Как найти многочлен тождественно равный выражению - AvtoShod.ru

доказать тождество:

2t−(17−(t−7))=3(t−8)

Решение:

выпишем отдельно левую часть равенства и преобразуем, т. е. попытаемся доказать, что она равна правой части.

При раскрытии скобок (обеих) знаки поменяем, т. к. перед скобками стоит знак минус.

2t−(17−(t−7))=2t−17+(t−7)==2t¯−17+t¯−7=3t−24=3(t−8).

3(t−8)=3(t−8)

Получили, что левая часть исходного равенства равна правой.

Значит, исходное равенство — тождество.

Источник

Содержание:

Многочлен – это сумма одночленов, причем сам одночлен — это частный случай многочлена.

История многочелена:

Живший в 1050-1122 гг Омар Хаям известен в мире как мастер рубай. Однако имя Омара Хаяма также упоминается наряду с именами гениальных математиков. Именно Омар Хаям впервые представил общую формулу корней уравнения кубического многочлена

Многочлены от одной переменной и действия над ними

Определение многочленов от одной переменной и их тождественное равенство

Рассмотрим одночлен и многочлен, которые зависят только от одной переменной, например, от переменной

По определению одночлена числа и буквы (в нашем случае одна буква — ) в нем связаны только двумя действиями — умножением и возведением в натуральную степень. Если в этом одночлене произведение всех чисел записать перед буквой, а произведение всех степеней буквы записать как целую неотрицательную степень этой буквы (то есть записать одночлен в стандартном виде), то получим выражение вида , где — некоторое число. Поэтому одночлен от одной переменной — это выражение вида где — некоторое число, — целое неотрицательное число. Если то показатель степени переменной называется степенью одночлена. Например, — одночлен шестой степени, — одночлен второй степени. Если одночлен является числом, не равным нулю, то его степень считается равной нулю. Для одночлена, заданного числом 0, понятие степени не определяется (поскольку ).

По определению многочлен от одной переменной — это сумма одночленов от одной переменной . Поэтому

многочленом от одной переменной : называется выражение вида

(1)

где коэффициенты — некоторые числа.

Если , то этот многочлен называют многочленом степени от переменной . При этом член называют старшим членом многочлена , число — коэффициентом при старшем члене, а член — свободным членом. Например, — многочлен третьей степени, у которого свободный член равен 1, а коэффициент при старшем члене равен 5.

Заметим, что иногда нумерацию коэффициентов многочлена начинают с начала записи выражения (1), и тогда общий вид многочлена записывают так:

где — некоторые числа.

Теорема 1. Одночлены где и где , тождественно равны тогда и только тогда, когда и Одночлен тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда

Поскольку равенство одночленов

(2)

выполняется при всех значениях (по условию эти одночлены тождественно равны), то, подставляя в это равенство , получаем, что Сокращая обе части равенства (2) на (где по условию), получаем При из этого равенства имеем: Поскольку 2 то равенство возможно только тогда, когда Таким образом, из тождественного равенства получаем, что и Если известно, что для всех то при получаем Поэтому одночлен тождественно равен нулю при (тогда ).

Далее любой одночлен вида будем заменять на 0.

Теорема 2. Если многочлен тождественно равен нулю (то есть принимает нулевые значения при всех значениях ), то все его коэффициенты равны нулю.

Значком обозначено тождественное равенство многочленов.

Для доказательства используем метод математической индукции. Пусть

При имеем поэтому То есть в этом случае утверждение теоремы выполняется.

Предположим, что при это утверждение также выполняется: если многочлен то

Докажем, что данное утверждение выполняется и при Пусть (3)

Поскольку равенство (3) выполняется при всех значениях , то, подставляя в это равенство получаем, что Тогда равенство (3) обращается в следующее равенство: Вынесем в левой части этого равенства за скобки и получим

(4)

Равенство (4) должно выполняться при всех значениях . Для того чтобы оно выполнялось при должно выполняться тождество

В левой части этого тождества стоит многочлен со степенями переменной от до Тогда по предположению индукции все его коэффициенты равны нулю: Но мы также доказали, что поэтому наше утверждение выполняется и при Таким образом, утверждение теоремы справедливо для любого целого неотрицательного то есть для всех многочленов.

Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, обычно называют нулевым многочленом, или нуль-многочленом, и обозначают или просто (поскольку ).

Теорема 3. Если два многочлена и тождественно равны, то они совпадают (то есть их степени одинаковы и коэффициенты при одинаковых степенях равны).

Пусть многочлен , а многочлен Рассмотрим многочлен Поскольку многочлены и по условию тождественно равны, то многочлен тождественно равен 0. Таким образом, все его коэффициенты равны нулю.

Но Тогда Отсюда Как видим, если допустить, что у какого-то из двух данных многочленов степень выше, чем у второго многочлена (например, больше ), то коэффициенты разности будут равны нулю. Поэтому начиная с (-го номера все коэффициенты также будут равны нулю. То есть действительно многочлены и

имеют одинаковую степень и соответственно равные коэффициенты при одинаковых степенях.

Теорема 3 является основанием так называемого метода неопределенных коэффициентов. Покажем его применение на следующем примере.

Пример:

Докажите, что выражение

является полным квадратом.

Решение:

► Данное выражение может быть записано в виде многочлена четвертой степени, поэтому оно может быть полным квадратом только многочлена второй степени вида Получаем тождество:

(5)

Раскрывая скобки в левой и правой частях этого тождества и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем систему равенств. Этот этап решения удобно оформлять в следующем виде:

Из первого равенства получаем или

При из второго равенства имеем а из третьего — Как видим, при этих значениях и последние два равенства также выполняются. Следовательно, тождество (5) выполняется при (аналогично можно также получить ). Таким образом,

Действия над многочленами. Деление многочлена на многочлен с остатком

Сложение и умножение многочленов от одной переменной выполняется с помощью известных правил сложения и умножения многочленов. В результате выполнения действий сложения или умножения над многочленами от одной переменной всегда получаем многочлен от той же переменной.

Из определения произведения двух многочленов вытекает, что старший член произведения двух многочленов равен произведению старших членов множителей, а свободный член произведения равен произведению свободных членов множителей. Отсюда получаем, что степень произведения двух многочленов равна сумме степеней множителей.

При сложении многочленов одной степени получаем многочлен этой же степени, хотя иногда можно получить многочлен меньшей степени. Например, При сложении многочленов разных степеней всегда получаем многочлен, степень которого равна большей степени слагаемого.

Например, Деление многочлена на многочлен определяется аналогично делению целых чисел. Напомним, что целое число делится на целое число если существует такое целое число что

Определение: Многочлен делится на многочлен (где — не нулевой многочлен), если существует такой многочлен что

Как и для целых чисел, операция деления многочлена на многочлен выполняется не всегда, поэтому во множестве многочленов вводится операция деления с остатком. Говорят, что

многочлен делится на многочлен (где — не нулевой многочлен) с остатком, если существует такая пара многочленов и что причем степень остатка меньше степени делителя (в этом случае многочлен называют неполным частным.)

Например, поскольку то при делении многочлена на многочлен получаем неполное частное : и остаток 2.

Иногда деление многочлена на многочлен удобно выполнять «уголком», как и деление многозначных чисел, пользуясь следующим алгоритмом.

Пример №1

Разделим многочлен на многочлен

Решение:

Докажем, что полученный результат действительно является результатом деления на с остатком.

Если обозначить результат выполнения первого шага алгоритма через второго шага — через третьего — через то операцию деления, выполненную выше, можно записать в виде системы равенств:

(1)

(2)

(3)

Сложим почленно равенства (1), (2), (3) и получим

(4)

Учитывая, что степень многочлена меньше степени делителя обозначим (остаток), а (неполное частное). Тогда из равенства (4) имеем: то есть

а это и означает, что мы разделили на с остатком.

Очевидно, что приведенное обоснование можно провести для любой пары многочленов и в случае их деления столбиком. Поэтому описанный выше алгоритм позволяет для любых делимого и делителя (где — не нулевой многочлен) найти неполное частное и остаток

Отметим, что в случае, когда степень делимого меньше степени делителя , считают, что неполное частное а остаток

Теорема Безу. Корни многочлена. Формулы Виета

Рассмотрим деление многочлена на двучлен Поскольку степень делителя равна 1, то степень остатка, который мы получим, должна быть меньше 1, то есть в этом случае остатком будет некоторое число R. Таким образом, если разделить многочлен на двучлен , то получим

Это равенство выполняется тождественно, то есть при любом значении При имеем Полученный результат называют теоремой Безу.

Теорема 1 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена на двучлен равен (то есть значению многочлена при ).

Пример №2

Докажите, что делится на без остатка.

Решение:

► Подставив в вместо значение 1, получаем: . Таким образом, остаток от деления на равен 0, то есть делится на без остатка. <]

Определение: Число называют корнем многочлена если

Если многочлен делится на то — корень этого многочлена.

Безу Этьен (1730-1783) — французский математик, внесший значительный вклад в развитие теории алгебраических уравнений.

Действительно, если делится на то и поэтому Таким образом, — корень многочлена

Справедливо и обратное утверждение. Оно является следствием теоремы Безу.

Теорема 2. Если число является корнем многочлена то этот многочлен делится на двучлен без остатка.

По теореме Безу остаток от деления на равен Но по условию — корень таким образом,

Обобщением теоремы 2 является следующее утверждение.

Теорема 3. Если многочлен имеет попарно разные корни то он делится без остатка на произведение

Для доказательства используем метод математической индукции.

При утверждение доказано в теореме 2.

Допустим, что утверждение справедливо при То есть если попарно разные корни многочлена то он делится на произведение Тогда

(1)

Докажем, что утверждение теоремы справедливо и при Пусть — попарно разные корни многочлена Поскольку — корень то . Принимая во внимание равенство (1), которое выполняется согласно допущению индукции, получаем:

По условию все корни разные, поэтому ни одно из чисел не равно нулю. Тогда Таким образом, — корень многочлена Тогда по теореме 2 многочлен делится на то есть и из равенства (1) имеем

Это означает, что делится на произведение

то есть теорема доказана и при

Таким образом, теорема справедлива для любого натурального

Следствие. Многочлен степени имеет не больше разных корней.

Допустим, что многочлен степени имеет разных корней: Тогда делится на произведение многочлен степени но это невозможно. Поэтому многочлен степени не может иметь больше чем корней.

Пусть теперь многочлен степени имеет разных корней Тогда этот многочлен делится без остатка на произведение Это произведение является многочленом той же

степени. Таким образом, в результате деления можно получить только многочлен нулевой степени, то есть число. Таким образом,

(2)

Если раскрыть скобки в правой части равенства (2) и приравнять коэффициенты при старших степенях, то получим, что то есть

(3)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях тождества (3), получаем соотношения между коэффициентами уравнения и его корнями, которые называют формулами Виета:

(4)

Например, при имеем:

а при

(5)

Выполнение таких равенств является необходимым и достаточным

условием того, чтобы числа были корнями многочлена

Формулы (3) и (4) справедливы не только для случая, когда все корни многочлена разные. Введем понятие кратного корня многочлена.

Если многочлен делится без остатка на но не делится без остатка на то говорят, что число является корнем кратности многочлена

Например, если произведение записать в виде многочлена, то для этого многочлена число является корнем кратности 3, число 1 — корнем кратности 2, а число — корнем кратности 1.

При использовании формул Виета в случае кратных корней необходимо каждый корень записать такое количество раз, которое равно его кратности.

Пример №3

Проверьте справедливость формул Виета для многочлена

Решение:

►

Поэтому имеет корни: (поскольку — корень кратности 2).

Проверим справедливость формулы (5). В нашем случае: Тогда

Как видим, все равенства выполняются, поэтому формулы Виета справедливы для данного многочлена.

Пример №4

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней уравнения

Решение:

► Обозначим корни уравнения через и Тогда корнями искомого уравнения должны быть числа и Поэтому искомое уравнение имеет вид где

По формулам Виета имеем Отсюда находим, что а Таким образом, искомое уравнение имеет вид

Схема Горнера

Делить многочлен на двучлен иногда удобно с помощью

специальной схемы, которую называют схемой Горнера.

Пусть многочлен необходимо разделить на двучлен В результате деления многочлена степени на многочлен первой степени получим некоторый многочлен степени (то есть , где ) и остаток Тогда то есть

Левая и правая части полученного равенства тождественно равны, поэтому, перемножив многочлены, стоящие в правой части, можем приравнять коэффициенты при соответствующих степенях

Найдем из этих равенств коэффициенты и остаток

Как видим, первый коэффициент неполного частного равен первому коэффициенту делимого. Остальные коэффициенты неполного частного и остаток находятся одинаково: для того чтобы найти коэффициент неполного частного, достаточно предыдущий найденный коэффициент умножить на и добавить коэффициент делимого. Эту процедуру целесообразно оформлять в виде специальной схемы-таблицы, которую называют схемой Горнера.

Пример №5

Разделите по схеме Горнера многочлен на двучлен

Решение:

► Запишем сначала все коэффициенты многочлена (если в данном многочлене пропущена степень 2, то соответствующий коэффициент считаем равным 0), а потом найдем коэффициенты неполного частного и остаток по указанной схеме:

Таким образом,

Пример №6

Проверьте, является ли корнем многочлена

Решение:

► По теореме Безу остаток от деления многочлена на равен поэтому найдем с помощью схемы Горнера остаток от деления на

Поскольку то — корень многочлена

Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами

Теорема 4. Если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень , то является делителем свободного члена a — делителем коэффициента при старшем члене

Если является корнем многочлена то Подставляем

вместо в и из последнего равенства имеем

(1)

Умножим обе части равенства (1) на Получаем

(2)

В равенстве (2) все слагаемые, кроме последнего, делятся на Поэтому делится на

Но когда мы записываем рациональное число в виде то эта дробь считается несократимой, то есть и не имеют общих делителей. Произведение может делиться на (если и — взаимно простые числа) только тогда, когда делится на Таким образом, — делитель свободного члена

Аналогично все слагаемые равенства (2), кроме первого, делятся на Тогда делится на Поскольку и взаимно простые числа, то делится на , следовательно, — делитель коэффициента при старшем члене.

Отметим два следствия из этой теоремы. Если взять то корнем многочлена будет целое число — делитель Таким образом, имеет место:

Следствие 1. Любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Если в заданном многочлене коэффициент то делителями могут быть только числа то есть и имеет место:

Следствие 2. Если коэффициент при старшем члене уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни этого уравнения (если они существуют) — целые числа.

Пример №7

Найдите рациональные корни многочлена

Решение:

► Пусть несократимая дробь является корнем многочлена. Тогда необходимо искать среди делителей свободного члена, то есть среди чисел a — среди делителей старшего коэффициента:

Таким образом, рациональные корни многочлена необходимо искать среди чисел Проверять, является ли данное число корнем многочлена, целесообразно с помощью схемы Горнера.

При имеем следующую таблицу.

Кроме того, по схеме Горнера можно записать, что

Многочлен не имеет действительных корней (а тем более рациональных), поэтому заданный многочлен имеет единственный рациональный корень

Пример №8

Разложите многочлен на множители.

Решение:

► Ищем целые корни многочлена среди делителей свободного члена:

Подходит 1. Делим на с помощью схемы Горнера.

Тогда

Ищем целые корни кубического многочлена среди делителей его свободного члена: Подходит Делим на

Имеем

Квадратный трехчлен не имеет действительных корней и на линейные множители не раскладывается.

Ответ:

Отметим, что во множестве действительных чисел не всегда можно найти все корни многочлена (например, квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Таким образом, многочлен степени не всегда можно разложить на произведение линейных множителей. Но многочлен нечетной степени всегда можно разложить на произведение линейных и квадратных множителей, а многочлен четной степени — на произведение квадратных трехчленов.

Например, многочлен четвертой степени раскладывается на произведение двух квадратных трехчленов. Для нахождения коэффициентов этого разложения иногда можно применить метод неопределенных коэффициентов.

Пример №9

Разложите на множители многочлен

Решение:

► Попытка найти рациональные корни ничего не дает: многочлен не имеет рациональных (целых) корней.

Попытаемся разложить этот многочлен на произведение двух квадратных трехчленов. Поскольку старший коэффициент многочлена равен 1, то и у квадратных трехчленов возьмем старшие коэффициенты равными 1. То есть будем искать разложение нашего многочлена в виде:

(3)

где и — неопределенные (пока что) коэффициенты. Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого равенства, тождественно равны, поэтому и коэффициенты при одинаковых степенях у них равны. Раскроем скобки в правой части равенства и приравняем соответствующие коэффициенты. Это удобно записать так:

Получаем систему

(4)

Попытка решить эту систему методом подстановки приводит к уравнению 4-й степени, поэтому попробуем решить систему (4) в целых числах. Из последнего равенства системы (4) получаем, что и могут быть только делителями числа 6. Все возможные варианты запишем в таблицу.

Коэффициенты и в равенстве (3) равноправны, поэтому мы не рассматриваем случаи и или и и т. д.

Для каждой пары значений и из третьего равенства системы (4) найдем а из второго равенства имеем Зная и по теореме, обратной теореме Виета, находим а и с как корни квадратного уравнения. Найденные таким образом значения подставим в четвертое равенство системы (4) чтобы выбрать те числа, которые являются решениями системы (4). Удобно эти рассуждения оформить в виде таблицы:

Как видим, системе (4) удовлетворяет набор целых чисел Тогда равенство (3) имеет вид

(5)

Поскольку квадратные трехчлены и не имеют не только рациональных, но и действительных корней, то равенство (5) дает окончательный ответ.

Деление многочлена на многочлен

Задача. Объём подарочных коробок, размеры которых даны в сантиметрах, можно смоделировать функцией — положительное целое число и . Если высоты коробок можно определить при помощи линейной функции , то как можно выразить другие размеры коробки в виде многочлена? Вы сможете решить эту задачу, изучив правило деления многочлена на многочлен.

Исследование. Изучите, как правило деления многозначных чисел столбиком можно применить при делении многочлена.

a) Для каждого из двух случаев укажите, какие числа и какие многочлены соответствуют понятиям делимое, делитель и частное.

b) Как был найден первый член при делении многочлена? Каковы сходные и отличительные черты данного деления и деления многозначных чисел?

c) Как вы убедились,что каждое из двух делений выполнено правильно?

Выражение вида называется многочленом степени от одной переменной. Здесь — переменная, — определенные числа и — старший член, — коэффициент при старшем члене, -свободный член. Многочлен можно разделить на многочлен аналогично правилу деления целых чисел столбиком.

Деление целого числа па целое число можно проверить равенством

Аналогичное правило справедливо и при делении многочлена на многочлен. Если многочлен -делимое, — делитель, — неполное частное, — остаток, то справедливо равенство

или .

Здесь, степень многочлена ниже степени многочлена Если делителем является двучлен , то остатком может являться определенное число

В этом случае:

Пример №10

а) Разделите многочлен на двучлен .

Ответ запишите в виде

b) Определите множество допустимых значений переменной.

c) Выполните проверку.

Решение:

b) При этом или , иначе возникает деление на нуль.

c) Должно выполняться тождество

Пример №11

Разделите на многочлен .

Решение:

запишем делимое в порядке убывания степеней. Введем в запись отсутствующие члены с коэффициентом равным 0.

Пример №12

1) Исследуйте деление столбиком многочлена на двучлен .

2) На каждом шаге деления делимое делится на старший член делителя, на и результат записывается в частное. Установите, как можно найти первый член при делении на каждом из следующих шагов.

Правило синтетического деления многочлена на двучлен (схема Горнера)

При делении многочлена на двучлен вида можно использовать метод, альтернативный делению столбиком — метод синтетического деления. При синтетическом делении, используя только коэффициенты, выполняется меньшее количество вычислений.

Пример №13

Разделите многочлен на двучлен методом синтетического деления.

Решение:

коэффициенты делимого записываются в порядке убывания степеней (отсутствующий член записывается с коэффициентом равным нулю). Если двучлен имеет вид , то его записывают в виде .

Запишем двучлен в виде .

Таким образом, для делимого и делителя частным будет , а остатком .

Деление можно записать в виде: В общем случае, правило синтетического деления (или схема Горнера) многочлена и-ой степени на двучлен х -т приведено в таблице ниже.

Теорема об остатке

Теорема об остатке (Теорема Безу)

Остаток от деления многочлена на двучлен равен значению многочлена в точке

Доказательство: В равенстве запишем . , тогда .

Пример №14

Найдите остаток от деления многочлена на двучлен , применив теорему об остатке.

Решение: запишем делитель в виде , тогда . По теореме об остатке получим, что остаток равен

Проверим решение.

Теорема о разложении многочлена на множители

Значения переменной , которые обращают многочлен в нуль (т.е. корни уравнения ), называются корнями (или нулями) многочлена.

Теорема. Если число является корнем многочлена , то двучлен является множителем многочлена .

Действительно, если , то из равенства имеем . Верно и обратное утверждение, т.е. если двучлен является множителем многочлена .

Пример №15

При помощи теоремы о разложении многочлена на множители определите, являются ли двучлены множителями многочлена .

Решение: вычислим значение многочлена при .

Значит, не является множителем, а является одним из множителей данного многочлена.

Пример №16

Зная, что , разложите многочлен на множители.

Решение: так как , то двучлен один из множителей многочлена . Другой множитель найдем, используя метод синтетического деления.

Учитывая, что получим: .

Отсюда получаем, что являются нулями многочлена.

Примечание: Если многочлен задан в виде (здесь ), то число является кратным корнем многочлена (повторяется раз). Например, если разложение многочлена на множители имеет вид , то число является корнем кратности 3.

Нахождение рациональных корней

Теорема о рациональных корнях

Если для многочлена с целыми коэффициентами существует рациональный корень, то этот корень имеет вид

Доказательство. Пусть несократимая дробь является корнем многочлена с целыми коэффициентами:

Умножим обе части равенства на

Так как в последнем равенстве каждый член, кроме члена , содержит множитель и каждый член, кроме члена , содержит множитель .то коэффициент должен делится на , а коэффициент должен делится на .

Пример №17

Найдите рациональные корни многочлена .

Решение: свободный член 6, старший коэффициент 2.

Для , запишем все возможные числа вида

, т.е. одним из множителей является двучлен . Другие множители найдем, используя синтетическое деление:

Так как, , получим, что являются корнями многочлена.

Следствие 1. Если старший коэффициент и многочлен имеет рациональный корень, то он является целым числом.

Следствие 2. Целые корни многочлена с целыми коэффициентами (если они имеются) являются делителями свободного члена.

Пример №18

Найдите корни многочлена

Решение: по теореме о рациональных корнях многочлена, целый корень данного многочлена (если он существует) надо искать среди делителей числа 5. Это числа ±5; ±1.

Запишем это короче при помощи синтетического деления и проверим, являются ли эти числа корнями многочлена.

Так как то, решив квадратное уравнение получим другие корни: Значит данный многочлен третьей степени имеет три корня:

Внимание! Если коэффициенты многочлена являются рациональными числами, то для нахождения рациональных корней уравнения сначала обе части уравнения надо умножить на такое число (отличное от нуля), чтобы коэффициенты стали целыми. Например, для нахождения корней многочлена

надо умножить все члены уравнения на 12, а затем решить полученное

уравнение

Для нахождения рациональных корней выполните следующие действия.

1. Записывается множество всех возможных дробей, числителями которых являются делители свободного члена, а знаменателями являются делители старшего коэффициента.

2. Из этих чисел выбирается число (обращающее значение многочлена в нуль), которое является корнем многочлена, т. е. определяется двучлен на который многочлен делится без остатка.

3. Для данного многочлена при помощи синтетического деления на двучлен определяется другой множитель.

4. Если другой множитель является квадратным трехчленом или его можно разложить при помощи формул сокращенного умножения, находятся другие корни. Иначе все линейные множители находятся синтетическим делением.

5. Возможно, что ни одно число из списка не будет нулем многочлена. В этом случае многочлен не имеет рациональных корней. Например, рациональными корнями многочлена могут являться числа ±1.

Проверим: Значит, многочлен не имеет рациональных корней.

Основная теорема алгебры

Покажем на примере, что многочлен ой степени имеет корней.

Пример №19

Найдите все корни многочлена

Решение: рациональными корнями данного многочлена (если они существуют), согласно правилу, могут являться числа ±1, ±5. Проверим:

Значит, является корнем данного многочлена Другие корни найдем синтетическим делением.

В выражении для множителя вновь применим теорему о рациональных корнях и синтетическое деление. Тогда Решим уравнение

( корень кратности 2);

Корни:

Во всех рассмотренных нами примерах уравнение ой степени всегда имеет корней, включая кратные корни (действительных или комплексных).

Теорема. Любой многочлен ненулевой степени имеет хотя бы один корень на множестве комплексных чисел.

Если является многочленом ненулевой степени с комплексными коэффициентами, то согласно основной теореме алгебры, у него есть хотя бы один корень По теореме о разложении многочлена на множители получим При этом многочлен имеет степень Если то если то согласно той же теореме, многочлен имеет хотя бы один корень. Обозначим его через тогда справедливо разложение где — многочлен степени Значит, можно записать Аналогично, если то при на основании той же теоремы, многочлен имеет хотя бы один корень. Обозначим его через получим т. е. можно записать

Продолжая процесс раз, получаем Тогда для многочлена можно записать следующее разложение:

здесь числа являются нулями многочлена Эти нули могут и не быть различными.

Следствие. Многочлен ой степени на множестве комплексных чисел имеет ровно корней, включая кратные корни.

Отметим, что если комплексное число является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное комплексное число гак же является корнем данного многочлена.

Любой многочлен с действительными коэффициентами можно представить в виде произведения двучленов вида соответствующих действительным корням, и трехчленов вида соответствующих сопряженным комплексным корням.

Отсюда можно сделать вывод, что многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами всегда имеет действительные корни.

Пример №20

Запишите в виде произведения множителей многочлен наименьшей степени, если коэффициент при старшем члене равен 2, а корни равны 3 и

Решение: так как число является корнем многочлена, то сопряженное комплексное число также является корнем этого многочлена. Тогда искомый многочлен можно записать в виде

Заказать решение задач по высшей математике

Пример №21

При движении скоростной карусели в Лунапарке изменение высоты (в метрах) кабины от нулевого уровня за первые 5 секунд можно смоделировать функцией В какие моменты в течении 5 секунд после начала движения кабина карусели находилась на нулевом уровне?

Решение: во всех случаях, кроме значений равных нулю, кабина карусели находится либо ниже, либо выше нулевого уровня. Значит, мы должны найти корни заданного многочлена. Применим правило нахождения рациональных корней.

1. Проверим, является ли число корнем.

2. Число является корнем, значит одним из множителей данного многочлена является Другие корни найдем при помощи синтетического деления.

Учитывая, что запишем многочлен в виде т. е. являются корнями уравнения. Значения принадлежат временному интервалу в 5 секунд, и в этих моментах кабина карусели находилась на нулевом уровне. То, что корни найдены верно показывает график многочлена, построенный при помощи графкалькулягора.

Функция-многочлен

График функции-многочлен

В стандартном виде функция — многочлен записывается как В частном случае, при получаем линейную функцию (график — прямая линия), при получаем квадратичную функцию (график- парабола). Любой многочлен определен на множестве действительных чисел и его графиком является непрерывная (сплошная) линия.

При возрастании значений аргумента по абсолютному значению многочлен ведет себя как функция старшего члена Ниже показаны примеры графиков функции — многочлен и их свойства.

Пример №22

Определите характер поведения функции — многочлен в зависимости от степени и коэффициента при старшем члене при возрастании аргумента по абсолютному значению.

a) б)

Решение: а) степень многочлена нечетная (равна 3). Коэффициент старшего члена равен По таблице видно, что в данном случае при а при

b) степень многочлена четная (равна 4). Коэффициент старшего члена равен 1. В данном случае при при

Пример №23

По графику определите как ведет себя функция — многочлен при неограниченном возрастании аргументов но абсолютному значению, четность или нечетность степени многочлена, знак коэффициента старшего члена.

Решение:

при

Многочлен нечетной степени

Решение:

при

Многочлен четной степени

Отметим, что если нечетно, то функция — многочлен имеет хотя бы один действительный нуль, если четно, то их вообще может и не быть.

Алгоритм построения эскиза графика функции — многочлен.

1. Находятся точки пересечения графика с осями координат (если они есть). Эти точки отмечаются на координатной плоскости.

2. Вычисляются значения функции в некоторых точках между действительными нулями. Соответствующие точки отмечаются на координатной плоскости.

3. Определяется поведение графика при больших значениях аргумента по абсолютному значению.

4. На основе полученных данных строят схематически график.

Пример №24

Постройте график функции

Решение:

1. Применим теорему о рациональных корнях. Разложим многочлен на множители и найдем нули функции.

По теореме возможные рациональные нули надо искать среди чисел, которые являются делителями числа

Проверим

Значит, двучлен является одним из множителей. Остальные множители найдем синтетическим делением.

Зная, что запишем все линейные множители многочлена:

Отсюда находим нули Т. е. график пересекает ось абсцисс в точках и Так как то точка является точкой пересечения с осью Отметим эти точки на координатной плоскости.

2. Найдем еще несколько значений функции в точках, не требующих сложных вычислений. Например, в точках и

Отметим точки

3. Определим, как меняется график при уменьшении или увеличении значений Степень при старшем члене равна 3, а коэффициент положителен, функция нечетная. Значит, при при

4. Соединим отмеченные точки и получим схематический график функции

Рациональная функция

Рациональной функцией называется функция, которою можно представить в виде отношения двух многочленов:

Самым простым примером рациональной функции является функция

График функции называется гиперболой.

При стремлении значений к нулю точки гиперболы стремятся к оси ординат, т е. к прямой при неограниченном увеличении но абсолютному значению точки гиперболы неограниченно приближаются к оси абсцисс, т. е. к прямой Прямая называется вертикальной асимптотой, а прямая называется горизонтальной асимптотой гиперболы При параллельном переносе гиперболы на вектор получается график функции . В этом случае начало координат преобразуется в точку и вертикальной асимптотой становится прямая а горизонтальной- прямая

Пример №25

Постройте график функции

Решение: точки пересечения с осью найдем из уравнения

При получим и график пересекает ось в точке Разделим почленно числитель функции на знаменатель и запишем ее в виде Прямая является вертикальной асимптотой, а прямая — горизонтальной асимптотой. Зададим таблицу значений для нескольких точек справа и слева от вертикальной асимптоты

Отметим на координатной плоскости точки, соответствующие парам значений из таблицы и, учитывая горизонтальную и вертикальную асимптоту, изобразим ветви гиперболы, которые пересекают координатные оси в точках и

В общем случае, для построения графика рациональной функции надо найти точки пересечения с осями координат (если они есть) и ее асимптоты. Если выражение, которое задает рациональную функцию, имеет вид дроби, знаменатель которой обращается в нуль в точке а числитель отличен от нуля, то данная функция имеет вертикальную асимптоту. Горизонтальные асимптоты для рациональной функции определяются в соответствии со степенью и данных многочленов и

Для т. е. если степень многочлена в числителе на 1 единицу больше степени многочлена в знаменателе, частное, полученное при делении, имеет вид и является линейной функцией. При возрастании по абсолютному значению график функции приближается к данной прямой. В этом случае говорят, что прямая является наклонной асимптотой.

Пример №26

Найдите асимптоты и схематично изобразите график функции

Решение: Точки пересечения с осью найдем из уравнения При получим и график пересекает ось в точке При знаменатель обращается в нуль, а числитель отличен от нуля. Значит, прямая является вертикальной асимптотой. Горизонтальной асимптоты у данной функции нет Разделив числитель на знаменатель, запишем функцию в виде:

Для больших, но модулю, значений дробь по абсолютному значению уменьшается и график заданной функции бесконечно приближается к прямой т. е. прямая является наклонной асимптотой данной функции. Составим таблицу значений для некоторых точек слева и справа от вертикальной оси.

Отметим точки, координаты которых соответствуют парам из таблицы. Учитывая вертикальную и наклонную асимптоту, схематично изобразим график функции.

Многочлены в линейной алгебре

Многочленом от переменной х степени n называется выражение вида:

, где — действительные или комплексные числа, называемые коэффициентами, n — натуральное число, х — переменная величина, принимающая произвольные числовые значения.

Если коэффициент примногочлена отличен от нуля, а коэффициенты при более высоких степенях равны нулю, то число n называется степенью многочлена, — старшим коэффициентом, а — старшим членом многочлена. Коэффициент называется свободным членом. Если все коэффициенты многочлена равны нулю, то многочлен называется нулевым и обозначается 0. Степень нулевого многочлена не определена.

Два многочлена называются равными, если они имеют одинаковую степень и коэффициенты при одинаковых степенях равны.

Суммой многочленов и называется многочлен

Произведением многочленов и называется многочлен:

Легко проверить, что сложение и умножение многочленов ассоциативно, коммутативно и связаны между собой законом дистрибутивности.

Многочлен называется делителем многочлена , если существует многочлен такой, что

Теорема о делении с остатком

Для любых многочленов существуют многочлены такие, что причем степень меньше степени g(x) или. Многочлены g(x) и r(x) определены однозначно.

Многочлены g(x) и r(x) называются соответственно частным и остатком. Если g(x) делит , то остаток .

Число с называется корнем многочлена , если .

Теорема Безу

Число с является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится на x — с.

Пусть с — корень многочлена , т.е.. Разделим на

где степень r(х) меньше степени (x-с) которая равна 1. Значит, степень г(х) равна 0, т.е. r(х) = const. Значит, . Так как , то из последнего равенства следует, что r=0, т.е.

Обратно, пусть (х-с) делит , т.е. . Тогда

Следствие. Остаток от деления многочлена на (x-с) равен .

Многочлены первой степени называются линейными многочленами. Теорема Безу показывает, что разыскание корней многочлена равносильно разысканию его линейных делителей со старшим коэффициентом 1.

Многочлен можно разделить на линейный многочлен х-с с помощью алгоритма деления с остатком, но существует более удобный способ деления, известный под названием схемы Горнера.

Пусть и пусть где Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной с левой и правой частях последнего равенства, имеем:

Число с-называется корнем кратности к многочлена , если делит , но уже не делит .

Чтобы поверить, будет ли число с корнем многочлена и какой кратности, можно воспользоваться схемой Горнера. Сначала делится на х-с, затем, если остаток равен нулю, полученное частное делится на х-с, и т.д. до получения не нулевого остатка.

Число различных корней многочлена не превосходит его степени.

Большое значение имеет следующая основная теорема.

Основная теорема. Всякий многочлен с числовыми коэффициентами ненулевой степени имеет хотя бы один корень (может быть комплексный).

Следствие. Всякий многочлен степени имеет в С (множестве комплексный чисел) столько корней, какова его степень, считая каждый корень столько раз, какова его кратность.

где — корни , т.е. во множестве С всякий многочлен разлагается в произведение линейных множителей. Если одинаковые множители собрать вместе, то: где уже различные корни , — кратность корня

Если многочлен , с действительными коэффициентами имеет корень с, то число с также корень

Значит, у многочлена с действительными коэффициентами комплексные корни входят парами.

Следствие. Многочлен с действительными коэффициентами нечетной степени имеет нечетное число действительных корней.

Пусть корни Тогда делится на х-с и , но так как у и х-с, нет общих делителей, то делится на произведение

Утверждение 2. Многочлен с действительными коэффициентами степени всегда разлагается на множестве действительных чисел в произведение линейных многочленов, отвечающих его вещественным корням, и многочленов 2-ой степени, отвечающих паре сопряженных комплексных корней.

При вычислении интегралов от рациональных функций нам понадобится представление рациональной дроби в виде суммы простейших.

Рациональной дробью называется дробь где многочлены с действительными коэффициентами, причем многочлен Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Если рациональная дробь не является правильной, то, произведя деление числителя на знаменатель по правилу деления многочленов, ее можно представить в виде некоторые многочлены, а правильная рациональная дробь.

Лемма 1, Если правильная рациональная дробь, а число является вещественным корнем кратности многочлена , т.е., то существует вещественное число A и многочлен с вещественными коэффициентами, такие, что где дробь является правильной.

При этом несложно показать, что полученное выражение является рациональной дробью с вещественными коэффициентами.

Лемма 2. Если правильная рациональная дробь, а числоявляется корнем кратности многочлена g(x), т.е. и если , то существуют вещественные числа M и N многочлен с вещественными коэффициентами, такие, где дробь , также является правильной.

Рациональные дроби вида — трехчлен с действительными коэффициентами, не имеющий действительных корней, называются простейшими (или элементарными) дробями.

Всякая правильная рациональная дробь представима единственным образом в виде суммы простейших дробей.

При практическом получении такого разложения оказывается удобным так называемый метод неопределенных коэффициентов.

Он состоит в следующем:

При этом если степень многочлена равна n, то в числителе после приведения к общему знаменателю получается многочлен степени n-1, т.е. многочлен коэффициентами.

Число неизвестных ‘ также равняется n:

Таким образом, получается система n уравнений с n неизвестными. Существование решения у этой системы следует из приведенной выше теоремы.

Квадратичные формы — определение и понятие
Системы линейных уравнений с примерами
Линейное программирование
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Кривые второго порядка
Евклидово пространство
Матрица — виды, операции и действия с примерами
Линейный оператор — свойства и определение

Источник

10. Многочлены от одной переменной и действия над ними.

10.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ ТОЖДЕСТВЕННОЕ РАВЕНСТВО

Рассмотрим одночлен и многочлен, которые зависят только от одной переменной, например от переменной х.

По определению одночлена числа и буквы (в нашем случае одна буква — х) в нем связаны только двумя действиями — умножением и возведением в натуральную степень. Если в этом одночлене произведение всех чисел записать перед буквой, а произведение всех степеней буквы записать как целую неотрицательную степень этой буквы (то есть записать одночлен в стандартном виде), то получим выражение вида ахⁿ, где а — некоторое число. Поэтому одночлен от одной переменной х — это выражение вида ах^п, где а — некоторое число, п — целое неотрицательное число. Если а 0, то показатель степени п переменной х называется степенью одночлена. Например, 25х⁶ —одночлен шестой степени, — х²/3— одночлен второй степени. Если одночлен является числом, не равным нулю, то его степень считается равной нулю. Для одночлена, заданного числом 0, понятие степени не определяется (поскольку 0 = 0 • х = 0 • х² = 0 • х³…).

По определению многочлен от одной переменной х — это сумма одночленов от одной переменной х (в которой приведены подобные слагаемые, то есть все одночлены-слагаемые имеют различную степень). Поэтому

Определение 1. Многочленом от одной переменной х называется выражение вида

f (х) = а_nхⁿ + а_n-1 хⁿ^-1 + … + а₂х²+а₁х +а₀, (1)

где коэффициенты а_n_,а_{n-1, ….,}а_{0 –}некоторые числа_.

Если а_n 0, то этот многочлен называют многочленом п-й степени от переменной х. При этом член а_nх^п называют старшим членом многочлена f (х), число а_n — коэффициентом при старшем члене, а член а₀ — свободным членом. Например, 5х³ — 2х + 1 — многочлен третьей степени, у которого свободный член равен 1, а коэффициент при старшем члене равен 5.

Заметим, что иногда нумерацию коэффициентов многочлена начинают с начала записи выражения (1), и тогда общий вид многочлена f (х) записывают так:

f (x) = b₀xⁿ + b₁xⁿ ^—¹ + … + b_n _{— 1}x + b_n, где b₀, b₁, …, b_n — некоторые числа.

Т е о р е м а 1. Одночлены ахⁿ, где а ≠ 0, и bx^m, где b ≠ 0, тождественно равны тогда и только тогда, когда а = b и п = т.д.

Одночлен ахⁿ тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда а = 0.

Поскольку равенство одночленов

aхⁿ = bхⁿ (2)

выполняется при всех значениях х (по условию эти одночлены тождественно равны), то, подставляя в это равенство х = 1, получаем, что a = b. Сокращая обе части равенства (2) на a (где a ≠ 0 по условию), получаем xⁿ =x^m . При х = 2 из этого равенства имеем: 2ⁿ = 2^m. Поскольку 2ⁿ = 2• 2•… • 2 (n раз),

а 2^m = 2 • 2 •… • 2 (m раз), то равенство 2ⁿ = 2^m возможно только тогда, когда n = m.

Таким образом, из тождественного равенства axⁿ = bx^m (a 0, b 0) получаем, что a = b и n = m.

Если известно, что axⁿ = 0 для всех х, то при х = 1 получаем a = 0. Поэтому одночлен ax^п тождественно равен нулю при a = 0 (тогда axⁿ = 0 • xⁿ = 0).

Далее любой одночлен вида 0 • хⁿ будем заменять на 0.

Т е о р ем а 2. Если многочлен f (x) тождественно равен нулю (то
есть принимает нулевые значения при всех значениях х), то все
его коэффициенты равны нулю.

Для доказательства используем метод математической индукции.

Пусть f (x) = a_nхⁿ + a_n-1х^n-1 + … + a₁х + a₀ = 0 (тождественно).

При n = 0 имеем f (х) = a₀ = 0, поэтому a₀ = 0. То есть в этом случае утверждение теоремы выполняется.

Предположим, что при n = k это утверждение также выполняется: если многочлен a_kх^k + a_k_-1х^k-1 + … + a₁х + a₀ тождественно равен 0, то

a_k = a_k _—₁ = … = a₁ = a₀ = 0.

Докажем, что данное утверждение выполняется и при n = k + 1. Пусть

f (x) = a_k+1x^k + a_kх^k + … + a₁х + a₀ = 0. (3)

Поскольку равенство (3) выполняется при всех значениях х, то, подставляя в это равенство х = 0, получаем, что a₀ = 0. Тогда равенство (3) обращается в следующее равенство: a_k₊₁x^k⁺¹+ a_kx^k + … + a₁x = 0. Вынесем х в левой части этого равенства за скобки и получим

х (a_k+1 + x^k + a_kx^k-1 + … + a₁) = 0. (4)

Равенство (4) должно выполняться при всех значениях х. Для того чтобы оно выполнялось при х 0, должно выполняться тождество a_k₊₁x^k + a_kx^k^-1 + … + a₁ = 0.

В левой части этого тождества стоит многочлен со степенями переменной от х⁰ до x^k .Тогда по предположению индукции все его коэффициенты равны нулю: a_k ₊₁ = a_k = …= a₁ = 0. Но мы также доказали, что a₀ = 0,

поэтому наше утверждение выполняется и при n = k + 1. Таким образом, утверждение теоремы справедливо для любого целого неотрицательного n, то есть для всех многочленов.

Определение 2. Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, обычно называют нулевым многочленом, или нуль-многочленом, и обозначают 0 (х) или просто 0 (поскольку 0 (х) = 0).

Теорема 3. Если два многочлена f (x) и g (x) тождественно равны,
то они совпадают (то есть их степени одинаковы и коэффициенты при одинаковых степенях равны).

Пусть многочлен f (х) = а_nхⁿ + а_n-1хⁿ^—¹ + … + а₂х² + а₁х + а₀, а многочлен g (x) = b_mx^m + b_m_—₁x^m^—¹ + … + b₂x² + b₁x + b₀. Рассмотрим многочлен f (x) — g (x). Поскольку многочлены f (x) и g (x) по условию тождественно равны, то многочлен f (x) — g (x) тождественно равен 0. Таким образом, все его коэффициенты равны нулю.

Но f (x) — g (x) =(a₀ — b₀) + (a₁ — b₁) x +(а₂ — b₂) х²+ … .

Тогда a₀ — b₀ = 0, a₁ — b₁ = 0, а₂ — b₂ = 0, … . Отсюда a₀ = b₀, a₁ = b_1s а₂ = b₂, … . Как видим, если допустить, что у какого-то из двух данных многочленов степень выше, чем у второго многочлена (например, n больше m), то коэффициенты разности будут равны нулю. Поэтому начиная с (m + 1)-го номера все коэффициенты a_t также будут равны нулю. То есть действительно многочлены f (x) и g (x) имеют одинаковую степень и соответственно равные коэффициенты при одинаковых степенях.

Пример. Докажите, что выражение (х + 2)(х + 4)(х + 6)(х + + 16 является полным квадратом.

Данное выражение может быть записано в виде многочлена четвертой степени, поэтому оно может быть полным квадратом только многочлена второй степени вида ах² + bх + с (а ≠ 0).

Получаем тождество:

(х + 2)(х + 4)(х + 6)(х + 8) + 16 = (ах² + bх + с)². (5)

Раскрывая скобки в левой и правой частях этого тождества и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему равенств. Этот этап решения удобно оформлять в следующем виде:

x⁴	1 = a²
x³	2 + 4 + 6 + 8 = 2ab
x²	2-4 + 2-6 + 2-8 + 4-6 + 4-8 + 6-8 = b² + 2ac
x¹	2-4-6 + 2-4-8 + 2-6-8 + 4-6-8 = 2bc
x⁰	2 — 4 — 6 — 8 + 16 = c²

Из первого равенства получаем а = 1 или а = -1.

При а = 1 из второго равенства имеем b = 10, а из третьего — с = 20. Как видим, при этих значениях а, b и с последние два равенства также выполняются. Следовательно, тождество (5) выполняется при а = 1, b = 10, с = 20 (аналогично можно также получить а = -1, b = -10, с = -20).

Таким образом, (х + 2)(х+ 4)(х+ 6)(х+8) + 16=(х² +10х + 20)².

Упражнения

1. Зная, что многочлены f (x) и g (x) тождественно равны, найдите значение
коэффициентов а, b, с, d:

1)f (x) = 2x² — (3 — а) x + b, g (x) = cx³ + 2dx² + x + 5;

2)f (x) = (а + 1) x³ + 2, g (x) = 3x³ + bx² + (c — 1) x + d.

2. Найдите такие числа a.b.c чтобы данное равенство a(x²-1)+b(x-2)+c(x+2)=2 выполнялось при любых значениях x.

3. Докажите тождество:

1)(x — 1)(х +1)(х² — х + 1)(х² + х +1) =х⁶ — 1;

2)1+х⁴=(1+х +х²)(1-х +х²).
4. Докажите, что данное выражение является полным квадратом:

1)(х — 1)(х — 2)(х — 3)(х — 4) + 1;

2)(х + а)(х + 2а)(х + 3а)(х + 4а) + а⁴.

5. Найдите такие а и b, чтобы при любых значениях х выполнялось равенство: 3х⁴ + 4х³ + 8х² + 3х + 2 = (3х² + ах + 1)(х² + х + b).

6. Запишите алгебраическую дробь 2/15х²+x-2 как сумму двух алгебраических дробей вида a/3x-1 и b/5x+2

10.2. ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН С ОСТАТКОМ

При сложении многочленов одной степени можно получить многочлен этой же степени или многочлен меньшей степени.

Например, 2х³ — 5х² + 3х + 1 + (-2х³ + 5х² + х + 5) = 4х + 6.

При сложении многочленов разных степеней всегда получаем многочлен, степень которого равна большей из степеней слагаемых.

Например, (3х³ — 5х + 7) + (х² + 2х + 1) = 3х³ + х² — 3х + 8.

Деление многочлена на многочлен определяется аналогично делению целых чисел. Напомним, что число а делится на число b (b≠ 0), если существует такое число q, что а = b • q.

Определение 3. Многочлен А (х) делится на многочлен В (х) (где В (х) —не нулевой многочлен), если существует такой многочлен Q (x), что

А (х) = В (х) • Q (x).

Как и для целых чисел, операция деления многочлена на многочлен выполняется не всегда, поэтому во множестве многочленов вводится операция деления с остатком

Разделить с остатком многочлен А (х) на многочлен В (х) (где В (х) — не нулевой многочлен) — это означает найти такую пару многочленов Q (x) и R (x), что А (х) = В (х) • Q (x) + R (x), причем степень остатка R (x) меньше степени делителя В (х) (в этом случае многочлен Q (х) называют неполным частным.)

Например, поскольку х³ — 5х + 2 = (х² — 5) х + 2, то при делении многочлена х³ — 5х + 2 на многочлен х² — 5 получаем неполное частное х и остаток 2.

Иногда деление многочлена на многочлен удобно выполнять «уголком», как и деление многозначных чисел, пользуясь следующим алгоритмом:

Алгоритм. При делении многочленов от одной переменной переменные в делимом и в делителе размещают по убыванию степеней и делят старший член делимого на старший член делителя. Потом полученный результат умножают на делитель, и это произведение вычитают из делимого. С полученной разностью выполняют аналогичную операцию: делят ее старший член на старший член делителя и полученный результат снова умножают на делитель и т. д. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не получится в остатке 0 (если один многочлен делится на другой) или пока в остатке не получится многочлен, степень которого меньше степени делителя.

Пример. Разделим многочлен А (х) = х⁴ — 5х³ + х² + 8х — 20 на многочлен B(x)= х² — 2х+3

Докажем, что полученный результат действительно является результатом деления А (х) на В (х) с остатком.

Если обозначить результат выполнения первого шага алгоритма через f₁ (x), второго шага — через f₂ (x), третьего — через f₃ (x), то операцию деления, выполненную выше, можно записать в виде системы равенств:

f1(x) = А (х) — х² • В (х); (1)

f2 (x) = A (x) — (-3х) • В (х); (2)

f3 (x) = f2(x) — (-8) • В (х). (3)

Сложим почленно равенства (1), (2), (3) и получим

А (х) = (х² — 3х — • В (х) + f₃ (x). (4)

Учитывая, что степень многочлена f₃ (x) = х + 4 меньше степени делителя

В (х) = х² — 2х + 3, обозначим f₃ (x) = R (x) (остаток), а х² — 3х — 8 = Q (x) (неполное частное). Тогда из равенства (4) имеем: А (х) = В (х) — Q (x) + R (x), то есть х⁴ — 5х³ + х² + 8х — 20 = (х² — 2х + 3)(х² — 3х — + х + 4, а это и означает, что мы разделили А (х) на В (х) с остатком.

Очевидно, что приведенное обоснование можно провести для любой пары многочленов А (х) и В (х) в случае их деления столбиком. Поэтому описанный выше алгоритм позволяет для любых делимого А (х) и делителя В (х) (где В (х) — не нулевой многочлен) найти неполное частное Q (x) и остаток R (x).

То есть, имеет место следующая теорема.

Теорема 4. Для любой пары многочленов А (х) и В (х) (где В (х) — не нулевой многочлен) существует и притом единственная пара многочленов
Q(x) и R(x), такая, что А(х)=В(х)*Q(x) + R(x), причем сте-
пень R (x) меньше степени В (х) (или R (x) — нулевой многочлен).

Отметим, что в случае, когда степень делимого А (х) меньше степени делителя В (х), считают, что неполное частное Q (x) = 0, а остаток R (x) = А (х).

Упражнения

1.Выполните деление многочлена на многочлен:

1)3х³ — 5х² + 2х — 8 на х — 2; 2) х¹⁰ + 1 на х² + 1;

3)х⁵ + 3х³ + 8х — 6 на х² + 2х + 3.

2. Выполните деление многочлена на многочлен с остатком:

1)4х⁴ — 2х³+ х² — х + 1 на x² + x + 2;

2)х⁵ + х⁴ + х³ + х² + 1 на х² — х — 2.

3.При каких значениях а и b многочлен А (х) делится без остатка на многочлен В(х)?

1)А (х) = х³ + ах + b, В (х) = х² + 5х + 7;

2)А (х) = 2х³ — 5х² + ах + b, В (х) = х² — 4;

3)А (х) = х⁴ — х³ + х² — ах + b, В (х) = х² — х + 2.

4.Найдите неполное частное и остаток при делении многочлена А(х) на многочлен В(х) методом неопределенных коэффициентов:

1)А (х) = х³ + 6х² + 11х + 6, В (х) = х² — 1;

2)А (х) = х³ — 19х — 30, В (х) = х² + 1.

10.3. ТЕОРЕМА БЕЗУ. КОРНИ МНОГОЧЛЕНА. ФОРМУЛЫ ВИЕТА

Рассмотрим деление многочлена f (x) на двучлен (х – а). Поскольку степень делителя равна 1, то степень остатка, который мы получим, должна быть меньше 1, то есть в этом случае остатком будет некоторое число R. Таким образом, если разделить многочлен f (x) на двучлен (х – а), то получим

f (x) = (х – а)*Q (x) + R.

Это равенство выполняется тождественно, то есть при любом значении х. При х = а имеем f (а) = R. Полученный результат называют теоремой Безу.

Те о р е м а 1 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена f (х) на двучлен (х – а) равен f (а) (то есть значению многочлена при х = а).

Задача 1. Докажите, что х⁵ – 3х⁴ + 2х³ + 4х – 4 делится на х – 1 без остатка.

Подставив в f (х) = х⁵ – 3х⁴ + 2х³ + 4х – 4 вместо х значение 1, получаем: f (1) = 0. Таким образом, остаток от деления f (х) на (х – 1) равен 0, то есть f (x) делится на (х – 1) без остатка.

О п р е д е л е н и е. Число α называют корнем многочлена f (x), если f (α) = 0.

Если многочлен f (х) делится на (х – α), то α — корень этого многочлена.

Действительно, если f (х) делится на (х – α), то f (х) = (х – α)*Q (x) и поэтому f (α) = (α – α)*Q (α) = 0. Таким образом, α — корень многочлена f (х).

Справедливо и обратное утверждение. Оно является следствием теоремы Безу.

Т е о р е м а 2. Если число α является корнем многочлена f (x), то этот многочлен делится на двучлен (х – α) без остатка.

По теореме Безу остаток от деления f (x) на (х – α) равен f (α). Но по условию α — корень f (x), таким образом, f (α) = 0.

Обобщением теоремы 2 является следующее утверждение.

Те о р е м а 3. Если многочлен f (x) имеет попарно разные корни α₁, α₂, …, α_n, то он делится без остатка на произведение

(х – α₁)(x – α₂)*…*(х – α_n).

Для доказательства используем метод математической индукции.

При n= 1 утверждение доказано в теореме 2. Допустим, что утверждение справедливо при n = k. То есть если α₁, α₂, …, α_k — попарно разные корни многочлена f (x), то он делится на произведение (х – α₁)(х – α₂)*…*(х – α_k). Тогда

f (x) = (х – α₁)(х – α₂)*…*(х – α_k)*Q (x). (1)

Докажем, что утверждение теоремы справедливо и при n = k + 1. Пусть α₁, α₂, …, α_k, α_{k + 1} — попарно разные корни многочлена f (x). Поскольку α_{k + 1} — корень f (x), то f (α_{k + 1)}= 0.

Принимая во внимание равенство (1), которое выполняется согласно предположению индукции, получаем:

f (α_{k + 1}) = (α_{k + 1}– α₁)(α_{k + 1}– α₂)*…*(α_{k + 1}– α_k)*Q (α_{k + 1}) = 0.

По условию все корни α₁, α₂, …, α_k, α_{k + 1} разные, поэтому ни одно из чисел α_{k + 1}– α₁, α_{k + 1} – α₂, …, α_{k + 1}– α_k не равно нулю. Тогда Q (α_{k + 1}) = 0. Таким образом, α_{k + 1} — корень многочлена Q (x). Тогда по теореме 2 Q (x) делится на (х – α_{k + 1}), то есть Q (x) = (х – α_{k + 1})*Q₁ (x) и из равенства (1) имеем

f (x) = (х – α₁)(х – α₂)*…*(х – α_k)(х – α_{k + 1})* Q₁(x).

Это означает, что f (х) делится на произведение

(х – α₁)(х – α₂)*…*(х – α_k)(х – α_{k + 1}),

то есть теорема доказана и при n = k + 1.

Таким образом, теорема справедлива для любого натурального n.

С л е д с т в и е. Многочлен степени n имеет не больше n разных корней.

Допустим, что многочлен n-й степени имеет (n + 1) разных корней: α₁, α₂, …, α_n, α_{n+ 1}. Тогда f (x) делится на произведение (х – α₁)(х – α₂)*… *(х – α_n_{+ 1}) — многочлен степени (n+ 1), но это невозможно. Поэтому многочлен n-й степени не может иметь больше, чем n корней.

Пусть теперь многочлен n-й степени f (x) = а_nхⁿ + а_n_{– 1}хⁿ^–1+ … + а₂х² + а₁х + а₀ (a_n ≠ 0) имеет n разных корней α₁, α₂, …, α_n. Тогда этот многочлен делится без остатка на произведение (х – α₁)(х – α₂)*…*(х – α_n). Это произведение является многочленом той же n-й степени. Таким образом, в результате деления можно получить только многочлен нулевой степени, то есть число. Таким образом,

а_nхⁿ + а_n_{– 1}хⁿ^{– 1}+ … + а₂х² + а₁х + а₀ = b (х – α₁)(х – α₂)*…*(х – α_n). (2)

Если раскрыть скобки в правой части равенства (2) и приравнять коэффициенты при старших степенях, то получим, что b = а_n, то есть

а_nхⁿ + а_n_{– 1}хⁿ^{– 1}+ … + а₂х²+ а₁х + а₀ = а_n (х – α₁)(х – α₂)*…*(х – α_n) (3)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях тождества (3), получаем соотношения между коэффициентами уравнения и его корнями, которые называют формулами Виета:

a₁+a₂+…+a_n= — a_n-1/a_n;	a₁a₂+a₁a₃+…+a_n-1a_n= a_n-2/a_n;	(4)
a₁a₂a₃+a₁a₂a₄+…+a_n-2a_n-1a_n= — a_n-3/a_n;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a₁a₂a₃…a_n= (-1)ⁿ a₀/a_n.*

Например, при n = 2 имеем:

a₁+a₂= — a₁/a₂, a₁a₂= a₀/a₂

а при n = 3:

a₁+a₂+a₃= — a₂/a_3;	a₁a₂+ a₁a₃+ a₂a₃= a₁/a₃;	(5)
a₁a₂a₃= — a₀/a₃.

Выполнение таких равенств является необходимым и достаточным условием того, чтобы числа α₁, α₂, …, α_n были корнями многочлена f (x) = а_nхⁿ + а_n_{– 1}хⁿ^{– 1}+ … + а₂х²+ а₁х + а₀ (a_n ≠ 0). Формулы (3) и (4) справедливы не только для случая, когда все корни многочлена f (x) разные. Введем понятие кратного корня многочлена.

Если многочлен f (x) делится без остатка на (х – α)^k, но не делится без остатка на (х – α)^{k + 1}, то говорят, что число α является корнем кратности k многочлена f (x).

Например, если произведение (х + 2)³(х – 1)²(х + 3) записать в виде многочлена, то для этого многочлена число (–2) является корнем кратности 3, число 1 — корнем кратности 2, а число (–3) — корнем кратности 1.

Задача 2. Проверьте справедливость формул Виета для многочлена

f (x) = х³ + 2х² – 4х – 8.

f(x) = х³ + 2х² – 4х – 8 = х² (х + 2) – 4 (х + 2) = (х + 2)(х² – 4) = (х – 2)(х + 2)² .

Поэтому f (х) имеет корни: α₁ = 2, α₂ = –2, α₃ = –2 (поскольку (–2) — корень кратности 2). Проверим справедливость формулы (5).

В нашем случае: а₃ = 1, а₂ = 2, а₁= –4, а₀ = –8. Тогда

2+(-2)+(-2)=-2/1; 2*(-2)+2*(-2)+(-2)*(-2)=-4/1; 2*(-2)*(-2)=-(-8)/1

Как видим, все равенства выполняются, поэтому формулы Виета справедливы для данного многочлена.

Задача 3. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней уравнения х² – 8х + 4 = 0.

Обозначим корни уравнения х²– 8х + 4 = 0 через х₁ и х₂. Тогда корнями искомого уравнения должны быть числа a₁=x₁² и a2=x2². Поэтому искомое уравнение имеет вид х² + рх + q = 0,

где p=-(a₁+a₂)=-(x₁²+x₂²)=-((x₁+x₂)²-2x₁x₂), q=a₁a₂=x₁²x₂²=(x₁x₂)²

По формулам Виета имеем х₁ + х₂ = 8 и х₁х₂= 4. Отсюда находим, что

q = (х₁х₂)² = 4² = 16, а p = −((x₁+x₂)²-2x₁x₂) = -(8²-2*4)=-56.

Таким образом, искомое уравнение имеет вид х² – 56х + 16 = 0.

Упражнения

Найдите остаток от деления многочлена х⁵– 4х⁴+ 2х³ – 5х + 1 на х + 2.
Найдите коэффициент а, зная, что остаток от деления многочлена х³ – ах² + 5х – 3 на х – 1 равен 6.
Многочлен f (х) при делении на х – 1 дает остаток 4, а при делении на х – 3 дает остаток 6. Найдите остаток от деления многочлена f (х) на х² – 4х + 3.
При каких значениях а и b многочлен х⁴ + 2х³ + ах² – bх + 2 делится без остатка на х + 2, а при делении на х – 1 имеет остаток, который равен 3?
Остаток от деления многочлена f (x) на 3х² – 5х + 2 равен 7х + 1. Найдите остаток от деления этого многочлена на двучлены х – 1 и 3х – 2.
Запишите формулы Виета при n = 4.
Составьте кубический многочлен, который имеет корни 5, –2, 1 и коэффициент при старшем члене –2. Решите задачу двумя способами.
При каких значениях а сумма квадратов корней трехчлена х² – (а + 2) х + 3а равна 12?
Какую кратность имеет корень 2 для многочлена

f (х) = х⁵ – 5х⁴ + 7х³ – 2х² + 4х – 8?

