Как найти наименьшее целое решение системы неравенства - AvtoShod.ru

При решении неравенств вы должны свободно владеть понятием числового неравенства, знать, что такое решение неравенства, что значит решить неравенство, помнить свойства неравенств. То же относится и к системам числовых неравенств. Все эти сведения вы можете найти в любом пособии для поступающих в вузы.
 Напомним свойства числовых неравенств.
 1. Если а > b , то b < а; наоборот, если а < b, то b > а.
 2. Если а > b и b > c, то а > c. Точно так же, если а b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c). Если же а < b, то а + c < b+ c (и а – c b и c > d, то а + c > b + d; точно так же, если а < b и c < d, то а + c < b + d, т. е. два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать.

Замечание.

Два неравенства одинакового смысла нельзя почленно вычитать друг из друга, так как результат может быть верным, но может быть и неверным. Например, если из неравенства 11 > 9 почленно вычесть неравенство 3 > 2, то получим верное неравенство 8 > 7. Если из неравенства 11 > 9 почленно вычесть неравенство 7 > 2, то полученное неравенство будет неверным.
 5. Если а > b и c < d, то а – c > b – d; если а d, то а – c b и m – положительное число, то m а > m b и , т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число ( знак неравенства остаётся тем же ).
 Если же а > b и n – отрицательное число, то n а < n b и , т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, но при этом знак неравенства нужно переменить на противоположный.
 7. Если а > b и c > d , где а, b, c, d > 0, то а c > b d и если а 0, то аc < bd, т.е. неравенства одного смысла на множестве положительных чисел можно почленно перемножать.
Следствие. Если а > b, где а, b > 0, то а² > b², и если а < b, то а² < b², т.е. на множестве положительных чисел обе части неравенства можно возводить в квадрат.

8. Если а > b, где а, b > 0, то и если а < b , то .

Виды неравенств и способы их решения

1. Линейные неравенства и системы неравенств

Пример 1. Решить неравенство .
 Решение:
 .
 Ответ: х < – 2.

Пример 2. Решить систему неравенств
    Решение:
         .
    Ответ: (– 2; 0].

Пример 3. Найти наименьшее целое решение системы неравенств

    Решение:

    Ответ:

2. Квадратные неравенства

Пример 4. Решить неравенство х² > 4.
    Решение:
        х² > 4   (х – 2)∙(х + 2) > 0.
        Решаем методом интервалов.

Ответ:

3. Неравенства высших степеней

Пример 5. Решить неравенство (х + 3)∙(х² – 2х + 1) > 0.
    Решение:

    Ответ: .

Пример 6. Найти середину отрезка, который является решением неравенства 4х² – 24х + 24 < 4у², где .
 Решение:
 Область определения неравенства: .
 С учётом области определения 4х² – 24х + 24 < 4у² будет равносильно неравенству

Решаем методом интервалов.

        Решение неравенства: .
        Середина отрезка: .
    Ответ: .

4. Рациональные неравенства

Пример 7. Найти все целые решения, удовлетворяющие неравенству .
    Решение:

Методом интервалов:

        Решение неравенства: .
        Целые числа, принадлежащие полученным полуинтервалам: – 6; – 5; – 4; 1.
    Ответ: – 6; – 5; – 4; 1.

5. Иррациональные неравенства

Помните! Начинать решение иррациональных неравенств нужно с нахождения области определения.

Пример 8. Решить неравенство .
    Решение:
        Область определения: .
        Так как арифметический корень не может быть отрицательным числом, то .
    Ответ: .

Пример 9. Найти все целые решения неравенства .

Решение:

Область определения .

– быть отрицательным не может, следовательно, чтобы произведение было неотрицательным достаточно потребовать выполнения неравенства , при этом учитывая область определения. Т.е. исходное неравенство равносильно системе .

Целыми числами из этого отрезка будут 2; 3; 4.

Ответ: 2; 3; 4.

Пример 10. Решить неравенство .

Решение:

Область определения:

Преобразуем неравенство: . С учётом области определения видим, что обе части неравенства — положительные числа. Возведём обе части в квадрат и получим неравенство, равносильное исходному.

т.е. , и этот числовой отрезок включён в область определения.

Ответ: .

Пример 11. Решить неравенство .

Решение:

Раскрываем знак модуля.

Объединим решения систем 1) и 2): .

Ответ: .

6. Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств

Пример 12. Решите неравенство .

Решение:

Ответ: .

Пример 13. Решите неравенство .

Решение:

Ответ: .

Пример 14. Решите неравенство .

Решение:

Ответ: .

Пример 15. Решите неравенство .

Решение:

Ответ: .

Задания для самостоятельного решения

Базовый уровень

Целые неравенства и системы неравенств

1) Решите неравенство 2х – 5 ≤ 3 + х.

2) Решите неравенство – 5х > 0,25.

3) Решите неравенство .

4) Решите неравенство 2 – 5х ≥ – 3х.

5) Решите неравенство х + 2 < 5x – 2(x – 3).

6) Решите неравенство
.

7) Решите неравенство (х – 3) (х + 2) > 0.

Решить систему неравенств

9) Найдите целочисленные решения системы неравенств .

10) Решить систему неравенств .

11) Решить систему неравенств

12) Найти наименьшее целое решение неравенства

13) Решите неравенство .

14) Решите неравенство .

15) Решите неравенство .

16) Решите неравенство .

17) Найдите решение неравенства , принадлежащие промежутку .

18) Решить систему неравенств

19) Найти все целые решения системы

Рациональные неравенства и системы неравенств

20) Решите неравенство .

21) Решите неравенство .

22) Определите число целых решений неравенства .

23) Определите число целых решений неравенства .

24) Решите неравенство .

25) Решите неравенство 2^x<16 .

26) Решите неравенство .

27) Решите неравенство .

28) Решите неравенство .

29) Найдите сумму целых решений неравенства на отрезке [– 7, 7].

30) Решите неравенство .

31) Решите неравенство .

Иррациональные неравенства

32) Решите неравенство .

