Как найти наибольший угол грани пирамиды

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольной пирамиды (тетраэдра):

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Типичными линейными параметрами любой пирамиды являются длины сторон ее основания, высота, боковые ребра и апофемы. Тем не менее существует еще одна характеристика, которая связана с отмеченными параметрами, — это двугранный угол. Рассмотрим в статье, что он собой представляет и как его находить.

Пространственная фигура пирамида

Каждый школьник хорошо представляет, о чем идет речь, когда слышит слово «пирамида». Геометрически построить ее можно так: выбрать некоторый многоугольник, затем зафиксировать точку в пространстве и соединить ее с каждым углом многоугольника. Получившаяся объемная фигура будет пирамидой произвольного типа. Многоугольник, который ее образует, называется основанием, а точка, с которой соединены все его углы, является вершиной фигуры. Ниже на рисунке схематически показана пятиугольная пирамида.

Видно, что ее поверхность образована не только пятиугольником, но и пятью треугольниками. В общем случае число этих треугольников будет равно количеству сторон многоугольного основания.

Двугранные углы фигуры

Когда рассматриваются геометрические задачи на плоскости, то любой угол образован двумя пересекающимися прямыми, или отрезками. В пространстве же к этим линейным углам добавляются двугранные, образованные пересечением двух плоскостей.

Если отмеченное определение угла в пространстве применить к рассматриваемой фигуре, то можно сказать, что существует два вида двугранных углов:

• При основании пирамиды. Он образован плоскостью основания и любой из боковых граней (треугольником). Это означает, что углов при основании у пирамиды n, где n — число сторон многоугольника.
• Между боковыми сторонами (треугольниками). Количество этих двугранных углов также составляет n штук.

Заметим, что первый тип рассматриваемых углов строится на ребрах основания, второй тип — на боковых ребрах.

Как рассчитать углы пирамиды?

Линейный угол двугранного угла является мерой последнего. Вычислить его непросто, поскольку грани пирамиды, в отличие от граней призмы, пересекаются не под прямыми углами в общем случае. Надежнее всего проводить расчет значений двугранных углов с использованием уравнений плоскости в общем виде.

В трехмерном пространстве плоскость задается следующим выражением:

A*x + B*y + C*z + D = 0

Где A, B, C, D — это некоторые действительные числа. Удобством этого уравнения является то, что первые три отмеченных числа являются координатами вектора, который перпендикулярен заданной плоскости, то есть:

n¯ = [A; B; C]

Если известны координаты трех точек, принадлежащих плоскости, то, взяв векторное произведение двух векторов, построенных на этих точках, можно получить координаты n¯. Вектор n¯ называется направляющим для плоскости.

Согласно определению, двугранный угол, образованный пересечением двух плоскостей, равен линейному углу между их направляющими векторами. Предположим, что мы имеем две плоскости, нормальные векторы которых равны:

n₁¯ = [A₁; B₁; C₁];

n₂¯ = [A₂; B₂; C₂]

Для вычисления угла φ между ними можно воспользоваться свойством произведения скалярного, тогда соответствующая формула принимает вид:

φ = arccos(|(n₁¯*n₂¯)|/(|n₁¯|*|n₂¯|))

Или в координатной форме:

φ = arccos(|A₁*A₂ + B₁*B₂ + C₁*C₂|/(√(A₁² + B₁²+C₁²)*√(A₂² + B₂² + C₂²)))

Покажем, как использовать изложенную методику расчета двугранных углов при решении геометрических задач.

Углы правильной пирамиды четырехугольной

Предположим, что имеется правильная пирамида, в основании которой находится квадрат со стороной 10 см. Высота фигуры равна 12 см. Необходимо вычислить, чему равны двугранные углы при основании пирамиды и для ее боковых сторон.

Поскольку заданная в условии задачи фигура является правильной, то есть обладает высокой симметрией, то все углы при основании равны друг другу. Также являются одинаковыми углы, образованные боковыми гранями. Чтобы вычислить необходимые двугранные углы, найдем направляющие векторы для основания и двух боковых плоскостей. Обозначим длину стороны основания буквой a, а высоту h.

Рисунок выше показывает четырехугольную правильную пирамиду. Выпишем координаты точек A, B, C и D в соответствии с введенной системой координат:

A(a/2; -a/2; 0);

B(a/2; a/2; 0);

C(-a/2; a/2; 0);

D(0; 0; h)

Теперь найдем направляющие векторы для плоскостей основания ABC и двух боковых сторон ABD и BCD в соответствии с изложенной в пункте выше методикой:

Для ABC:

AB¯ = (0; a; 0); AC¯ = (-a; a; 0); n₁¯ = [AB¯*AC¯] = (0; 0; a²)

Для ABD:

AB¯ = (0; a; 0); AD¯ = (-a/2; a/2; h); n₂¯ = [AB¯*AD¯] = (a*h; 0; a²/2)

Для BCD:

BC¯ = (-a; 0; 0); BD¯ = (-a/2; -a/2; h); n₃¯ = [BC¯*BD¯] = (0; a*h; a²/2)

Теперь остается применить соответствующую формулу для угла φ и подставить значения стороны и высоты из условия задачи:

Угол между ABC и ABD:

(n₁¯*n₂¯) = a⁴/2; |n₁¯| = a²; |n₂¯| = a*√(h² + a²/4);

φ = arccos(a⁴/2/(a²*a*√(h² + a²/4))) = arccos(a/(2*√(h² + a²/4))) = 67,38^o

Угол между ABD и BDC:

(n₂¯*n₃¯) = a⁴/4; |n₂¯| = a*√(h² + a²/4) ; |n₃¯| = a*√(h² + a²/4);

φ = arccos(a⁴/(4*a²*(h²+a²/4)) = arccos(a²/(4*(h²+a²/4))) = 81,49^o

Мы вычислили значения углов, которые требовалось найти по условию задачи. Полученные при решении задачи формулы можно использовать для определения двугранных углов четырехугольных правильных пирамид с любыми значениями a и h.

Углы треугольной правильной пирамиды

На рисунке ниже дана пирамида, основанием которой является правильный треугольник. Известно, что двугранный угол между боковыми сторонами является прямым. Необходимо вычислить площадь основания, если известно, что высота фигуры равна 15 см.

Двугранный угол, равный 90^o, на рисунке обозначен как ABC. Решить задачу можно, применяя изложенную методику, однако в данном случае поступим проще. Обозначим сторону треугольника a, высоту фигуры — h, апофему — h_b и боковое ребро — b. Теперь можно записать следующие формулы:

S = 1/2*a*h_b;

b² = h_b² + a²/4;

b² = h² + a²/3

Поскольку два боковых треугольника в пирамиде являются одинаковыми, то стороны AB и CB равны и являются катетами треугольника ABC. Обозначим их длину x, тогда:

x = a/√2;

S = 1/2*b*a/√2

Приравнивая площади боковых треугольников и подставляя апофему в соответствующее выражение, имеем:

1/2*a*h_b = 1/2*b*a/√2 =>

h_b = b/√2;

b² = b ²/2 + a²/4 =>

b = a/√2;

a²/2 = h² + a²/3 =>

a = h*√6

Площадь равностороннего треугольника рассчитывается так:

S = √3/4*a² = 3*√3/2*h²

Подставляем значение высоты из условия задачи, получаем ответ: S = 584,567 см².

Пример 1:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти:

1) координаты и модули векторов А₁ А₂и А₁ А₄;  

2) угол между ребрами А₁ А₂и А₁ А₄;          

3) площадь грани А₁ А₂ А₃;         

4) объем пирамиды;

5) уравнение прямой А₁ А₂;

6) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

7) уравнение высоты, опущенной из вершины  А₄ на грань А₁ А₂ А_3.

Сделать чертеж.

А₁ (0; 4; -4), А₂ (5; 1; -1), А₃ (-1; -1; 3), А₄ (0; -3; 7).

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁ А₂;

2) угол между ребрами А₁ А₂и А₁ А₄;          

3) угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃;

4) площадь грани А₁ А₂ А₃;         

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

уравнение высоты, опущенной из вершины  А₄ на грань А₁ А₂ А_3. Сделать чертеж.

