Как найти направляющий вектор биссектрисы угла - AvtoShod.ru

Образцы выполнения некоторых заданий

Рассмотрим решения некоторых практических упражнений.

Задание 2(е)

На плоскости даны точки А(11; -5), В(6;7), С(-10; -5). Найти уравнение биссектрисы угла А.

Решение задания 2(е)

Найдем направляющий вектор биссектрисы как сумму ортов векторов и

или (умножая на )

; ;

; .

Таким образом, в качестве направляющего вектора биссектрисы угла А можно взять вектор и уравнение биссектрисы будет иметь вид

Задание 3

Дана точка (0;2) пересечения медиан треугольника и уравнения двух его сторон 5х – 4у + 15 = 0 и 4х + у – 9 = 0. Найти координаты вершин треугольника и уравнение третьей стороны.

Решение Координаты одной вершины найдем как координаты точки пересечения данных сторон, для чего решим систему уравнений

Получаем или

Точка О_ц пересечения медиан треугольника называется его центром. Отметим одно свойство центра треугольника, которое используем для нахождения координат остальных вершин:

; ,

где х_ц, у_ц – координаты центра треугольника;

х_i, y_i – координаты i-ой вершины треугольника,

Для доказательства этих формул рассмотрим треугольник А₁А₂А₃, где А_i(x_i;y_i), i = 1-3 (см.рис.2.1).

Рис.2.1. Вспомогательный чертеж к заданию 3

Пусть В середина стороны А₁А₂. Тогда А₃В – медиана треугольника А₁А₂А₃. По известному из элементарной геометрии свойству медиан треугольника .

Тогда координаты точки В найдем по формулам

и ,

а координаты центра О_ц из векторного соотношения , которое в координатной форме записывается так

, .

Отсюда, выражая х_ц и у_ц через x_i, y_i, получим требуемые формулы.

Вернемся к решению задания 3. Используя доказанные формулы, полагая в них х₁ = 1 и у₁ = 5, х_ц = 0 и у_ц = 2, получим два уравнения, которым должны удовлетворять координаты остальных двух вершин

; ,

Еще два уравнения получим, если потребуем, чтобы искомые точки, вершины треугольника, принадлежали заданным сторонам, т.е. их координаты удовлетворяли уравнениям этих сторон

Итак, для определения четырех неизвестных х₂, у₂, х₃, у₃, мы имеем четыре независимых (!) условия (уравнения)

Решив эту систему, получим х₂ = -3, у₂ = 0, х₂= 2, у₃ = 1.

Наконец, уравнение третьей стороны запишем как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (-3;0) и (2;1)

или .

Итак, уравнение третьей стороны x – 5у + 3 = 0, а вершины треугольника имеют координаты (1;5), (-3;0), (2;1).

Задание 7

Составить уравнение линии, для каждой точки М которой, отношение расстояний до точки F( ) и до прямой
равно .

Привести уравнение линии к каноническому виду, определить тип линии и построить линию на чертеже. Показать на чертеже фокусы, директрисы, асимптоты (если они имеются у построенной линии).

Замечание. Отметим, что в заданиях этого модуля ; ; .

Пусть n = 101. Тогда:

, т.к. ;

, т.к. .

Итак, для n = 101 первая часть задания 7 принимает вид:

Составить уравнение линии, для каждой точки М которой, отношение расстояния до точки F(-4;1) и до прямой x = 1
равно .

Решение задания 7 (для n = 101).

Пусть М(х;у) произвольная точка искомой линии, r – расстояние от М до F и d – расстояние от точки М до прямой x = 1. Тогда

и .

По условию , т.е. d = 2r.

— уравнение искомой линии.

Упростим уравнение линии и приведем его к каноническому виду. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат и выполним следующие преобразования уравнения

х 2 – 2х +1 = 4х 2 + 32х + 64 + 4(у – 1) 2 ,

3х 2 + 34х + 4(у – 1) 2 + 63 = 0,

Последнее уравнение – это каноническое уравнение эллипса с полуосями и ( ), центр которого находится в точке с координатами . Координаты вершин эллипса
и , т.е. (-9;1), , ,
. Построим эллипс на чертеже (см.рис.2.2).

Рис.2.2. Эллипс с уравнением

Фокусы эллипса имеют координаты , где .

Итак, координаты фокусов F₁(-4;1), F₂( ;1).

Директрисы эллипса имеют уравнения , где е – эксцентриситет эллипса

Уравнения директрис , т.е.

D₂: .

Отметим фокусы и директрисы эллипса на рис.2.2.

Обратите внимание на совпадение фокуса F₁ с точкой, данной в условии задания 7, на совпадение директрисы D₁ с прямой х = 1 из условия этого задания, и совпадение эксцентриситета е с параметром е в условии. По этому поводу см. теоретическое упражнение 18.

В пространстве даны точки А(-2; -4;1), В(3;1; -1), С(5;1;1),
S(1;-4;0). Найти координаты центра и радиус вписанной в пирамиду SABC сферы (условие сформулировано для n = 101).

Решение задания 4(м)

Пусть точка О(x₀;y₀;z₀) – центр сферы, вписанной в пирамиду SABC. Найдем точку О как точку, равноудаленную от граней пирамиды. Для этого найдем уравнения всех граней и расстояния от точки О до этих граней (уравнения некоторых граней находятся в предшествующих пункту М пунктах задания 4).

Грань АВС. Уравнение грани

или 5х – 7у – 5z – 13 = 0.

Точки О и S лежат по одну сторону от грани АВС, поэтому отклонения этих точек от грани АВС имеют одинаковые знаки. Отклонение (S) точки S от грани АВС равно

> 0.

Аналогично все делается для граней ABS, BCS, CAS.

Грань ABS имеет уравнение 5х + у + 15z – 1 = 0 и
.

Грань BCS имеет уравнение 5х – 3у – 5z – 17 = 0 и
.

