Как найти напряжение эквивалентного генератора

Главная
→
Примеры решения задач ТОЭ
→
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
→
1 Методы расчета электрических цепей при постоянных токах и напряжениях
→
1.5 Метод эквивалентного генератора (метод эквивалентного источника ЭДС)

1.5 Метод эквивалентного генератора (метод эквивалентного источника ЭДС)

Методы и примеры решения задач ТОЭ
→
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
→
1 Методы расчета электрических цепей при постоянных токах и напряжениях

1.5 Метод эквивалентного генератора (метод эквивалентного источника ЭДС)

Метод эквивалентного генератора основан на теореме об эквивалентном источнике (теорема Тевенена) — активном двухполюснике.

Теорема Тевенена для линейных электрических цепей утверждает, что любая электрическая цепь, имеющая два вывода и состоящая из комбинации источников напряжения, источников тока и резисторов (сопротивлений), с электрической точки зрения эквивалентна цепи с одним источником напряжения E и одним резистором R, соединенными последовательно.

В методе эквивалентного генератора (метод эквивалентного источника ЭДС) сложную разветвленную схему рассматривают как активный двухполюсник по отношению к ветви R с искомым током I, который определяют по выражению

I = E_ЭГ/ (R_ЭГ + R),

где

E_ЭГ = U_хх — ЭДС эквивалентного генератора равная напряжению холостого хода между зажимами подключенного пассивного элемента R в ветви с искомым током;

R_ЭГ = R_вх — сопротивление эквивалентного генератора равное входному сопротивлению пассивного двухполюсника относительно разомкнутых зажимов.

Алгоритм метода эквивалентного генератора (метод эквивалентного источника ЭДС)

1. Определяют напряжение холостого хода U_хх. Для этого ветвь с искомым током разрывают, удаляя сопротивление, и оставляют ЭДС в этой ветви, если она имеется.

2. Задаются направлением токов в ветвях оставшейся схемы после размыкания ветви. Записывают выражение для напряжения U_хх между разомкнутыми зажимами по второму закону Кирхгофа. В это уравнение войдет ЭДС разомкнутой ветви.

3. Рациональным методом рассчитываются токи в схеме, вошедшие в выражение напряжения U_хх.

4. Определяют входное сопротивление двухполюсника относительно разомкнутых зажимов.

Индивидуалка Вика (24 лет) т.8 985 260-71-05 Москва, метро Ясенево. платно терапевт самара.

5. В соответствии с методом эквивалентного генератора (метод эквивалентного источника ЭДС), определяют искомый ток ветви.

Решение задач методом эквивалентного генератора (методом эквивалентного источника ЭДС)

Задача 1.5.1 В схеме рис. 1.5.1 амперметр показывает 0,5 А. Определить его показания в схеме рис. 1.5.2.

Решение. Можно считать, что в схеме рис. 1.5.2 резистор R₅ подключен к зажимам эквивалентного генератора, который в схеме рис. 1.5.1 работает в режиме короткого замыкания.

Рис. 1.5.3

Определим внутреннее сопротивление эквивалентного генератора по схеме рис. 1.5.3, где заменим треугольник сопротивлений R₁R₃R₀ эквивалентным соединением звездой

R 13 = R 1 ⋅ R 3 R 1 + R 3 + R 0 = 2⋅4 2+4+4 =0,8   Ом; R 01 = R 1 ⋅ R 0 R 1 + R 3 + R 0 = 4⋅2 2+4+4 =0,8   Ом; R 03 = R 0 ⋅ R 3 R 1 + R 3 + R 0 = 4⋅4 2+4+4 =1,6   Ом; R Э = R 13 + ( R 01 + R 2 )⋅ ( R 03 + R 4 ) ( R 01 + R 2 )+ ( R 03 + R 4 ) =         =0,8+ ( 0,8+4 )⋅ ( 1,6+2 ) ( 0,8+4 )+ ( 1,6+2 ) =2,86   Ом.

ЭДС эквивалентного генератора определим из формулы I = E_ЭГ/ (R_ЭГ + R) метода эквивалентного генератора. При коротком замыкании I = E_ЭГ/R_ЭГ. Откуда ЭДС эквивалентного генератора

E Э =I⋅ R Э =0,5⋅2,86=1,43  В.

Ток I₅ в схеме рис. 1.5.2 по методу эквивалентного генератора (методу эквивалентного источника ЭДС)

I 5 = E Э R Э + R 5 = 1,43 2,86+1 =0,371  А.

Метод эквивалентного источника напряжения, метод эквивалентного источника тока, метод активного двухполюсника в статье ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА. Основные положения и соотношения. Упражнения и задачи

теорема Тевенена,
теорема об эквивалентном источнике,
метод эквивалентного источника ЭДС,
метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора:

Метод эквивалентного генератора рационально применять в случае необходимости определения тока (напряжения, мощностн и др.) только одной ветви сложной электрической цепи.

Для этой цели разбивают сложную электрическую цепь на две части — на сопротивление R, ток которого

Активным этот двухполюсник называют потому, что в нем имеется источник ЭДС. Этот активный двухполюсник обладает определенной ЭДС

Ток в резисторе с сопротивлением R определяют по закону Ома 

Таким образом, определение тока сводится к вычислению ЭДС эквивалентного генератора и его внутреннего сопротивления .

Величина ЭДС определяется любым методом расчета цепей постоянного тока относительно точек А а В при разомкну-клеммах, т. е. в режиме холостого хода. Практически эту ЭДС о измерить вольтметром, подключенным к клеммам А и В холостом ходе.

Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора выявляется относительно точек А и В после предварительной смены всех источников сложной схемы эквивалентного генера-а их внутренними сопротивлениями.

Практически для определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора измеряют амперметром ток между точки А и В работающего двухполюсника при коротком замыкании так как сопротивление амперметра настолько мало, что им можно пренебречь. Тогда

где  — напряжение холостого хода, — ток короткого замыкания.

Такой метод практического определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора называется методом хо-ого хода и короткого замыкания. Расчет параметров эквивалентного генератора, его ЭДС и внутреннего сопротивления , рассматриваются в примерах 4.12 4.13.

Пример 4.12

Определить ток в сопротивлении , подключенном к точкам А В электрической цепи (рис. 4.8а) примера 4.6 методом эквивалентного генератора.

Решение

Для определения тока в сопротивлении определим ЭДС эквивалентного генератора (рис. 4.16а) и его внутреннее сопротивление (рис. 4.166) при холостом ходе, т. е. разомкнутой цепи (между точками А и В).

Знак «минус» обусловлен тем, что источники в схеме включены встречно и потенциал в точке А больше потенциала в точке В, так как (см. пример 4.6).

Напряжение

Напряжение

Следовательно, Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора

Искомый ток

Такой же ток получен в примере 4.6 на сопротивлении 

Пример 4.13

В схеме рис. 4.17а сопротивления плеч моста равны

Сопротивление гальванометра R_r = 98,33 Ом, ЭДС источника . Методом эквивалентного генератора определить в ветви гальванометра (между точками А и В).

Решение

Для определения тока в цепи гальванометра методом эквивалентного генератора необходимо вычислить ЭДС эквивалентного генератора между точками А и В (рис. 4.176) и внутреннее сопротивление эквивалентного генератора относительно точек А и В при присутствии гальванометра, заменив в схеме (рис. 4.17в) источник ЭДС его внутренним сопротивлением ( = 0) равным нулю.

Для определения ЭДС эквивалентного генератора принимают потенциал точки С схемы (рис. 4.176) равным нулю, т. е. ф_с=о.

Тогда

При замене источника ЭДС его внутренним сопротивлением, равным нулю, замыкаются накоротко точки С и D схемы (рис. 4.17в). При этом (рис. 4.17г) сопротивления соединены между собой параллельно. Также параллельно соединены между собой сопротивления . Между точками А и В сопротивления соединены последовательно. Следовательно, сопротивление эквивалентного генератора относительно точек А и В будет равно

Тогда ток в ветви с гальванометром, который направлен из точки В в точку А, т. е. из точки с большим потенциалом в точку с наименьшим потенциалом (рис. 4.17а), будет равен

Метод эквивалентного генератора (активного двухполюсника)

Все методы, рассмотренные ранее, предполагали расчет токов одновременно во всех ветвях цепи. Однако в ряде случаев бывает необходимым контролировать ток в одной отдельно взятой ветви. В этом случае применяют для расчета метод эквивалентного генератора.

Пусть дана некоторая электрическая цепь, которую заменим активным двухполюсником (рис. 3.10), оставив только ветвь в которой необходимо рассчитать ток.

Сначала, введем в ветвь  два источника ЭДС  и  одинаковые по величине и противоположно направленные:

Затем, используя принцип наложения, данную цепь представим суммой двух цепей. В первой оставим все источники активного двухполюсника и источник ЭДС Вторая цепь представляет собой пассивный двухполюсник, имеющий входное сопротивление  и источник ЭДС

Рис. 3.10. Преобразование исходного двухполюсника в сумму двух цепей

На основании принципа наложения ток ветви 

Поскольку и они могут быть любые по величине, то подберем их значения такими, чтобы ток был равен нулю. Для этого выберем 

Напряжение на зажимах источника в режиме холостого хода численно равно его ЭДС. Тогда активный двухполюсник с источником может быть представлен в виде, представленном на рис. 3.11:

Рис. 3.11. Схема замещения активного двухполюсника

В этой схеме ЭДС  численно равна активного двухполюсника, и, следовательно, ток:

Таким образом, ток в ветви

Пусть дана цепь (рис. 3.12), в которой необходимо рассчитать ток методом эквивалентного генератора.

Рис. 3.12. Исходная цепь

Последовательность расчета:

1. Разомкнем ветвь с сопротивлением или примем 

2. Зададим положительное направление и для произвольно выбранных положительных направлений токов. Например, для первого контура запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:

3. Токи и в преобразованной схеме по рис. 3.13 рассчитываем любым известным методом, например, методом контурных токов

Тогда 

4. Определим эквивалентное сопротивление пассивного двухполюсника. Для этого мысленно закоротим все источники ЭДС исходной цепи, оставляя в схеме для реальных источников их внутренние сопротивления.

В образовавшейся схеме пассивного двухполюсника невозможно определить эквивалентное сопротивление относительно зажимов так как нет последовательно-параллельного соединения приемников, поэтому необходимо выполнить преобразование какого-либо участка цепи из «треугольника» в «звезду» или выполнить обратное преобразование.

Преобразуем, например, «треугольник» сопротивлений в «звезду» При этом получится схема с последовательно-параллельным соединением приемников (рис. 3.14).

Рис. 3.14. Схема пассивного двухполюсника

Сопротивления этой схемы будут:

Входное сопротивление цепи относительно зажимов и запишем в виде:

Окончательно имеем:

Метод эквивалентного генератора

Для
определения тока в одной (или нескольких)
из ветвей сложной электрической
цепи целесообразно использовать метод
эквивалентного ге­нератора. Этот
метод основан на теореме об активном
двухполюснике: ток в
некоторой заданной ветви не изменится,
если активную цепь, к которой подключена
эта ветвь, заменить источником энергии,
ЭДС которого равна напряжению
холостого хода на зажимах разомкнутой
ветви, а его (источ­ника)
внутреннее сопротивление равно
сопротивлению пассивной цепи от­носительно
зажимов искомой ветви (рис. 12).

34

Если
эквивалентный генератор представляется
источником ЭДС, ток в заданной ветви
определяется по закону Ома (рис. 12,6):

.

Если
эквивалентный генератор представляется
источником тока, ток в
заданной ветви находится по правилу
«чужого сопротивления» (рис.
12,в):

.

В
формулах U_х
— напряжение
холостого хода активного двухполюс­ника
на зажимах ветви, в которой определяется
ток; I_к
— ток
коротко­го
замыкания активного двухполюсника при
закороченной заданной ветви; R_вх
— входное
сопротивление пассивного двухполюсника,
найденное относительно
зажимов заданной ветви; R
— сопротивление заданной ветви.

