Содержание:
- Матрицы: основные определения и понятия
- Умножение матрицы на число
- Сложение и вычитание матриц
- Умножение матриц
- Транспонирование матрицы
- Минор и алгебраическое дополнение
- Вычисление определителя
- Нахождение обратной матрицы
- Нахождение ранга матрицы
Матрицы широко применяются в математике для
компактной записи СЛАУ или систем дифференциальных уравнений. Тогда количество
строк матрицы соответствует количеству уравнений системы, а количество столбцов равно количеству неизвестных. Матричный
аппарат позволяет свести решение громоздких СЛАУ к компактным
операциям над матрицами.
На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач.
Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию матриц и научиться решать задачи с ними.
Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по матрицам, прочитать
все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.
Примеры по темам:
- Матрицы: основные определения и понятия
- Умножение матрицы на число
- Сложение и вычитание матриц
- Умножение матриц
- Транспонирование матрицы
- Минор и алгебраическое дополнение
- Вычисление определителя
- Нахождение обратной матрицы
- Нахождение ранга матрицы
Матрицы: основные определения и понятия
Теоретический материал по теме — основные определения и понятия матриц.
Пример
Задание. Чему равен элемент $ a_{23} $
матрицы $ A=left( begin{array}{rrr}{1} & {4} & {0} \ {-1} & {3} & {7}end{array}right) $ ?
Решение. Находим элемент, который стоит на пересечении второй строки и третьего столбца:
Таким образом, $a_{23}=7$.
Ответ. $a_{23}=7$
Умножение матрицы на число
Теоретический материал по теме — умножение матрицы на число.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Пусть $A=left( begin{array}{r}{3} \ {-1}end{array}right)$ .
Найти матрицу 2$A$.
Решение. $2 A=2 cdot left( begin{array}{r}{3} \ {-1}end{array}right)=left( begin{array}{c}{2 cdot 3} \ {2 cdot(-1)}end{array}right)=left( begin{array}{r}{6} \ {-2}end{array}right)$
Ответ. $2 A=left( begin{array}{r}{6} \ {-2}end{array}right)$
Сложение и вычитание матриц
Теоретический материал по теме — сложение и вычитание матриц.
Пример
Задание. Найти $A+B$, если
$A=left( begin{array}{rrr}{1} & {-2} & {4} \ {2} & {0} & {-1}end{array}right)$,
$B=left( begin{array}{lll}{5} & {2} & {3} \ {4} & {6} & {2}end{array}right)$
Решение. $C=A+B=left( begin{array}{rrr}{1} & {-2} & {4} \ {2} & {0} & {-1}end{array}right)+left( begin{array}{lll}{5} & {2} & {3} \ {4} & {6} & {2}end{array}right)=$
$=left( begin{array}{rrr}{1+5} & {-2+2} & {4+3} \ {2+4} & {0+6} & {-1+2}end{array}right)=left( begin{array}{lll}{6} & {0} & {7} \ {6} & {6} & {1}end{array}right)$
Ответ. $C=left( begin{array}{lll}{6} & {0} & {7} \ {6} & {6} & {1}end{array}right)$
Пример
Задание. Найти матрицу $C=A-3 B$,
если $A=left( begin{array}{rr}{1} & {2} \ {2} & {-1} \ {3} & {0}end{array}right), B=left( begin{array}{rr}{-1} & {1} \ {1} & {2} \ {0} & {0}end{array}right)$
Решение. $C=A-3 B=left( begin{array}{rr}{1} & {2} \ {2} & {-1} \ {3} & {0}end{array}right)-3 cdot left( begin{array}{rr}{-1} & {1} \ {1} & {2} \ {0} & {0}end{array}right)=$
$left( begin{array}{rr}{1} & {2} \ {2} & {-1} \ {3} & {0}end{array}right)-left( begin{array}{rr}{-3} & {3} \ {3} & {6} \ {0} & {0}end{array}right)=left( begin{array}{cc}{1-(-3)} & {2-3} \ {2-3} & {-1-6} \ {3-0} & {0-0}end{array}right)=left( begin{array}{rr}{4} & {-1} \ {-1} & {-7} \ {3} & {0}end{array}right)$
Ответ. $C=left( begin{array}{rr}{4} & {-1} \ {-1} & {-7} \ {3} & {0}end{array}right)$
Умножение матриц
Теоретический материал по теме — умножение матриц.
Пример
Задание. Вычислить $A B$ и $B A$,
если $A=left( begin{array}{rr}{1} & {-1} \ {2} & {0} \ {3} & {0}end{array}right), B=left( begin{array}{ll}{1} & {1} \ {2} & {0}end{array}right)$
Решение. Так как $A=A_{3 times 2}$ , а
$B=B_{2 times 2}$ , то произведение возможно и результатом операции умножения будет матрица
$C=C_{3 times 2}$ , а это матрица вида $C=left( begin{array}{cc}{c_{11}} & {c_{12}} \ {c_{21}} & {c_{22}} \ {c_{31}} & {c_{32}}end{array}right)$ .
Вычисли элементы матрицы $C$ :
$ c_{11}=a_{11} cdot b_{11}+a_{12} cdot b_{21}=1 cdot 1+(-1) cdot 2=-1 $
$ c_{12}=a_{11} cdot b_{12}+a_{12} cdot b_{22}=1 cdot 1+(-1) cdot 0=1 $
$ c_{21}=a_{21} cdot b_{11}+a_{22} cdot b_{21}=2 cdot 1+0 cdot 2=2 $
$ c_{22}=a_{21} cdot b_{12}+a_{22} cdot b_{22}=2 cdot 1+0 cdot 0=2 $
$ c_{31}=a_{31} cdot b_{11}+a_{32} cdot b_{21}=3 cdot 1+0 cdot 2=3 $
$ c_{31}=a_{31} cdot b_{12}+a_{32} cdot b_{22}=3 cdot 1+0 cdot 0=3 $
Итак, $C=A B=left( begin{array}{rl}{-1} & {1} \ {2} & {2} \ {3} & {3}end{array}right)$ .
Выполним произведения в более компактном виде:
$=left( begin{array}{rrr}{1 cdot 1+(-1) cdot 2} & {1 cdot 1+(-1) cdot 0} \ {2 cdot 1+0 cdot 2} & {2 cdot 1+0 cdot 0} \ {3 cdot 1+0 cdot 2} & {3 cdot 1+0 cdot 0}end{array}right)=left( begin{array}{rr}{-1} & {1} \ {2} & {2} \ {3} & {3}end{array}right)$
Найдем теперь произведение $D=B A=B_{2 times 2} cdot A_{3 times 2}$. Так как
количество столбцов матрицы $B$ (первый сомножитель) не совпадает с
количеством строк матрицы $A$ (второй сомножитель), то данное произведение
неопределенно. Умножить матрицы в данном порядке невозможно.
Ответ. $A B=left( begin{array}{rr}{-1} & {1} \ {2} & {2} \ {3} & {3}end{array}right)$ .
В обратном порядке умножить данные матрицы невозможно, так как количество столбцов матрицы
$B$ не совпадает с
количеством строк матрицы $A$ .
Транспонирование матрицы
Теоретический материал по теме — транспонирование матрицы.
Пример
Задание. Найти матрицу $A^{T}$, если
$A=left( begin{array}{rl}{1} & {0} \ {-2} & {3}end{array}right)$
Решение. $A^{T}=left( begin{array}{rr}{1} & {0} \ {-2} & {3}end{array}right)^{T}=left( begin{array}{rr}{1} & {-2} \ {0} & {3}end{array}right)$
Ответ. $A^{T}=left( begin{array}{rr}{1} & {-2} \ {0} & {3}end{array}right)$
Минор и алгебраическое дополнение
Теоретический материал по теме — минор и алгебраическое дополнение.
Пример
Задание. Найти минор
$M_{23}$ к элементу
$a_{23}$ определителя
$left| begin{array}{rrr}{1} & {2} & {-1} \ {1} & {0} & {3} \ {7} & {8} & {4}end{array}right|$ .
Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:
тогда $M_{23}=left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {7} & {8}end{array}right|$
Ответ. $M_{23}=left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {7} & {8}end{array}right|$
Пример
Задание. Найти алгебраическое дополнение
$A_{23}$ к элементу
$a_{23}$ определителя
$left| begin{array}{rrr}{1} & {2} & {-1} \ {1} & {0} & {3} \ {7} & {8} & {4}end{array}right|$ .
Решение. $A_{23}=(-1)^{2+3} cdot M_{23}=(-1)^{5} cdot left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {7} & {8}end{array}right|=-left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {7} & {8}end{array}right|$
Ответ. $A_{23}=-left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {7} & {8}end{array}right|$
Вычисление определителя
Теоретический материал по теме — методы вычисления определителей.
Пример
Задание. Вычислить определитель второго порядка
$left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|$
Решение. $left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|=11 cdot 5-(-2) cdot 7=55+14=69$
Ответ. $left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|=69$
Пример
Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|$ методом треугольников.
Решение. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=3 cdot 1 cdot(-2)+4 cdot(-2) cdot(-1)+$
$+3 cdot 3 cdot 1-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot(-2) cdot 3-4 cdot 3 cdot(-2)=54$
Ответ. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=54$
Пример
Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|$
Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре
первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель,
равный данному.
$left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=left| begin{array}{cccc}{1} & {2} & {3} \ {4-4 cdot 1} & {5-4 cdot 2} & {6-4 cdot 3} \ {7-7 cdot 1} & {8-7 cdot 2} & {9-7 cdot 3}end{array}right|=$
$=left| begin{array}{rrr}{1} & {2} & {3} \ {0} & {-3} & {-6} \ {0} & {-6} & {-12}end{array}right|=left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {0} & {-3} & {-6} \ {0} & {2 cdot(-3)} & {2 cdot(-6)}end{array}right|=0$
Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.
Ответ. $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=0$
Пример
Задание. Вычислить определитель
$Delta=left| begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \ {3} & {0} & {-1} & {2} \ {-5} & {2} & {3} & {0} \ {4} & {-1} & {2} & {-3}end{array}right|$ приведением его к треугольному виду.
Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования
будет выполнять проще, если элемент $a_{11}$ будет
равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя,
приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:
$Delta=left| begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \ {3} & {0} & {-1} & {2} \ {-5} & {2} & {3} & {0} \ {4} & {-1} & {2} & {-3}end{array}right|=-left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {2} & {-5} & {3} & {0} \ {-1} & {4} & {2} & {-3}end{array}right|$
Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_{11}$ ,
для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:
$Delta=-left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {2} & {5} & {-1}end{array}right|$
Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если
диагональный элемент будет равен $pm 1$ , то
вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на
противоположный знак определителя):
$Delta=left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {0} & {2} & {5} & {-1}end{array}right|$
Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом:
к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:
$Delta=left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {-10} & {-10} \ {0} & {0} & {-1} & {-9}end{array}right|$
Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под
главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:
$Delta=-10 left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {1} & {1} \ {0} & {0} & {-1} & {-9}end{array}right|=$
$=-10 cdot left| begin{array}{cccc}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {1} & {1} \ {0} & {0} & {0} & {-8}end{array}right|=(-10) cdot 1 cdot(-1) cdot 1 cdot(-8)=-80$
Ответ. $Delta=-80$
Нахождение обратной матрицы
Теоретический материал по теме — нахождение обратной матрицы.
Пример
Задание. Для матрицы $A=left( begin{array}{ll}{7} & {4} \ {5} & {3}end{array}right)$
найти обратную методом присоединенной матрицы.
Решение. Приписываем к заданной матрице
$A$ справа единичную матрицу второго порядка:
$Aleft|E=left( begin{array}{ll|ll}{7} & {4} & {1} & {0} \ {5} & {3} & {0} & {1}end{array}right)right.$
От первой строки отнимаем вторую (для этого от элемента первой строки отнимаем соответствующий элемент второй строки):
$Aleft|E sim left( begin{array}{rr|rr}{2} & {1} & {1} & {-1} \ {5} & {3} & {0} & {1}end{array}right)right.$
От второй строки отнимаем две первых:
$Aleft|E sim left( begin{array}{rr|rr}{2} & {1} & {1} & {-1} \ {1} & {1} & {-2} & {3}end{array}right)right.$
Первую и вторую строки меняем местами:
$Aleft|E sim left( begin{array}{rr|r|rr}{1} & {1} & {-2} & {3} \ {2} & {1} & {1} & {-1}end{array}right)right.$
От второй строки отнимаем две первых:
$Aleft|E sim left( begin{array}{rr|rr}{1} & {1} & {-2} & {3} \ {0} & {-1} & {5} & {-7}end{array}right)right.$
Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке прибавляем вторую:
$Aleft|E sim left( begin{array}{rr|rr}{1} & {0} & {3} & {-4} \ {0} & {1} & {-5} & {7}end{array}right)right.$
Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в
правой части (справа от вертикальной черты), является обратной к исходной.
Таким образом, получаем, что $A^{-1}=left( begin{array}{rr}{3} & {-4} \ {-5} & {7}end{array}right)$
Ответ. $A^{-1}=left( begin{array}{rr}{3} & {-4} \ {-5} & {7}end{array}right)$
Пример
Задание. Найти обратную матрицу для $A=left( begin{array}{ll}{1} & {1} \ {1} & {2}end{array}right)$
Решение. Шаг 1. Находим определитель: $Delta=left| begin{array}{ll}{1} & {1} \ {1} & {2}end{array}right|=2-1=1 neq 0$
Шаг 2. $A^{prime}=left( begin{array}{rr}{2} & {-1} \ {-1} & {1}end{array}right)$
Шаг 3. $A^{-1}=frac{1}{Delta} cdot A^{prime}=left( begin{array}{rr}{2} & {-1} \ {-1} & {1}end{array}right)$
Ответ. $A^{-1}=left( begin{array}{rr}{2} & {-1} \ {-1} & {1}end{array}right)$
Пример
Задание. Найти обратную матрицу к матрице $A=left( begin{array}{rrr}{1} & {0} & {2} \ {2} & {-1} & {1} \ {1} & {3} & {-1}end{array}right)$
Решение. Вычисляем определитель матрицы:
$Delta=left| begin{array}{rrr}{1} & {0} & {2} \ {2} & {-1} & {1} \ {1} & {3} & {-1}end{array}right|=1 cdot(-1) cdot(-1)+2 cdot 3 cdot 2+0 cdot 1 cdot 1-$
$-1 cdot(-1) cdot 2-3 cdot 1 cdot 1-2 cdot 0 cdot(-1)=1+12+0+2-3+0=12 neq 0$
Так как определитель не равен нулю, то матрица имеет обратную.
Обратная матрица $A^{-1}$ к матрице
$A$ находится по формуле:
$A^{-1}=frac{1}{Delta} cdot widetilde{A}^{T}$
Найдем союзную матрицу $check{A}$ , для этого вычислим алгебраические
дополнения к элементам матрицы $A$ :
$A_{11}=(-1)^{1+1} left| begin{array}{rr}{-1} & {1} \ {3} & {-1}end{array}right|=(-1) cdot(-1)-3 cdot 1=1-3=-2$
$A_{12}=(-1)^{1+2} left| begin{array}{rr}{2} & {1} \ {1} & {-1}end{array}right|=-[2 cdot(-1)-1 cdot 1]=-(-2-1)=3$
$A_{13}=(-1)^{1+3} left| begin{array}{rr}{2} & {-1} \ {1} & {3}end{array}right|=2 cdot 3-1 cdot(-1)=6+1=7$
$A_{21}=(-1)^{2+1} left| begin{array}{rr}{0} & {2} \ {3} & {-1}end{array}right|=-[0 cdot(-1)-3 cdot 2]=-(0-6)=6$
$A_{22}=(-1)^{2+2} left| begin{array}{rr}{1} & {2} \ {1} & {-1}end{array}right|=1 cdot(-1)-1 cdot 2=-1-2=-3$
$A_{23}=(-1)^{2+3} left| begin{array}{cc}{1} & {0} \ {1} & {3}end{array}right|=-[1 cdot 3-1 cdot 0]=-(3-0)=-3$
$A_{31}=(-1)^{3+1} left| begin{array}{rr}{0} & {2} \ {-1} & {1}end{array}right|=0 cdot 1-(-1) cdot 2=0+2=2$
$A_{32}=(-1)^{3+2} left| begin{array}{cc}{1} & {2} \ {2} & {1}end{array}right|=-[1 cdot 1-2 cdot 2]=-(1-4)=3$
$A_{33}=(-1)^{3+3} left| begin{array}{rr}{1} & {0} \ {2} & {-1}end{array}right|=1 cdot(-1)-2 cdot 0=-1-0=-1$
Таким образом, $tilde{A}=left( begin{array}{rrr}{-2} & {3} & {7} \ {6} & {-3} & {-3} \ {2} & {3} & {-1}end{array}right)$
Транспонируем эту матрицу (т.е. строки матрицы делаем столбцами с тем же номером):
$widetilde{A}^{T}=left( begin{array}{rrr}{-2} & {6} & {2} \ {3} & {-3} & {3} \ {7} & {-3} & {-1}end{array}right)$
Итак, $A^{-1}=frac{1}{12} left( begin{array}{rrr}{-2} & {6} & {2} \ {3} & {-3} & {3} \ {7} & {-3} & {-1}end{array}right)$
Ответ. $A^{-1}=frac{1}{12} left( begin{array}{rrr}{-2} & {6} & {2} \ {3} & {-3} & {3} \ {7} & {-3} & {-1}end{array}right)$
Нахождение ранга матрицы
Теоретический материал по теме — нахождение ранга матрицы.
