Наибольший общий делитель
4.3
Средняя оценка: 4.3
Всего получено оценок: 224.
4.3
Средняя оценка: 4.3
Всего получено оценок: 224.
Наибольший общий делитель – это еще один показатель, позволяющий упростить работу с дробями. Очень часто в результате вычислений получаются дроби с очень большими значениями числителя и знаменателя. Сокращать поэтапно такие числа можно, но это крайне долго, поэтому проще сразу найти НОД и сократить на него. Разберемся в теме подробнее.
Что такое НОД?
Наибольший общий делитель (НОД) ряда чисел – это наибольшее число, на которое можно без остатка разделить каждое из чисел ряда.
Это значение чаще всего используется для ряда из двух чисел. Просто потому, что сокращаются обычно два числа: числитель и знаменатель дроби. Нахождение НОД для большего количества значений не всегда оправдано, но вырабатывает навык.
Как найти НОД?
Для того, чтобы найти НОД необходимо каждое из чисел разложить на простые множители и выделить общую часть.
Специальной формулы для этого не придумали, зато есть алгоритм вычисления.
Приведем пример нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел: 540 и 252. Разложим 640 на простые множители. Последовательность действий такова:
- Делим число на наименьший из возможных простых чисел. То есть, если число можно разделить на 2, 3 или 5, то сначала нужно делить на 5. Просто, чтобы не запутаться.
- Получившийся результат делим на наименьшее из возможных простых чисел.
- Повторяем деление каждого полученного результата, пока не получим простое число.
Теперь проведем ту же процедуру на практике.
- 540 : 2=270
- 270:2=135
- 135 : 3 =45
- 45 : 3=15
- 15 : 5 = 3
Запишем результат в виде равенства 540=2*2*3*3*3*5. Для того, чтобы записать результат, нужно последнее получившееся число умножить на все делители.
Аналогично поступим с числом 252:
- 252 : 2=126
- 126: 2=63
- 63 : 3=21
- 21 : 3 = 7
Запишем результат: 252=2*2*3*3*7.
В каждом разложении есть одинаковые числа. Найдем их, это два числа 2 и два числа 3. Отличаются только 7 и 3*5.
Для того, чтобы найти НОД нужно перемножить общие множетели. То есть в произведении будет две двойки и две тройки.
НОД=2*2*3*3=36
Как можно это использовать?
Задача: сократить дробь $$252over540$$.
НОД для двух этих чисел мы уже находили, теперь просто воспользуемся уже посчитанным значением.
НОД = 36
Сократим числитель и знаменатель дроби на 36 и получим ответ.
$${252over540} ={7over15}$$ – чтобы быстро сократить, достаточно посмотреть на разложение чисел.
Если 540=2*2*3*3*3*5, а НОД=36=2*2*3*3, то 540 = 36*3*5. И если мы поделим 540 на 36, то получим 3*5=15.
Без НОД нам пришлось бы в одну длинную строку писать сокращения. К тому же, бывают случаи, когда непонятно, можно ли сократить дробь вообще. Для таких ситуаций в математике и придумали разложение чисел на простые множители и НОД.
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое наибольший общий делитель пары чисел, разобрались, как можно использовать показатель на практике, решили задачу на нахождение НОД и применение НОД для сокращения дробей. Поняли, что с использованием НОД можно проще и быстрее сократить громоздкие дроби, найдя НОД для числителя и знаменателя.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Пока никого нет. Будьте первым!
Оценка статьи
4.3
Средняя оценка: 4.3
Всего получено оценок: 224.
А какая ваша оценка?
Наибольшим общим делителем (НОД) двух целых чисел называется наибольший из их общих делителей. К примеру для чисел 12 и 8, наибольшим общим делителем будет 4.
Как найти НОД?
Способов найти НОД несколько. Мы рассмотрим один из часто используемых в математике — это нахождение НОД при помощи разложения чисел на простые множители. В общем случае алгоритм будет выглядеть следующим образом:
- разложить оба числа на простые множители (подробнее о разложении чисел на простые множители смотрите тут);
- выбрать одинаковые множители, входящие в оба разложения;
- найти их произведение.
Примеры нахождения наибольшего общего делителя
Рассмотрим приведенный алгоритм на конкретных примерах:
Пример 1: найти НОД 12 и 8
1. Раскладываем 12 и 8 на простые множители:
2. Выбираем одинаковые множители, которые есть в обоих разложениях. Это: 2 и 2
3. Перемножаем эти множители и получаем: 2 · 2 = 4
Ответ: НОД (8; 12) = 2 · 2 = 4.
Пример 2: найти НОД 75 и 150
Этот пример, как и предыдущий с легкостью можно высчитать в уме и вывести ответ 75, но для лучшего понимания работы алгоритма, проделаем все шаги:
1. Раскладываем 75 и 150 на простые множители:
2. Выбираем одинаковые множители, которые есть в обоих разложениях. Это: 3, 5 и 5
3. Перемножаем эти множители и получаем: 3 · 5 · 5 = 75
Ответ: НОД (75; 150) = 3 · 5 · 5 = 75.
Частный случай или взаимно простые числа
Нередко встречаются ситуации, когда оба числа взаимно простые, т.е. общий делитель равен единице. В этом случае, алгоритм будет выглядеть следующим образом:
Пример 3: найти НОД 9 и 5
1. Раскладываем 5 и 9 на простые множители:
Видим, что одинаковых множителей нет, а значит, что это частный случай (взаимно простые числа). Общий делитель — единица.
Как найти НОД
- Нахождение путём разложения на множители
- Алгоритм Евклида
Рассмотрим два способа нахождения наибольшего общего делителя.
Нахождение путём разложения на множители
Первый способ заключается в нахождении наибольшего общего делителя путём разложения данных чисел на простые множители.
Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно, разложить их на простые множители и перемножить между собой те из них, которые являются общими для всех данных чисел.
Пример 1. Найти НОД (84, 90).
Решение: Раскладываем числа 84 и 90 на простые множители:
Итак, мы подчеркнули все общие простые множители, осталось перемножить их между собой:
2 · 3 = 6.
Таким образом, НОД (84, 90) = 6.
Пример 2. Найти НОД (15, 28).
Решение: Раскладываем 15 и 28 на простые множители:
Числа 15 и 28 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель — единица.
НОД (15, 28) = 1.
Алгоритм Евклида
Второй способ (иначе его называют способом Евклида) заключается в нахождении НОД путём последовательного деления.
Сначала мы рассмотрим этот способ в применении только к двум данным числам, а затем разберёмся в том, как его применять к трём и более числам.
Если большее из двух данных чисел делится на меньшее, то число, которое меньше и будет их наибольшим общим делителем.
Пример 1. Возьмём два числа 27 и 9. Так как 27 делится на 9 и 9 делится на 9, значит, 9 является общим делителем чисел 27 и 9. Этот делитель является в тоже время и наибольшим, потому что 9 не может делиться ни на какое число, большее 9. Следовательно:
НОД (27, 9) = 9.
В остальных случаях, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел используется следующий порядок действий:
- Из двух данных чисел большее число делят на меньшее.
- Затем, меньшее число делят на остаток, получившийся от деления большего числа на меньшее.
- Далее, первый остаток делят на второй остаток, который получился от деления меньшего числа на первый остаток.
- Второй остаток делят на третий, который получился от деления первого остатка на второй и т. д.
- Таким образом деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель как раз и будет наибольшим общим делителем.
Пример 2. Найдём наибольший общий делитель чисел 140 и 96:
1) 140 : 96 = 1 (остаток 44)
2) 96 : 44 = 2 (остаток 
3) 44 : 8 = 5 (остаток 4)
4) 8 : 4 = 2
Последний делитель равен 4 — это значит:
НОД (140, 96) = 4.
Последовательное деление так же можно записывать столбиком:
Чтобы найти наибольший общий делитель трёх и более данных чисел, используем следующий порядок действий:
- Сперва находим наибольший общий делитель любых двух чисел из нескольких данных.
- Затем находим НОД найденного делителя и какого-нибудь третьего данного числа.
- Затем находим НОД последнего найденного делителя и четвёртого данного числа и так далее.
Пример 3. Найдём наибольший общий делитель чисел 140, 96 и 48. НОД чисел 140 и 96 мы уже нашли в предыдущем примере (это число 4). Осталось найти наибольший общий делитель числа 4 и третьего данного числа — 48:
48 : 4 = 12
48 делится на 4 без остатка. Таким образом:
НОД (140, 96, 48) = 4.
Наибольший общий делитель, НОД
Найти наибольший общий делитель двух чисел
НОД (a,b) — самое большое натуральное число, на которое делится и a и b.
Найдем НОД из примера
Делители числа 12 : 1, 2, 3 , 4, 6, 12.
Делители числа 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Общий делитель чисел 12 и 18 : 1, 2, 3, 6.
Наибольший из общих делителей — 6.
Значит, НОД (12, 18) = 6.
Пример
НОД (10, 50) = 10;
НОД (4, 94) = 2;
Схема нахождения НОД (a, b)
1. Разложить a и b на простые множители.
2. Подчеркнуть общие множители этих разложений.
3. Перемножить все подчеркнутые множители одного из чисел.
Пример
b = 96 = 2• 2• 2 • 2 • 2 • 3;
НОД (72, 96) = 2 • 2 • 2 • 3 = 24.
Пример
b = 3675 = 3 • 5 • 5 • 7 • 7;
НОД (630, 3675) = 3 • 5 • 7 = 105.
! Схема подходит и для нахождения НОД трех и более чисел.
Пример
105 = 3 • 5 • 7;
30 = 2 • 3 • 5;
НОД (220, 105, 30) = 5.
Найдем наибольший общий делитель другим способом
1. Разложим 2 числа (12 и 18) на простые множители;
2. Оставляем равные множители;
3. Находим произведение множителей первой и второй группы;
Аналогичным образом можно найти наибольший общий делитель для 3, 4, 5 и более чисел.