Выбор
схемы замещения эквивалентного генератора
определяется схе­мой цепи, в которой
рассчитывается ток.

Если
в заданной ветви, кроме резистора, есть
источник ЭДС и для расчета
используется последовательная схема
замещения эквивалентного генератора
(рис. 12,6), ток можно определить из выражения

.

35

ЭДС
Е
учитывается
с положительным (отрицательным) знаком,
если напряжение
U_х
и ЭДС Е
совпадают
(противоположны) по направлению.

Определение
тока в заданной ветви электрической
цепи методом эк­вивалентного генератора
удобно производить в следующей
последовательности.

1.
Разомкнуть (закоротить) заданную ветвь
с искомым током.

2.
Определить напряжение холостого хода
/ток короткого замыкания/активного
двухполюсника относительно заданной
ветви.

3.
Исключая из активного двухполюсника
все источники энергии, определить
входное сопротивление двухполюсника
относительно зажимов заданной
ветви. При исключении источников в схеме
должны быть сохранены их внутренние
сопротивления.

4.
Используя закон Ома (правило «чужого
сопротивления»), найти ток
в заданной ветви. Направление тока
определяется направлением напряжения
холостого хода /тока короткого замыкания»/.

Пример
8.
В цепи, схема которой изображена на рис.
2, определить ток
I₁
методом эквивалентного генератора ЭДС
(напряжения).

После
исключения ветви с ЭДС Е1
и
резистором R1
получаем схему, изображенную
на (рис.
13,а).
В исходной цепи ток I₁
направлен от узла 3 к
узлу 1, такое же направление выбрано и
для напряжения холостого хода U_1x.

36

Для
расчета напряжения холостого хода U_1x
сначала
нужно найти ток
I_2х
в ветви с резисторами R2
и
R4;
удобнее всего это сделать методом
узловых потенциалов.

Положим
потенциал узла 4 равным нулю, тогда
потенциал узла 2

,

.

Для
узла 1 составим уравнение методом узловых
потенциалов:

,
где

,

.

Подставляя
подученные значения в расчётное
уравнение, имеем

0,0567φ₁-200*0,04
= 5

откуда

φ_1=229
В.

37

Ток
в ветви о резисторами R2
и R4

.

Напряжение
холостого хода находится по второму
закону Кирхгофа:

Схема
для определения входного сопротивления
пассивного двухпо­люсника
изображена на рис. 13,6. В месте включения
идеального источни­ка ЗДС Е6
поставлена
закоротка, в месте включения идеального
источни­ка тока J
цепь
разомкнута. Резистор R5
из
схемы
исключен, так как он
закорочен шестой ветвью. Входное
сопротивление относительно задан­ной
ветви

.

Искомый
ток I₁
определяется
по схеме с эквивалентным генератором

напряжения
(рис. 12,6). ЭДС E₁
учитывается
со знаком «+», так как ее направление
совпадает с направлением тока I₁
, а
значит и с направле­нием напряжения
холостого хода:

.

Пример
9.
В цепи, схема которой изображена на рис.
2, определить ток I₂
методом
эквивалентного генератора тока.

38

Закорачиваем
в исходной схеме ветвь с резистором;
получаем схему,
изображенную на (рис. 14,а). В исходной
цепи ток I₂
направлен от узла
1 к узлу 3, такое же направление выбрано
и для тока короткого замыкания
I_2k.
Этот ток в схеме (рис. 13,6) можно найти,
например, методом наложения:

.

Схема
для определения входного сопротивления
пассивного двухпо­люсника,
изображена на (рис. 14,6). В месте включения
идеальных источни­ков
ЭДС Е1 и Е6
поставлены
закоротки, в месте включения идеального
источника тока J
цепь
разомкнута. Резистор R5
из
схемы исключен, так как
он закорочен шестой ветвью. Входное
сопротивление относительно за­данной
ветви

Искомый
ток I₂
определяется
по схеме с эквивалентным генератором
тока
(рис. 12,в):

.

39

Рис.
14

Пример
10.
В цепи, схема которой изображена на
(рис. 2), определить ток I₄
методом
эквивалентного генератора напряжения.

