Как найти направляющий вектор прямой на плоскости

Направляющий вектор прямой

В геометрии можно встретить множество задач на изучение прямой в пространстве и ее свойств. В трехмерном пространстве рассматривают не только прямую, но и плоскость. Данные объекты достаточно просто задать, используя направляющие векторы.

Направляющим вектором прямой является любой ненулевой вектор, находящийся на рассматриваемой прямой или на прямой, параллельной ей.

Согласно определению, можно сделать вывод о существовании бесконечного множества направляющих векторов прямой, которая задана. Кроме того, какой-либо направляющий вектор прямой расположен либо на рассматриваемой прямой, либо на прямой, которая ей параллельна. Таким образом, все направляющие векторы заданной прямой коллинеарны.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Отсюда следует, что при (vec{a}) направляющем векторе прямой а, каждое из направлений (t*vec{a}), где t определяется некоторым ненулевым действительным значением, также представляет собой направляющий вектор прямой а, что следует из условия коллинеарности векторов.

Исходя из термина направляющего вектора прямой, следует, что множества направляющих векторов параллельных прямых совпадают. По-другому, данное утверждение можно сформулировать так: в том случае, когда прямые а и а1 параллельны, вектор (vec{a}) является направляющим вектором прямой а, при этом вектор (vec{a}) также является направляющим вектором прямой а1.

Кроме того, из определений направляющего вектора прямой и нормального вектора прямой следует, что каждый нормальный вектор прямой а является перпендикуляром каждому направляющему вектору прямой а.

На примере можно рассмотреть направляющий вектор прямой. Предположим, что в трехмерном пространстве имеется прямоугольная система координат Охуz. Координатные векторы ( vec{i}, vec{j}, vec{k}) представляют собой направляющие векторы координатных прямых Ох, Оу, Оz соответственно.

Можно рассмотреть другой пример, где задан вектор (vec{v}). Его координаты известны (а; b; с). Так как имеется три координаты, то можно заключить, что вектор задан в пространстве. Для того чтобы изобразить рассматриваемый вектор в прямоугольной системе координат, на каждой из трех осей требуется отложить прямую, ограниченную двумя точками, то есть отрезок с длиной, равной соответствующей координате сектора.

Три перпендикуляра, которые восстановлены к плоскостям xy, yz и xz, будут пересекаться в точке, являющейся концом вектора. Начало вектора совпадает с точкой (0; 0; 0). Однако рассматриваемое положение вектора не единственное. Таким же образом можно задать вектор (vec{v}) с началом в произвольной точке пространства.

Отсюда следует вывод о невозможности задания конкретной прямой с помощью вектора. С его помощью можно определить комплекс из бесконечного числа параллельных прямых.

Далее можно отметить в пространстве какую-либо точку P(x0; y0; z0). Следует определить условие, что через данную точку должна проходить прямая. Таким образом, заданная точка будет располагаться на векторе (vec{v}). Исходя из этого, можно сделать вывод, что прямая, заданная с помощью (Р) и (vec{v}), является единственной. Уравнение данной прямой будет иметь вид:

(Q=P+lambda*vec{v})

 где Q является любой точкой, которая принадлежит рассматриваемой прямой.

Данная точка получается путем подбора соответствующего параметра (lambda). Представленная запись уравнения является векторной, а (vec{v}) представляет собой направляющий вектор прямой. В том случае, когда этот вектор пересекает Р и изменяется в длине по параметру (lambda), получается какая-либо точка Q прямой. Координатная форма уравнения:

((x;y;z) = (x_{0};y_{0};z_{0})+lambda*(a;b;c))

Параметрический вид уравнения:

(x=x_{0}+lambda*a;)

(y = y_{0}+lambda *b;)

(z = z_{0} + lambda *c)

Когда нужно знать направляющий вектор

Данные знания пригодятся при решении задач на определение параллельности и перпендикулярности прямых. Кроме того, направляющий вектор используют для расчета расстояния между прямыми, а также точкой и прямой, описания поведения прямой относительно плоскости.

Одна прямая будет параллельна второй прямой в том случае, когда их направляющие вектора параллельны. Аналогично, перпендикулярность прямых доказывают через перпендикулярность их векторов. Подобные задачи предполагают необходимость определения скалярного произведения рассматриваемых векторов для получения ответа.

Когда требуется вычислить расстояние между прямыми и точками, целесообразно использовать формулу с направляющим вектором:

(d=frac{left|left[vec{P_{1}P_{2} }*vec{v}right]right|} {left| vec{v}right|})

В данном случае (vec{P_{1}P_{2} }) является построенным на точках P1 и P2 направленным отрезком. Точка P2 произвольно расположена на прямой с вектором (*vec{v}), а до точки Р1 требуется определить расстояние. Данная точка является самостоятельной, либо расположена на другой прямой или находится в другой плоскости.

