Как найти напряженность в точке удаленной

Цель урока: дать понятие напряжённости электрического поля и ее
определения в любой точке поля.

Задачи урока:

• формирование понятия напряжённости электрического поля; дать понятие о
  линиях напряжённости и графическое представление электрического поля;
• научить учащихся применять формулу E=kq/r² в решении
  несложных задач на расчёт напряжённости.

Электрическое поле – это особая форма материи, о существовании которой можно
судить только по ее действию. Экспериментально доказано, что существуют два рода
зарядов, вокруг которых существуют электрические поля, характеризующиеся
силовыми линиями.

Графически изображая поле, следует помнить, что линии напряженности
электрического поля:

1. нигде не пересекаются друг с другом;
2. имеют начало на положительном заряде (или в бесконечности) и конец на
   отрицательном (или в бесконечности), т. е. являются незамкнутыми линиями;
3. между зарядами нигде не прерываются.

Рис.1

Силовые линии положительного заряда:

Рис.2

Силовые линии отрицательного заряда:

Рис.3

Силовые линии одноименных взаимодействующих зарядов:

Рис.4

Силовые линии разноименных взаимодействующих зарядов:

Рис.5

Силовой характеристикой электрического поля является напряженность, которая
обозначается буквой Е и имеет единицы измерения
или
.
Напряженность является векторной величиной, так как определяется отношением силы
Кулона к величине единичного положительного заряда

В результате преобразования формулы закона Кулона и формулы напряженности
имеем зависимость напряженности поля от расстояния, на котором она определяется
относительно данного заряда

где: k – коэффициент пропорциональности, значение которого зависит от
выбора единиц электрического заряда.

В системе СИ
Н·м²/Кл²,

где ε₀ – электрическая
постоянная, равная 8,85·10^-12 Кл²/Н·м²;

q – электрический заряд (Кл);

r – расстояние от заряда до точки в которой определяется напряженность.

Направление вектора напряженности совпадает с направлением силы Кулона.

Электрическое поле, напряженность которого одинакова во всех точках
пространства, называется однородным. В ограниченной области пространства
электрическое поле можно считать приблизительно однородным, если напряженность
поля внутри этой области меняется незначительно.

Общая напряженность поля нескольких взаимодействующих зарядов будет равна
геометрической сумме векторов напряженности, в чем и заключается принцип
суперпозиции полей:

Рассмотрим несколько случаев определения напряженности.

1. Пусть взаимодействуют два разноименных заряда. Поместим точечный
положительный заряд между ними, тогда в данной точке будут действовать два
вектора напряженности, направленные в одну сторону:

Е₃₁ – напряженность точечного заряда 3 со стороны заряда 1;

Е₃₂ – напряженность точечного заряда 3 со стороны заряда 2.

Согласно принципу суперпозиции полей общая напряженность поля в данной точке
равна геометрической сумме векторов напряженности Е₃₁ и Е₃₂.

Напряженность в данной точке определяется по формуле:

Е = kq₁/x² + kq₂/(r – x)²

где: r – расстояние между первым и вторым зарядом;

х – расстояние между первым и точечным зарядом.

Рис.6

2. Рассмотрим случай, когда необходимо найти напряженность в точке удаленной
на расстояние а от второго заряда. Если учесть, что поле первого заряда больше,
чем поле второго заряда, то напряженность в данной точке поля равна
геометрической разности напряженности Е₃₁ и Е₃₂.

Формула напряженности в данной точке равна:

Е = kq1/(r + a)² – kq₂/a²

Где: r – расстояние между взаимодействующими зарядами;

а – расстояние между вторым и точечным зарядом.

Рис.7

3. Рассмотрим пример, когда необходимо определить напряженность поля в
некоторой удаленности и от первого и от второго заряда, в данном случае на
расстоянии r от первого и на расстоянии bот второго заряда. Так как одноименные
заряды отталкиваются , а разноименные притягиваются, имеем два вектора
напряженности исходящие из одной точки, то для их сложения можно применить метод
противоположному углу параллелограмма будет являться суммарным вектором
напряженности. Алгебраическую сумму векторов находим из теоремы Пифагора:

Е = (Е₃₁² +Е₃₂²)^1/2

Следовательно:

Е = ((kq₁/r² )² + (kq₂/b²)²)^1/2

Рис.8

Исходя из данной работы, следует, что напряженность в любой точке поля можно
определить, зная величины взаимодействующих зарядов, расстояние от каждого
заряда до данной точки и электрическую постоянную.

4. Закрепление темы.

Проверочная работа.

Вариант № 1.

1. Продолжить фразу: “электростатика – это …

2. Продолжить фразу: электрическое поле – это ….

3. Как направлены силовые линии напряженности данного заряда?

4. Определить знаки зарядов:

5. Указать вектор напряженности.

6. Определить напряженность в точке В исходя из суперпозиции полей.

Вариант № 2.

1. Продолжить фразу: “электростатика – это …

2. Продолжить фразу: напряженностью называется …

3. Как направлены силовые линии напряженности данного заряда?

4. Определить заряды.

5. Указать вектор напряженности.

6. Определить напряженность в точке В исходя из суперпозиции полей.

Задачи на дом:

Напряженность поля: задачи второго уровня.

В этой статье собраны не очень сложные задачи, однако тем, кто только начинает разбираться с этой темой, я рекомендую начать с задач попроще. Для решения предложенных в этой статье задач понадобится знание  элементарной геометрии.

Задача 1.

Найти напряженность электрического поля в точке, находящейся посередине между точечными зарядами нКл и нКл. Расстояние между зарядами см. В какой точке прямой, проходящей через оба заряда, напряженность электрического поля равна ?

Первый вопрос задачи. Напряженность, создаваемая первым зарядом:

Напряженность, создаваемая вторым зарядом:

Обратим внимание на то, что вектор напряженности направлен от первого заряда, а вектор — ко второму.