Пример
Задание. Найти ранг матрицы $A=left( begin{array}{cccc}{0} & {4} & {10} & {1} \ {4} & {8} & {18} & {7} \ {10} & {18} & {40} & {17} \ {1} & {7} & {17} & {3}end{array}right)$
Решение. С помощью элементарных преобразований над ее строками приведем матрицу $A$ к
ступенчатому виду. Для этого вначале от третьей строки отнимем две вторых:
$A sim left( begin{array}{cccc}{0} & {4} & {10} & {1} \ {4} & {8} & {18} & {7} \ {2} & {2} & {4} & {3} \ {1} & {7} & {17} & {3}end{array}right)$
От второй строки отнимаем четвертую строку, умноженную на 4; от третьей — две четвертых:
$A sim left( begin{array}{rrrr}{0} & {4} & {10} & {1} \ {0} & {-20} & {-50} & {-5} \ {0} & {-12} & {-30} & {-3} \ {1} & {7} & {17} & {3}end{array}right)$
Ко второй строке прибавим пять первых, к третьей — три третьих:
$A sim left( begin{array}{cccc}{0} & {4} & {10} & {1} \ {0} & {0} & {0} & {0} \ {0} & {0} & {0} & {0} \ {1} & {7} & {17} & {3}end{array}right)$
Меняем местами первую и вторую строчки:
$A sim left( begin{array}{cccc}{0} & {0} & {0} & {0} \ {0} & {4} & {10} & {1} \ {0} & {0} & {0} & {0} \ {1} & {7} & {17} & {3}end{array}right)$
Далее четвертую и первую строки:
$A sim left( begin{array}{cccc}{1} & {7} & {17} & {3} \ {0} & {4} & {10} & {1} \ {0} & {0} & {0} & {0} \ {0} & {0} & {0} & {0}end{array}right) Rightarrow r a n g A=2$
Ответ. $operatorname{rang} A=2$
Пример
Задание. Найти ранг матрицы $A=left( begin{array}{rrrr}{1} & {2} & {-1} & {-2} \ {2} & {4} & {3} & {0} \ {-1} & {-2} & {6} & {6}end{array}right)$ ,
используя метод окаймления миноров.
Решение. Минорами минимального порядка являются миноры первого порядка, которые равны элементам
матрицы $A$ . Рассмотрим, например, минор
$M_{1}=1 neq 0$ . расположенный в первой строке и первом
столбце. Окаймляем его с помощью второй строки и второго столбца, получаем минор
$M_{2}^{1}=left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {2} & {4}end{array}right|=0$ ; рассмотрим еще один минор второго
порядка, для этого минор $M_{1}$ окаймляем при
помощи второй строки и третьего столбца, тогда имеем минор $M_{2}^{2}=left| begin{array}{rr}{1} & {-1} \ {2} & {3}end{array}right|=5 neq 0$ ,
то есть ранг матрицы не меньше двух. Далее рассматриваем миноры третьего порядка, которые окаймляют минор
$M_{2}^{2}$ . Таких миноров два: комбинация
третьей строки со вторым столбцом или с четвертым столбцом. Вычисляем эти миноры:
$M_{3}^{1}=left| begin{array}{rrr}{1} & {2} & {-1} \ {2} & {4} & {3} \ {-1} & {-2} & {6}end{array}right|=0$
так как содержит два пропорциональных столбца (первый и второй); второй минор
$M_{3}^{2}=left| begin{array}{rrr}{1} & {-1} & {-2} \ {2} & {3} & {0} \ {-1} & {6} & {6}end{array}right|$
преобразуем следующим образом: к первой строке прибавим третью, а ко второй две третьих:
$M_{3}^{2}=left| begin{array}{rrr}{0} & {5} & {4} \ {0} & {15} & {12} \ {-1} & {6} & {6}end{array}right|=0$
И так как первая и вторая строки пропорциональны, то минор равен нулю.
Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю. А, значит, ранг матрицы $A$
равен двум: $operatorname{rang} A=2$
Ответ. $operatorname{rang} A=2$
Читать первую тему — основные определения и понятия матриц,
раздела матрицы.
Решение матричных уравнений
Финальная глава саги.
Линейная алгебра и, в частности, матрицы — это основа математики нейросетей. Когда говорят «машинное обучение», на самом деле говорят «перемножение матриц», «решение матричных уравнений» и «поиск коэффициентов в матричных уравнениях».
Понятно, что между простой матрицей в линейной алгебре и нейросетью, которая генерирует котов, много слоёв усложнений, дополнительной логики, обучения и т. д. Но здесь мы говорим именно о фундаменте. Цель — чтобы стало понятно, из чего оно сделано.
Краткое содержание прошлых частей:
- Линейная алгебра изучает векторы, матрицы и другие понятия, которые относятся к упорядоченным наборам данных. Линейной алгебре интересно, как можно трансформировать эти упорядоченные данные, складывать и умножать, всячески обсчитывать и находить в них закономерности.
- Вектор — это набор упорядоченных данных в одном измерении. Можно упрощённо сказать, что это последовательность чисел.
- Матрица — это тоже набор упорядоченных данных, только уже не в одном измерении, а в двух (или даже больше).
- Матрицу можно представить как упорядоченную сумку с данными. И с этой сумкой как с единым целым можно совершать какие-то действия. Например, делить, умножать, менять знаки.
- Матрицы можно складывать и умножать на другие матрицы. Это как взять две сумки с данными и получить третью сумку, тоже с данными, только теперь какими-то новыми.
- Матрицы перемножаются по довольно замороченному алгоритму. Арифметика простая, а порядок перемножения довольно запутанный.
И вот наконец мы здесь: если мы можем перемножать матрицы, то мы можем и решить матричное уравнение.
❌ Никакого практического применения следующего материала в народном хозяйстве вы не увидите. Это чистая алгебра в несколько упрощённом виде. Отсюда до практики далёкий путь, поэтому, если нужно что-то практическое, — посмотрите, как мы генерим Чехова на цепях Маркова.
Что такое матричное уравнение
Матричное уравнение — это когда мы умножаем известную матрицу на матрицу Х и получаем новую матрицу. Наша задача — найти неизвестную матрицу Х.
Шаг 1. Упрощаем уравнение
Вместо известных числовых матриц вводим в уравнение буквы: первую матрицу обозначаем буквой A, вторую — буквой B. Неизвестную матрицу X оставляем. Это упрощение поможет составить формулу и выразить X через известную матрицу.
Приводим матричное уравнение к упрощённому виду
Шаг 2. Вводим единичную матрицу
В линейной алгебре есть два вспомогательных понятия: обратная матрица и единичная матрица. Единичная матрица состоит из нулей, а по диагонали у неё единицы. Обратная матрица — это такая, которая при умножении на исходную даёт единичную матрицу.