Наконец, грань CAS имеет уравнение 5х – 7у + 15z + 33 = 0 и
.

Так как О – центр сферы, вписанной в пирамиду SABC, то

d(O; ABC) = d(O; ABS) = d(O; BCS) = d(O; CAS) = r,

где r – радиус вписанной сферы.

Тогда координаты точки О должны удовлетворять системе

В отличие от других заданий этого модуля, коэффициенты и решение этой системы найдем приближенно, с помощью микрокалькулятора или ЭВМ. Получим систему

и уравнение вписанной сферы

1. Общее уравнение прямой на плоскости. Нормальный вектор прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности.

3. Каноническое и параметрическое уравнения прямой на плоскости. Направляющий вектор прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности.

4. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

5. Уравнения прямых, проходящих через данную точку параллельно и перпендикулярно данной прямой (3 случая задания данной прямой: общим уравнением, каноническим уравнением, уравнением с угловым коэффициентом).

6. Общее уравнение плоскости в пространстве, нормальный вектор плоскости. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности.

7. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, не лежащие на одной прямой.

8. Общее, каноническое и параметрическое уравнения прямой в пространстве. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности.

9. Угол между прямой и плоскостью в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

10. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данной прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данной плоскости.

11. Расстояние от точки до: прямой на плоскости; прямой в пространстве; плоскости в пространстве.

12. Уравнение линии на плоскости. Общее уравнение кривой второго порядка.

13. Каноническое и параметрическое уравнения окружности.

14. Эллипс (фокусы и директрисы, фокальные радиусы точки, эксцентриситет). Каноническое и параметрическое уравнения эллипса.

15. Гипербола (фокусы, директрисы и асимптоты, фокальные радиусы точки, эксцентриситет). Каноническое и параметрическое уравнения гиперболы.

16. Парабола (фокус и директриса, фокальный радиус точки, эксцентриситет). Каноническое уравнение параболы.

17. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

18. Полярные координаты на плоскости. Уравнение линии в полярных координатах.

19. Уравнение поверхности в пространстве. Общее уравнение поверхностей второго порядка.

20. Основные типы поверхностей второго порядка и их канонические уравнения.

1. Бугров Н.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980. 176 с.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1: Учебное пособие для студентов втузов. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1980. 320 с.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1981. 232 с.

4. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980. 240 с.

5. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа/Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидович. – М.: Наука, 1981, 464 с.

6. Высшая математика. Методические указания и контрольные задания/Под ред. Ю.С. Арутюнова. – М.: Высшая школа, 1985.

7. Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. – Изд. 3-е. – Минск: Изд-во БГУ, 1973. 532 с.

8. Кузнецов А.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты): Учеб. пособие для втузов. – М.: Высшая школа, 1983. 175 с.

9. Погорелов А.В.Аналитическая геометрия.– М.:Наука, 1968. 176с

Уравнение биссектрисы в треугольнике — формула, свойства и решение задач

Прямая на плоскости

Задачи по геометрии могут относиться к одному из двух принципиально отличающихся случаев. Это следующие:

На плоскости, где достаточно двух координат для описания любых геометрических объектов.
В трехмерном пространстве, где любая точка имеет три координаты.

Когда рассматривают треугольники и их элементы, то в ряде ситуаций речь идет именно о двумерном пространстве. В нем всякая прямая линия может быть выражена в виде нескольких математических форм или уравнений. Чаще всего используются следующие типы:

Общий. Он также называется универсальным. Прямая представляет собой следующую математическую запись: A*x + B*y + C = 0. Здесь A, B, C — числовые коэффициенты, x и y — переменные, являющиеся координатами. Сразу нужно отметить, что эта форма представления прямой используется для составления уравнения биссектрисы угла. Для удобства геометрического изображения общую форму записи часто представляют в виде y = f (x). Нужно понимать, что указанной форме в пространстве соответствует не прямая, а плоскость.
Канонический или уравнение в отрезках. Имеет оно такой вид: y/p + x/q = 1. Здесь p, q — это координаты, в которых прямая пересекает оси y и x, соответственно, поэтому удобно ее изображать в координатной системе.
Векторный. Это один из важных типов представления прямой как на плоскости, так и в пространстве. По сути, он является исходным представлением, из которого можно получить все остальные. Математически он записывается так: (x, y) = (x0, y0) + α*(v1, v2). Где (x0, y0) — координаты произвольной точки, которая лежит на прямой, (v1, v2) — направляющий вектор, он параллелен заданной прямой, α — произвольное число, параметр.
Параметрический. Этот тип представляет собой систему уравнений, которую удобно использовать во время преобразования одного вида прямой в другой. Представляет он собой следующую математическую запись: x = x0 + α*v1; y = y0 + α*v2. Несложно понять, что, выражая параметр α, можно получить уравнения общего вида и в отрезках. Объединяя же систему уравнений в одно выражение, получается векторная форма записи прямой.

Делящая пополам угол линия

Каждый школьник, который знаком с азами геометрии, знает, что прямая, делящая на две равные части произвольный угол, называется биссектрисой. Этот элемент присутствует для любой фигуры, которая в своем составе содержит какой-либо угол.

Другое определение биссектрисы гласит, что она представляет собой геометрическое расположение точек, которые равноудалены от соответствующих сторон углового объекта. Например, если имеется угол dac, то любая из точек биссектрисы находится на одинаковом расстоянии как от отрезка da, так и от отрезка ac.

Способы построения

В классах общеобразовательных школ рассматривают два основных способа построения биссектрисы. Это следующие:

С помощью транспортира. Для этого следует измерить заданный угол в градусах, разделить его пополам. Полученное значение отметить в виде точки. Затем соединить вершину угла и поставленную точку внутри него. Получится искомый элемент.
С использованием циркуля и линейки. Эти инструменты еще проще применять для построения биссектрисы, чем транспортир. Сначала необходимо установить в вершину угла ножку циркуля и отметить дугами пересечение окружности со сторонами. Затем, в точки пересечения поставить ножку циркуля и провести две окружности. Соединив две точки их пересечения одной прямой, можно получить биссектрису.

Имеется еще один метод, который позволяет просто начертить изучаемый линейный элемент. Для его использования нужна линейка со шкалой. С помощью нее следует от вершины угла отмерить два одинаковых отрезка любой длины. Затем соединить концы этих отрезкой, получится равнобедренный треугольник.

В нем любая биссектриса также является высотой и медианой. Поэтому, разделив его ровно пополам линейкой, и соединив полученную точку с вершиной, можно получить требуемую линию.

Основные свойства

Чтобы найти по координатам вершин длину биссектрисы треугольника, следует знать некоторые свойства этого геометрического объекта. Главным из них является существование двух линий, которые делят пополам исходный угол. Нужно понимать, что угол бывает не только внутренний, но и внешний. По сути, оба типа образуются при пересечении двух прямых. Нетрудно доказать, что биссектрисы каждого из них пересекаются всегда под углом 90 °.

Еще одним важным свойством является тот факт, что пересекаются в одной точке биссектрисы треугольника. Она представляет собой центр вписанной в фигуру окружности. Чтобы это доказать, следует вспомнить, что каждая точка биссектрисы равноудалена от соответствующих сторон угла.

Пусть имеется треугольник ABC. У него две биссектрисы пересекаются в точке O. Пусть это будут линии для углов A и B. Расстояние от O до AC должно быть равно таковому от O до AB. С другой стороны, расстояния от O до AB и до BC также одинаковые. Поэтому дистанции от O до BC и до AB также равны, а значит, точка O лежит на биссектрисе угла C и центром вписанной окружности является.

В треугольнике рассматриваемый геометрический элемент используется часто для решения задач благодаря применению так называемой теоремы биссектрис. Чтобы ее сформулировать максимально простым языком, следует представить, что имеется треугольник произвольного типа ABC. В нем проведена биссектриса AD, где точка D лежит на прямой BC. Тогда справедливо следующее выражение:

Это равенство не является очевидным, однако, оно было известно еще древнегреческим мыслителям. Эту теорему в несколько иной форме можно встретить в знаменитом труде по геометрии Евклида, который называется «Элементы». Доказательство равенства несложно провести с использованием небольших дополнительных построений и применением признаков подобия треугольников.

Наконец, отрезок биссектрисы, который заключен между вершиной и противоположной стороной треугольника, имеет определенную длину. Вычислить ее можно с использованием следующего равенства:

Это равенство прописано для угла A треугольника ABC, в котором противоположная A сторона имеет длину a. Стороны AB и AC имеют длины c и b, соответственно. Буквой p обозначен полупериметр фигуры.

Важно понимать, если нарисовать прямоугольный параллелепипед (или иную фигуру) в пространстве, и построить биссектрису для его граней, она будет представлять собой не прямую, а плоскость.

Уравнение биссектрисы треугольника

Когда известно, как математически записывать выражения для прямых, и что такое биссектриса, и какими свойствами она обладает, можно переходить к непосредственному нахождению ее уравнения.

В общем случае задача решается в результате применения следующей последовательности действий (существуют онлайн-ресурсы, позволяющие решить данную проблему):

Сначала требуется определить уравнения двух сторон угла по их координатам. Это легко сделать в векторной форме, а затем, преобразовать ее в выражение общего типа.
Далее, необходимо найти уравнение биссектрис первого координатного угла, прировняв расстояния от ее точек до соответствующей стороны. Рабочая формула имеет вид: |A1*x + B1*y + C|/(A1 2 + B1 2 )^0,5 = |A2*x + B2*y + C|/(A2 2 + B2 2 )^0,5. Следует обратить внимание на наличие двух различных решений этого равенства, поскольку в числителе стоит модульное выражение. Два полученных уравнения говорят о наличии взаимно перпендикулярных биссектрис для углов треугольника внутреннего и внешнего.
Для внутреннего угла искомое уравнение можно найти, если определить точку пересечения соответствующей прямой с противоположной исходному углу стороной треугольника. Та точка, сумма расстояний от которой до концов отрезка будет равна длине стороны, принадлежит искомой биссектрисе.

Пример решения задачи

Пусть, треугольник задан координатами A (1, -1), B (0, -2), C (3,0). Следует уравнение биссектрисы найти для угла B и ее длину вычислить.

Сначала нужно написать уравнения прямых для сторон AB и CB, получается:

AB: (x, y) = (1, -1) + α*(-1, -1) ==> y — x + 2 = 0;
CB: (x, y) = (3, 0) + α*(-3, -2) ==> 3*y — 2*x + 6 = 0.

Составить уравнения биссектрис можно так:

| y — x + 2 |/(2)^0,5 = | 3*y — 2*x + 6 |/(13)^0,5.

Решение этого уравнения приводит к следующим двум выражениям для взаимно перпендикулярных биссектрис:

y*(6−3*3 0,5 ) + x*(3*3 0,5 −4)+12−6*3 0,5 = 0;
y*(3*3 0,5 +6) -x*(4+3*3 0,5 )+12+6*3 0,5 = 0.

Чтобы определить, какая из двух прямых является искомой для треугольника заданного, следует точку пересечения каждой из них со стороной AC найти. Уравнение для AC имеет вид:

Подставляя его в каждое из выражений для биссектрис, можно получить две точки пересечения:

При этом длина основания AC составляет 2,236 единицы через единичный вектор. Расстояние от точек D1 и D2 до A, C равно:

D1A = 1,4; D1C = 3,635;
D2A = 0,621; D2C = 1,614.