Итоговая напряженность поля в данной точке – векторная сумма напряженностей и . Но, так как направлены вектора будут в данном случае по одной прямой,  можно просто сложить их модули  (заряды разноименные и оба вектора имеют одно и то же направление):

Ответ: кВ/м

Второй вопрос задачи: обозначим расстояние до искомой точки . Тогда, поскольку, повторюсь, заряды разноименные и суммарная напряженность – векторная сумма двух разнонаправленных векторов, то очевидно, что эти вектора обязаны быть равными по длине, чтобы друг друга полностью компенсировать (погасить):

Можно воспользоваться свойством пропорции:

Решим квадратное уравнение:

Отрицательный корень отбрасываем, он не имеет физического смысла:

Ответ: 64,7 см – от  второго заряда.

Задача 2.

Два заряда Кл и Кл помещены на расстоянии см друг от друга. Определить напряженность поля в точке, удаленной от первого заряда на см, и от второго на расстояние см.

Точки расположения зарядов и точка, в которой будем определять напряженность, образуют прямоугольный (египетский) треугольник. Поэтому суммарную напряженность можно найти по теореме Пифагора (между векторами и угол в ), кроме того, оба вектора направлены от зарядов, так как оба они положительные.

Напряженность, создаваемая первым зарядом:

Напряженность, создаваемая вторым зарядом:

Теперь определим суммарную напряженность:

Ответ: В/м.

Задача 3.

Электрическое поле создано двумя одинаковыми зарядами, находящимися на некотором расстоянии друг от друга. На таком же расстоянии от одного из них по прямой линии, проходящей через оба заряда, напряженность электрического поля В/м. Определить напряженность электрического поля  в точках пространства, находящихся на одинаковых расстояниях от зарядов, равных расстоянию между зарядами.

Так как оба заряда одноименные, то напряженность поля в точке 3 является суммой векторов напряженностей и .

Найдем теперь напряженности поля в точках 1 и 2. Очевидно, что направления векторов различны, но модули напряженностей одинаковы.

Ответ: 0,346 В/м

Задача 4.

Диполь образован двумя разноименными зарядами, по нКл каждый. Расстояние между зарядами см. Найти напряженность электрического поля: a) на продолжении оси диполя на расстоянии см от его центра; б) на перпендикуляре к оси диполя, проведенном через его середину, на том же расстоянии. Как убывает поле диполя при ?

На рисунке вектора изображены с учетом того, что заряд положительный, а — отрицательный.

а)

Разность напряженностей (вектора направлены в разные стороны):

При

б) Определим сначала расстояния от зарядов до точки наблюдения:

Модули напряженностей:

Чтобы сложить вектора, понадобится знать косинус угла , а он равен синусу :

Тогда векторная сумма напряженностей равна:

При

Ответ: а) В/м, б) 1080 В/м

Задача 5.

Тонкий стержень согнут в виде окружности радиусом м так, что между его концами остался воздушный промежуток м.  По стержню равномерно распределен заряд Кл.  Определить напряженность поля в центре окружности.

Так как стержень согнут в кольцо, то вектора напряженностей ото всех элементарных элементов этого кольца направлены внутрь, поэтому вектора напряженностей от противолежащих элементов друг друга компенсируют. Только вектора элементов, находящихся напротив разрыва, не будут скомпенсированы. Длина участка кольца, где находятся эти элементы, равна . Так как заряд равномерно распределен по кольцу, найдем, какая часть заряда приходится на этот участок:

Тогда напряженность поля равна:

Ответ: 0,0761 В/м

§ 14. НАПРЯЖЕННОСТЬ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ.

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ
СМЕЩЕНИЕ

Основные
формулы

 Напряженность
электрического поля

E=F/Q,

где F — сила,
действующая на точечный положительный
заряд Q, помещенный в данную точку
поля.

 Сила, действующая
на точечный заряд Q, помещенный в
электрическое поле,

F=QE.

 Поток вектора
напряженности Е электрического
поля:

а) через произвольную
поверхность S,
помещенную в неоднородное поле,

или
,

где 
— угол между вектором напряженности Е
и нормалью n к элементу поверхности;
dS — площадь элемента поверхности;
E_n — проекция вектора
напряженности на нормаль;

б) через плоскую
поверхность, помещенную в однородное
электрическое поле,

Ф_E=ЕScos.

 Поток вектора
напряженности Е через замкнутую
поверхность

,

где
интегрирование ведется по всей
поверхности.


Теорема Остроградского
— Гаусса. Поток вектора напряженности
Е
через любую замкнутую поверхность,
охватывающую заряды
Q_l,
Q₂,
. . .,
Q_n,

,

где

— алгебраическая
сумма зарядов, заключенных внутри
замкнутой поверхности; п — число
зарядов.

 Напряженность
электрического поля, создаваемого
точечным зарядом Q
на расстоянии r от
заряда,

.

Напряженность
электрического поля, создаваемого
металлической сферой радиусом
R, несущей заряд
Q,
на расстоянии r от
центра сферы:

а) внутри сферы
(r<.R)

E=0;

б) на поверхности
сферы (r=R)

;

в) вне сферы
(r>R)

.

 Принцип
суперпозиции (наложения) электрических
полей, согласно которому напряженность
Е результирующего поля, созданного
двумя (и более) точечными зарядами, равна
векторной (геометрической) сумме
напряженностей складываемых полей:

Е=E₁+Е₂+…+Е_n.

В
случае двух электрических полей с
напряженностями Е₁
и Е₂
модуль вектора напряженности

,

где 
— угол между векторами E₁
и E₂.

 Напряженность
поля, создаваемого бесконечно длинной
равномерно заряженной нитью (или
цилиндром) на расстоянии r
от ее оси,

,
где  — линейная
плотность заряда.

Линейная плотность
заряда есть величина, равная отношению
заряда, распределенного по нити, к длине
нити (цилиндра):

 Напряженность
поля, создаваемого бесконечной равномерно
заряженной плоскостью,

где 
— поверхностная плотность заряда.

Поверхностная
плотность заряда есть величина, равная
отношению заряда, распределенного по
поверхности, к площади этой поверхности:

.

 Напряженность
поля, создаваемого двумя параллельными
бесконечными равномерно и разноименно
заряженными плоскостями, с одинаковой
по модулю поверхностной плотностью о
заряда (поле плоского конденсатора)

.

Приведенная формула
справедлива для вычисления напряженности
поля между пластинами плоского
конденсатора (в средней части его)
только в том случае, если расстояние
между пластинами много меньше линейных
размеров пластин конденсатора.