Следует заметить, что рассчитывать расстояние целесообразно только между параллельными или скрещивающимися прямыми. В том случае, когда прямые пересекаются, d обладает нулевым значением. Записанная формула для d справедлива и для расчета дистанции между плоскостью и параллельной ей прямой. Но при этом P1 расположена в рассматриваемой плоскости.

Задача на составление векторного уравнения

Представим, что имеется следующее уравнение прямой:

(y = 3 × x – 4)

Необходимо записать векторное уравнение данной прямой.

Допустимо переписать выражение в виде:

((x; y) = (x; 3 × x — 4))

При раскрытии данного уравнения будет получено выражение из условия.

Далее можно разделить правую часть уравнения на вектора таким образом, чтобы лишь один из них включал неизвестные:

((x; y) = (x; 3 × x) + (0; -4))

Затем следует вынести х за скобки, обозначить его (lambda) и поменять вектора правой части местами:

((x; y) = (0; -4) + lambda * (1; 3))

Таким образом, получена векторная форма уравнения прямой из условия. Координаты ее направляющего вектора равны (1; 3).

Задача на определение взаимного расположения прямых

Представим, что в пространстве задана пара прямых:

((x; y; z) = (1; 0; -2) + lambda * (-1; 3; 1);)

((x; y; z) = (3; 2; 2) + lambda * (1; 2; 0))

Необходимо определить, какие эти прямые: параллельные, скрещивающиеся или пересекающиеся. При этом ненулевые вектора (-1; 3; 1) и (1; 2; 0) являются направляющими для заданных прямых. Можно выразить в параметрической форме рассматриваемые уравнения и подставить координаты первого во второе:

(x = 1 — lambda;)

(y = 3 * lambda;)

(z = -2 + lambda;)

(x = 3 + gamma = 1 — lambda => gamma = -2 — lambda;)

(y = 2 + 2 * gamma = 3 * lambda => gamma = 3 / 2 * lambda — 1;)

(z = 2 = -2 + lambda => lambda = 4)

При подстановке определенного параметра (lambda )в два уравнения выше, получится:

(gamma = -2 — lambda = -6;)

(gamma = 3 / 2 *lambda — 1 = 5)

Для параметра (gamma) не предусмотрено наличие сразу двух значений. Таким образом, прямые не обладают ни одной общей точкой, то есть являются скрещивающимися. Параллельность данных прямых исключается, так как ненулевые векторы не параллельны друг другу, то есть для их параллельности должно существовать число, которое бы путем умножения на один вектор приводило к координатам второго.

Математическое описание плоскости

Задать плоскость в пространстве можно путем приведения уравнения общего вида:

(A * x + B * y + C * z + D = 0)

В данном случае латинскими большими буквами обозначают конкретные числа. Первая тройка таких чисел определяет координаты нормального вектора плоскости. В том случае, когда он обозначен (vec{n}), можно записать: (vec{n} = (A; B; C)). Рассматриваемый вектор перпендикулярен к плоскости, поэтому его называют направляющим.

Его знание, а также известные координаты любой точки, находящейся на плоскости, однозначно задают последнюю. Если точка P (x1; y1; z1) плоскости принадлежит, то свободный член D рассчитывается следующим образом:

(D = -1 * (A * x1 + B * y1 + C * z1))

Уравнение прямой по направляющему вектору

Любой ненулевой вектор (vec{a} (а1; а2)) с компонентами, соответствующими условию А а1 + В а2 = 0, представляет собой направляющий вектор прямой.

Ах + Ву + С = 0

В качестве примера можно вывести уравнение прямой, которая проходит через точку А (1, 2) с направляющим вектором (vec{a} ) (1, -1). Для этого требуется записать уравнение в виде:

Ax + By + C = 0

Согласно определению, коэффициенты должны соответствовать следующим условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, то есть А = В

В таком случае:

Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0

Если х = 1, у = 2 получаем:

С/ A = -3

Таким образом:

х + у — 3 = 0

Общее уравнение прямой в декартовой системе координат имеет вид:

Ax + By + C = 0

где x, y – являются координатами точек прямой, A, B, C – определяются, как действительные числа при условии ({A^2} + {B^2} ne 0).

В том случае, когда прямая задана общим уравнением:

Ax + By + C = 0

В таком случае вектор:

(mathbf{n}left( {A,B} right))

Его координаты соответствуют коэффициентам A, B. Данный вектор представляет собой вектор нормали к данной прямой.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору представляет собой каноническое уравнение прямой и имеет вид:

(largefrac{{x — {x_1}}}{X}normalsize = largefrac{{y — {y_1}}}{Y}normalsize)

где вектор (mathbf{s}left( {X,Y} right)) направлен вдоль прямой, а точка (Pleft( {{x_1},{y_1}} right)) расположена на этой прямой.

Координаты направляющего вектора из общего уравнения

При рассмотрении данной темы стоит привязать рассматриваемую прямую и ее направляющие векторы к прямоугольной системе координат. Алгоритм действий:

• рассмотреть прямую и ее направляющие векторы в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости;
• рассмотреть прямую и ее направляющие векторы в прямоугольной системе координат Oxyz, принадлежащей трехмерному пространству.

Прямая линия в прямоугольной системе координат Oxy определяется некоторым уравнением прямой на плоскости. При этом направляющие вектора прямой в системе координат Oxy соответствуют координатам направляющих векторов.

Определить координаты направляющего вектора прямой при известном уравнении рассматриваемой прямой можно в том случае, когда прямая линия задана каноническим уравнением или параметрическими уравнениями.

Каноническое уравнение прямой на плоскости можно записать в виде:

(frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}})

Один из направляющих векторов этой прямой можно записать так:

(vec{a}(a_{x}; a_{y}))

Отсюда следует вывод о том, что числа в знаменателях канонического уравнения прямой соответствуют координатам направляющего вектора рассматриваемой прямой.

(frac{x-1}{4}=frac{y+1/2}{-3})

Необходимо рассчитать координаты любого направляющего вектора данной прямой.

Решение

Согласно каноническому уравнению прямой на плоскости, координаты какого-то из направляющих векторов рассматриваемой прямой соответствуют числам в знаменателях. Таким образом, искомый направляющий вектор обладает координатами (4; -3).

Ответ: (4; -3)

Подобным образом можно определить прямую с направляющим вектором (vec{a}(a_{x}; a_{y})) с помощью параметрических уравнений прямой на плоскости:

(x=x_{1}+a_{x}*lambda)

(y=y_{1}+a_{y}*lambda)

Таким образом, коэффициенты при параметре в параметрических уравнениях прямой представляют собой соответствующие координаты направляющего вектора прямой.

(x=-1)

(y=7-5*lambda)

При этом (lambda in R). Требуется определить координаты направляющих векторов заданной прямой.

Решение

В первую очередь следует преобразовать уравнение прямой:

(x=-1+0*lambda)

(y=7-5*lambda)

Коэффициенты с параметром (lambda) соответствуют координатам направляющего вектора прямой:

(vec{a}(0; -5))

Данный вектор является одним из направляющих векторов исходной прямой. Так как направляющие вектора прямой коллинеарны, их можно записать в виде: (t*vec{a}). В координатной форме запись будет иметь вид: ((0; -5*t)). В данном случае t является любым действительным числом, которое не равно нулю.

Ответ: ((0; -5*t), t in R, tneq 0)

Далее можно рассмотреть принцип поиска координат направляющего вектора прямой, заданной общим уравнением прямой вида: (Ax + By + C = 0.)

Ели А=0 в выражении Ах + Ву + С = 0, то уравнение будет записано в виде:

Ву + С = 0

Данное уравнение определяет прямую, которая параллельна оси абсцисс. Таким образом, направляющим вектором прямой (Ву + С = 0) является координатный вектор (vec{i}(1; 0).)

Если В=0, то запись общего уравнения прямой будет следующая:

(Ах + С = 0)

Данная прямая параллельна оси ординат. В связи с этим, ее направляющим вектором будет координатный вектор (vec{j}(1; 0).)

Решение

С помощью уравнения х-2=0 в прямоугольной системе координат Oxy можно задать прямую, которая будет параллельна оси Oy. Таким образом, роль ее направляющего вектора играет координатный вектор (vec{j}(0; 1).)

Ответ: (0; 1)

В том случае, когда общее уравнение прямой имеет вид (Ах + Ву + С = 0) с коэффициентами А и В, не равными нулю, координаты направляющего вектора находят одним из следующих методов:

• приведение заданного уравнения в канонический вид, что позволит распознать координаты направляющего вектора;
• поиск координат пары не совпадающих точек на данной прямой, принятие их в качестве начала и конца направляющего вектора прямой и определение его координат;
• поиск координат любого вектора, который перпендикулярен к нормальному вектору (vec{n}(A; B)) прямой (Ах + Ву + С = 0.)

(3х + 2у – 10 = 0)

Решение

В первую очередь необходимо привести общее уравнение прямой к каноническому виду. В данном случае в левой части выражения остается лишь слагаемое 3х, а остальные компоненты следует перенести в правую часть, меняя знак на противоположный:

(3х + 2у – 10 = 0)

(3х = -2у + 10)

Преобразованное равенство имеет вид:

(3х = -2у + 10)

(3х = -2(у -5))

(frac{x}{-2}=frac{y-5}{3})

Полученное уравнение позволяет сделать вывод о том, что координаты направляющего вектора равны (2;-3).

Ответ: (2;-3)

Координаты направляющего вектора из уравнения с угловым коэффициентом

Уравнение с угловым коэффициентом записывают в таком виде:

(y=kx+b)

Определить координаты направляющего вектора прямой, описанной данным уравнением, можно с помощью приведения рассматриваемого уравнения к общему виду. В процессе требуется перенести компоненты в левую часть:

(y−kx–b=0)

Далее можно прибегнуть к алгоритму, характерному для общего уравнения. Уравнение с угловым коэффициентом, преобразованное в каноническое, запишем следующим образом:

(x1=y−bk)

Таким образом, координаты направляющего вектора для данного случая равны:

(vec{S}=(1;k))

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

(y = kx + b)

где (k = tanalpha) представляет собой угловой коэффициент прямой, число b определяется, как координата точки пересечения прямой с осью Oy.

Угловой коэффициент прямой рассчитывают с помощью уравнения:

(k = tan alpha = largefrac{{{y_2} — {y_1}}}{{{x_2} — {x_1}}}normalsize,)

где (Aleft( {{x_1},{y_1}} right), Bleft( {{x_2},{y_2}} right)) – являются координатами двух точек, расположенных на прямой.

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту имеет вид:

(y = {y_0} + kleft( {x — {x_0}} right),)

где k – является угловым коэффициентом, а точка (Pleft( {{x_0},{y_0}} right) ) расположена на рассматриваемой прямой.

Рассмотрим прямую $L$, заданную точкой $M_0$, лежащей на ней, и направляющим вектором $overline{S}$ с координатами $(l;m)$, при этом вектор $overline{S}$ — ненулевой. Обозначим на прямой произвольную точку $M$ с координатами $(x, y)$, не совпадающую с точкой $M_0$. Радиус-векторы этих точек назовём $overline{r_0}$ и $overline{r}$. Вектор $overline{MM_0}$ при этом будет колинеарен вектору $overline{S}$.

Вектор $overline{r}$ можно выразить через сумму векторов $overline{MM_0}$:

$overline{r} = overline{r_0} + overline{MM_0}left(1right).$

Вектор $overline{MM_0}$ лежит на прямой $L$, поэтому он по условию является параллельным направляющему вектору $overline{S}$ и связан с ним соотношением $overline{MM_0}= toverline{S}left(2right)$, где $t$ — множитель, являющийся скалярной величиной и зависящий от позиции точки $M$ на прямой.

Учитывая равенство $(2)$, формулу $(1)$ можно переписать следующим образом:

Возможны следующие варианты задания уравнения прямой на плоскости:

• Общее уравнение прямой;
• Уравнение с угловым коэффициентом;
• Через параметрические уравнения;
• Каноническое уравнение;
• С помощью двух точек, через которые проходит прямая.

Для каждого из этих вариантов подходит свой способ нахождения направляющего вектора.

Направляющий вектор из канонического уравнения прямой и через две точки

Каноническое уравнение прямой выглядит так:

$frac{x-x_0}{l}= frac{y-y_0}{m}left(4right)$

Из канонического уравнения выразить координаты направляющего вектора проще всего: достаточно выписать знаменатели из уравнения следующим образом:

$overline{S}=(l; m)$.

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки, имеет вид, очень похожий на каноническое уравнение:

$frac{x-x_1}{x_2 — x_1}= frac{y-y_1}{y_2-y_1}left(5right)$, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ — координаты точек, через которые проходит прямая.

В этом случае координаты направляющего вектора $overline{S}$ равны $((x_2 – x_1); (y_2-y_1))$.

Направляющий вектор из параметрических уравнений

Параметрические уравнения имеют следующий вид:
$begin{cases} x=x_0 + lt \ y=y_0 + mt end{cases}$

Для того чтобы выразить координаты направляющего вектора из параметрических уравнений, нужно выписать коэффициенты, стоящие перед параметром $t$, т.е. $overline{S}=(l; m)$.

Координаты направляющего вектора из общего уравнения

Общее уравнение имеет следующий вид:

$Ax + By + C = 0left(6right)$

Для того чтобы получить координаты направляющего вектора, нужно от общего уравнения прямой перейти к каноническому.

Сделаем это в общей форме.

Сначала перенесём часть $By + C$ в правую часть:

$Ax = — By – C$

Теперь разделим всё на $A$:

$x=-frac{By}{A} — frac{C}{A}$

А после этого всё уравнение разделим на $B$:

$frac{x}{B}=-frac{y}{A} — frac{C}{AB}$

$frac{x}{B} = frac{y + frac{C}{B}}{-A}left(7right)$

Из вышеизложенного следует, что координаты направляющего вектора $overline{S}$ будут равны $(B; -A)$.

Координаты направляющего вектора из уравнения с угловым коэффициентом

Уравнение с угловым коэффициентом имеет вид:

$y = kx + b$

Для того чтобы получить из него координаты направляющего вектора, необходимо сначала привести его к общему виду, для этого переносим всё в левую часть:

$y — kx – b= 0$

Затем нужно воспользоваться алгоритмом для общего уравнения.

Уравнение с угловым коэффициентом, приведённое к каноническому, выглядит так:

$frac{x}{1}=frac{y-b}{k}$,

то есть координаты направляющего вектора в данном случае будут $overline{S}= (1;k)$.

Основные виды
уравнений плоскости.

1)

—общее
уравнение плоскости
;

2)
— уравнение плоскости, проходящей через
точкуМ₁(
x₁,
y₁,
z₁
)
перпендикулярно нормальному вектору

;

3)

—уравнение
плоскости в отрезках,
где а,
b,
с
— величины отрезков, отсекаемых
плоскостью на координатных осях Ох
,Оy,
Оz
соответственно ;

4)

—уравнение
плоскости,
проходящей
через три точки
М₁(
x₁,
y₁,
z₁
) , М₂(
x₂,
y₂,
z₂
) , М₃(
x₃,
y₃,
z₃
).

Основные виды
уравнений прямой.

1)

—общее
уравнение прямой,
как пересечение двух плоскостей , где
направляющий вектор прямой находится
из векторного произведения нормальных
векторов плоскостей

;

2)

—каноническое
уравнение прямой
или уравнение прямой , проходящей через
точку М₁(
x₁,
y₁,
z₁
)
параллельно вектору ;.

3)

— уравнение
прямой, проходящей через
две точки
М₁(
x₁,
y₁,
z₁
) и
М₂(
x₂,
y₂,
z₂
);

4)

—векторное
уравнение прямой,
где
— радиус-вектор точки, лежащей на прямой,— направляющий вектор прямой, или в
параметрической форме.

Расстояние
от точки
до плоскости

определяется по формуле.

Угол
между двумя прямыми,
заданными в канонической форме
, определяется
как угол между их направляющими векторами

.

Угол
между прямой

и
плоскостью
определяется так :

.

Задача.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точку А(1,2,3)
параллельно прямой
.

Решение.
Так как прямые параллельны, значит
направляющий вектор для искомой прямой
будет таким же, как и для данной, т.е.
.
Поэтому применяем каноническое уравнение
прямой, проходящей через точкуА
(1,2,3)
параллельно вектору
, т.е..

Задача.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точку А(2,-3,5)
параллельно прямой, заданной в виде
пересечения двух плоскостей:
.

Решение. Найдем направляющий вектор заданной прямой через векторное произведение нормальных векторов плоскостей

.

Тогда
каноническое уравнение прямой, проходящей
через точку А(2,-3,5)
параллельно вектору
будет.

Задача.
Дана пирамида АВСD
с вершинами
А(1,5,7),
В(-1,0,1), С
( 3,-2,4 ), D
( 0,1,-1 ). Найти
угол между ребром АD
и гранью
АВС .

Решение.
Найдем
уравнение грани АВС
, т.е.
уравнение плоскости, проходящей через
три точки А
,
В и С
.

Уравнение
ребра AD
— уравнение
прямой, проходящей через две точки А
и D
:

.

Тогда
угол между ребром и гранью будем находить
по формуле угла между прямой и плоскостью:

.

Задача.
Составить уравнение плоскости,
проходящей через точку А(1,2,3)
и через прямую, данную в виде пересечения
двух плоскостей

.

Решение.
Воспользуемся
уравнением пучка плоскостей, проходящих
через данную прямую
.
Так как плоскость должна проходить
через точкуА,
то, подставив ее координаты в уравнение
пучка, найдем λ
:

.

Теперь,
подставив λ
в уравнение
пучка, получим искомую плоскость:

Задача.
Найти точку
пересечения прямой
и плоскости
.

Решение.
Параметрически уравнения прямой
запишутся в виде
.
Далее, подставив в уравнение плоскости,
найдемt
:
.

По
данному t
найдем
координаты точки пересечения

.

Задание 4.1.

Даны
координаты вершин пирамиды АВСD.
Найти:

1)
Уравнение грани АВС;

2)
Уравнение высоты DM,
опущенной из точки D
на грань АВС;

3)
Длину высоты ДМ;

4)
Уравнение ребра DC;

5)
Угол наклона ребра DC
к плоскости АВС.

1.
А(-3;-2;-4), B(-4;2;-7),
C(5;0;3),
D(-1;3;0)

2.
A(2;-2;1), B(-3;0;-5), C(0;-2;-1), D(-3;4;2)

3.
A(5;4;1), B(-1;-2;-2), C(3;-2;2), D(-5;5;4)

4.
A(3;6;-2), B(0;2;-3), C(1;-2;0), D(-7;6;6)

5.
A(1;-4;1), B(4;4;0), C(-1;2;-4), D(-9;7;8)

6.
A(4;6;-1), B(7;2;4), C(-2;0;-4), D(3;1;-4)

7.
A(0;6;-5), B(8;2;5), C(2;6;-3), D(5;0;-6)

8.
A(-2;4;-6), B(0;-6;1), C(4;2;1), D(7;-1;-8)

9.
A(-4;-2;-5), B(1;8;-5), C(0;4;-4), D(9;-2;-10)

10.
A(3;4;-1), B(2;-4;2), C(5;6;0), D(11;-3;-12)

11.
A(2;1;3), B(3;-2;-4), C(-1;-3;-2), D(5;-3;4)

12.
A(4;1;1), B(-2;-1;3), C(1;-3;-4), D(6;-5;5)

13.
A(-3;-2;2), B(0;1;5), C(1;-2;-2), D(-1;9;-2)

14.
A(-1;0;4), B(2;2;5), C(3;2;4), D(2;3;1)

15.
A(-2;0;5), B(1;-4;-6), C(3;2;4), D(2;3;1)

16.
A(2;1;-1), B(0;3;-1), C(5;2;1), D(-2;-1;5)

17.
A(2;3;0), B(3;4;1), C(-2;5;-1), D(3;4;-5)

18.
A(-3;0;-4), B(2;7;2), C(4;-1;-1), D(-3;-2;7)

19.
A(1;-4;-4), B(-1;0;-3), C(2;5;1), D(5;6;-9)

20.
A(3;2;0), B(5;-2;-1), C(-4;3;-3), D(2;3;-3)

21.
A(1;1;1), B(6;3;2), C(0;7;1), D(2;3;4)

22.
A(1;0;-1), B(5;1;1), C(2;6;1), D(3;4;5)

23.
A(-1;2;0), B(8;1;1), C(2;7;-1), D(4;3;6)

24.
A(-1;-1;0), B(9;2;1), C(0;8;-1), D(4;4;7)

25.
A(0;1;0), B(8;2;1), C(1;7;2), D(3;5;1)

Задание 4.2.

Даны
координаты точек А,
В, С. Требуется:

1)
составить каноническое уравнение
прямой АВ;

2)
составить уравнение прямой, проходящей
через точку С
параллельно прямой АВ;

3)
составить уравнение плоскости, проходящей
через точку С
перпендикулярно
прямой АВ;

4)
найти следы этой плоскости на
координатных плоскостях.

1.
A(3;-1;5), B(7;1;1), C(4;-2;1). 2. A(-1;2;3), B(3;4;-1),
C(0;1;-1).

3.
A(2;-3;7), B(6;-1;3), C(3;-4;3). 4. A(0;-2;6), B(4;0;2),
C(1;-3;2).

5.
A(-3;1;2), B(1;3;-2), C(-2;0;-2). 6. A(-2;3;1), B(2;5;-3),
C(-1;2;-3).

7.
A(-4;0;8), B(0;2;4), C(-3;-1;4). 8. A(1;4;0), B(5;6;-4),
C(2;3;-4).

9.
A(4;-4;9), B(8;-2;5), C(5;-5;5). 10. A(5;5;4), B(9;7;0),
C(6;4;0).

11.
A(3;0;4), B(5;2;6), C(2;3;-3). 12. A(3;-2;2), B(-3;1;2),
C(-1;2;1).

13.
A(1;-1;1), B(-2;1;3), C(4;-5;-2). 14. A(3;-1;2), B(4;-1;-1),
C(2;0;2).

15.
A(-1;2;1), B(-3;1;2), C(3;-2;2). 16. A(9;-11;5), B(7;4;2),
C(-7;13;-3).

17.
A(2;4;-1), B(2;-4;2), C(3;6;0). 18. A(-4;-2;-5), B(1;8;-5),
C(0;4;-4).

19.
A(-2;4;-6), B(0;-6;1), C(4;2;1). 20. A(4;6;-1), B(7;2;4),
C(-2;0;-4).

21.
A(3;3;0), B(-1;2;-4), C(-9;7;8). 22. A(7;2;4), B(-2;0-4),
C(3;1;-4).

23.
A(8;2;5), B(2;6;-3), C(5;0;-6). 24. A(0;-6;1), B(4;2;1),
C(7;-1;-8).

25.
A(1;8;-5), B(0;4;-4), C(9;-2;-10).

Задание 4.3.

Даны
уравнение прямой в виде пересечения
двух плоскостей и координаты точки А.
Требуется:

1)
составить уравнение плоскости,
проходящей через данную прямую и точку
А;

2)
составить каноническое уравнение
прямой, проходящей через точку А
и параллельно оси ОX;

3)
найти угол между полученной прямой
и плоскостью;

4)
найти расстояние от начала координат
до плоскости.

1.
2x-y-3z=-1 A(3;0;2)

x+5y+z=0

2.
x+2y+3z=1 A(1;2;0)

2x-3y+2z=9

3.
x+y — z=1 A(-1;2;1)

8x+3y-6z=2

4.
x+y-z=-2 A(2;-3;0)

4x-3y+z=1

5.
2x+5y-3z=4 A(0;4;-2)

4x-3y+2z=9

6.
2x+7y-z=8 A(-3;0;5)

x+2y+z=4

7.
3x+4y+2z=8 A(1;3;0)

x+5y+z=0

8.
x-4y-2z=-3 A(5;1;-2)

3x+y+z=5

9.
x+y-z=1 A(-2;0;1)

x+2y+z=4

10.
3x+y+z=5 A(0;-5;2)

4x-3y+z=1

11.
x+4y-5z=-1 A(2;-1;2)

2x-y+3z=-2

12.
x+y-2z=-1 A(2;0;-1)

3x-y+z=2

13.
2x-y+z=3 A(1;1;-2)

2x+4y-z=4

14.
x+2y-3z=1 A(0;2;1)

2x-y+2z=-2

15.
3x-y+z=-2 A(1;-1;2)

x+2y-z=1

16.
2x-y+3z=6 A(1;2;4)

x+2y-z=-3

17.
3x+y+z=4 A(1;3;2)

x +3z=5

18.
3x+2y-5z=4 A(2;1;2)

x-2y+3z=4

19.
3x-5y+z=8 A(-1;2;3)

2x+y-z=-2

20.
2x-3y-3z=9 A(2;-5;3)

x-2y+z=-3

21.
x+y+z=3 A(1;1;7)

2x-3y+z=5

22.
x-y+2z=4 A(1;2;1)

2x+y+z=3

23.
x+y+2z=5 A(1;1;1)

3x+y+3z=-2

24.
x+2y-3z=3 A(1;2;0)

x+3y+z=2

25.
x+y+z=1 A(0;1;2)

x-3y+2z=10

31

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

2.2.1. Общее уравнение и направляющий вектор прямой

Ностальгически машем ручкой привычному  и знакомимся с общим уравнением прямой. Поскольку в аналитической геометрии в ходу именно оно:

Общее уравнение прямой имеет вид: , где  – некоторые числа, при этом коэффициенты  одновременно не равны нулю (т.к. теряется смысл).

Оденем в костюм и галстук уравнение с угловым коэффициентом . Сначала перенесём все слагаемые в левую часть:
, слагаемое с «иксом» нужно поставить на первое место:

В принципе, уравнение уже имеет вид , но по правилам математического этикета коэффициент первого слагаемого (в данном случае ) должен быть положительным. Меняем знаки у каждого слагаемого:
, готово.

Запомните эту техническую особенность! Первый коэффициент (чаще всего ) делаем положительным!

По надобности общее уравнение легко привести к «школьному» виду (если  ):

Направляющий вектор прямой

Зададимся вопросом: что достаточно знать, чтобы построить прямую? Две точки. Но об этом детском случае позже, сейчас властвуют палочки со стрелочками. У каждой прямой есть вполне определённый наклон, к которому легко «приспособить» вектор.

Вектор, который параллелен прямой, называется направляющим вектором данной прямой. Очевидно, что у любой прямой бесконечно много направляющих векторов, причём все они будут коллинеарны (сонаправлены или нет – не важно).

Направляющий вектор стандартно обозначается следующим образом: .

Но одного вектора недостаточно для построения прямой, вектор является свободным и не привязан к какой-либо точке плоскости. Поэтому дополнительно нужно знать некоторую точку , которая принадлежит прямой:

2.2.2. Как составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору?

2.1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Каноническое уравнение прямой на плоскости

В данной статье мы рассмотрим каноническое уравнение прямой на плоскости. Определим понятие направляющего вектора прямой. Рассмотрим примеры построения канонического уравнения прямой, если известны две точки этой прямой или если известна одна точка и направляющий вектор этой прямой. Представим метод преобразования уравнения в каноническом виде в параметрический и общий виды.

Определение 1. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой называется направляющим вектором этой прямой.

На рисунке Рис.1 представлена прямая L и векторы q₁, q₂, q₃, q₄. Из определения следует, что векторы q₁, q₂, q₄ являются направляющими векторами прямой L, а q₃ − нет.

Каноническое уравнение прямой L на плоскости представляется следующей формулой:

где x₁, y₁ координаты некоторой точки M₁ на прямой L. Вектор q={m, p} является направляющим вектором прямой L.

Надо отметить, что при записи уравнения прямой в каноническом виде, допускается, чтобы один из чисел m и p была равна нулю (одновременно m и p не могут быть равным нулю, т.к. направляющий вектор прямой не должен быть нулевым вектором). Равенство нулю одного из знаменателей означает равенство нулю соответствующего числителя. В этом можно убедится, записав уравнение (1) в следующем виде:

Пусть в (2) m=0, p≠0. Тогда мы заключаем, что x−x₁=0.

Выше мы отметили, что прямая L проходит через точку M₁(x₁, y₁). В этом можно убедится, подставив x=x₁, y=y₁ в уравнение (1).

Запишем каноническое уравнение прямой проходящей через две различные точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂):

Чтобы убедится, что точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂) находятся на прямой L, поочередно подставим в уравнение (3) координаты точек M₁ и M₂. Получим тождества, следовательно эти точки принадлежат прямой L.

Сравним уравнения (1) и (3). Тогда можно записать q={m, p}={x₂−x₁, y₂−y₁}. На рисунке Рис.2 представлен вектор q, которая является разностью векторов, соответствующих точкам M₂ и M₁. Этот вектор является направляющим вектором прямой L. Следовательно, для определения направляющего вектора прямой, достаточно взять две точки на данной прямой и найти разность между соответсвующими координатами этих точек.

Таким образом, прямая на плоскости определяется точкой и направляющим вектором или двумя точками.

Онлайн калькулятор, для построения прямой через две точки находится тут.

Пример 1. Прямая проходит через точку M=(3,−1) и имеет направляющий вектор q={−3, 5}. Построить каноническое уравнение прямой.

Решение. Для построения канонического уравнения прямой, подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение (1):

Ответ:

Пример 2. Прямая проходит через точку M=(2, 2) и имеет направляющий вектор q={0, 3}. Построить каноническое уравнение прямой.

Решение. Для построения канонического уравнения прямой, подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение (1):

Ответ:

На рисунке Рис.3 изображена прямая L, точка M=(2, 2) и направляющий вектор q={0, 3}. Прямая проходит через точку M и параллельна направляющему вектору q.

Пример 3. Прямая проходит через точки M₁=(−7, 2) и M₂=(−4, 4). Построить каноническое уравнение прямой. Воспользуемся формулой (3). Подставим координаты точек в уравнение (3):

Упростим полученное уравнение:

Ответ:

Приведение канонического уравнения прямой на плоскости к параметрическому виду

Для приведения канонического уравнения прямой на плоскости к параметрическому виду, обозначим каждую часть уравнения (1) переменным t:

Выразим переменные x и y через t:

где t называется параметром, а уравнение (4) называется параметрическим уравнением прямой.

Для построения уравнения прямой, представленной параметрическом виде (4), достаточно задать параметру t любые значения и вычислить из уравнений (4) соответствующие координаты x и y некоторых точек. Затем провести через эти точки прямую.

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 4. Каноническое уравнение прямой задана следующим уравнением:

Найти параметрическое уравнение прямой.

Решение. Обозначим через t левую и правую части уравнения (5):

Выразим переменные x и y через t:

Ответ:

Приведение канонического уравнения прямой на плоскости к общему виду

Пусть прямая на плоскости задана каноническим уравнением прямой (1). Преобразовав (1) получим:

Сделаем следующие обозначения:

Тогда уравнение (6) можно записать в следующем виде:

где n={A,B} − называется нормальным вектором прямой.

Нетрудно заметить, что нормальный и направляющий векторы прямой перепендикулярны, т.е. скалярное произведение этих векторов равно нулю:

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 5. Каноническое уравнение прямой задана следующим уравнением:

Записать общее уравнение прямой.

Решение. Сделаем преобразования уравнения (7):

Ответ: