Загрузить PDF
Загрузить PDF
Кратное число – это число, которое делится на данное число без остатка. Наименьшее общее кратное (НОК) группы чисел – это наименьшее число, которое делится без остатка на каждое число группы. Чтобы найти наименьшее общее кратное, нужно найти простые множители данных чисел. Также НОК можно вычислить с помощью ряда других методов, которые применимы к группам из двух и более чисел.
-
1
Посмотрите на данные числа. Описанный здесь метод лучше применять, когда даны два числа, каждое из которых меньше 10. Если даны большие числа, воспользуйтесь другим методом.
- Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 5 и 8. Это небольшие числа, поэтому можно использовать данный метод.
-
2
Запишите ряд чисел, которые кратны первому числу. Кратное число – это число, которое делится на данное число без остатка.[1]
Кратные числа можно посмотреть в таблице умножения..- Например, числами, которые кратны 5, являются: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
-
3
Запишите ряд чисел, которые кратны первому числу. Сделайте это под кратными числами первого числа, чтобы сравнить два ряда чисел.
- Например, числами, которые кратны 8, являются: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, и 64.
-
4
Найдите наименьшее число, которое присутствует в обоих рядах кратных чисел. Возможно, вам придется написать длинные ряды кратных чисел, чтобы найти общее число. Наименьшее число, которое присутствует в обоих рядах кратных чисел, является наименьшим общим кратным.[2]
- Например, наименьшим числом, которое присутствует в рядах кратных чисел 5 и 8, является число 40. Поэтому 40 – это наименьшее общее кратное чисел 5 и 8.
Реклама
-
1
Посмотрите на данные числа. Описанный здесь метод лучше применять, когда даны два числа, каждое из которых больше 10. Если даны меньшие числа, воспользуйтесь другим методом.
- Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 20 и 84. Каждое из чисел больше 10, поэтому можно использовать данный метод.
-
2
Разложите на простые множители первое число. То есть нужно найти такие простые числа, при перемножении которых получится данное число. Найдя простые множители, запишите их в виде равенства.
-
3
Разложите на простые множители второе число. Сделайте это так же, как вы раскладывали на множители первое число, то есть найдите такие простые числа, при перемножении которых получится данное число.
-
4
Запишите множители, общие для обоих чисел. Запишите такие множители в виде операции умножения. По мере записи каждого множителя зачеркивайте его в обоих выражениях (выражения, которые описывают разложения чисел на простые множители).
-
5
К операции умножения добавьте оставшиеся множители. Это множители, которые не зачеркнуты в обоих выражениях, то есть множители, не являющиеся общими для обоих чисел.[3]
-
6
Вычислите наименьшее общее кратное. Для этого перемножьте числа в записанной операции умножения.
- Например, . Таким образом, наименьшее общее кратное 20 и 84 равно 420.
Реклама
- Например,
-
1
Нарисуйте сетку как для игры в крестики-нолики. Такая сетка представляет собой две параллельные прямые, которые пересекаются (под прямым углом) с другими двумя параллельными прямыми. Таким образом, получатся три строки и три столбца (сетка очень похожа на значок #). Первое число напишите в первой строке и втором столбце. Второе число напишите в первой строке и третьем столбце.[4]
- Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 18 и 30. Число 18 напишите в первой строке и втором столбце, а число 30 напишите в первой строке и третьем столбце.
-
2
Найдите делитель, общий для обоих чисел. Запишите его в первой строке и первом столбце. Лучше искать простые делители, но это не является обязательным условием.
- Например, 18 и 30 – это четные числа, поэтому их общим делителем будет число 2. Таким образом, напишите 2 в первой строке и первом столбце.
-
3
Разделите каждое число на первый делитель. Каждое частное запишите под соответствующим числом. Частное – это результат деления двух чисел.
-
4
Найдите делитель, общий для обоих частных. Если такого делителя нет, пропустите два следующих шага. В противном случае делитель запишите во второй строке и первом столбце.