 Электрическое
смещение D
связано с напряженностью E
электрического поля соотношением

D=₀E.

Это соотношение
справедливо только для изотропных
диэлектриков.

 Поток вектора
электрического смещения выражается
аналогично потоку вектора напряженности
электрического поля:

а) в случае
однородного поля поток сквозь плоскую
поверхность

;

б) в случае
неоднородного поля и произвольной
поверхности

,

где D_n
— проекция вектора D на направление
нормали к элементу поверхности, площадь
которой равна dS.

 Теорема
Остроградского — Гаусса. Поток вектора
электрического смещения сквозь любую
замкнутую поверхность, охватывающую
заряды Q₁,Q₂,
…,Q_n,

,

где п—число
зарядов (со своим знаком), заключенных
внутри замкнутой поверхности.

 Циркуляция
вектора напряженности электрического
поля есть величина, численно равная
работе по перемещению единичного
точечного положительного заряда вдоль
замкнутого контура. Циркуляция выражается
интегралом по замкнутому контуру
,
где E_l—проекция
вектора напряженности Е в данной точке
контура на направление касательной к
контуру в той же точке.

В случае
электростатического поля циркуляция
вектора напряженности равна нулю:

.

Примеры
решения задач

Пример
1. Электрическое поле создано двумя
точечными зарядами: Q₁=30
нКл и Q₂=
–10 нКл. Расстояние d
между зарядами равно 20 см. Определить
напряженность электрического поля в
точке, находящейся на расстоянии r₁=15
см от первого и на расстоянии r₂=10
см от второго зарядов.

Решение.
Согласно принципу суперпозиции
электрических полей, каждый заряд
создает поле независимо от присутствия
в пространстве других зарядов. Поэтому
напряженность Е электрического
поля в искомой точке может быть найдена
как векторная сумма
напряженностей E₁ и Е₂
полей, создаваемых каждым зарядом в
отдельности: E=E₁+E₂.

Напряженности
электрического поля, создаваемого в
вакууме первым и вторым зарядами,
соответственно равны

(1)

Вектор E₁
(рис. 14.1) направлен по силовой линии от
заряда Q₁,
так как заряд Q₁>0;
вектор Е₂ направлен также
по силовой линии, но к заряду
Q₂,
так как Q₂<0.

Модуль вектора Е
найдем по теореме косинусов:

, (2)

где угол 
может быть найден из треугольника со
сторонами r₁,
r₂
и d:

.

В данном случае
во избежание громоздких записей вычислим
отдельно значение cos.
По этой формуле найдем

cos
=0,25.

Подставляя выражения
E₁
и E₂
а по формулам (1) в равенство (2) и вынося
общий множитель 1/(4₀)
за знак корня, получаем

.

Подставив значения
величин ,
₀,
Q₁,
Q₂,
r₁-,
r₂
и  в последнюю
формулу и произведя вычисления, найдем

Пример 2.
Электрическое поле создано двумя
параллельными бесконечными заряженными
плоскостями с поверхностными плотностями
заряда ₁=0,4
мкКл/м² и ₂=0,1
мкКл/м². Определить напряженность
электрического поля, созданного этими
заряженными плоскостями.

Решение.
Согласно принципу суперпозиции, поля,
создаваемые каждой заряженной плоскостью
в отдельности, накладываются друг на
друга, причем каждая заряженная плоскость
создает электрическое поле независимо
от присутствия другой заряженной
плоскости (рис. 14.2).

Напряженности
однородных электрических полей,
создаваемых первой и второй плоскостями,
соответственно равны:

;

.

Плоскости делят
все пространство на три области: I,
II и III.
Как вид но из рисунка, в первой и
третьей областях электрические силовые
линии обоих полей направлены в одну
сторону и, следовательно, напряженности
суммарных полей Е^(I)
и E^(III)
в первой и третьей областях равны между
собой и равны сумме напряженностей
полей, создаваемых первой и второй
плоскостями: Е^(I)=
E^(III)=E₁+E₂,
или

Е^(I)=
E^(III)=.

Во второй области
(между плоскостями) электрические
силовые линии полей направлены в
противоположные стороны и, следовательно,
напряженность поля E^(II)
равна разности напряженностей полей,
создаваемых первой и второй плоскостями:
E^(II)=|E₁-E₂|,
или

.

Подставив данные
и произведя вычисления, получим

E^(I)=E^(III)=28,3кВ/м=17
кВ/м.

Картина
распределения силовых линий суммарного
поля представлена на рис. 14.3.

Пример 3. На
пластинах плоского воздушного конденсатора
находится заряд Q=10
нКл. Площадь S
каждой пластины конденсатора равна 100
см² Определить силу F,
с которой притягиваются пластины. Поле
между пластинами считать однородным.

Решение. Заряд
Q одной пластины
находится в поле, созданном зарядом
другой пластины конденсатора.
Следовательно, на первый заряд действует
сила (рис. 14.4)

F=E₁Q,, (1)

где E₁
— напряженность поля, создаваемого
зарядом одной пластины. Но
где
 – поверхностная
плотность заряда пластины.

Формула (1) с учетом
выражения для E₁
примет вид

F=Q²/(2₀S).

Подставив значения
величин Q, ₀
и S в эту формулу и
произведя вычисления, получим

F=565
мкН.

Пример 4.
Электрическое поле создано, бесконечной
плоскостью, заряженной с поверхностной
плотностью =400
нКл/м², и бесконечной прямой
нитью, заряженной с линейной плотностью
=100 нКл/м. На расстоянии
r=10 см от нити находится
точечный заряд Q=10
нКл. Определить силу, действующую на
заряд, ее направление, если заряд и нить
лежат в одной плоскости, параллельной
заряженной плоскости.

Решение. Сила,
действующая на заряд, помещённый в поле,

F=EQ, (1)

где Е —
напряженность поля в точке, в которой
находится заряд Q.

