В каком случае отклонения требуют вмешательства. Одна из важных проблем обратной связи — какие отклонения достойны внимания менеджера Иногда незначительное отклонение служит предпосылкой для последующего их роста. В другом случае минимальная сумма отклонений, заслуживающая внимания, составляет 5%, 10%, 25% бюджетной цены. Само собой разумеется, что 4% отклонения в 1000000 дол. требует скорейшего вмешательства, чем 20% отклонения в 10000 дол., затраченных на ремонт. Поэтому правило «исследованию подлежат все отклонения более 5000 дол., или 25% стандартных затрат» распространено широко. Затраты на анализ отклонений следует сопоставить с выгодами по другим элементам контрольной системы. Трудность заключается в том, что ответ часто базируется на догадках или интуиции. Статистические методы могут помочь в решении проблемы взаимосвязи капитальных вложений и их эффективности, в разделении вероятностных событий от контролируемых отклонений. Если случайные отклонения больше отведенного для них диапазона, необходимо вмешательство менеджера. [c.141]
Выбор стратегических альтернатив определяется многими факторами, которые можно определить следующими вопросами 1) будут ли инвестиции обоснованы увеличенной долей рынка и дадут ли задействованные средства результат, выраженный в реальном росте и положительной отдаче 2) обеспечит ли реинвестирование в текущие операции и производительность лидерство продукта и положительный поток денежных средств 3) позволит ли достичь желаемой прибыли на активы сосредоточение на управлении активами, повышении производительности и сокращении затрат 4) желательна ли скорая отдача 5) желательны ли ликвидация продукта или части предприятия или уход с рынка 6) следует ли принять во внимание новую технологию для улучшения качества продукта, увеличения срока его службы, удобства обслуживания или для других источников конкурентного преимущества 7) увеличит ли объединение с другой компанией шансы проникновения на рынок или усиления рыночных позиций существующих товаров
На рисунке 13-5 изображены результаты исследования Каплана и Ролла. Предварительное сообщение о возросших прибылях, очевидно, вызвало небольшой аномальный рост цен на акции, но это могло произойти просто потому, что инвесторы в то время еще не были информированы об изменении метода учета. За три месяца после сообщения о прибылях инвесторы, видимо, поняли, что бухгалтерская косметика была признаком скорее слабости, чем силы. [c.329]
Снижение риска — это было первое, о чем я начал думать после того, как пришел к выводу о том, что Фиксированно-Фракционная торговля связана со слишком большим риском. В результате я разработал стратегию, которая называется просто «ставка снижения». По существу, этот метод делает ставку снижения независимой от темпов ее роста. Поэтому уровни, на которых риск возрастает, совсем не обязательно совпадают с уровнями, на которых риск снижается. Стратегия «ставки снижения» имеет две базовые функции защита прибыли и расширение возможности геометрического роста. Возможно, лучше было бы назвать ее способ избежать асимметричного влияния рычага. В любом случае эта глава подробно разъясняет обе функции. Вы увидите, что, скорее всего, у вас не получится «поймать двух зайцев», используя эту стратегию. Нужно решить, что вам нужнее защитить прибыли или усилить эффект геометрического роста. [c.103]
Я мог бы рассказывать вам много жутких историй о трейдерах, проигравших огромные суммы денег из-за того, что они не верили в необходимость ограничивать убытки и позволять прибылям расти при малейшей возможности. ТЪ, кто потерял много денег, отлично знают эту простую истину, но, когда им самим выпадал шанс получить прибыль, они его упускали. Оказавшись в убытке, они чаще всего были уверены, что рынок скоро развернется в их сторону. И лучше верить именно этому, если нет какой-либо иной возможности. Сегодня мы имеем «нечеткую логику» и «искусственный интеллект», теории хаоса, случайных структур и, Бог знает, сколько еще других инструментов, которые, как мы полагаем, могут прогнозировать поведение рынков. И если какой-либо новый метод показывает хорошие результаты, его автор заявляет «Смотрите, я же говорил, что это будет работать». Но, если метод эффективен, это означает, что он хорошо блокирует убытки и дает возможность прибыли вырасти. Я считаю, теоретики рынка сами себя убеждают, что их образование и навыки стоят большего, чем простое эмпирическое правило. Хотя, возможно, в своих сложных логических построениях они тоже правы. Тем не менее общее правило успешной торговли очень простое ограничивать потери и обеспечивать рост прибыли. Вот самая надежная логика. [c.183]
Важную роль в интерпретации «индексов обобщенных бычьих настроений» играет открытый интерес. В принципе, чем выше его показатель, тем выше вероятность того, что метод «от обратного» принесет прибыль. Однако, если открытый интерес продолжает расти, от этого метода следует отказаться. Непрерывный рост открытого интереса указывает на то, что текущая тенденция, скорее всего, сохранится, и поэтому следует подождать, пока его кривая выровняется или начнет опускаться, и только после этого начинать действовать. [c.284]
При определенных обстоятельствах компании могут определять цену на основе прямых издержек. Этот метод связан с вычислением лишь тех затрат, которые, скорее всего, будут возрастать при росте объемов выпуска соответствующей продукции. В примере, приведенном в табл. 10.1, прямые затраты на единицу продукции составляют 2 фунта стерлингов. По мере увеличения объемов выпуска вырастут и суммарные затраты (из расчета по 2 фунта стерлингов на каждую единицу продукции). Подобно методу определения цены на основе себестоимости, определение цены на основе прямых издержек включает надбавку к стоимости (в нашем случае — 10%). В результате цена изделия составит 2,2 фунта стерлингов. [c.292]
Практическая польза нашего исследования для менеджеров заключается в том, что это позволит им получить общее представление о методах управления работниками с различными потребностями. И вероятнее всего, эти люди будут скорее отличаться, нежели походить друг на друга. В процессе проведения исследований первой задачей была попытка сделать выводы о том, что в целом мотивирует самих менеджеров. Нам требовался банк данных с ответами большого числа респондентов, примерно около тысячи анкет с подробными ответами (профилями). На создание такого банка данных ушло четыре года. Позже мы собрали также еще 412 анкет для апробации теории роста стрессов, вызванных усиливающейся конкуренцией и сокращением численности штатов организаций. При этом, чтобы придти к такому выводу, Герцберг использовал начальную базу данных из 200 анкет. Участниками опросов стали менеджеры, с которыми мы встречались в процессе ведения бизнеса, а также те, кто обучался на наших курсах. Затем последовал отсев. Мы рассматривали моду, средние значения показателей и диапазон значений (самое низкое и самое высокое значения) каждого фактора. Избранный инструмент обеспечивал разумные приемлемые результаты и представлялся не только значимым, но и надежным (более подробно это описано в приложении). Мы критически сопоставили начальные 1054 и последующие 412 анкет и в результате отобрали 1355 пригодных для дальнейшей работы и полных анкет. [c.8]
Чисто коммерческие и финансовые успехи таких фирм (вполне ожидаемые на советском и постсоветском внутреннем рынках с их нехваткой всего и вся), рост масштабов операций и активное участие в приватизации обернулись для них ростом сложности управленческих задач и необходимостью искать новые формы и методы организации управления. Решение этих задач требует освоения простейших управленческих технологий (например, правильного построения линейно-функциональной организационной структуры управления с четким распределением функций управления и регулярным документооборотом). По сути, данная модель есть не что иное, как самый низкий уровень конкурентоспособности. По теории считается вполне нормальным, что от 2/3 до 3/4 таких фирм в течение трех — пяти лет своей деятельности скорее всего обанкротятся. В условиях России процесс может лишь затянуться на два — три года против нормы (ввиду неразвитости правовой базы, слабости пресса конкурентной борьбы). [c.14]
Как мы уже убедились, государственное планирование имело на Западе, скорее, индикативную, нежели императивную природу. Самое большее, на что ориентировались рекомендации экономического роста, заключалось в определении развития государственного сектора (хотя чаще всего и этого не случалось). В частном же секторе роль планирования ограничивалась формулировкой общих рекомендаций. Более того, меры стимулирования, принятые для достижения этих целей, имели часто негативные последствия, мешавшие, в конечном итоге успеху государственного планирования. Контроль, который осуществляли власти за кредитной политикой, и селективные методы, применяемые в этой связи, привели к дискриминационной политике, которая способствовала созданию олигополии и других препятствий развития рынка. С другой стороны, система субвенций и налоговых льгот распространялась на большое количество предприятий. Таким образом, цель, заключавшаяся в поощрении наиболее динамичных предприятий, потеряла свое значение. Определенная законом, который менялся довольно редко, эта система оставалась в силе, даже когда выполнила свои задачи. Непродуманность этих ссуд, субвенций и налоговых льгот отчетливо проявилась в 60-х годах, когда ими захотели воспользоваться ТНК. Попытки государств привлечь эти компании, часто доходили до абсурда, когда после некоторого времени фирма закрывала свой филиал в одной стране и открывала в другой лишь из-за предоставляемых ей льгот. [c.213]
Конкурентное преимущество мест расположения возникает не только из-за доступности дешевых исходных материалов или их объемов как таковых, но и благодаря более высокой производительности при использовании этих исходных материалов. Часто основные исходные материалы создают скорее конкурентные недостатки, а не преимущества. Устойчивые преимущества мест расположения обеспечиваются главным образом за счет окружающей среды, в которой компании могут действовать продуктивно, непрерывно заниматься инновациями и совершенствованием своих способов конкуренции, тем самым еще выше повышать производительность. Понятие инновации относится не только к технологии в узком смысле, но и к способам маркетинга, позиционирования своей продукции и предоставления услуг. Наиболее динамичные и инновационные компании, располагающиеся в таких местах, могут обогнать своих конкурентов, действующих в любой точке земного шара, и даже структуры, прочно закрепившиеся на своих позициях за счет дешевых факторов производства или экономии на масштабах, но использующие в своих операциях устаревшие методы. В конкуренции на основе производительности компании распределяют виды деятельности глобально, чтобы дешевле получать исходные составляющие и иметь широкий доступ к рынкам. Но конкурентное преимущество в отношении конкретной товарной серии обеспечивается в результате инновации и роста производительности, в основном локализированных в пределах родной базы компании. Именно здесь компания разрабатывает стратегию, производит основной продукт, занимается исследованиями и разработками процессов и накоплением критической массы самой современной продукции (предоставления услуг) . На родной базе располагаются основные технологии и наиболее подготовленные в профессиональном плане сотрудники. Это место интеграции исходных составляющих и информации, поступающих сюда со всего мира здесь же располагаются виды работ с самой высокой производительностью. По каждому отдельному стратегическому виду бизнеса сейчас место размещения вла- [c.161]
И — о чудо — при таком разнообразии условий и обстоятельств, во всех без исключения странах, о которых идет речь, постсоциалистический переход начался со спада производства, после которого последовала стабилизация и, наконец, наступил экономический рост — математики такой процесс изображают так называемой U-образной кривой. Различия — в глубине и продолжительности спада, в крутизне начавшегося после него подъема, сроках восстановления предреформенного уровня общественного производства. Можно по-разному анализировать эти различия. Ясно, например, что в целом глубина и продолжительность спада, а значит, и трудности, пережитые населением, оказались ниже в тех странах, которые решительно провели реформы по методу шоковой терапии (Польша, Эстония, Хорватия), и выше — в тех, где предпочли постепенный или эволюционный путь (Украина, Румыния, Болгария и др.). Что касается России, то, как будет показано дальше, она вначале попыталась осуществить шоковую терапию , но очень скоро отказалась от этого метода (если нужна точность, то отменил его применение 6-й Съезд народных депутатов, состоявшийся в начале апреля 1992 года). И по показателям [c.26]
Прямое регулирование цен способствовало стабильности экономики США. К осени 1972 г. в стране снизились темпы роста цен, увеличилась занятость, стал быстро расти валовый национальный продукт. Однако довольно скоро выявились и негативные последствия централизованного регулирования. Строгий контроль ограничивал межотраслевой перелив капиталов, тормозил инвестиционную политику. Снизился уровень деловой активности, сдерживался рост доходов. В мае 1974 г. в США отказались от прямого контроля над ценами. В настоящее время американская администрация, ограничивая государственное финансирование и прямое регулирование цен по отдельным товарным группам, делает упор на активное использование рыночных рычагов и методов косвенного регулирования, способ- [c.189]
Все остальные методы представляют собой попытку найти какое-либо объективное измерение стоимости компенсации как на основе оценки выгоды для работников, так и на основе итоговой стоимости опциона для корпорации. Использование в качестве базы суммы превышения курса акций над ценой исполнения опциона основано скорее на стоимостной теории, чем на теории оценки услуг, инвестируемых работником в предприятие. Однако, применяя стоимостную теорию, не следует забывать, что инвестированный капитал измеряется стоимостью полученных фирмой ценностей, а не наоборот. Даже если оценка получаемых услуг и должна рассчитываться с учетом стоимости опциона, стоимость услуг — это инвестиции работника в предприятие, и поэтому она должна быть определена с учетом всех возможных последствий и риска получателя опциона. Поэтому превышение рыночной стоимости акций над ценой исполнения опциона на момент передачи прав собственности или на момент, когда опцион становится исполняемым, представляет собой неполную оценку, особенно если работник удерживает опцион в течение нескольких лет до окончания срока исполнения. Даже если рыночная цена акций на момент оценки компенсации равна цене исполнения опциона, последний может иметь положительную оценку в связи с возможным ростом курса акций. [c.514]
Практика показывает, что быстрый рост и успех фирмы очень часто не связаны с формальным планированием, а скорее являются следствием предпринимательского таланта руководителя, его энергичного и решительного руководства деятельностью предприятия (фирмы). Многие предприятия, в т. ч. российские, начинают применять методы стратегического планирования в тот период своего развития, когда уже прошел этап бурного успеха и предприятие вступило в стадию зрелости ресурсов. На этой стадии предприятие хотя и имеет значительные финансовые достижения, но возрастает вероятность утраты им гибкости и предпринимательского духа, что предопределяет необходимость обеспечения стабильности. [c.26]
Сон-лей означает три солдата, марширующих в одном направлении. Типичным представителем такой формации является бычья модель три белых солдата, которая указывает на устойчивый рост рынка. Этот тип устойчивого ценового роста указывает на возможность мощного движения к вершине. Кроме того, метод Сакаты показывает, как эта модель ухудшается и показывает слабость рыночного роста. Медвежьи вариации бычьей модели три белых солдата обсуждаются ниже. Первая вариация — модель отбитая атака, которая весьма сходна с основной моделью, но отличается наличием длинных верхних теней у второго и третьего белых дней. Вторая вариация трех белых солдат — модель размышление (торможение), у которой вторая свеча также имеет длинную верхнюю тень. Однако здесь третий день оказывается волчком и, скорее всего, звездой. Это предполагает, что разворот рынка близок. [c.205]
Развитие капитализма в России в начале века было прервано революцией. Многие торговые и промышленные предприятия были национализированы, другие — закрылись. Объем рекламы резко сократился. Какое-то время, скорее по инерции, она еще продолжала свое существование. Правда, в это время стала развиваться политическая реклама. Ведь знаменитые Окна РОСТА были ни чем иным, как политической рекламой, успешно использовавшей жанр русского лубка. Рекламными методами пользовались и агитбригады с помощью так называемых агитпоездов , разрисованных лозунгами, призывавшими строить светлое будущее . [c.44]