Можно представить, что есть число 100 — это «сто в первой степени», 100 1
И есть число 0,01 — это «сто в минус первой степени», 100 -1
При перемножении этих двух чисел получится единица:
100 1 × 100 -1 = 100 × 0,01 = 1.
Вот такое, только в мире матриц.
Зная свойства единичных и обратных матриц, делаем алгебраическое колдунство. Умножаем обе известные матрицы на обратную матрицу А -1 . Неизвестную матрицу Х оставляем без изменений и переписываем уравнение:
А -1 × А × Х = А -1 × В
Добавляем единичную матрицу и упрощаем запись:
А -1 × А = E — единичная матрица
E × Х = А -1 × В — единичная матрица, умноженная на исходную матрицу, даёт исходную матрицу. Единичную матрицу убираем
Х = А -1 × В — новая запись уравнения
После введения единичной матрицы мы нашли способ выражения неизвестной матрицы X через известные матрицы A и B.
💡 Смотрите, что произошло: раньше нам нужно было найти неизвестную матрицу. А теперь мы точно знаем, как её найти: нужно рассчитать обратную матрицу A -1 и умножить её на известную матрицу B. И то и другое — замороченные процедуры, но с точки зрения арифметики — просто.
Шаг 3. Находим обратную матрицу
Вспоминаем формулу и порядок расчёта обратной матрицы:
- Делим единицу на определитель матрицы A.
- Считаем транспонированную матрицу алгебраических дополнений.
- Перемножаем значения и получаем нужную матрицу.
Собираем формулу и получаем обратную матрицу. Для удобства умышленно оставляем перед матрицей дробное число, чтобы было проще считать.
Третье действие: получаем обратную матрицу
Шаг 4. Вычисляем неизвестную матрицу
Нам остаётся посчитать матрицу X: умножаем обратную матрицу А -1 на матрицу B. Дробь держим за скобками и вносим в матрицу только при условии, что элементы новой матрицы будут кратны десяти — их можно умножить на дробь и получить целое число. Если кратных элементов не будет — дробь оставим за скобками.
Решаем матричное уравнение и находим неизвестную матрицу X. Мы получили кратные числа и внесли дробь в матрицу
Шаг 5. Проверяем уравнение
Мы решили матричное уравнение и получили красивый ответ с целыми числами. Выглядит правильно, но в случае с матрицами этого недостаточно. Чтобы проверить ответ, нам нужно вернуться к условию и умножить исходную матрицу A на матрицу X. В результате должна появиться матрица B. Если расчёты совпадут — мы всё сделали правильно. Если будут отличия — придётся решать заново.
👉 Часто начинающие математики пренебрегают финальной проверкой и считают её лишней тратой времени. Сегодня мы разобрали простое уравнение с двумя квадратными матрицами с четырьмя элементами в каждой. Когда элементов будет больше, в них легко запутаться и допустить ошибку.
Проверяем ответ и получаем матрицу B — наши расчёты верны
Ну и что
Алгоритм решения матричных уравнений несложный, если знать отдельные его компоненты. Дальше на основе этих компонентов математики переходят в более сложные пространства: работают с многомерными матрицами, решают более сложные уравнения, постепенно выходят на всё более и более абстрактные уровни. И дальше, в конце пути, появляется датасет из миллионов котиков. Этот датасет раскладывается на пиксели, каждый пиксель оцифровывается, цифры подставляются в матрицы, и уже огромный алгоритм в автоматическом режиме генерирует изображение нейрокотика:
Решение матричных уравнений: теория и примеры
Решение матричных уравнений: как это делается
Матричные уравнения имеют прямую аналогию с простыми алгебраическими уравнениями, в которых присутствует операция умножения. Например,
где x — неизвестное.
А, поскольку мы уже умеем находить произведение матриц, то можем приступать к рассмотрению аналогичных уравнений с матрицами, в которых буквы — это матрицы.
Итак, матричным уравнением называется уравнение вида
где A и B — известные матрицы, X — неизвестная матрица, которую требуется найти.
Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того, чтобы решить матричное уравнение вида A ⋅ X = B , обе его части следует умножить на обратную к A матрицу слева:
.
По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную матрицу равно единичной матрице: , поэтому
.
Так как E — единичная матрица, то E ⋅ X = X . В результате получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы, обратной к матрице A , слева, на матрицу B :
.
Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение
то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X и известной матрицы A матрица A находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу, обратную матрице A , и умножать матрицу B на неё справа:
,
,
.
Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как . Обратная к A матрица умножается на матрицу B с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную матрицу X . То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной матрицей находится матрица A .
Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой части уравнения неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения
.
Решение матричных уравнений: примеры
Пример 1. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A :
.
Наконец, находим неизвестную матрицу:
Пример 2. Решить матричное уравнение
.
Пример 3. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A :
.
Находим неизвестную матрицу:
До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь матриц третьего порядка.
Пример 4. Решить матричное уравнение
.
Решение. Это уравнение первого вида: A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
Составим матрицу алгебраических дополнений:
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A , и делаем это легко, так как определитель матрицы A равен единице:
.
Находим неизвестную матрицу:
Пример 5. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A :
.
Находим неизвестную матрицу:
Пример 6. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X ⋅ B = C , то есть неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Поэтому решение следует искать в виде . Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A :
.
Найдём матрицу, обратную матрице B .
Сначала найдём определитель матрицы B :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы B :
Составим матрицу алгебраических дополнений матрицы B :
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей B :
.
Находим матрицу, обратную матрице B :
.
Матричный метод решения СЛАУ: пример решения с помощью обратной матрицы
В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.
Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.
Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n
Матричный вид записи: А × X = B
где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n — матрица системы.
X = x 1 x 2 ⋮ x n — столбец неизвестных,
B = b 1 b 2 ⋮ b n — столбец свободных коэффициентов.
Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A — 1 :
A — 1 × A × X = A — 1 × B .
Так как А — 1 × А = Е , то Е × X = А — 1 × В или X = А — 1 × В .
Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю . Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А .
В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю , у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.
Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы
Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:
2 x 1 — 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 — 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 — x 2 + 5 x 3 = 2
- Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где
А = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .
- Выражаем из этого уравнения X :
- Находим определитель матрицы А :
d e t A = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 = 2 × ( — 2 ) × 5 + 3 × ( — 4 ) × 4 + 3 × ( — 1 ) × 1 — 3 × ( — 2 ) × 3 — — 1 × ( — 4 ) × 5 — 2 × 4 — ( — 1 ) = — 20 — 48 — 3 + 18 + 20 + 8 = — 25
d e t А не равняется 0, следовательно, для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.
- Находим обратную матрицу А — 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А :
А 11 = ( — 1 ) ( 1 + 1 ) — 2 4 — 1 5 = — 10 + 4 = — 6 ,
А 12 = ( — 1 ) 1 + 2 1 4 3 5 = — ( 5 — 12 ) = 7 ,
А 13 = ( — 1 ) 1 + 3 1 — 2 3 — 1 = — 1 + 6 = 5 ,
А 21 = ( — 1 ) 2 + 1 — 4 3 — 1 5 = — ( — 20 + 3 ) = 17 ,
А 22 = ( — 1 ) 2 + 2 2 3 3 5 — 10 — 9 = 1 ,
А 23 = ( — 1 ) 2 + 3 2 — 4 3 — 1 = — ( — 2 + 12 ) = — 10 ,
А 31 = ( — 1 ) 3 + 1 — 4 3 — 2 4 = — 16 + 6 = — 10 ,
А 32 = ( — 1 ) 3 + 2 2 3 1 4 = — ( 8 — 3 ) = — 5 ,
А 33 = ( — 1 ) 3 + 3 2 — 4 1 — 2 = — 4 + 4 = 0 .
- Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А :
А * = — 6 7 5 17 1 — 10 — 10 — 5 0
- Записываем обратную матрицу согласно формуле:
A — 1 = 1 d e t A ( A * ) T : А — 1 = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 ,
- Умножаем обратную матрицу А — 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:
X = A — 1 × B = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 1 3 2 = — 1 25 — 6 + 51 — 20 7 + 3 — 10 5 — 30 + 0 = — 1 0 1
Ответ: x 1 = — 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1
http://function-x.ru/matrix_equations.html
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/issledovanie-slau/matrichnyj-metod-reshenija-slau/
Линейная алгебра и, в частности, матрицы — это основа математики нейросетей. Когда говорят «машинное обучение», на самом деле говорят «перемножение матриц», «решение матричных уравнений» и «поиск коэффициентов в матричных уравнениях».