Определим
напряженность Е поля, создаваемого,
по условию задачи, бесконечной заряженной
плоскостью и бесконечной заряженной
нитью. Поле, создаваемое бесконечной
заряженной плоскостью, однородно, и его
напряженность в любой точке

. (2)

Поле, создаваемое
бесконечной заряженной линией,
неоднородно. Его напряженность зависит
от расстояния и определяется по формуле

. (3)

Согласно принципу
суперпозиции электрических полей,
напряженность поля в точке, где находится
заряд Q,
равна векторной сумме напряженностей
E₁
и Е₂ (рис. 14.5):
E=E₁+E₂.
Так как векторы E₁
и Е₂ взаимно
перпендикулярны, то

.

Подставляя выражения
E₁
и E₂ по
формулам (2) и (3) в это
равенство, получим

,

или
.

Теперь найдем силу
F, действующую на
заряд, подставив выражение Е в
формулу (1):

. (4)

Подставив значения
величин Q, ₀,
, ,
 и r
в формулу (4) и сделав вычисления, найдем

F=289
мкН.

Направление силы
F, действующей на положительный
заряд Q, совпадает с направлением
вектора напряженности Е поля.
Направление же вектора Е задается
углом  к заряженной
плоскости. Из рис. 14.5 следует, что

,
откуда
.

Подставив значения
величин , r,
 и 
в это выражение и вычислив, получим

=51°3

Пример 5.
Точечный заряд Q=25
нКл находится в ноле, созданном прямым
бесконечным цилиндром радиусом
R=1
см, равномерно заряженным с поверхностной
плотностью =2 мкКл/м².
Определить силу, действующую на заряд,
помещенный от оси цилиндра на расстоянии
r=10 см.

Решение. Сила,
действующая на заряд Q, находящийся
в поле,

F=QE, (1)

где Е —
напряженность поля в точке, в которой
находится заряд Q.

Как известно,
напряженность поля бесконечно длинного
равномерно заряженного цилиндра

E=/(2₀r), (2)

где 
— линейная плотность
заряда.

Выразим линейную
плотность  через
поверхностную плотность .
Для этого выделим элемент цилиндра
длиной l и выразим
находящийся на нем заряд Q₁
двумя, способами:

Q₁=S=2Rl
и Q₁=l.

Приравняв правые
части этих равенств, получим l=2Rl.
После сокращения на l
найдем =2R.
С учетом этого формула (2) примет вид
E=R/(₀r).
Подставив это выражение Е в формулу
(1), найдем искомую силу:

F=QR/(₀r). (3)

Так как
R и r
входят в формулу в виде отношения, то
они могут быть выражены в любых, но
только одинаковых единицах.

Выполнив вычисления
по формуле (3), найдем

F=2510^-9210^-610^-2/(8,8510^-121010^-2)H==56510^-6H=565мкH.

Направление силы
F совпадает с
направлением вектора напряженности
Е, а последний в силу симметрии (цилиндр
бесконечно длинный) направлен
перпендикулярно цилиндру.

Пример 6.
Электрическое поле создано тонкой
бесконечно длинной нитью, равномерно
заряженной с линейной плотностью =30
нКл/м. На расстоянии а=20 см от нити
находится плоская круглая площадка
радиусом r=1 см.
Определить поток вектора напряженности
через эту площадку, если плоскость ее
составляет угол =30°
с линией напряженности, проходящей
через середину площадки.

Решение. Поле,
создаваемое бесконечно равномерно,
заряженной нитью, является неоднородным.
Поток вектора напряженности в этом
случае выражается интегралом

, (1)

где E_n
— проекция вектора Е на нормаль
n к поверхности площадки
dS. Интегрирование
выполняется по всей поверхности площадки,
которую пронизывают линии напряженности.

Проекция
Е_п вектора напряженности
равна, как видно из рис. 14.6,

Е_п=Еcos,

где 
— угол между направлением вектора и
нормалью n. С учетом этого формула
(1) примет вид

.

Так как размеры
поверхности площадки малы по сравнению
с расстоянием до нити (r<<a),
то электрическое поле в пределах площадки
можно считать практически однородными.
Следовательно, вектор напряженности Е
очень мало. меняется по модулю и
направлению в пределах площадки, что
позволяет заменить под знаком интеграла
значения Е и cos
их средними значениями <E>
и <cos>
и вынести их за знак интеграла:

Выполняя
интегрирование и заменяя <E>
и <cos>
их приближенными значениями Е_A
и cos_A,
вычисленными для средней точки площадки,
получим

Ф_E=Е_Acos_AS=r²Е_Acos_A. (2)

Напряженность Е_A
вычисляется по формуле E_A=/(2₀a).
Из

рис. 14.6 следует
cos_A=cos(/2—)=sin.

С учетом выражения
Е_A и
cos_A
равенство (2.) примет вид

.

Подставив в
последнюю формулу данные и произведя
вычисления, найдем

Ф_E=424
мВ.м.

Пример 7.
Две концентрические проводящие сферы
радиусами R₁=6
см и R₂=10
см несут соответственно заряды
Q₁=l
нКл и Q₂=
–0,5 нКл. Найти напряженность
Е поля в точках, отстоящих от центра
сфер на расстояниях r₁=5
см, r₂=9
см r₃=15см.
Построить график Е(r).

Решение.
Заметим, что точки, в которых требуется
найти напряженности электрического
поля, лежат в трех областях (рис. 14.7):
область I (r<R₁),
область II (R₁<r₂<R₂),
область III (r₃>R₂).

1. Для определения
напряженности E₁
в области I проведем
сферическую поверхность
S₁
радиусом r₁
и воспользуемся теоремой Остроградского—Гаусса.
Так как внутри области I
зарядов нет, то согласно указанной
теореме получим равенство

, (1)

где E_n
— нормальная составляющая напряженности
электрического поля.

Из соображений
симметрии нормальная составляющая E_n
должна быть равна самой напряженности
и постоянна для всех точек сферы, т. е.
En=E₁=const.
Поэтому ее можно вынести за знак
интеграла. Равенство (1) примет вид

.

Так как площадь
сферы не равна нулю, то

E₁=0,

т. е. напряженность
поля во всех точках, удовлетворяющих
условию r₁<.R₁,
будет равна нулю.