Необходимо также обеспечить, чтобы соответствующие меры измерения процесса идентифицировались заранее, а измерения отражали результаты бизнеса до и после изменений и вносили вклад в конечный результат. В ходе внедрения устанавливаются цели (задачи), ориентированные на величины улучшений на порядок (в 10 раз). Использование системы качества на предприятии должно рассматриваться как замкнутый процесс, охватывающий все этапы — от маркетинга и разработки до внедрения и последующего совершенствования. Принцип участия всей организации в управлении качеством предполагает, что совершенствование продукции исходит от руководства компании и поддерживается всем персоналом через систему делегирования полномочий и ответственности, обучение основным методам контроля качества на отдельно взятом участке работ, а также мотивацию (вознаграждение и признание достижений). В итоге управление качеством происходит и по горизонтали (по процессам) и по вертикали оргструктуры фирмы. Для перманентного роста качества создаются постоянно действующие команды, включающие руководителей различных подразделений. Основное внимание при внедрении системы 6а должно уделяться совершенствованию процессов, а не работников, так как число проблем, зависящих непосредственно от персонала, составляет менее 20 %. Это доказывается статистически. Исследования показали, что в большинстве технологических, производственных и многих других процессов возможности для брака и разного рода ошибок появляются на уровне 4а. Производство товаров, процесс оформления бухгалтерских платежных документов, письменные заказы, заполнение ордеров на печатную продукцию (подписка), трансферты, ресторанные счета, покупки разного рода — все эти процессы имеют уровень 4а по количеству моментов, допускающих ошибку или брак. То, что этот список включает в себя и процесс заполнения медицинских рецептов, говорит о том, что интеллект или уровень образованности никоим образом не влияет на количество брака. Скорее всего, брак — это следствие процесса. Следовательно, задача заключается именно в сокращении вариативности процесса. [c.59]
Мои перцепционные фильтры понимания поведения цен — различные настроения и технические индикаторы, составляющие ядро моего метода торговли. Однако если вы взглянете на мой торговый отчет (см. Таблицу 1.1 и Рисунок 1.1), то увидите решительный рост торговых прибылей с мая 97-го, когда я попробовал примерить бесцветные очки, чтобы рассмотреть поведение цен в самой чистой форме, а не через цветные стекла перцепционных фильтров. Индикаторы настроений, используемые мною в качестве перцепционных фильтров, теперь подсказывают скорее, насколько агрессивно торговать, чем когда торговать. [c.80]
США. Ускорение темпов роста оптовых и розничных цен на внутреннем рынке США в 70-х годах прошлого столетия, перерастание умеренной инфляции в галопирующую привели к необходимости прибегнуть к методам прямого регулирования цен. В 1971 г. был установлен централизованный контроль над ценами и заработной платой. В краткосрочном плане прямое регулирование цен способствовало определенной стабилизации экономики страны к осени 1972 г. снизились темпы повышения оптовых и розничных цен, увеличилась занятость, стал быстро расти валовой национальный продукт. Однако довольно скоро выявились и негативные последствия централизованного регулирования цен. Замораживание цен и заработной платы ограничивало межотраслевой перелив капиталов, тормозило инвестиционную политику, снижало уровень деловой активности, сдерживало рост доходов. Поэтому в мае 1974 г. в США отказались от прямого контроля над ценами. [c.126]
Анализируя подходы к моделированию штатов профессорско-преподавательского и учебно-вспомогательного персонала, логичнее представить их не как попытки моделирования, а, скорее, как методы расчета соответствующих штатов. Рассматривая их как модели, можно отметить следующие присущие им недостатки. Во-первых, они не позволяют исследовать динамику изменения структуры и численности соответствующего персонала, так как по существу являются статическими параметрическими моделями, связывающими статические показатели структуры и численности преподавательского состава в вузе с экзогенно вводимыми показателями (численностью студентов, учебной нагрузкой и т.п.). Во-вторых, эти модели не рассматривают процессы воспроизводства преподавательских кадров, динамические условия и ограничения, при которых будет обеспечено не ухудшение или улучшение их структуры. В-третьих, в данных подходах не учитываются обратные связи рассматриваемой подсистемы с другими подсистемами вуза (например, ухудшение качественной структуры преподавательского состава может повлиять на отсев, что, в свою очередь, повлияет на численность и структуру преподавательских кадров и т.д.). И, наконец, не совсем оправданной представляется жесткая увязка структуры преподавательских штатов с учебным планом это не только тормозит естественные процессы педагогического и научного роста, которые должны подкрепляться соответствующими [c.307]
Исследователей интересовало также влияние на выбор учетной политики падающих на фирмы политических издержек (politi al osts). Политические издержки возникают вследствие того, что фирмы скорее попадают в поле зрения политиков, чем их представительства. Крупные фирмы привлекают большее внимание средств массовой информации, политиков и общественности в целом, по сравнению с мелкими фирмами, особенно если прибыли первых кажутся высокими. Они становятся вероятными целями дорогостоящего регулирования. Это может привести к росту налогов и затрат на обеспечение соответствия установленным законом требованиям. Согласно концепции эгоистического поведения у крупных фирм есть стимулы использовать те учетные методы, которые снижают бухгалтерскую прибыль. [c.127]
Однако согласно гипотезе эффективного рынка инвесторы в состоянии отличить релевантную информацию от нерелевантной, заметить косметические изменения отчетности, и приемы креативного учета не могут ввести их в заблуждение. В настоящее время существует множество работ эмпирического характера, исследующих влияние на курс акций, если таковое есть, произвольных изменений в бухгалтерском учете. Хотя они скорее относятся к изучению гипотезы эффективного рынка, выводы некоторых исследований уместны и здесь. К примеру, Арчибальд (Ar hibald) [6] обнаружил, что акции фирм, перешедших для целей финансовой отчетности от ускоренного метода начисления амортизации к прямолинейному, в среднем в течение двух первых лет котировались ниже нормального рыночного уровня. Смена методов начисления износа приводила к увеличению отчетной прибыли. Однако. заявление об изменении политики и соответствующий рост прибыли явно не оказывали немедленного влияния на успешность на фондовом рынке [6, с.30]. [c.468]
Но дело здесь не столько в статистическом преувеличении рассматриваемого показателя, сколько в экономическом значении и социальной направленности буржуазного подхода. Ведь увеличение народного дохода за счет возрастания доходов ряда категорий непроизводственных работников — например, служащих судов и тюрем, полиции, чиновничьего аппарата — вовсе не отражает роста экономической мощи или благосостояния населения данной страны, а рисует скорее обратный процесс. Таким образом, методы буржуазной статистики искажа- [c.11]
Возможности развития нефтяной промышленности связаны не столько с наличием ресурсов, сколько с возможностью создания новых мощностей по добыче. Эти новые мощности можно увеличивать двумя способами за счет открытия новых месторождений и за счет увеличения КНИ. Степень нефтеизвле-чения в мире может быть увеличена до 40—50% вместо 25—30% в 80-е гг. Дополнительные запасы нефти, получаемые третичными методами добычи, примыкают к ресурсам нетрадиционных источников, образуя совместно с ними единый спектр УВ с различными затратами освоения. Из 200—210 млрд. т ресурсов нефти, извлекаемых при освоенной технологии и существующих ценах на нефть, 80—90 млрд. т будут обеспечены за счет МУН. Эти методы позволяют скорее продлить жизнь эксплуатируемых месторождений, чем увеличить мощности добычи. Следовательно, будущий рост мощностей в основном базируется на открытии новых месторождений. [c.22]
Система уравнений общего равновесия Л. Вальраса и доказанное им существование ее решения имели не. только свою предысторию и богатое последействие, но и весьма любопытный побочный продукт . Речь идет о механизме ее решения, скорее социально-экономическом, нежели техническом или собственно математическом. И прежде всего о механизме нащупывания (tatonnement). В теории процедуру нащупывания осуществляет аукционист, используя метод проб и ошибок. В реальной же экономике, где фигура аукциониста отсутствует, эту процедуру выполняет сам конкурентный рынок. Рост и падение цен, — писал Л. Вальрас, — это метод решения уравнений посредством нащупывания, который делает рыночное решение таким же, как и теоретическое .88 [c.234]
Ключом к такому прогнозу являются показатели будущей динамики компании в целом, а среди них наиболее важны оценки объемов сбыта и норм чистой рентабельности (коэффициент, выражающий соотношение чистой прибыли и валовой выручки. — Прим. науч. ред.). Один из способов построения прогноза сбыта заключается в предположении о том, что компания будет функционировать так же, как и в прошлом, и поэтому необходимо просто экстраполировать ее прошлые тенденции. Например, если в прошлом объемы реализации продукции у компании росли на 10% ежегодно, при таком подходе к прогнозированию можно предположить, что и в будущем они будут расти именно этим темпом. Конечно, если имеются какие-то данные общеэкономического или отраслевого характера о том, что объемы сбыта у компании будут расти быстрее или, наоборот, медленнее, чем в прошлом, прогноз должен быть скорректирован. Скорее всего, этот наивный, упрощенный подход к прогнозированию будет столь же эффективен, сколь и прогнозы, составленные на базе более сложных методов. Как правило, прогноз объемов сбыта охватывает период от одного до трех лет попытка продлить его за эти пределы ведет к росту неопределенности и резко снижает качество прогноза. [c.365]