33) Решите неравенство

34) Решите неравенство .

Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств

35) Решите неравенство .

36) Решите неравенство .

37) Решите неравенство .

38) Решите неравенство .

39) Решите неравенство .

40) Решите неравенство 49∙7^х < 7^{3х + 3}.

41) Найдите все целые решения неравенства .

42) Решите неравенство .

43) Решите неравенство .

44) Решите неравенство 7^x+1-7^x<42 .

45) Решите неравенство log₃(2x²+x-1)>log₃2 .

46) Решите неравенство log_0,5(2x+3)>0 .

47) Решите неравенство .

48) Решите неравенство .

49) Решите неравенство .

50) Решите неравенство log_x+112>log_x+12 .

51) Решите неравенство log_x9<2.

52) Решите неравенство .

Повышенный уровень

53) Решите неравенство |x-3|>2x.

54) Решите неравенство 2│х + 1| > х + 4.

55) Найдите наибольшее целое решение неравенства .

56) Решить систему неравенств

57) Решить систему неравенств .

58) Решите неравенство .

59) Решите неравенство 25•2^x-10^x+5^x>25 .

60) Решите неравенство .

Ответы

1) х ≤ 8; 2) х < – 0,05; 3) х ≥ 5; 4) х ≤ 1; 5) х > –2; 6) х < 11; 7) ; (-2;0]; 9) – 1; 10) х ≥ 7,5; 11); 12) 1; 13); 14) х ≤ – 0,9; 15) х < – 1; 16) х < 24; 17); 18) ; 19) 3, 4, 5;

20) (0; 2); 21) (0; 1,5); 22) 3; 23) 6; 24) (–1; 1,5); 25) х < 4; 26); 27) (– 3; 17); 28)

; 29) – 10; 30) (0; + ∞); 31); 32) [1;17); 33) x > 17; 34) х ≥ 2; 35); 36) х < 2; 37) х > 0; 38) х ≤ 3; 39) х > – 3,5; 40) х > – 0,5; 41) 0, 1, 2, 3, 4, 5; 42) х < 3; 43) ; 44) х < 1; 45) ; 46) (– 1,5; – 1); 47) х < 0; 48); 49) ; 50) х > 0; 51) ; 52) ; 53) х < 1; 54); 55) – 1; 56) ; 57) [3,5; 10]; 58) (0, 1); 59) (0; 2); 60)

Источник

Найти целые решения системы неравенств

В алгебре часто требуется не просто решить систему неравенств, но выбрать из полученного множества решений решения, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям.

Найти целые решения системы неравенств — одно из заданий такого рода.

1) Найти целые решения системы неравенств:

$[left{ begin{array}{l} 9x + 3 > 7x - 5\ 5 - x < 15 - 6x end{array} right.]$

Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

$[left{ begin{array}{l} 9x - 7x > - 5 - 3\ - x + 6x < 15 - 5 end{array} right.]$

После упрощения разделим обе части каждого неравенства на $[left{ begin{array}{l} 2x > - 8___left| {:2 > 0} right.\ 5x < 10___left| {:5 > 0} right. end{array} right.]$

$[left{ begin{array}{l} x > - 4\ x < 2 end{array} right.]$

Отмечаем решения неравенств на числовых прямых. Решением системы является пересечение решений (то есть та часть, где штриховка есть на обеих прямых).

Оба неравенства строгие, поэтому -4 и 2 изображаются выколотыми точками и в решение не входят:

Из промежутка (-4;2) выбираем целые решения.

Ответ: -3; -2; -1; 0; 1.

2) Какие целые решения имеет система неравенств?

$[left{ begin{array}{l} 4x + 1 ge x - 5\ 37 - 8x > 17 - 4x end{array} right.]$

Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком

$[left{ begin{array}{l} 4x - x ge - 5 - 1\ - 8x + 4x > 17 - 37 end{array} right.]$

Упрощаем и делим обе части на число, стоящее перед иксом. Первое неравенство делим на положительное число, поэтому знак неравенства не меняется, второе — на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный:

$[left{ begin{array}{l} 3x ge - 6___left| {:3 > 0} right.\ - 4x > - 20___left| {:( - 4) < 0} right. end{array} right.]$

$[left{ begin{array}{l} x ge - 2\ x < 5 end{array} right.]$

Отмечаем решения неравенств на числовых прямых. Первое неравенство нестрогое, поэтому -2 изображаем закрашенной точкой. Второе неравенство нестрогое, соответственно, 5 изображается выколотой точкой:

Целые решения на промежутке [-2;5) — это -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Ответ: -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

В некоторых примерах не требуется перечислять целые решения, нужно лишь указать их количество.

3) Сколько целых решений имеет система неравенств?

$[left{ begin{array}{l} 3x - 4 ge 5x + 3\ 11x - 2 le 15 + x end{array} right.]$

Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую:

$[left{ begin{array}{l} 3x - 5x ge 3 + 4\ 11x - x le 15 + 2 end{array} right.]$

$[left{ begin{array}{l} - 2x le 7___left| {:( - 2) < 0} right.\ 10x le 17___left| {:10 > 0} right. end{array} right.]$

Обе части первого неравенства делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный. Обе части второго неравенства делим на положительное число, знак неравенства при этом не меняется:

$[left{ begin{array}{l} x ge - 3,5\ x le 1,7 end{array} right.]$

Решение неравенств отмечаем на числовых прямых. Оба неравенства нестрогие, поэтому -3,5 и 1,7 изображаем закрашенными точками:

Решением системы является промежуток [-3,5; 1,7]. Целые числа, которые входят в данный промежуток — это -3; -2; -1; 0; 1. Всего их 5.

Ответ: 5.

4) Сколько целых чисел являются решениями системы неравенств?

$[left{ begin{array}{l} 12 - 3x ge 5x - 4\ 5x - 5 ge 17 - 6x end{array} right.]$

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

$[left{ begin{array}{l} - 3x - 5x ge - 4 - 12\ 5x + 6x ge 17 + 5 end{array} right.]$

$[left{ begin{array}{l} - 8x ge - 16___left| {:( - 8) < 0} right.\ 11x ge 22___left| {:11 > 0} right. end{array} right.]$

При делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не изменяется, при делении на отрицательное число — меняется на противоположный:

$[left{ begin{array}{l} x le 2\ x ge 2 end{array} right.]$

Решение неравенств отмечаем на числовых прямых.

Множество решений системы состоит из единственного элемента — {2}. 2 — целое число, следовательно, решением данной системы является одно целое число.

Ответ: 1.

Источник

27. Решение систем
линейных неравенств.

Пусть заданы
несколько неравенств с одним неизвестным. Если требуется найти число, которое
является решением всех данных неравенств, то совокупность этих неравенств
называют системой неравенств.

Решением системы неравенств с одним
неизвестным называется то значение неизвестного, при котором каждое неравенство
системы обращается в верное числовое неравенство. Множество решений системы
неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств.

Решить систему неравенств – это значит найти
все решения этой системы или установить, что их нет.

Неравенства, входящие в систему, объединяются фигурной скобкой. Иногда
системы неравенств записывают в виде двойного неравенства. Например, систему можно записать так: 2 < 3x-1 < 8.

Решение системы линейных неравенств с одной переменной сводится к
следующим случаям. Будем считать, что a < b:

( 1 ) ( 2
) ( 3 ) ( 4 )

В случае ( 1 ) решением системы служит промежуток (b; +∞) ( рис 1, а);

в случае ( 2 ) – промежуток ( a; b) (рис 1, б);

в случае ( 3 ) – промежуток ( -∞; a) (рис 1, в);

в случае ( 4 ) система не имеет решений (рис 1, г).

                a
b            x              a         b        x            a            b
x                 a       b        х

а)                                     б)
в)                                    г)

Рис.1.

Две системы неравенств называют равносильными, если они имеют общее
множество решений, удовлетворяющих этим неравенствам. Равносильность систем
неравенств обозначается также, как и равносильность систем уравнений, т.е. с
помощью знака .

Пример 1. Решить систему неравенств

Решение. Имеем

На координатной прямой изобразим
множество чисел, удовлетворяющих последней системе неравенств ( рис.2). Из
рисунка видно, что эта система, а значит, и данная система не имеют решений.

-2,2 3 х
Рис.2.

Ответ: система не имеет решений.

Пример 2. Решить систему неравенств

Решение. Заменим каждое неравенство системы
равносильным ему неравенством, получим систему

Изобразим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих
последней системе неравенств ( рис. 3).

2 3,6
8 х Рис. 3.

Множество решений есть промежуток [3,6; 8).

Ответ: [3,6; 8).

Пример 3. Решить систему неравенств

Решение. Решим первое неравенство: 3х – 4 < 8x + 6, -5x < 10, x > -2. Оно выполняется при x > -2.

Решим
второе неравенство : 2x — 1> 5x —
4, -3x > -3, x < 1. Оно
выполняется при x < 1.

Решим
третье неравенство : 11x – 9 ≤ 15x +
3< -4x ≤ 12, x ≥ -3. Оно
выполняется при х ≥ -3.

Все три данных неравенства верны при х ( -2;
1).

-3 -2
1 х Рис. 4.

Ответ: (-2; 1).

Пример 4. Решить систему неравенств

Решение.

Ответ: х >3.

Пример 5. Решить систему неравенств

Решение.

Ответ:

Пример 6. Решить систему неравенств

Решение.

Данное неравенство верно при x < 0.

Ответ: ( — ∞; 0).

Пример 7. Решить систему
неравенств

Решение.

Данное неравенство верно при x > -3.

Ответ: ( -3; +∞).

Пример 8. Укажите наибольшее и
наименьшее целое число, удовлетворяющее системе неравенств

Решение.

Ответ: -31; 2.

Пример 9. Длина основания равнобедренного треугольника равна 12 см.
Каким числом может быть выражена длина боковой стороны, если известно, что
периметр треугольника меньше 80 см ?

Решение. Пусть длина боковой стороны равна х
см.

Тогда

Длина боковой стороны может быть выражена любым числом из промежутка
(6; 34).

Ответ: любым числом их числового промежутка ( 6; 34).

Пример 10. Подберите значения параметров a и b так, чтобы множество решений системы неравенств

а) было пусто;

б) состояло из одного элемента;

в) представляло собой промежуток [5; 10];

г) представляло собой промежуток [5;
+∞).

Решение.
Первое неравенство системы запишем в виде: 2х ≥ 10, х ≥5. Второе неравенство
системы запишем в виде ах ≤ b+1.

а) Множество решений системы будет
пусто, если

a>0, x₁ ≤
(b+1):a x
₁ 5 x

Рис.5.

Т.е. х₁ < 5. Выберем
такие а и b, чтобы .
Например, а = 2, b = 7.

б) Множество решений системы
неравенств будет состоять из одного элемента, если

a>0, x₁ =
(b+1):a
x ₁ = 5 x

Рис.6.

Т.е. х₁ = 5. Выберем такие
а и b, чтобы . Например, а = 3, b = 14.

в) множество решений данной системы
неравенств будет представлять собой промежуток [5; 10],
если

a>0, x₁ ≤
(b+1):a
5 10 x

Рис.7.

Т.е. х₁ = 10. Выберем
такие а и b, чтобы .
Например, а = 1, b = 9.

г) множество решений данной системы
неравенств будет представлять собой промежуток [5; +∞), если

a < 0, x₁ ≥ (b+1):a х₁=5 x

Рис.8.

Т.е. х₁ = 5. Выберем такие
а и b, чтобы . Например, а = -2, b = -11.

Ответ: а) например, а = 2, b = 7; б) например, а
= 3, b = 14;

в) например, а = 1, b = 9;

г) например, а = -2, b = -11.

Пример
11. Изобразить множество точек на плоскости,
определяемое системой неравенств

Решение. Так как
х + у < 1, то у < 1 – х; так как 2х – у < 2, то у > 2х – 2.
Множество, задаваемое системой неравенств состоит из точек, лежащих под прямой
у = 1 – х и одновременно над прямой у = 2х – 2. Т.е. множество решений каждого
из этих линейных неравенств есть полуплоскость. Множество, определяемое
системой этих неравенств есть пересечение полуплоскостей.

у=1-х

у=2х-2

0 1 х

-2

Рис. 9.

Пример 12. На координатной плоскости покажите с помощью штриховки множество точек
F, задаваемое системой неравенств Какую
фигуру представляет собой множество F?

Решение. Множество, задаваемое системой неравенств состоит из точек, лежащих
под прямой у = 5х + 4 и одновременно над прямой у = 5х +1. Т.е. множество
решений каждого из этих линейных неравенств есть полуплоскость. Множество,
определяемое системой этих неравенств есть полоса.

y F

у = 5х + 4

у = 5х + 1

0 х

Рис. 10.

Ответ:
полоса.

Пример 13. На координатной плоскости покажите с помощью штриховки множество точек
F, задаваемое системой неравенств Какую
фигуру представляет собой множество F?

Решение. Множество, задаваемое системой неравенств состоит из точек, лежащих
под прямой у = -2х +4 и одновременно над прямой у = 3х +1. Т.е.
множество решений каждого из этих линейных неравенств есть полуплоскость.
Множество, определяемое системой этих неравенств есть угол.

у = -2х + 4

0 2 х

у
= 3х + 1

Рис.
11. Ответ: угол.

Пример 14. На координатной плоскости покажите с помощью штриховки множество точек
F, задаваемое системой неравенств Какую
фигуру представляет собой множество F?

Решение.
Множество, задаваемое системой неравенств состоит из точек, лежащих под прямой
у = -2х +4 и одновременно под прямой у = х +2 и над прямой у = -5. Т.е.
множество решений каждого из этих линейных неравенств есть полуплоскость.
Множество, определяемое системой этих неравенств есть треугольник.

у

у = х + 2

0
х

у = -2х + 4

-5

у = -5

Рис.
12.

Ответ:
треугольник.

Пример 15. На координатной плоскости покажите с помощью штриховки множество точек F, задаваемое системой неравенств Какую
фигуру представляет собой множество F?

Решение. Множество, задаваемое системой неравенств состоит из точек, лежащих
под прямой у = -х + 6 и одновременно под прямой у = 2х +8 и над прямой у
= -х + 2 и над прямой 2х + 2. Т.е. множество решений каждого из этих линейных
неравенств есть полуплоскость. Множество, определяемое системой этих неравенств
есть параллелограмм.

у

у = 2х + 2

у = — х + 6

у = 2х + 8

у = — х + 2

-4 –1 0 2 х

Рис.
13.

Ответ:
параллелограмм.

Пример 16. Задайте системой неравенств фигуру,
показанную на рисунке 14 штриховкой.

а) б)

в) г)

Рис.
14.

Решение. а)

б) Составим
уравнение прямой, проходящей через точки ( 5; 0) и ( 0; 8):

у = -1,6х + 8 – уравнение прямой,
проходящей через точки ( 5; 0) и ( 0; 8).

Искомая система
неравенств:

в)

у = -х + 3 –
уравнение прямой, проходящей через точки ( 3; 0) и ( 0; 3).

у = 0,5х + 3 –
уравнение прямой, проходящей через точки ( -6; 0) и ( 0; 3).

у = 2х — 6 –
уравнение прямой, проходящей через точки ( 3; 0) и ( 0; -6).

Искомая система
неравенств:

г) Зная для каждой
из прямых, ограничивающих четырехугольник, координаты двух точек, записываем ее
уравнение.

Искомая система
неравенств:

Ответ: а) б) в)
г)

Пример 17. Задайте системой неравенств четырехугольник АВСD,
вершинами которого служат точки: А ( -5; 0), В (1; 3), С ( 3; -1); D ( -2; -4).

Решение.

Четырехугольник АВСD ограничен прямыми АВ, ВС, CD, DA ( рис. 15). Зная координаты двух точек прямой, можно записать
уравнение этой прямой.

Для прямой АВ
имеем:

у = 0,5х + 2,5 – уравнение прямой АВ.

Рис. 15.

Для прямой ВС
имеем:

у = -2х + 5 –
уравнение прямой ВС.

Для прямой СD имеем:

у = 0,6х – 2,8 –
уравнение прямой CD.

Для прямой DA имеем:

у = x – уравнение прямой DA.

Искомая система
неравенств:

Ответ:

Пример 18. Покажите штриховкой множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют
неравенству: а) у > x; б) ; в) ; г) .

Решение. а) См. рис. 16, а.

б) Искомое
множество – множество точек, расположенных выше графика функции ( рис. 16, б).

в) Рассмотрим
отдельно каждую из координатных четвертей. В I четверти
неравенство примет вид у > х. Ему соответствует множество точек первого
координатного угла, расположенного выше биссектрисы этого угла. Во II и III четвертях, неравенству удовлетворют координаты
любой из точек. В IV четверти неравенство примет вид –у
> x, т.е. у < -х. Ему соответствует множество точек
четвертого координатного угла, расположенного ниже его биссектрисы ( рис. 16,
в).

г) Рассматриваем
отдельно каждую из координатных четвертей ( рис. 16, г).

а) б)

в) г)

Рис.
16.

Пример 19. Покажите штриховкой множество точек координатной
плоскости, координаты которой удовлетворяют неравенству:

а) (х –
8)(у – 4) ≥ 0; б) ( х – 2)(у + 6) ≤ 0; в) х² – у² ≥
0; г) х² – 4у² ≤ 0.

Решение. а)
Неравенство верно, если или ( рис. 17, а).

б) Неравенство верно, если или (
рис. 17, б).

в) Представим неравенство в виде ( х – у)( х +
у0 ≥ 0. Неравенство верно, если или ( рис. 17, в).