Видно, что точка пересечения второй прямой D2 лежит между A и C, поэтому соответствующее ей уравнение биссектрисы является ответом на задачу. Ее длину можно вычислить по формуле для модуля вектора BD2:

BD2 = 2,014 единицы.

Таким образом, для определения в треугольнике биссектрисы уравнения по координатам следует уметь находить векторную форму выражений для прямой по координатам двух точек. Также нужно знать свойства делящей пополам угол линии.

Вектор, который является биссектрисой угла между векторами! помогите

Дано: вектор а с координатами (-4;3;0) и вектор b с координатами (12;-15;16) найти : координаты вектора с, являющийся биссектрисой угла между векторами а и b

Чтобы получить вектор, направленный по биссектрисе угла между векторами, нужно сложить векторы, сонаправленные с заданными векторами, но равной длины. Нарпример, найдём орты заданных векторов, поделив координаты векторов на их длины. Получим вектор (-4/5; 3/5, 0) и вектор (12/25; -15/25; 16/25). Искомый вектор имеет координаты, равные суммам соответствующих координат.

источники:

http://nauka.club/matematika/geometriya/uravnenie-bissektrisy-v-treugolnike.html

http://sprashivalka.com/tqa/q/20350200

Источник

2.1. Даны уравнения
двух прямых. Составить
уравнение биссектрисы тупого угла,
образованного этими прямыми.

Общие
сведения и расчётные формулы:по представленному заданию.

Пусть
имеем две прямые:
:

x+y+=0
и
:

x+y+=0.
Уравнением

определяется вектор нормали
,
уравнением

вектор нормали
.
Так как векторы

и
–
свободные, то изобразим их так, чтобы
их начала принадлежали соответствующим
плоскостям, а сами они располагались
внутри одного из углов, образованных
пересекающимися прямыми. Важно помнить
также, что уравнение прямой можно
умножать на произвольное, не равное
нулю число. Это значит, что, по необходимости,
мы можем разместить векторы

и

как внутри тупого, так и внутри острого
угла. Пусть векторы

и

разместились внутри тупого угла, как
показано на рисунке. Умножим уравнение

на число (-1). Вектор нормали этой прямой
станет равным
,
и пара векторов

и

расположится внутри острого угла.
Видим,
когда векторы нормалей плоскостей
располагаются внутри тупого угла угол
между ними острый. И наоборот, если
векторы расположились внутри острого
угла, то угол между ними тупой. Какой из
случаев реализуется в конкретном
примере, легко определить при помощи
скалярного произведения:

а)

∙
> 0 – векторы расположены в области
тупого угла;

б)

∙
< 0 – векторы расположены в области
острого угла.

Так как от случая
а) легко перейти к случаю б), то для
определённости будем считать, что всегда
нужно строить биссектрису тупого угла.

Отметим
факт: рассматриваемую задачу относят
кклассическим
задачам аналитической геометрии. Важно
также то, что существует несколько
способов решения этой задачи, причём
существенно различающихся как по
теоретическим основам, так и технологии
применяемых вычислений!

Способ–1.
Пусть
∙
> 0: векторы

и

располагаются в области тупого угла.

Воспользуемся
свойством биссектрисы: каждая принадлежащая
ей точка одинаково удалена от сторон
угла, который биссектриса делит пополам.

Для
эффективного (и удобного) использования
понятия расстояние
от точки до прямой,
каждое из уравнений заданных прямых
необходимо нормализовать. Нормированное
уравнение прямой удобно как для
вычисления отклонения точки от плоскости,
так и для вычисления расстояния от
точки до плоскости. В нашем случае задача
упрощается, так как отклонения

и

произвольной точки биссектрисы от
прямых

и

имеют одинаковые знаки и можно записать:

=.
Это значит уравнение биссектрисы, как
геометрическое место точек, равноудалённых
от сторон угла, которому эта биссектриса
принадлежит, можно записать в виде:

=. (B¹)

Если бы теперь
нужно было построить биссектрису острого
угла, то её уравнение должно быть записано
в виде:

=
–. (B²)

Замечание:
Если
бы векторы

и

располагались в области острого угла,
то биссектриса острого угла определялась
бы выражением (B¹),
а биссектриса тупого – выражением
(B²).

Способ–2.
В этом случае примем схему решения
задачи: а) находим точку M₀(x₀,y₀)
пересечения прямых

и
;
б) находим направление биссектрис
;
в) проводим прямую через заданную точку
в заданном направлении.

Для
определения направления биссектрис
l_В
построим единичные векторы:

и
,
затем суммы:
=+
– этот вектор определяет направление
биссектрисы угла, содержащего векторы

=––
определяет направление биссектрисы
угла, смежного первому.

Используя
угловой коэффициент вектора
,
строим биссектрису угла, содержащего
векторы
,;
если использовать угловой коэффициент
вектора
,
построим биссектрису смежного угла.

Замечание: на
самом деле, достаточно найти только
один вектор:
для первой биссектрисы он играет роль
направляющего вектора, а для второй –
роль вектора нормали.

Способ–3.
Воспользуемся уравнением пучка прямых:

и вектором
.
Параметр

прямой

выбирается из условия:
.

Интересно рассмотреть
один и тот же пример, решив его сразу
всеми тремя способами: это позволит
сравнить их трудоёмкости!

Пример
(и образец оформления):

Общая часть.
Составить уравнение
биссектрисы тупого угла, образованного
пересекающимися прямыми:и.

Задачу
решим, применяя все рассмотренные
способы.

Способ–1.
Используем равенство отклонений=каждой точки биссектрисы от сторон
тупого угла, которому она принадлежит.

Решение:

1). Запишем векторы:
,.
Вычислим:∙=3·12+(-4)·5>0.
Это значит, что векторыирасполагаются в области тупого угла.

2). Общая запись
уравнения биссектрисы имеет вид:
=,
а в нашем случае:=,
откуда получаем уравнение искомой
биссектрисы:.

Ответ:.

