Как найти место встречи двух графиков

Теперь, когда мы с вами научились описывать движение тел, применим паши знания для решения практических задач. Начнем с одной из самых важных и распространенных в природе и технике задач – задачи о встрече тел. Наверняка вы неоднократно слышали о стыковках космических аппаратов, видели, как встречные поезда одновременно подъезжают к промежуточной станции, выпущенная из лука стрела попадает в цель и т. п. Все эти ситуации можно представить как движение двух точечных тел навстречу друг другу. Задача заключается в том, чтобы определить, где произойдет их встреча и когда, т. е. через какое время после начала движения тел, она состоится.

Считается, что два тела встретились, если в некоторый момент времени их положения в пространстве совпали. Иначе говоря, в этот момент времени их координаты в какой-либо системе отсчета сравнялись. Поэтому для решения задачи нам понадобится ввести систему отсчета, в которой необходимо будет описать движение этих тел (в графическом или аналитическом виде). Только таким образом мы сможем грамотно решить данную задачу.

Рассмотрим простой пример. Пусть по прямолинейной дороге навстречу друг другу одновременно начинают двигаться пешеход и велосипедист. Расстояние между ними в момент начала движения составляет l = 20 м. При этом они движутся равномерно относительно дороги навстречу друг другу со скоростями, модули которых |v_п| = 1 м/с и |v_в| = 3 м/с соответственно. (Мы поставили знаки модуля у скоростей движущихся тел. Это связано с тем, что, пока не выбрана система отсчета. мы не можем сказать, у кого из них значение скорости будет положительным, а у кого – отрицательным. Другими словами, мы не можем определить, будут увеличиваться или уменьшаться их координаты в процессе движения.)

Ответим на два вопроса. Где произойдет встреча пешехода и велосипедиста? Когда (через какое время после начала движения) она состоится?

Рассмотрим каждый шаг решения задачи.

Шаг 1. Введем систему отсчета (рис. 20). В качестве тела отсчета выберем землю, а началом отсчета – место, где растет дерево, от которого начинает свое движение пешеход. Координатную ось направим вдоль дороги в направлении движения пешехода. В качестве единицы длины выберем 1 м. Будем считать пешехода и велосипедиста точечными телами. Координата каждого из тел будет численно равна расстоянию от дерева до этого тела в заданный момент времени. Часы (секундомер) включим в тот момент, когда начинается движение.

Шаг 2. Определим значение координа пешехода и велосипедиста в момент включения секундомера. Ясно, что начальная координата пешехода xп0 (читается «икс пэ нулевое») равна 0, а велосипедиста xв0 = 20 м.

Шаг 3. Найдем значения скоростей равномерного движения тел. Из рисунка видно, что в выбранной нами системе отсчета координата пешехода в процессе движения будет увеличиваться. Следовательно, значение скорости пешехода положительно: v_п = 1 м/с. Напротив, велосипедист в выбранной системе отсчета движется так, что его координата со временем уменьшается. Поэтому значение его скорости отрицательно: vв = -3 м/с.

После того как определены начальные координаты и значения скоростей движения тел, можно переходить к описанию их движения. Для этого у нас есть несколько способов. Начнем с графического.

Шаг 4 (графический). Построим систему координат, состоящую из оси времени t и оси координаты X. Отметим начальные координаты пешехода и велосипедиста (рис. 21).

Шаг 5 (графический). Теперь от точки xп0 проведем прямую линию, описывающую зависимость координаты пешехода от времени. Поскольку по условию задачи координата пешехода за каждую секунду увеличиваются на 1 м, то это будет «поднимающаяся» прямая линия, проходящая через точки с координатами (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4;4), (5; 5) и т.д.

График зависимости от времени координаты велосипедиста – это тоже прямая, но она исходит из точки x_в0 = 20 м, расположенной на оси координаты. Координата велосипедиста со временем уменьшается на 3 м за каждую секунду. Поэтому линия, описывающая зависимость этой координаты от времени, «опускается» за каждую секунду на 3 м, т. е. эта линия проходит через точки с координатами (0; 20), (1; 17), (2; 14), (3; 11), (4; 8), (5; 5) и т. д.