Понятно, что между простой матрицей в линейной алгебре и нейросетью, которая генерирует котов, много слоёв усложнений, дополнительной логики, обучения и т. д. Но здесь мы говорим именно о фундаменте. Цель — чтобы стало понятно, из чего оно сделано.
Краткое содержание прошлых частей:
- Линейная алгебра изучает векторы, матрицы и другие понятия, которые относятся к упорядоченным наборам данных. Линейной алгебре интересно, как можно трансформировать эти упорядоченные данные, складывать и умножать, всячески обсчитывать и находить в них закономерности.
- Вектор — это набор упорядоченных данных в одном измерении. Можно упрощённо сказать, что это последовательность чисел.
- Матрица — это тоже набор упорядоченных данных, только уже не в одном измерении, а в двух (или даже больше).
- Матрицу можно представить как упорядоченную сумку с данными. И с этой сумкой как с единым целым можно совершать какие-то действия. Например, делить, умножать, менять знаки.
- Матрицы можно складывать и умножать на другие матрицы. Это как взять две сумки с данными и получить третью сумку, тоже с данными, только теперь какими-то новыми.
- Матрицы перемножаются по довольно замороченному алгоритму. Арифметика простая, а порядок перемножения довольно запутанный.
И вот наконец мы здесь: если мы можем перемножать матрицы, то мы можем и решить матричное уравнение.
❌ Никакого практического применения следующего материала в народном хозяйстве вы не увидите. Это чистая алгебра в несколько упрощённом виде. Отсюда до практики далёкий путь, поэтому, если нужно что-то практическое, — посмотрите, как мы генерим Чехова на цепях Маркова.
Что такое матричное уравнение
Матричное уравнение — это когда мы умножаем известную матрицу на матрицу Х и получаем новую матрицу. Наша задача — найти неизвестную матрицу Х.
Шаг 1. Упрощаем уравнение
Вместо известных числовых матриц вводим в уравнение буквы: первую матрицу обозначаем буквой A, вторую — буквой B. Неизвестную матрицу X оставляем. Это упрощение поможет составить формулу и выразить X через известную матрицу.
Шаг 2. Вводим единичную матрицу
В линейной алгебре есть два вспомогательных понятия: обратная матрица и единичная матрица. Единичная матрица состоит из нулей, а по диагонали у неё единицы. Обратная матрица — это такая, которая при умножении на исходную даёт единичную матрицу.
Можно представить, что есть число 100 — это «сто в первой степени», 1001
И есть число 0,01 — это «сто в минус первой степени», 100-1
При перемножении этих двух чисел получится единица:
1001 × 100-1 = 100 × 0,01 = 1.
Вот такое, только в мире матриц.
Зная свойства единичных и обратных матриц, делаем алгебраическое колдунство. Умножаем обе известные матрицы на обратную матрицу А-1. Неизвестную матрицу Х оставляем без изменений и переписываем уравнение:
А-1 × А × Х = А-1 × В
Добавляем единичную матрицу и упрощаем запись:
А-1 × А = E — единичная матрица
E × Х = А-1 × В — единичная матрица, умноженная на исходную матрицу, даёт исходную матрицу. Единичную матрицу убираем
Х = А-1 × В — новая запись уравнения
После введения единичной матрицы мы нашли способ выражения неизвестной матрицы X через известные матрицы A и B.
💡 Смотрите, что произошло: раньше нам нужно было найти неизвестную матрицу. А теперь мы точно знаем, как её найти: нужно рассчитать обратную матрицу A-1 и умножить её на известную матрицу B. И то и другое — замороченные процедуры, но с точки зрения арифметики — просто.
Шаг 3. Находим обратную матрицу
Вспоминаем формулу и порядок расчёта обратной матрицы:
- Делим единицу на определитель матрицы A.
- Считаем транспонированную матрицу алгебраических дополнений.
- Перемножаем значения и получаем нужную матрицу.
Собираем формулу и получаем обратную матрицу. Для удобства умышленно оставляем перед матрицей дробное число, чтобы было проще считать.
Шаг 4. Вычисляем неизвестную матрицу
Нам остаётся посчитать матрицу X: умножаем обратную матрицу А-1 на матрицу B. Дробь держим за скобками и вносим в матрицу только при условии, что элементы новой матрицы будут кратны десяти — их можно умножить на дробь и получить целое число. Если кратных элементов не будет — дробь оставим за скобками.
Шаг 5. Проверяем уравнение
Мы решили матричное уравнение и получили красивый ответ с целыми числами. Выглядит правильно, но в случае с матрицами этого недостаточно. Чтобы проверить ответ, нам нужно вернуться к условию и умножить исходную матрицу A на матрицу X. В результате должна появиться матрица B. Если расчёты совпадут — мы всё сделали правильно. Если будут отличия — придётся решать заново.
👉 Часто начинающие математики пренебрегают финальной проверкой и считают её лишней тратой времени. Сегодня мы разобрали простое уравнение с двумя квадратными матрицами с четырьмя элементами в каждой. Когда элементов будет больше, в них легко запутаться и допустить ошибку.
Ну и что
Алгоритм решения матричных уравнений несложный, если знать отдельные его компоненты. Дальше на основе этих компонентов математики переходят в более сложные пространства: работают с многомерными матрицами, решают более сложные уравнения, постепенно выходят на всё более и более абстрактные уровни. И дальше, в конце пути, появляется датасет из миллионов котиков. Этот датасет раскладывается на пиксели, каждый пиксель оцифровывается, цифры подставляются в матрицы, и уже огромный алгоритм в автоматическом режиме генерирует изображение нейрокотика:
Этого котика не существует, а матрицы — существуют.
Если вы перешли к изучению данной темы, то уже знаете, что такое матрица и определитель матрицы, умеете находить определители второго, третьего и высших порядков, а также обратные матрицы. Если какая-то из этих тем вам незнакома, то следует изучить сначала ее.
Приступим к рассмотрению понятия матричного уравнения.
Матричные уравнения
Матричные уравнения устроены практически также как и числовые, только вместо чисел в них содержатся числовые матрицы. Как правило, типовое матричное уравнение состоит из нескольких матриц и некоторой неизвестной матрицы XX, которую и требуется найти.
Рассмотрим примеры наиболее простых матричных уравнений и их решения.
Пример 1
Решить матричное уравнение
(1234)+x=(1101)begin{pmatrix}1&2\3&4end{pmatrix}+x=begin{pmatrix}1&1\0&1end{pmatrix}.
Перенесем матрицу из левой части в правую:
x=(1101)−(1234)x=begin{pmatrix}1&1\0&1end{pmatrix}-begin{pmatrix}1&2\3&4end{pmatrix}.
Найдем разность матриц в правой части уравнения:
x=(1−11−20−31−4)x=begin{pmatrix}1-1&1-2\0-3&1-4end{pmatrix}.
Значит, x=(0−1−3−3)x=begin{pmatrix}0&-1\-3&-3end{pmatrix}.
Можно провести проверку:
(1234)+(0−1−3−3)=(1+02−13−34−3)=(1101)begin{pmatrix}1&2\3&4end{pmatrix}+begin{pmatrix}0&-1\-3&-3end{pmatrix}=begin{pmatrix}1+0&2-1\3-3&4-3end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&1\0&1end{pmatrix},
(1101)=(1101)begin{pmatrix}1&1\0&1end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&1\0&1end{pmatrix}.
Пример 2
Решить матричное уравнение (58−469−5)−12x=(341212)begin{pmatrix}5&8&-4\6&9&-5end{pmatrix}-frac{1}{2}x=begin{pmatrix}3&4&1\2&1&2end{pmatrix}.
Перенесем матрицу из левой части в правую:
−12x=(341212)−(58−469−5)-frac{1}{2}x=begin{pmatrix}3&4&1\2&1&2end{pmatrix}-begin{pmatrix}5&8&-4\6&9&-5end{pmatrix}.