Способ–2.
В этом случае применим схему решения
задачи: а) находим точкупересечения прямыхи;
б) находим направление биссектрис;
в) проводим прямую через заданную точку
в заданном направлении.

Решение:

1). Координаты
находим из системы уравнений:
→=.

2). Так как
и,
тои.
Тогда:=–=–(3,11).
Векторможно принять в качестве нормали искомой
биссектрисы. Удобнее принять коллинеарный
ему вектор:.

3). Общее уравнение
биссектрисы запишем в виде:
.
В нашем примере: 3+11=0,
или.

Ответ:.

Способ–3.
Воспользуемся уравнением пучка прямых:,
или в виде:и направляющим вектором=(11,–3)..

Решение:

1). Вычислим угловой
коэффициент прямой пучка:
.

2). Вычислим угловой
коэффициент направляющего вектора: –.

3). Воспользуемся
равенством:
=–,
откуда получаем:.

4). Подставляем
значение
в уравнение:.
Окончательно записываем уравнение
искомой биссектрисы:.

Ответ:.

Выводы: 1).
В рассматриваемой задачеСпособ–1демонстрирует великолепные возможности
использования нормальных уравнений
прямой!

2). Применение
Способа–3демонстрирует эффективность использования
конструкциипучок.

3). Применение
Способа–2также полезно, так как требует минимум
специальных знаний. Это может сработать
при выполнении контрольной работы!

Замечание:
при оформлении задания использование
рисунка (в карандаше, с использованием
чертёжных инструментов)обязательно!

Варианты
индивидуальных заданий:

Вар.	Задание:	Вар.	Задание:
1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

2.2. Даны координаты
вершин
итреугольникаи точкапересечения его высот. Найти координаты
вершинытреугольника.

Общие
сведения и расчётные формулы:по представленному заданию.

Пусть
прямая
:

x+y+=0
определяет сторону

треугольника, а прямая
:x+y+=0
сторону
.
Тогда вектор

можем принять в качестве нормали прямой

,
а вектор

в качестве нормали прямой
.
Остаётся воспользоваться уравнением
прямой, для которой задан вектор нормали
и точка, принадлежащая прямой! Как только
будут построены уравнения прямых,
нетрудно найти их точку пересечения .

Пример
(и образец оформления):

Общая часть.
Пусть вершиныитреугольника:=(-10,2),=(6,4)
и точка пересечения его высот:=(5,2).
Найти координаты вершины.

Решение:

1)
Вычислим: =–=(5,2)–(6,4)=(-1,-2)=;=–=(5,2)–(-10,2)=(15,0)=.

2). Заменим полученные
векторы нормалей коллинеарныvми
им, но более простые в записи:

=(1.2),

=(1,0).

3). Воспользуемся
общим уравнение прямой для случая, когда
задан вектор нормали прямой и точка,
принадлежащая прямой:
.
Тогда получим:

:
→;

:
→.

4). Вычислим
координаты точки
:откуда,.

Ответ:=.

Варианты
индивидуальных заданий:

Вар.	Задание:	Вар.	Задание:
1.				16.
2.				17.
3.				18.
4.				19.
5.				20.
6.				21.
7.				22.
8.				23.
9.				24.
10.				25.
11.				26.
12.				27.
13.				28.
14.				29.
15.				30.

2.3. Даны координаты
вершин треугольника
.
Составить уравнения:
стороны ,высоты, биссектрисы
и медианы, проведённых из вершины A.

Общие
сведения и расчётные формулы:по представленному заданию.

Для решения задачи
необходимо вспомнить формулы, определяющие
уравнение прямой, для случаев:

1^*.
Заданы две точки, принадлежащие прямой.
Тогда уравнение прямой, проходящей
через две заданные точки записывают в
форме
:

,
где
=.

2^*.
Заданы: точка A,
принадлежащая прямой, и направление
прямой. Для построения уравнения прямой,
содержащей высоту, опущенную на
,
учтём:
.
Это значит:
.
Так как

после построения уравнения

будет известно, то уравнение прямой

может быть записано в виде :
,
где
=.

3^*.
Тремя точками
задан угол с вершиной в точке .
Прямая

проходит через точку
и делит угол:
пополам. Эту задачу можно решить двумя
вариантами:

а).
Используем равенство углов: =.
Обозначив угловой коэффициент прямой

через
,
запишем:
=,
причём угловые коэффициенты сторон
заданного угла вычисляют по формулам:

.
Для искомой прямой уравнение принимает
вид:
:

б).
Определим направление стороны
угла

единичным вектором:
,
стороны –
единичным
вектором:
.
Тогда направляющий вектор прямой,
совпадающей с биссектрисой может быть
записан в виде:
.
После этого остаётся воспользоваться
каноническим уравнением прямой:
=.

4^*.
Заданы : точка
,
принадлежащая прямой, и концы отрезка

точками

и
.
Прямая

совпадает с медианой, проведённой из
точки

к середине отрезка
–
точке
.
Далее задача совпадает с задачей 1^*:
записываем уравнение прямой, проходящей
через две заданные точки записывают в
форме
:

,
где
=.

Пример
(и образец оформления):

Общая часть.
Пусть задан треугольникего вершинами:,,.
Составить уравнения:
стороны ,высоты, медианы и
биссектрисы, проведённые из вершины A.

Решение
задачи 1^*.

1). Уравнение прямой
,
содержащей точкии:,
где=.

2). Вычислим
===4.

3). Запишем уравнение
прямой
:,
или в виде:.

Ответ:.

Решение
задачи 2^*.

1). Уравнение прямой
,
содержащей высоту,
опущенную на :,
где=.

2). Учитывая результат
задачи 1*, вычислим
==.

3). Запишем уравнение
прямой
:,
или в виде:.

Ответ:.

Решение
задачи 3^*.

1). Уравнение
биссектрисы
определим двумя способами.

