Как найти номинальную ставку процента формула

Умение рассчитать реальную и номинальную ставку процента может пригодиться как при получении кредита, так и в случае предоставления ссуды или инвестирования. Всего экономическая теория насчитывает 11 видов процентных ставок, которые отличаются друг от друга методикой расчета и случаями применения.

Классификация и виды процентных ставок

Процентные ставки принято классифицировать по трем признакам: изменяемость во времени, период выплаты дивидендов, уровень инфляции.

1. Фиксированная процентная ставка устанавливается один раз в определенном размере и со временем не может изменяться.
2. Плавающая процентная ставка отличается тем, что не остается на одном уровне и постоянно меняется. Как правило, ее размер связывают с уровнем инфляции или межбанковской ставкой.
3. Декурсивной называют процентную ставку, которая устанавливается в том случае, если проценты по кредиту выплачиваются в конце срока действия договора.
4. Антисипативная ставка является полным аналогом декурсивной. Все дело в том, что ее устанавливают при выплате дивидендов в начале срока кредитования. То есть заемщик, сначала выплачивает проценты по займу, а только потом основную сумму долга.
5. Уровень инфляции оказывает большое влияние на фактическую стоимость финансового инструмента. Именно для определения предполагаемой доходности рассчитывают реальную ставку.
6. Номинальная ставка рассчитывается с учетом капитализации процентов. Однако при ее вычислении исключается уровень инфляции.

Экономическая теория различает и иные виды процентных ставок, такие как безрисковую, форвардную, межбанковскую, эффективную и процентную ставку овернайт.

Понятие реальной и номинальной ставки процента

Реальная ставка процента представляет собой номинальную ставку с учетом предполагаемого уровня инфляции.

Номинальная ставка – это обратное значение реальному выражению. Она не включает в себя уровень инфляции и рассчитывается исключительно с учетом капитализации.

Важно обратить внимание на то, что реальная ставка значительно отличается от полной. Если первое выражение – это рыночная ставка, которая уменьшена на процент инфляции, то полной называют ставку, включающую все платежи по финансовому инструменту.

Важно! Как правило, реальную и номинальную ставку процента не рассчитывают по кредитам. Ее применяют в случае инвестирования или определения доходности по вкладам.

Отличие реальной процентной ставки от номинальной

Единственное отличие реальной процентной ставки от номинальной в том, что при расчете первого значения учитывается уровень инфляции.

Номинальная ставка применяется при определении доходности по финансовому инструменту, а реальная отражает уровень покупательской способности будущей прибыли.

Например, если сегодня инвестор положил на вклад 1 млн. рублей под 10% годовых на 5 лет, то в конце срока действия договора он получит 1,5 млн. рублей. В данном случае 10% — это и есть номинальная ставка. Но, как правило, с течением времени покупательская способность денег уменьшается. И то, что можно приобрести на 1,5 млн. сегодня, нельзя купить завтра. Для определения данного показателя и рассчитывается реальная ставка, которая вычисляется как разница между номинальной ставкой и процентом инфляции.

Допустим, что за 5 лет действия договора уровень инфляции составил 4%. 10% — 4% = 6% — это и есть реальная ставка, а фактическая доходность инвестора уже составит не 1,5 млн. рублей, а 1,2 млн. рублей. То есть, на руки он получит 1,5 млн. рублей, а сможет купить на них товаров только на 1,2 млн. руб., так как их стоимость со временем увеличилась.

Взаимосвязь между реальной и номинальной ставкой процента

Реальная и номинальная процентные ставки взаимосвязаны между собой. Соотношение четко прослеживается через уравнения, приведенные экономистом Ирвингом Фишером.

Так, для того, чтобы вычислить номинальную процентную ставку, к реальному значению прибавляют процент инфляции. А для расчета реальной ставки используют следующую формулу:

(1 + НС) / (1 + ПИ) — 1, или (НС – ПИ) / (1 – ПИ), где

НС – номинальная ставка;

ПИ – процент инфляции.

То есть первое арифметическое выражение будет равно второму.