Следует отметить, что только за 1985 г. было освоено 220 млн руб., или четвертая часть всех капиталовложений на охрану атмосферного воздуха в XI пятилетке, а на 1986г. запланировано 277 млн руб., или на 25 % больше, чем в 1985 г. Если учесть, что общая сумма затрат на охрану природы и рациональное использование природных ресурсов составила в 1984—1985 гг. около 43 млрд руб., т. е. более чем в 4 раза превысила объем капитальных вложений, то сумму затрат на охрану атмосферного воздуха за XI пятилетку можно оценить почти в 3,5 млрд руб./И/- При сохранении темпа прироста затрат на уровне 1986 г. общая сумма за 5-летний период может достичь к концу 1990 г. 4,5—5 млрд руб. Остается нерешенным вопрос, обеспечит ли столь значительное увеличение затрат поступательный рост эколого-экономической эффективности воздухоохранных мероприятий. Актуальность его скорейшего решения возросла в настоящее время в связи с переходом на новые методы хозяйствования полный хозрасчет, самоокупаемость, самофинансирование. В таких условиях гигиенические нормативы вредных веществ в воздухе населенных мест могут оказать весьма существенное влияние на принимаемые экономические решения. Известно, например, что удовлетворение требований к конструкциям энергетического оборудования сх учетом ПДК толь ко одного вещества может вызвать увеличение капиталовложений на объектах энергетики от 15—20 до 150—200 %, а выбрасывает- [c.210]
Отметим, что метод Кагана неприемлем для рассмотрения конечной стадии гиперинфляции. Дело в том, что нельзя заменять весь ожидаемый ход цен темпом их изменения (ожидаемым) в данный момент, как это делает Каган и как это предлагалось в п. 5. Например, если ожидается, что рост цен будет продолжаться, скажем, еще только один день, а затем последует стабилизация, то, очевидно, это приведет к повышению реального спроса на деньги, по сравнению с тем, который существует при ожидании дальнейшего их роста поэтому имеет смысл вводить более высокие цены после стабилизации, уберегая тем самым от соблазна покупать по более низким ценам. Подобное затруднение возникает и в теории потребительского спроса, когда приходится рассматривать не только цены в прошлом, но и ожидаемые в будущем. Это помогает объяснить обнаруженную Каганом особенность конечной стадии гиперинфляции, а также проливает свет на вывод Селдена о том, что включение роста цен в издержки обладания денежным запасом скорее ухудшает его расчетные соотношения, хотя, возможно, причина и в другом, а именно в том, что фирмы строят свои ожидания цен в будущем только на основе их темпа роста в настоящем и тогда эта переменная начинает играть решающую роль. [c.807]
Существует масса методов, с помощью которых внешние инвесторы могут попытаться манипулировать ценой акций какой-то корпорации. Например, Вила2 предложил следующий простой сценарий развития ситуации. В его модели внешний инвестор (например, специалист рынка корпоративного контроля) приобретает пакет обыкновенных голосующих акций компании непосредственно перед тем, как на рынке делается тендерное предложение на ее контрольный пакет. Даже если этот внешний инвестор в дальнейшем решает отказаться от проведения поглощения, то рынок все равно может оказаться манипулиро-ванным. Произойти это может из-за того, что участники рынка расценят торговую активность нашего внешнего инвестора как сигнал скорого поглощения корпорации и соответственно начнут скупать те же акции, что приведет к росту стоимости последних (иногда росту столь серьезному, что он будет сопоставим с ростом курсовой стоимости акций корпорации-цели при попытке ее поглощения). Расчет нашего инвестора ясен -он выкупает пакет обыкновенных голосующих акций, ждет, когда произойдет рост цены (в результате изменившихся ожиданий участников рынка), и продает пакет уже по значительно более высокой цене. Что до практической эффективности этой схемы, то она напрямую зависит от способностей, которыми обладает манипулятор в области мимикрии — создания имиджа серьезного покупателя, собирающегося поглотить компанию. [c.217]
В ситуациях, когда перед потребителями множество вариантов выбора, которые могут легко ввести в заблуждение, полезно упорядочить цены и форму их представления, с тем, чтобы сделать максимально привлекательными и понятными. Такое часто проделывается на уровне розничной торговли с дешевыми потребительскими товарами или потребительскими товарами не длительного пользования, как их любят называть экономисты. В ряде случаев цена должна принять во внимание некоторые особенности спроса. Такие особенности чаще проявляются в сделках на уровне розничной торговли, чем в производстве или оптовой торговле. Внесение определенных корректировок в окончательную цену может усилить привлекательность для потребителей и отразиться на росте продаж. Поправки к цене отражают то, как потребители воспринимают товар и его цену. Некоторые цены кажутся привлекательнее других либо потому, что они вошли в привычку, либо потому, что потребители видят в них определенную внутреннюю логику. Цены наподобие 14,31 за галстук или 38,72 за тостер могут вызывать ощущение дискомфорта. Для других товаров такие неокругленные цены вполне приемлемы — 63 цента за пакетик миндаля или 2,69 за кокосовое масло Skippy. Хотя психологическое ценообразование часто используется для того, что сделать цену более привлекательной, его можно применить и для того, чтобы подчеркнуть соотношение между ценой и качеством. Например, потребителей может не привлечь лосьон для кожи, если его цена слишком низкая. 8-унцевая баночка лосьона, оцененная в 49 центов, может оказаться не столь привлекательной, как та же баночка по цене 2,98. При 49 центах нет указаний на качество. Рассмотрим некоторые специфические приемы психологического ценообразования. Форма цены без округления, как разновидность психологического ценообразования, возникает, если последние цифры в цене сделать некруглыми или представить их числом, чуть меньше круглого числа (например, 98 или 99). Ценообразование без округления основано на представлении, что цена 9,99 кажется потребителям ниже, чем 10,00. Разница всего лишь в один цент создает иллюзию, что цена находится скорее в диапазоне от 0,01 до 9,99, чем в диапазоне от 10,01 до 19,99. Хотя специалисты по маркетингу уже привыкли устанавливать цены подобным образом, исследования чувствительности потребителей к такого рода ценовым отличиям не дают убедительных результатов в поддержку данного подхода.25 Можно заключить, что они применяют этот метод ценообразования главным образом потому, что его используют и другие. [c.244]
Выбор методов спасения документов, пострадавших при затоплении или пожаре, зависит даже от погодных условий. Когда жарко и влажно, спасательные операции надо начинать немедленно. Холодная погода позволяет уделить больше времени опробированию различных способов сушки. Необходимо как можно скорее снизить температуру и влажность воздуха и обязательно обеспечить его циркуляцию. При высоких показателях температурно-влажностного режима и в условиях непроветриваемого помещения в ближайшие 48 часов могут появиться биопоражения. При этом надо иметь ввиду, что повышение температуры с целью снижения влажности воздуха недопустимо, так как это приводит к ускорению роста плесени. В этих условиях необходимо обеспечить регулярные замеры параметров температурно-влажностного режима и максимальную вентиляцию помещений. В помещениях, куда доступ специалистов не разрешен в течение нескольких дней, целесообразно использовать специальные противогрибковые аэрозоли. До начала эвакуации влажных документов необходимо определить способ их обезвоживания — замораживание (не рекомендуется применять к микрофильмам, т.к. кристаллы льда могут нарушить эмульсионный слой пленки и испортить изображение), вакуумная или воздушная сушка и в зависимости от этого организовывать упаковку и транспортировку поврежденных документов. Категорически нельзя оставлять документы в многочисленных связках одна на одной («складировать»), т.к. механические нагрузки в данном случае весьма разрушительны. Сначала упаковывают и эвакуируют самые влажные документы, что снизит и общий уровень влажности в хранилище. Следует освободить дела от намокших первичных средств хранения, особенно если это коробки с рифленым внутренним покрытием, которые впитывают очень много влаги. Желательно переупаковать дела в новые коробки, бумагу или мешки, что будет способствовать высыханию и облегчит транспортировку. [c.88]
Наискорейший рост наискорейший спуск
- Наискорейший рост наискорейший спуск
-
Наискорейший рост (подъем), наискорейший спуск [quickest ascent, quickest descent] — направления поиска экстремума (максимальной или минимальной точек) в задачах математического программирования при их решении градиентными методами. Эти направления в каждой заданной точке перпендикулярны (ортогональны) к линии уровня.
Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. — М.: Дело.
.
2003.
Смотреть что такое «Наискорейший рост наискорейший спуск» в других словарях:
-
Н — Наблюдаемые входные данные — см .Ненаблюдаемые входные данные Наблюдатель [ analyst, observer] Наблюдение экономических явлений [economic observation] Наблюдения [observations] … Экономико-математический словарь
Гражданское право — работа с недвижимостью. договорная работа, наследственное право, банкротство.
Важнейшим показателем эффективности производства в анализе финансовой ситуации компании является показатель темпа роста. Поговорим об особенностях его расчета.
Как рассчитать темп роста: формула
Что называют снижением темпа роста цен?
Подробнее
Этот термин показывает изменение значения любого экономического или статистического показателя в текущем периоде к его начальному значению (являющемуся базовым) за определенный временной промежуток. Измеряется он в процентах или коэффициентах.
Например, при сравнении объема выпуска товаров на конец года (допустим, в значении 100000 руб.) к показателю объема на начало года (70000 руб.) темп роста находят отношением конечного значения к начальному: 100000 / 70000 = 1,428. Индекс роста в примере составил 1,429. Это означает, что на конец года объем выпуска составил 142,9%.
Как рассчитать темп роста в процентах — формула:
ТР = Пт / Пб х 100%,
где Пк и Пб – показатели значений текущего и базового периодов.
Узнайте, может ли темп роста быть отрицательной величиной.
Темп роста показывает интенсивность изменений какого-либо процесса по отношению к его начальному (базовому) значению. Результат вычислений – один из трех вариантов:
-
ТР больше 100%, следовательно, конечное значение возросло в сравнении с начальным, т.е. налицо рост показателя;
-
ТР = 100%, т.е. изменений ни в большую, ни в меньшую сторону не произошло – показатель остался на прежнем уровне;
-
ТР меньше 100%, значит, анализируемый показатель снизился к началу периода.
Приведем примеры, как рассчитать темп роста в процентах по каждому варианту расчета, объединив исходные данные в таблицу:
Объем выпуска в тыс. руб. |
Расчет (Пт / Пб х 100%) |
|
2017 (Пб) |
2018 (Пт) |
|
600 |
800 |
133,3% |
600 |
600 |
100% |
600 |
400 |
66,7% |
Такой темп роста называют базисным, поскольку база сравнения по периодам остается неизменной – показатель на начало периода. Если же сравнительная база изменяется, а темп роста вычисляют отношением текущего значения к предыдущему (а не базисному), то этот показатель будет цепным.
Узнайте, чем отличается темп роста от темпа прироста.
Как рассчитать цепные темпы роста
Рассмотрим пример расчета базисного и цепного темпов роста:
Период |
Объем в тыс.руб. |
Темп роста в % |
|
базисный |
цепной |
||
1 кв. |
300 |
100 |
— |
2 кв. |
310 |
103,3 (310 / 300) |
103,3 (310 / 300) |
3 кв. |
280 |
93,3 (280 / 300) |
90,3 (280 / 310) |
4 кв. |
360 |
120 (360 / 300) |
128,6 (360 / 280) |
Цепные темпы роста характеризуют насыщенность изменения уровней от квартала к кварталу, базисные же отражают ее в целом за весь временной интервал (показатель 1 квартала – база сравнения).
Сравнивая показатели в приведенном примере, можно отметить, что ряд значений, рассчитанных к началу периода, имеет меньшую амплитуду колебаний, чем цепные показатели, вычисления которых привязаны не к началу года, а к каждому предшествующему кварталу.
Как рассчитать темпы прироста
Кроме расчета темпов роста, принято высчитывать и темпы прироста. Эти значения также бывают базисными и цепными. Базисный прирост определяют как отношение разности показателей текущего и базового периодов к значению базового периода по формуле:
∆ ТР = (Птек – Пбаз) / Пбаз х 100%
Цепной прирост рассчитывают как разность между текущим и предыдущим показателями, деленную на темп роста предыдущего периода:
∆ ТР = (Птек – Ппр.п) / Ппр. п х 100%.
Более простым способом расчета является формула: ∆ ТР = ТР – 100%, где расчетные показатели темпа роста уменьшаются на 100%, т. е. исходную величину. Показатель темпа прироста в отличие от значений темпа роста может иметь отрицательное значение, поскольку темп роста (или снижения) показывает динамику изменений показателя, а темп прироста говорит о том, какой характер они носят.
Продолжая пример, рассчитаем приросты объемов в рассматриваемых периодах:
Период |
Темпы прироста |
|
базисные |
цепные |
|
1 кв. |
— |
— |
2 кв. |
3,3% (103,3 – 100) или ((310 – 300) / 300 х 100) |
3,3% (103,3 – 100) или ((310 – 300) / 300 х 100) |
3 кв. |
— 6,7% (93,3 – 100) или ((280 – 300) / 300 х 100) |
-9,7% (90,3 – 100) или ((280 – 310) / 310 х 100) |
4 кв. |
20% (120 – 100) или (( 360 – 300) / 300 х 100) |
28,6% (128,6 – 100) или ((360 – 280) / 280 х 100) |
Анализируя результаты вычислений, экономист может сделать вывод:
-
Прирост объемов наблюдался во 2-м и 4-м кварталах, причем во 2-м он был наименьшим (3,3%). В 3-м квартале объем выпуска сократился на 6,7% в сравнении с показателями начала года;
-
Цепные темпы прироста обнаружили более глубокие колебания: объемы 3-го квартала снизились по отношению к показателям 2-го на 9,7%. Зато выпуск товаров в 4-м квартале вырос почти на треть в сравнении с итогами 3-го квартала. Столь существенные изменения в объемах производства могут свидетельствовать о сезонности выпускаемых продуктов, перебоях в снабжении необходимым сырьем или других причинах, которые исследует аналитик.