2. В области II
сферическую поверхность проведем
радиусом r₂.
Так как внутри этой поверхности находится,
заряд Q₁,
то для нее, согласно теореме
Остроградского—Гаусса, можно
записать равенство

. (2)

Так как
E_n=E₂=const,
то из условий симметрии следует

,
или ES₂=Q₁/₀,

откуда

E₂=Q₁/(₀S₂).

Подставив сюда
выражение площади сферы, получим

E₂=Q/(4). (3)

3. В области III
сферическую поверхность проведем
радиусом r₃.
Эта поверхность охватывает
суммарный заряд Q₁+Q₂.
Следовательно, для нее уравнение,
записанное на основе теоремы
Остроградского — Гаусса, будет иметь
вид

.

Отсюда, использовав
положения, примененные в первых двух
случаях, найдем

. (4)

Убедимся в том,
что правые части равенств (3) и (4) дают
единицу напряженности электрического
поля;

Выразим все величины
в единицах СИ (Q₁=10^-9
Кл, Q₂=
–0,510^-9
Кл, r₁=0,09
м, r₂=15
м, l/(4₀)=910⁹
м/Ф) и произведем вычисления:

4. Построим график
E(r).В
области I (r₁<R₁)
напряженность E=0. В
области II (R₁r<.R₂)
напряженность E₂(r)
изменяется по закону l/r².
В точке r=R₁
напряженность E₂(R₁)=Q₁/(4₀R)=2500
В/м.В точке r=R₁
(r стремится к
R₁
слева) E₂(R₂)=Q₁/(4₀R)=900В/м.
В области III (r>R₂)E₃(r)
изменяется по закону 1/r²,
причем в точке r=R₂
(r стремится к R₂
справа) Е₃(R₂)=(Q₁–|Q₂|)/(4₀R)=450
В/м. Таким образом, функция Е(r)
в точках r=R₁
и r=R₂
терпит разрыв. График зависимости Е(r)
представлен на рис. 14.8.

Задачи

Напряженность
поля точечных зарядов

14.1. Определить
напряженность Е электрического
поля, создаваемого точечным зарядом
Q=10
нКл на расстоянии r=10
см от него. Диэлектрик —
масло.

14.2. Расстояние
d между двумя
точечными зарядами Q₁=+8
нКл и Q₂=
–5,3 нКл равно 40 см. Вычислить
напряженность Е поля в точке, лежащей
посередине между зарядами. Чему равна
напряженность, если второй заряд будет
положительным?

14.3. Электрическое
поле создано двумя точечными зарядами
Q₁=10
нКл и Q₂=
–20 нКл, находящимися на расстоянии
d=20
см друг от друга. Определить напряженность
E поля в точке, удаленной
от первого заряда на r₁=30
см и от второго на r₂=50
см.

14.4. Расстояние
d между двумя точечными положительными
зарядами Q₁=9Q
и Q₂=Q
равно 8 см. На каком расстоянии г от
первого заряда находится точка, в которой
напряженность Е поля зарядов равна
нулю? Где находилась бы эта точка, если
бы второй заряд был отрицательным?

14.5. Два точечных
заряда Q₁=2Q
и Q₂=
–Q находятся на
расстоянии d друг от друга. Найти
положение точки на прямой, проходящей
через эти заряды, напряженность Е
поля в которой равна нулю,

14.6. Электрическое
поле создано двумя точечными зарядами
Q₁=40
нКл и Q₂=
–10 нКл, находящимися на расстоянии
d=10 см друг от друга.
Определить напряженность Е поля в
точке, удаленной от первого заряда на
r₁=12
см и от второго на r₂=6
см.

Напряженность
поля заряда, распределенного по кольцу
и сфере

14.7. Тонкое
кольцо радиусом R=8 см
несет заряд, равномерно распределенный
с линейной плотностью =10
нКл/м. Какова напряженность Е
электрического поля в точке, равноудаленной
от всех точек кольца на расстояние r=10
см?

14.8. Полусфера
несет заряд, равномерно распределенный
с поверхностной плотностью =1,нКл/м².
Найти напряженность Е электрического
поля в геометрическом центре полусферы.

14.9. На
металлической сфере радиусом R=10
см находится заряд Q=l
нКл. Определить напряженность Е
электрического поля в
следующих точках: 1) на расстоянии r₁=8
см от центра сферы; 2) на
ее поверхности; 3) на расстоянии r₂=15
см от центра сферы. Построить график
зависимости E от r.

14.10. Две
концентрические металлические заряженные
сферы радиусами R₁=6cм
и R₂=10
см несут соответственно заряды
Q₁=1
нКл и Q₂=
–0,5 нКл. Найти
напряженности Е поля в точках.
отстоящих от центра сфер на расстояниях
r₁=5 см, r₂=9
см, r₃=15
см. Построить график зависимости Е(r).

Напряженность
поля заряженной линии

14.11. Очень
длинная тонкая прямая проволока несет
заряд, равномерно распределенный по
всей ее длине. Вычислить линейную
плотность  заряда,
если напряженность E
поля на расстоянии а=0,5 м от проволоки
против ее середины равна 200 В/м.

14.12. Расстояние
d между двумя длинными
тонкими проволоками, расположенными
параллельно друг другу, равно 16 см.
Проволоки равномерно заряжены
разноименными зарядами с линейной
плотностью ||=^150.
мкКл/м. Какова напряженность Е поля
в точке, удаленной на r=10
см как от первой, так и от второй проволоки?

14.13. Прямой
металлический стержень диаметром d=5
см и длиной l=4 м несет
равномерно распределенный по его
поверхности заряд Q=500
нКл. Определить напряженность Е
поля в точке, находящейся против середины
стержня на расстоянии а=1 см от его
поверхности.

14.14. Бесконечно
длинная тонкостенная металлическая
трубка радиусом R=2
см несет равномерно распределенный по
поверхности заряд (=1
нКл/м²). Определить напряженность
Е поля в точках, отстоящих от оси
трубки на расстояниях r₁=l
см, r₂=3
см. Построить график зависимости Е(r).