Эффект Фишера

Взаимосвязь между реальной и номинальной процентной ставкой можно увидеть, ознакомившись с количественной теорией денег. Ирвинг Фишер предположил, что для избегания инфляции государство обязано контролировать объем денежной массы в экономике страны. Именно из-за недостатка регулирования возникает инфляция.

Важно! Номинальная ставка процента увеличивается пропорционально темпам инфляции.

Эффектом Фишера называют ситуацию, когда реальная ставка процента остается неизменной из-за соответствующего уровня инфляции. Более наглядно данное явление можно просмотреть на простом примере.

Допустим, что инвестор вложил 1 млн. рублей в перспективный проект под 10% годовых на 5 лет. Ожидаемый уровень инфляции составлял 5%. В таком случае номинальной ставкой будет 10%, а реальной – 5%. Но, фактическая инфляция составила 10%. Тогда и реальная ставка уменьшилась, а ее значение равно 0. То есть, получив прибыль от проекта в 10% годовых, покупательская способность дохода осталась неизменной. Инвестор мог бы приобрести такой же объем товаров 5 лет назад, что и сегодня.

Расчет реальной и номинальной ставки процента

Расчет реальной и номинальной ставки процента напрямую зависит от определения первого и второго показателя. Ведь, как говорит экономическая теория, реальная и номинальная ставки прямо взаимосвязаны между собой.

При вычислениях не стоит забывать и об уровне инфляции. Именно он оказывает влияние на конечное значение.

Расчет показателей рекомендуется начинать с вычисления эффективной процентной ставки. Для ее определения используется специальная формула. Она понадобиться для выявления номинальной ставки процента. С целью исключения ошибок рекомендуется использовать следующий алгоритм:

• рассчитать эффективную процентную ставку;
• найти число начислений за год;
• вычислить номинальную ставку, используя формулу.

С другой стороны, если известна реальная ставка процента, то найти номинальную можно иным путем. Для этого реальное значение уменьшают на уровень инфляции.

Расчет реальной ставки процента основан на применении теории Фишера. В таком случае она определяется по формуле, приведенной экономистом.

Формула для расчета реальной и номинальной ставки процента

Для расчета реальной и номинальной ставки процента понадобиться знать одно из значений. Каждый показатель вычисляют с применением формул.

Важно! Найти реальную ставку без предварительного вычисления номинальной невозможно.

Пример расчета реальной и номинальной ставки процента

Для того чтобы понять алгоритм вычисления реальной и номинальной ставки процента, произведем расчет показателей на примере по следующим условиям.

Инвестор вложил в проект 1 млн. рублей на 3 года под 10% годовых. Выплата дивидендов осуществляется каждый квартал, то есть за год вложенная сумма увеличиться 4 раза. Процент инфляции за 3 года составит 4%. Надо отметить, что в конце инвестирования предполагается получение дохода в размере 1,3 млн. рублей.

Вычисления начнем с определения номинальной ставки. Для ее нахождения используем формулу расчета эффективной ставки.

Пример расчета номинальной ставки процента

Номинальная ставка процента находится по формуле РС + ПИ, где РС – реальная ставка, ПИ – процент инфляции.

В связи с тем, что в данный момент реальная ставка неизвестна, в ходе вычисления показателя используем другое арифметическое выражение:

ЧН * ((1 + ЭС)^{1 / ЧН} – 1, где

ЧН – число начислений за год;

ЭС – эффективная ставка.

Эффективную ставку процента найдем по формуле (Зкп / Знп – 1) * 100, где Зкп, Знп – значения суммы инвестиций на конец и начало периода соответственно.

1,3 млн. руб. / 1 млн. руб. * 100 = 30%.

То есть, в год инвестор будет получать по 10% номинального дохода в размере 100 тыс. рублей.

Теперь можно найти номинальную ставку:

4 * ((1 + 0,3) ^{1 / 12} – 1 = 0,12 или 12%.

Таким образом, номинальная ставка процента с учетом капитализации составила 12%.