Составьте кубический многочлен, который имеет корень 3 кратности 2 и корень (–1), а коэффициент при старшем члене 2.
Найдите такие а и b, чтобы число 3 было корнем кратности не меньше чем 2 для многочлена f (х) = х³ – 5х² + ах + b.
Составьте квадратное уравнение, корни которого противоположны корням уравнения х² – 5х + 1 = 0.
Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения 2х² – 5х + 1 = 0.
Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней уравнения х² + 6х + 3 = 0.

10.4. СХЕМА ГОРНЕРА

Делить многочлен f (x) на двучлен (х – а) иногда удобно с помощью специальной схемы, которую называют схемой Горнера.

Пусть многочлен f (x) = а₀хⁿ + а₁хⁿ^{– 1}+ … + а_n_{– 1}х + а_n (a₀ ≠ 0) необходимо разделить на двучлен (х – а). В результате деления многочлена n-й степени на многочлен первой степени получим некоторый многочлен Q (x) (n – 1)-й степени (то есть Q (x) = b₀x ⁿ^{– 1} + b₁x ⁿ^{– 2} + … + b_n_{– 2} x + b _n_{– 1}, где b₀ ≠ 0) и остаток R. Тогда f (x) = (х – а)*Q (x) + R, то есть а₀хⁿ + а₁хⁿ^{– 1} + … + а_n_{– 1}х + а_n = = (х – а)*(b₀xⁿ ^{– 1} + b₁xⁿ^{– 2}+ … + b_n_{– 2}x + b_n_{– 1}) + R. Левая и правая части полученного равенства тождественно равны, поэтому, перемножив многочлены, стоящие в правой части, можем приравнять коэффициенты при соответствующих степенях х:

Xⁿ

а₀ = b₀

X^n-1

а₁ = b₁ – аb₀

X^n-2

а₂ = b₂ – аb₁

. . . . . .

. . . . . . . . . . . .

X¹

а_{n – 1}= b_{n – 1}– аb_{n – 2}

X⁰

а_n = R – аb_{n – 1}

Найдем из этих равенств коэффициенты b₀, b₁, …, b_{n – 1} и остаток R: b₀ = а₀, b₁ = ab₀ + a₁, b₂ = ab₁ + a₂, …, b_n_{– 1}= ab_n_{– 2}+ a_n_{– 1}, R = ab_n_{– 1}+ a_n.

Как видим, первый коэффициент неполного частного равен первому коэффициенту делимого. Остальные коэффициенты неполного частного и остаток находятся одинаково: для того чтобы найти коэффициент b_{k + 1} неполного частного, достаточно предыдущий найденный коэффициент b_k умножить на а и добавить k-й коэффициент делимого. Эту процедуру целесобразно оформлять в виде специальной схемы-таблицы, которую называют схемой Горнера.

Пример 1. Разделите по схеме Горнера многочлен f (х) = 3х⁴ – 2х³ – 4х + 1 на двучлен х – 2.
Запишем сначала все коэффициенты многочлена f (х) (если в данном многочлене пропущена степень 2, то соответствующий коэффициент считаем равным 0), а потом найдем коэффициенты неполного частного и остаток по указанной схеме:

Таким образом, 3х⁴ – 2х³– 4х +1 = (х – 2)(3х³ + 4х² + 8х + 12) + 25.

Пример 2. Проверьте, является ли х = –3 корнем многочлена f (х) = 2х⁴ + 6х³ + 4х²– 2х – 42.

По теореме Безу остаток от деления многочлена f (х) на х – а равен f (а), поэтому найдем с помощью схемы Горнера остаток от деления f (х) на х – (–3) = х + 3

Поскольку f (–3) = 0, то х = –3 — корень многочлена f (х).

Упражнения

Используя схему Горнера, найдите неполное частное и остаток от деления многочлена А (х) на двучлен В (х):

1) А (х) = х³+ 3х² + 3х + 1; В (х) = х + 1;

2) А (х) = 5х³ – 26х² + 25х – 4; В (х) = х – 5;

3) А (х) = х⁴ – 15х² + 10х + 24; В (х) = х + 3.

Используя схему Горнера, проверьте, делится ли многочлен f (x) на двучлен q (x):

1) f (х) = 4х³ – х² – 27х – 18; q (x) = x + 2;

2) f (х) = х⁴ – 8х³ + 15х² + 4х – 20; q (x) = x – 2.

Разделите многочлен А (х) на двучлен В (х):

1) А (х) = 2х³ – 19х² + 32х + 21; В (х) = х – 7;

2) А (х) = 4х³ – 24х² + 21х – 5; В (х) = 2х – 1.

10.5. НАХОЖДЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

Теорема 4. Если многочлен с целыми коэффициентами f (x) = a_nxⁿ + a_n_-1xⁿ^-1 + … + a₁x+a₀ имеет рациональный корень x=p/q (q ≠ 0, дробь p/q несократимая), то р является делителем свободного члена (a₀), а q — делителем коэффициента при старшем члене а_n.

Если p/q является корнем многочлена f (х), то f(p/q) = 0. Подставляем p/q вместо х в f(x) и из последнего равенства имеем

a_n* pⁿ/qⁿ+ a_n-1 * p^n-1/q^n-1 + … + a₁ * p/q + a₀= 0.

(1)

Умножим обе части равенства (1) на (q ≠ 0). Получаем

а_nрⁿ + a_n-1p^n-1q + … + a₁pq^n-1 + a₀qⁿ= 0.

(2)

В равенстве (2) все слагаемые, кроме последнего, делятся на р. Поэтому

a₀qⁿ= -(а_nрⁿ + a_n-1p^n-1q + … + a₁pqⁿ^-1) делится на р.

Но когда мы записываем рациональное число в виде p/q, то эта дробь считается несократимой, то есть р и q не имеют общих делителей. Произведение a₀qⁿ может делиться на р (если р и q — взаимно простые числа) только тогда, когда a₀ делится на р. Таким образом, р — делитель свободного члена a₀.

Аналогично все слагаемые равенства (2), кроме первого, делятся на q. Тогда

a_npⁿ = -(a_n_-1pⁿ^-1q + … + a₁pq^-1 + a₀qⁿ) делится на q. Поскольку р и q — взаимно простые числа, то a_n делится на q, следовательно, q — делитель коэффициента при старшем члене.

Отметим два следствия из этой теоремы. Если взять q = 1, то корнем многочлена будет целое число р — делитель a₀. Таким образом, имеет место:

Следствие 1. Любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Если в заданном многочлене f (х) коэффициент а_n = 1, то делителями а_n могут быть только числа ±1, то есть q =±1, и имеет место:

Следствие 2. Если коэффициент при старшем члене уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни этого уравнения (если они существуют) — целые числа.

Задача 1 Найдите рациональные корни многочлена 2х³ – х² + 12х – 6.

Пусть несократимая дробь p/q является корнем многочлена. Тогда р необходимо искать среди делителей свободного члена, то есть среди чисел ±1, ±2, ±3, ±6, а q — среди делителей старшего коэффициента: ±1, ±2.

Таким образом, рациональные корни многочлена необходимо искать среди чисел ±1/2, ±1, +±3/2, ±2, ±3, ±6. Проверять, является ли данное число корнем многочлена, целесообразно с помощью схемы Горнера. При x = 1/2 имеем следующую таблицу.

Кроме того, по схеме Горнера можно записать, что

2х³ – х² + 12х – 6 = (x – 1/2) (2x² + 12).

Многочлен 2х² + 12 не имеет действительных корней (а тем более рациональных), поэтому заданный многочлен имеет единственный рациональный корень x =1/2.

Задача 2 Разложите многочлен Р (х) = 2х⁴ + 3х³ – 2х² – х – 2 на множители.

Ищем целые корни многочлена среди делителей свободного члена: ±1, ±2. Подходит 1. Делим Р (х) на х – 1 с помощью схемы Горнера.

Тогда Р (х) = (х – 1)(2х3 + 5х² + 3х + 2). Ищем целые корни кубического многочлена 2х³ + 5х² + 3х + 2 среди делителей его свободного члена: ±1, ±2. Подходит (–2). Делим на х + 2

Имеем Р (х) = (х – 1)(х + 2)(2х² + х +1).

Квадратный трехчлен 2х² + х +1 не имеет действительных корней и на линейные множители не раскладывается.

Ответ: Р (х) = (х – 1)(х + 2)(2х² + х +1).

Отметим, что во множестве действительных чисел не всегда можно найти все корни многочлена (например, квадратный трехчлен х² + х + 1 не имеет действительных корней). Таким образом, многочлен n-й степени не всегда можно разложить на линейные множители. В курсах высшей алгебры доказывается, что многочлен нечетной степени всегда можно разложить на линейные и квадратные множители, а многочлен четной степени представить в виде произведения квадратных трехчленов.

Например, многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов. Для нахождения коэффициентов этого разложения иногда можно применить метод неопределенных коэффициентов.

Задача 3 Разложите на множители многочлен х⁴ + х³ + 3х² + х + 6.

Попытка найти рациональные корни ничего не дает: многочлен не имеет рациональных (целых) корней.

Попытаемся разложить этот многочлен в произведение двух квадратных трехчленов. Поскольку старший коэффициент многочлена равен 1, то и у квадратных трехчленов возьмем старшие коэффициенты равными 1. То есть будем искать разложение нашего многочлена в виде:

х⁴ + х³ + 3х² + х + 6 = (х² + ах + b)(х² + сх + d),

(3)

где а, b, с и d — неопределенные (пока что) коэффициенты. Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого равенства, тождественно равны, поэтому и коэффициенты при одинаковых степенях х у них равны. Раскроем скобки в правой части равенства и приравняем соответствующие коэффициенты. Это удобно записать так:

х⁴ + х³ + 3х² + х + 6 = x⁴ + cx³ + dx² +

+ ax³ + acx² + adx +

+ bx² + bcx + bd.

Получаем систему

(4)

Попытка решить эту систему методом подстановки приводит к уравнению 4-й степени, поэтому попробуем решить систему (4) в целых числах. Из последнего равенства системы (4) получаем, что b и d могут быть только делителями числа 6. Все возможные варианты запишем в таблицу.

Коэффициенты b и d в равенстве (3) равноправны, поэтому мы не рассматриваем случаи b = 6 и d = 1 или b = –6 и d = –1 и т. д.

Для каждой пары значений b и d из третьего равенства системы (4) найдем ас = 3 – (b + d), а из второго равенства имеем а + с = 1.

Зная а + с и ас, по теореме, обратной теореме Виета, находим а и с как корни квадратного уравнения. Найденные таким образом значения а, b, с, d подставим в четвертое равенство системы (4) bс + ad = 1, чтобы выбрать те числа, которые являются решениями системы (4). Удобно эти рассуждения оформить в виде таблицы:

Как видим, системе (4) удовлетворяет набор целых чисел а = –1, b = 2, с = 2, d = 3. Тогда равенство (3) имеет вид

x⁴ + х³ + 3х² + х + 6 = (х² – х + 2)(х² + 2х + 3).

(5)

Поскольку квадратные трехчлены х² – х + 2 и х² + 2х + 3 не имеют не только рациональных, но и действительных корней, то равенство (5) дает окончательный ответ.

Упражнения

Найдите целые корни многочлена:

1) х³ – 5х + 4;

2) 2x³ + x² – 13x + 6;

3) 5х³ + 18х² – 10х – 8;

4) 4х⁴ – 11х² + 9х – 2.

Найдите рациональные корни уравнения:

1) х³ – 3х² + 2 = 0;

2) 2х³ – 5х² – х + 1 = 0;

3) 3х⁴ + 5х³ – х² – 5х – 2 = 0;

4) 3х⁴– 8х³ – 2х² + 7х – 2 = 0.

Разложите многочлен на множители:

1) 2х³ – х² – 5х – 2;

2) х³ + 9х²+ 23х +15;

3) х⁴ – 2х³ + 2х – 1;

4) х⁴ – 2х³ – 24х² + 50х – 25.

Найдите действительные корни уравнения:

1) х³ + х² – 4х + 2 = 0;

2) х³ – 7х – 6 = 0;

3) 2х⁴ – 5х³ + 5х² – 2 = 0;

4) 2х³ – 5х² + 1 = 0.

5*. Разложите многочлен на множители методом неопределенных коэффициентов:

1) х⁴ + х³ – 5х² + 13х – 6;

2) х⁴ – 4х³ – 20х² + 13х – 2.

6*. Разложите многочлен на множители, заранее записав его с помощью метода неопределенных коэффициентов в виде (х² + bх + с)² – (mх + n)²: :

1) х⁴+ 4х – 1;

2) х⁴ – 4х³ – 1;

3) х⁴ + 4а³х – а⁴.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К РАЗДЕЛУ 1

Область определения функции y = f (x) ¾ отрезок [– 2; 1]. Найдите область определения функции:

Постройте график функции:

Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному условию:

4 (МТУСИ). Решите уравнение:

5 (МЭСИ). Решите систему уравнений:

Решите неравенство:

Докажите неравенство:

8 (СТАНКИН). Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет точно три корня.

9 (МГАТХТ). Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений не имеет решений.

10 (МГУ, ИСАиА). Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

11 (МИСиС). При каких значениях параметра а неравенство

выполняется для всех отрицательных значений х?

12 (МГУ, мех.-мат. ф-т). При каких значениях параметра а уравнение

имеет точно три различных корня?

При каких значениях параметра а уравнение имеет три действительных корня, которые образуют геометрическую прогрессию?

Решите задачи (14–25) на составление уравнений или неравенств и их систем.

14 (МГТУ). Рабочий должен был по плану изготовить за несколько дней 72 детали. Так как каждый день он изготавливал на 2 детали меньше плана, то закончил работу через 3 дня после срока. Сколько деталей в день должен был изготовлять рабочий по плану?

15 (МГУ, хим. ф-т). Три одинаковых комбайна, работая вместе, убрали первое поле, а затем два из них убрали второе поле (другой площади). Вся работа заняла 12 часов. Если бы три комбайна выполнили половину всей работы, а затем оставшуюся часть сделал один из них, то работа заняла бы 20 часов. За какое время два комбайна могут убрать первое поле?

16 (РЭА). Производительность первого станка на 25 % больше производительности второго станка. Второй станок сделал деталей на 4 % больше, чем первый. На сколько процентов время, затраченное вторым станком на выполнение своей работы, больше времени первого станка?

17 (ГФА). Первая из труб наполняет бассейн водой в два раза быстрее, чем другая. Если половину бассейна наполнить только из первой трубы, а оставшуюся часть — только из второй, то для наполнения бассейна потребуется 6 час. За сколько часов можно наполнить бассейн только из первой трубы?

18 (МГУПБ). Два велосипедиста выезжают одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 30 км, и встречаются через час. Не останавливаясь, они продолжают путь с той же скоростью, и первый прибывает в пункт В на 1,5 часа раньше, чем второй в пункт А. Определить скорость первого велосипедиста.

19 (МГУПБ). В течение 7 ч 20 мин судно прошло вверх по реке 35 км и вернулось обратно. Скорость течения равна 4 км в час. С какой скоростью судно шло по течению?

20 (ПГУ). Смешали 30 %-ный раствор соляной кислоты с 10 %-ным и получили 600 г 15 %-го раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

21 (ВШЭ). Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40 % олова, а второй — 26 % меди. Процентное содержание цинка в первом и во втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30 % цинка. Определить, сколько килограммов олова содержится в новом сплаве.

22 (МАИ). Найти такое двузначное число, в котором число его единиц на два больше числа десятков, а произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.

23 (ЛТА). Около дома посажены березы и липы, причем общее их количество более 14. Если количество лип увеличить вдвое, а количество берез увеличить на 18, то берез станет больше. Если увеличить вдвое количество берез, не изменяя количества лип, то лип все равно будет больше. Сколько берез и сколько лип было посажено?

24 (МГУ, эк. ф-т, ВШЭ). Группу людей пытались построить в колонну по 8 человек в ряд, но один ряд оказался неполным. Когда ту же группу людей перестроили по 7 человек в ряд, то все ряды оказались полными, а число рядов оказалось на 2 больше. Если бы тех же людей построили по 5 человек в ряд, то рядов было бы еще на 7 больше, причем один ряд был бы неполным. Сколько людей было в группе?

25 (МГУ, эк. ф-т). В магазине продаются гвоздики и розы. Гвоздика стоит 1 руб. 50 коп., роза — 2 руб. На покупку гвоздик и роз можно затратить не более 30 руб. 50 коп. При этом число гвоздик не должно отличаться от числа роз более чем на 6. Необходимо купить максимально возможное суммарное количество цветов, при этом гвоздик нужно купить как можно меньше. Сколько гвоздик и сколько роз будет куплено при указанных условиях?

Источник

Преобразование алгебраического выражения
Выделение полного квадрата из многочлена 2-й степени
Возвышение в степень
Степень отрицательного числа
Возвышение в степень одночленов
Возвышение в квадрат многочлена
Понятие об иррациональных числах
Иррациональные числа и их приближённые значения
- Равенство и неравенство между иррациональными числами. Вещественные числа
- Извлечение корня
- Приближённые корни любой степени
- Преобразование иррациональных выражений
- Основное свойство радикала
- Извлечение арифметического корня из произведения, из степени и из дроби
- Простейшие преобразования радикалов
- Подобные радикалы
- Действия над иррациональными одночленами
- Освобождение знаменателя дроби от радикалов
Иррациональные уравнения
- Освобождение уравнения от двух квадратных радикалов
Решение задач с помощью преобразований
- Наименьшее и наибольшее значение выражений
- Нахождение наименьшего и наибольшего значения выражений
- Доказательство теоремы Пифагора
  - Составление таблицы пифагоровых чисел
Тождественные преобразования — основные понятия и определения
- Рациональные алгебраические выражения. Одночлены и многочлены
- Формулы сокращенного умножения
- Бином Ньютона
- Разложение многочлена на множители
- Дробные алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения. Радикалы из алгебраических выражений
- Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби
- Коэффициент и показатель степени. Одночлены и многочлены
- Возведение в степень
- Умножение одночленов
- Сложение и вычитание одночленов
- Сложение и вычитание многочленов
- Умножение многочлена на одночлен
- Буквенные подстановки
- Умножение многочлена на многочлен
- Квадрат суммы и разности
- Произведение суммы на разность
- Куб суммы и разности
- Разность и сумма кубов
- Деление на одночлен
- Разложение многочлена на множители
- Выделение квадрата из трехчлена

Тождественные преобразования — это замена одного аналитического выражения другим, тождественно ему равным, но отличным по форме и преобразование (отображение в себя) некоторого множества, оставляющее на месте каждый его элемент

Опираясь на правила действий, изложенные в главе III, легко убедиться, что равенство

Тождества и тождественные преобразования

справедливо при любых значениях входящих в него букв.

То же самое можно сказать, например, и относительно каждого из следующих равенств:

Равенство же

справедливо при всех значениях буквы х, кроме х = 5 . (При х = 5 правая часть принимает значение 10, а левая теряет смысл.)

Равенство

справедливо при всех значениях буквы х, кроме х=1 и х = — 1. (При х=1 и х = — 1 левая часть теряет смысл.) Равенство

справедливо при любых значениях буквы х, кроме х = 0. (При х = 0 обе части этого равенства теряют смысл.)

Определение:

Равенство, справедливое при любых значениях букв, допустимых для его левой и правой частей, называется тождеством.

Любое из приведенных выше равенств является тождеством.

Тождеством называется также справедливое равенство, не содержащее букв (числовое тождество).

Равенство, составленное из двух совершенно одинаковых выражений, конечно, тоже является тождеством, например равенство

Но подобное тождество не содержит ничего интересного; оно говорит лишь о том, что всякое выражение равно самому себе.

Тождество, в котором левая и правая части совершенно одинаковы, назовем тривиальным. (Прилагательное, «тривиальный» происходит от латинского слова «trivialis», что означает «мало содержательный», «элементарный до очевидности», «мало интересный»).

Тривиальные тождества не представляют интереса, тождества же нетривиальные, напротив, представляют большой интерес. С их помощью решаются многочисленные теоретические и практические задачи. Заметим, кроме того, что каждое нетривиальное тождество выражает собой некоторое определенное свойство чисел. Например, тождество

говорит о том, что произведение суммы двух любых чисел на их разность равняется разности квадратов этих чисел. Поясним это на примере.

Возьмем два каких-нибудь числа, скажем, + 10 и — 7; их сумма будет +3, а их разность + 17. Произведение суммы на разность будет +51.

С другой стороны, квадрат первого числа будет + 100, а квадрат второго + 49. Разность этих квадратов дает снова то же самое число +51.

Тождество

нетривиальное; оно выражает имеющий важное значение перемес-тительный закон сложения.

Определение:

Два выражения, равные друг другу, при любых допустимых значениях входящих в них букв, называются тождественно равными.

Примеры тождественно равных выражений:

Легко видеть, что не всякие два выражения будут тождественно равными. Например, выражения 2а + 1 и а + 7 не будут тождественно равными. Их значения отличаются друг от друга, например, при а = 0.

Преобразование алгебраического выражения

В алгебре часто употребляется термин «преобразование выражения».

Что значит преобразовать выражение? Преобразовать данное выражение — значит составить новое выражение, отличающееся от данного, но ему тождественно равное.

Примеры:

Путем преобразования можно:

1) выражение 2а + 3b + 4а + 8b заменить тождественно равным ему выражением 6а+11b;

2) выражение (а +6) (а — b) заменить выражением

3) выражение заменить выражением

4) путем более сложных преобразований заменить выражение например, следующим выражением:

ему тождественно равным.

(Последнее преобразование называется «выделением полного квадрата из многочлена второй степени» и излагается в следующем параграфе.)

В первом и третьем примерах преобразование привело нас к более простому выражению, чем исходное; в четвертом же — к более громоздкому по сравнению с исходным.

Всякое преобразование делается в соответствии с той заранее поставленной целью, которая с помощью этого преобразования должна быть достигнута. Иначе говоря, всякое преобразование должно быть целенаправленным.

Часто употребляется термин «упростить выражение». Упростить выражение — это значит преобразовать его, вообще говоря, так, чтобы наиболее удобно было отыскивать его числовые значения. Как правило, упрощение выражения приводит его к новому выражению, содержащему меньшее число действий.

Например, находить значения выражения

более удобно, если заменить это выражение тождественно равным ему выражением ху. Преобразование выражения к виду ху является примером упрощения выражения. Выражение ху содержит лишь одно действие, а первоначальное — 8 действий.

Преобразование алгебраических выражений является мощным средством, широко применяемым к решению самых разнообразных по содержанию и характеру задач.

В настоящем учебнике применения преобразований к решению задач содержатся во многих последующих главах.

Некоторые замечания:

1. Если в тождестве заменить какую-либо букву произвольным алгебраическим выражением, то получится опять же тождество. Например, заменяя в тождестве

букву х выражением (а + b), а букву у выражением ab, получим новое тождество

2. Каждым тождеством можно пользоваться двояко. Например, на основании тождества

можно выражение заменить выражением

а в другом случае, скажем, выражение

полезно заменить выражением

Пусть требуется вычесть из выражения выражение В этом случае целесообразно выражение заменить выражением и тогда разность

будет равна 2ab.

Пусть требуется вычислить значение выражения

В этом случае для получения ответа целесообразно заменить данный многочлен выражением

и этим самым гораздо легче обнаружить, что искомым ответом будет число 1 000 000.

Для того чтобы уметь применять тождество двояко, надо уметь и формулировать его двояко. Например, тождество

формулируется так: произведение суммы двух алгебраических выражений на их разность равно разности квадратов этих же алгебраических выражений.

Если же мы перепишем наше тождество в виде

то его придется формулировать иначе, а именно: разность квадратов двух алгебраических выражений равна произведению суммы этих же выражений на их разность.

Выделение полного квадрата из многочлена 2-й степени

Выражение называется многочленом 2-й степени относительно величины х, записанным в общем виде. Здесь буква х может принимать любые значения, т. е. она обозначает собой величину, могущую изменяться как угодно. Что же касается букв А, В и С, то они обозначают собой наперед выбранные известные числа, остающиеся неизменными при всех изменениях величины х. Буквы А, В и С называются коэффициентами многочлена, причем предполагается, что Буква же х называется независимой переменной. (Если мы здесь величину х называем «независимой переменной», то это значит, что она может изменяться как угодно, независимо ни от чего.)

Выделение полного квадрата из многочлена 2-й степени является одним из важных преобразований, имеющим применения в ряде вопросов большой значимости. Это преобразование мы выполним сначала без пояснений, а затем дадим и пояснения.

Преобразование без пояснений:

Пояснения:

1. Мы начали с того, что многочлен представили в виде произведения

Законность этой операции вытекает из распределительного свойства умножения.

2. Вторая операция заключалась в том, что мы заменили внутри скобок выражение равным ему выражением

которое получилось введением двух новых вспомогательных членов

Вспомогательный член образован следующим образом: мы взяли множитель стоящий перед буквой х во втором члене многочлена затем разделили этот множитель на два и получили выражение после этого выражение возвели в квадрат, т. е. умножили само на себя, в результате чего и получилось

3. Далее, выражение заменили тождественно равным ему выражением а остальные два члена многочлена заключили в скобки, поставив перед скобками знак минус.

Примеры на выделение полного квадрата:

Выделение полного квадрата из многочлена 2-й степени будем называть ради краткости «выделением полного квадрата». Первые применения этого преобразования к решению задач показаны в следующей главе.

Возвышение в степень

Действие возвышения в степень: В начале курса мы уже видели, что возвышение в степень есть действие, посредством которого данное число (основание степени) берётся сомножителем столько раз, сколько единиц содержится в другом данном числе (показателе степени).

Вообще:

Степень отрицательного числа

При умножении относительных чисел мы видели, что произведение бывает положительно, если число отрицательных множителей чётное. В противном случае произведение будет отрицательным. Применяя это свойство к произведению равных отрицательных сомножителей, т. е. возвышению в степень отрицательного числа.

Чётная степень отрицательного числа положительна, нечётная — отрицательна.
Так:
и т. п.

Возвышение в степень одночленов

В первой части мы вывели правила возвышения одночлена в квадрат и куб. Покажем теперь, что по тем же правилам производится возвышение одночлена в любую степень.

а) Возвысим в степенью произведение abc. Пользуясь известными свойствами умножения, получим:

Чтобы возвысить в степень произведение, надо возвысить в эту степень каждый сомножитель отдельно и результаты перемножить.

б) Таким же способом найдём степень дроби :

Чтобы возвысить в степень дробь, надо возвысить в эту степень отдельно числитель и знаменатель и первый результат разделить на второй.

в) Пусть требуется возвысить в степень n число . Будем иметь:

Чтобы возвысить степень какого-либо числа в другую степень, надо перемножить показатели степеней.

г) Возьмём теперь какой-либо одночлен, например . Возвысим его в какую-либо степень n. Применяя выведенные правила, получим:

Чтобы возвысить в степень одночлен, надо возвысить в эту степень коэффициент, а показатели букв умножить на показатель степени, в которую возвышается одночлен.

Возвышение в квадрат многочлена

Вывод формулы: Пользуясь формулой , мы можем возвысить в квадрат трёхчлен , рассматривая его как двучлен :

Таким образом, с прибавлением к двучлену a + b третьего члена с после возвышения суммы в квадрат прибавились два члена: 1) удвоенное произведение суммы первых двух членов на третий член и 2) квадрат третьего члена.

Теперь нетрудно четырёхчлен a + b + c + d возвысить в квадрат, принимая сумму a + b + c за один член:

Подставляя вместо то выражение, которое мы нашли раньше, получим:

Мы опять замечаем, что с прибавлением нового члена к возвышаемому в квадрат многочлену к степени прибавляются два члена: 1) удвоенное произведение суммы прежних членов на новый член и 2) квадрат нового члена. Очевидно, что такое прибавление к степени двух членов будет идти и дальше по мере прибавления новых членов к возвышаемому в квадрат многочлену. Значит:

Квадрат многочлена равен квадрату 1-го члена, плюс удвоенное произведение 1-го члена на 2-й, плюс квадрат 2-го члена, плюс удвоенное произведение суммы первых двух членов на 3-й, плюс квадрат 3-го члена, плюс удвоенное произведение суммы первых трёх членов на 4-й, плюс квадрат 4-го члена и т. д.

Конечно, члены многочлена могут быть и отрицательными.
Если в правой части последнего равенства раскроем скобки, то получим после перестановки членов:

Можно поэтому предыдущее правило формулировать так:

Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов, сложенной с удвоенными произведениями каждого члена на каждый из последующих.

Замечание о знаках: В окончательном результате возвышения в квадрат многочлена со знаком плюс окажутся, во-первых, квадраты всех членов многочлена и, во-вторых, те удвоенные произведения, которые появились при умножении членов с одинаковыми знаками. Например:

Понятие об иррациональных числах

Соизмеримые и несоизмеримые отрезки: Как известно из геометрии, общей мерой двух отрезков прямой называется такой отрезок, который в каждом из них содержится целое число раз без остатка. В геометрии разъясняется, что могут быть такие два отрезка, которые не имеют общей меры (например, сторона квадрата и его диагональ).
Два отрезка называются соизмеримыми или несоизмеримыми между собой, смотря по тому, имеют ли они общую меру или не имеют.

Понятие об измерении: Пусть требуется измерить длину отрезка AB (черт. 1) при помощи единицы длины CD. Для этого узнаем, сколько раз единица CD содержится в АВ.

Пусть окажется, что она содержится в AB 3 раза с некоторым остатком EB (меньшим CD). Тогда число 3 будет приближённым результатом измерения с точностью до 1, и притом с недостатком, так как AB больше 3CD, но меньше 4CD (число 4 тоже можно назвать приближённым результатом измерения с точностью до 1, но с избытком). Желая получить более точный результат, узнаем, сколько раз в остатке EB содержится единицы CD. Положим, что эта доля содержится в EB более 8, но менее 9 раз. Тогда числа 3,8 и 3,9 будут приближёнными результатами измерения отрезка AB с точностью до , первое число с недостатком, второе — с избытком. Желая получить ещё более точный результат измерения, узнаем, сколько раз в последнем остатке содержится доля единицы CD- Пусть эта доля содержится в остатке более 5 раз, но менее 6 раз. Тогда числа 3,85 и 3,86 будут приближёнными результатами измерения отрезка AB с точностью до единицы. Можно продолжать такое измерение всё далее и далее. При этом возможны два случая:

1) может случиться, что при последовательных измерениях с точностью до 0,1, 0,01, 0,001, … рано или поздно не получится никакого остатка;

2) может случиться, что с какой бы точностью до 0,1, 0,01, 0,001,… мы ни измеряли, остаток всегда будет получаться.

В первом случае в результате измерения получится конечная десятичная дробь. Во втором случае в результате измерения получится бесконечная десятичная дробь.

Конечная десятичная дробь получается лишь в том случае, если какая-нибудь десятичная доля единицы (одна десятая, или одна сотая, или одна тысячная и т. д.) является общей мерой измеряемого отрезка и единицы длины.

Если же измеряемый отрезок соизмерим с единицей длины, но ни , ни , ни , вообще никакая десятичная доля единицы не является общей мерой измеряемого отрезка и единицы длины, то в результате измерения получается бесконечная периодическая десятичная дробь. Наконец, если измеряемый отрезок несоизмерим с единицей длины, то в результате измерения получается бесконечная непериодическая десятичная дробь.

Иррациональные числа и их приближённые значения

Числа целые и дробные носят общее название рациональных чисел. Всякое рациональное число может быть записано в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной периодической десятичной дроби; десятичные бесконечные непериодические дроби называются иррациональными числами. Рациональные числа служат мерой величин, соизмеримых с единицей, иррациональные числа — мерой величин, несоизмеримых с единицей.

Иррациональное число считается известным (или данным), если указан способ, посредством которого можно находить любое число его десятичных знаков.

Обрывая на каком-нибудь десятичном знаке бесконечную десятичную дробь, выражающую данное (рациональное или иррациональное) число, получаем приближённое значение этого числа с точностью до 0,1, 0,01, 0,001 и т. д. с недостатком. Увеличивая на 1 последний сохранённый десятичный знак, получим приближённое значение данного числа с той же точностью, но с избытком.

Примеры:

1) Записывая число в виде бесконечной периодической дроби, 0,33333… и сохраняя первые четыре десятичных знака этой дроби, получим приближённое значение числа с точностью до 0,0001 с недостатком: 0,3333.

Приближённое значение этого числа с точностью до 0,0001 с избытком есть 0,3334.

2) Иррациональное число π, выражающее отношение длины окруж,-ности к диаметру, записывается в виде бесконечной десятичной дроби, первые 25 знаков которой суть: 3,1415926535897932384626433.
Приближённые значения числа π с точностью до 0,00001 суть 3,14159 (с недостатком) и 3,14160 (с избытком).

3) Возьмём иррациональное число, выражающееся следующей бесконечной непериодической десятичной дробью: 123,1010010001000010000010000001 … (между двумя последовательными единицами стоит один нуль, потом два нуля, потом три нуля и т. д.).

Приближённые значения этого иррационального числа с точностью до 0,000000000001 (т. е. до суть 123,101001000100 (с недостатком) и 123,101001000101 (с избытком).

Равенство и неравенство между иррациональными числами. Вещественные числа

Два иррациональных числа считаются равными, если они выражены десятичными дробями с соответственно одинаковыми цифрами. Из двух положительных иррациональных чисел больше то, которое при разложении в десятичную дробь содержит в себе большее число целых, или — при равенстве целых — большее число десятых, или — при равенстве целых и десятых — большее число сотых, и т. д. Например, число 2,745037… больше числа 2,745029 …, так как в первом 6-я цифра выражает число большее, чем 6-я цифра во втором при тождественности всех предыдущих цифр.

Это определение годится также и для сравнения иррационального числа с рациональным, если рациональное число разложено в десятичную дробь. Оно пригодно и для сравнения двух рациональных чисел, разложенных в десятичные дроби, если только десятичные дроби с периодом 9 заменять десятичными дробями, кончающимися нулями: например, надо вместо 2,39999 … брать 2,400000 ….

Заметим, что из приведённого определения неравенств следует:

Если α — какое-нибудь иррациональное число, a — какое нибудь приближённое значение числа α с недостатком, b— какое-нибудь приближённое значение числа α с избытком, то
α< α <b.

Иррациональные числа могут быть положительными и отрицательными, сообразно со смыслом измеряемой величины. Как и в случае рациональных чисел, из двух отрицательных’ вещественных чисел большим считают то, у которого абсолютная величина меньше; всякое отрицательное число меньше нуля, а нуль меньше всякого положительного числа.

Рациональные и иррациональные числа вместе называются вещественными, или действительными, числами.

10. Определение действий над иррациональными числами. Пусть а и β будут какие-нибудь данные положительные иррациональные числа (в нижеследующем примере Пусть приближённые значения чисел α и β, взятые с недостатком, будут:

	до 0,1	до 0,01	до 0,001	до 0,0001
для числа α	1,7	1,73	1,732	1,7320
для числа β	1,4	1,41	1,414	1,4142

Соответствующие приближённые значения с избытком получаются из этих чисел посредством увеличения последнего десятичного знака на 1.

Тогда: а) Сложить α и β — значит найти число, которое было бы

больше каждой из сумм:
1,74-1,4=3,1
1,734-1,41=3,14
1,7324-1,414 = 3,146 1,73204-1,4142=3,1462 и т. д.

и меньше каждой из сумм:
1,84-1,5=3,3
1,744-1,42=3,16
1,7334-1,415=3,148
1,73214-1,4143=3,1464, т. е.:

Сложить числа α и β — значит найти такое третье число γ, которое было бы больше суммы любых приближённых их значений, взятых с недостатком, но меньше суммы любых приближённых значений, взятых с избытком.

Мы принимаем без доказательства, что такое число γ для любых двух вещественных чисел а и β существует, и притом только одно.

б) Беря приближённые значения чисел α и β, указанные выше, мы можем сказать, что произведение α ∙β есть число, которое

больше каждого из произве-
дений:
1,7-1,4=2,38
1,73-1,41=2,4393
1,732-1,414 = 2,449048
1,7320-1,4142 = 2,44939440 и т. д.

и меньше каждого из произведе-
ний:
1,8-1,5=2,70
1,74-1,42=2,4708
1,733-1,415 = 2,452195
1,7321-1,4143 = 2,44970903, т. е.:

Перемножить положительные числа α и β — значит найти такое третье число, которое было бы больше произведения их любых приближённых значений, взятых с недостатком, но меньше произведения их любых приближённых значений, взятых с избытком.

Мы примем без доказательства, что такое число существует, и притом только одно.

в) Возвысить иррациональное число а во вторую, третью, четвёртую и т. д. степень — значит найти произведение, составленное из двух, трёх, четырёх и т. д. сомножителей, равных .

г) Обратные действия определяются для иррациональных чисел так же, как и для рациональных; так, вычесть из числа а число β — значит найти такое число х, чтобы сумма β+x равнялась а и т. п.

Если одно из чисел α или β — рациональное и выражается конечной десятичной дробью, то в указанных определениях вместо приближённых значений такого числа надо брать его точное значение.

Произведение иррационального числа на нуль принимается, как и для рационального числа, равным нулю.

Действия над отрицательными иррациональными числами производятся согласно правилам, данным для рациональных отрицательных чисел.

При более обстоятельном рассмотрении можно установить, что действия над иррациональными числами обладают теми же свойствами, какие принадлежат действиям над числами рациональными; например, сложение и умножение обладают свойствами переместительным и сочетательным; умножение и деление, кроме того, обладают ещё распределительным свойством. Свойства, выражаемые неравенствами, также сохраняются для чисел иррациональных; так, если α>β, то α+γ>β+γ, αγ>βγ (если γ>0) и αγ<βγ (если γ<0) и т. п.

Извлечение корня

Определение:

Корнем n-й степени из числа а называется такое число, которое, будучи возвышено в степень п, даёт а.

Корень n-й степени из числа а обозначается так: . Из самого определения следует, что .

Это равенство может служить для проверки правильности произведённого действия извлечения корня. Пусть, например, мы нашли, что Для проверки возвысим 2 в одиннадцатую степень, получим =2048. Значит, корень найден правильно. Точно так же , так как = 39,0625.

Приближённые корни любой степени

Мы уже говорили, что такое приближённые квадратные корни с точностью до 1, до и т. д. Сказанное тогда о квадратном корне может быть применено к корню всякой другой степени. Например, приближённым значением с точностью до называется такая десятичная дробь, состоящая из целых, десятых и сотых, куб которой не больше 2, но если увеличим её на и возвысим в куб, то получим больше 2. Мы не будем выводить правила для нахождения точных и приближённых корней кубичных и других степеней, ограничимся только указанием следующего простого приёма для нахождения таких корней.

Пусть требуется найти . Приближённые корни с точностью до 1 будут, очевидно, числа 1 (с недостатком), 2 (с избытком). Чтобы найти цифру десятых долей искомого корня, найдём в ряду: 1; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9 два таких рядом стоящих числа, чтобы куб левого числа был меньше 2, а куб правого — больше 2. Для этого возьмём из чисел нашего ряда среднее 1,5 и возвысим его в куб. Мы найдём: =3,375, что больше 2. Так как числа, стоящие направо от 1,5, при возвышении в куб дают результат ещё больший, то мы можем отбросить всю правую половину ряда и испытать только числа: 1; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4.

Возьмём среднее из них 1,2 и возвысим в куб. Получим 1,728, что меньше 2. Значит, испытанию подлежат теперь только числа 1,3 и 1,4. Возвысив в куб число 1,3, получим 2,197, что больше 2. Мы получили, таким образом, два числа: 1,2 и 1,3, которые разнятся между собой на 0,1 и между кубами которых заключается число 2. Это и будут приближённые кубичные корни из 2 с точностью до с недостатком и с избытком.

Если желаем найти цифру сотых, мы должны испытать следующие числа: 1,21; 1,22; 1,23; … ; 1,29. Взяв в этом ряду среднее число 1,25 и возвысив его в куб, найдём = 1,953125, что меньше 2. Значит, теперь надо испытать только числа: 1,26; 1,27; 1,28; 1,29. Так как очень мало разнится от 2, то естественно попробовать, не будет ли 1,26 больше 2. И действительно, возвысив 1,26 в куб, получим 2,000376. Значит, искомый кубический корень из 2 с точностью до будет 1,25 (с недостатком) или 1,26 (с избытком). Если бы мы желали далее найти цифру тысячных, то должны были бы подобным же путём испытать числа ряда: 1,251; 1,252; 1,253; . . . ; 1,259.

Конечно, приём этот утомителен (существуют более удобные способы), но из него ясно видно, что десятичные цифры приближённых корней любой степени могут быть найдены в каком угодно большом числе.

Для мы получили приближённые значения с недостатком: 1; 1,2; 1,25; 1,259; ….

Составим бесконечную десятичную дробь 1,259 …. Эта бесконечная десятичная дробь выражает собой некоторое иррациональное число α, а числа: 1; 1,2; 1,25; 1,259; . . . представляют собой приближённые значения иррационального числа α, взятые с недостатком.

Куб иррационального числа α есть 2. Чтобы убедиться в этом, вспомним, что называется кубом иррационального числа α; α — это число, удовлетворяющее двум условиям: оно больше куба любого приближённого значения а, взятого с недостатком, и меньше куба любого приближённого значения α, взятого с избытком. Но число этим условиям удовлетворяет, так как

Значит, иррациональное число 1,259 .. . есть кубический корень 2.
Итак, после введения иррациональных чисел задача извлечения арифметического корня любой степени из любого положительного числа во всех случаях разрешима: такой корень всегда существует, и притом только один.

Замечание:

Действие извлечения корня является источником многочисленных примеров иррациональных чисел, которые приходится рассматривать в курсе элементарной алгебры. Однако было бы грубой ошибкой думать, что все иррациональные числа являются корнями из рациональных чисел или сводятся к этим корням при помощи алгебраических действий: существует бесконечно много иррациональных чисел, которые не являются корнями никакой степени ни из какого рационального числа и которые вообще не могут быть получены посредством алгебраических действий (сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня) над рациональными числами, в каком бы числе, в каком бы порядке и над какими бы рациональными числами мы эти действия ни совершали. Примером такого иррационального числа может служить число π.

Преобразование иррациональных выражений

Рациональные и иррациональные алгебраические выражения: Алгебраическое выражение называется рациональным относительно какой-нибудь буквы, входящей в это выражение, если эта буква не находится под знаком радикала; в противном случае выражение называется иррациональным относительно этой буквы. Например, выражение есть рациональное относительно α и иррациональное относительно х.

Если говорят—„рациональное алгебраическое выражение“, не добавляя относительно каких букв, то предполагается, что оно рационально относительно всех букв, входящих в выражение.

Основное свойство радикала

Заметим, что корни (радикалы), о которых мы будем говорить в этой главе, разумеются только арифметические. Возьмём какой-нибудь радикал, например , и возвысим подкоренное число В какую-нибудь степень, например в квадрат; вместе с тем умножим показатель радикала на показатель той степени, в какую мы возвысили подкоренное число, т. е. в нашем случае умножим на 2. Тогда получим новый радикал Докажем, что от этих двух операций величина радикала не изменилась.

Предположим, что мы вычислили и получили некоторое число х. Тогда мы можем написать равенства: x= и x= α. Возвысим обе части последнего равенства в квадрат: т. e..

Из последнего равенства видно, что . Таким образом, одно и то же число х равно и, и следовательно: =

Подобно этому можно убедиться, что:

Величина радикала не изменится, если подкоренное выражение возвысим в какую-нибудь степень и вместе с тем показатель радикала умножим на показатель той степени, в которую возвысили подкоренное выражение.

Правило это короче выражают еще так:

Величина радикала не изменится, если показатель корня и показатель подкоренного выражения умножим (или разделим) на одно и то же число.

Следствия: а) Радикалы разных степеней можно привести к одинаковым показателям (подобно тому как дроби с разными знаменателями можно привести к одному знаменателю). Для этого достаточно найти общее кратное (лучше всего наименьшее) показателей всех радикалов и умножить показатель каждого из них на соответствующий дополнительный множитель, возвысив вместе с тем каждое подкоренное выражение в надлежащую степень.

Пример:

Наименьшее кратное показателей радикалов есть 6; дополнительные множители будут: для первого радикала 3, для второго 2 и для третьего 1. Тогда:

б) Если подкоренное выражение есть степень, показатель которой имеет общий множитель с показателем радикала, то на этот множитель можно разделить оба показателя.

Примеры:

в) Если подкоренное выражение есть произведение нескольких степеней, показатели которых имеют один и тот же общий множитель с показателем радикала, то на этот множитель можно разделить все показатели.

Примеры:

Извлечение арифметического корня из произведения, из степени и из дроби

а) Пусть надо извлечь арифметический корень степени п из произведения abc. Если бы требовалось произведение возвысить в степень, то, как мы видели, надо было бы возвысить в степень каждый сомножитель отдельно. Так как извлечение корня есть действие, обратное возвышению в степень, то надо ожидать, что и для извлечения корня из произведения надо извлечь его из каждого сомножителя отдельно, т. е. что

Чтобы убедиться в верности этого равенства, возвысим правую часть его в степень n:

Но, по определении корня,
Следовательно,

Если же n-я степень произведения равна abc, то это значит, что произведение это равно корню n-й степени из abc. Значит:

Чтобы извлечь корень из произведения, надо извлечь его из каждого сомножителя отдельно и результаты перемножить.

б) Легко убедиться проверкой, что , потому что ; , потому что , и т. п.

Вообще: , потому что . Значит:

Чтобы извлечь корень из степени, показатель которой делится на показатель корня, надо разделить показатель степени на показатель корня.

в) Верны будут также и следующие равенства:

, потому что
, потому что .
Вообще: , потому что .

Чтобы извлечь корень из дроби, надо извлечь его из числителя и знаменателя отдельно и первый результат разделить на второй.

Примеры:

Простейшие преобразования радикалов

а) Вынесение множителей за знак корня. Если подкоренное выражение разлагается на такие множители, что из некоторых можно извлечь точный корень, то такие множители, по извлечении из них корня, могут быть написаны перед знаком корня (т. е. могут быть вынесены за знак корня); например:

б) Подведение множителей под знак корня. Иногда бывает полезно, наоборот, подвести под знак корня множители, стоящие перед ним; для этого достаточно возвысить такие множители в степень, показатель которой равен показателю корня, а затем написать множители под знаком корня; например:

в) Освобождение подкоренного выражения от знаменателей.
Покажем это на следующих примерах:

1) Чтобы из знаменателя можно было извлечь точный квадратный корень, умножим оба члена дроби на 5:

2) . Умножим оба члена дроби на 2, на а и на х, т. е. на 2ах:

Замечание:

Если требуется извлечь корень из алгебраической суммы, то нельзя извлекать его из каждого слагаемого отдельно. Так: , тогда как ; значит, действие извлечения корня по отношению к сложению (и вычитанию) не обладает распределительным свойством (как и возвышение в степень).

Подобные радикалы

Подобными радикалами называются такие, у которых одинаковы подкоренные выражения и одинаковы показатели радикалов. Таковы, например, радикалы:

Чтобы определить, подобны ли между собой данные радикалы, следует предварительно упростить их, т. е. если возможно:
1) вынести из-под радикала те множители, из которых можно извлечь точный корень;
2) освободиться под радикалами от знаменателей дробей;
3) понизить степень радикала, сократив показатели радикала и подкоренного числа на их общий множитель, если такой есть.

По выполнении этих действий радикал приведётся к простейшему виду.

Примеры:

1) Радикалы и окажутся подобными, если упростим их: ;

2) Три радикала , , окажутся подобными, если освободимся под радикалами от знаменателей:

Действия над иррациональными одночленами

а) Сложение и вычитание. Чтобы сложить или вычесть иррациональные одночлены, соединяют их знаками плюс или минус и делают приведение подобных членов, если они окажутся.

Примеры:

б) Умножение. Мы видели, что для извлечения корня из произведения надо извлечь его из каждого сомножителя отдельно; значит, наоборот:

Чтобы перемножить несколько корней одинаковой степени, надо перемножить подкоренные выражения и из произведения извлечь корень той же степени.

Так:

Если для перемножения даны радикалы с различными показателями, то их надо предварительно привести к одному показателю.

Если перед радикалами имеются коэффициенты, то их перемножают.

Примеры:

в) Деление. Мы знаем, что для извлечения корня из дроби надо извлечь его из числителя и знаменателя отдельно; значит, и наоборот:
и т. д., т.е.:

Чтобы разделить корни с одинаковыми показателями, надо разделить их подкоренные выражения и из частного извлечь корень той же степени.

Радикалы с различными показателями надо привести предварительно к одинаковым показателям. Если есть коэффициенты, то их делят.

Примеры:

г) Возвышение в степень. Чтобы возвысить радикал в степень, надо возвысить в эту степень подкоренное выражение, оставив тот же показатель радикала.

Так:

Примеры:
1)
2)

д) Извлечение корня. Чтобы извлечь корень из корня, надо перемножить показатели корней.
Так:

Чтобы убедиться в этом, положим, что . Возвысим обе части этого равенства сначала в квадрат, а потом в куб:

Отсюда видно, что и, следовательно,

Пример:

Подведём сомножитель 2х под знак радикала третьей степени:

Заметим, что в этом примере (и в других, ему подобных) можно поступить иначе: заметив, что выражение, стоящее под знаком квадратного радикала, есть произведение, мы можем применить теорему об извлечении корня из произведения. Тогда получим:

Приведя теперь радикалы к одинаковому показателю 6, найдём:

Действия над иррациональными многочленами производятся по тем же правилам, какие были выведены для многочленов рациональных. Например:

Освобождение знаменателя дроби от радикалов

При вычислении дробных выражений, знаменатели которых содержат радикалы, в некоторых случаях полезно предварительно преобразовать дробь так, чтобы знаменатель её не содержал радикалов. Пусть, например, надо вычислить:

Мы можем производить вычисление или прямо по этой формуле, или же предварительно сделать её знаменатель рациональным, для чего достаточно умножить оба члена данной дроби на сумму :
(2)

Формула (2) удобнее для вычисления, чем формула (1), во-первых, потому, что она содержит в себе всего три действия, а не четыре, как формула (1), а во-вторых, и потому, что при вычислении, которое по необходимости может быть только приближённое, погрешность результата сравнительно просто определяется по формуле (2). Так, найдя и с точностью до половины тысячной доли, получим:

Результат этот точен до тысячной, т.е. до .

Примеры:
1) Умножим оба члена дроби на :

2) Если под знаком радикала стоит целое составное число, то иногда бывает полезно разложить его на простые сомножители с целью определить, каких сомножителей недостаёт в нём для того, чтобы оно было полным квадратом. Тогда достаточно умножить оба члена дроби на квадратный корень из произведения только недостающих сомножителей. Например:

3) . Умножим оба члена дроби на :

Вообще: .

4) . Умножим оба члена дроби на разность :

Вообще:

5) . Умножим оба члена дроби на сумму:

Вообще:

6) . Умножим оба члена дроби на :

Вообще:

7)
Вообще: .

Если знаменатель есть двучлен с корнями третьей степени, то его можно сделать рациональным, основываясь на тождествах:
;
.

Пусть, например, знаменатель будет . Тогда, умножив числитель и знаменатель дроби на трёхчлен мы получим в знаменателе , т. е. 3 -2, или 1. Подобно этому найдём:

Иррациональные уравнения

Задача: Периметр прямоугольного треугольника равен 10 м, а один из его катетов равен 2 м; найти две другие стороны этого треугольника.

Обозначив второй катет буквой х, найдём, что гипотенуза должна равняться , и, следовательно, будем иметь уравнение:

Мы получили уравнение, в котором под знак радикала входит неизвестное. Уравнения такого рода называются иррациональными.

Чтобы решить иррациональное уравнение, его надо предварительно освободить от радикалов, подкоренные выражения которых содержат неизвестное. Если в уравнение, как в нашей задаче, входит только один радикал, то освободиться от него можно таким образом: прежде всего уединим радикал, т. е. перенесём все члены, не содержащие радикала, в одну часть уравнения, оставив радикал в другой части:

Теперь возвысим обе части уравнения в квадрат. Очевидно, что если равные числа мы возвысим в одну и ту же степень, то и получим равные числа; поэтому после возвышения в квадрат знак равенства сохраняется:

Решив это уравнение, найдём:

Тогда гипотенуза будет:

Пусть требуется решить ещё уравнение: .
Уединим радикал и возвысим обе части уравнения в куб:

Проверка:

Посторонние решения: Возвышение частей уравнения в квадрат может ввести так называемые „посторонние» решения, т.е. такие, которые данному уравнению не удовлетворяют. Приведём этому пример. Пусть нам даны два уравнения:
(1); (2)
которые отличаются одно от другого только знаком перед радикалом. Возвысив в квадрат обе части каждого из этих уравнений, мы получим одно и то же уравнение:
(3)
так как и равны одному и тому же числу х+7.

Уравнение (3) имеет два корня: —3 и 2. Число —3 удовлетворяет уравнению (2), но не удовлетворяет уравнению (1); наоборот, число 2 годно для уравнения (1), но не годится для уравнения (2).

Может оказаться, что уравнение (1) не имеет совсем решений; тогда уравнение (3) содержит только решения уравнения (2), и, значит, все они будут посторонние для уравнения (1).

Возвышение частей уравнения в квадрат может привести к новому уравнению, не равносильному с первоначальным.

Освобождение уравнения от двух квадратных радикалов

Пусть надо решить уравнение с двумя квадратными радикалами, подкоренные выражения которых содержат неизвестное:

Желая освободиться от радикала , уединим его:

Теперь возвысим обе части этого уравнения в квадрат:

что даёт:

Наконец, освободим и последнее уравнение от радикала посредством вторичного возвышения в квадрат:
, или .

Решим это уравнение:

Подстановкой убеждаемся, что данное уравнение удовлетворяется только числом 20, а число 4 ему не удовлетворяет.

Решение задач с помощью преобразований

Задача:

Найти произведение чисел 1012 и 988 с помощью формулы

Решение:

Задача:

Найти значение выражения

Решение:

На основании формулы

Задача:

Вывести удобное правило вычисления квадрата двузначного числа, оканчивающегося цифрой 5.

Решение:

Пусть число десятков двузначного числа равно а, а цифра единиц 5; тогда это двузначное число изобразится выражением

Очевидно, что

Отсюда вытекает следующее правило:
Чтобы найти квадрат двузначного числа, оканчивающегося цифрой 5, достаточно цифру десятков умножить на число, большее цифры десятков на единицу, и к полученному произведению приписать 25.

Например:

(42 мы получили, умножив 6 на 7),
(72 мы получили, умножив 8 на 9).

Задача:

Найти сумму кубов двух чисел, зная, что сумма этих чисел равна 10, а произведение равно 4.

Решение:

Обозначим первое число буквой х, а второе буквой у. Тогда по условию задачи

Чтобы найти искомую сумму кубов, т. е. значение выражения , сначала преобразуем это выражение следующим образом:

Зная, что получим

т.е. искомая сумма равна 880.

Задача:

Найти сумму четвертых степеней двух чисел, зная, что сумма этих чисел равна 10, а произведение равно 4.

Решение:

Обозначим первое число буквой х, а второе буквой у. Тогда

Для решения задач, помещенных в § 3, полезно предварительно разобрать несколько примеров на отыскание наименьшего и наибольшего значений выражений вида .

Наименьшее и наибольшее значение выражений

Наименьшее и наибольшее значение выражений вида

Пример:

Узнать, при каком значении буквы х выражение имеет наименьшее значение?

Решение:

Наименьшее значение, равное 7, получится при х = 0. При всех других положительных и отрицательных значениях буквы х выражение будет принимать значения, большие, чем 7.

Пример:

Среди значений выражения найти самое большее.

Решение:

Составим таблицу значений выражения при различных значениях буквы х.

Из этой таблицы и самого выражения видно, что значения выражения становятся сколь угодно большими, если букве х давать значения по абсолютной величине все большие и большие.

Следовательно, среди значений выражения не имеется самого большего, т. е. выражение наибольшего значения не имеет.

Пример:

Узнать, при каком значении буквы х выражение имеет наибольшее значение.

Решение:

Наибольшее значение, равное 7, получится при х = 0. При всех других положительных и отрицательных значениях буквы х выражение будет, принимать значения, меньшие, чем 7.

Пример:

Среди значений выражения найти самое меньшее.

Решение:

Составим таблицу значений выражения

Из этой таблицы и из самого выражения видно, что выражение наименьшего значения не имеет.

Нахождение наименьшего и наибольшего значения выражений

Задача:

Узнать, при каком значении буквы х выражение имеет наименьшее значение.

Решение:

Ясно, что выражение при разных числовых значениях буквы х принимает, вообще говоря, разные числовые значения. Например:
При х = 3 получается 39; При х = — 4 получается 116;

Чтобы решить поставленный вопрос, преобразуем данный многочлен путем выделения полного квадрата.

Теперь легко видеть, что наименьшее значение получится тогда, когда выражение обратится в нуль, т. е. когда букве х будет дано значение 5.

Итак, наименьшее значение выражения будет 35 и получится оно только тогда, когда мы дадим букве х значение 5.

Задача:

Узнать, при каком значении буквы х многочлен принимает наименьшее значение.

Решение:

Отсюда видно, что многочлен принимает наименьшее значение при х = — 5. (Это наименьшее значение равно 7.)

Задача:

Узнать, при каком значении буквы х выражение

имеет наименьшее значение.

Очевидно, что

Из последнего выражения видно, что искомое наименьшее значение получается при х = 5 (оно равно 26).

Задача:

Число 14 требуется разбить на три части так, чтобы вторая часть была вдвое больше первой и чтобы сумма квадратов всех трех частей имела наименьшее значение;

Пусть первая часть есть х, тогда вторая часть будет 2 х , а третья . Сумма квадратов всех трех частей изобразится выражением или выражением которое можно записать и в следующем виде:

Теперь остается найти такое значение буквы х , при котором многочлен приобретет наименьшее значение. Для этого опять выделим полный квадрат:

Отсюда

Искомое наименьшее значение получится при х = 3. Следовательно, число 14 надо разбить на следующие три части: 3; 6; 5.

При такой разбивке вторая часть будет вдвое больше первой и сумма квадратов всех трех частей будет иметь наименьшее значение, равное 70.

При всякой другой разбивке, при которой вторая часть будет вдвое больше первой, сумма квадратов трех частей будет оказываться числом, большим 70.

Задача:

Узнать, при каком значении буквы х многочлен
имеет наибольшее значение.

Решение:

Выделим полный квадрат:

Из последнего выражения видно, что заданный многочлен будет иметь наибольшее значение, равное 65, только тогда, когда букве х будет дано значение, равное 5.

Задача:

Разделить данное число 12 на два слагаемых так, чтобы их произведение оказалось наибольшим.

Решение:

Обозначим одно из искомых слагаемых через х.

Тогда второе слагаемое будет 12 — х, а их произведение будет

Таким образом, вопрос сводится к нахождению такого значения х , при котором многочлен получит наибольшее значение.

Преобразуем этот многочлен:

Последнее выражение принимает наибольшее значение при х = 6.
Стало быть, произведение слагаемых будет наибольшим, когда оба
слагаемых будут одинаковыми.

Задача:

Имеется запас досок, из которых можно построить
забор общей длиной 200 м. Требуется этим запасом досок огородить
с трех сторон прямоугольный двор, используя для четвертой стороны заводскую стену.

Спрашивается, какую длину надо взять для забора, перпендикулярного к заводской стене, и какую для забора, параллельного заводской стене, чтобы площадь двора оказалась наибольшей. (Легко проверить, что при различных выборах этих длин при постоянстве общей длины забора площадь двора будет, вообще говоря, различной)

Решение:

Пусть длина стороны двора, перпендикулярной
к заводской стене, будет х м (см. рис. 45). Тогда длина стороны, параллельной заводской стене, будет равна м, а площадь двора будет кв.м. или кв.м.

Таким образом, вопрос сводится к нахождению значения х , при котором многочлен получит наибольшее значение.
Преобразуем этот многочлен:

Последнее выражение принимает наибольшее значение при х = 50.

Стало быть, для получения наибольшей площади двора надо длину забора, перпендикулярного к заводской стене, взять равной 50 м, а длину забора, параллельного заводской стене, равной 100 м.

Задача:

Из пунктов А и В (рис. 46) по указанным стрелками направлениям выходят одновременно пароход и яхта; скорость парохода 36 км в час, а яхты 12 км в час. Расстояние между пунктами А и В равно 130 км. Узнать, через сколько часов расстояние между пароходом и яхтой окажется наименьшим.

На рисунке 46 точки С, D, Е и F обозначают положения парохода через один, два, три и четыре часа после начала движения.

Точки с, d, е и f обозначают положения яхты в те же моменты времени.

Сс — есть расстояние между пароходом и яхтой через один час;
Dd — расстояние через два часа;
Ее — расстояние через три часа и т. д.

Решение:

Отметим точками М и N положения парохода и яхты через х часов после их выхода из пунктов А и В (рис. 47). Тогда

a MN будет представлять собой расстояние между пароходом и яхтой. Фигура MBN есть треугольник с прямым углом при вершине В.

На основании теоремы Пифагора *

*

Во всяком треугольнике с прямым углом квадрат стороны, лежащей против прямого угла, равен сумме квадратов остальных сторон. Под термином «квадрат стороны» следует понимать квадрат числа, выражающего длину стороны.

Для решения задачи достаточно узнать, при каком значении буквы х выражение имеет наименьшее значение. Преобразуем это выражение:

Последнее выражение имеет наименьшее значение при . Значит, расстояние между пароходом и яхтой окажется наименьшим спустя часа, т. е. спустя 3 часа 15 мин. после их выхода из пунктов А и В.

Задача:

Может ли выражение принимать отрицательные значения?

Решение:

Преобразуем данное выражение следующим образом:

Выражение не может принимать отрицательных значений ни при каких значениях букв х и у положительных, отрицательных и нулевых). Поэтому и данное выражение не может принимать отрицательных значений.

Задача:

Узнать, при каких значениях букв х и у выражение принимает наименьшее значение.

Решение:

Преобразуем данное выражение следующим образом:

Это выражение имеет наименьшее значение лишь тогда, когда одновременно у — 1 = 0 и х — у — 6 = 0 , т. е. при у = 1 и х= 7.

Задача:

Узнать, при каких значениях букв х и у выражение принимает наибольшее значение.

Решение:

Преобразуем данное выражение следующим об-
разом:

Данное выражение принимает наибольшее значение лишь тогда, когда одновременно у — 2 = 0 и х — у — 1 = 0, т. е. при у = 2 и х = 3.

Задача:

Две железные дороги АВ и CD перпендикулярны друг другу и пересекаются в пункте М, причем расстояния AM и СМ соответственно равны а и b км.

Из пунктов А и С по направлению к М одновременно выходят два поезда со скоростями v и
w км в час. Через сколько часов после отправления расстояние между поездами будет наименьшим?

Решение:

Отметим точками Р и Q положения поездов через х час. после отправления (рис. 48). Тогда
будет представлять собой расстояние между поездами.

На основании теоремы Пифагора (см. сноску к решению задачи 8):

Для решения нашей задачи достаточно узнать, при каком значении буквы х выражение будет иметь наименьшее значение.
Преобразуем это выражение:

Последнее выражение имеет наименьшее значение при Значит, расстояние между поездами будет наименьшим через час после отправления.

Доказательство теоремы Пифагора

Мы уже неоднократно пользовались теоремой Пифагора.

В древнее время эта теорема формулировалась так: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах» (рис. 49).
На рисунке 49 площадь квадрата ABDE равна площади квадрата BCFG плюс площадь квадрата АКНС,
или, кратко,

Современная формулировка теоремы Пифагора несколько иная, а именно: «Если стороны прямоугольного треугольника измерены одной и той же единицей длины, то квадрат числа, выражающего длину гипотенузы, равен сумме квадратов чисел, выражающих длины катетов», т. е. (рис. 50).

Различных доказательств теоремы Пифагора существует более семидесяти. Приведем здесь одно из них.

Возьмем четыре произвольных, но равных между собой прямоугольных треугольника с катетами а и b (а > b) и гипотенузой с (рис. 51).

Расположим эти треугольники последовательно так, как показано на рисунке 52.

Фигура ABCD есть квадрат со стороной с, фигура EFGH — квадрат со cтороной а — b.

Площадь большого квадрата равна сумме площадей четырех треугольников и маленького квадрата. Поэтому

или после преобразований

что и требовалось доказать.

Изложенное здесь доказательство теоремы Пифагора является лишь одyим из примеров применения алгебраических преобразований к решению геометрических задач.

Составление таблицы пифагоровых чисел

Тройка таких целых положительных чисел, что квадрат наибольшего из них равен сумме квадратов двух других, называется тройкой пифагоровых чисел. Например, тройка чисел 3, 4 и 5 есть тройка пифагоровых чисел, так как

Решение:

Чтобы решить поставленную задачу, мы сначала убедимся в том, что равенство является тождеством. Действительно,

Теперь для получения троек пифагоровых чисел достаточно подставлять в каждое из трех выражений

вместо букв а и b те или иные целые положительные числа, соблю¬дая неравенство а > b . Например, взяв а = 2 и b = 1, получим тройку пифагоровых чисел 3; 4; 5;

Таблица пифагоровых чисел

Эта таблица конца не имеет. Нетрудно было бы доказать, что указанным способом получаются все пифагоровы числа. Однако на доказательстве этого останавливаться не будем.

Тождественные преобразования — основные понятия и определения

Рациональные алгебраические выражения. Одночлены и многочлены

Буквенные обозначения, применяемые в алгебре, дают возможность записать общее правило решения множества однотипных задач в виде некоторой формулы. Такая формула показывает, какие действия (и в какой последовательности) следует произвести над определенными величинами, чтобы получить нужный результат. Так, сумма n членов геометрической прогрессии (см. (91.2)) задается формулой

где — первый член прогрессии, а q—ее знаменатель; площадь треугольника определяется формулой

где h — высота треугольника, а b — его основание (201.1), и т. д.

Зная числовые значения величин (буквенных параметров) в правой части формулы, можно, выполняя указанные действия, найти числовое значение искомой величины. Правые части написанных формул дают нам примеры алгебраических выражений; другие примеры алгебраических выражений:

Нет необходимости в строгом определении понятия алгебраического выражения: этот термин можно применять всякий раз, когда дана запись, указывающая алгебраические действия, производимые над некоторыми числами и буквенными величинами.

Если в записи алгебраического выражения используют только рациональные (целые рациональные) действия над буквенными величинами, то оно называется рациональным (целым рациональным) алгебраическим выражением. Первые два выражения (19.1) рациональны.

При подстановке вместо букв указанных числовых значений данное алгебраическое выражение принимает определенное числовое значение (если все действия выполнимы).

Выражение (a + b) / (a—b) имеет смысл при всех значениях а и b, не равных между собой, т. е. при .

Выражение имеет смысл (везде, если не оговорено противное, мы ограничиваемся только действительной областью) при .

Например:

Найти значение алгебраического выражения (ах + b) / (bx—а) при следующих значениях а, b, х:

а) ;

б) , , ;

в)

Решение:

в) выражение не имеет смысла, так как знаменатель обращается в нуль.

Множество всех наборов числовых значений букв, входящих в данное алгебраическое выражение, часто называют областью допустимых значений (о. д. з.). В примере 1 области допустимых значений принадлежат любые тройки значений a, b, х при условии, что .

Два различных по виду алгебраических выражения могут тем не менее иметь равные числовые значения при любых допустимых значениях буквенных параметров (и одинаковые о. д. з.). Вот примеры такого рода:

В таких случаях говорят, что эти алгебраические выражения тождественно равны и пишут:

(часто вместо знака тождественного равенства употребляют просто знак равенства ).

В некоторых случаях о. д. з. двух алгебраических выражений могут различаться, но выражения все же равны при всех значениях буквенных параметров, при которых они оба. определены. Таковы выражения

В первом случае левое выражение не определено при (а правое определено). Во втором случае левое выражение не имеет смысла при , а правое — при , в остальных же случаях они равны. В таких случаях равенства

также часто называют тождественными, подразумевая при этом, что буквенные параметры принимают только значения, при которых имеют смысл оба выражения. Вообще, во избежание неясности лучше говорить так: «данные выражения тождественно равны при значениях буквенных параметров…», указывая область изменения этих параметров, в которой оба выражения принимают равные значения. Так, например, мы называем равенство

тождеством, подразумевая, что a — действительное число. При комплексном а это равенство уже не будет тождеством. Можно сказать, что равенство

удовлетворяется тождественно для всех неотрицательных а (оно не будет тождеством, если рассматривать все действительные значения а).

Одним из основных навыков в области алгебры должно быть умение переходить от одного алгебраического выражения к другому, ему тождественному, более простому или удобному. Такой переход осуществляется с помощью тождественных преобразований. Практически при выполнении этих преобразований встречаются и случаи, когда происходят некоторые изменения о. д. з. На это всякий раз необходимо обращать внимание, так как иначе может быть допущена ошибка. Например, при решении уравнения

«тождественное» преобразование левой части

дало бы нам «решение» — значение, при котором исходное уравнение теряет смысл. Преобразование (19.2) изменяет о. д. з., и, выполняя его, следует исключить значение .

Простейшие алгебраические выражения суть одночлены и многочлены. Следующие алгебраические выражения:

дают нам примеры одночленов. Вообще, одночленом называют выражение, получаемое при умножении числового множителя (коэффициента) на один или несколько буквенных сомножителей. Обычно при этом буквенные сомножители располагают в порядке алфавита, одинаковые сомножители объединяют вместе, пользуясь знаком возведения в степень:

Произведение нескольких одночленов также есть одночлен.

Многочленом (полиномом) называют алгебраическое выражение, представленное как алгебраическая сумма нескольких одночленов, например:

Одночлены, отличающиеся только числовым коэффициентом, называют подобными; так, в записи первого многочлена в (19.3) подобны одночлены 3ах и ах; такие одночлены можно объединить в один одночлен: Зах + ах — 4ах. При записи многочлена следует произвести это действие, называемое приведением подобных членов.

Сумма двух многочленов сама непосредственно является многочленом (в ней следует лишь привести подобные члены). Сформулируем также известные правила умножения одночлена на многочлен и умножения двух многочленов.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, следует умножить на этот одночлен каждый член многочлена; чтбы умножить многочлен на многочлен, следует умножить каждый из одночленов, входящих в запись одного многочлена, на каждый из одночленов второго многочлена (и взять сумму полученных одночленов с учетом правила знаков).

Оба правила вытекают из применения распределительного закона умножения относительно сложения (1.6).

Пример:

Формулы сокращенного умножения

В некоторых часто встречающихся случаях применяют формулы сокращенного умножения двух многочленов; напомним эти формулы.

а) Квадрат суммы и квадрат разности. Квадрат двучлена (бинома) а + b можно записать в виде

На основании правила умножения многочленов можно раскрыть стоящие справа скобки, а именно каждый член первого бинома умножить на каждый член второго бинома и результаты сложить. Получим

или после приведения подобных членов

Формулу (20.1) иногда записывают в виде

Заменив в формуле (20.1) (или (20.2)) b на — b , получим, соответственно, формулы для квадрата разности:

или

Формула (20.2) для квадрата двучлена (бинома) распространяется на случай, когда в квадрат возводится любой многочлен (полином). Покажем это для случая трехчлена. Имеем

Вообще, квадрат алгебраической суммы нескольких слагаемых равен сумме квадратов этих слагаемых плюс сумма удвоенных попарных произведений этих слагаемых (с учетом правила знаков!).

Пример:

Раскрыть скобки в выражении .

Решение:

Имеем

После приведения подобных членов запишем ответ:

б) Куб суммы и куб разности. Чтобы вывести формулу для , заметим, что

Но выражение для уже найдено — (20.2); поэтому

Перемножая почленно многочлены, стоящие в правой части этого равенства, получим

Последний результат можно переписать так:

Заменив в формуле куба суммы (20.6) b через — b , напишем формулу куба разности:

В некоторых случаях формулам (20.6) и (20.7) удобней придать следующий вид:

в) Разность квадратов. Следующая формула:

легко проверяется умножением двучленов в ее левой части.

г) Сумма и разность кубов. Также рекомендуется проверить самостоятельно следующие формулы:

Трехчлены и

в левых частях равенств (20.11), (20.12) часто называют «неполным квадратом» разности или суммы соответственно.

Бином Ньютона

Под биномом Ньютона понимают формулу, дающую выражение степени двучлена с любым натуральным показателем n. Мы можем записать выражения при n = 1, 2, 3 (используя формулы п. 20 для квадрата и куба суммы):

Можно подметить некоторую закономерность: при возведении бинома в степень n в правой части формулы получается сумма n — 1 слагаемых; каждое слагаемое содержит множители а и b в степенях, сумма показателей которых равна степени бинома. Для произвольного натурального n мы можем получить в правой части равенства, выражающего , слагаемые вида , , … , с некоторыми числовыми коэффициентами. Найдем еще , проводя вычисление по некоторой удобной схеме. Именно, запишем

Мы провели вычисление таким образом, чтобы подобные члены оказались Записанными один под другим. Теперь видно, что коэффициенты формулы (21.1): 1, 4, 6, 4, 1 получаются из коэффициентов формулы для куба суммы следующим путем: записываем коэффициенты формулы для в две строки со сдвигом нижней строки вправо:

и складываем числа, подписанные одно под другим;

при этом и получатся коэффициенты формулы (21.1). Совершенно аналогично, для получения коэффициентов формулы, выражающей , пишем

Теперь сама формула для пятой степени суммы напишется в виде

Можно весь этот процесс представить с помощью треугольника Паскаля:

коэффициенты:

Каждая строка этой таблицы (за исключением первой) начинается и заканчивается единицей, любой другой элемент строки равен сумме соседних с ним элементов строки, расположенной над ней. Таким образом, таблица заполняется сверху вниз. Так, например, строка при n — 5 получается из строки при п — 4 по схеме:

а строка при n = 6 — из строки при n = 5 аналогично по схеме

К сожалению, по указанной схеме неудобно находить коэффициенты в формуле для при больших значениях n, так как получить, например, десятую строку можно, лишь продолжив таблицу коэффициентов до десятой строки. Можно указать и общую формулу для любого из коэффициентов в выражении . Эту формулу мы сообщим здесь без вывода, она может быть доказана по индукции.

Первые два коэффициента при и в разложении суть 1 и n; следующий коэффициент при может быть получен по формуле , следующий —при по формуле и т.д. Вообще, коэффициент при в выражении равен

Здесь в числителе пишется произведение k последовательных чисел, начиная от n, расположенных в порядке убывания. В знаменателе, напротив, сомножители 1, 2 … k располагаются, начиная от единицы, в порядке возрастания. Найдем по этому правилу коэффициенты для

Отметим, что коэффициенты симметрично расположенных (от конца и начала) членов всегда оказываются рапными.

В общем виде можно записать формулу так:

Эта формула называется формулой бинома Ньютона.

Пример:

Раскрыть выражение

Решение:

По формуле бинома Ньютона находим

Пример:

Найти член бинома , содежащий а в степени 35/3.

Решение:

Член бинома с номером k (считая от начала) содержит произведение

из условия задачи имеем , откуда k = 5. Поэтому требуется написать член бинома с номером 5:

Разложение многочлена на множители

В некоторых случаях данный многочлен может быть представлен как произведение одночлена на многочлен или как произведение двух многочленов. В первом случае говорят, что за знак скобок можно вынести общий множитель, во втором,— что многочлен разлагается на множители. Нам известны некоторые приемы разложения многочлена на множители, в том числе метод группировки и применение формул сокращенного умножения. Ограничимся разбором нескольких типичных примеров (общего универсального мегода, чтобы узнать, разлагается ли многочлен на множители и найти их, не имеется).

Пример:

Разложить на множители .

Решение:

Производим группировку слагаемых:

Мы применили здесь формулу разности квадратов (20.10) и прием вынесения общего множителя за скобку.

Пример:

Разложить на множители:

а) ; б) .

Решение:

а) Добавим и вычтем выражение ; тогда получим

(применены формулы квадрата суммы (20.1), а затем разности квадратов (20.10)). Окончательно:

б) Добавим к нашему выражению и вычтем выражение 3ab (a + b), чтобы получить куб суммы по формуле (20.8):

В некоторых случаях разложение на множители не удается в действительной области, но может быть осуществлено в комплексной области. Так, например, нельзя разложить на действительные множители, но

Сумма четвертых степеней может быть разложена на множители так:

но она же разлагается и на действительные множители:

Дробные алгебраические выражения

Алгебраическое выражение в записи которого наряду с действиями сложения, вычитания и умножения используют также деление на буквенные выражения, называется дробным алгебраическим выражением. Таковы, например, выражения

Алгебраической дробью мы называем алгебраическое выражение, имеющее вид частного от деления двух целых алгебраических выражений (например, одночленов или многочленов). Таковы, например, выражения

(и третье из выражений (23.1)).

Тождественные преобразования дробных алгебраических выражений имеют по большей части своей целью представить их и виде алгебраической дроби. Для отыскания общего знаменателя используется разложение на множители знаменателей дробей — слагаемых — с целыо отыскания их наименьшего общего кратного. При сокращении алгебраических дробей может нарушаться строгая тождественность выражений: необходимо исключать значения величин, при которых множитель, на который производится сокращение, обращается в нуль.

Приведем примеры тождественных преобразований дробных алгебраических выражений.

Пример:

Упростить выражение

Решение:

Все слагаемые можно привести к общему знаменателю (удобно при этом изменить знак в знаменателе последнего слагаемого и знак перед ним):

Наше выражение равно единице при всех значениях х, кроме и (при этих значениях оно не определено и сокращение дроби незаконно).

Пример:

Представить в виде алгебраической дроби выражение

Решение:

За общий знаменатель можно принять выражение . Находим последовательно:

Иррациональные алгебраические выражения. Радикалы из алгебраических выражений

Алгебраические выражения, в записи которых используются не только четыре рациональных действия, но также знаки радикала (из буквенных выражений), мы называем иррациональными алгебраическими выражениями. Таковы, например, выражения

При определении о. д. з. иррациональных алгебраических выражений следует учитывать, что выражения, находящиеся под знаком радикала четной степени, не должны быть отрицательными, При отыскании числовых значений выражения при данных буквенных значениях параметров корни четной степени понимаются в арифметическом смысле.

Пример:

Найти о. д. з. выражения

и его значение при х = 5, а=1.

Решение:

О. д. з. определяем из условий , . Находим, что о. д. з. определяется неравенствами . При вычислении значения в заданной точке x = 5, а = 1 получаем

При преобразовании иррациональных алгебраических выражений используются все правила действий с корнями (гл. 1,§2). Рассмотрим сначала возможные упрощения выражения типа «корень из одночлена» или «корень из частного двух одночленов». Будем говорить, что корень приведен к простейшей форме, если: 1) он не содержит иррациональности в знаменателе, 2) в нем нельзя сократить его показатель с показателем подкоренного выражения и, наконец, 3) все возможные множители вынесены из-под корня. Всякий данный корень может быть приведен к простейшей форме, т. е. заменен тождественно равным ему, но таким, который отвечает всем трем перечисленным условиям.

Пример:

Привести к простейшей форме следующие корни (a > 0, b > 0):

Решение:

а) Сокращаем на 3 показатель корня и показатель степеней каждого из сомножителей подкоренного выражения

Выносим из-под знака корня множители а и :

Корни, простейшие формы которых отличаются, быть может, лишь коэффициентами (числовыми или буквенными), принято называть подобными. Например, корни и подобны, так как , , а корни и не подобны, так как , а .

При сложении и вычитании подобных корней все они приводятся к простейшей форме, а затем корень выносится за скобки.

Пример:

Произвести указанные действия:

Решение:

Приведем каждый из корней к простейшей форме:

Теперь находим (все корни оказались подобными)

При вынесении сомножителей из-под знака корня четной степени необходимо помнить, что корень понимается в арифметическом смысле. Так, если знаки а, b не указаны, то следует писать не , а . Здесь о. д. з. состоит не только из значений , , но и из значений , . Поэтому

Пример:

Упростить выражение

Находим

Возможны следующие случаи:

Итак,

Если не предполагать заранее, что , , то решение примера еще усложнится, так как придется записать ответ в общей форме:

и затем разбирать четыре возможных случая: 1) , ; 2) , ; 3) , ; 4) , . Предоставляем завершить этот разбор читателю

В примере, который мы сейчас решали, подкоренные выражения представлялись как точные квадраты некоторых двухчленов очевидным способом. В некоторых случаях такое представление подкоренного выражения производится не столь очевидным образом. Так, иногда можно упростить радикалы вида

записав в виде точного квадрата.

Пример:

Упростить выражение

Решение:

Подкоренное выражение перепишем в виде

Теперь имеем

О. д. з. нашего выражения состоит из интервалов , . Нетрудно заметить, что при , а при . Поэтому окончательно имеем

Пример:

Упростить числовые выражения: 1) ; 2) .

Решение:

В последнем случае удается записать подкоренное выражение как точный куб.

Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби

При преобразовании дробного алгебраического выражения, в знаменателе которого записано иррациональное выражение, обычно стремятся представить дробь так, чтобы ее знаменатель был рациональным. Если А, В, С, D, … — некоторые алгебраические выражения, то можно указать правила, с помощью которых можно освободиться от знаков радикала в знаменателе выражений вида

Во всех этих случаях освобождение от иррациональности производится умножением числителя и знаменателя дроби на множитель, выбранный так, чтобы его произведение на знаменатель дроби было рациональным.

1) Для освобождения от иррациональности в знаменателе дроби вида умножаем числитель и знаменатель на .

Пример:

2) В случае дробей вида , умножаем числитель и знаменатель на иррациональный множитель или соответственно, т. е. на сопряженное иррациональное выражение.

Смысл последнего действия состоит в том, что в знаменателе произведение суммы на разность преобразуется в разность квадратов, которая уже будет рациональным выражением.

Пример:

Освободиться от иррациональности в знаменателе выражения:

а) ; б) .

Решение:

а) Умножаем числитель и знаменатель дроби на выражение . Получаем (при условии, что )

б)

3) В случае выражений типа

знаменатель рассматривается как сумма (разность) и умножается на неполный квадрат разности (суммы), чтобы получить сумму (разность) кубов ((20.11), (20.12)). На тот же множитель умножается и числитель.

Пример:

Освободиться от иррациональности в знаменателе выражений:

а) ; б) .

Решение:

а) Рассматривая знаменатель данной дроби как сумму чисел и 1, умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности этих чисел:

или окончательно:

В некоторых случаях требуется выполнить преобразование противоположного характера: освободить дробь от иррациональности в числителе. Оно проводится совершенно аналогично.

Пример:

Освободиться от иррациональности в числителе, дроби .

Решение:

Коэффициент и показатель степени. Одночлены и многочлены

Пусть требуется сложить несколько слагаемых, среди которых могут быть и одинаковые; например, , , , и .

Мы напишем сумму:

Пользуясь законами сложения, переместительным и сочетательным, можно внести в эту запись порядок: .

Повторить число три раза слагаемым — значит то же, что умножить его на ; поэтому .

Таким же образом .

Итак, при любых значениях и можно нашу сумму записать более кратко: .

Пусть требуется перемножить несколько чисел, среди которых необязательно все — различные; например, , , , и .

Мы напишем произведение или .

Пользуясь законами умножения, переместительным и сочетательным, можно дальше следующим образом упорядочить эту запись .

Ради сокращения приняты обозначения: , .

Вообще, если одно и то же число (или какое угодно выражение) нужно взять множителем несколько раз, то пишут его только один раз, а сколько раз оно повторяется множителем, обозначают маленькой цифрой, стоящей правее и выше числа (или выражения).

Таким образом, в нашем примере получается запись: .

Например, подставляя значения , , получим: .

Если требуется перемножить несколько величин, из которых одни могут быть выражены числами, другие — буквами, то обыкновенно сначала пишут произведение числовых множителей, затем буквенные множители в алфавитном порядке. Например, если нужно перемножить , , , , и , то получается произведение: .

Каждое выражение, представляющее собою произведение числового множителя и одного или нескольких буквенных множителей, называется одночленом. Числовой множитель в одночлене называется коэффициентом.

Так, в одночлене коэффициент равен ; выражение же называют иногда буквенной частью одночлена.

Коэффициент может быть целым или дробным, положительным или отрицательным.

Если нужно некоторую величину умножить на дробь, достаточно умножить ее на числитель дроби и разделить на ее знаменатель. Поэтому, скажем, означает то же, что и : выражение можно считать одночленом, имеющим коэффициент .

Точно также одно и то же означают записи: и или еще , и одинаково употребительны.

Если коэффициент не выписан (как, например, в одночлене ), то его, очевидно, следует считать равным единице.

Значок, указывающий, сколько раз то или иное число (или выражение) должно быть взято множителем, называется «показателем степени» при этом числе (или выражении). Например, в одночлене показатель при равен , показатель при равен . Показатель степени при каком-нибудь выражении — целое положительное число.

Если показатель не выписан (например, при выражении ), то его, очевидно, нужно считать равным единице.

Несколько (не менее двух) одночленов, соединенных между собою знаками или , образуют выражение, называемое многочленом.

Сами одночлены, из которых образован многочлен, короче называются членами этого многочлена. Смотря по числу членов, различают двучлены, трехчлены и т. д. Если в многочлене есть члены, не содержащие буквенных множителей, то такие члены называются свободными.

Так, выражение есть многочлен (двучлен), членами которого являются и . Выражение — тоже многочлен (трехчлен), членами которого являются , и ; из них последний — свободный член.

Мы знаем, что вычитание может быть всегда заменено сложением. Поэтому, если несколько выражений соединены между собою знаками или , то полученный результат называется алгебраической суммой и может быть записан также в виде обыкновенной (арифметической) суммы. Например: .

Итак, можно сказать кратко: многочлен есть алгебраическая сумма одночленов.

Знаки минус (если такие есть) обыкновенно относят к коэффициентам: так, вместо можно было бы написать .

Таким образом, следует считать, что в трехчлене коэффициенты при и при суть и , а свободный член равен .

Возведение в степень

Повторное умножение одного и того же числа самого на себя называется возведением в степень.

Пусть — целое положительное число. Тогда выражение обозначает произведение множителей, из которых каждый равен ; оно носит название -й степени и читается « в степени ». Само при этом называется основанием степени, тогда как (как мы уже видели) — показателем степени.

Как мы знаем, вторая степень числа , т. е. , называется также квадратом числа (читается «-квадрат»). Это объясняется тем, что формула дает площадь квадрата со стороной .

Точно так же третья степень числа , т.е. , называется иначе кубом числа (читается «-куб»).

Это объясняется тем, что формула дает объем куба со стороной .

Умножение одночленов

Пусть нужно умножить на . С помощью переместительного и сочетательного законов умножения мы получим: .

Сложение и вычитание одночленов

Пусть нужно сложить одночлены и . Мы получим: .

Если слагаемые одинаковы или одночлены отличаются только своими коэффициентами (или не отличаются совсем), то сумму одночленов можно также написать в виде’одночлена с той же буквенной частью и коэффициентом, равным сумме коэффициентов данных одночленов; например:, .

Это правило следует из распределительного закона умножения: действительно, достаточно в тождестве переставить левую и правую части и потом положить , , чтобы получить равенство

Подобно сложению делается и вычитание. Например: .

В самом деле, мы можем пользоваться прежним правилом, относя знак минус к коэффициенту; другими словами, под «суммой» понимая «алгебраическую сумму»: .

Члены алгебраической суммы называются подобными, если они имеют одинаковые буквенные части и различаются, следовательно, разве только коэффициентами.

Мы уже умеем складывать и вычитать одночлены, которые подобны между собою. Для того, чтобы сложить несколько каких угодно одночленов, достаточно собрать вместе (на основе переместительного и сочетательного законов сложения) все члены, подобные между собой, и затем (на основе распределительного закона) соединить их в один член. Например: .

Такого рода упрощение алгебраической суммы называется приведением подобных членов.

Сложение и вычитание многочленов

Чтобы прибавить многочлен, достаточно прибавить каждый его член в отдельности.

Чтобы вычесть многочлен, достаточно вычесть каждый его член в отдельности.

Так, например:

И точно также:

Прежде чем выполнить сложение или вычитание данных многочленов, мы должны заключить их в скобки; выполняя же эти действия, мы скобки устраняем, или, как говорят, «раскрываем».

Из приведенных примеров видно, что правило сложения или вычитания многочленов можно сформулировать как «правило раскрытия скобок».

Раскрывая скобки, нужно перед каждым членом: сохранять прежний знак, если перед скобками стоит плюс (); менять знак на противоположный, если перед скобками стоит минус ().

Умножение многочлена на одночлен

Чтобы умножить алгебраическую сумму нескольких членов на некоторый множитель, достаточно на этот множитель умножить каждый из членов и результаты сложить. Это следует непосредственно из распределительного закона.

Примеры:

Если нужно умножить многочлен на некоторый множитель, то приходится заключать многочлен в скобки; после же умножения скобки исчезают. Поэтому, вместо того чтобы сказать: «умножим многочлен на одно член», говорят короче: «раскроем скобки».

Равенства, получающиеся в результате выполнения простейших действии над одночленами и многочленами (сложение, вычитание, умножение), являются тождествами, так как справедливы при каких угодно значениях входящих букв.

Буквенные подстановки

Предположим, что у нас имеется тождество, содержащее некоторую букву. Если вместо этой буквы подставить в обеих частях тождества одно и то же алгебраическое выражение, содержащее новые буквы или ту же букву, то получим опять тождество. Тот же результат получится, если тождество содержит несколько букв и мы вместо каждой буквы подставим свое данное выражение.

Пример:

Сделав в тождестве замены, выражающиеся равенствами , , , получим тождество .

Пример:

Заменяя в тождестве буквы и выражениями и , получаем тождество .

Предыдущее замечание делает излишним запоминание четырех различных распределительных законов:

(1)

(2)

(3)

(4)

Достаточно, в самом деле, запомнить формулу (1): формула (2) из нее получается посредством за мены на , формула (3) посредством замены на ,формула (4) посредством одновременной замены на и на .

Из того же распределительного закона (1) следуют также формулы, выражающие правила сложения или вычитания суммы и разности:

(5)

(6)

(7)

(8)

Именно, тождества (5) и (6) получаются из тождеств (1) и (2) посредством замены через ; тождества (7) и (8)— из них же посредством замены через .

Умножение многочлена на многочлен

При умножении многочлена на многочлен также получается многочлен. Этот результат следует из распределительного закона, на который при выполнении действия приходится ссылаться несколько раз.

Предположим, что требуется умножить двучлен на двучлен . Заменяя в тождестве через мы получаем тождество . Дальше остается раскрыть скобки в правой части, и мы получаем окончательно: .

Это тождество мы запишем также в следующей форме: (1)

Умножим теперь двучлен на трехчлен . Заменяя в тождестве (1) через , мы придем к новому тождеству: ; раскрывая скобки справа, получим окончательно: (2).

Посмотрим дальше, как умножить трехчлен на трехчлен . По формуле (2) мы получаем ;

Заменяя теперь через , будем иметь: и остается раскрыть скобки справа. Результат можно записать в следующей форме: (3)

Тождества (1), (2) и (3) соответствуют лишь частным случаям умножения многочлена на многочлен; тем не менее они позволяют подметить общее правило, по которому следует выполнять это действие. Вместе с тем предыдущие рассуждения показывают, как шаг за шагом это правило может быть доказано для любого числа членов в каждом из перемножаемых многочленов.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, достаточно умножить каждый член многочлена-множимого на каждый член многочлена-множителя и затем составить сумму полученных одночленов.

Кроме того, необходимо сделать приведение подобных членов, если таковые окажутся.

Квадрат суммы и разности

Часто приходится некоторый двучлен (сумму или разность) умножать, сам на себя — возводить в квадрат.

Проверьте сами правильность следующих умножений; подробно объясните каждый шаг.

Запишем, прочтем словами и постараемся запомнить полученные формулы:

(«квадрат суммы»)

Квадрат суммы двух слагаемых равен квадрату первого слагаемого» плюс удвоенное произведение первого слагаемого на второе, плюс квадрат второго слагаемого.

(«квадрат разности»)

Квадрат разности двух слагаемых равен квадрату уменьшаемого, минус удвоенное произведение уменьшаемого на вычитаемое, плюс квадрат вычитаемого.

Формулы и представляют собою тождества: они справедливы при всевозможных значениях букв и ; остаются справедливыми также при подстановке вместо и каких угодно буквенных выражений.

Положим, например, , . Получится:

Обратите внимание, что, заменяя в формуле через , мы получаем формулу : , т.е. .

Произведение суммы на разность

Очень важно также уметь без потери времени умножить сумму двух чисел или выражений на их же разность.

Производя умножение на обычным способом, мы получаем:

Таким образом, при всех значениях букв и справедлива формула, которую тоже необходимо запомнить:

(«Произведение суммы на разность»)

Произведение суммы двух чисел (величин) на их разность равно разности их квадратов.

Положим, например, , . Будем иметь:

Куб суммы и разности

Пользуясь формулами и («квадрат суммы и разности», легко получить формулы для «куба суммы и разности».

Именно:

В окончательном виде формулы таковы:

(«Куб суммы»)

Куб суммы двух слагаемых равен сумме: 1) куба первого слагаемого, 2) утроенного произведения квадрата первого слагаемого на второе слагаемое, 3) утроенного произведения первого слагаемого на квадрат второго слагаемого и 4) куба второго слагаемого.

(«Куб разности»)

Куб разности равен сумме: 1) куба уменьшаемого. 2) взятого с обратным знаком утроенного произведения квадрата уменьшаемого на вычитаемое, 3) утроенного произведения уменьшаемого на квадрат вычитаемого и 4) взятого с обратным знаком куба вычитаемого.

Для облегчения запоминания важно заметить, что в обеих формулах и сумма показателей во всех членах равна , причем показатели при от члена к члену убывают, а показатели при возрастают: запомнить же коэффициенты
не представляет труда.

Формула получается из формулы посредством замены на , что влечет за собой чередование знаков начиная с плюса.

Пример:

При , , мы получаем:

и точно так же

Разность и сумма кубов

Нетрудно проверить правильность следующих умножений:

Отсюда следуют формулы:

(«Разность кубов»)

Разность кубов двух чисел (выражений) равна произведению разности самих чисел на сумму: 1) квадрата первого числа, 2) произведения обоих чисел и 3) квадрата второго числа.

(«Сумма кубов»)

Сумма кубов двух чисел (выражений) равна произведению суммы самих чисел на сумму: 1) квадрата первого числа, 2) взятого с обратным знаком произведения обоих чисел и 3) квадрата второго числа.

Обратите внимание, что сумма показателей в каждом из трех членов второго произведения в правой части формул и равна .

Формула получается из формулы после замены на .

Пример:

Полагая , , получим:

Деление на одночлен

Пусть нужно разделить одночлен на одночлен . Мы получаем, пользуясь сокращениями дробей:

В результате может в иных случаях получится и дробь. Например:

Пусть теперь требуется разделить многочлен на одночлен: например, на .

Согласно распределительному закону деления имеет место тождество ; полагая , , , мы сейчас же получим .

Вот другой пример: нужно разделить на . Мы будем иметь:

Здесь выполнить деление «нацело» не удается.

Разложение многочлена на множители

Если в курсе арифметики мы встречаемся с произведением нескольких числовых множителей, то по большей части, не медля, производим умножение: .

Но нередко в арифметике же, напротив, бывает нужно представить данное число в виде произведения множителей; так, мы пишем, например: .

Точно так же в алгебре не всегда целесообразно перемножать данные выражения, а иногда требуется представить данное буквенное выражение в виде произведения множителей.

Сделать это не представляет труда в случае одно члена; так, например, .

Займемся теперь многочленами. В общем случае разложение многочлена на множители может представить затруднения; мы ограничимся указанием простейших приемов.

1. Самый простой прием разложения многочлена на множители заключается в вынесении за скобки одночлена, являющегося произведением числовых и буквенных множителей, входящих во все члены данного многочлена. Это преобразование — обратное умножению многочлена на одночлен, и тоже непосредственно вытекает из распределительного закона умножения; надо лишь переставить левую и правую части: .

Если нужно, скажем, разложить на множители двучлен , то мы получим: .

Здесь мы имеем: , , .

При вынесении одночлена за скобки надо, очевидно, на него делить данное выражение.

2. Более общий прием разложения заключается в группировке членов, выполняемой с таким расчетом, чтобы по вынесении за скобки одночленных множителей в каждой группе в скобках оставался в разных группах один и тот же многочлен, который и выносится вслед за тем, в свою очередь, за скобки. Так мы получаем, например, разложение:

Иногда возможность разложения, усматривается не посредственно: .

3. Довольно часто при разложении многочлена на множители удается воспользоваться основными формулами умножения I — VII. Например:

Выделение квадрата из трехчлена

Следующий прием преобразования («выделение квадрата») в некоторых случаях приводит к разложению на множители; вместе с тем он представляет и самостоятельный интерес.

Пример:

Дано выражение . Оно не составляет «квадрата суммы», но если бы третий член был не , а , то мы имели бы квадрат суммы. Исходя из этого соображения, в данном трехчлене можно «выделить квадрат» следующим образом: .

Пример:

Дано выражение . Оно не составляет «квадрата суммы», но если бы третий член был не , а , то мы имели бы квадрат суммы . Исходя из этого, «выделяем квадрат»: .

Но в этом примере можно произвести и разложение на множители, так как мы получили «разность квадратов»:

Итак, мы получаем: .

О возможности такого разложения можно было бы догадаться и сразу!

Решение заданий и задач по предметам:

Математика
Высшая математика
Математический анализ
Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

Функции и графики
Преобразования графиков функций
Квадратная функция и её графики
Алгебраические неравенства
Неравенства
Неравенства с переменными
Прогрессии в математике
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Показатели в математике
Логарифмы в математике
Исследование уравнений
Уравнения высших степеней
Уравнения высших степеней с одним неизвестным
Комплексные числа
Непрерывная дробь (цепная дробь)
Алгебраические уравнения
Неопределенные уравнения
Соединения
Бином Ньютона
Число е
Непрерывные дроби
Функция
Исследование функций
Предел
Интеграл
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Интегрирование
Неопределённый интеграл
Определенный интеграл
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Несобственные интегралы
Кратные интегралы
Интегралы, зависящие от параметра
Квадратный трехчлен
Производная
Применение производной к исследованию функций
Приложения производной
Дифференциал функции
Дифференцирование в математике
Формулы и правила дифференцирования
Дифференциальное исчисление
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения в частных производных
Тригонометрические функции
Тригонометрические уравнения и неравенства
Показательная функция
Показательные уравнения
Обобщенная степень
Взаимно обратные функции
Логарифмическая функция
Уравнения и неравенства
Положительные и отрицательные числа
Алгебраические выражения
Иррациональные алгебраические выражения
Преобразование алгебраических выражений
Преобразование дробных алгебраических выражений
Разложение многочленов на множители
Многочлены от одного переменного
Алгебраические дроби
Пропорции
Уравнения
Системы уравнений
Системы уравнений высших степеней
Системы алгебраических уравнений
Системы линейных уравнений
Системы дифференциальных уравнений
Арифметический квадратный корень
Квадратные и кубические корни
Извлечение квадратного корня
Рациональные числа
Иррациональные числа
Арифметический корень
Квадратные уравнения
Иррациональные уравнения
Последовательность
Ряды сходящиеся и расходящиеся
Тригонометрические функции произвольного угла
Тригонометрические формулы
Обратные тригонометрические функции
Теорема Безу
Математическая индукция
Показатель степени
Показательные функции и логарифмы
Множество
Множество действительных чисел
Числовые множества
Преобразование рациональных выражений
Преобразование иррациональных выражений
Геометрия
Действительные числа
Степени и корни
Степень с рациональным показателем
Тригонометрические функции угла
Тригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические выражения и их преобразования
Преобразование тригонометрических выражений
Комбинаторика
Вычислительная математика
Прямая линия на плоскости и ее уравнения
Прямая и плоскость
Линии и уравнения
Прямая линия
Уравнения прямой и плоскости в пространстве
Кривые второго порядка
Кривые и поверхности второго порядка
Числовые ряды
Степенные ряды
Ряды Фурье
Преобразование Фурье
Функциональные ряды
Функции многих переменных
Метод координат
Гармонический анализ
Вещественные числа
Предел последовательности
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия на плоскости
Аналитическая геометрия в пространстве
Функции одной переменной
Высшая алгебра
Векторная алгебра
Векторный анализ
Векторы
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов
Операции над векторами
Непрерывность функций
Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Предел и непрерывность функции одной переменной
Производные и дифференциалы функции одной переменной
Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Матрицы
Линейные и евклидовы пространства
Линейные отображения
Дифференциальные теоремы о среднем
Теория устойчивости дифференциальных уравнений
Функции комплексного переменного
Преобразование Лапласа
Теории поля
Операционное исчисление
Системы координат
Рациональная функция
Интегральное исчисление
Интегральное исчисление функций одной переменной
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Отношение в математике
Математическая логика
Графы в математике
Линейные пространства
Первообразная и неопределенный интеграл
Линейная функция
Выпуклые множества точек
Система координат

Источник

Xⁿ	а₀ = b₀
X^n-1	а₁ = b₁ – аb₀
X^n-2	а₂ = b₂ – аb₁
. . . . . .	. . . . . . . . . . . .
X¹	а_{n – 1}= b_{n – 1}– аb_{n – 2}
X⁰	а_n = R – аb_{n – 1}