- Например, 9 и 15 делятся на 3, поэтому запишите 3 во второй строке и первом столбце.
-
5
Разделите каждое частное на второй делитель. Каждый результат деления запишите под соответствующим частным.
-
6
Если нужно, дополните сетку дополнительными ячейками. Повторяйте описанные действия до тех пор, пока у частных не будет общего делителя.
-
7
Обведите кружками числа в первом столбце и последней строке сетки. Затем выделенные числа запишите в виде операции умножения.[5]
- Например, числа 2 и 3 находятся в первом столбце, а числа 3 и 5 находятся в последней строке, поэтому операцию умножения запишите так: .
- Например, числа 2 и 3 находятся в первом столбце, а числа 3 и 5 находятся в последней строке, поэтому операцию умножения запишите так:
-
8
Найдите результат умножения чисел. Так вы вычислите наименьшее общее кратное двух данных чисел.[6]
- Например, . Таким образом, наименьшее общее кратное 18 и 30 равно 90.
Реклама
- Например,
-
1
Запомните терминологию, связанную с операцией деления. Делимое – это число, которое делят. Делитель – это число, на которое делят. Частное – это результат деления двух чисел. Остаток – это число, оставшееся при делении двух чисел.[7]
- Например, в выражении ост. 3:
15 – это делимое
6 – это делитель
2 – это частное
3 – это остаток.
- Например, в выражении
-
2
Запишите выражение, которое описывает операцию деления с остатком. Выражение:
.[8]
Это выражение будет использовано, чтобы записать алгоритм Евклида и найти наибольший общий делитель двух чисел.- Например, .
- Наибольший общий делитель (НОД) – это наибольшее число, на которое делятся все данные числа.[9]
- В этом методе сначала нужно найти наибольший общий делитель, а затем вычислить наименьшее общее кратное.
- Например,
-
3
Большее из двух чисел рассматривайте в качестве делимого. Меньшее из двух чисел считайте делителем. Для этих чисел запишите выражение, которое описывает операцию деления с остатком.
- Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 210 и 45. Запишите такое выражение: .
- Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 210 и 45. Запишите такое выражение:
-
4
Первый делитель превратите в новое делимое. Остаток используйте в качестве нового делителя. Для этих чисел запишите выражение, которое описывает операцию деления с остатком.
- Например, .
- Например,
-
5
Повторяйте описанные действия до тех пор, пока остаток не будет равен 0. Предыдущий делитель используйте в качестве нового делимого, а предыдущий остаток – как новый делитель; для этих чисел записывайте соответствующее выражение.[10]
- Например, . Так как остаток равен 0, дальше делить нельзя.
- Например,
-
6
Посмотрите на последний делитель. Это наибольший общий делитель двух чисел.[11]
- Например, последним выражением было , поэтому последний делитель – это число 15. Таким образом, 15 – это наибольший общий делитель чисел 210 и 45.
- Например, последним выражением было
-
7
Перемножьте два числа. Затем разделите произведение на наибольший общий делитель. Так вы вычислите наименьшее общее кратное двух чисел.[12]
[[[Image:Find the Least Common Multiple of Two Numbers Step 25.jpg|center]]Реклама
Советы
- Если нужно найти НОК трех и более чисел, упросите себе задачу. Например, чтобы вычислить НОК чисел 16, 20 и 32, сначала найдите наименьшее общее кратное чисел 16 и 20 (оно равно 80), а потом найдите НОК чисел 80 и 32, которое равно 160.
- НОК имеет множество применений. Например, чтобы сложить или вычесть дроби, они должны иметь одинаковый знаменатель. Если у дробей разные знаменатели, нужно преобразовать дроби так, чтобы привести их к общему знаменателю. А это проще сделать, если найти наименьший общий знаменатель, который равен наименьшему общему кратному чисел, которые находятся в знаменателях дробей.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 69 224 раза.
Была ли эта статья полезной?
Download Article
Download Article
A multiple is the result of multiplying a number by an integer. The least common multiple (LCM) of a group of numbers is the smallest number that is a multiple of all the numbers. To find the least common multiple you need to be able to identify the factors of the numbers you are working with. You can use a few different methods to find the least common multiple. These methods also work when finding the LCM of more than two numbers.
-
1
Assess your numbers. This method works best when you are working with two numbers that are less than 10. If you are working with larger numbers, it’s best to use a different method.
- For example, you might need to find the least common multiple of 5 and 8. Since these are small numbers, it is appropriate to use this method.
-
2
Write out the first several multiples of the first number. A multiple is a product of any number and an integer.[1]
In other words, they are the numbers you would see in a multiplication table.- For example, the first several multiples of 5 are 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, and 40.
Advertisement
-
3
Write out the first several multiples of the second number. Do this near the first set of multiples, so that they are easy to compare.
- For example, the first several multiples of 8 are 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, and 64.
-
4
Find the smallest multiple the numbers have in common. You might need to extend your list of multiples until you find one both numbers share. This number will be your least common multiple.[2]
- For example, the lowest multiple 5 and 8 share is 40, so the least common multiple of 5 and 8 is 40.
Advertisement
-
1
Assess your numbers. This method works best when both of the numbers you are working with are greater than 10. If you have smaller numbers, you can use a different method to find the least common multiple more quickly.
- For example, if you need to find the least common multiple of 20 and 84, you should use this method.
-
2
Factor the first number. You want to factor the number into its prime factors; that is, find the prime factors you can multiply together to get this number. One way to do this is by creating a factor tree. Once you are done factoring, rewrite the prime factors as an equation.[3]
-
3
Factor the second number. Do this in the same way you factored the first number, finding the prime factors you can multiply together to get the number.
-
4
Write down the factors each number shares. Write the factors as a multiplication sentence. As you write each factor, cross it off in each numbers factorization equation.[4]
-
5
Add any leftover factors to the multiplication sentence. These are the factors you did not cross out when comparing the two groups of factors. Thus, these are factors that the two numbers do not share.[5]
-
6
Calculate the least common multiple. To do this, multiply together all of the factors in your multiplication sentence.[6]
- For example, . So, the least common multiple of 20 and 84 is 420.
- For example,
Advertisement
-
1
Draw a tic-tac-toe grid. A tic-tac-toe grid is two sets of parallel lines that intersect each other perpendicularly. The lines form three rows and three columns and looks like the pound key (#) on a phone or keyboard. Write your first number in the top-center square of the grid. Write your second number in the top-right square of the grid.[7]
- For example, if you are trying to find the least common multiple of 18 and 30, write 18 in the top center of your grid, and 30 in the top right of your grid.
-
2
Look for a factor that is common to both numbers. Write this number in the top-left square of your grid. It is helpful to use prime factors, but you don’t necessarily have to.
- For example, since 18 and 30 are both even numbers, you know that that they both have a factor of 2. So write 2 in the top-left of the grid.
-
3
Divide the factor into each number. Write the quotient in the square below either number. A quotient is the answer to a division problem.[8]
-
4
Find a factor that is common to the two quotients. If there is no factor common to both quotients, you can skip this and the next step. If there is a common factor, write it in the middle-left square of the grid.[9]
- For example, 9 and 15 both have a factor of 3, so you would write 3 in the middle-left of the grid.
-
5
Divide this new factor into each quotient. Write this new quotient below the first ones.
-
6
Extend your grid if necessary. Follow this same process until you reach a point where the last set of quotients have no common factor.
-
7
Draw a circle around the numbers in the first column and last row of your grid. You can think of it as drawing an “L” for “least common multiple.” Write a multiplication sentence using all of these factors.[10]
- For example, since 2 and 3 are in the first column of the grid, and 3 and 5 are in the last row of the grid, you would write the sentence .
- For example, since 2 and 3 are in the first column of the grid, and 3 and 5 are in the last row of the grid, you would write the sentence
-
8
Complete the multiplication. When you multiply all of these factors together, the result is the least common multiple of your two original numbers.[11]
- For example, . So, the least common multiple of 18 and 30 is 90.