Пример расчета номинальной ставки процента

После того, как номинальная ставка процента найдена, можно приступать к расчету реальной. Для этого достаточно уменьшить первый показатель на процент инфляции, который по условиям задачи равен 4%.

12% — 4% = 8%.

Реальную ставку можно найти и другим путем, используя формулу (НС – ПИ) / (1 + ПИ), где ПИ – процент инфляции, а НС – номинальная ставка.

(12% — 4%) / (1 + 4%) = (0,12 – 0,04) / (1 + 0,04) = 0,077 или 7,7%.

Таким образом, реальная ставка составит 8%. Второй результат немного отличается от первого расчета. Все дело в том, что в ходе вычисления было использовано больше факторов, влияющих на реальную ставку, а ее значение получается более точное.

Проанализировав расчеты номинальной и реальной ставки можно сделать вывод о том, что фактическая доходность от инвестирования в проект средняя. Несмотря на то, что к окончанию срока договора покупательская способность прибыли снизится, инвестор получит доход, так как процент инфляции составит 4%, а реальная ставка 7,7%.

What Is Nominal Interest Rate?

Nominal interest rate refers to the interest rate before taking inflation into account. Nominal can also refer to the advertised or stated interest rate on a loan, without taking into account any fees or compounding of interest.

Understanding Nominal Interest Rate

Central banks set short-term nominal interest rates, which form the basis for other interest rates charged by banks and financial institutions. Nominal interest rates may be held at artificially low levels after a major recession to stimulate economic activity through low real interest rates, which encourage consumers to take out loans and spend money. However, a necessary condition for such stimulus measures is that inflation should not be a present or a near-term threat. In the United States, the federal funds rate, the interest rate set by the Federal Reserve, can also be referred to as a nominal rate.

Conversely, during inflationary times, central banks tend to set nominal rates high. Unfortunately, they may overestimate the inflation level and keep nominal interest rates too high. The resulting elevated level of interest rates may have serious economic repercussions, as they tend to stall spending.

Nominal interest rates exist in contrast to real interest rates and effective interest rates. Real interest rates tend to be important to investors and lenders, while effective rates are significant for borrowers as well as investors and lenders.

Although the nominal rate is the stated rate associated with a loan, it is typically not the rate that the consumer pays. Rather, the consumer pays an effective rate that varies based on fees and the effect of compounding. To that end, annual percentage rate (APR) differs from the nominal rate, as it takes fees into account, and annual percentage yield (APY) takes both fees and compounding into account.

The nominal interest rate (n) for a specified period, when the effective interest rate is known, can be calculated as:

n = m × [ ( 1 + e)^1/m — 1 ]

Where:

• e = effective rate
• m = number of compounding periods

However, most borrowers typically want to know the effective rate as the nominal rate is often the rate that is stated. The formula for effective interest rate (e) is:

e = (1 + n/m)^m — 1

Where:

• n = nominal rate
• m = number of compounding periods

For example, if a loan’s stated (nominal) rate is 8% and it’s compounded semi-annually then the effective interest rate (e) would be:

e = [1 + .08/2]² — 1 = 8.16%

Nominal vs. Real Interest Rates

Unlike the nominal rate, the real interest rate takes the inflation rate into account. The equation that links nominal and real interest rates can be approximated as nominal rate = real interest rate + inflation rate, or nominal rate — inflation rate = real interest rate.

To avoid purchasing power erosion through inflation, investors consider the real interest rate, rather than the nominal rate. One way to estimate the real rate of return in the United States is to observe the interest rates on Treasury Inflation-Protected Securities (TIPS). The difference between the yield on a Treasury bond and the yield on TIPS of the same maturity provides an estimate of inflation expectations in the economy.

For example, if the nominal interest rate offered on a three-year deposit is 4% and the inflation rate over this period is 3%, the investor’s real rate of return is 1%. On the other hand, if the nominal interest rate is 2% in an environment of 3% annual inflation, the investor’s purchasing power erodes by 1% per year.

Номинальные и эффективные процентные ставки.