г) Представим неравенство в виде ( х – 2у)(х +
2у) ≤ 0. Неравенство верно, если или ( рис. 17, г).

а) б)

в) г)

Рис.
17.

Задания для самостоятельного решения

Решите систему неравенств:

5. Укажите
наибольшее и наименьшее целое число, удовлетворяющее системе неравенств:

6. Подберите значение параметра a так, чтобы для системы неравенств

а)наименьшее целое число, удовлетворяющее системе, было равно 3;

б)наибольшее целое число, удовлетворяющее системе, было равно 12;

в) не существовало бы ни одного целого числа, удовлетворяющего системе.

7. Решите
систему неравенств : а) б)

в) г)

8. Решите
систему неравенств:

а) б)

в) г)

9. Решите
систему неравенств:

а) б)

в) г)

10. Решите
систему неравенств:

а) б)

в)

г)

11. При
каких значениях а система неравенств имеет хотя бы одно решение:

а) б)
в) г)

12. При
каких значениях а система неравенств не имеет решений:

а) б)
в) г)

13. Существуют
ли такие значения а, при которых решением системы неравенств является промежуток: а) ( 5; + ∞); б)
( 3; +∞); в) [3; +∞); г) ( 2; +∞) ?

14. Существуют
ли такие значения а, при которых решением системы неравенств является промежуток: а) ( -∞ ; 7);
б) ( -∞; 5); в) ( -∞; 5]; г) ( -∞; 2) ?

15. При
каких значениях а система неравенств не
имеет решений?

16. При
каких значениях а система неравенств имеет хотя бы одно
решение?

17. Решите
двойное неравенство : а) –3 < 3 – 2x < 1; б) –2
< 3x – 1 < -1;

в) 0 < 4 – 3x
< 2; г) 0 < 1 – 2x < 1.

18. Решите
систему неравенств:

а) б)
в) г)

19.
Решите систему неравенств:

а) б) в) г)

20. Найдите
середину промежутка, являющегося множеством решений системы неравенств:

а) б)

21. Найдите
наименьшее целое х, удовлетворяющее системе неравенств:

22. Найдите
наибольшее целое х, удовлетворяющее системе неравенств:

23. При
каких значениях k и b множество
точек плоскости, задаваемое системой неравенств а)
представляет собой полосу; б) представляет собой угол; в) пустое множество?

24. Запишите
систему неравенств, задающую на координатной плоскости множество точек,
показанное штриховкой на рисунке 20.

а) б)

в) г)

Рис. 20.

Ответы: 1. х [-0,5; 0,5).   2. х (-3; -1).   3. х (2,4; 18).   4. х ≤ 0.      5. 0;
2.    6. а) например, а =1;   б) например, а
=0,5;     в) например, а =13,2.

9. а)
1<x<3; б) 4/7 < x <
8/3; в) 1/7 < x <16/7; г) x
> 4. 10. а) 0,05<x<0,1.

11. а) a<3; б) а<5; в) а ≤ 7; г) а ≥
2. 12. а) а ≥ 2; б) а ≥ 2; в) а > 5; г) а ≤ 2.

13. а) а = 5; б) а ≤ 3; в), г) не существует. 14. а) Не
существует; б) а = 5; в) а > 5; г) а = 2.

15. а ≤ 2. 16. а > 21/127. 17. а) 1<x<3; б) –1/3 <x<0. 18. а)
–0,5<x<0,6; б) 0,25<x<1/3.

19. а) х=1,5; в) 3,6< x <5; г) 1 < x ≤ 2,5. 20. а) 0,925; б) –0,5. 21. 1. 22.5.

23. а) при k = 3, b < -1;
б) k ≠ 3, b – любое; в) k = 3 , b > -1. ( см. рис. 25)

0 2 х

Рис. 25.

24. а) б) в) г)

Источник

Задание 1750

Найдите наименьшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств: $$left{begin{matrix}6x+18leq0\ x+8geq2end{matrix}right.$$

Ответ: -6

Скрыть

$$left{begin{matrix}6x+18leq0\ x+8geq2end{matrix}right.Leftrightarrow$$$$left{begin{matrix}6x leq -18|:6 \ xgeq 2-8 end{matrix}right.Leftrightarrow$$$$left{begin{matrix}x leq -3\ xgeq -6 end{matrix}right.$$
Получаем, что $$x in [-6;-3]$$, тогда наименьшее значение $$x=-6$$

Задание 1751

Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств: $$left{begin{matrix}5x+15leq 0\ x+5geq 1end{matrix}right.$$

Ответ: -3

Скрыть

$$left{begin{matrix}5x+15leq 0\ x+5geq 1end{matrix}right.Leftrightarrow$$$$left{begin{matrix}5xleq -15\ xgeq 1-5end{matrix}right.Leftrightarrow$$$$left{begin{matrix}xleq -3\ xgeq -4end{matrix}right.$$
То есть мы получили, что $$xin [ -4; -3]$$. В таком случае наибольшее значение будет $$x=-3$$

Задание 4839

На каком рисунке изображено множество решений системы неравенств

$$left{begin{matrix}2(x+2)-7<15\-3x+12<0end{matrix}right.$$

Ответ: 1

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$left{begin{matrix}2(x+2)-7<15\-3x+12<0end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}2x+4-7-15<0\-3x<-12end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}2x<18\x>4end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}x<9\x>4end{matrix}right.$$

Задание 5030

Найдите сумму наибольшего целого и наименьшего целого решения системы $$left{begin{matrix}x+4<2x+3\3x-4leq2x+4end{matrix}right.$$

Ответ: 10

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$left{begin{matrix}x+4<2x+3\3x-4leq2x+4end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}x-3<2x-x\3x-2xleq4+4end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}x>1\xleq8end{matrix}right.$$

$$x_{min}=2$$; $$x_{max}=8$$

Задание 6778

На каком рисунке изображено множество решений системы неравенств $$left{begin{matrix}2x-3<1\ 5-3x>8end{matrix}right.$$

Ответ: 3

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$left{begin{matrix}2x-3<1\5-3x>8end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}2x<4\-3x>3end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}x<2\x<-1end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$x<-1$$, что соответствует 3 варианту ответа ( т.к. $$(-4;1) in (-infty ;-1)$$ )

Задание 7461

Найдите сумму наибольшего целого и наименьшего целого решения системы $$left{begin{matrix}2x+5<3x+7\ 5x-3leq 4x+3end{matrix}right.$$

Ответ: 5

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$left{begin{matrix}2x+5<3x+7\ 5x-3leq 4x+3end{matrix}right.Leftrightarrow$$$$left{begin{matrix}5-7<3x-2x\ 5x-4xleq 3+3end{matrix}right.Leftrightarrow$$$$left{begin{matrix}x>-2\ xleq 6end{matrix}right.$$ Так как первое неравенство строгое, то -2 в ответ не входит, следовательно, наименьшее целое будет -1. Наибольше же целое составляет 6. Тогда их сумма : $$-1+6=5$$

Задание 7581

Укажите решение системы неравенств $$left{begin{matrix}-9+3x<0\ 2-3x>-10end{matrix}right.$$

$$(-infty;3)$$
$$(-infty;4)$$
$$(3;+infty)$$
$$(3;4)$$

Ответ: 1

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7751

Найдите наименьшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств: $$left{begin{matrix} 5x+12geq 0\ 3x-5leq 7 end{matrix}right.$$

Ответ: -2,4

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9436

Укажите множество решений системы неравенств $$left{begin{matrix}x<-3\9-x<0end{matrix}right.$$

Ответ: 4

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9915

Укажите номер решения системы неравенств $$left{begin{matrix} x+4geq -4,5\ x+4leq 0 end{matrix}right.$$

$$[-8,5;-4]$$
$$[4;+infty)$$
$$(-infty;-8,5]$$
$$(-infty;-8,5]cup[4;+infty)$$

Ответ: 1

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 10353

Решите систему неравенств $$left{begin{matrix} x-4geq 0\ x-0,3geq 1 end{matrix}right.$$. В ответе укажите номер правильного ответа.

$$[1,3;+infty)$$
$$[4;+infty)$$
$$[1,3;4]$$
$$(-infty;1,3]cup[4;+infty)$$

Ответ: 2

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Задание 10951

Решите систему неравенств $$left{ begin{array}{c} x^2le 4 \ x+3ge 0 end{array} right.$$. В ответе укажите номер правильного ответа.

$$genfrac{}{}{0pt}{}{1) (-infty ;3]}{ begin{array}{c} 2) left(-infty ;3right]cup [2;+infty ) \ 3)[-2;2] \ 4)[-2;3] end{array} }$$

Ответ: 3

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
$${rm }left{ begin{array}{c}
x^2le 4 \
x+3ge 0 end{array}
right.leftrightarrow left{ begin{array}{c}
(x-2)(x+2)le 0 \
xge -3 end{array}
right.leftrightarrow left{ begin{array}{c}
xge -2 \
xle 2 \
xge -3 end{array}
right.leftrightarrow xin left[-2;2right],$$ т.е. 3 вариант.

Источник

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Неравенства

Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:

> больше,

≥ больше или равно,

< меньше,

≤ меньше или равно,

то получится неравенство.

Линейные неравенства

Линейные неравенства – это неравенства вида:

a x b a x ≥ b

где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.

Примеры линейных неравенств:

3 x < 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x < 1 x ≤ 0

Решить линейное неравенство – получить выражение вида:

x < c x ≤ c x > c x ≥ c

где c – некоторое число.

Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

Если знак неравенства строгий > , < , точка на оси будет выколотой (не закрашенной), а скобка, обнимающая точку – круглой.

Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.

Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точка на оси будет жирной (закрашенной), а скобка, обнимающая точку – квадратной.

Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.

Скобка, которая обнимает знак бесконечности всегда круглая – не можем мы объять необъятное, как бы нам этого ни хотелось.

Таблица числовых промежутков

Неравенство	Графическое решение	Форма записи ответа
x < c		x ∈ ( − ∞ ; c )
x ≤ c		x ∈ ( − ∞ ; c ]
x > c		x ∈ ( c ; + ∞ )
x ≥ c		x ∈ [ c ; + ∞ )

Алгоритм решения линейного неравенства

Раскрыть скобки (если они есть), перенести иксы в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Должно получиться неравенство одного из следующих видов:

a x b a x ≥ b

Пусть получилось неравенство вида a x ≤ b. Для того, чтобы его решить, необходимо поделить левую и правую часть неравенства на коэффициент a.

Если a > 0 то неравенство приобретает вид x ≤ b a .

Если a < 0 , то знак неравенства меняется на противоположный, неравенство приобретает вид x ≥ b a .

Записываем ответ в соответствии с правилами, указанными в таблице числовых промежутков.

Примеры решения линейных неравенств:

№1. Решить неравенство 3 ( 2 − x ) > 18.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 − 3 x > 18

− 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 )

Делим обе части неравенства на (-3) – коэффициент, который стоит перед x. Так как − 3 < 0 , знак неравенства поменяется на противоположный. x < 12 − 3 ⇒ x < − 4 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 )

№2. Решить неравество 6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14

6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4

3 x ≥ − 15 | ÷ 3 Делим обе части неравенства на (3) – коэффициент, который стоит перед x. Так как 3 > 0, знак неравенства после деления меняться не будет.

x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x ∈ [ − 5 ; + ∞ )

Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).

Примеры:

№1. Решить неравенство 6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x − 1 ≤ 6 x − 1

6 x − 6 x ≤ − 1 + 1

0 ≤ 0

Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x. Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная x, чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа.

Ответ:

x – любое число
x ∈ ( − ∞ ; + ∞ )
x ∈ ℝ

№2. Решить неравенство x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

x + 6 − 9 x > − 8 x + 48

− 8 x + 8 x > 48 − 6

0 > 42

Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x. Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ.

Ответ: x ∈ ∅

Квадратные неравенства

Квадратные неравенства – это неравенства вида: a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c ≥ 0 a x 2 + b x + c < 0 a x 2 + b x + c ≤ 0 где a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0, x — переменная.

Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).

Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

Решить уравнение a x 2 + b x + c = 0 и найти корни x 1 и x 2 .

Отметить на числовой прямой корни трехчлена.

Если знак неравенства строгий > , < , точки будут выколотые.

Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точки будут жирные (заштрихованный).

Расставить знаки на интервалах. Для этого надо выбрать точку из любого промежутка (в примере взята точка A) и подставить её значение в выражение a x 2 + b x + c вместо x.

Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Выбрать подходящие интервалы (или интервал).

Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.

Если знак неравенства < или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -.

Записать ответ.

Примеры решения квадратных неравенств:

№1. Решить неравенство x 2 ≥ x + 12.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

x 2 ≥ x + 12

x 2 − x − 12 ≥ 0

x 2 − x − 12 = 0

a = 1, b = − 1, c = − 12

D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪ .

Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство − 3 x − 2 ≥ x 2 .

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

− 3 x − 2 ≥ x 2

− x 2 − 3 x − 2 ≥ 0

− x 2 − 3 x − 2 = 0

a = − 1, b = − 3, c = − 2

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1

x 1 = − 2, x 2 = − 1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение:

− x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 < 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет − .

Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервал со знаком +.

Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: x ∈ [ − 2 ; − 1 ]

№3. Решить неравенство 4 < x 2 + 3 x .

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

4 < x 2 + 3 x

− x 2 − 3 x + 4 < 0

− x 2 − 3 x + 4 = 0

a = − 1, b = − 3, c = 4

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 4 = 9 + 16 = 25

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 25 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 5 − 2 = [ 3 + 5 − 2 = 8 − 2 = − 4 3 − 5 − 2 = − 2 − 2 = 1

x 1 = − 4, x 2 = 1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение:

− x 2 − 3 x + 4 = − ( 2 ) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = − 6 < 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет -.

Поскольку знак неравенства < , выбираем в ответ интервалы со знаком − .

Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№4. Решить неравенство x 2 − 5 x < 6.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

x 2 − 5 x < 6

x 2 − 5 x − 6 < 0

x 2 − 5 x − 6 = 0

a = 1, b = − 5, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 25 + 25 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 5 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 5 ± 7 2 = [ 5 + 7 2 = 12 2 = 6 5 − 7 2 = − 2 2 = − 1

x 1 = 6, x 2 = − 1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − 5 x − 6 = 10 2 − 5 ⋅ 10 − 6 = 100 − 50 − 6 = 44 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет +.

Поскольку знак неравенства < , выбираем в ответ интервал со знаком -.

Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые

Ответ: x ∈ ( − 1 ; 6 )

№5. Решить неравенство x 2 < 4.

Решение:

Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.

x 2 < 4

x 2 − 4 < 0

x 2 − 4 = 0

( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0 [ x = 2 x = − 2

x 1 = 2, x 2 = − 2

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет +.

Поскольку знак неравенства < , выбираем в ответ интервал со знаком − .

Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − 2 ; 2 )

№6. Решить неравенство x 2 + x ≥ 0.

Решение:

Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения x 2 + x = 0.

x 2 + x ≥ 0

x 2 + x = 0

x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1

x 1 = 0, x 2 = − 1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет +.

Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервалы со знаком +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ )

Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.

Дробно рациональные неравенства

Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

f ( x ) g ( x ) < 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

Примеры дробно рациональных неравенств:

x − 1 x + 3 < 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3

Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

Привести неравенство к одному из следующих видов (в зависимости от знака в исходном неравенстве):

f ( x ) g ( x ) < 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0. Найти нули числителя.

Приравнять знаменатель дроби к нулю g ( x ) = 0. Найти нули знаменателя.

В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.

Нанести нули числителя и нули знаменателя на ось x.

Вне зависимости от знака неравенства
при нанесении на ось x нули знаменателя всегда выколотые.

Если знак неравенства строгий,
при нанесении на ось x нули числителя выколотые.

Если знак неравенства нестрогий,
при нанесении на ось x нули числителя жирные.

Расставить знаки на интервалах.

Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.

Примеры решения дробно рациональных неравенств:

№1. Решить неравенство x − 1 x + 3 > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду f ( x ) g ( x ) > 0.

Приравниваем числитель к нулю f ( x ) = 0.

x − 1 = 0

x = 1 — это ноль числителя. Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это.

Приравниваем знаменатель к нулю g ( x ) = 0.

x + 3 = 0

x = − 3 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : x − 1 x + 3 = 2 − 1 2 + 3 = 1 5 > 0,

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +.

Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство 3 ( x + 8 ) ≤ 5.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Привести неравенство к виду f ( x ) g ( x ) ≤ 0.

3 ( x + 8 ) ≤ 5

3 ( x + 8 ) − 5 x + 8 ≤ 0

3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0

− 5 x − 37 x + 8 ≤ 0

Приравнять числитель к нулю f ( x ) = 0.

− 5 x − 37 = 0

− 5 x = 37

x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4

x = − 7,4 — ноль числителя. Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось x точка будет жирной.

Приравнять знаменатель к нулю g ( x ) = 0.

x + 8 = 0

x = − 8 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x, точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) :

− 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 < 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет -.

Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства ≤ , выбираем в ответ интервалы со знаком -.

В ответ пойдут два интервала. Точка -8 будет в круглой скобке, так как она выколотая, точка -7,4 будет в квадратных скобках, так как она жирная.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ )

№3. Решить неравенство x 2 − 1 x > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду f ( x ) g ( x ) > 0.

Приравнять числитель к нулю f ( x ) = 0.

x 2 − 1 = 0

( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1

x 1 = 1, x 2 = − 1 — нули числителя. Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось x точки будут выколотыми.

Приравнять знаменатель к нулю g ( x ) = 0.

x = 0 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x, точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.

Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) :

x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +.

Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +.

В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

Системы неравенств

Сперва давайте разберёмся, чем отличается знак { системы от знака [ совокупности. Система неравенств ищет пересечение решений, то есть те точки, которые являются решением и для первого неравенства системы, и для второго. Проще говоря, решить систему неравенств — это найти пересечение решений всех неравенств этой системы друг с другом. Совокупность неравенств ищет объединение решений, то есть те точки, которые являются решением либо для первого неравенства, либо для второго, либо одновременно и для первого неравенства, и для второго. Решить совокупность неравенств означает объединить решения обоих неравенств этой совокупности. Более подробно об этом смотрите короткий видео-урок.

Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы неравенств:

{ x + 4 > 0 2 x + 3 ≤ x 2

Алгоритм решения системы неравенств

Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x.

Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x.

Нанести решения первого и второго неравенств на ось x.

Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.

Примеры решений систем неравенств:

№1. Решить систему неравенств { 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Решаем первое неравенство системы.

2 x − 3 ≤ 5

2 x ≤ 8 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.

x ≤ 4 ;

Графическая интерпретация:

Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

Решаем второе неравенство системы.

7 − 3 x ≤ 1

− 3 x ≤ 1 − 7

− 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ), поскольку − 3 < 0, знак неравенства после деления меняется на противоположный.

x ≥ 2

Графическая интерпретация решения:

Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

Наносим оба решения на ось x.

Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается на отрезке от 2 до 4. Точки 2 и 4 в ответе буду в квадратных скобках, так как обе они жирные.

Ответ: x ∈ [ 2 ; 4 ]

№2. Решить систему неравенств { 2 x − 1 ≤ 5 1 < − 3 x − 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Решаем первое неравенство системы.

2 x − 1 ≤ 5

2 x ≤ 6 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.

x ≤ 3

Графическая интерпретация:

Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

Решаем второе неравенство системы.

1 < − 3 x − 2

3 x < − 1 − 2

3 x < − 3 | ÷ 3 , поскольку 3 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.

x < − 1

Графическая интерпретация решения:

Точка -1 на графике выколотая, так как знак неравенства строгий.

Наносим оба решения на ось x.

Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается на самом левом участке. Точка -1 будет в ответе в круглых скобках, так как она выколотая.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 )

№3. Решить систему неравенств { 3 x + 1 ≤ 2 x x − 7 > 5 − x

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Решаем первое неравенство системы.

3 x + 1 ≤ 2 x

3 x − 2 x ≤ − 1

x ≤ − 1

Графическая интерпретация решения:

Решаем второе неравенство системы

x − 7 > 5 − x

x + x > 5 + 7

2 x > 12 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.

x > 6

Графическая интерпретация решения:

Наносим оба решения на ось x.

Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.

Ответ: x ∈ ∅

№4. Решить систему неравенств { x + 4 > 0 2 x + 3 ≤ x 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Решаем первое неравенство системы.

x + 4 > 0

x > − 4

Графическая интерпретация решения первого неравенства:

Решаем второе неравенство системы

2 x + 3 ≤ x 2

− x 2 + 2 x + 3 ≤ 0

Решаем методом интервалов.

− x 2 + 2 x + 3 = 0

a = − 1, b = 2, c = 3

D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16

D > 0 — два различных действительных корня.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 2 ± 16 2 ⋅ ( − 1 ) = − 2 ± 4 − 2 = [ − 2 − 4 − 2 = − 6 − 2 = 3 − 2 + 4 − 2 = 2 − 2 = − 1

Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.

Графическая интерпретация решения второго неравенства:

Наносим оба решения на ось x.

Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается в двух интервалах. Для того, чтобы в ответе объединить два интервала, используется знак объединения ∪ .

Точка -4 будет в круглой скобке, так как она выколотая, а точки -1 и 3 в квадратных, так как они жирные.

Ответ: x ∈ ( − 4 ; − 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞ )

Скачать домашнее задание к уроку 8.

Источник

Виды неравенств и способы их решения

1. Линейные неравенства и системы неравенств

2. Квадратные неравенства

3. Неравенства высших степеней

4. Рациональные неравенства

5. Иррациональные неравенства

6. Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств

Задания для самостоятельного решения

Базовый уровень

Целые неравенства и системы неравенств

Рациональные неравенства и системы неравенств

Иррациональные неравенства

Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств

Повышенный уровень

Ответы

<img loading="lazy" decoding="async" onError="javascript: wp_broken_images = window.wp_broken_images || function(){}; wp_broken_images(this);" width="12" height="183" src="https://documents.infourok.ru/dd48bcf4-3665-4405-b4ef-dd4a0906a96d/0/image084.png" /> у

<img loading="lazy" decoding="async" onError="javascript: wp_broken_images = window.wp_broken_images || function(){}; wp_broken_images(this);" width="278" height="254" src="https://documents.infourok.ru/dd48bcf4-3665-4405-b4ef-dd4a0906a96d/0/image097.png" />

Пример 16. Задайте системой неравенств фигуру, показанную на рисунке 14 штриховкой.

Пример 19. Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, координаты которой удовлетворяют неравенству:

а) (х – 8)(у – 4) ≥ 0; б) ( х – 2)(у + 6) ≤ 0; в) х2 – у2 ≥ 0; г) х2 – 4у2 ≤ 0.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1750

Задание 1751

Задание 4839

Задание 5030

Задание 6778

Задание 7461

Задание 7581

Задание 7751

Задание 9436

Задание 9915

Задание 10353

Задание 10951

Неравенства

Не пропустите также:

у

Пример 16. Задайте системой неравенств фигуру,
показанную на рисунке 14 штриховкой.

Пример 19. Покажите штриховкой множество точек координатной
плоскости, координаты которой удовлетворяют неравенству:

а) (х –
8)(у – 4) ≥ 0; б) ( х – 2)(у + 6) ≤ 0; в) х² – у² ≥
0; г) х² – 4у² ≤ 0.