Найдем разность матриц в правой части уравнения:
−12x=(3−54−81−(−4)2−61−92−(−5))-frac{1}{2}x=begin{pmatrix}3-5&4-8&1-(-4)\2-6&1-9&2-(-5)end{pmatrix},
−12x=(−2−45−4−87)-frac{1}{2}x=begin{pmatrix}-2&-4&5\-4&-8&7end{pmatrix}.
Умножим обе части уравнения на -2:
x=−2(−2−45−4−87)x=-2begin{pmatrix}-2&-4&5\-4&-8&7end{pmatrix},
x=(48−10816−14)x=begin{pmatrix}4&8&-10\8&16&-14end{pmatrix}.
Можно провести проверку:
(58−469−5)−12(48−10816−14)=(58−469−5)−(24−548−7)=(341212)begin{pmatrix}5&8&-4\6&9&-5end{pmatrix}-frac{1}{2}begin{pmatrix}4&8&-10\8&16&-14end{pmatrix}=begin{pmatrix}5&8&-4\6&9&-5end{pmatrix}-begin{pmatrix}2&4&-5\4&8&-7end{pmatrix}=begin{pmatrix}3&4&1\2&1&2end{pmatrix},
(341212)=(341212)begin{pmatrix}3&4&1\2&1&2end{pmatrix}=begin{pmatrix}3&4&1\2&1&2end{pmatrix}.
Такие уравнения элементарны, поэтому они довольно редко встречаются на практике.
Простейшие матричные уравнения
Обычно решение матричных уравнений сводится к одному из двух видов:
- A⋅X=BAcdot X=B;
- X⋅A=BXcdot A=B.
Рассмотрим, как решается каждое из этих уравнений.
| Уравнение вида A⋅X=BAcdot X=B | Уравнение вида X⋅A=BXcdot A=B |
|---|---|
| Для того чтобы разрешить данное уравнение относительно XX умножим обе его части на A−1A^{-1} слева: A−1⋅A⋅X=A−1⋅BA^{-1}cdot Acdot X=A^{-1}cdot B.
Так как A−1⋅A=EA^{-1}cdot A=E, то E⋅X=A−1⋅BEcdot X=A^{-1}cdot B, EE — единичная матрица. Так как E⋅X=XEcdot X=X, то X=A−1⋅BX=A^{-1}cdot B. |
Для того чтобы разрешить данное уравнение относительно XX умножим обе его части на A−1A^{-1} справа: X⋅A⋅A−1=B⋅A−1Xcdot Acdot A^{-1}=Bcdot A^{-1}.
Так как A⋅A−1=EAcdot A^{-1}=E, то X⋅E=B⋅A−1Xcdot E=Bcdot A^{-1}, EE — единичная матрица. Так как X⋅E=XXcdot E=X, то X=B⋅A−1X=Bcdot A^{-1}. |
Рассмотрим примеры решения простейших матричных уравнений вида A⋅X=BAcdot X=B.
Пример 1
Решить матричное уравнение (3728)⋅X=(4862)begin{pmatrix}3&7\2&8end{pmatrix}cdot X=begin{pmatrix}4&8\6&2end{pmatrix}. Выполнить проверку.
Уравнение имеет вид A⋅X=BAcdot X=B, где A=(3728)A=begin{pmatrix}3&7\2&8end{pmatrix}, B=(4862)B=begin{pmatrix}4&8\6&2end{pmatrix}.
Умножим обе части уравнения на A−1A^{-1} слева:
A−1⋅A⋅X=A−1⋅BA^{-1}cdot Acdot X=A^{-1}cdot B,
E⋅X=A−1⋅BEcdot X=A^{-1}cdot B, EE — единичная матрица,
X=A−1⋅BX=A^{-1}cdot B.
Найдем матрицу A−1A^{-1}.
∣3728∣=3⋅8−2⋅7=24−14=10≠0begin{vmatrix}3&7\2&8end{vmatrix}=3cdot8-2cdot7=24-14=10neq 0, значит для матрицы AA существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.
Составим расширенную матрицу:
(3728∣1001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}3&7\2&8end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}.
Вычтем из строки №1 строку №2:
(3728∣1001)∼(1−128∣1−101)begin{pmatrix}left.begin{matrix}3&7\2&8end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-1\2&8end{matrix}right|begin{matrix}1&-1\0&1end{matrix}end{pmatrix}.
Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -2:
(1−128∣1−101)∼(1−1010∣1−1−23)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-1\2&8end{matrix}right|begin{matrix}1&-1\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-1\0&10end{matrix}right|begin{matrix}1&-1\-2&3end{matrix}end{pmatrix}.
Умножим строку №1 на 10:
(1−1010∣1−1−23)∼(10−10010∣10−10−23)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-1\0&10end{matrix}right|begin{matrix}1&-1\-2&3end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}10&-10\0&10end{matrix}right|begin{matrix}10&-10\-2&3end{matrix}end{pmatrix}.
Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на 1:
(10−10010∣10−10−23)∼(100010∣8−7−23)begin{pmatrix}left.begin{matrix}10&-10\0&10end{matrix}right|begin{matrix}10&-10\-2&3end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}10&0\0&10end{matrix}right|begin{matrix}8&-7\-2&3end{matrix}end{pmatrix}.
Умножим строку №1 и №2 на 110frac{1}{10}:
(100010∣8−7−23)∼(1001∣810−710−210310)begin{pmatrix}left.begin{matrix}10&0\0&10end{matrix}right|begin{matrix}8&-7\-2&3end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}right|begin{matrix}frac{8}{10}&-frac{7}{10}\-frac{2}{10}&frac{3}{10}end{matrix}end{pmatrix}.
Значит, A−1=(810−710−210310)=110(8−7−23)A^{-1}=begin{pmatrix}frac{8}{10}&-frac{7}{10}\-frac{2}{10}&frac{3}{10}end{pmatrix}=frac{1}{10}begin{pmatrix}8&-7\-2&3end{pmatrix}.
A−1⋅B=110(8−7−23)⋅(4862)=110(−105010−10)=(−151−1)=XA^{-1}cdot B=frac{1}{10}begin{pmatrix}8&-7\-2&3end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}4&8\6&2end{pmatrix}=frac{1}{10}begin{pmatrix}-10&50\10&-10end{pmatrix}=begin{pmatrix}-1&5\1&-1end{pmatrix}=X.
Проверка:
(3728)⋅(−151−1)=(4862)begin{pmatrix}3&7\2&8end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}-1&5\1&-1end{pmatrix}=begin{pmatrix}4&8\6&2end{pmatrix}. — Верно.
Ответ: X=(−151−1)X=begin{pmatrix}-1&5\1&-1end{pmatrix}.
Пример 2
Решить матричное уравнение (0230)⋅X=(243−6)begin{pmatrix}0&2\3&0end{pmatrix}cdot X=begin{pmatrix}2&4\3&-6end{pmatrix}. Выполнить проверку.
Уравнение имеет вид A⋅X=BAcdot X=B, где A=(0230)A=begin{pmatrix}0&2\3&0end{pmatrix}, B=(243−6)B=begin{pmatrix}2&4\3&-6end{pmatrix}.
Умножим обе части уравнения на A−1A^{-1} слева:
A−1⋅A⋅X=A−1⋅BA^{-1}cdot Acdot X=A^{-1}cdot B,
E⋅X=A−1⋅BEcdot X=A^{-1}cdot B, EE — единичная матрица,
X=A−1⋅BX=A^{-1}cdot B.
Найдем матрицу A−1A^{-1}.
∣0230∣=0⋅0−3⋅2=0−6=−6≠0begin{vmatrix}0&2\3&0end{vmatrix}=0cdot0-3cdot2=0-6=-6neq 0, значит для матрицы AA существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.
Составим расширенную матрицу:
(0230∣1001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}0&2\3&0end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}.
Поменяем местами строки №1 и №2:
(0230∣1001)∼(3002∣0110)begin{pmatrix}left.begin{matrix}0&2\3&0end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}3&0\0&2end{matrix}right|begin{matrix}0&1\1&0end{matrix}end{pmatrix}.