Из рис. 21 следует, что прямые, описывающие зависимости координат пешехода и велосипедиста от времени, пересекаются в точке (t_встр = 5 с, x_встр = 5 м). Это означает, что через 5 секунд после начала движения координаты пешехода и велосипедиста становятся равными: x_п = x_в = x_встр = 5 м. Иначе говоря, в этот момент времени положения тел в пространстве совпадут, и, таким образом, в момент t_встр = 5 с в точке с координатой x_встр = 5 м произойдет встречи пешехода и велосипедиста.

Итоги

Встречей двух тел считают совпадение их положений в пространстве (равенство их координат в одной и той же системе отсчета) в некоторый момент времени.

При графическом способе решения задачи о встрече движущихся тел необходимо: ввести систему отсчета; определить начальные координаты и значения скоростей тел; построить графики движения тел; найти точку пересечения этих графиков.

Вопросы

Приведите примеры встречи двух тел. Что означает в кинематике, что два тела встретились?
Перечислите шаги решения задачи «встреча».

Упражнения

Определите графическим способом время и место встречи двух равномерно движущихся навстречу друг другу школьников, если в момент включения часов: а) расстояние между ними l = 30 м, а модули их скоростей |v₁| = 3 м/с, |v₂| = 3 м/с; б) расстояние между ними l = 30 м, |v₁| = 1 м/с, |v₂| = 4 м/с.
Сформулируйте условие задачи, решение которой дано на рис. 22.
Определите место встречи (город) двух равномерно движущихся поездов, которые одновременно выезжают навстречу друг другу из Москвы (|v₁| = 100 км/ч) и Санкт-Петербурга (|v₂| = 50 км/ч) (рис. 23). Расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом – 600 км.

Источник

Графики движения двух тел представлены на рисунке 95. Напишите уравнения движения х = x(t) этих тел. Определите место и время их встречи графически

Ваш ответ

решение вопроса

Написать уравнение движения тел найти место и время встречи

Задачи по физике — это просто!

Не забываем, что решать задачи надо всегда в системе СИ!

А теперь к задачам!

Элементарные задачи из курса школьной физики по кинематике.

Задача на составление описания движения и составление уравнения движения по заданному графику движения

Дано: график движения тела

Найти:
1. составить описание движения
2. составить уравнение движения тела.

Проекцию вектора скорости определяем по графику, выбрав любой удобный для рассмотрения отрезок времени.
Здесь удобно взять t=4c

Составляем уравнение движения тела:

Записываем формулу уравнения прямолинейного равномерного движения.

Подставляем в нее найденный коэффициент V_x (не забываем о минусе!).
Начальная координата тела (X_о) соответствует началу графика, тогда X_о=3

Составляем описание движения тела:

Желательно сделать чертеж, это поможет не ошибиться!
Не забываем, что все физические величины имеют единицы измерения, их необходимо указывать!

Тело движется прямолинейно и равномерно из начальной точки X_о=3м со скоростью 0,75 м/с противоположно направлению оси X.

Задача на определение места и времени встречи двух движущихся тел (при прямолинейном равномерном движении)

Движение тел задано уравнениями движения для каждого тела.

Дано:
1. уравнение движения первого тела
2. уравнение движения второго тела

Найти:
1. координату места встречи
2. момент время (после начала движения), когда произойдет встреча тел

По заданным уравнениям движения строим графики движения для каждого тела в одной системе координат.

Точка пересечения двух графиков движения определяет:

1. на оси t — время встречи ( через сколько времени после начала движения произойдет встреча)
2. на оси X — координату места встречи (относительно начала координат)

В результате:

Два тела встретятся в точке с координатой -1,75 м через 1,25 секунд после начала движения.

Для проверки полученных графическим способом ответов можно решить систему уравнений из двух заданных
уравнений движения:

Для тех, кто почему-то забыл, как построить график прямолинейного равномерного движения:

График движения — это линейная зависимость ( прямая), строится по двум точкам.
Выбираем два любых удобных для простоты расчета значения t₁ и t₂.
Для этих значений t подсчитываем соответствующие значения координат X₁ и X₂.
Откладываем 2 точки с координатами (t₁, X₁) и (t₂, X₂) и соединяем их прямой — график готов!

Задачи на составление описания движения тела и построение графиков движения по заданному уравнению прямолинейного равномерного движения

Задача 1

Дано: уравнение движения тела

Найти:
1. составить описание движения
2. построить график движения

Заданное уравнение сравниваем с формулой и определяем коэффициенты.
Не забываем делать чертеж, чтобы еще раз обратить внимание на направление вектора скорости.

Задача 2

Дано: уравнение движения тела

Найти:
1. составить описание движения
2. построить график движения

Задача 3

Дано: уравнение движения тела

Найти:
1. составить описание движения
2. построить график движения

Задача 4

Дано: уравнение движения тела

Найти:
1. составить описание движения
2. построить график движения

Тело находится в состоянии покоя в точке с координатой X=4м (состояние покоя — это частный случай движения, когда скорость тела равна нулю).

Задача 5

Дано:
начальная координата движущейся точки xo=-3 м
проекция вектора скорости Vx=-2 м/с

Найти:
1. записать уравнение движения
2. построить график движения
3. показать на чертеже векторы скорости и перемещения
4. найти координату точки через 10 секунд после начала движения

Написать уравнение движения тел найти место и время встречи

Задача № 1. В начальный момент времени тело находилось в точке с координатой 5 м, а через 2 мин от начала движения — в точке с координатой 95 м. Определите скорость тела и его перемещение.

Типовая задача «Уравнение координаты. Движение двух тел»

Задача № 2. Движение двух тел задано уравнениями x₁ = 20 – 8t и х₂ = –16 + 10t (время измеряется в секундах, координата — в метрах). Определите для каждого тела начальную координату, проекцию скорости, направление скорости. Вычислите время и место встречи тел.

Типовая задача «График координаты»

Задача № 3. Движение тела задано графиком координаты (зависимости координаты от времени). По графику определите: а) начальную координату тела; б) проекцию скорости тела; в) направление движения тела (по оси х или против оси х); г) запишите уравнение координаты.

Типовая задача «График координаты. Движение нескольких тел»

Задача № 4. На рисунке изображены графики движения трех тел. Изучив рисунок, для каждого тела определите: а) начальную координату; б) скорость; в) направление движения; г) запишите уравнение координаты.

ЗАДАЧИ ПОСЛОЖНЕЕ

Задача № 5. На рисунке представлены графики зависимости координаты х от времени t для пяти тел. Определите скорости этих тел. Проанализируйте точки пересечения графиков. Постройте графики зависимости скорости от времени.

РЕШЕНИЕ:

Задача № 6. По графикам на рисунке напишите уравнения движения x = x(t) . Из уравнений и графиков найдите координаты тел через 5 с , скорости движения тел, время и место встречи второго и третьего тел.

РЕШЕНИЕ:

Задача № 7. ОГЭ Расстояние ( S ) между городами М и К = 250 км . Одновременно из обоих городов навстречу друг другу выезжают автомашины. Машина из города М движется со скоростью = 60 км/ч , из города К — со скоростью ν₂ = 40 км/ч . Построить график зависимости пути от времени для каждой из машин и по ним определить место встречи и время их движения до встречи.

Задача № 8. ЕГЭ Скорость течения реки v_p = 1 м/с , скорость лодки относительно воды v₀ = 2 м/с . Под каким углом к берегу следует держать курс, чтобы лодка двигалась перпендикулярно берегу? За какое время t она переправится через реку, ширина которой d = 200 м ?

Алгоритм решения ЗАДАЧИ на Прямолинейное равномерное движение.

Задачи, описывающие движение, содержат два типа величин: векторные (имеющие направление) и скалярные (выражающиеся только числом). К векторным величинам при описании равномерного прямолинейного движения относятся скорость и перемещение.