Размыкаем
в исходной схеме ветвь с резистором R4;
получаем
схему, изображенную
на (рис. 15,а). В исходной цепи ток I₄
направлен
от узла 4 к
узлу 3, такое же направление выбрано и
для напряжения холостого хо­да
U_4x

Рис.
15

Размыкание
заданной ветви существенно упрощает
схему: ток I_2x

определяется
только источником ЭДС E4
и
не зависит от других источников
энергии, ток I_3x
равен
току источника тока J
в
силу принципа не­ прерывности
электрического тока:

,

.

40

Напряжение
холостого хода находится по второму
закону Кирхгофа:

.

Схема
для определения входного сопротивления
пассивного двухпо­люсника
изображена на (рис. 15,6). В месте включения
идеальных источни­ков ЭДС E1
и
E6
поставлены
закоротки, а в месте включения идеального
источника
тока J
цепь
разомкнута. Резистор R5
из
схемы исключен, так
как он закорочен шестой ветвью. Входное
сопротивление относитель­но
заданной ветви

Искомый
ток I₄
определяется по схеме с эквивалентным
генератором напряжения
(рис. 12,6):

МЕТОД
НЕНАПРАВЛЕННЫХ ГРАФОВ

В
методе ненаправленных графов за основу
принимается информация о так называемом
графе цепи, выраженная в виде остова
заданной цепи, на
котором показаны только узлы и ветви
цепи. Определяется передаточ­ный
коэффициент (передача) между входным
воздействием (источником энергии) и
искомой реакцией (током или напряжением).

Передача
определяется по топологической формуле

41

где
Т
— передача
цепи, т.е.
любая передаточная функция цепи (вход­ные
и взаимные сопротивления и проводимости,
коэффициент передачи по току
и напряжению); ∆
—
узловой определитель графа цепи,
найденный с
помощью разлояения по путям между двумя
произвольно выбранными узла­ми;
П’_к
— к-ый путь
передачи, равный произведению проводимое
тек вет­вей, входящих в данный путь;
всегда начинается на положительном
зажи­ме
источника и заканчивается на отрицательном
его зажиме, должен вклю­чать
в себя ветвь с искомой реакцией и не
проходить по ветви с источ­ником; ∆’_к
—
определитель
к-го
пути передачи графа; определяется из
графа,
полученного при закорачивании этого
пути передачи в исходном графе;
П_к,∆_к
— соответственно к—ый
путь
и его определитель, получен­ный
на основании исходного графа с закороченным
к-ым путем.

Если
искомой реакцией является ток, в ветвь
этого тока включают амперметр
с единичной проводимостью; если искомой
реакцией является напряжение ветви,
параллельно этой ветви включают вольтметр
с единичной
проводимостью. При наличии в схеме
идеального источника ЭДС зако­рачивают
узлы, к которым подключен этот источник;
ветвь с идеальным источником тока в
граф цепи не входит.

Топологический
метод применим только для цепей с одним
источни­ком
энергии. Если цепь содержит несколько
источников, для расчета ис­пользуется
принцип наложения.

Пример
11.
Определить передачу в мостовой цепи
(рис. 16,а) от источника
напряжения, подключенного к

42

узлам
1 и 3, к току I₄
в
ветви с проводимостью G₄
.
Положительное направление этого тока
(и положи­тельное
направление вдоль этой ветви) совпадает
с заданным направлени­ем напряжения
источника.

Граф
цепи показан на (рис. 16,6). В цепи два пути
передачи от уз­лов
1 и 3 источника к ветви G₄
Первый
путь передачи проходит по ветви G₃
. При
закорачивании этого пути передачи узлы
1, 3 и 4 соеди­няются
вместе, образуя с узлом 2 одну ветвь,
состоящую из параллельно соединенных
проводимостей G₁
, G₂
и
G_s
(рис.
16,в). Следовательно,

,

.

Второй
путь передачи проходит по ветвям G₁
и
G_s.
При
закорачи­вании
этого пути передачи все четыре узла
объединяются (рис. 16,г). Следовательно,

,

.

