Как найти не целую степень

Преимущества дробной степени над записью выражения с помощью корней

Использовать дробную степень проще, чем записывать выражения с помощью корней. Это связано с тем, что вычислить значение числа в определенной степени легче, чем применять свойства корней. Если возведение в степень займет один шаг, то вычисление корня производится в несколько шагов.

Правило возведения

Возведение числа в дробную степень осуществляется согласно правилу: пусть (frac pq) — обыкновенная дробь, причём (p) и (q) больше нуля и (q≠1). Тогда для возведения числа a в дробную степень нужно извлечь из него корень q-ой степени и возвести в степень числителя, которая равна (p).

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В математической форме это правило выглядит так:

(a^frac qp=;sqrt[p]{a^q},;ageq0,;p>0,;q>1)

Правило, когда показатель степени является дробью

Если показателем степени является десятичная дробь, то нужно перевести ее в обыкновенную:

(625^{0,75} = 625^frac3{4;} = sqrt[4]{625^3} = 53 = 125)

В случае, если число смешанное, необходимо перевести его в неправильную дробь:

(left(15frac58right)^frac23;=;left(frac{125}8right)^frac23;=;sqrt[3]{left(frac{125}8right)^2};=;left(sqrt[3]{frac{125}8}right)^2;=;left(frac52right)^2;=;frac{25}4;=;6frac14)

При возведении дроби в отрицательную степень следует использовать формулу:

(left(frac abright)^{-n};=;left(frac baright)^n)

К примеру:

(625^{-frac34};=;frac1{625^{frac34}};=;frac1{sqrt[4]{625^3}};=;frac1{5^3};=;frac1{125})

Решение в виде задачи, примеры

Пример 1

Найти: (81^frac14)

Решение

(81^frac14=sqrt[4]{81^1}=3)

Ответ: 3.

Пример 2

Вычислить: (135^frac9{10})

Решение

(135^frac9{10}=;sqrt[10]{135^9})

Ответ: (;sqrt[10]{135^9}).

Пример 3

Найти: (left(1frac35right)^frac13)

Решение

(left(1frac35right)^frac13=left(frac85right)^frac13=sqrt[3]{left(frac85right)^1}=sqrt[3]{frac85}=sqrt[3]{frac{2^3}5}=frac2{sqrt[3]5})

Ответ: (frac2{sqrt[3]5}).

Использование дробей в качестве степеней значительно упрощает жизнь по сравнению с записью выражений с помощью корней. Это связано с тем, что совершать арифметические действия с дробями легче, чем применять и помнить свойства корней. Поэтому ниже мы рассмотрим, как перейти от корней к числу в дробной степени.

Возведение в дробную степень проводится соответственно следующему правилу:

Пусть $frac{p}{q}$ — обыкновенная дробь, причём $p$ и $q$ больше нуля и $q≠1$. Тогда для возведения числа $a$ в дробную степень необходимо извлечь из него корень $q$-ой степени и возвести в степень числителя, равную $p$.

В математической форме это тождество записывается так:

$a^{frac{p}{q}}=sqrt[q]{a^p}, a≥0, p>0, q>1$.

Это связано с тем, что в таком случае можно прийти к невыполнимому равенству, например:

$-3=(-27)^{frac{1}{3}}=(-27)^{frac{2}{6}}=sqrt[6]{(-27)^2}=sqrt[6]{729}=3$.

Правило для возведения степени в степень в случае, когда показатель степени является дробным числом, выполняется также как и для обычной целой степени, то есть:

Число $a$ в дробной степени вида $frac{p}{q}$, возведённое в степень $b$, равно числу $a$, возведённому в степень произведения дроби и числа $b$.

В математической форме это выглядит так:

$(a^{frac{p}{q}})^b= a^{frac{p cdot b}{q}}$.

В случае, если необходимо возвести число в десятичную или неправильную дробь, сначала необходимо перевести её в обычную чтобы стали видны показатели степени числа и корня.

Возведение в нецелую отрицательную степень проводится по тем же правилам, что и возведение в целую отрицательную степень, то есть:

Пусть $frac{p}{q}$ — обыкновенная дробь и $q≠1$, а $a>0$, тогда $a^{-frac{p}{q}}$ равно $frac{1}{a^{frac{p}{q}}}$.

Запишем в математической форме:

$a^{-frac{p}{q}}=frac{1}{a^{frac{p}{q}}}, a>0, p>0, q>1$.