В предыдущих
разделах рассматривались годовые
номинальные процентные ставки. В этом
разделе приводится общее определение
номинальной процентной ставки. Оно
связано с понятием эффективной процентной
ставки.

Определение.
Эффективная процентная ставка

за период h
единиц времени, начинающийся в момент
времени t
— это отношение дохода за время h
к сумме вложенных средств в начале
этого периода.

Если в момент
времени t
инвестирована сумма P_t
, а через время h
получена сумма S<sub>t
+ h</sub>,
то согласно определению,

.

Отсюда

. (1.39)

Если h
= 1, то
эффективная процентная ставка за единицу
времени
i_ef
(t)
совпадает с процентной ставкой i(t)
за единицу
времени в момент t.

Например, сложные
проценты начисляются ежемесячно по
ставке 1% на сумму вклада на 3 месяца.
Тогда 1 месяц — единица времени, процентная
ставка за единицу времени равна 1%, а
эффективная процентная ставка за 3
месяца равна (1,01³
– 1).

Пусть N
— целое число периодов длиной h
в сроке
долга. Тогда моменты t
= 0, 1, 2,…, N
– 1 можно рассматривать как моменты
вложения средств. Применяя формулу
(1.39) последовательно на каждом периоде
длиной h
в течение
всего срока T,
получим

,
(1.40)

где P₀
— сумма, вложенная в момент t
= 0. (1.40) можно рассматривать как формулу
наращения суммы P₀
по переменной эффективной ставке.

Если эффективная
ставка за период h
не зависит от момента времени t,
когда производится вложение средств,
т.е.

для всех t,
то сумма, вырученная к концу срока долга,
составит

. (1.41)

Формула (1.41)
представляет собой наращение по сложной
процентной ставке
за
период h.
При h
= 1 постоянная
эффективная процентная ставка за единицу
времени совпадает с обычной ставкой
сложных процентов i
за единицу
времени. Постоянную эффективную
процентную ставку за единицу времени
обозначают через i_ef.
Таким
образом, i_ef
=
i
. Как и (1.13), (1.41) остается верной для
нецелых значений N.
Формула (1.14), полученная ранее для
наращенной суммы долга по годовой
номинальной процентной ставке, является
частным случаем (1.41). Действительно,
если сложные проценты начисляются m
раз в году
через равные промежутки времени, то h
=
,
эффективная процентная ставка за

часть года равна
i^(m),
где i^(m)
— годовая номинальная процентная ставка.
Если срок долга n
лет, то N
= mn
и формула (1.41) приобретает вид (1.14).

В отличие от
эффективной, номинальную
процентную ставку как правило относят
к единице
времени.

Определение.
Процентная
ставка j_h(t)
называется номинальной процентной
ставкой за единицу времени по сделке
на срок h
> 0,
начинающейся в момент времени t,
если эффективной процентной ставкой
за период длины h,
начинающийся в тот же момент времени
t,
является величина h
j_h
(t).

Например, определим
годовую номинальную ставку, если
эффективная ставка за три месяца
составляет 3%. Здесь единица измерения
времени 1 год, h
= 0,25 года, t
— момент начала трехмесячной сделки.
Тогда по определению 0,03
= 0,25j_h(t).
Отсюда
годовая номинальная процентная ставка
j_h
(t)
= 0,12.

Таким образом,
согласно определению,
(t)
= hj_h(t).
При h
= 1 номинальная процентная ставка
совпадает с эффективной за единицу
времени, т.е. i_ef
(t)
= j₁(t).
Если номинальная процентная ставка по
сделке на срок h
является
постоянной и не зависит от t,
то пишут j_h
(t)
= j_h
для всех
t.
При этом
=
hj_h.
Формулы (1.39) — (1.41) для расчетов с
использованием номинальных процентных
ставок имеют вид:

. (1.42)

,
(1.43)

. (1.44)

Пример 1.11.
В августе 2001 года номинальные годовые
процентные ставки привлечения на депозит
Центрального Банка РФ рублевых вкладов
составляли в зависимости от срока:

1 день — 2,0 %

3 дня — 2,5 %

7 дней — 7,5 %

Вклады сроком на
1 день называют овернайт ( “overnight
money”).