Как рассчитать средний темп роста
Средний темп роста – обобщающая характеристика уровня изменений. Расчет средних темпов роста и прироста также разграничивают на базисные и цепные. Для определения среднего темпа роста расчетные показатели по периодам складывают и делят на количество периодов. Таким же образом находят и средние темпы приростов. Вернемся к предыдущему примеру, рассчитав средние значения базисных темпов роста и прироста, а также аналогичных цепных показателей.
Показатель |
Значение в % |
Расчет |
Средний темп роста (базисный) |
105,5 |
(103,3 + 93,3 + 120) / 3 |
Средний темп прироста (базисный) |
5,5 |
(3,3 – 6,7 + 20) / 3 |
Средний темп роста (цепной) |
107,4 |
(103,3 + 90,3 + 128,6) / 3 |
Средний темп прироста (цепной) |
7,4 |
(3,3 – 9,7 + 28,6) / 3 |
Полученные цифры свидетельствуют о том, что в среднем с начала года объемы выпуска выросли на 5,5%, а в поквартальной привязке рост составил 7,4%.
Читайте также: Экспресс-анализ финансового состояния предприятия
Специализация: Гражданское право — работа с недвижимостью. договорная работа, наследственное право, банкротство.
Окончила в 2005 г. Тверской государственный университет, юридический факультет, специальность-юриспруденция.
Юрист в сфере недвижимости:составление договоров, регистрация в Росреестре прав и сделок,оформление наследственных прав,
сопровождение сделок с недвижимым имуществом,судебный опыт по делам,связанным с признанием прав на недвижимость.
Имеется опыт работы помощником арбитражного управляющего.
Лекция №1 Основные теоремы дифференциального исчисления проф. Дымков М.П. 6
Замечание 3. Иногда приходится применять правило Лопиталя последовательно несколько раз (делать несколько шагов), если от неопределенности не удается избавиться на первом шаге. Однако условия теоремы на каждом шаге должны оставаться справедливыми.
Пример 3. Найти lim ex .
x→∞ x5
Решение:
ex |
∞ |
ex |
∞ |
ex |
∞ |
ex |
∞ |
||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
5 |
= |
= lim |
= |
= lim |
= |
= lim |
= |
= |
||||||||||||||||||||||||||||
4 |
20x |
3 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ x |
∞ |
x→∞ 5x |
∞ |
x→∞ |
∞ |
x→∞ 60x |
∞ |
||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
ex |
∞ |
= lim |
ex |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
= +∞ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
120x |
∞ |
120 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
x→∞ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Замечание |
4. |
Хотя |
правило |
Лопиталя |
работает только с |
||||||||||||||||||||||||||||||||
неопределенностями |
0 |
и |
∞ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
∞ |
, неопределенности других типов могут быть |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
раскрыты |
с |
помощью |
этого |
правила, |
если |
путем |
преобразований удастся |
||||||||||||||||||||||||||||||
привести изучаемую неопределенность к типу |
0 |
или |
∞ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 4. |
Найти |
lim |
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x sin |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
sin a |
0 |
cos a |
−a2 |
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
x sin |
= |
[∞0]= lim |
x |
= |
= lim |
x |
x |
= a lim cos |
= a |
|||||||||||||||||||||||||||
x |
0 |
−1 |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
x→∞ |
1 |
x→∞ |
x→∞ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сравнение функций по скорости роста |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим некоторые функции, возрастающие при x → +∞. Составим из |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
них ряд |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = loga x, a >1; |
y = xk , k > 0; |
y = ax , a >1; |
y = x!; |
y = xx |
и докажем, что чем правее в ряду находится функция, тем быстрее она растет. Найдем пределы отношения во всех парах рядом стоящих функций при
loga x |
правило |
1 |
ln a |
ln a |
|||||
lim |
x |
= lim |
= 0 , |
||||||
= |
= |
||||||||
xk |
kxk−1 |
||||||||
Лопиталя |
x→+∞ |
x→+∞ kxk |
следовательно, функция y = xk , k > 0, растет быстрее при x → +∞, чем y = loga x, a >1.
Лекция №1 Основные теоремы дифференциального исчисления проф. Дымков М.П. 7
2) |
lim |
xk |
правило |
lim |
kxk−1 |
. |
||
= |
= |
|||||||
x |
x |
ln a |
||||||
x→+∞ a |
Лопиталя |
x→+∞ a |
Для любого k >1, в том ч исле и сколь угодно большого, справедливо неравенство n —1< k ≤ n , где n – натуральное число. Применив правило Лопиталя n раз, получим
lim |
k(k −1)…(k −n +1) |
, |
x→+∞ |
ax lnn a xn−k |
где величина n −k > 0 . Числитель дроби – постоянное число, знаменатель неограниченно возрастает, предел этой дроби равен нулю. Итак, функция
y = ax , a >1 |
растет быстрее при x → +∞, чем y = xk , |
k > 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
Найдем |
lim |
ax |
. |
Аналогично |
случаю |
2) для |
любого |
a >1 верно |
||||||||||||||||||||||||
x→+∞ x! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
неравенство n < a ≤ n +1. Запишем дробь следующим образом |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ax |
a |
a |
a |
a |
a |
an |
a |
x−n |
|||||||||||||||||||||||||
= |
… |
… |
< |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||
x! |
1 |
2 |
n |
n +1 |
x |
n! |
+1 |
||||||||||||||||||||||||||
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
где произведение последних |
правильных |
(x −n) |
дробей заменено на |
||||||||||||||||||||||||||||||
наибольшую из них в степени x −n . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ax |
an |
a |
x−n |
an |
a |
x−n |
a |
<1. |
|||||||||||||||||||||||||
Тогда |
lim |
≤ |
lim |
= |
lim |
= 0 , так как |
|||||||||||||||||||||||||||
n +1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x→+∞ x! |
x→+∞ n! |
n +1 |
n! x→+∞ |
n + |
1 |
С другой стороны, отношение ax не может быть отрицательным. Итак, предел x!
рассматриваемого отношения функций ограничен сверху нулем и не может
быть меньше нуля. Поэтому lim |
ax |
|||||||
x→+∞ x! |
||||||||
4) |
lim |
x! |
= |
lim 1 2 |
… |
x |
||
x |
||||||||
x→+∞ xx |
x→+∞ x x |
|||||||
Первый |
из этих |
пределов |
lim |
1 |
||||
x→+∞ x |
= 0 . |
|||||||
= lim |
1 |
lim 2 |
… |
lim |
x |
. |
|
x→+∞ x |
x→+∞ x |
x→+∞ x |
= 0 . Величина всех остальных пределов
заключена между нулем и единицей. Следовательно, произведение этих
пределов есть нуль. Итак, xlim→+∞ xxx! = 0 . Функция y = xx самая быстрорастущая из перечисленных функций при x → +∞.
Формулы Маклорена и Тейлора
Эти формулы являются одними из основных формул математического анализа и имеют многочисленные приложения.
Рассмотрим многочлен n-й степени
P(x) = a0 + a1x + a2x2 +… + an xn .