1 Электрическое поле создано двумя точечными зарядами Q1= 30 нКл Q2=-10 нКл. Расстояние между зарядами равно 20 см. Определить напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r1=15 см от первого и на расстоянии r2=10 см от второго зарядов
РЕШЕНИЕ

2 Электрическое поле создано двумя параллельными бесконечными заряженными плоскостями с поверхностными плотностями заряда 0,4 и 0,1 мкКл/м2. Определить напряженность электрического поля, созданного этими заряженными плоскостями.
РЕШЕНИЕ

3 На пластинах плоского воздушного конденсатора находится заряд Q=10 нКл. Площадь каждой пластины конденсатора равна 100 см2. Определить силу, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным
РЕШЕНИЕ

4 Электрическое поле создано бесконечной плоскостью, заряженной с поверхностной плотностью 400 нКл/м2, и бесконечной прямой нитью, заряженной с линейной плотностью τ=100 нКл/м. На расстоянии 10 см от нити находится точечный заряд Q=10 нКл. Определить силу, действующую на заряд, ее направление, если заряд и нить лежат в одной плоскости, параллельной заряженной плоскости
РЕШЕНИЕ

5 Точечный заряд Q=25 нКл находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R=1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью 2 мкКл/м2. Определить силу, действующую на заряд, помещенный от оси цилиндра на расстоянии r=10 см
РЕШЕНИЕ

6 Электрическое поле создано тонкой бесконечно длинной нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью 30 нКл/м. На расстоянии a=20 см от нити находится плоская круглая площадка радиусом r=1 см. Определить поток вектора напряженности через эту площадку, если плоскость ее составляет угол β=30° с линией напряженности, проходящей через середину площадки.
РЕШЕНИЕ

7 Две концентрические проводящие сферы радиусами R1=6 см и R2=10 см несут соответственно заряды Q1=1 нКл и Q2=-0,5 нКл. Найти напряженность поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r1=5 см, r2=9 см и r3=15 см. Построить график E(r)
РЕШЕНИЕ

14.1 Определить напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом Q=10 нКл на расстоянии r=10 см от него. Диэлектрик масло.
РЕШЕНИЕ

14.2 Расстояние между двумя точечными зарядами Q1=+8 нКл и Q2=-5,3 нКл равно 40 см. Вычислить напряженность поля в точке, лежащей посередине между зарядами. Чему равна напряженность, если второй заряд будет положительным?
РЕШЕНИЕ

14.3 Электрическое поле создано двумя точечными зарядами Q1=10 нКл и Q2=-20 нКл, находящимися на расстоянии d=20 см друг от друга. Определить напряженность поля в точке, удаленной от первого заряда на r1=30 см и от второго на r2=50 см.
РЕШЕНИЕ

14.4 Расстояние между двумя точечными положительными зарядами Q1=9Q и Q2=Q равно 8 см. На каком расстоянии r от первого заряда находится точка, в которой напряженность поля зарядов равна нулю? Где находилась бы эта точка, если бы второй заряд был отрицательным?
РЕШЕНИЕ

14.5 Два точечных заряда Q1=2Q и Q2=-Q находятся на расстоянии d друг от друга. Найти положение точки на прямой, проходящей через эти заряды, напряженность E поля в которой равна нулю
РЕШЕНИЕ

14.6 Электрическое поле создано двумя точечными зарядами Q1=40 нКл и Q2=-10 нКл, находящимися на расстоянии 10 см друг от друга. Определить напряженность поля в точке, удаленной от первого заряда на r1=12 см и от второго на r2=6 см.
РЕШЕНИЕ

14.7 Тонкое кольцо радиусом R=8 см несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью т=10 нКл/м. Какова напряженность электрического поля в точке, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r= 10 см?
РЕШЕНИЕ

14.8 Полусфера несет заряд, равномерно распределенный с поверхностной плотностью 1 нКл/м2. Найти напряженность электрического поля в геометрическом центре полусферы.
РЕШЕНИЕ

14.9 На металлической сфере радиусом R=10 см находится заряд Q=1 нКл. Определить напряженность электрического поля в следующих точках: на расстоянии r1=8 см от центра сферы; на ее поверхности; на расстоянии r2=15 см от центра сферы. Построить график зависимости E от r.
РЕШЕНИЕ

14.10 Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами R1=6 см и R2=10 см несут соответственно заряды Q1=1 нКл и Q2=-0,5 нКл. Найти напряженности E поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r1=5 см, r2=9 см, r3=15 см. Построить график зависимости E(r).
РЕШЕНИЕ

14.11 Очень длинная тонкая прямая проволока несет заряд, равномерно распределенный по всей ее длине. Вычислить линейную плотность заряда, если напряженность поля на расстоянии a=0,5 м от проволоки против ее середины равна 200 В/м.
РЕШЕНИЕ

14.12 Расстояние между двумя длинными тонкими проволоками, расположенными параллельно друг другу, равно 16 см. Проволоки равномерно заряжены разноименными зарядами с линейной плотностью т=150 мкКл/м. Какова напряженность поля в точке, удаленной на r=10 см как от первой, так и от второй проволоки?
РЕШЕНИЕ

14.13 Прямой металлический стержень диаметром d=5 см и длиной 4 м несет равномерно распределенный по его поверхности заряд Q=500 нКл. Определить напряженность E поля в точке, находящейся против середины стержня на расстоянии a=1 см от его поверхности.
РЕШЕНИЕ

14.14 Бесконечно длинная тонкостенная металлическая трубка радиусом R=2 см несет равномерно распределенный по поверхности заряд 1 нКл/м2. Определить напряженность E поля в точках, отстоящих от оси трубки на расстояниях r1=1 см, r2=3 см. Построить график зависимости E(r).
РЕШЕНИЕ

14.15 Две длинные тонкостенные коаксиальные трубки радиусами R1=2 см и R2=4 см несут заряды, равномерно распределенные по длине с линейными плотностями τ1=1 τ2=-0,5 нКл/м. Пространство между трубками заполнено эбонитом. Определить напряженность E поля в точках, находящихся на расстояниях r1= 1 см, r2=3 см, r3=5 см от оси трубок. Построить график зависимости E от r.
РЕШЕНИЕ

14.16 На отрезке тонкого прямого проводника длиной 10 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ=3 мкКл/м. Вычислить напряженность E, создаваемую этим зарядом в точке, расположенной на оси проводника и удаленной от ближайшего конца отрезка на расстояние, равное длине этого отрезка.
РЕШЕНИЕ

14.17 Тонкий стержень длиной l=12 см заряжен с линейной плотностью τ=200 нКл/м. Найти напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r=5 см от стержня против его середины.
РЕШЕНИЕ

14.18 Тонкий стержень длиной l=10 см заряжен с линейной плотностью τ=400 нКл/м. Найти напряженность E электрического поля в точке, расположенной на перпендикуляре к стержню, проведенном через один из его концов, на расстоянии r=8 см от этого конца.
РЕШЕНИЕ

14.19 Электрическое поле создано зарядом тонкого равномерно заряженного стержня, изогнутого по трем сторонам квадрата. Длина стороны квадрата равна 20 см. Линейная плотность т зарядов равна 500 нКл/м. Вычислить напряженность E поля в точке A.
РЕШЕНИЕ

14.20 Два прямых тонких стержня длиной 12 см и 16 см каждый заряжены с линейной плотностью т=400 нКл/м. Стержни образуют прямой угол. Найти напряженность E поля в точке A (рис. 14.10).
РЕШЕНИЕ

14.21 Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными пластинами, несущими одинаковый равномерно распределенный по площади заряд 1 нКл/м2. Определить напряженность E поля между пластинами; вне пластин. Построить график изменения напряженности вдоль линии, перпендикулярной пластинам.
РЕШЕНИЕ

14.22 Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными пластинами, несущими равномерно распределенный по площади заряд с поверхностными плотностями 1 нКл/м2 и 3 нКл/м2. Определить напряженность E поля между пластинами; вне пластин. Построить график изменения напряженности вдоль линии, перпендикулярной пластинам.
РЕШЕНИЕ

14.23 Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными пластинами, несущими равномерно распределенный по площади заряд с поверхностными плотностями 2 нКл/м2 и -5 нКл/м2. Определить напряженность поля между пластинами; вне пластин. Построить график изменения напряженности вдоль линии, перпендикулярной пластинам
РЕШЕНИЕ

14.24 Две прямоугольные одинаковые параллельные пластины, длины сторон которых a=10 см и b = 15 см, расположены на малом по сравнению с линейными размерами пластин расстоянии друг от друга. На одной из пластин равномерно распределен заряд Q1 =50 нКл, на другой заряд Q2= 150 нКл. Определить напряженность электрического поля между пластинами
РЕШЕНИЕ

14.25 Две бесконечные параллельные пластины равномерно заряжены с поверхностной плотностью 10 нКл/м2 и -30 нКл/м2. Определить силу взаимодействия между пластинами, приходящуюся на площадь, равную 1 м2.
РЕШЕНИЕ

14.26 Две круглые параллельные пластины радиусом R=10 см находятся на малом по сравнению с радиусом расстоянии друг от друга. Пластинам сообщили одинаковые по модулю, но противоположные по знаку заряды Q1=Q2=Q. Определить этот заряд, если пластины притягиваются с силой F=2 мН. Считать, что заряды распределяются по пластинам равномерно.
РЕШЕНИЕ

14.27 Эбонитовый сплошной шар радиусом R=5 см несет заряд, равномерно распределенный с объемной плотностью 10 нКл/м3. Определить напряженность и смещение электрического поля в точках на расстоянии r1=3 см от центра сферы; на поверхности сферы; на расстоянии r2=10 см от центра сферы. Построить графики зависимостей E(r) и D(r).
РЕШЕНИЕ

14.28 Полый стеклянный шар несет равномерно распределенный по объему заряд. Его объемная плотность 100 нКл/м3. Внутренний радиус R1 шара равен 5 см, наружный R2=10 см. Вычислить напряженность E и смещение D электрического поля в точках, отстоящих от центра сферы на расстоянии r1=3 см; r2=6 см; r3=12 см. Построить графики зависимостей E(r) и D(r).
РЕШЕНИЕ

14.29 Длинный парафиновый цилиндр радиусом R=2 см несет заряд, равномерно распределенный по объему с объемной плотностью 10 нКл/м3. Определить напряженность E и смещение D электрического поля в точках, находящихся от оси цилиндра на расстоянии r1=1 см; r2=3 см. Обе точки равноудалены от концов цилиндра. Построить графики зависимостей E(r) и D(r).
РЕШЕНИЕ

14.30 Большая плоская пластина толщиной d=1 см несет заряд, равномерно распределенный по объему с объемной плотностью 100 нКл/м3. Найти напряженность электрического поля вблизи центральной части пластины вне ее, на малом расстоянии от поверхности.
РЕШЕНИЕ

14.31 Лист стекла толщиной d=2 см равномерно заряжен с объемной плотностью 1 мкКл/м3. Определить напряженность E и смещение D электрического поля в точках A, B, C. Построить график зависимости E(x) ось x координат перпендикулярна поверхности листа стекла
РЕШЕНИЕ

14.32 На некотором расстоянии a=5 см от бесконечной проводящей плоскости находится точечный заряд Q=1 нКл. Определить силу, действующую на заряд со стороны индуцированного им заряда на плоскости.
РЕШЕНИЕ

14.33 На расстоянии a=10 см от бесконечной проводящей плоскости находится точечный заряд Q=20 нКл. Вычислить напряженность электрического поля в точке, удаленной от плоскости на расстояние а и от заряда Q на расстояние 2а.
РЕШЕНИЕ

14.34 Точечный заряд Q=40 нКл находится на расстоянии 30 см от бесконечной проводящей плоскости. Какова напряженность E электрического поля в точке A (рис. 14.12)?
РЕШЕНИЕ

14.35 Большая металлическая пластина расположена в вертикальной плоскости и соединена с землей. На расстоянии a=10 см от пластины находится неподвижная точка, к которой на нити длиной ℓ=12 см подвешен маленький шарик массой m=0,1 г. При сообщении шарику заряда Q он притянулся к пластине, в результате чего нить отклонилась от вертикали на угол α=30°. Найти заряд Q шарика.
РЕШЕНИЕ