43

Пути
П₁
и
П₂
,
а также их определители ∆₁
и
∆₂
находятся
для
пары узлов 2 и 4, узлы 1 и 3 источника должны
быть закорочены. Тогда
соединяются параллельно ветви G₁
и
G₂
, а
также G₃
и
G₄
(рис.
17,а).

Первый
путь от узла 2 к узлу 4 проходит
последовательно по этим двум
параллельным разветвлениям; при
закорачивании этого пути все че­тыре
узла объединяются (рис. 17,6). Следовательно,

;

.

Второй
путь от узла 2 к узлу 4 проходит по ветви
G₅
при
зако­рачивании
этого пути все остальные ветви оказываются
соединенными па­раллельно
(рис. 17,в). Следовательно,

,

В
результате передача (взаимная проводимость)

44

Если,
например, напряжение источника U
=
100 В, ток в четвертой ветви

Пример
12.
Определить топологическим методом ток
I₆
в
цепи, изоб­раженной
на (рис. 18,а). Положительное направление
тока показано на ри­сунке.

Граф
цепи изображен на (рис. 18,6). Ветвь с
идеальным источником то­ка
в граф цепи не входит (G₃
=
0),
искомая ветвь стянута в точку (уз­лы
2 и 4 слиты в один).

45

Главный
определитель графа определяют по путям
между двумя произ­вольно
выбранными узлами 1 и 2. Определители
путей находят для графов с
соответственно закороченными путями
(рис. 19):

,

,
(рис. 19, а);

,

,
(рис. 19, б);

,

,
(рис. 19, в);

,
(рис. 19, г).

(Определитель
пути равен единице, если этот путь
проходит по всем узлам графа.)

Главный
определитель графа

Для
определения путей передачи и их
определителей используют граф,
изображенный
на (рис. 20), а заданная ветвь учитывается
единичной прово­димостью.

46

Первый
путь передачи проходит по ветви G₁
;
при закорачивании этого
пути передачи узлы 1, 2 и 4 объединяются
вместе, образуя парал­лельное
соединение ветвей G₂
, G₄
и
G₃
(рис. 20,6):

;

.

Второй
путь передачи проходит по ветвям G_s
и
G₂;
при закорачи­вании
этого пути передачи все четыре узла
объединяются (рис. 20,в), следовательно,

;

.

Оба
пути передачи проходят через заданную
ветвь в том же направ­лении, что и ток
I₆
, поэтому
произведения путей передачи на их
опре­делители в формуле передачи
должны быть учтены с положительным
знаком:

47

Искомый
ток I₆
= TJ
=
0,36 • 5 = 1,8 А.

Аналогичным
образом могут быть найдены и напряжения
в заданных ветвях; передача при этом
имеет размерность сопротивления.

МЕТОД
СИГНАЛЬНЫХ (НАПРАВЛЕННЫХ) ГРАФОВ

Сигнальным
графом (направленным графом, графом
уравнения) называ­ется
совокупность узлов и соединяющих их
ветвей, имеющих направление, указываемое
стрелкой. В отличие от ненаправленного
графа, сигнальный граф
представляет собой геометрический
образ системы линейных алгебра­ических
уравнений, описывающих электрическое
состояние цепи, иными словами,
сигнальный граф не повторяет электрическую
цепь, а представ­ляет собой графическое
изображение уравнений, связывающих
величины, характеризующие эту цепь.

Узел
графа, к которому подключена одна
уходящая ветвь, характери­зуется
входным сигналом — свободным членом
системы уравнений (заданным напряжением
или током), узел с одной входящей ветвью
— выходным сигна­лом, т.е. искомой
величиной, остальные узлы — другими
неизвестными ве­личинами, которые
должны быть исключены в процессе решения
задачи.

Каждая
ветвь характеризуется передачей,
являющейся функцией коэф­фициентов
уравнений и равной отношению сигналов
выходного (по направ­лению ветви) узла
к входному. К узлам графа может подходить
и уходить по нескольку ветвей; сигнал
узла равен сумме сигналов, приходящих
к этому
узлу (уходящие сигналы не учитываются).

Граф
цепи позволяет по заданному входному
сигналу (напряжению или току источника
энергии) найти выходной сигнал (ток или
напряжение приемника).
Эта задача может быть решена или
последовательным упрощением графа, или

48

применением
общего выражения для передачи сигнала
(формула Мезона). При упрощении исходный
граф преобразуется в эквивалентный с
одной
ветвью, непосредственно связывающей
входной и выходной узлы. Сигнальный
граф цепи может быть построен по системе
расчетных уравне­ний,
составленных для заданной цепи методом
контурных токов или узловых потенциалов.
Однако
преимущества использования сигнальных
графов для
расчета электрических цепей сказываются
в полной мере лишь тогда, когда
граф строится сразу по схеме цепи без
составления и преобразо­вания
уравнений.

В
случае построения графа контурных
уравнений необходимо задаться
положительными
направлениями контурных токов, выбирая
в качестве кон­туров ячейки, на которые
разбита цепь; положительные направления
кон­турных
токов цепи принимаются одинаковыми
(например, по часовой стрел­ке).
Количество узлов будущего графа
определяется количеством неиз­вестных
контурных токов и количеством источников
энергии в исходной цепи.
Далее поступают следующим образом.

1.
На поле графа располагают узлы,
соответствующие искомым переменным и
источникам схемы.

2.
Узлы-переменные (контурные токи)
соединяются двумя параллельными
противоположно направленными ветвями,
причем, если ветвь направ­лена
от узла j
к узлу i
,
то передача этой ветви принимается
равной –R_ij/R_ii

3.
Источники ЭДС схемы соединяются с
узлами-переменными, направ­ление
передачи всегда от источника к
соответствующему узлу — переменной,
т.е.
к тому току, в контуре которого находится
данная ЭДС. Передача ветви,
соединяющая источник ЭДС, с i-м
контурным
током численно равна
+(-)1/R_ii.
Знак
«+» берется в случае, если i-й
контурный
ток совпадает
по направлению с данной ЭДС.

49

4.
Источники тока схемы соединяются с теми
узлами-переменными, в контуре которых
находятся сопротивления, включенные
параллельно са­мим
источникам тока; передачи этих ветвей
численно равны +(-)R_k/R_ii
(здесь
под R_k
понимается
сопротивление резистора, включенного
па­раллельно
данному к-му
источнику
тока и входящего в i-й
контур). Знаменатель
R_ii
означает,
что данный источник тока соединен с i-м

узлом,
т.е. с i-м
контурным
током. Знак «+» отношения R_k/R_ii
при­нимается
в случае, если эквивалентная ЭДС к
-го
источника тока на­правлена
согласно с i-м
контурным
током.

Пример
13.
Построить граф контурных уравнений для
цепи, схема ко­торой изображена на
(рис. 21,а).

Для
большего удобства построения графа
необходимо видоизменить схему
так, чтобы каждому источнику тока
соответствовал параллельно включений
резистор /рис.21,б/.

Задаемся
положительными на­правлениями
контурных токов I₁₁
и
I₂₂
по
часовой стрелке. Граф будет со­держать
шесть узлов, четыре из которых
принадлежат источникам энер­гии.

Контурные
сопротивления:

;

.

Взаимное
сопротивление контуров

.

Сигнальный
граф для цепи (рис. 21,а) изображен на
(рис. 21,в).

50

В
случае построения графа узловых уравнений
в качестве узлов-пе­ременных
принимаются потенциалы узловых точек
цепи, причем их количе­ство
на единицу меньше числа узлов цепи. Если
в схеме действует иде­альный
источник ЭДС, необходимо предварительно
произвести преобразование
цепи, например перенести источник через
узел.

Общее
количество узлов графа равно количеству
узлов-источников и узлов-переменных.
Далее поступают следующим образом.

1.
Располагая узлы на поле графа, соединяют
их между собой, при­чем
узлы-переменные соединяются двумя
параллельными противоположно направленными
ветвями, а узлы-истоки соединяются
одиночными ветвями с те­ми
узлами-переменными, между которыми
включен данный источник в элект­рической
цепи. Если ветвь направлена от j-го
узла-переменной к i-му
узлу-переменной,
передача ветви равна —G_ij/G_ii/

51

2.
Передача ветви, соединяющей источник
ЭДС Е_к
с
i-ом
узлом-переменной,
равна +(-)G_k/G_ii
(
G_к—
проводимость
ветви с ЭДС E_к
). Знак
«+» принимается
в случае, когда ЭДС E_к
направлена
к i-му
узлу.

3.
При соединении источника тока J_K
с
i-му
узлом-переменной
в граф
вводится ветвь с передачей +(-)1/G_ii
,
причем знак «+» берется тог­да,
когда ток J_K
направлен
к i-му
узлу.

Пример
14.Построить
граф
узловых уравнений для цепи, схема
кото­рой
изображена на рис. 22,а. Используя формулу
Мезона, определить ток
J₅
в
ветви с резистором R₅
ЭДС
E₅.
Положительное
направление
тока
показано на рисунке.

52

Рис.
22

Учитывая
приведенные рекомендации, строим
сигнальный граф цепи (рис.22,6).
Узловые и межузловые проводимости:

;

.

53

Поскольку
решение графа с помощью топологической
формулы Мезона предполагает наличие
только одного источника энергии,
преобразуем не­сколько
истоков в один эквивалентный; при этом
в графе появляются вет­ви
между Е6
и
J
, между
Е1
и
J
, а
также между Е5
и
J.
Передачи
этих
ветвей соответственно равны:

;

;

.

В
результате такого преобразования
истоком графа является только узел
J
, остальные
истоки графа превратились в зависимые
(смешанные) узлы.
Передачи остальных ветвей вычисляются
согласно известным прави­лам
и обозначаются на графе (см. рис. 22,6).

Нахождение
определителя графа топологическим
методом осуществля­ется по формуле

,

где
∑L_i
—
сумма величин всех контуров графа без
исключения;

∑L_i—L_j
— сумма
произведений величин контуров графа,
взятых попарно и не сопри­касающихся
между собой;

∑L_iL_jL_k.-
сумма
произведений величин контуров
графа, взятых по три и не соприкасающихся
между собой и т.д.

В
графе (рис. 22,6) есть только один контур,
величина которого

54

(Напомним,
что контур сигнального графа должен
замыкаться по ветвям одного направления.)
Таким образом, узловой определитель
сигнального
графа

.

Остальные
слагаемые топологической формулы
определителя равны ну­лю, так как
отсутствуют пары, тройки и другие
комбинации несоприкасаю­щихся
контуров.

Формула
Мезона для передачи узлового графа
между истоком и стоком

где
П_к
—
величина к-го
пути графа между заданным истоком и
искомой величиной
стока;

∆_к
—
определитель
к-го
пути; вычисляется по топо­логической
формуле разложения определителя с
учетом дополнительного условия:
все контуры в выражениях

,

,

.

и
т.д. не должны
соприкасаться с данным к-м
путем (об этом напоминает «звез­дочка»
в числителе формулы передачи).

Искомой
величиной (стоком графа) является ток
I₅
в
ветви
с ре­зистором
R5
и ЭДС Е5.
Передачи
ветвей, подходящих к стоку, определя­ются
из уравнения:

.

55

Величины
путей графа и их определителей:

,

;

,

;

,

;

,

;

,

.

После
подстановки в топологическую формулу
передачи и необходи­мых алгебраических
преобразований имеем:

Ток
в заданной ветви

I₅=TJ
= -0,1554*15
= -2,33 А.

Знак
«-» указывает, что истинное направление
тока противоположно выбранному на рис.
22,а.

56

Полученное
выражение для передачи можно использовать
для анализа влияния
параметров цепи на силу тока в заданной
ветви, для оптимиза­ции режима работы
цепи по заданным условиям. Аналогично
могут быть найдены передачи (коэффициенты
по току и напряжению) для других вет­вей
цепи.

Далее
приводятся условия задания на расчет
сложной линейной элек­трической
цепи постоянного тока и данные вариантов
этого задания.