1. А₁ (7; 7; 3), А₂ (6; 5; 8), А₃ (3; 5; 8), А₄ (8; 4; 1).

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Решение от преподавателя:

 Уравнение плоскости. 
Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением: 

Уравнение плоскости A₁A₂A₃ 

(x-3)(1*2-0*3) — (y-2)((-2)*2-3*3) + (z+2)((-2)*0-3*1) = 2x + 13y — 3z-38 = 0 

Угол между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃. 
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле: 

Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y — 3z-38 = 0 
Уравнение прямой A₁A₄: 

γ = arcsin(0.267) = 15.486^o 

Уравнение высоты пирамиды через вершину A₄(0,2,2) 
Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями: 
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y — 3z-38 = 0 

Уравнение плоскости через вершину A₄(0,2,2) 
Плоскость, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и параллельная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением: 
A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0 
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y — 3z-38 = 0 
2(x-0)+13(y-2)-3(z-2) = 0 
или 
2x+13y-3z-20 = 0

Пример 4:

Решение от преподавателя:

Даны координаты пирамиды: A₁(0,1,1), A₂(3,4,4), A₃(-3,9,3), A₄(0,5,4) 

1. Уравнение плоскости. 
   Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением: 

Уравнение плоскости A₁A₂A₃ 

(x-0)(3*2-8*3) — (y-1)(3*2-(-3)*3) + (z-1)(3*8-(-3)*3) = -18x — 15y + 33z-18 = 0 
Упростим выражение: -6x — 5y + 11z-6 = 0 

2) Угол между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃. 
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле: 

Уравнение плоскости A₁A₂A₃: -6x — 5y + 11z-6 = 0 
Уравнение прямой A₁A₄: 

γ = arcsin(0.193) = 11.128^o 

3) Уравнение высоты пирамиды через вершину A₄(0,5,4) 
Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями: 
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: -6x — 5y + 11z-6 = 0 

4) Уравнение плоскости через вершину A₄(0,5,4) 
Плоскость, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и параллельная плоскости

5)  Координаты вектора  A₁A₄(0;4;3) 

Уравнение прямой, проходящей через точку А₁(0,1,1) параллельно вектору А₁А₂(0,4,3) имеет вид:

Пример 5:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁ А₂;

2) угол между ребрами А₁ А₂и А₁ А₄;          

3) угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃;

4) площадь грани А₁ А₂ А₃;         

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

уравнение высоты, опущенной из вершины  А₄ на грань А₁ А₂ А_3. Сделать чертеж.

А₁ (4; 4; 10), А₂ (4; 10; 2), А₃ (2; 8; 4), А₄ (9; 6; 9).

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Решение от преподавателя:

1) Даны координаты  вершин пирамиды: A₁(0,1,1), A₂(3,4,4), A₃(-3,9,3), A₄(0,5,4) 
Координаты векторов. 
Координаты векторов:       A₁A₂(3;3;3)        A₁A₄(0;4;3) 

 Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле: 
   ,    где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂ 
Найдем угол между ребрами A₁A₂(3;3;3) и A₁A₃(0;4;3): 

А₁ = arccos(0,808)

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения: 
S =
Найдем векторное произведение

=i(3*2-8*3) — j(3*2-(-3)*3) + k(3*8-(-3)*3) = -18i — 15j + 33k 

3) Объем пирамиды. 
Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен: 

Координатывекторов:A₁A₂(3;3;3)    A₁A₃(-3;8;2) A₁A₄(0;4;3) :      

Пример 7:

Решение от преподавателя:

1. Угол между ребрами. 
   Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле: 
   
   где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂ 
   Найдем угол между ребрами A₁A₂(-2;1;3) и A₁A₃(3;0;2): 
   
   γ = arccos(0) = 90.003⁰ 
2. Площадь грани 
   Площадь грани можно найти по формуле: 
   
   где 
   
   Найдем площадь грани A₁A₂A₃ 
   Найдем угол между ребрами A₁A₂(-2;1;3) и A₁A₃(3;0;2): 
   
   
   Площадь грани A₁A₂A₃ 
3. Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен: 

где определитель матрицы равен: 
∆ = (-2)*(0*4-0*2)-3*(1*4-0*3)+(-3)*(1*2-0*3) = -18 

Пример 8:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄ . Найти:

1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между рёбрами А₁А₂  и А₁А₄ ;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объём пирамиды;

6) уравнение прямой А₁А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃;

Сделать чертёж.

А₁(3; 5; 4),        А₂(8; 7; 4),            А₃(5; 10; 4),          А₄(4; 7; 8).

Решение от преподавателя:

1) Длина ребра A₁A₂;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребрами А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

Найдем уравнение стороны А₁А₄:

Вектор нормали:  к плоскости А₁А₂А₃.

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

Итак: z=4 – уравнение плоскости А₁А₂А₃.

уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

A₄O – высота:

Уравнение A₄O:

Т.к. , то

В результате получаем уравнение высоты:

Пример 9:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁ А₂;

2) угол между ребрами А₁ А₂и А₁ А₄;          

3) угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃;

4) площадь грани А₁ А₂ А₃;         

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

уравнение высоты, опущенной из вершины  А₄ на грань А₁ А₂ А_3. Сделать чертеж.

А₁ (4; 4; 10), А₂ (4; 10; 2), А₃ (2; 8; 4), А₄ (9; 6; 9).

Решение от преподавателя:

Задача

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна 3а.
Найдите углы наклона боковых рёбер и боковых граней к плоскости основания.

Найдем угол наклона ребер к плоскости основания.
Поскольку в основании правильной пирамиды лежит правильный четырехугольник, то, в данном случае, это — квадрат. Поскольку высота пирамиды проецируется в центр основания, то это — точка пересечения диагоналей. Откуда KN = а/2

Треугольник OKN — прямоугольный, OK — высота, равная 3а.
Найдем тангенс угла KNO, обозначив его как α .

tg α = OK / KN
tg α = 3a / (a/2) = 6
α = arctg 6 ≈ 80.5377°

Найдем угол наклона ребра пирамиды.
Диагональ квадрата со стороной а равна а√2. Поскольку высота проецируется в центр основания, то в этой точке диагонали делятся пополам.

Таким образом, для прямоугольного треугольника OKC тангенс угла KCO (обозначим его как β ) равен

tg β = OK / KC
tg β = 3a / (а√2/2) = 6 / √2
β = arctg 6/√2 ≈ 76.7373°

Ответ: угол наклона граней arctg 6 ≈ 80.5377°; угол наклона ребер arctg 6/√2 ≈ 76.7373°

Двугранные углы пирамиды и методика их расчета

Типичными линейными параметрами любой пирамиды являются длины сторон ее основания, высота, боковые ребра и апофемы. Тем не менее существует еще одна характеристика, которая связана с отмеченными параметрами, — это двугранный угол. Рассмотрим в статье, что он собой представляет и как его находить.

Пространственная фигура пирамида

Каждый школьник хорошо представляет, о чем идет речь, когда слышит слово «пирамида». Геометрически построить ее можно так: выбрать некоторый многоугольник, затем зафиксировать точку в пространстве и соединить ее с каждым углом многоугольника. Получившаяся объемная фигура будет пирамидой произвольного типа. Многоугольник, который ее образует, называется основанием, а точка, с которой соединены все его углы, является вершиной фигуры. Ниже на рисунке схематически показана пятиугольная пирамида.

Вам будет интересно: Популяция людей: определение, виды, свойства и примеры

Видно, что ее поверхность образована не только пятиугольником, но и пятью треугольниками. В общем случае число этих треугольников будет равно количеству сторон многоугольного основания.

Двугранные углы фигуры

Вам будет интересно: «Дурачок» или «дурачек»: как не проспорить в Интернете из-за орфографии?

Когда рассматриваются геометрические задачи на плоскости, то любой угол образован двумя пересекающимися прямыми, или отрезками. В пространстве же к этим линейным углам добавляются двугранные, образованные пересечением двух плоскостей.

Если отмеченное определение угла в пространстве применить к рассматриваемой фигуре, то можно сказать, что существует два вида двугранных углов:

• При основании пирамиды. Он образован плоскостью основания и любой из боковых граней (треугольником). Это означает, что углов при основании у пирамиды n, где n — число сторон многоугольника.
• Между боковыми сторонами (треугольниками). Количество этих двугранных углов также составляет n штук.

Заметим, что первый тип рассматриваемых углов строится на ребрах основания, второй тип — на боковых ребрах.

Как рассчитать углы пирамиды?

Линейный угол двугранного угла является мерой последнего. Вычислить его непросто, поскольку грани пирамиды, в отличие от граней призмы, пересекаются не под прямыми углами в общем случае. Надежнее всего проводить расчет значений двугранных углов с использованием уравнений плоскости в общем виде.

В трехмерном пространстве плоскость задается следующим выражением:

A*x + B*y + C*z + D = 0

Где A, B, C, D — это некоторые действительные числа. Удобством этого уравнения является то, что первые три отмеченных числа являются координатами вектора, который перпендикулярен заданной плоскости, то есть:

Если известны координаты трех точек, принадлежащих плоскости, то, взяв векторное произведение двух векторов, построенных на этих точках, можно получить координаты n¯. Вектор n¯ называется направляющим для плоскости.

Согласно определению, двугранный угол, образованный пересечением двух плоскостей, равен линейному углу между их направляющими векторами. Предположим, что мы имеем две плоскости, нормальные векторы которых равны:

Для вычисления угла φ между ними можно воспользоваться свойством произведения скалярного, тогда соответствующая формула принимает вид:

Или в координатной форме:

φ = arccos(|A1*A2 + B1*B2 + C1*C2|/(√(A12 + B12+C12)*√(A22 + B22 + C22)))

Покажем, как использовать изложенную методику расчета двугранных углов при решении геометрических задач.

Углы правильной пирамиды четырехугольной

Предположим, что имеется правильная пирамида, в основании которой находится квадрат со стороной 10 см. Высота фигуры равна 12 см. Необходимо вычислить, чему равны двугранные углы при основании пирамиды и для ее боковых сторон.

Поскольку заданная в условии задачи фигура является правильной, то есть обладает высокой симметрией, то все углы при основании равны друг другу. Также являются одинаковыми углы, образованные боковыми гранями. Чтобы вычислить необходимые двугранные углы, найдем направляющие векторы для основания и двух боковых плоскостей. Обозначим длину стороны основания буквой a, а высоту h.

Рисунок выше показывает четырехугольную правильную пирамиду. Выпишем координаты точек A, B, C и D в соответствии с введенной системой координат:

Теперь найдем направляющие векторы для плоскостей основания ABC и двух боковых сторон ABD и BCD в соответствии с изложенной в пункте выше методикой:

Теперь остается применить соответствующую формулу для угла φ и подставить значения стороны и высоты из условия задачи:

Угол между ABC и ABD:

Угол между ABD и BDC:

φ = arccos(a4/(4*a2*(h2+a2/4)) = arccos(a2/(4*(h2+a2/4))) = 81,49o

Мы вычислили значения углов, которые требовалось найти по условию задачи. Полученные при решении задачи формулы можно использовать для определения двугранных углов четырехугольных правильных пирамид с любыми значениями a и h.

Углы треугольной правильной пирамиды

На рисунке ниже дана пирамида, основанием которой является правильный треугольник. Известно, что двугранный угол между боковыми сторонами является прямым. Необходимо вычислить площадь основания, если известно, что высота фигуры равна 15 см.

Двугранный угол, равный 90o, на рисунке обозначен как ABC. Решить задачу можно, применяя изложенную методику, однако в данном случае поступим проще. Обозначим сторону треугольника a, высоту фигуры — h, апофему — hb и боковое ребро — b. Теперь можно записать следующие формулы:

Поскольку два боковых треугольника в пирамиде являются одинаковыми, то стороны AB и CB равны и являются катетами треугольника ABC. Обозначим их длину x, тогда:

Приравнивая площади боковых треугольников и подставляя апофему в соответствующее выражение, имеем:

Площадь равностороннего треугольника рассчитывается так:

Подставляем значение высоты из условия задачи, получаем ответ: S = 584,567 см2.

Пирамида и ее элементы

Здесь собраны основные сведения о пирамидах и связанных с ней формулах и понятиях. Все они изучаются с репетитором по математике при подготовке к ЕГЭ.

Рассмотрим плоскость , многоугольник , лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Отрезки называются боковыми ребрами. Многоугольник называется основанием, а точка S — вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), птяиугольной (n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды – тетраэдр. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к плоскости основания.

Пирамида называется правильной, если правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.

Комментарий репетитора:
Не путайте понятие «правильная пирамида» и «правильный тетраэдр». У правильной пирамиды боковые ребра совсем не обязательно равны ребрам основания, а в правильном тетраэдре все 6 ребер ребра равные. Это его определение. Легко доказать, что из равенства следует совпадение центра P многоугольника с основанием высоты, поэтому правильный тетраэдр является правильной пирамидой.

Что такое апофема?
Апофемой пирамиды называется высота ее боковой грани. Если пирамида правильная, то все ее апофемы равны. Обратное неверно.

Репетитор по математике о своей терминологии: работа с пирамидами на 80% строится через два вида треугольников:
1) Содержащий апофему SK и высоту SP
2) Содержащий боковое ребро SA и его проекцию PA

Чтобы упростить ссылки на эти треугольники репетитору по математике удобнее называть первый из них апофемным, а второй реберным. К сожалению, этой терминологии вы не встретите ни в одном из учебников, и преподавателю приходится вводить ее в одностороннем порядке.

Формула объема пирамиды:
1) -высота пирамиды
2) – радиус вписанного шара, а – площадь полной поверхности пирамиды.
3) – площадь параллелограмма, образованного серединами четырех оставшихся ребер.

Свойство основания высоты пирамиды:

Точка P (смотри рисунок) совпадает с центром вписанной окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из следующих условий:
1) Все апофемы равны
2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию
3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды
4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням

Комментарий репетитора по математике: обратите внимание, что все пункты объединяет одно общее свойство: так или иначе везде участвуют боковые грани (апофемы — это их элементы). Поэтому репетитор может предложить менее точную, но более удобную для заучивания формулировку: точка P совпадает с центром вписанной окружности основание пирамиды, если имеется любая равная информация о ее боковых гранях. Для доказательства достаточно показать, что все апофемные треугольники равны.

Точка P совпадает с центром описанной около основания пирамиды окружностью, если верно одно их трех условий:
1) Все боковые ребра равны
2) Все боковые ребра одинаково наклонены к основанию
3) Все боковые ребра одинаково наклонены к высоте

Комментарий репетитора. Аналогично предыдущему пункту текст можно упростить и вместо этих условий произнести : «если имеется любая равная информация о боковых ребрах». При этом все апофемные треугольники будут равны все проекции боковых ребер будет равны P будет равноудалена от всех вершин основания и поэтому окажется центром описанной окружности.

Площадь полной поверхности пирамиды:
Полощадью поверности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней .
Если все апофемы равны (например в правильной пирамиде), то площадь ее боковой поверхности вычисляется по формуле , где p — полупериметр основания, а SK-апофема.

Правильная треугольная пирамида однозначно определяется двумя параметрами: один плоский, а другой пространственный: к плоскому я отношу любой элемент правильного треугольника (кроме угла), а к пространственному любой связующий параметр между основанием и точкой S: апофема, высота, углы наклона ребер, граней, объем, площадь поверхности и др. При наличие в условии задачи этих двух начальных данных репетитор с учеником может найти у такой пирамиды все что угодно.

Пирамида — обязательный пункт подготовки к ЕГЭ по математике. Програмный минимум по стереометрии включает в себя все вышеуказанные сведения, кроме третьей формулы вычисления объема пирамиды.

Колпаков Александр,
репетитор по математике в Москве. Строгино