Прежде чем перейти к изучению определения «отрицательная степень» рекомендуем повторно
прочитать урок
«Степень»
и «Свойства степеней».

Необходимо уверенно понимать, что такое положительная степень числа и уверенно использовать её свойства в решении
примеров.

Как возвести число в отрицательную степень

Примеры возведения в отрицательную степень.

• 6⁻² = =
• (−3)⁻³ = = = −
• 0,2⁻² = =

Примеры возведения в нулевую степень.

• ()⁰ = 1
• (−5)⁰ = 1
• d⁰ = 1

Как найти 10 в минус 1 степени

В уроке 8 класса «Стандартный вид числа» мы уже сталкивались с записью:

10⁻¹ = 0,1

Теперь, зная определение отрицательной степени, давайте разберемся, почему «10» в минус первой степени равно
«0,1».

Возведем «10⁻¹» по правилам отрицательной степени.

Перевернем «10» и запишем её в виде дроби
«

»
и заменим отрицательную степень
«−1» на
положительную степень «1».

Возведем «10» в «1» степень. Помним, что любое число в первой степени равно самому числу.

Теперь по определению десятичной дроби запишем обыкновенную дробь в виде десятичной.

По такому же принципу можно найти «10» в минус второй, третьей и т.д.

Проверим правило выше для «10⁻²».

Т.к. у нас степень «−2», значит, будет всего один ноль (положительное
значение степени «2 − 1 = 1». Сразу после запятой ставим один ноль и за ним «1».

Рассмотрим «10⁻¹».

Т.к. у нас степень «−1», значит, нулей после запятой не будет (положительное
значение степени «1 − 1 = 0». Сразу после запятой ставим «1».

То же самое правило работает и для «10⁻¹²». При переводе в десятичную дробь будет
«12 − 1 = 11 » нулей и «1» в конце.

10⁻¹² = 0,000 000 000 001

Как возвести в отрицательную степень дробь

Пример. Требуется возвести в отрицательную степень дробь.

Перевернем дробь «

»
и заменим отрицательную степень «−3» на положительную «3».

Возведем дробь в положительную степень по правилу возведения дроби в положительную степень.
Т.е. возведем и числитель «3», и знаменатель «10» в третью степень.

()⁻³ = ()³ =

=

Для более грамотного ответа запишем полученный результат в виде десятичной дроби.

()⁻³ = ()³ =

= = 0,027

Как возвести отрицательное число в отрицательную степень

Как и при возведении отрицательного числа в положительную степень, в первую
очередь необходимо определить конечный знак результата возведения в степень. Вспомним основные правила еще раз.

Пример.

(−5) ⁻² =

Перевернем число «−5» и заменим отрицательную степень
«−2»
на положительную
«2».

Так как степень «2» — четная, значит, результат возведения в степень будет
положительный. Поэтому
убираем знак минуса при раскрытии скобок.

Далее откроем скобки
и возведем во вторую степень и числитель «1»,
и знаменатель «5».

Как возвести отрицательную дробь в отрицательную степень

Конечный знак результата возведения в степень отрицательной дроби определяется по тем же правилам, что и для целого отрицательного числа.

Разберемся на примере. Задание: возвести отрицательную дробь
«(− )»
в «−3» степень.

По правилу возведения дроби в отрицательную степень перевернем дробь и заменим отрицательную степень «−3» на положительную
«3».

Теперь определим конечный знак результата возведения в «3» степень.

Степень «3» — нечетная, значит, по правилу возведения отрицательного числа в степень дробь
останется отрицательной.

Нам остается только раскрыть скобки и возвести в степень и числитель «3», и знаменатель
«2» в третью степень.

Для окончательного ответа выделим целую часть из дроби.

Рассмотрим другой пример возведения отрицательной дроби в отрицательную степень.

Правило возведения отрицательного числа в степень гласит: если степень четная, значит, результат возведения
будет положительным.

Свойства отрицательной степени

Все свойства степени, которые используются для положительной степени,
точно также применяются и для отрицательной степени.

В этом уроке мы не будем повторно подробно разбирать каждое свойство степени, но еще раз приведем основные формулы свойств степени
и покажем примеры их использования.

Примеры решений заданий с отрицательной
степенью

Разбор примера

Представить в виде степени.

Разбор примера

Записать в виде степени с отрицательным числом.

Разбор примера

Вычислить.

Разбор примера

Выполнить действия.

Ваши комментарии

Оставить комментарий: