Как найти модуль напряженности в центре кольца

Найти модуль и направление напряженности
поля в центре кольца радиуса а, по
которому однородно распределен зарядq>0, а в кольце
сделана прорезь ширинойb
<< a.

Решение.

Рассмотрим кольцо без прорези. Тогда в
силу симметрии в центре кольца поле
равно нулю. С другой стороны это поле
является суперпозицией поля кольца с
прорезью
и поле заряда в прорези(рис.):

,
откуда

Поле
,
в силу малости прорези, описывается
полем точечного заряда величинойq_b=qb/(2πa—b)qb/2πa,
имеет величину
и направлено от прорези. Поэтому
и направлено от центра кольца к
прорези.

Пример 1.7

Тонкое проволочное кольцо радиуса
мм имеет однородно распределенный зарядмк Кл. Каково будет приращение силы,
растягивающей проволоку, если в центре
кольца поместить точечный зарядмк Кл?

Решение.

Выберем на кольце элементарную дугу
с зарядом.
По закону Кулона сила взаимодействия
зарядовиравна,
где(— линейная плотность заряда).

В равновесии величина силы
равна равнодействующей приращения сил,
растягивающих проволоку.

Из подобия треугольников (см. рисунок)
имеем:

где
.

Выражая
,получим:

.

Пример 1.8

Кольцо радиуса
из тонкой проволоки имеет однородно
распределенный заряд.
Найдите модуль напряженности электрического
поля на оси кольца как функцию расстояниядо его центра. Исследуйтепри.

Решение.

Разобьем заряд кольца на бесконечно
малые элементы с зарядами
,
которые можно рассматривать как точечные.
На оси кольца выберем произвольную
точку с координатой.
Заряд
создаст в этой точке напряженность поля,
направление которого показано на
рисунке, а его величина равна:

.

Напряженность результирующего поля
найдем, воспользовавшись принципом
суперпозиции. В силу симметрии
результирующее поле будет направлено
вдоль оси
(см. рисунок). Поэтому,
где:

Учитывая, что
,
получим:

.

Суммируя вклады всех элементов кольца,
найдем для проекции результирующего
поля:

.

Рассмотрим напряженность поля на больших
расстояниях
.

,

т.е. на больших расстояниях система
ведет себя как точечный заряд.

График
представлен
на рисунке.

Точки, в которых напряженность поля
принимает максимальные значения, имеют
координаты.

Пример 1.9

Находящийся в вакууме тонкий прямой
стержень длины
заряжен однородно зарядом.Найдите модуль напряженности электрического
поля как функцию расстоянияr
от цента стержня до точки прямой,
совпадающей с осью стержня.
Исследуйте полученное выражение при
.

Решение.

Выделим на стержне элементарный заряд
,
находящийся на участке стержня,
на расстоянииот началакоординатной оси.
В произвольной точке на оси стержня с
координатойзарядсоздает напряженность полявеличиной:

Применяя принцип суперпозиции для
нахождения напряженности поля,
создаваемого стержнем в искомой точке,
получим:

График напряженности поля, создаваемого
заряженным стержнем на его оси представлен
на рисунке.

При
напряженность
поля
,
т.е. на больших расстояниях поле стержня
ведет себя как поле точечного зарядаq,помещенного в
центр стержня.

Пример 1.10

Тонкий прямой стержень заряжен с линейной
плотностью
,
гдедлина стержня,расстояние от конца стержня,положительная постоянная. Найдите
модуль напряженности электрического
поля при.

Решение.

Разобьем заряженный стержень на
бесконечно малые элементы
с зарядами

Каждый заряд
создает в точкенапряженность поля:

Все вектора
сонаправлены. Поэтому для нахождения
напряженности поля,
создаваемого всем заряженным стержнем
в точке,
применим принцип суперпозиции, суммируя
величины элементарных векторов:

Соседние файлы в папке Примеры решений

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

2018-05-14   

Тонкое непроводящее кольцо радиуса $R$ заряжено с линейной плотностью $lambda = lambda_{0} cos phi$, где $lambda_{0}$ — постоянная, $phi$ — азимутальный угол. Найти модуль вектора напряженности электрического поля:

а) в центре кольца;

б) на оси кольца в зависимости от расстояния $x$ до его центра. Исследовать полученное выражение при $x gg R$.

Решение:

(a) Данное распределение заряда показано на рис. Симметрия этого распределения означает, что вектор $vec{E}$ в точке О направлен вправо, а его величина равна сумме проекции на направление $vec{E}$ векторов $d vec{E}$ от элементарных зарядов $dq$. Проекция вектора $d vec{E}$ на вектор $vec{E}$ равна

$dE cos phi = frac{1}{4 pi epsilon_{0} } frac{dq}{R^{2} } cos phi$,

где $dq = lambda Rd phi = lambda_{0} R cos phi d phi$.

Интегрируя (1) по $phi$ между 0 и $2 pi$, найдем величину вектора $E$:

$E = frac{ lambda_{0} }{4 pi epsilon_{0}R } int_{0}^{ 2 pi} cos^{2} phi d phi = frac{ lambda_{0} }{4 epsilon_{0} R }$.

Следует отметить, что этот интеграл решается самым простым способом, если учесть, что $langle cos^{2} phi rangle = 1/2$. затем

$int_{0}^{ 2 pi} cos^{2} phi d phi = langle cos^{2} phi rangle 2 pi = pi$.

(б) Возьмем элемент $S$ с азимутальным углом $phi$ от оси х, причем элемент, находиться в центре под углом $d phi$.

Элементарное поле в точке P от элемента

$frac{ lambda_{0} cos phi d phi R }{4 pi epsilon_{0} (x^{2} + R^{2} ) }$ вдоль SP с компонентами

$frac{ lambda_{0} cos phi d phi R }{4 pi epsilon_{0} (x^{2} + R^{2} ) } times { cos theta вдоль OP, sin theta вдоль OS }$

где $cos theta = frac{x}{ sqrt{x^{2} + R^{2} } }$

Компонента вдоль OP исчезает при интегрировании $int_{0}^{ 2 pi} cos phi d phi = 0$

Компонент вдль OS может быть разбит на части вдоль OX и OY с помощью

$frac{ lambda_{0} R^{2} cos phi d phi }{4 pi epsilon_{0} (x^{2} + R^{2} )^{1/2} } times { cos theta вдоль OX, sin theta вдоль OY }$

Интегрируя, компонента вдоль оси OY исчезает.

Окончательно

$E = E_{x} = frac{ lambda_{0}R^{2} }{4 epsilon_{0} (x^{2} + R^{2} )^{3/2} }$

Для $x gg R$

$E_{x} = frac{p}{ 4 pi epsilon_{0} x^{3} }$ где $p = lambda_{0} pi R^{2}$

Как определить напряженность электрического поля в центре кольца?

Предложите, как улучшить StudyLib

(Для жалоб на нарушения авторских прав, используйте

другую форму
)