Здесь единицей
измерения времени является один год, а
рассматриваемый момент времени, когда
производится вложение средств, обозначим
через t₀.
Составим следующую таблицу:

Срок h	1/365	3/365	7/365
jh ( t0 )	0,02	0,025	0,075

Накопление по
вкладу 1000 д.е. на срок, например, 7 дней
согласно формуле (1.42) равно

.

Накопление по
вкладу на срок 3 дня можно рассчитать
двумя способами — по формуле (1.42):

и по формуле (1.44),
если считать номинальную процентную
ставку для инвестиций на один день
постоянной:

.

Как видим, два
последних результата не совпадают. Это
можно объяснить тем, что Центральный
Банк предпочитает принимать вклады на
более длительный срок.

Определение.
Значение
предела δ(t)
номинальной процентной ставки j_h
(t),
когда срок сделки h
стремится к нулю, называется интенсивностью
процентов в единицу времени в момент
t.
Таким образом, согласно определению,

δ(t)
=
.
(1.45)

На
практике интенсивность процентов в
данный момент времени полагают
приблизительно равной годовой номинальной
процентной ставке по «overnight
money».
Понятие интенсивности процентов в
данный момент времени означает непрерывное
начисление сложных процентов. Поэтому
δ(t)
называют также процентной ставкой за
единицу времени при непрерывном
начислении процентов (силой роста). В
случае, когда интенсивность процентов
является постоянной величиной, т.е. δ(t)
= δ
для всех t,
проценты по постоянной силе роста δ
начисляются непрерывно с постоянной
скоростью (см. вывод формулы 1.15). Получим
формулу наращенной суммы долга при
непрерывном начислении процентов, когда
интенсивность процентов δ(t)
является функцией времени. Из формул
(1.42) и (1.45) имеем:

δ(t)
=

=
=

.

Таким образом,
требуется найти решение дифференциального
уравнения

=
δ(t),

удовлетворяющее
начальному условию S_t(t=0)
= P₀.
Получаем

.
(1.46)

В частном
случае, когда δ(t)
= δ
для всех t,
эта формула имеет вид:

,
(1.47)

что совпадает с
выражением (1.15), полученным раньше другим
способом.

На практике большое
значение имеет понятие годовой эффективной
процентной ставки при начислении
процентов m
раз в году. В этом случае годовая
эффективная процентная ставка определяется
следующим образом.

Определение.
Годовая
эффективная процентная ставка при
начислении процентов m
раз в году
i_ef
— это годовая ставка сложных процентов,
начисляемых 1 раз в году, эквивалентная
годовой номинальной процентной ставке
i
^(m).

Таким
образом, согласно определению, i_ef

= i,
где i
— годовая ставка сложных процентов,
начисляемых один раз в конце года, и
обеспечивающая
тот же финансовый результат, что и m
– разовое
начисление сложных процентов в году
по ставке

.
Если срок долга n
лет, то из эквивалентности процентных
ставок следует равенство множителей
наращения:

.

Отсюда

.
(1.48)

Согласно
определению
эффективной процентной ставки,
i
измеряет
реальный относительный доход, получаемый
в целом за год от начисления процентов.
Покажем это. Рассмотрим процесс накопления
процентов за 1 год. Сложные проценты
начисляются через равные промежутки
времени m
раз в году
в конце каждого периода длиной

по ставке
.
Проценты за первый период длиной

составят I₁
=
P₀.
Согласно свойству сложных процентов,
проценты I₁,
I₂,…,
I_m
за каждый период длиной

в году — члены геометрической прогрессии
с первым членом I₁
и знаменателем (1+)
(см. (1.11)).
Накопленные проценты за весь год равны
сумме
I(1)
= I₁
+ I₂
+…+ I_m.
По формуле суммы m
членов геометрической прогрессии
получаем

I(1)
= P₀.

Следовательно,
реальный относительный доход, получаемый
в целом за год от начисления процентов,
составляет

=

.

Тогда из (1.48) следует
i
=
.
Поэтому именно
годовая эффективная процентная ставка
i
рассматривается
инвесторами как показатель реальной
эффективности финансовой сделки.

Сравним i
и i
^(m).
Из формулы (1.48) имеем:

.

Так как m
≥ 1, то i
≥ i^(m).
Последнее неравенство можно объяснить,
используя свойства наращенной суммы
долга. Действительно, чем больше m,
тем быстрее
процесс наращения по номинальной
процентной ставке i^(m).
С другой стороны, чем больше процентная
ставка, тем быстрее процесс наращения.
Так как ставки i
и i^(m)
эквивалентны, то для достижения
одинакового результата наращения ставка
i
должна быть
больше.

Пример 1.12. Какой
эффективной процентной ставке
соответствует ежеквартальное начисление
сложных процентов по номинальной годовой
процентной ставке 13 %?

Здесь i⁽⁴⁾
= 0,13. По формуле (1.48) находим

.

Значит, реальный
относительный доход за год для инвестора
больше 13 % и составляет примерно 13,65 %.

Если
в контракте указаны требуемая годовая
эффективная процентная
ставка i
и число начислений процентов в году
m,
то из формулы (1.48) можно найти соответствующую
годовую номинальную процентную ставку:

.
(1.49)

Пример 1.13. В
контракте указана годовая эффективная
процентная ставка 20 %. Банк
начисляет проценты два раза в год. Какую
номинальную годовую процентную ставку
должен назначить банк?

По условию i
= 0,2; m
= 2. По формуле (1.49) находим

,

т.е.
.

Определим годовую
эффективную учетную ставку d_ef
при
начислении процентов m
раз в году
.

Определение.
Годовая
эффективная учетная ставка при начислении
процентов m
раз в году
d_ef
— это
годовая учетная ставка сложных процентов,
начисляемых и удерживаемых один раз в
году, эквивалентная годовой номинальной
учетной ставке d^(m).

Таким
образом, согласно определению, d_ef
= d,
где d
— годовая учетная ставка сложных
процентов, удерживаемых один раз в
начале года, обеспечивающая тот же
финансовый результат, что и m
–
разовое дисконтирование в году по ставке

.
Если срок долга n
лет, то из эквивалентности процентных
ставок следует равенство дисконтных
множителей:

.

Отсюда

.
(1.50)

Годовая эффективная
учетная ставка d
измеряет реальный относительный доход,
получаемый в целом за год при m
– разовом
дисконтировании в году. В этом можно
убедиться, рассматривая процесс
дисконтирования в течение одного года
и учитывая свойства сложных дисконтов.

Сравним d
и d
^(m).
Из формулы (1.50) имеем

Так как m
≥ 1, то d
≤ d^(m).
Последнее неравенство можно объяснить,
используя свойства современной величины
суммы долга. Действительно, чем больше
m,
тем медленнее
процесс дисконтирования по номинальной
учетной ставке d^(m).
С другой стороны, c
уменьшением процентной ставки процесс
дисконтирования замедляется. Так как
ставки d
и d^(m)
эквивалентны, то для достижения
одинакового результата дисконтирования
ставка d
должна
быть меньше.

Пример 1.14.
Какой годовой эффективной учетной
ставкой можно заменить в контракте
годовую номинальную учетную ставку 5 %
при поквартальном учете суммы погашаемого
долга ?

Здесь m
= 4, d⁽⁴⁾
= 0,05. По формуле (1.50) находим

=
0,04907.

Для участников
сделки безразлично, производить
дисконтирование 4 раза в году в начале
каждого квартала по ставке
=
0,0125 или один раз в начале года по ставке
0,04907. Финансовые обязательства сторон
сохраняются.

Если требуется
определить годовую номинальную учетную
ставку d^(m)
при заданных d
и m,
то из формулы (1.50) получаем

.
(1.51)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #