредственно в сечениях, расположенных справа и слева от границ участка АВ (см. рис. 3.2,а).
Если принять Р1 = 2Р, q1 = 2Р/ l, l1 = 0,5l, q = Р/ l, то NA = P, NB = 2P.
В соответствии с выражением (3.1) нормальная сила на участке АВ меняется по линейному закону. На рис. 3.3,а показана эпюра (график) нормальных сил на выделенном участке бруса.
Рис. 3.3
Рассмотрим равновесие элемента бруса длиной dz (рис. 3.3,б):
-N – qdz + (N + dN ) = 0.
После преобразований получим дифференциальную зависи-
|
мость при растяжении: |
|||
|
dN |
= q . |
(3.3) |
|
|
dz |
|||
36
Из этого выражения следует, что величина q = const определяет угол наклона прямой на эпюре N (см.рис. 3.3,а). Если распределенная нагрузка на участке отсутствует (q=0), то нормальные силы на этом участке не меняются, т.е. N = const (рис. 3.3,в). Отметим, что величина скачка на эпюре N равна значению сосредоточенной силы 4P, приложенной в сечении.
В общем случае для эпюры нормальных сил соблюдается прави-
ло скачков: в том сечении, где приложена сосредоточенная сила на эпюре N имеет место скачок на величину этой силы.
Изменение сечения бруса не влияет на величину N.
3.2. Основные зависимости при растяжении
Для решения любой задачи деформируемого тела (бруса) должны быть получены три типа зависимостей.
Кинематические зависимости связывают деформации и пере-
мещения при рассмотрении деформирования элемента бруса. В сопротивлении материалов эти зависимости, как правило, получаются с использованием гипотезы плоских сечений (гипотезы Бернулли).
Физические зависимости связывают напряжения и деформации (закон Гука).
Статические зависимости связывают напряжения и усилия в сечении бруса (уравнения равновесия).
Рассмотрим получение этих зависимостей при растяжениисжатии бруса.
Кинематические зависимости получим при рассмотрении деформирования выделенного элемента бруса длиной dz (рис. 3.4,а).
Рис. 3.4
В соответствии с гипотезой Бернулли левое сечение, оставаясь плоским, переместится на величину w, а правое сечение — на w + dw. Изменение длины элемента ∆ (dz) =(w + dw) – w = dw. Тогда линейная деформация ε =∆ (dz)/dz в пределах элемента равна:
37
|
ε == |
dw |
. |
(3.4) |
|
dz |
|||
|
Считаем, что напряженно-деформированное состояние элемента |
|||
|
однородно (рис. 3.4,б), поэтому закон Гука запишем в виде |
|||
|
σ = Eε . |
(3.5) |
Равнодействующая всех элементарных сил σ dF в сечении равна нормальной силе N (рис. 3.4,в). В итоге для всего сечения получим:
Как правило, придерживаются следующей схемы преобразования полученных зависимостей. С использованием кинематической зависимости (3.4) закон Гука записывается в виде:
|
σ == |
E |
dw |
. |
(3.7) |
|
dz |
Это выражение используется в статической зависимости (3.6):
|
N = |
∫ |
E |
dw |
dF . |
||||||||
|
F |
dz |
dw |
||||||||||
|
С |
учетом того, что для сечения Е=const и |
ε = |
= |
const , а |
||||||||
|
dz |
||||||||||||
|
∫ dF = |
F , после преобразований получим: |
|||||||||||
|
F |
||||||||||||
|
dw |
= |
N |
. |
(3.8) |
||||||||
|
dz |
||||||||||||
|
EF |
Дифференциальное уравнение (3.8) используется для определения перемещений сечений бруса.
Подставляя (3.8) в выражение (3.7), получим:
|
σ = |
N |
. |
(3.9) |
|
F |
Эта формула может быть получена и непосредственно из зависимости (3.6) с учетом равномерного распределения нормальных напряжений по сечению (σ = const, см. рис. 3.4,б).
Отметим, что формула (2.6) является частным случаем формулы (3.9) при N = Р и использовалась только для определения напряжений при растяжении образца.
3.3. Перемещения сечений стержня
Продольные перемещения сечений стержня определяются интегрированием дифференциального уравнения (3.8):
38
|
w = wо+∫ |
N dz |
, |
(3.10) |
|
EF |
где wo — постоянная интегрирования (перемещение сечения при z=0). Если учесть, что ε = σ /E = N/EF, то выражение (3.10) может быть
записано в виде:
Это выражение может быть получено и непосредственно интегрированием уравнения (3.4).
Часто необходимо определять перемещение wк концевого (к) сечения участка стержня, зная перемещение wн начального (н) сечения. Например, необходимо определить перемещение wк концевого сечения участка, на котором ε =N /EF = const (рис. 3.5,а). Воспользовавшись формулой (3.11) при wo = wн, получим:
|
Рис. 3.5 |
|
|
При z = l найдем перемещение концевого сечения участка: |
|
|
wк = wн + ∆ l; ∆ l = ∆ l , |
(3.13) |
где ∆ l — изменение длины участка.
Выражение для ∆ l может быть получено и из формулы (2.1), так как деформированное состояние участка бруса такое же, как рабочей части образца.
39
Соседние файлы в папке Книги и методические указания
- #
04.03.201414.07 Mб253Кочетов Сопротивление материалов.pdf
- #
Построение эпюр нормальной силы, нормальных напряжений и взаимного перемещения сечений
№ 1
Построить эпюры нормальной силы, нормальных напряжений и взаимного перемещения сечений. Определить работу внешних сил.
Дано : F=10 Н ; l=1 м ; A=10 см2.
Решение.
1. Вычислим продольные силы на участках стержня и построим эпюру N.
Нормальная сила Nz зависит от величины внешних сил, поэтому границами участков будут сечения, в которых приложены эти силы.
Пользуясь методом сечений, сделаем на каждом участке сечение и рассмотрим равновесие отсечённых частей. Из уравнений равновесия получим :
1 участок AB ; 0≤z1≤ℓ
N(z1)=—5F=-50 Н ;
2 участок BC ; ℓ≤z2≤2ℓ
N(z2)=-5F+7F=2F=-50+70=20 Н ;
3 участок CD ; 2ℓ≤z3≤3ℓ
N(z3)=—5F+7F-2F=0
По полученным значениям строим эпюры Nz. Для этого от вертикальной (базисной линии) откладываем значения N, причём положительные значения (со знаком «+») откладываем вверх, а отрицательные (со знаком «-») – вниз.
Эпюра N построена на рисунке.
2. Вычислим нормальные напряжения на участках стержня и построим эпюру σ по длине стержня.
Нормальные напряжения вычисляем по формуле :
σ=
На участке AB :
σ1=
Па=-0.05 МПа
На участке BC :
σ2=
Па=0.02 МПа
На участке CD :
σ3=
Эпюра нормальных напряжений построена на рисунке.
3. Вычислим деформации участков стержня и построим эпюру перемещений сечений стержня.
Вычислим деформации участков.
Участок AB :
Δℓ1=
м=-2.5×10—4 мм
где Е – модуль упругости (в задаче не задан) ; для стали Е=2×1011 Па
Знак «минус» означает, что участок сжимается.
Участок BC :
Δℓ2=
м=1×10—4 мм
Участок CD :
Δℓ3=
Найдём перемещения характерных сечений стержня. Перемещение любого сечение стержня равно сумме деформаций участков, расположенных между этим сечением и неподвижной опоры.
Перемещение сечения D : wD=0
Перемещение сечения C :
wC=wD+Δℓ3=0
Перемещение сечения B :
wB=wC+Δℓ2=0+1×10-4=1×10—4 мм
Перемещение сечения А :
wA=wB+Δℓ1=1×10-4—2.5×10-4=—1.5×10—4 мм
По вычисленным значениям w строится эпюра перемещений.
4. Определим работу внешних сил.
Для определения работы внешних сил воспользуемся формулой :
A=
где Ni – продольная сила в поперечном сечении бруса на участке i ; Ai и li — соответственно площадь поперечного сечения бруса на участке i и длина этого участка.
В нашем случае эта формула примет вид :
A=
Дж=7.25 мкДж.
Построение эпюр продольных сил – это решение статически определимой задачи. Производится для выявления картины нагрузки упругого тела. Вернее, уточнения ее схематизации.
Необходимо для определения наиболее напряженного, так называемого «опасного» сечения. Затем методами сопромата (сопротивления материалов) проводится анализ с прогнозированием перемещений элементов конструкции.
Но всему свое время. Сначала немного о терминах.
Основные понятия
Брусом (балкой) называют тело, вытянутое вдоль оси. То есть длина преобладает над шириной и высотой.
Если имеются только осевые (продольные) силы, то объект подвергается растяжению/сжатию. В этом случае в материале возникают только нормальные поперечному сечению силы противодействия и тело считают стержнем.
Статическая определимость подразумевает достаточность схемы для установления внутренних усилий противодействия. Участок – часть балки с неизменным сечением и характерной нагрузкой.
Правила построения учитывают знаки усилий. Растягивающие принимают положительными, сжимающие – отрицательными.
В системе СИ силы измеряются в ньютонах (Н). Длины в метрах (м).
Что такое эпюра продольных сил
Показывает, какой силой (в нашем предположении нормальной) загружен каждый участок. По всей длине стержня. Иначе говоря, эпюра – наглядное графическое изображение изменения нагрузки по всей длине конструкции.
Как построить эпюру продольных сил
Используется метод сечений. Балка виртуально рассекается на каждом участке и ищется противодействующая N. Ведь задача статическая.
Сопротивление рассчитывается по формуле:
где:
-
Fl – действующие на участке l силы (Н);
-
ql – распределенные нагрузки (Н/м).
Порядок построения:
1. Рисуется схема балки и механизмов закрепления;
2. Производится разделение на участки;
3. Для каждого рассчитывается N с учетом знаков. Если у балки есть незакрепленный конец, то начинать удобнее именно с него. В противном случае считается реакция опор. И оптимальнее выбирать сечение с меньшим количеством действующих факторов:
Нетрудно заметить, что последнее уравнение дает еще и реакцию опоры;
4. Параллельно оси стержня намечается база эпюры. Положительные значения масштабировано проставляются выше, отрицательные – ниже. Эпюру наглядно совмещать с расчетной схемой. Итоговый результат и промежуточные сечения показаны на рис. 1.
Рис. 1. Эпюра продольных сил
Рассмотрим случай:
F1 = 5 (кН);
F2 = 3 (кН);
F3 = 6 (кН).
Вычислим:
Проверить эпюру можно по скачкам: изменения происходят в точках приложения сил на их величину.
Пример построения эпюр и решения задач
Построить эпюру сил для следующего случая (рис. 2):
Рис. 2
Дано:
Решение.
Разбиение на участке вполне очевидно. Найдем сопротивление на выделенных:
Распределенная нагрузка зависит от длины, на которой приложена. Поскольку нарастает линейно, значение N2 будет постепенно увеличиваться/уменьшаться в зависимости от знака q.
Эпюра такого вида усилия представляет собой прямоугольный треугольник с катетами l3 и ql3 (в масштабе). Поскольку распределение линейно.
По полученным данным строим эпюру (рис. 3).
Рис. 3
Заключение
Приведенный алгоритм является предварительным этапом в расчете модели на прочность. «Слабое» место находится уже с учетом площади поперечного сечения.
В сети имеются онлайн сервисы для помощи в расчетах при вычерчивании. Но стоит ли ими пользоваться, если процедура настолько проста? Если не запутаться в знаках, конечно. Это самая распространенная ошибка.
Рассмотрим пример решения задачи по построению эпюр продольных сил N, напряжений и перемещений для стального ступенчатого стержня нагруженного растягивающими и сжимающими силами.
Задача
Для ступенчатого бруса, нагруженного силами F1 и F2, приложенными к середине участков длиной l1 и l2, требуется построить эпюры продольной силы, напряжений, перемещений и дать оценку прочности.
Исходные данные:
F1=200кН; F2=150кН;
A1=15см2; A2=10см2;
l1=80см; l2=40см;
Модуль Юнга: E=2×105МПа;
[σ]=160МПа.
Другие примеры решений >
Помощь с решением задач >
Решение задачи
Расчет опорной реакции
При заданных нагрузках в опорном сечении стержня возникает только осевая составляющая реакции – R.
Из уравнения равновесия:
откуда
Знак “-“ указывает на обратное по сравнению с принятым направление опорной реакции R.
Для решения поставленной задачи R можно было не определять, так как продольную силу в любом сечении можно вычислить, рассматривая только правую отсеченную часть бруса.
Построение эпюры продольных сил N
На рассматриваемом стержне три силовых участка – BC, CK и KM.
Для определения величины N по участкам воспользуемся методом сечений.
Вычисляем значения продольной силы на участках:
— участок BC
Или
— участок CK
или
— участок KM
или
По полученным данным строим эпюру N
Штриховка эпюр обычно производится перпендикулярно к базовой линии, ордината эпюры указывает значение продольной силы в соответствующем сечении бруса.
В поле эпюры, в кружочке проставляется её знак, а рядом с эпюрой — её обозначение и, в квадратных скобках, размерность.
Как видно из построенной эпюры N, в местах приложения сосредоточенных сил F1 и F2 (сечения C и K) имеют место скачки по модулю на величину этих сил.
Построение эпюры напряжений σ
Напряжения в поперечных сечениях вычисляются по формуле σ=N/A.
Характер изменения нормальных напряжений по длине бруса будет таким же, как для продольной силы. Только в месте резкого изменения формы бруса (сечение D) на эпюре σ, в отличие от эпюры N, возникает скачок значений из-за изменения площади сечения A.
Вычислим напряжения на участках:
По рассчитанным значениям строим эпюру σ
Построение эпюры перемещений δ
Перемещения характерных сечений определяются по зависимости
где
δ0 — перемещение начала участка;
Δ li — абсолютная деформация рассматриваемого участка.
Определяем абсолютные деформации отдельных участков стержня по формуле
Вычисляем перемещения характерных сечений
По результатам этих расчетов строим эпюру продольных перемещений
При этом необходимо учесть, что на участках без распределенной нагрузки эпюра δ меняется по линейному закону.
Проверка прочности стержня
Для оценки прочности бруса сравниваем максимальное по абсолютной величине значение напряжений с допускаемым
Условие прочности выполняется, недогрузка составляет
Другие примеры решения задач >
Краткая теория по сопромату >
Сохранить или поделиться с друзьями
Вы находитесь тут:
На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь
Подробнее