- For example,
Advertisement
-
1
Understand the vocabulary of division. The dividend is the number being divided. The divisor is the number the dividend is being divided by. The quotient is the answer to the division problem. The remainder is the amount left over after a number is divided by another.[12]
- For example, in the equation :
15 is the dividend
6 is the divisor
2 is the quotient
3 is the remainder.
- For example, in the equation
-
2
Set up the formula for the quotient-remainder form. The formula is
.[13]
You will use this form to set up Euclid’s algorithm to find the greatest common divisor of two numbers.- For example, .
- The greatest common divisor is the largest divisor, or factor, that two numbers share.[14]
- In this method, you first find the greatest common divisor, and then use it to find the least common multiple.
- For example,
-
3
Use the larger of the two numbers as the dividend. Use the smaller of the two numbers as the divisor. Set up an equation in quotient-remainder form for these two numbers.
- For example, if you are trying to find the least common multiple of 210 and 45, you would calculate .
- For example, if you are trying to find the least common multiple of 210 and 45, you would calculate
-
4
Use the original divisor as the new dividend. Use the remainder as the new divisor. Set up an equation in quotient-remainder form for these two numbers.
- For example, .
- For example,
-
5
Repeat this process until you have a remainder of 0. For each new equation, use the previous equation’s divisor as the new dividend, and the previous remainder as the new divisor.[15]
- For example, . Since the remainder is 0, you do not need to divide any further.
- For example,
-
6
Look at the last divisor you used. This is the greatest common divisor for the two numbers.[16]
- For example, since the last equation was , the last divisor was 15, and so 15 is the greatest common divisor of 210 and 45.
- For example, since the last equation was
-
7
Multiply the two numbers. Divide the product by the greatest common divisor. This will give you the least common multiple of the two numbers.[17]
Advertisement
Add New Question
-
Question
What’s the formula of the least common multiple?
This answer was written by one of our trained team of researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness.
wikiHow Staff Editor
Staff Answer
The formula is lcm(a, b) = a × b / gcd(a, b), where a and b are the numbers for which you want to find the LCM, and GCD is the greatest common divisor.
-
Question
Is there a least common multiple calculator?
This answer was written by one of our trained team of researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness.
wikiHow Staff Editor
Staff Answer
Yes, there are multiple LCM calculators online. Try websites like CalculatorSoup.com or Calculator.net to find calculators for finding the LCM and doing a variety of other common calculations.
-
Question
What’s the fastest way to find the least common multiple of two numbers?
This answer was written by one of our trained team of researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness.
wikiHow Staff Editor
Staff Answer
One quick and easy way to do it is to start by finding the greatest common factor (GCF) of the 2 numbers. Divide the GCF into either one of the 2 numbers, then multiply the result by the other number. This will give you the LCM.
See more answers
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
-
If you need to find the LCM of more than two numbers, the above methods can be tweaked. For instance, to find the LCM of 16, 20, and 32, you could start by finding the LCM of 16 and 20 (which is 80), and then find the LCM of 80 and 32, which turns out to be 160.
-
The LCM has many uses. The most common is that, whenever you add or subtract fractions, they must have the same denominator; if they do not, you need to convert each fraction to some equivalent fraction so they will share the same denominator. The best way to do that is to find the lowest common denominator (LCD) — which is just the LCM of the denominators.
Thanks for submitting a tip for review!
Advertisement
References
About This Article
Article SummaryX
To find the least common multiples of two numbers, start by writing out the first several multiples for each number. For example, the first several multiples of 5 would be 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, and 40. Once you’ve written out the first several multiples for both numbers, find the smallest multiple that they have in common, which is the least common multiple. If they don’t have a common multiple, keep listing the multiples for each number until you find one. If you want to know how to use prime factorization or an algorithm to find the least common multiple, keep reading the article!
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 1,235,502 times.
Did this article help you?