Способ-1.
Общая запись уравнения::y–=(x–),
гдевычисляем
из выражения:=,
причём,.

1). Вычислим
,.
Тогда=0.

2). Уравнение
принимает вид:.

Ответ:.

Способ-2.
Общая запись канонического уравнения:=,
где=,
причём,==;===.

1). Вычислим:
==(4,-3)
–(1,1)=(3,-4);=5
→=(3,–4);

==(7,
9) –(1, 1)=(6,8);=10
→=(3,4).

2). Тогда:
=(3,–4)+(3,4)=(3,0)
→ принимаем:=(1,0).

3). Получили уравнение
в виде:=,
или:.

Ответ:.

Решение
задачи 4^*.

1). Уравнение прямой
,
содержащей медиану,
проведённую из точкик середине отрезка–
точке,
имеет вид:,
где=.

2). Вычислим
координаты точки M
из условия: =,
илиM===.

3). Тогда:
==и уравнениепринимает вид:,
или:.

Ответ:.

Варианты
индивидуальных заданий:

Вар.	Задание:	Вар.	Задание:
1.				16.
2.				17.
3.				18.
4.				19.
5.				20.
6.				21.
7.				22.
8.				23.
9.				24.
10.				25.
11.				26.
12.				27.
13.				28.
14.				29.
15.				30.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте

его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву

, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения

и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему

Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена

или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

	Биссектриса угла между прямыми в пространстве 22.12.2013, 20:13
22/12/08 155 Москва	Добрый вечер. Мучаюсь с такой задачей: Условие задачи: Написать уравнение биссектрисы острого угла между прямыми $L=frac{x-1}{1}=frac{y+2}{0}=frac{z+2}{1}$ и $L_1=frac{x-1}{1}=frac{y+1}{1}=frac{z-1}{4}$ Как решил решать эту задачу? / Т.к. мне даны канонические уравнения прямых, то решил записать выражение для угла между этими прямыми по формуле: $cos phy = frac{m_1m_2 + n_1n_2 +p_1p_2}{sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}$ . Потом по формуле косинуса двойного угла нашел два таких же выражения для биссектрисы и соседней прямой, и вот тут застрял. Получилась система из двух уравнений, где нужно найти 3 неизвестных. Были мысли найти общую точку двух этих прямых, но формулу для ее нахождения в пространстве так и не нашел. Подскажите пожалуйста, как довести пример до конца.

arseniiv

Re: Биссектриса угла между прямыми в пространстве

22.12.2013, 20:23

Заслуженный участник

27/04/09
28128

Кстати, биссектриса состоит из точек, одинаково удалённых от обоих прямых.

Были мысли найти общую точку двух этих прямых, но формулу для ее нахождения в пространстве так и не нашел.

А почему бы просто не решить систему из уравнений первой прямой и уравнений второй прямой? Итого 4 уравнения.

svv

Re: Биссектриса угла между прямыми в пространстве

22.12.2013, 20:26

Заслуженный участник

23/07/08
10077
Crna Gora

Найдите точку пересечения прямых. Биссектриса тоже через нее проходит.
Найдите направляющие векторы прямых. Приведите их к одной длине (например, единичной). Их сумма (или разность) будет направляющим вектором биссектрисы.

NeBotan	Re: Биссектриса угла между прямыми в пространстве 22.12.2013, 20:41
22/12/08 155 Москва	Цитата: Кстати, биссектриса состоит из точек, одинаково удалённых от обоих прямых. А как в пространстве связать ее с двумя прямыми? По поводу 4 уравнений понял, сейчас найду эту точку. Но тогда у меня остается вопрос, как связать уравнение биссектрисы с тем, что все ее точки равноудалены от прямых, образующих угол? мне останется найти m, n, p — для биссектрисы. — Вс дек 22, 2013 21:43:35 — Решил 4 уравнения. получил точку .

arseniiv

Re: Биссектриса угла между прямыми в пространстве

22.12.2013, 20:44

Заслуженный участник

27/04/09
28128

Почитайте теперь сообщение svv

. Может, вам проще будет найти направляющие векторы.

NeBotan	Re: Биссектриса угла между прямыми в пространстве 22.12.2013, 20:56
22/12/08 155 Москва	Получилось так: 1. Направляющие вектора прямых: 2. Длины направляющих векторов: $\|S\|=sqrt{2}, \|S_1\| = sqrt{18}$ 3. Привожу второй вектор к длине . Получилось 4. Вычитаю вектора и нахожу направляющий вектор биссектрисы: 5. Получаю каноническое уравнение биссектрисы: $L_0 : frac{-3x}{2}=frac{3(y+2)}{1}=frac{3(z+3)}{1}$ Правильно? Если да, то у меня только 1 вопрос: как понять, складывать или вычитать нужно направляющие вектора, чтобы найти биссектрису именно острого угла? На сколько я понял, в одном случае будет биссектриса острого, а в другом — тупого углов. Как понять, какую биссектрису нашел я?

_Ivana	Re: Биссектриса угла между прямыми в пространстве 22.12.2013, 21:03
05/09/12 2587	Скалярное произведение должно помочь.

svv

Re: Биссектриса угла между прямыми в пространстве

22.12.2013, 21:03

Заслуженный участник

23/07/08
10077
Crna Gora

3. Привожу второй вектор к длине

«Нет, уж лучше вы к нам». Лучше, наоборот, первый вектор привести к длине , потому что , то есть второй вектор в 3 раза длиннее первого, поэтому первый нужно просто умножить на $3$ (дробей не будет!)

NeBotan	Re: Биссектриса угла между прямыми в пространстве 22.12.2013, 21:07
22/12/08 155 Москва	Цитата: «Нет, уж лучше вы к нам». Лучше, наоборот, первый вектор привести к длине , потому что , то есть второй вектор в 3 раза длиннее первого, поэтому первый нужно просто умножить на (дробей не будет!) Согласен, неаккуратненько получилось. Цитата: Скалярное произведение должно помочь. А как оно мне поможет? Точнее, какие вектора перемножать?

svv

Re: Биссектриса угла между прямыми в пространстве

22.12.2013, 21:10

Заслуженный участник

23/07/08
10077
Crna Gora

Если скалярное произведение направляющих векторов больше нуля, угол между ними … забыл, не напомните?

arseniiv

Re: Биссектриса угла между прямыми в пространстве

22.12.2013, 21:15

Заслуженный участник

27/04/09
28128

Бабушки говорят, что иногда прямые острого угла не образуют вообще. :shock:

Надеюсь, тут всё с этим хорошо…

NeBotan	Re: Биссектриса угла между прямыми в пространстве 22.12.2013, 21:16
22/12/08 155 Москва	Острый. Тогда я складываю направляющие вектора прямых, чтобы получить направляющий вектор биссектрисы. Если произведение меньше нуля, то вычитаю. Спасибо вам большое! и с Наступающим всех участников форума Новым Годом!

svv

Re: Биссектриса угла между прямыми в пространстве

22.12.2013, 21:21

Заслуженный участник

23/07/08
10077
Crna Gora

Спасибо за поздравление! Успехов в учебе и всем остальном.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Источник

Всем привет, тут такая задача.

Даны координаты вершин треугольника: A = (−3, −3, −1), B = (−5, −4, −2), C = (3, −7, −3)
В треугольнике ABC найти уравнения биссектрис и медиан.

Сначала попробовал найти уравнения по двум точкам, то есть сначала найти точку, в которой биссектриса пересекает противоположную сторону. Это я пытался делать через формулу деления отрезков в заданном отношении, но там отношение получается с корнями, очень некрасивое, и из-за этого потом координаты точки пересечения получаются трёхэтажными дробями, вроде
[math]x_{a} = frac{ -3+frac{ 3sqrt{3} }{ sqrt{37} } }{ 1+sqrt{37} }[/math]

Поэтому нашел второй способ, с помощью уравнения биссектрисы угла, вот такое уравнение нашёл для плоскости:

[math]frac{ a_{1}x+b_{1}x+c_{1} }{ sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2} } }= pm frac{ a_{2}x+b_{2}x+c_{2} }{ sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2} } }[/math]
Где [math]a_{1}x+b_{1}x+c_{1}[/math] и [math]a_{2}x+b_{2}x+c_{2}[/math] — уравнения сторон, которые образуют наш угол

Так вот, можно ли применять эту формулу для пространства и если да, то как правильно её изменить?

Источник

Уравнение биссектрисы в треугольнике — формула, свойства и решение задач

Прямая на плоскости

Задачи по геометрии могут относиться к одному из двух принципиально отличающихся случаев. Это следующие:

На плоскости, где достаточно двух координат для описания любых геометрических объектов.
В трехмерном пространстве, где любая точка имеет три координаты.

Общий. Он также называется универсальным. Прямая представляет собой следующую математическую запись: A*x + B*y + C = 0. Здесь A, B, C — числовые коэффициенты, x и y — переменные, являющиеся координатами. Сразу нужно отметить, что эта форма представления прямой используется для составления уравнения биссектрисы угла. Для удобства геометрического изображения общую форму записи часто представляют в виде y = f (x). Нужно понимать, что указанной форме в пространстве соответствует не прямая, а плоскость.
Канонический или уравнение в отрезках. Имеет оно такой вид: y/p + x/q = 1. Здесь p, q — это координаты, в которых прямая пересекает оси y и x, соответственно, поэтому удобно ее изображать в координатной системе.
Векторный. Это один из важных типов представления прямой как на плоскости, так и в пространстве. По сути, он является исходным представлением, из которого можно получить все остальные. Математически он записывается так: (x, y) = (x0, y0) + α*(v1, v2). Где (x0, y0) — координаты произвольной точки, которая лежит на прямой, (v1, v2) — направляющий вектор, он параллелен заданной прямой, α — произвольное число, параметр.
Параметрический. Этот тип представляет собой систему уравнений, которую удобно использовать во время преобразования одного вида прямой в другой. Представляет он собой следующую математическую запись: x = x0 + α*v1; y = y0 + α*v2. Несложно понять, что, выражая параметр α, можно получить уравнения общего вида и в отрезках. Объединяя же систему уравнений в одно выражение, получается векторная форма записи прямой.

Делящая пополам угол линия

Способы построения

С помощью транспортира. Для этого следует измерить заданный угол в градусах, разделить его пополам. Полученное значение отметить в виде точки. Затем соединить вершину угла и поставленную точку внутри него. Получится искомый элемент.
С использованием циркуля и линейки. Эти инструменты еще проще применять для построения биссектрисы, чем транспортир. Сначала необходимо установить в вершину угла ножку циркуля и отметить дугами пересечение окружности со сторонами. Затем, в точки пересечения поставить ножку циркуля и провести две окружности. Соединив две точки их пересечения одной прямой, можно получить биссектрису.

В нем любая биссектриса также является высотой и медианой. Поэтому, разделив его ровно пополам линейкой, и соединив полученную точку с вершиной, можно получить требуемую линию.

Основные свойства

Важно понимать, если нарисовать прямоугольный параллелепипед (или иную фигуру) в пространстве, и построить биссектрису для его граней, она будет представлять собой не прямую, а плоскость.

Уравнение биссектрисы треугольника

Сначала требуется определить уравнения двух сторон угла по их координатам. Это легко сделать в векторной форме, а затем, преобразовать ее в выражение общего типа.
Далее, необходимо найти уравнение биссектрис первого координатного угла, прировняв расстояния от ее точек до соответствующей стороны. Рабочая формула имеет вид: |A1*x + B1*y + C|/(A1 2 + B1 2 )^0,5 = |A2*x + B2*y + C|/(A2 2 + B2 2 )^0,5. Следует обратить внимание на наличие двух различных решений этого равенства, поскольку в числителе стоит модульное выражение. Два полученных уравнения говорят о наличии взаимно перпендикулярных биссектрис для углов треугольника внутреннего и внешнего.
Для внутреннего угла искомое уравнение можно найти, если определить точку пересечения соответствующей прямой с противоположной исходному углу стороной треугольника. Та точка, сумма расстояний от которой до концов отрезка будет равна длине стороны, принадлежит искомой биссектрисе.

Пример решения задачи

Сначала нужно написать уравнения прямых для сторон AB и CB, получается:

AB: (x, y) = (1, -1) + α*(-1, -1) ==> y — x + 2 = 0;
CB: (x, y) = (3, 0) + α*(-3, -2) ==> 3*y — 2*x + 6 = 0.

Составить уравнения биссектрис можно так:

| y — x + 2 |/(2)^0,5 = | 3*y — 2*x + 6 |/(13)^0,5.

Решение этого уравнения приводит к следующим двум выражениям для взаимно перпендикулярных биссектрис:

y*(6−3*3 0,5 ) + x*(3*3 0,5 −4)+12−6*3 0,5 = 0;
y*(3*3 0,5 +6) -x*(4+3*3 0,5 )+12+6*3 0,5 = 0.

Подставляя его в каждое из выражений для биссектрис, можно получить две точки пересечения:

D1A = 1,4; D1C = 3,635;
D2A = 0,621; D2C = 1,614.

BD2 = 2,014 единицы.

Таким образом, для определения в треугольнике биссектрисы уравнения по координатам следует уметь находить векторную форму выражений для прямой по координатам двух точек. Также нужно знать свойства делящей пополам угол линии.

Как составить уравнение биссектрисы по координатам

Приведем эти уравнения к нормальному виду, и тогда, для случая, когда , уравнение биссектрисы будет иметь вид

(1)

Для случая же уравнение биссектрисы получим в виде

(2)

Замечание. При решении задачи нет надобности обозначать текущие координаты точки на биссектрисе через X и Y. Их можно обозначить через x и y, так как это не меняет этих уравнений.

Объединяя уравнения (1) и (2) и используя только что сделанное замечание, будем иметь уравнения двух биссектрис в виде

Теперь решение нашей задачи не составит труда.

Для нашего случая уравнения биссектрис запишутся так:

Окончательно уравнения биссектрис получаем в виде

Легко проверить, что найденные две биссектрисы перпендикулярны. Действительно, условие перпендикулярности двух прямых A₁A₂ + B₁B₂ = 0 выполняется (на этом примере мы получили подтверждение известной из геометрии теоремы: биссектрисы двух смежных углов перпендикулярны).

Образцы выполнения некоторых заданий

Рассмотрим решения некоторых практических упражнений.

Задание 2(е)

На плоскости даны точки А(11; -5), В(6;7), С(-10; -5). Найти уравнение биссектрисы угла А.

Решение задания 2(е)

Найдем направляющий вектор биссектрисы как сумму ортов векторов и

или (умножая на )

; ;

; .

Задание 3

Получаем или

; ,

где х_ц, у_ц – координаты центра треугольника;

х_i, y_i – координаты i-ой вершины треугольника,

Для доказательства этих формул рассмотрим треугольник А₁А₂А₃, где А_i(x_i;y_i), i = 1-3 (см.рис.2.1).

Рис.2.1. Вспомогательный чертеж к заданию 3

Тогда координаты точки В найдем по формулам

и ,

а координаты центра О_ц из векторного соотношения , которое в координатной форме записывается так

, .

Отсюда, выражая х_ц и у_ц через x_i, y_i, получим требуемые формулы.

; ,

Итак, для определения четырех неизвестных х₂, у₂, х₃, у₃, мы имеем четыре независимых (!) условия (уравнения)

Решив эту систему, получим х₂ = -3, у₂ = 0, х₂= 2, у₃ = 1.

или .

Итак, уравнение третьей стороны x – 5у + 3 = 0, а вершины треугольника имеют координаты (1;5), (-3;0), (2;1).

Задание 7

Составить уравнение линии, для каждой точки М которой, отношение расстояний до точки F( ) и до прямой
равно .

Замечание. Отметим, что в заданиях этого модуля ; ; .

Пусть n = 101. Тогда:

, т.к. ;

, т.к. .

Итак, для n = 101 первая часть задания 7 принимает вид:

Решение задания 7 (для n = 101).

и .

По условию , т.е. d = 2r.

— уравнение искомой линии.

х 2 – 2х +1 = 4х 2 + 32х + 64 + 4(у – 1) 2 ,

3х 2 + 34х + 4(у – 1) 2 + 63 = 0,

Рис.2.2. Эллипс с уравнением

Фокусы эллипса имеют координаты , где .

Итак, координаты фокусов F₁(-4;1), F₂( ;1).

Директрисы эллипса имеют уравнения , где е – эксцентриситет эллипса

Уравнения директрис , т.е.

D₂: .

Отметим фокусы и директрисы эллипса на рис.2.2.

Решение задания 4(м)

Грань АВС. Уравнение грани

или 5х – 7у – 5z – 13 = 0.

> 0.

Аналогично все делается для граней ABS, BCS, CAS.

Грань ABS имеет уравнение 5х + у + 15z – 1 = 0 и
.

Грань BCS имеет уравнение 5х – 3у – 5z – 17 = 0 и
.

Наконец, грань CAS имеет уравнение 5х – 7у + 15z + 33 = 0 и
.

Так как О – центр сферы, вписанной в пирамиду SABC, то

d(O; ABC) = d(O; ABS) = d(O; BCS) = d(O; CAS) = r,

где r – радиус вписанной сферы.

Тогда координаты точки О должны удовлетворять системе

и уравнение вписанной сферы