Умножим строку №1 на 13frac{1}{3}, а строку №2 на 12frac{1}{2}:
(3002∣0110)∼(1001∣013120)begin{pmatrix}left.begin{matrix}3&0\0&2end{matrix}right|begin{matrix}0&1\1&0end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}right|begin{matrix}0&frac{1}{3}\frac{1}{2}&0end{matrix}end{pmatrix}.
Значит, A−1=(013120)=16(0230)A^{-1}=begin{pmatrix}0&frac{1}{3}\frac{1}{2}&0end{pmatrix}=frac{1}{6}begin{pmatrix}0&2\3&0end{pmatrix}.
A−1⋅B=16(0230)⋅(243−6)=16(6−12612)=(1−212)=XA^{-1}cdot B=frac{1}{6}begin{pmatrix}0&2\3&0end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}2&4\3&-6end{pmatrix}=frac{1}{6}begin{pmatrix}6&-12\6&12end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&-2\1&2end{pmatrix}=X.
Проверка:
(0230)⋅(1−212)=(243−6)begin{pmatrix}0&2\3&0end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&-2\1&2end{pmatrix}=begin{pmatrix}2&4\3&-6end{pmatrix}. — Верно.
Ответ: X=(1−212)X=begin{pmatrix}1&-2\1&2end{pmatrix}.
Рассмотрим примеры решения простейших матричных уравнений вида X⋅A=BXcdot A=B.
Пример 3
Решить матричное уравнение
X⋅(9711)=(201812)Xcdotbegin{pmatrix}9&7\1&1end{pmatrix}=begin{pmatrix}2&0\18&12end{pmatrix}. Выполнить проверку.
Уравнение имеет вид X⋅A=BXcdot A=B, где A=(9711)A=begin{pmatrix}9&7\1&1end{pmatrix}, B=(201812)B=begin{pmatrix}2&0\18&12end{pmatrix}.
Умножим обе части уравнения на A−1A^{-1} справа:
X⋅A⋅A−1=B⋅A−1Xcdot Acdot A^{-1}=Bcdot A^{-1},
X⋅E=B⋅A−1Xcdot E=Bcdot A^{-1}, EE — единичная матрица,
X=B⋅A−1X=Bcdot A^{-1}.
Найдем матрицу A−1A^{-1}.
∣9711∣=9⋅1−1⋅7=9−7=2≠0begin{vmatrix}9&7\1&1end{vmatrix}=9cdot1-1cdot7=9-7=2neq 0, значит для матрицы AA существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.
Составим расширенную матрицу:
(9711∣1001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}9&7\1&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}.
Поменяем строки №1 и №2 местами:
(9711∣1001)∼(1197∣0110)begin{pmatrix}left.begin{matrix}9&7\1&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1\9&7end{matrix}right|begin{matrix}0&1\1&0end{matrix}end{pmatrix}.
Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -9:
(1197∣0110)∼(110−2∣011−9)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1\9&7end{matrix}right|begin{matrix}0&1\1&0end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1\0&-2end{matrix}right|begin{matrix}0&1\1&-9end{matrix}end{pmatrix}.
Умножим строку №2 на −12-frac{1}{2}:
(110−2∣011−9)∼(1101∣01−1292)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1\0&-2end{matrix}right|begin{matrix}0&1\1&-9end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1\0&1end{matrix}right|begin{matrix}0&1\-frac{1}{2}&frac{9}{2}end{matrix}end{pmatrix}.
Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на -1:
(1101∣01−1292)∼(1001∣12−72−1292)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1\0&1end{matrix}right|begin{matrix}0&1\-frac{1}{2}&frac{9}{2}end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}right|begin{matrix}frac{1}{2}&-frac{7}{2}\-frac{1}{2}&frac{9}{2}end{matrix}end{pmatrix}.
Значит, A−1=(12−72−1292)=12(1−7−19)A^{-1}=begin{pmatrix}frac{1}{2}&-frac{7}{2}\-frac{1}{2}&frac{9}{2}end{pmatrix}=frac{1}{2}begin{pmatrix}1&-7\-1&9end{pmatrix}.
B⋅A−1=(201812)⋅12⋅(1−7−19)=12(201812)⋅(1−7−19)=12(2−146−18)=(1−73−9)=XBcdot A^{-1}=begin{pmatrix}2&0\18&12end{pmatrix}cdot frac{1}{2}cdot begin{pmatrix}1&-7\-1&9end{pmatrix}=frac{1}{2}begin{pmatrix}2&0\18&12end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&-7\-1&9end{pmatrix}=frac{1}{2}begin{pmatrix}2&-14\6&-18end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&-7\3&-9end{pmatrix}=X.
Проверка: (1−73−9)⋅(9711)=(201812).begin{pmatrix}1&-7\3&-9end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}9&7\1&1end{pmatrix}=begin{pmatrix}2&0\18&12end{pmatrix}. — Верно.
Ответ: X=(1−73−9)X=begin{pmatrix}1&-7\3&-9end{pmatrix}.
Пример 4
Решить матричное уравнение X⋅(1325)=(4−132)Xcdotbegin{pmatrix}1&3\2&5end{pmatrix}=begin{pmatrix}4&-1\3&2end{pmatrix}. Выполнить проверку.
Уравнение имеет вид X⋅A=BXcdot A=B, где A=(1325)A=begin{pmatrix}1&3\2&5end{pmatrix}, B=(4−132)B=begin{pmatrix}4&-1\3&2end{pmatrix}.
Умножим обе части уравнения на A−1A^{-1} справа:
X⋅A⋅A−1=B⋅A−1Xcdot Acdot A^{-1}=Bcdot A^{-1},
X⋅E=B⋅A−1Xcdot E=Bcdot A^{-1}, EE — единичная матрица,
X=B⋅A−1X=Bcdot A^{-1}.
Найдем матрицу A−1A^{-1}.
∣1325∣=1⋅5−2⋅3=5−6=−1≠0begin{vmatrix}1&3\2&5end{vmatrix}=1cdot5-2cdot3=5-6=-1neq 0, значит для матрицы AA существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.
Составим расширенную матрицу:
(1325∣1001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\2&5end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}.
Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -2:
(1325∣1001)∼(130−1∣10−21)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\2&5end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\0&-1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\-2&1end{matrix}end{pmatrix}.
Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на 3:
(130−1∣10−21)∼(100−1∣−53−21)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\0&-1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\-2&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&-1end{matrix}right|begin{matrix}-5&3\-2&1end{matrix}end{pmatrix}.
Умножим строку №2 на -1:
(100−1∣−53−21)∼(1001∣−532−1)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&-1end{matrix}right|begin{matrix}-5&3\-2&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}right|begin{matrix}-5&3\2&-1end{matrix}end{pmatrix}.
Значит, A−1=(−532−1)A^{-1}=begin{pmatrix}-5&3\2&-1end{pmatrix}.
B⋅A−1=(4−132)⋅(−532−1)=(−2213−117)=XBcdot A^{-1}=begin{pmatrix}4&-1\3&2end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}-5&3\2&-1end{pmatrix}=begin{pmatrix}-22&13\-11&7end{pmatrix}=X.
Проверка:
(−2213−117)⋅(1325)=(4−132)begin{pmatrix}-22&13\-11&7end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&3\2&5end{pmatrix}=begin{pmatrix}4&-1\3&2end{pmatrix}. — Верно.
Ответ: X=(−2213−117).X=begin{pmatrix}-22&13\-11&7end{pmatrix}.
Существует третий вид матричных уравнений: A⋅X⋅B=CAcdot Xcdot B=C, но в действительности он встречается редко.
Обе части уравнения умножим на A−1A^{-1} слева: A−1⋅A⋅X⋅B=A−1⋅CA^{-1}cdot Acdot Xcdot B=A^{-1}cdot C.
Зная, что A−1⋅A=EA^{-1}cdot A=E, получим: E⋅X⋅B=A−1⋅CEcdot Xcdot B=A^{-1}cdot C.
Поскольку E⋅X=XEcdot X=X, то X⋅B=A−1⋅CXcdot B=A^{-1}cdot C.
Обе части уравнения умножим на B−1B^{-1} справа: X⋅B⋅B−1=A−1⋅C⋅B−1Xcdot Bcdot B^{-1}=A^{-1}cdot Ccdot B^{-1}.