Нахождение НОД и НОК чисел
Онлайн-калькулятор «Нахождение НОД и НОК чисел«. Наш калькулятор поможет вам найти наибольший общий делить (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел. Особенностью данного калькулятора является то, что он может находить НОК и НОД не только двух чисел, но и трех или четырех чисел. Введите натуральные числа и нажмите кнопку «Вычислить» и наш калькулятор не просто выдаст ответ, но и представит подробное решение, где последовательно будет изложен порядок нахождения НОД и НОК чисел.
Выберите количество чисел, для которых требуется найти НОД и НОК:
2 числа
3 числа
4 числа
| Первое число | Второе число |
Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое эти числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель обозначается следующим образом: НОД (18; 48) = 6
Наименьшее общее кратно нескольких чисел – это самое меньшее число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Например: НОК (18; 48) = 144
Это следует знать!
Как определить, что число делится на 3 без остатка? Очень просто – на 3 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3. Например: число 795 делится на 3, так как сумма его цифр 7 + 9 + 5 = 21 делится на 3.
21 : 3 = 7
Как найти НОД и НОК
- Главная
- /
- Математика
- /
- Арифметика
- /
- Как найти НОД и НОК
Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) и наибольший общий делитель (НОД) двух чисел воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором:
Введите числа: и
НОК:
0
НОД:
0
Определить
Просто введите числа и получите результат.
Как найти НОК двух чисел
Наименьшее общее кратное (НОК) двух или нескольких чисел – это самое маленькое число, которое можно разделить на каждое из этих чисел без остатка.
Для того чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел можно воспользоваться следующим алгоритмом (5 класс):
- Оба числа разложим на простые множители (сначала наибольшее число).
- Сравним множители большего числа с множителями меньшего. Выделим все множители меньшего числа, которых нет у большего.
- Добавим выделенные множители меньшего числа к множителям большего.
- Найдём НОК, перемножив ряд множителей, полученных в пункте 3.
Пример
Для примера определим НОК чисел 8 и 22.
1) Раскладываем на простые множители:
22 = 2⋅11
8 = 2⋅2⋅2
2) Выделим все множители 8-ми, которых нет у 22-х:
8 = 2⋅2⋅2
3) Добавим выделенные множители 8-ми к множителям 22-х:
НОК (8; 22) = 2 · 11 · 2 · 2
4) Вычисляем НОК:
НОК (8; 22) = 2 · 11 · 2 · 2 = 88
Как найти НОД двух чисел
Наибольший общий делитель (НОД) двух или нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое эти числа можно разделить без остатка.
Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, для начала необходимо разложить их на простые множители. Затем нужно выделить общие множители, которые имеются и у первого числа и у второго. Перемножаем их – это и будет НОД. Чтобы лучше понять алгоритм рассмотрим пример:
Пример
Для примера определим НОД чисел 20 и 30.
20 = 2⋅2⋅5
30 = 2⋅3⋅5
НОД(20,30) = 2⋅5 = 10
Если одно или несколько из рассматриваемых чисел являются простыми, то НОД этих чисел будет равен 1.
См. также
НОК и НОД
Рассмотрим выражение:
(45:9)
Можем сказать, что 45 – делимое, а 9 – делитель данного выражения.
Мы знаем, что 45 делится нацело на число 9. В таком случае, если мы захотим описать, чем эти числа являются друг другу, то мы скажем, что
9 – делитель числа 45
45 – кратно числу 9
Иногда при решении задач нужно находить общие кратные или общие делители двух чисел.
Наименьший делитель двух чисел – всегда единица. Такой делитель нет смысла искать, поэтому ищут наибольший общий делитель.
А кратных наоборот – бесконечно много, невозможно искать наибольшее из них, поэтому ищут, наименьшее общее кратное.
НОД:
Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел – это наибольшее число, на которое каждое из этих чисел можно поделить без остатка.
Пример №1:
Рассмотрим числа 30 и 45.
-
Найдем все их существующие делители, т.е. числа, на которые каждое из них поделится нацело:
-
Мы видим, что у этих двух чисел есть несколько общих делителей. Наибольший из них – 15 – является самым большим. Это и есть НОД.
Значит и число 45 и число 30 можно нацело поделить на 15. Записывают это так:
(НОД (30;45) = 15)
Ответ: 15.
Пример №2:
Найдем (НОД (20;36):)
-
Выпишем все делители этих чисел.
Так же делители можно сразу записывать парой. Если 20 нацело делится на 2, то
(20 : 2 = 10)
Значит 10 – тоже делитель числа 20. Запишем делители 2 и 10 парой:
-
Выделим все общие делители и найдем наибольший из них. В данном случае
(НОД(20;35) = 4.)
Ответ: 4.
НОК:
Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел – это наименьшее число, которое можно поделить на каждое из этих чисел без остатка.
Пример №3:
Найдем (НОК (10;12).)
-
Возьмем наименьшее число. В данном случае – 10.
Будем умножать его на натуральные числа по порядку, пока не получим число, кратное 12, то есть такое, на которое нацело поделится и 10, и 12. Оно и будет НОК этих двух чисел. Такой метод называется методом подбора.
(10 bullet 1 = 10; 10 НЕ кратно 12)
(10 bullet 2 = 20; 20 НЕ кратно 12)
(10 bullet 3 = 30; 30 НЕ кратно 12)
(10 bullet 4 = 40; 40 НЕ кратно 12)
(10 bullet 5 = 50; 50 НЕ кратно 12)
(10 bullet 6 = 60; 60 кратно 12)
-
Первое число, которое будет кратно обоим числам и является их наименьшим общим кратным.
Общих кратный, в отличии от делителей, бесконечно много, поэтому обычно выбирают наименьший их них.
Ответ: 60.
Также можно находить НОК через разложение на множители:
Пример №4:
Найдём (НОК (6;8):)
-
Разложим числа 6 и 8 на простейшие множители, т.е. представим каждое число как произведения простых чисел. Множители большего числа запишем сверху:
8: (1 bullet 2 bullet 2 bullet 2)
6: (1 bullet 2 bullet 3)
-
Видим, что множители 1 и 2 повторяются у обоих чисел, поэтому для меньшего числа их уберем. Останется:
-
Перемножим все оставшиеся числа. Их произведение и будет НОК:
(НОК (6; 
= 1 bullet 2 bullet 2 bullet 2 bullet 3 = 24)
Ответ: 24.
Пример №5:
Найдем (НОК (10;12)) разложением на множители:
-
Разложим оба числа на простые множители. Сверху запишем большее число:
12: 1, 2, 2, 3
10: 1, 2, 5
-
Для меньшего числа зачеркнем те множители, которые уже есть у большего числа:
-
Перемножим все оставшиеся числа:
(НОК (10; 12) = 1 bullet 2 bullet 2 bullet 3 bullet 5 = 60)
Наш ответ совпал с ответом, где мы использовали метод подбора.
Ответ: 60.
ВЗАИМОСВЯЗЬ НОК И НОД:
Произведение НОК и НОД некоторых чисел равно произведению самих этих чисел:
(НОК(a; b) bullet НОД(a; b) = a bullet b)
Докажем эту формулу на примере.
Пример №6:
Рассмотрим пару чисел 24 и 60.
-
Найдем их НОД:
(НОД (24;60) = 12)
-
Найдем их НОК:
(НОК (24; 60) = 1 bullet 2 bullet 2 bullet 2 bullet 3 bullet 5 = 120)
-
Рассмотрим поближе НОК. Чтобы его получить, мы переменожили все простые множители чисел 60 и 24 за исключением множителей 1, 2, 2, 3. Найдем отдельно их произведение:
(1 bullet 2 bullet 2 bullet 3 = 12)
Если перемножить все простые множители числе 60 и 24 мы получим просто их произведение, при этом оно будет состоять из НОК и числа 12, которое в свою очередь равно НОД:
