Как найти меньший угол между диагоналями прямоугольника

Все углы прямоугольника равны 90 градусов.

Так как диагональ делит угол в отношении 4 : 5, следовательно, 90º = 4 * α + 5 * α = 9 * α.

Следовательно, α = 10º.

Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то меньший угол между диагоналями найдем из равнобедренного треугольника с углами при основании равными (5 * α).

Сумма углов в треугольнике равна 180º.

Тогда, меньший угол между диагоналями β = 180º – 2 * (5 * α) = 180º – 10 * 10º = 80º.

∠1=∠2=150°:2=75°-соответственные при паралейных прямых a и b и секущей с.(объяснение: по условию сумма углов 1 и 2=150°, а они соответственные при паралейных прямых)
∠2 и ∠3-смежные
∠3=180°-75°=105°
Ответ:∠1=75°;∠2=75°;∠3=105°.

С=2πR      C=2·6·π=12π(см)
S=πR²    S=π·6²=36π(см²)

Во вложении
________________

Ответ: 58°
т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°

Как связаны угол между диагоналями прямоугольника и угол между диагональю прямоугольника и его стороной?

Задача 1.

Острый угол между диагоналями прямоугольника равен φ. Найти угол между диагональю прямоугольника и его большей стороной.

Дано:

ABCD — прямоугольник,

AC ∩ BD=O,

∠AOD=φ.

Найти: ∠ACD.

Решение:

I способ

1) ∠DOC=180º-∠AOD=180º-φ (как смежные).

2) Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD

(OC=OD по свойству диагоналей прямоугольника).

Тогда

(как угол при основании равнобедренного треугольника).

Ответ: φ/2.

II способ

Около любого прямоугольника можно описать окружность. Центр описанной около прямоугольника окружности — точка пересечения его диагоналей.

∠ACD — вписанный угол, ∠AOD — соответствующий ему центральный угол. Следовательно,

∠ACD=½ ∠AOD=φ/2.

Задача 2. (обратная к задаче 1)

Угол между диагональю прямоугольника и его большей стороной равен α. Найти меньший  угол между диагоналями прямоугольника.

1) Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD

(так как OC=OD по свойству диагоналей прямоугольника).

Угол при вершине равнобедренного треугольника

∠COD=180º-2∠OCD=180º-2α.

2) ∠AOD=180º-∠COD (как смежные),

∠AOD=180º-(180º-2α)=180º-180º+2α=2α.

Ответ: 2α.

Вывод: острый угол между диагоналями прямоугольника в два раза больше угла между диагональю прямоугольника и его большей стороной.