Для перехода от векторов к скалярам выбирают координатную ось и находят проекции векторов на эту ось, руководствуясь следующим правилом: если вектор сонаправлен с осью, то его проекция положительна, если противоположно направлен — отрицательна. (Могут быть и более сложные случаи, когда вектор не параллелен координатной оси, а направлен к ней под некоторым углом.) Поэтому при решении задачи обязательно нужно сделать чертеж, на котором изобразить направления всех векторов и координатную ось. При записи «дано» следует учитывать знаки проекций.

При решении задач все величины должны выражаться в международной системе единиц (СИ), если нет специальных оговорок.

В решении задачи единицы величин не пишутся, а записываются только после найденного значения величины.

Это конспект по теме «ЗАДАЧИ на Прямолинейное равномерное движение с решениями». Выберите дальнейшие действия:

источники:

http://class-fizika.ru/sd010.html

ЗАДАЧИ на Прямолинейное равномерное движение

Источник

Тема: Решение задач по теме «Механическое движение» графическим методом с использованием построения графиков (диаграмм) в MS Excel.

Цели:

закрепить ранее изученный материал
научить применять знания и умения, полученные на уроках информатики к решению физических задач, а именно задач по механике
продолжить работу по формированию навыков учащихся анализировать уравнение движения тела, описывать движение;
повторить этапы построения графиков (диаграмм) в MS Excel;
показать практическое применение знаний полученных на уроках информатики и ИКТ к решению физических задач
показать связь между предметами

План урока.

Орг. момент 1 мин
Опрос д/з. (проверка знаний и умений)
Решение задач
Закрепление материала (с/р)
Д/з.

УФ:

Сегодня мы проводим интегрированный урок физики и информатики, для того, что бы вы убедились во взаимосвязи этих предметов и научились применять знания и умения, полученные на уроках информатики к решению физических задач, а именно задач по механике

Вспомним для начала основные моменты, изучаемые в теме «Механическое движение»:

Какова главная задача механики?	Определить положение тела в любой момент времени
Что необходимо знать, что бы определить координату тела в любой момент времени t?	Уравнение движения (функцию, описывающую движение тела)
Какие виды движения мы знаем?	Равномерное и равноускоренное движение
Каков внешний вид графика зависимости координаты от времени для равноускоренного движения?	парабола
Каков внешний вид графика зависимости координаты от времени равномерного движения?	прямая

Таким образом, исходя из целей нашего урока, (А какова цель?/решение физических задач, применяя знания по ИВТ/) Какова будет тема нашего урока?/ Решение задач по теме «Механическое движение»

В тетради записываем тему урока: «Решение задач по теме «Механическое движение»»

Осуществлять нашу цель мы будем решая следующую задачу. (записана на доске).

Задача: движение двух автомобилей по шоссе заданы уравнениями:

x1=2t+0.2t2

x2=80-4t

Описать картину движения
Найти:

Время и место встречи автомобилей (графически)
Расстояние между ними через 5с от начала отсчета времени

Записываем условие в тетрадь и описываем картину движения. (вид движения, x0, V0, ax

x1=2t+0.2t2

равноускоренное;

x0 =0 м, V0=2м/с, ax=0,2м/с2

x2=80-4t

равномерное;

x0=80м, V0=-4м/с

Что значит «-4м/с»?- тело движется против направления отсчета.

УИ

Так как находить место и время встречи мы будем графическим методом, то наша задача построить график и его проанализировать.

с помощью, какой прикладной программы из пакета MS Office мы можем строить графики?	MS Excel
Что позволяет еще выполнять данная программы?	Вычисления
каким способом мы строим графики в MS Excel?	По точкам

Итак наша задача:

выбрать диапазон данных по оси времени
построить таблицу значений
по полученной таблице построить графики
проанализировать полученные графики

Мы имеем два уравнения x1=2t+0.2t2 и x2=80-4t

Что за функция описывает движение первой точки?	Квадратичная
Что является её графиком?	Парабола
Мы рассматриваем положительные значения по оси времени. Что происходит со значениями x1 при росте t?	Возрастают, т.е данная ветвь параболы возрастающая
Что является графиком второй функции?	Прямая
Что происходит со значениями x2 при росте t?	Убывают, т.е она убывающая

УФ

То есть, с точки зрения физики, тела движутся в разные стороны и в этом случае достаточно выбрать диапазон значений по оси t от 0с – момента начала движения тел и до того момента, когда координата второго тела будет равна нулю.

Давайте определим этот момент времени (устно):

0=80-4t => t=20c.

УИ

Проходим к компьютерам вместе с тетрадями. Открываем программу.

Строим таблицу значений для обоих уравнений движения, диапазон значений по оси времени выбираем [0;20]

Строим диаграмму (график по точкам), переносим ось координат, строим точки пересечения, отмечаем их значения. /Ученики строят графики движения, выделяют необходимые точки под руководством учителя информатики./

УФ

Определим:

Время и место встречи автомобилей (10;40)
Расстояние между ними через 5с от начала отсчета времени (60-15=45(м))

Таким образом, имея графики движения тел, мы можем извлечь из них любую интересующую нас информацию.

Давайте найдем координату первого автомобиля, в тот момент, когда второй находится в начале отсчета

120м

Далее продолжим решать самостоятельно в тетради и строя графики на компьютере.

При решении и построении графиков в самостоятельной работе измените цвет линий следующим образом:

если понравился новый метод и урок в целом на красный и розовый цвета
если были трудности при применении нового метода, но урок понравился на синий и зеленый цвета
если были трудности, и урок не понравился, на черный цвет

Вариант 1

Движение материальных точек заданы уравнениями x1=10t+0,4t2 ; x2=300-10,2t. Описать движение каждой точки, найти время и место встречи графическим и математическим методами

Вариант 2

Движение материальных точек заданы уравнениями x1=2t-t2 ; x2=-198+15t. Описать движение каждой точки, найти время и место встречи графическим и математическим методами

Вариант 3

Движение материальных точек заданы уравнениями x1=-136-4t+2t2 ; x2=480-20t. Описать движение каждой точки, найти время и место встречи графическим и математическим методами

Вариант 4

Движение материальных точек заданы уравнениями x1=1050-t-6t2 ; x2=-150+10t. Описать движение каждой точки, найти время и место встречи графическим и математическим методами.

ИТОГ УРОКА

Судя по цвету ваших графиков, у некоторых возникли затруднения при применении нового метода. Давайте их обсудим.

Какие возникли трудности при решении задач?	Разбираем возникшие трудности
Какие возникли трудности при построении графиков?	Разбираем возникшие трудности
Удобно ли строить график в MS Excel?
Наглядны ли результаты представления данных?
Решены ли предложенные задачи учителем физики?
достигну та ли цель урока?

Вывод делают ученики оценивая эффективность применения информационных технологий при решении задач по механике.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Домашнее задание
УФ	Повторить формулы для равноускоренного движения, №151 в сборнике задач и вопросов по физике, автор Лукашик	УИ	Выписать назначения применения различных видов диаграмм в MS Ecxel §21.

Вариант 1

При решении и построении графиков в самостоятельной работе измените цвет линий следующим образом:

если понравился новый метод и урок в целом на красный и розовый цвета
если были трудности при применении нового метода, но урок понравился на синий и зеленый цвета
если были трудности, и урок не понравился, на черный цвет

Вариант 4

При решении и построении графиков в самостоятельной работе измените цвет линий следующим образом:

если понравился новый метод и урок в целом на красный и розовый цвета
если были трудности при применении нового метода, но урок понравился на синий и зеленый цвета
если были трудности, и урок не понравился, на черный цвет

Вариант 3

При решении и построении графиков в самостоятельной работе измените цвет линий следующим образом:

если понравился новый метод и урок в целом на красный и розовый цвета
если были трудности при применении нового метода, но урок понравился на синий и зеленый цвета
если были трудности, и урок не понравился, на черный цвет

Вариант 2

При решении и построении графиков в самостоятельной работе измените цвет линий следующим образом:

если понравился новый метод и урок в целом на красный и розовый цвета
если были трудности при применении нового метода, но урок понравился на синий и зеленый цвета
если были трудности, и урок не понравился, на черный цвет

Решение задач по теме «Механическое движение» графическим методом с использованием построения графиков ‎(диаграмм)‎ в MS Excel

Источник

Посмотрим внимательно на график. Видим две прямые, которые обозначают движение двух объектов, которые направляются навстречу друг другу.

На графике горизонтальная ось абсцисс соответствует времени, пройденному обоими объектами (t), измеренное секундами. А вертикальная ось ординат сообщает расстояние, которое преодолели оба объекта, выражаемое в метрах.

Первый объект (тело I) двигается из точки, соответствующей расстоянию в 300 метров (х0=300), а второй объект (тело II) совершает движение из точки, соответствующей 150 метров (х0 = 150).

Через 20 секунд после начала движения оба объекта тело I и тело II встречаются в одной точке, затем каждый продолжает путь неизменно по тому же прямому пути с той же скоростью.

Точка пересечения графиков дает возможность узнать координаты в момент встречи обоих объектов тела I и тела II плюс посчитать скорость их движения.

Точка на графике — точка, где встречаются оба объекта. Она сообщает координаты: через 20 секунд

тело I проходит расстояние с х0 до х1 — с 300 метров до 200 метров. И тело II проходит расстояние с х0=150 метров до х1=200 метров. Вот в этой точке х=200 метров и в момент времени t=20 секунд произошла встреча обоих объектов.

Теперь посчитаем скорость.

За 20 секунд тело I прошло 100 метров, а за 10 секунд — 50 метров. То, есть посчитаем скорость:

V (тело I) = 50/10 = 5 м/с.

Итак, скорость первого объекта — 5 метров в секунду.

За 20 секунд тело II продвинулось с х0 до х1 со 150 до 200 метров — на расстояние в 50 метров за 20 секунд. Считаем скорость:

V (тело II) = 50/20 = 2,5 м/с.

Как видим, второе тело двигалось в два раза медленнее, поэтому через одинаковый промежуток времени пройдет в два раза меньшее расстояние.

Ответ:

Узнали место встречи, обозначенное на графике в месте пересечения прямых определенными координатами и посчитали скорость движения обоих тел: 5 и 2,5 м/с.

Источник

Подробности: Обновлено 31.05.2018 00:10; Просмотров: 1901

Задачи по физике — это просто!

Не забываем, что решать задачи надо всегда в системе СИ!

А теперь к задачам!

Элементарные задачи из курса школьной физики по кинематике.

Задача на составление описания движения и составление уравнения движения по заданному графику движения

Дано: график движения тела

Найти:
1.
составить описание движения
2. составить
уравнение движения тела.

Тогда:

Составляем уравнение движения тела:

Записываем формулу уравнения прямолинейного равномерного движения.

Составляем описание движения тела:

Движение тел задано уравнениями движения для каждого тела.

Дано:
1.
уравнение движения первого тела
2. уравнение движения второго тела

Найти:
1. координату места встречи
2. момент время (после начала движения), когда произойдет встреча тел

По заданным уравнениям движения строим графики движения для каждого тела в одной системе координат.

Точка пересечения двух графиков движения определяет:

1.
на оси t — время встречи ( через сколько времени после начала движения произойдет встреча)
2. на оси X — координату места встречи (относительно начала координат)

В результате:

Два тела встретятся в точке с координатой -1,75 м через 1,25 секунд после начала движения.

Все было верно!

Для тех, кто почему-то забыл, как построить график прямолинейного равномерного движения:

График движения — это линейная зависимость ( прямая), строится по двум точкам.
Выбираем два любых удобных для простоты расчета значения t₁ и t₂.
Для этих значений t подсчитываем соответствующие значения координат X₁ и X₂.
Откладываем 2 точки
с координатами (t₁, X₁) и (t₂, X₂) и соединяем их прямой — график готов!