Лекция №1 Основные теоремы дифференциального исчисления проф. Дымков М.П. 8
Его можно представить в виде суммы степеней переменной х, взятых с некоторыми коэффициентами. Продифференцируем его n раз по х, найдем значения многочлена и его производных в точке x = 0, выразим из каждого полученного выражения коэффициенты a0,a1,…an , разместив результаты в трех
столбцах соответственно:
P(x) = a |
+ a x + a x2 +… + a xn |
P(0) = a0 |
a0 = P(0) |
||||||||||||||||||||||||||||
0 |
1 |
2 |
n |
′ |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
n−1 |
′ |
|||||||||||||||||||||||||||||
P (0) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
P′(x) |
= a |
+ |
2a x |
+3a x |
… + na x |
P (0) = a1 |
a |
= |
|||||||||||||||||||||||
1! |
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
3 |
n |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||
′′ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
P′′(x) |
= 2a |
+3 2 a x… + n (n |
−1) |
a x |
n−2 |
′′ |
a |
= |
P (0) |
||||||||||||||||||||||
P (0) = 2 1 a2 |
2! |
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
3 |
n |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
′′′ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
P′′′(x) =3 2 |
1 a … + n (n −1) |
(n −2) |
a x |
n−3 |
′′′ |
a |
= |
P (0) |
|||||||||||||||||||||||
P (0) =3 2 1 a3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
n |
3 |
3! |
||||||||||||||||||||||||||||
…….. |
…….. |
||||||||||||||||||||||||||||||
Вернемся к нашему многочлену, подставив вместо его коэффициентов |
|||||||||||||||||||||||||||||||
a0,a1,…an |
выражения из 3-го столбца. Получим |
||||||||||||||||||||||||||||||
P(x) = P(0) + |
P′(0) |
x |
+ |
P′′(0) |
x |
2 |
+ |
P′′′(0) |
x |
3 |
+… + |
P(n) (0) |
x |
n |
. |
||||||||||||||||
1! |
2! |
3! |
n! |
||||||||||||||||||||||||||||
Это |
формула |
Маклорена |
для |
многочлена |
Р(х) |
степени n. |
Рассуждая |
аналогичным образом, можно разложить многочлен Р(х) по степеням разности
(х−а) , где а – любое число. |
|||||||
Будем иметь |
|||||||
P(x) = P(a) + |
P′(a) |
(x −a) + |
P′′(a) |
(x −a)2 +… |
+ |
P(n) (a) |
(x −a)n . |
1! |
2! |
n! |
Р(х), или |
||||
Это выражение называется формулой Тейлора для |
многочлена |
||||||
разложением многочлена Р(х) по степеням (х−а) . |
|||||||
Пусть теперь в окрестности |
точки х = 0 задана |
функция |
у = f (x), не |
являющаяся многочленом, но имеющая в этой окрестности производные до n- го порядка включительно.
Вычислим величины f (0), f |
′ |
f |
′′ |
(n) |
(0) и зададим функцию |
(0), |
(0), … , f |
Q (x) = f (0) + |
f ′(0) |
x + |
f ′′(0) |
x2 + |
f ′′′(0) |
x3 +… + |
f (n) (0) |
xn . |
|||||
n |
1! |
2! |
3! |
n! |
|||||||||
Qn (x) есть многочлен степени |
n. Он называется приближающим многочленом |
||||||||||||
для функции у = f (x) . |
Если |
бы |
исходная |
функция |
у = f (x) |
являлась |
|||||||
многочленом степени n, то выполнялось бы тождество f (x) ≡Qn (x) |
для всех |
значений х из рассматриваемой окрестности. Поскольку это не так, положим f (x) =Qn (x) + Rn (x) ,
Лекция №1 Основные теоремы дифференциального исчисления проф. Дымков М.П. 9
где Rn (x) называется остаточным членом. В курсе математического анализа
доказывается, что R (x) = o(xn ) . |
|||||||||||||||||||||||
n |
|||||||||||||||||||||||
Тогда формула разложения функции |
f (x) в ряд по степеням х принимает вид: |
||||||||||||||||||||||
f |
′ |
f |
′′ |
2 |
f |
′′′ |
3 |
f |
(n) |
(0) |
n |
n |
|||||||||||
f (x) = f (0) + |
(0) |
x + |
(0) |
x |
+ |
(0) |
x |
+… + |
x |
+o(x |
) |
||||||||||||
1! |
2! |
3! |
n! |
||||||||||||||||||||
Эту формулу |
называют формулой Маклорена разложения функции |
f (x) по |
|||||||||||||||||||||
степеням х |
с остаточным членом в форме Пеано. |
Для остаточного члена |
получены выражения, позволяющие дать оценку его величине. Данная формула показывает, что, заменив f (x) в окрестности точки х = 0 приближающим
многочленом n-й степени, мы совершим ошибку, которая при x →0 является бесконечно малой более высокого порядка, чем xn .
Проводя аналогичные рассуждения при разложении функции f (x) в окрестности точки x = a , получим формулу Тейлора
f (x) = f (a) + |
f ′(a) |
(x −a) +… + |
f (n) (a) |
(x −a)n +o((x −a)n ). |
||
1! |
n! |
|||||
Отсюда вывод: поведение любой n раз дифференцируемой функции в |
||||||
окрестности точки |
x = a |
(в |
частности, |
x = 0) можно описать |
||
многочленом достаточно точно, |
а при n → +∞ – со сколь угодно высокой |
|||||
степенью точности. |
Разложение в ряд Маклорена элементарных функций
Хотя формула Маклорена есть частный случай формулы Тейлора, в наших приложениях именно формула Маклорена будет определяющей. Формула Тейлора может быть приведена к формуле Маклорена подстановкой x — a = y .
Разложим в ряд Маклорена элементарные функции:
ex,; |
sin x; |
cos x; |
ln(1+ x), x > -1; |
(1+ x)α , x > -1. |
||||||||||||||||
С этой целью составим таблицу производных этих функций и значений |
||||||||||||||||||||
производных в точке x = 0. |
||||||||||||||||||||
′ |
′ |
′′ |
′′ |
′′′ |
′′′ |
|||||||||||||||
f (x) |
f (0) |
f |
f |
f (0) |
||||||||||||||||
f |
(x) |
(0) |
f (x) |
f (0) |
(x) |
|||||||||||||||
ex |
1 |
ex |
1 |
ex |
1 |
ex |
1 |
|||||||||||||
ln(1+ x) |
0 |
1 |
1 |
− |
1 |
-1 |
1 2 |
2! |
||||||||||||
(1+ x)2 |
(1 |
+ x)3 |
||||||||||||||||||
1+ x |
||||||||||||||||||||
Лекция №1 |
Основные теоремы дифференциального исчисления проф. Дымков М.П. 10 |
||||||||||||||||||||||||||
Подставляя в формулу Маклорена значения производных, взятые из |
|||||||||||||||||||||||||||
четных столбцов таблицы, получим разложения в ряд для каждой функции |
|||||||||||||||||||||||||||
ex =1 |
+ x |
+ x2 |
+ x3 |
+o((x)3 ). |
|||||||||||||||||||||||
1! |
2! |
3! |
|||||||||||||||||||||||||
sin x = 0 + |
1 x + |
0 |
x2 + |
−1 x3 |
+ |
0 |
x4 +o((x4 ))= x − x3 |
+o((x4 )). |
|||||||||||||||||||
1! |
2! |
3! |
4! |
3! |
|||||||||||||||||||||||
cos x =1+ |
−1 x2 |
+ |
0 x3 |
+ |
1 |
x |
4 + |
0 |
x5 |
+o((x5)) |
=1− x2 |
+ x4 |
+o((x5)) |
||||||||||||||
2! |
3! |
4! |
5! |
2! |
4! |
||||||||||||||||||||||
ln(1+ x) = x − x2 |
+ x3 |
+o((x3)). |
|||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||
(1+ x)α =1+ α x + |
α(α −1) x2 +o((x2 )) |
||||||||||||||||||||||||||
1! |
2! |
||||||||||||||||||||||||||
Замечание 1. Анализируя ряд разложения функции, легко заметить |
|||||||||||||||||||||||||||
закономерности образования ряда и выписать следующие члены разложения. |
|||||||||||||||||||||||||||
Пример 5. Разложить по формуле Маклорена функцию sin x . |
|||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
sin x |
= x − |
x3 |
+ |
x5 |
− |
x7 |
+… +(−1) |
k−1 x2k−1 |
+… |
|||||||||||||||||
3! |
5! |
7! |
(2k −1)! |
||||||||||||||||||||||||
На |
рисунке |
изображен |
жирной |
Y3 |
4 |
Y2 |
|||||||||||||||||||||
линией |
график |
функции |
Y1 =sin x , |
||||||||||||||||||||||||
тонкими |
линиями |
его |
приближение |
2 |
Y4 |
||||||||||||||||||||||
одним членом ряда Маклорена |
Y2 = x , |
||||||||||||||||||||||||||
Y1 |
|||||||||||||||||||||||||||
приближение четырьмя |
отличными от |
||||||||||||||||||||||||||
нуля членами ряда Y |
= x |
− |
x3 |
+ |
x5 |
− |
x7 |
-10 |
-5 |
5 |
10 |
||||||||||||||||
3 |
3! |
5! |
7! |
||||||||||||||||||||||||
-2 |
|||||||||||||||||||||||||||
и, наконец, приближение |
семью |
||||||||||||||||||||||||||
членами ряда |
|||||||||||||||||||||||||||
Y = x − x3 + x5 − x7 + x9 − x11 |
+ x13 . |
-4 |
|||||||||||||||||||||||||
4 |
3! |
5! |
7! |
9! |
11! |
13! |
|||||||||||||||||||||
Замечание 2. Эти формулы дают возможность производить разложения в |
|||||||||||||||||||||||||||
ряд некоторых функций без использования общей схемы с нахождением |
|||||||||||||||||||||||||||
производных высокого порядка. |
Лекция №1 Основные теоремы дифференциального исчисления проф. Дымков М.П. 11
Пример 6. Разложить по формуле Маклорена функцию e2x+1 до o((x4 )).
Решение. Разложим функцию e2x+1 |
в окрестности |
х = 0 до o((x4 )). |
|||||||||
Воспользуемся разложением функции ex |
в ряд, заменив в правой части этого |
||||||||||
ряда величину х на 2х: |
|||||||||||
2x |
+ |
(2x) |
2 |
+ (3x) |
3 |
||||||
e2x+1 = e1 1+ |
+o((x4 )) = |
||||||||||
1! |
2! |
3! |
|||||||||
9 |
x3 +o |
= e |
+ 2ex + 2ex2 + |
9 |
ex3 |
+o((x4 )) |
|||||
e 1+ 2x + 2x2 + |
2 |
((x4 )) |
2 |
||||||||
Замечание 3. Ранее мы установили асимптотические формулы для некоторых элементарных функций, например, sin x = x +o(x) . Мы пользовались
ими при вычислении простейших пределов. Для нахождения некоторых более сложных пределов такого асимптотического приближения может оказаться недостаточно и следует брать следующие члены разложения.
Пример 7. Найти предел lim x −sin x .
x→0 x3
Решение. Если ограничиться разложением sin x = x +o(x) , то в пределе получается выражение:
lim |
x −sin x |
= lim |
x −(x +o(x)) |
= lim |
x o(1) |
= lim o(1) . |
|
x3 |
x3 |
x3 |
|||||
x→0 |
x→0 |
x→0 |
x→0 x2 |
Чему равен такой предел, сказать невозможно. Неизвестно, какая бесконечно малая функция скрывается под о(1) . Поэтому правильное решение
выглядит так:
x3 |
4 |
1 |
|||||||||||||||
x − x − |
+o(x |
) |
x3 |
+o(x) |
|||||||||||||
x −sin x |
3! |
1 |
|||||||||||||||
3! |
|||||||||||||||||
lim |
= lim |
= lim |
= |
. |
|||||||||||||
x3 |
x3 |
x3 |
6 |
||||||||||||||
x→0 |
x→0 |
x→0 |
|||||||||||||||
Замечание 4. Если в разложении для функции (1+ x)α |
положить α = n , где |
n — натуральное число, то все члены этой формулы начиная с (n+1)-го исчезают, и формула Маклорена превращается в известную формулу бинома Ньютона
(1+ x)n =1+ n x + n(n −1) x2 +… + xn , 1! 2!
т.е. бином Ньютона является частным случаем разложения функции (1+ x)α в ряд Маклорена.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Врач рассказал, как высчитать окончательный рост ребенка
Белновости
30.01.2020 16:04
belnovosti.by@yandex.ru
Обновлено: 07.03.2023 12:56
Российский детский врач Александр Майоров рассказал все о росте ребенка, что должны знать родители.
Содержание
- Формулы прогнозирования роста
- Пубертатный период
- Факторы, влияющие на рост
В медицине есть некоторые установленные темпы роста, но многие дети растут скачкообразно, поэтому говорить об установленных нормах не приходится.
Самый активный темп роста наблюдается в первые годы жизни, на второй год жизни рост малыша затормаживается.
Александр рассказал о периодах, когда скорость роста достигает своего пика:
- С первых месяцев до 5–6 лет – ускорение;
- до 10–12 лет – замедление;
- до 14–16 лет у девочек и до 16–19 лет у мальчиков – ускорение;
- после 14–16 лет у девочек скорость роста замедляется.
Отмечается, что темп роста ребенка – главный фактор, который говорит о нормальном физическом развитии организма.
Если вдруг вы обнаружили отклонение в темпах роста — лучше незамедлительно обратиться к врачу.
Формулы прогнозирования роста
Существует ряд формул, которые помогают высчитать окончательный рост ребенка.
Например, если хотите измерить рост мальчика, то воспользуйтесь следующей формулой: рост отца (см) + рост матери (см) x 0,54 – 4,5.
Для девочек существует другой механизм расчета: рост отца (см) + рост матери (см) x 0,51 – 7,5.
Пубертатный период
Резкий скачок роста обычно происходит в период полового созревания.
Поэтому девочки могут заметно прибавить в росте – с 10 до 16 лет, а мальчики – с 11 до 17 лет.
Как правило, рост за это время увеличивается на 9,5 см — для мальчиков, 8 см — для девочек.
Факторы, влияющие на рост
Однако не стоит забывать, что есть ряд погрешностей, зависящих от ряда факторов: наследственности (не только роста родителей, но и роста более дальних предков), климата, экологии, питания, сна, физических и психологических нагрузок, детских заболеваний.
В первую очередь следите за питанием ребенка, для нормального роста и развития он должен потреблять ежедневно: белки, жиры, углеводы, витамины, минеральные соли. Важно контролировать калорийность и объемы порций.
Не менее важно заниматься спортом, соблюдать требования гигиены и режима дня (сон – бодрствование – отдых).
Каждый родитель должен помнить: нехватка роста может наблюдаться при отсутствии вертикальных физических нагрузок.
Поэтому очень важно, чтобы ребенок прыгал, был задействован в спортивных играх, где необходимо подпрыгивать: баскетбол, бейсбол, волейбол и теннис.
Тем, кто хочет подрасти, категорически не рекомендуется заниматься акробатикой, лыжами, велоспортом, а также различными видами борьбы, так как эти спортивные нагрузки приводят развитию мышц в ущерб костной ткани.
Очень часто на рост ребенка влияют недуги, связанные с отклонением в работе эндокринных желез, и хронические заболевания детского возраста.
В случае первого недуга может наблюдаться быстрый темп роста — ускорение роста, так и его замедление.
Хронические болезни, приобретенные в детском возрасте, например, гепатит, почечная недостаточность, сердечные аномалии, заболевания легких, тяжелые анемии, способны спровоцировать отставание в росте малыша.
И последний крайне важный момент! На процессы роста ребенка можно влиять, пока не закрыты зоны роста.
Фото: Pixabay