Как найти минимум функции одной переменной

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.

(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.

(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

(-7): минимум.

(3): максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

1. Найдите производную функции (f'(x)). 
2. Найдите корни уравнения (f'(x)=0). 
3. Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов). 
5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью). 
6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
   — если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
   — если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
   — если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

(15x^4-60x^2=0)      (|:15)
(x^4-4x^2=0)
(x^2 (x^2-4)=0)
(x=0)       (x^2-4=0)
               (x=±2)

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Ответ. (-2).

Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов

Скачать статью

Задача
нахождения минимума функции одной
переменной min/(x)
не­редко
возникает в практических приложениях.
Кроме того, многие методы решения задачи
минимизации функции многих переменных
сводятся к мно­гократному поиску
одномерного минимума. Поэтому разработка
новых, бо­лее эффективных одномерных
методов оптимизации продолжается и
сейчас, несмотря на кажущуюся простоту
задачи.

Примечание.
В
дальнейшем, если не будет особо оговорено,
под мини­мумом функции будет
подразумеваться локальный минимум.

Нахождение
минимума функции осуществляется в два
этапа:

1. Приближенное
определение местоположения минимума.

2. Вычисление
точки минимума x_min
c заданной
точностью s
одним
из
нижеприведенных методов.

На
первом этапе, задав некоторую начальную
точку x
°,
спускаются с заданным шагом h
в
направлении уменьшения функции и
устанавливают ин­тервал длиной 2h,
на
котором находится минимум, из условия
f
( x_m
— h ) < f ( x_m
) < f ( x_m
+ h ). Для
функции, изображенной на рис. 23.1,
если
A
< x °
<
x _g
, будет
выделен интервал [a,b]
с
локальным минимумом x
_min
1,
а если x_g
< x °
<
B — с
глобальным минимумом x
_min
2,
т. е. тот, в области «притяжения» кото­рого
оказалась начальная точка x
°.

Если
на отрезке [a,b]
функция
f
( x ) унимодальна,
т. е. она имеет на этом отрезке единственную
точку минимума x
_min
и
слева от этой точки явля­ется строго
убывающей, а справа —
строго
возрастающей, то для вычисления точки
минимума с заданной точностью могут
использоваться нижеприведен­ные
методы:

23.2.1.
Метод
деления отрезка пополам

Задаются
a,
b и
погрешность s.
Вычисляются
две точки вблизи середи­ны интервала
[a,
b]:

1. x₁
   =
   (a
   +
   b
   —
   s)
   /
   2, x₂
   = (a
   + b + s)
   /
   2.

2. Если
   f
   ( x ₁
   ) > f ( x ₂
   ), то
   a
   = x ₁,
   иначе
   b
   = x ₂.

3. Если
   |
   b — a | > 2s, тогда
   повторяем с п.1.

^{4. Вычисляем
x}min
=
^(a
+ ^b)/2,
JW
=
^f(Xmm
^).

Этот
метод прост в реализации, позволяет
находить минимум разрыв­ной функции,
однако требует большого числа вычислений
функции для обес­печения заданной
точности.

23.2.2.
Метод
золотого сечения

Золотое
сечение — это такое деление отрезка [a,
b] на
две неравные час­ти при котором
отношение большего отрезка ко всему
интервалу равно от­ношению меньшего
отрезка к большему. При этом имеет место
следующее соотношение:

^{(b
— x1)/(b — a)
= (x1
— a)/(b
— x1)
= 1- £ = 0.618, £ = (3 — V5)/2
= 0.382.}

О
точке, которая расположена на расстоянии
£
длины
от одного из кон­цов отрезка, говорят,
что она осуществляет золотое
сечение данного
отрезка. Каждый отрезок имеет две такие
точки, расположенные симметрично
относи­тельно середины. Алгоритм
поиска минимума аналогичен вышеописанному
методу деления пополам и отличается
тем, что вначале точки x₁
и
x₂
выби-

У

раются
так, чтобы они осуществляли золотое
сечение отрезка, и вычисля­ются
значения функции в этих точках. В
последующем, после сокращения интервала
путем отбрасывания небла­гоприятной
крайней точки, на остав­шемся отрезке
уже имеется точка, делящая его в золотом
отношении, (
точка
xj
на
рис. 23.2
) известно
и зна­чение функции в этой точке.
Остается лишь выбрать ей симметричную
и вычислить значение функции в этой
точке для того, чтобы вновь решить,
какую из крайних точек отбросить.

f(xi).

Алгоритм
метода:

Задаются
a,
b и
погрешность s.

1. Вычисляются
две точки

^x1
=
а
+
^£(b
—
ci
^x2
=
b
^-£(Ъ
^—
ci
^yi
=
^f
(хД
^y2
=
^f(x2^)
.

2. Если
yj
> y2, то
a
= xj,
xj
= x2, yi = У2,
x₂
= b — £ (b-a);
У2
=
f(x2),
иначе
b
= x2, x2 = xj,
y2 = yi,
xj
=
a + £ (b-a),

1. Если
   |
   b
   — a > 2s, то
   повторить п.2.

2. Если
   yj
   > y2, то
   a
   = xj,
   иначе
   b
   = x2,

^{5. Вычисляется
x}_mm
=
^(a
+ ^b)/2,
y_mm
=
^f
(x_min^).

^yj
⁼

За
одно вычисление функции отрезок, на
котором находится x_mi_n,

уменьшается
в j-£
=0.62 раза,
т.е. быстрее, чем метод деления пополам,
в ко­тором за два вычисления функции
отрезок уменьшается в 0,5
раза.

23.2.3.
Метод
Фибоначи

На
практике количество вычислений значений
функции часто бывает ограничено
некоторым числом n
(
тем самым ограничено и число шагов
вы­числений по методу золотого
сечения; оно не превышает n-1
). Метод
Фибо­наччи отличается от метода
золотого сечения лишь выбором первых
двух симметричных точек и формул их
пересчета и гарантирует более точное
при­ближение к точке x
_min
за
n
-1 шаг,
чем метод золотого сечения за то же
коли­чество шагов. Согласно методу
Фибоначи, на нулевом шаге первые две
сим­метричные точки вычисляют по
формулам xi⁰
=
ао
+
F n
(
bo
—
ao
)
/ Fn+2
,

X2⁰
=
bo
—
F n
(
bo
—
ao
)
/ Fn+2
=
ao
+
F n
+ 1 (
bo
—
ao
)
/ Fn+2
,

где
F
_n
,
F _n
+ ₁
,
F _n
+ ₂
—
числа
Фибоначи ,
определяемые
рекурентной формулой

F
_k
=
F _k
— 1 +
F k
— 2 ,
k=3, 4, … ; F 1
=
F 2
=
1 Запишем
первые десять чисел Фибоначи :

F1
=1,
F2
=1,
F3
=2,
F4
=
3, F5
=5,
F6
=8,
F₇
=13, F8
=21,
F₉
=34, F10

=55.

В
последующем, после сокращения интервала
путем отбрасывания не­благоприятной
крайней точки, одна из точек пересчитывается
по одной из со­ответствующих формул

_k
^x1^k
=
ak
^+
F
n
— k ^(
b0
^—
a0
^)
/
Fn
+ 2 ^,
x2^k
=
ak
^+
F
n
+ 1 — k ^(
b0
^—
a0
^)
/
Fn
+ 2 ^,

Выполняется
n
— 2 шага,
при k
= 1, 2, … , n — 2, после
чего отбрасывается крайняя неблагоприятная
точка и вычисляется точка минимума x
_min
=
( a _n
—
1
+
b _n
—
1)
/ 2. Погрешность
вычисления точки минимума не превышает
(b₀
— ao)
/
(2F _n
+
2),
т.
е. за три вычисления функции получают
точку минимума с по­грешностью не
превышающей 1
/ 10 первоначального
интервала ,
пять
вы­числений —
1 / 26, восемь
—
1 / 110.

_Т
lim
F_n
/
F_n+2
= (3
-V5)/2, _б

Т.к. ^n
2 то,
при достаточно больших n,
вычисле-

П
—
GO

ния
по методу Фибоначи и золотого сечения
начинаются практически из од­ной и
той же пары симметричных точек.

Алгоритм
метода:

Задаются
a,
b, число
вычислений функции n.

1. Вычисляются
d
= ( b-a ) / F_n+₂
и
две точки

^x1
=
^a
+ ^Fn^d,
x2
=
^a
+ ^Fn+1^d,
J1
=
^f
(x1
X
У2
=
^f
(x2
^)
.

2. Если
yi
> y2 ,
то
a
= xi,
xi = x2, У1
=
У2,
x2
=
a
+
Fn
—
k
d;
У2
=f(x2),
иначе
b
= x2, x2 = xi,
У2
=
У1,
xi
=
a
+
Fn
— k +1 d,
yi
=f(xi).

п.2
повторяется n-2
раза,
при k
= 1, 2, … , n-2.

3. Если
У1
>
У2
,
то
a
=
xi,
иначе
b
= x2

^{4. Вычисляется
x}min
=
^(a
+
^b)/2,
JW
=
^f
(xmin^)
.

23.2.4.
Метод
последовательного перебора

Этот
метод не требует предварительного
определения местоположения точки
минимума. Идея метода состоит в том,
что, спускаясь из точки x₀
с
за­данным шагом h
в
направлении уменьшения функции,
устанавливают интер­вал длиной 2h,
на
котором находится минимум, который
затем последова­тельно уточняют,
повторяя спуск с последней точки,
уменьшив шаг и изме­нив его знак, пока
не будет достигнута заданная точность.
Алгоритм метода приведен ниже.

Задаются
x₀,
некоторый
шаг h
и
погрешность s
.

1. Вычисляем
y_o
= f
(x_o)

2. Определяем
направление убывания функции. Если f
(x_o+sh)
> y_o,
то
h
= -h.

1. Из
   точки x₀
   делается
   шаг x₁=x₀+h
   и
   вычисляются y₁
   = f
   (x₁).

2. Если
   y₁
   < y₀,
   то
   x₀
   = x₁,
   y₀
   = y₁,
   и
   повторить с п.3

5. h
=
—
h
/
4.
В
точке x₁
функция
оказалась большей, чем в x₀,
следова-
тельно,
мы перешагнули точку минимума и
организуем спуск в обратном на-
правлении.

6. Если
| h
|
>
s,
тогда
повторить с п.3

^{7. x}min
=
^xo^,
fmin
=
^f.

Скорость
сходимости данного метода существенно
зависит от удачного выбора начального
приближения x₀
и
шага h.
Шаг
h
следует
выбирать как по­ловину оценки
расстояния от x₀
до
предполагаемого минимума x_mf_n.

23.2.5.
Метод
квадратичной параболы

Для
ускорения спуска к минимуму из некоторой
точки x₀
используют
локальные свойства функции вблизи этой
точки. Так, скорость и направление
убывания можно определить по величине
и знаку первой производной. Вто­рая
производная характеризует направление
выпуклости: если f»>0,
то
функ­ция имеет выпуклость вниз, иначе
— вверх. Вблизи локального безусловного
минимума дважды дифференцируемая
функция всегда выпукла вниз. Поэто­му,
если вблизи точки минимума функцию
аппроксимировать квадратичной параболой,
то она будет иметь минимум. Это свойство
и используется в ме­тоде квадратичной
параболы, суть которого в следующем.

Вблизи
точки x0
выбираются
три точки xj,
x2,
x3.
Вычисляются
значения y₁,
y₂,
y₃.
Через
эти точки проводится квадратичная
парабола

p(
x —
x₃)
+ q( x
—
x₃)
+ r
=
pz
+
qz
+
r,

z
— x x3,
z1
—
x1
x3,
z2
—
x2
x3,
r
— y 3, (23.1)

_p
=
^(y1
^—
y3^)
z2
^—
(y2
^—
y3^)
z1 _q
=
^(y1
^—
y3^)
z2
^—
(y2
^—
y3^)
z1²

^z1^z2^(z1^-z2^{) z}1^z2^(z2^-z1⁾

Если
p>0,
то
парабола имеет минимум в точке z_m
= -b/(2a). Следова­тельно,
можно аппроксимировать положение
минимума функции значением x_m1
= x₃
+ z_m
и,
если точность не достигнута, следующий
спуск производить, используя эту новую
точку и две предыдущие. Получается
последователь­ность x_m1,
x_m2,
x_m3,
…
, сходящаяся
к точке x_m.

Алгоритм
метода можно записать следующим образом
Задается x0,
h
и
s.

1.Выбираем
3
точки:
x₁=x_o-h,x₂=x_o-h,x₃=x_o+h,
2.
Вычисляем
y1
=
f
(x1),
y2
=
f
(x2),
y3
=
f
(.
3.Проверяем
положительность знака второй производной:

h²f»
= y₁
— 2y₂
+ y₃
> 0 (см.
п. (4.7)),
если
нет, то начальное приближение

x0
выбрано
неудачно (в x0
имеется
выпуклость вверх) и следует закончить
вы­числения с таким сообщением, если
да, то переходим к п.4.

4. Вычисляем
z,
z₁,
z₂,
p, q, r, z_m
по
вышеприведенным формулам

(23.1).

5. Переименовываем
точки, отбрасывая точку x₁:

6.
Проверяем
|z_m
| < s,
если
нет, то повторяем с п.4.

^xm
= ^x3
+
^zm^,
ym
= ^f
(xm
X
^конец.

Данный
метод сходится очень быстро и является
одним из наилучших методов спуска.
Следует отметить, однако, что вблизи
минимума расчет по приведенным здесь
формулам для p
и
q
приводит
к накоплению погрешности из-за потери
значащих цифр при вычитании близких
чисел. Поэтому разные авторы предлагают
свои эквивалентные формулы, счет по
которым более ус­тойчив. Кроме того,
в алгоритм вносятся некоторые поправки,
позволяющие предусмотреть различные
неприятные ситуации — переполнение,
деление на 0, уход от корня.

23.2.6.
Метод
кубической параболы

Данный
метод аналогичен предыдущему, но за
счет использования ап­проксимации
кубической параболой имеет более
высокую сходимость, если
функция допускает простое вычисление
производной. При
его использовании вблизи точки x0
выбираются
две точки xi
и
x2
(обычно
x₁
=
x₀),
вычисляются

значения
функции y₁,
y₂
и
ее производной D₁
=
f(x₁),
D₂
= f‘(x₂).
Затем
че­рез эти точки проводится кубическая
парабола, коэффициенты которой
опре­деляются таким образом, чтобы
совпадали значения производных параболы
и функции:

p(x
— x₂)
+ q( x
— x₂)
+ r
(x
— x₂)
+ s
= pz + qz
+ rz + s = P( z),

z=x-x₂,z₁=x₁-x₂,

P(0)
= У2,
P(0)
= D2,
P(z1)
=
У1,
P’(z1)
=
Д.

Как
нетрудно убедиться, коэффициенты
параболы вычисляются по сле­дующим
формулам: s
= У2,
r
= D2,

^p
= ^(D1
^—
D2
^—
2(y1
^—
y2
^—
D2
■ ^z1^)/z1^)z2,
q
= ^(D2
^—
D1
+
^3(y1
^—
y2
^—
D2
^ ^z1^)/z1^)/z1^.‘

Поэтому
приближенное положение минимума можно
получить по фор­муле x_m1=x₂+z_m
и,
если точность не достигнута, следующий
спуск произво-

Известно,
что кубическая парабола имеет минимум
в точке дить уже из точек x₂,
x_m1
(точка
x_j
отбрасывается).
Если подкоренное выра­жение окажется
отрицательным, то спуск следует
производить до точки пере­гиба
параболы z_m1
= -q
/3p
. Следует
также убедиться, что в начальной точке

a,
D₂
— D
_
функция
вогнута вниз — ——
> o.

Алгоритм
метода можно записать следующим образом.
Задаются начальное значение x₀,
некоторый
малый шаг h
и
s.

1. Вычисляем
   x₁
   = x_o,
   D₁
   = f‘(x₁).

2. Если
   D₁
   >
   o, то
   изменяем знак h
   (h=-h).

3. Вычисляем
   x₂
   =
   x₁
   + h, D₂
   = f‘(x₂).

4. Если
   (D₂
   — D₁)/
   h
   < o,
   функция
   вогнута вверх, тогда x₀
   выбрана
   не­удачно и следует закончить
   вычисления с этим сообщением.

5. Вычисляем
   y
   = f
   (x1),
   y2
   =
   f
   (.

6. Вычисляем
   zj,
   p,
   q, r, z_m
   по
   вышеприведенным формулам.

^{7. x}1
=
^x2^,
y1
=
^y2^
^D1
=
^D2^,
x2
=
^x2
+
^zm^,
y2
=
^f
(X2^),
D2
=
^f
‘^(x).

8. Проверяем
|z_m|
< s,
если
нет, тогда повторяем п.6.

^{9. x}m
=
^x2
+
^Zm^,
ym
=
^f
(xm
^ ^конец.

Следует
отметить, что вблизи точки минимума
расчет по приведенным здесь простейшим
формулам для p,
q не
всегда устойчив из-за ошибок округ­ления,
поэтому различные авторы рекомендуют
использовать несколько пре­образованные
формулы.

ЛЕКЦИЯ
24.
РЕШЕНИЕ
ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