Зная, что B⋅B−1=EBcdot B^{-1}=E, получим: X⋅E=A−1⋅C⋅B−1Xcdot E=A^{-1}cdot Ccdot B^{-1}.
Поскольку X⋅E=XXcdot E=X, то X=A−1⋅C⋅B−1X=A^{-1}cdot Ccdot B^{-1}.
- Виды матриц.
- Матрица A размера m×n — это прямоугольная таблица чисел, расположенных в m строках и n столбцах
где aij (i =1, …, m; j =1, …, n) — это элементы матрицы A. Первый индекс i — это номер строки, второй индекс j — это номер столбца, на пересечении которых расположен элемент aij.
Сокращённое обозначение матрицы A=(aij)m×n. - Порядок матрицы — это число ее строк или столбцов.
- Главная диагональ квадратной матрицы — это диагональ, идущая из левого верхнего в правый нижний угол.
- Прямоугольная матрица — это матрица, у которой число строк не равно числу столбцов.
- Квадратная матрица — это матрица у которой число строк равно числу столбцов:
- Матрица-столбец — это матрица, у которой всего один столбец:
- Матрица-строка — это матрица, у которой всего одна строка:
- Диагональная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю.
- Единичная матрица — это диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице:
- Матрица квадратная диагональная:
- Треугольная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону главной диагонали, равны нулю.
- Матрица верхняя треугольная:
- Матрица нижняя треугольная:
- Нулевая матрица — это матрица, все элементы которой равны 0:
- Операции над матрицами.
- Равенство матриц.
Две матрицы A (aij), B (bij) совпадают |A=B|, если совпадают их размеры и соответствующие элементы равны,
то есть при всех i, j aij=bij. - Сложение матриц.
Суммой двух матриц A=(aij)m×n и B=(bij) m×n одинаковых размеров называется матрица C=(cij)m×n=A+B тех же размеров, элементы которой определяются равенствами cij=aij+bij. Пример 1. - Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы A=(aij)m×n на число λ ∈ R называется матрица B=(bij)m×n=λA, элементы которой определяются равенствами bij=λaij. Пример 2. - Умножение матриц.
Произведением матрицы A=(aij)m×k на матрицу B=(bij)k×n называется матрица C=(cij)m×n=A· B размера m×n, элементы которой cij определяются равенством
cij=ai1b1j+ai2b2j+ … aikbkj.
Таким образом, элемент матрицы C=A·B, расположенный в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B. Пример 3. - Транспонированные матрицы.
Транспонированием матрицы А называется замена строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров.
Полученная матрица обозначается через A’ или AT. Пример 4.
Квадратная матрица называется симметричной, если A=A’, то есть для элементов выполнены равенства aij=aji. - Обратная матрица.
Квадратная матрица n–го порядка называется вырожденной, если определитель этой матрицы равен нулю, |A| = 0, и невырожденной, если |A| ≠ 0.
Матрица А-1 называется обратной матрицей для некоторой квадратной матрицы А, если выполняется соотношение:
Если матрица А-1 не вырождена, то существует, и притом единственная, обратная матрица А-1, равная, где АV = Aij — присоединенная матрица (матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы, стоящих на тех же местах).
1)
2)
3)
4) - Алгоритм нахождения А-1 заключается в следующих пунктах:
1) Находим det A, проверяем det A ≠ 0.
2) Находим Mij — все миноры матрицы A.
3) Определяем
4) Строим матрицу алгебраических дополнений и транспонируем:
5) Делим каждый элемент матрицы на det A: Пример 5. - Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы:
1) перестановка строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на число α ≠ 0;
3) прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число. - Решение матричных уравнений.
Матричное уравнение — это уравнение, содержащее неизвестную матрицу X и известные матрицы A, B, …, .
Простейшие типы матричных уравнений:
1). Матрица A – квадратная и невырожденная,
|A| ≠ 0, следовательно, существует обратная матрица A-1.
Умножим уравнение на A-1 слева:
2). Матрица A – квадратная, |A| ≠ 0.
Умножим уравнение на A-1 справа:.
3). Матрицы A и B – квадратные, |A| ≠ 0, |B| ≠ 0.
Умножим уравнение на A-1 слева:
Умножим уравнение на B-1 справа:. - Ранг матрицы.
Ранг матрицы A — это число, равное максимальному порядку отличных от нуля миноров.
Mk этой матрицы:
Матрицы называются эквивалентными, что обозначается
A ∼ B, если.
Ранг матрицы A вычисляется методом окаймляющих миноров или методом элементарных преобразований. - Метод окаймляющих миноров.
Пусть в матрице A элемент aij ≠ 0, тогда M1 ≠ 0 и r(A) ≥ 1. Окаймляем этот элемент элементами соседнего столбца и соседней строки (например, (j+1)–го столбца и (i+1)–й строки), получаем минор 2-го порядка:.
Если M2, то присоединяем другие строки и столбцы, перебирая все возможные миноры 2-го порядка.
Если все миноры второго порядка равны нулю, то r(A) = 1; если же существует хотя бы один минор 2-го порядка, отличный от нуля, то r(A) ≥ 1.
Выбираем отличный от нуля минор 2-го порядка M2 и окаймляем его элементами соседних строк и столбцов до минора 3-го порядка и так до тех пор, пока не будет выполнено условие: Mr ≠ 0, но все Mr+1 = 0. Пример 6. - Метод элементарных преобразований.
Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга.
К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие: транспонирование; перестановка строк (столбцов); умножение строки (столбца) на число α ≠ 0; прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки, умноженных на некоторое число; отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы.
Для определения ранга матрицы A методом элементарных преобразований следует:
1) Переставить строки и столбцы так, чтобы в верхнем левом углу матрицы был ненулевой элемент.
2) Все элементы первого столбца, кроме a11, обратить в ноль с помощью элементарных преобразований строк:
3) Переставить строки со 2–й по m и столбцы со 2–го по n так, чтобы a22 ≠ 0. Повторить операцию (2) со вторым столбцом: во втором столбце все элементы, кроме a12 и a22, обратить в ноль.
Окончательно после многократного применения указанной процедуры и отбрасывания нулевых строк преобразованная матрица будет иметь вид:
Тогда ранг матрицы A равен: rang A = rang Ã.
, где АV = Aij — присоединенная матрица (матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы, стоящих на тех же местах).
и транспонируем: 
Пример 5.
. Матрица A – квадратная и невырожденная,
. Матрица A – квадратная, |A| ≠ 0.
.
. Матрицы A и B – квадратные, |A| ≠ 0, |B| ≠ 0.
.
.
.
- Свойства определителей.
- Определитель квадратной матрицы А не меняется при транспонировании: |AT|=|A|.
- При перестановке местами любых двух строк (столбцов) определитель |A| меняет знак:
- Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.
- Умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя |A| на число k равносильно умножению определителя на это число:
- Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя |A| равны нулю, то и сам определитель равен нулю (вытекает из предыдущего свойства при (k = 0):
- Если все элементы двух строк (столбцов) определителя |A| пропорциональны, то определитель равен нулю.
- Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель можно представить в виде суммы двух определителей:
- Если к элементам какой-нибудь строки (столбца) определителя |A| прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель k, то величина определителя не изменится:
- Определитель |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения:
- Определитель произведения матриц А и В равен произведению их определителей:
.
.- Определители n–го порядка.
- Минор Мij или Δij элемента аij ( иначе – дополнительный минор элемента аij) определителя n-го порядка — это определитель (n–1) порядка, полученный из исходного вычеркиванием i–й строки и j–го столбца, на пересечении которых стоит элемент aij.
- Алгебраическое дополнение Аij элемента аij — это его минор со знаком (-1)i+j, где i – номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент aij, Аij=(-1)i+jMij или Аij=(-1)i+jΔij. Пример 8.
Для определителей n-го порядка имеют место все перечисленные выше свойства определителей. - Правило выбора знака перед минором в алгебраическом дополнении:
- Определитель n-го порядка |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.
- Метод сведения к треугольному виду.
Используя свойства (1–9), определитель преобразуют к виду, когда элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, становятся равными нулю. Преобразованный таким образом определитель равен произведению элементов, лежащих на главной диагонали.