14.36 Тонкая нить несет равномерно распределенный по длине заряд с линейной плотностью τ=2 мкКл/м. Вблизи средней части нити на расстоянии r=1 см, малом по сравнению с ее длиной, находится точечный заряд Q=0,1 мкКл. Определить силу F, действующую на заряд.
РЕШЕНИЕ

14.37 Большая металлическая пластина несет равномерно распределенный по поверхности заряд 10 нКл/м2. На малом расстоянии от пластины находится точечный заряд Q=100 нКл. Найти силу F, действующую на заряд.
РЕШЕНИЕ

14.38 Точечный заряд Q=1 мкКл находится вблизи большой равномерно заряженной пластины против ее середины. Вычислить поверхностную плотность заряда пластины, если на точечный заряд действует сила F=60 мН.
РЕШЕНИЕ

14.39 Между пластинами плоского конденсатора находится точечный заряд Q=30 нКл. Поле конденсатора действует на заряд с силой F1=10 мН. Определить силу F2 взаимного притяжения пластин, если площадь 5 каждой пластины равна 100 см2.
РЕШЕНИЕ

14.40 Параллельно бесконечной пластине, несущей заряд, равномерно распределенный по площади с поверхностной плотностью 20 нКл/м2. расположена тонкая нить с равномерно распределенным по длине зарядом (т=0,4 нКл/м). Определить силу F, действующую на отрезок нити длиной ℓ=1 м.
РЕШЕНИЕ

14.41 Две одинаковые круглые пластины площадью по 100 см2 каждая расположены параллельно друг другу. Заряд Q1 одной пластины равен +100 нКл, другой Q2=-100 нКл. Определить силу F взаимного притяжения пластин в двух случаях, когда расстояние между ними: 1) r1=2 см; 2) r2=10 м.
РЕШЕНИЕ

14.42 Плоский конденсатор состоит из двух пластин, разделенных стеклом. Какое давление производят пластины на стекло перед пробоем, если напряженность E электрического поля перед пробоем равна 30 МВ/м?
РЕШЕНИЕ

14.43 Две параллельные, бесконечно длинные прямые нити несут заряд, равномерно распределенный по длине с линейными плотностями τ1=0,1 мкКл/м и τ2=0,2 мкКл/м. Определить силу взаимодействия, приходящуюся на отрезок нити длиной 1 м. Расстояние между нитями равно 10 см.
РЕШЕНИЕ

14.44 Прямая, бесконечная, тонкая нить несет равномерно распределенный по длине заряд 1 мкКл/м. В плоскости, содержащей нить, перпендикулярно нити находится тонкий стержень длиной l. Ближайший к нити конец стержня находится на расстоянии l от нее. Определить силу , действующую на стержень, если он заряжен с линейной плотностью τ2=0,1 мкКл/м.
РЕШЕНИЕ

14.45 Металлический шар имеет заряд Q1=0,1 мкКл. На расстоянии, равном радиусу шара, от его поверхности находится конец нити, вытянутой вдоль силовой линии. Нить несет равномерно распределенный по длине заряд Q2= 10 нКл. Длина нити равна радиусу шара. Определить силу F, действующую на нить, если радиус шара равен 10 см.
РЕШЕНИЕ

14.46 Соосно с бесконечной прямой равномерно заряженной линией 0,5 мкКл/м расположено полукольцо с равномерно распределенным зарядом 20 нКл/м. Определить силу F взаимодействия нити с полукольцом.
РЕШЕНИЕ

14.47 Бесконечная прямая нить несет равномерно распределенный заряд с линейной плотностью τ1=1 мкКл/м. Соосно с нитью расположено тонкое кольцо, заряженное равномерно с линейной плотностью τ2=10 нКл/м. Определить силу, растягивающую кольцо. Взаимодействием между отдельными элементами кольца пренебречь.
РЕШЕНИЕ

14.48 Две бесконечно длинные равномерно заряженные тонкие нити τ1=τ2=τ=1 мкКл/м скрещены под прямым углом друг к другу. Определить силу их взаимодействия.
РЕШЕНИЕ

14.49 Бесконечная плоскость несет заряд, равномерно распределенный с поверхностной плотностью 1 мкКл/м2. На некотором расстоянии от плоскости параллельно ей расположен круг радиусом r = 10 см. Вычислить поток ФЕ вектора напряженности через этот круг.
РЕШЕНИЕ

14.50 Плоская квадратная пластина со стороной длиной a, равной 10 см, находится на некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной 1 мкКл/м2 плоскости. Плоскость пластины составляет угол 30 с линиями поля. Найти поток электрического смещения через эту пластину.
РЕШЕНИЕ

14.51 В центре сферы радиусом R=20 см находится точечный заряд Q=10 нКл. Определить поток вектора напряженности через часть сферической поверхности площадью S=20 см2
РЕШЕНИЕ

14.52 В вершине конуса с телесным углом 0,5 ср находится точечный заряд Q=30 нКл. Вычислить поток электрического смещения через площадку, ограниченную линией пересечения поверхности конуса с любой другой поверхностью.
РЕШЕНИЕ

14.53 Прямоугольная плоская площадка со сторонами, длины а и b которых равны 3 и 2 см соответственно, находится на расстоянии R= 1 м от точечного заряда Q=1 мкКл. Площадка ориентирована так, что линии напряженности составляют угол 30 с ее поверхностью. Найти поток вектора напряженности через площадку
РЕШЕНИЕ

14.54 Электрическое поле создано точечным зарядом Q=0,1 мкКл. Определить поток электрического смещения через круглую площадку радиусом R =30 см. Заряд равноудален от краев площадки и находится на расстоянии a=40 см от ее центра
РЕШЕНИЕ

14.55 Заряд Q=1 мкКл равноудален от краев круглой площадки на расстоянии r=20 см. Радиус площадки равен 12 см. Определить среднее значение напряженности E в пределах площадки
РЕШЕНИЕ

14.56 Электрическое поле создано бесконечной прямой равномерно заряженной линией 0,3 мкКл/м. Определить поток электрического смещения через прямоугольную площадку, две большие стороны которой параллельны заряженной линии и одинаково удалены от нее на расстояние r=20 см. Стороны площадки имеют размеры a=20 см, b=40 см
РЕШЕНИЕ