Мода
и медиана –
особого рода средние, которые используются
для изучения структуры вариационного
ряда. Их иногда называют структурными
средними, в отличие от рассмотренных
ранее степенных средних.
Мода
– это величина признака (варианта),
которая чаще всего встречается в данной
совокупности, т.е. имеет наибольшую
частоту.
Мода
имеет большое практическое применение
и в ряде случаев только мода может дать
характеристику общественных явлений.
Медиана
– это варианта, которая находится в
середине упорядоченного вариационного
ряда.
Медиана
показывает количественную границу
значения варьирующего признака, которой
достигла половина единиц совокупности.
Применение медианы наряду со средней
или вместо нее целесообразно при наличии
в вариационном ряду открытых интервалов,
т.к. для вычисления медианы не требуется
условное установление границ отрытых
интервалов, и поэтому отсутствие сведений
о них не влияет на точность вычисления
медианы.
Медиану
применяют также тогда, когда показатели,
которые нужно использовать в качестве
весов, неизвестны. Медиану применяют
вместо средней арифметической при
статистических методах контроля качества
продукции. Сумма абсолютных отклонений
варианты от медианы меньше, чем от любого
другого числа.
Рассмотрим
расчет моды и медианы в дискретном
вариационном ряду:
|
Стаж, |
Число |
Накопленные |
|
1 |
2 |
2 |
|
3 |
4 |
6 |
|
4 |
5 |
(11) |
|
8 |
4 |
15 |
|
10 |
1 |
16 |
|
ИТОГО: |
16 |
— |
Определить моду и медиану.
Мода
Мо =
4 года, так как этому значению соответствует
наибольшая частота f
= 5.
Т.е.
наибольшее число рабочих имеют стаж 4
года.
Для
того, чтобы вычислить медиану, найдем
предварительно половину суммы частот.
Если сумма частот является числом
нечетным, то мы сначала прибавляем к
этой сумме единицу, а затем делим пополам:
Ме=16/2=8
Медианой
будет восьмая по счету варианта.
Для
того, чтобы найти, какая варианта будет
восьмой по номеру, будем накапливать
частоты до тех пор, пока не получим сумму
частот, равную или превышающую половину
суммы всех частот. Соответствующая
варианта и будет медианой.
Ме
= 4 года.
Т.е.
половина рабочих имеет стаж меньше
четырех лет, половина больше.
Если
сумма накопленных частот против одной
варианты равна половине сумме частот,
то медиана определяется как средняя
арифметическая этой варианты и
последующей.
Вычисление
моды и медианы в интервальном вариационном
ряду
Мода
в интервальном вариационном ряду
вычисляется по формуле
где ХМ0
— начальная
граница модального интервала,
hм0
– величина модального интервала,
fм0,
fм0-1,
fм0+1
– частота
соответственно модального интервала,
предшествующего модальному и последующего.
Модальным
называется такой интервал, которому
соответствует наибольшая частота.
Пример
1
|
Группы |
Число |
Накопленные |
|
1 |
2 |
3 |
|
До |
4 |
4 |
|
2-4 |
23 |
27 |
|
4-6 |
20 |
47 |
|
6-8 |
35 |
82 |
|
8-10 |
11 |
93 |
|
свыше |
7 |
100 |
|
ИТОГО: |
100 |
— |
Определить
моду и медиану.
Решение.
Модальный
интервал [6-8], т.к. ему соответствует
наибольшая частота f
= 35. Тогда:
Хм0=6,
fм0=35
hм0=2,
fм0-1=20
fм0+1=11
Вывод:
Наибольшее число рабочих имеет стаж
примерно 6,7 лет.
Для
интервального ряда Ме вычисляется по
следующей формуле:
где Хме
–
нижняя граница медиального интервала,
hме
– величина медиального интервала,
–
половина суммы частот,
fме
– частота медианного интервала,
Sме-1
–сумма
накопленных частот интервала,
предшествующего медианному.
Медианный
интервал – такой интервал, которому
соответствует кумулятивная частота,
равная или превышающая половину суммы
частот.
Определим
медиану для нашего примера.
Найдем:
т.к
82>50, то медианный интервал [6-8].
Тогда:
Хме
=6, fме
=35,
hме
=2, Sме-1=47,
Вывод: Половина рабочих имеет стаж
меньше 6,16 лет, а половина имеет стаж
больше, чем 6,16 лет.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
8.4. МОДА и МЕДИАНА (структурные средние)
Мода и медиана наиболее часто используемые в экономической практике структурные средние.
Мода – это величина признака (варианта), который наиболее часто встречается в данной совокупности, т.e. это варианта, имеющая наибольшую частоту.
В дискретном ряду мода определяется в соответствии с определением, т.е. это одна из вариант признака, которая в ряду распределения имеет наибольшую частоту.
Для интервального ряда моду находим по формуле (8.16), сначала по наибольшей частоте определив модальный интервал:
(8.16 – формула Моды)
где хо – начальная (нижняя) граница модального интервала;
h – величина интервала;
fМо – частота модального интервала;
fМо-1 – частота интервала, предшествующая модальному;
fМо+1– частота интервала следующая за модальным.
Медианой называется такое значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда, т.е. в ранжированном ряду распределения одна половина ряда имеет значение признака больше медианы, другая – меньше медианы.
В дискретном ряду медиана находится непосредственно по накопленной частоте, соответствующей номеру медианы.
В случае интервального вариационного ряда медиану определяют по формуле:
(8.17 – формула Медианы)
где хо – нижняя граница медианного интервала;
NМе– порядковый номер медианы (Σf/2);
S Me-1 – накопленная частота до медианного интервала;
fМе – частота медианного интервала.
Пример вычисления Моды.
Рассчитаем моду и медиану по данным табл. 8.4.
Таблица 8.4 – Распределение семей города N по размеру среднедушевого дохода в январе 2018 г. руб.(цифры условные)
| Группы семей по размеру дохода, руб. | Число
семей |
Накоп-
ленные частоты |
в % к итогу |
| До 5000 | 600 | 600 | 6 |
| 5000-6000 | 700 | 1300
(600+700) |
13 |
| 6000-7000 | 1700 (fМо-1) | 3000 (S Me-1 )
(1300+1700) |
30 |
| 7000-8000
(хо) |
2500
(fМо) (fМе) |
5500 (S Me) | 55 |
| 8000-9000 | 2200 (fМо+1) | 7700 | 77 |
| 9000-10000 | 1500 | 9200 | 92 |
| Свыше 10000 | 800 | 10000 | 100 |
| Итого | 10000 | – | – |
Пример вычисления Моды. Найдем моду по формуле (8.16) см. обозначения в таблице, а h = 8000-7000=1000, т.е. получаем:
Пример вычисления Моды
Пример вычисления Медианы интервального вариационного ряда. Рассчитаем медиану по формуле (8.17):
1) сначала находим порядковый номер медианы: NМе = Σfi/2= 5000.
2) по накопленным частотам в соответствии с номером медианы определяем, что 5000 находится в интервале (7000 – 8000), далее значение медианы определим по формуле (8.17):
Пример вычисления Медианы
Вывод: по моде – наиболее часто встречается среднедушевой доход в размере 7730 руб., по медиане – что половина семей города имеет среднедушевой доход ниже 7800 руб., остальные семьи – более 7800 руб.
Пример .СРЕДНИЙ, МЕДИАННЫЙ И МОДАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ ДЕНЕЖНЫХ ДОХОДОВ НАСЕЛЕНИЯ ЦЕЛОМ ПО РОССИИ И ПО СУБЪЕКТАМ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЗА 2013 год см. по ссылке. Источник: оценка на основании данных выборочного обследования бюджетов домашних хозяйств и макроэкономического показателя денежных доходов населения
Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию.
Если Мо<Ме<Х – имеет место правосторонняя асимметрия.
При Х<Ме<Мо следует сделать вывод о левосторонней асимметрии ряда.
Средние величины (арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая) см. по ссылке
Оценка статьи:
Загрузка…
В статистических исследованиях довольно широко применяются средние величины. Их нахождение позволяет выявить типичное значение признака исследуемой совокупности. Например, типичный уровень доходов покупателей или возраст большинства клиентов компании. При этом вычисление, к примеру, среднего арифметического не всегда уместно.
Представим такую ситуацию: мы опросили 10 человек на предмет их уровня доходов. У 9-х доходы оказались примерно одинаковыми и составили 10 тыс. руб. Что касается 10-ого опрошенного, то оказалось, что его доход равняется 410 тыс. руб. в месяц. Если мы вычислим простое среднее арифметическое, то типичный доход будет равняться 50 тыс. руб.! Но это явно не так. В таких ситуациях более объективную и правдоподобную картину дает вычисление моды или медианы, которые относятся к структурным средним показателям.
Понятие медианы
Медиана (Me) — значение признака в исследуемом ряду величин, которое делит этот ряд на две равные части.
То есть половина (50%) всех значений в исследуемом ряду будет меньше медианы, а другая половина — больше ее. Поэтому медиану еще называют 50-й перцентиль или квантиль 0,5.
Формула для расчета медианы
Если значений немного, то медиану можно определить «на глазок». Для этого достаточно расположить все значения в порядке возрастания и найти середину.
Если число случаев четное и в центре ряда находятся два разных числа, то медианой будет среднее между ними (даже если такого значения нет в самом ряду исследуемых случаев). Например, в ряду 1 2 3 4 5 6, медианой будет 3,5.
Для нахождения медианы в более сложных случаях (по интервальным рядам) используется специальная формула:
где: Me — медиана;
Xme — нижняя граница медианного интервала (того интервала, накопленная частота которого превышает полусумму всех частот);
ime — величина медианного интервала;
f — частота (сколько раз в ряду встречается то или иное значение);
Sme-1 — сумма частот интервалов предшествующих медианному интервалу;
fme — число значений в медианном интервале (его частота).
Пример вычисления медианы
Был проведен опрос среди покупателей с целью выяснить их типичный возраст. По результатам опроса было установлено, что: 25 покупателей имеют возраст до 20 лет; 32 покупателя — 20-40 лет; 18 покупателей — 40-60 лет; 15 покупателей — свыше 60 лет. Найдем медиану.
Сначала находим медианный интервал. Для этого вычисляем сумму частот: 25 + 32 + 18 + 15 = 90. Половина этой суммы — 45. Это соответствует возрастной группе 20-40 лет (т. к. полученная полусумма частот — 45, и накопленная частота 1-й группы меньше ее, а 3-ей — больше). Тогда нижняя граница медианного интервала — 20 (лет), а величина медианного интервала — 20 (40 лет за вычетом 20). Сумма частот интервалов предшествующих медианному интервалу — 25. Число значений в медианном интервале — 32 (количество покупателей в возрасте 20-40 лет).
Расчетное значение медианы — 32,5. Округив его, получим средний возраст покупателя — 33 года.
Область применения медианы
При вычислении типичного признака неоднородных рядов, имеющих «выбросы» — значения во много раз отличающиеся от других значений ряда.
Особенности медианы
- Медиана обладает высокой робастностью, то есть нечувствительностью к неоднородностям и ошибкам выборки;
- Сумма разностей между членами ряда выборки и медианой меньше, чем сумма этих разностей с любой другой величиной. В том числе с арифметическим средним.
Источники
- Медиана // Википедия. URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/Медиана_(статистика) (дата обращения: 23.10.2013)
- Минашкин В. Г. и др. Курс лекций по теории статистики. – М.: МЭСИ, 2001.
© Копирование любых материалов статьи допустимо только при указании прямой индексируемой ссылки на источник: Галяутдинов Р.Р.
Нашли опечатку? Помогите сделать статью лучше! Выделите орфографическую ошибку мышью и нажмите Ctrl + Enter.
Библиографическая запись для цитирования статьи по ГОСТ Р 7.0.5-2008:
Галяутдинов Р.Р. Медиана // Сайт преподавателя экономики. [2013]. URL: https://galyautdinov.ru/post/mediana (дата обращения: 25.05.2023).
3.1.4. Как вычислить среднюю, моду и медиану интервального ряда?
Начнём опять с ситуации, когда нам даны первичные статические данные:
Пример 10
По результатам выборочного исследования цен на ботинки в магазинах города получены следующие данные (ден. ед.):
– это в точности числа из Примера 6. Но теперь нам нужно найти среднюю, моду и медиану.
Решение: чтобы найти среднюю по первичным данным, нужно
просуммировать все варианты и разделить полученный результат на объём совокупности:
ден. ед.
Эти подсчёты, кстати, займут не так много времени и при использовании оффлайн калькулятора. Но если есть Эксель, то,
конечно, забиваем в любую свободную ячейку:
=СУММ(, выделяем мышкой все числа, закрываем скобку ), ставим знак деления /, вводим число 30 и жмём Enter. Готово.
Что касается моды, то её оценка по исходным данным, становится непригодна. Хоть мы и видим среди чисел
одинаковые, но среди них запросто может найтись так 5-6-7 вариант с одинаковой максимальной частотой, например, частотой 2.
Поэтому модальное значение рассчитывается по сформированному интервальному ряду (см. ниже).
Чего не скажешь о медиане: забиваем в Эксель =МЕДИАНА(, выделяем мышью все числа, закрываем
скобку ) и жмём Enter: 
. Причём, здесь даже ничего
не нужно сортировать.
Но в Примере 6 я проводил сортировку совокупности по возрастанию (вспоминаем и сортируем), и это хорошая возможность
повторить формальный алгоритм отыскания медианы.
Делим объём выборки пополам:
, и поскольку она состоит из чётного
количества вариант, то медиана равна среднему арифметическому 15-й и 16-й варианты упорядоченного (!) вариационного
ряда:
ден. ед.
Ситуация вторая. Когда даны не первичные данные, а готовый интервальный ряд (что в учебных задачах бывает чаще).
Продолжаем анализировать этот же пример с ботинками, где по исходным данным был составлен ИВР. Для вычисления средней потребуются середины 
интервалов:
– чтобы воспользоваться знакомой формулой дискретного случая:
– и это отличный результат! Расхождение с
более точным значением (
), вычисленным по
первичным данным, составило всего 0,04!
Здесь мы использовали упомянутый ранее приём – приблизили интервальный ряд дискретным, и это приближение оказалось
весьма эффективным. Впрочем, с современными программами не составляет особого труда вычислить точное значение даже по
очень большому массиву первичных данных. Если они нам известны 
С другими центральными показателями всё занятнее.
Чтобы найти моду, нужно найти модальный интервал (с максимальной частотой) – в нашей задаче
это интервал 
с частотой 11, и воспользоваться
следующей страшненькой формулой:
, где:
– нижняя граница модального интервала;
– длина модального интервала;
– частота модального интервала;
– частота предыдущего интервала;
– частота следующего интервала.
Таким образом:
ден. ед. – как видите, «модная» цена на
ботинки заметно отличается от среднего арифметического значения 
.
Не вдаваясь в геометрию формулы, просто приведу гистограмму относительных частот
и отмечу 
:
откуда хорошо видно, что мода смещена относительно центра модального интервала в сторону левого интервала
с бОльшей частотой. По той причине, что дешёвых ботинок больше. И, возможно, они тоже вполне себе модные.
Справочно остановлюсь на редких случаях:
– если модальный интервал крайний, то 
либо 
;
– если обнаружатся два смежных модальных интервала, например, 
и 
,
то рассматриваем модальный интервал 
, при этом
близлежащие интервалы (слева и справа) по возможности тоже укрупняем в два раза;
– если между модальными интервалами есть расстояние, то применяем формулу к каждому интервалу, получая тем самым две
или бОльшее количество мод.
Вот такой вот депеш мод 
И медиана. Она рассчитывается чуть по менее страшной формуле. Для её применения
нужно найти медианный интервал – это интервал, содержащий варианту (либо 2 варианты), которая делит вариационный ряд на две
равные части.
Выше я рассказал, как определить медиану, ориентируясь на относительные накопленные частоты
, здесь же сподручнее рассчитать
«обычные» накопленные частоты 
. Вычислительный
алгоритм такой же – первое значение сносим слева (красная стрелка), а каждое следующее получается как сумма
предыдущего с текущей частотой из левого столбца (зелёные обозначения в качестве примера):
Всем понятен смысл чисел в правом столбце? – это количество вариант, которые успели «накопится» на всех «пройденных»
интервалах, включая текущий.
Поскольку у нас чётное количество вариант (30 штук), то медианным будет тот интервал, который содержит 
-ю и 16-ю варианту. И ориентируясь по накопленным частотам, легко
прийти к выводу, что эти варианты содержатся в интервале 
.
Формула медианы:
, где:
– объём статистической совокупности;
– нижняя граница медианного
интервала;
– длина медианного интервала;
– частота медианного интервала;
– накопленная частота
предыдущего интервала.
Таким образом:
ден. ед. – заметим, что медианное
значение, в отличие от моды, оказалось смещено правее, т.к. по правую руку находится значительное количество вариант:
Справочно особые случаи:
– если медианным является крайний левый интервал, то 
;
– если вариационный ряд содержит чётное количество вариант и две средние варианты попали в разные интервалы, то
объединяем эти интервалы, и по возможности удваиваем предыдущий интервал.
Ответ: 
ден. ед.
По сравнению с предыдущей задачей 
,
центральные показатели оказались заметно отличны друг от друга. Это говорит об асимметрии
(«скошенности») распределения цен, что хорошо видно по гистограмме и совершенно логично –
ботинок низкого и среднего ценового сегмента много, а премиального – мало.
Задание для тренировки:
Пример 11
Для изучения затрат времени на изготовление одной детали рабочими завода проведена выборка, в результате которой получено
следующее статистическое распределение:
…да, тот самый завод Петровского Найти среднюю, моду и медиану.
Решаем эту задачу в Экселе – все числа и инструкции уже там. Если нет Экселя, считаем на
калькуляторе, что в данном случае может оказаться даже удобнее. Образец решения, как обычно, в конце книги. Это, кстати, уже
каноничная «интервальная» задача, в которой исследуется непрерывная величина – время.
Что ещё можно сказать по теме?
Несмотря на разнообразия рассмотренных показателей, их всё равно бывает не достаточно. Существуют крайне неоднородные
совокупности, у которых варианты «кучкуются» во многих местах, и по этой причине средняя, мода и
медиана плохо характеризуют положение дел.
В таких случаях вариационный ряд дробят с помощью квартилей, децилей, а в упоротых специализированных исследованиях – и с
помощью перцентилей.
Квартили упорядоченного вариационного ряда – это варианты 
, которые делят его на 4 равные (по количеству вариант) части. Из чего
автоматически следует, что 2-я квартиль – есть в точности медиана: 
.
В тяжёлых случаях проводится разбиение на 10 частей – децилями 
– это варианты, который делят упорядоченный вариационный ряд на 10 равных (по
количеству вариант) частей.
И в очень тяжелых случаях в ход пускается 99 перцентилей 
.
После разбиения вариационного ряда каждый участок исследуется по отдельности – рассчитываются локальные средние и другие
показатели.
В учебном курсе квартили, децили, перцентили встречаются редко, и посему я оставляю этот материал (их нахождение) для
самостоятельного изучения.
Ну а сейчас мы переходим к изучению второй группы статистических показателей:
3.2. Показатели вариации
3.1.3. Медиана
| Оглавление |
Интервальный вариационный ряд и его характеристики
- Построение интервального вариационного ряда по данным эксперимента
- Гистограмма и полигон относительных частот, кумулята и эмпирическая функция распределения
- Выборочная средняя, мода и медиана. Симметрия ряда
- Выборочная дисперсия и СКО
- Исправленная выборочная дисперсия, стандартное отклонение выборки и коэффициент вариации
- Алгоритм исследования интервального вариационного ряда
- Примеры
п.1. Построение интервального вариационного ряда по данным эксперимента
Интервальный вариационный ряд – это ряд распределения, в котором однородные группы составлены по признаку, меняющемуся непрерывно или принимающему слишком много значений.
Общий вид интервального вариационного ряда
| Интервалы, (left.left[a_{i-1},a_iright.right)) | (left.left[a_{0},a_1right.right)) | (left.left[a_{1},a_2right.right)) | … | (left.left[a_{k-1},a_kright.right)) |
| Частоты, (f_i) | (f_1) | (f_2) | … | (f_k) |
Здесь k — число интервалов, на которые разбивается ряд.
Размах вариации – это длина интервала, в пределах которой изменяется исследуемый признак: $$ F=x_{max}-x_{min} $$
Правило Стерджеса
Эмпирическое правило определения оптимального количества интервалов k, на которые следует разбить ряд из N чисел: $$ k=1+lfloorlog_2 Nrfloor $$ или, через десятичный логарифм: $$ k=1+lfloor 3,322cdotlg Nrfloor $$
Скобка (lfloor rfloor) означает целую часть (округление вниз до целого числа).
Шаг интервального ряда – это отношение размаха вариации к количеству интервалов, округленное вверх до определенной точности: $$ h=leftlceilfrac Rkrightrceil $$
Скобка (lceil rceil) означает округление вверх, в данном случае не обязательно до целого числа.
Алгоритм построения интервального ряда
На входе: все значения признака (left{x_jright}, j=overline{1,N})
Шаг 1. Найти размах вариации (R=x_{max}-x_{min})
Шаг 2. Найти оптимальное количество интервалов (k=1+lfloorlog_2 Nrfloor)
Шаг 3. Найти шаг интервального ряда (h=leftlceilfrac{R}{k}rightrceil)
Шаг 4. Найти узлы ряда: $$ a_0=x_{min}, a_i=1_0+ih, i=overline{1,k} $$ Шаг 5. Найти частоты (f_i) – число попаданий значений признака в каждый из интервалов (left.left[a_{i-1},a_iright.right)).
На выходе: интервальный ряд с интервалами (left.left[a_{i-1},a_iright.right)) и частотами (f_i, i=overline{1,k})
Заметим, что поскольку шаг h находится с округлением вверх, последний узел (a_kgeq x_{max}).
Например:
Проведено 100 измерений роста учеников старших классов.
Минимальный рост составляет 142 см, максимальный – 197 см.
Найдем узлы для построения соответствующего интервального ряда.
По условию: (N=100, x_{min}=142 см, x_{max}=197 см).
Размах вариации: (R=197-142=55) (см)
Оптимальное число интервалов: (k=1+lfloor 3,322cdotlg 100rfloor=1+lfloor 6,644rfloor=1+6=7)
Шаг интервального ряда: (h=lceilfrac{55}{5}rceil=lceil 7,85rceil=8) (см)
Получаем узлы ряда: $$ a_0=x_{min}=142, a_i=142+icdot 8, i=overline{1,7} $$
| (left.left[a_{i-1},a_iright.right)) cм | (left.left[142;150right.right)) | (left.left[150;158right.right)) | (left.left[158;166right.right)) | (left.left[166;174right.right)) | (left.left[174;182right.right)) | (left.left[182;190right.right)) | (left[190;198right]) |
п.2. Гистограмма и полигон относительных частот, кумулята и эмпирическая функция распределения
Относительная частота интервала (left.left[a_{i-1},a_iright.right)) — это отношение частоты (f_i) к общему количеству исходов: $$ w_i=frac{f_i}{N}, i=overline{1,k} $$
Гистограмма относительных частот интервального ряда – это фигура, состоящая из прямоугольников, ширина которых равна шагу ряда, а высота – относительным частотам каждого из интервалов.
Площадь гистограммы равна 1 (с точностью до округлений), и она является эмпирическим законом распределения исследуемого признака.
Полигон относительных частот интервального ряда – это ломаная, соединяющая точки ((x_i,w_i)), где (x_i) — середины интервалов: (x_i=frac{a_{i-1}+a_i}{2}, i=overline{1,k}).
Накопленные относительные частоты – это суммы: $$ S_1=w_1, S_i=S_{i-1}+w_i, i=overline{2,k} $$ Ступенчатая кривая (F(x)), состоящая из прямоугольников, ширина которых равна шагу ряда, а высота – накопленным относительным частотам, является эмпирической функцией распределения исследуемого признака.
Кумулята – это ломаная, которая соединяет точки ((x_i,S_i)), где (x_i) — середины интервалов.
Например:
Продолжим анализ распределения учеников по росту.
Выше мы уже нашли узлы интервалов. Пусть, после распределения всех 100 измерений по этим интервалам, мы получили следующий интервальный ряд:
| i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| (left.left[a_{i-1},a_iright.right)) cм | (left.left[142;150right.right)) | (left.left[150;158right.right)) | (left.left[158;166right.right)) | (left.left[166;174right.right)) | (left.left[174;182right.right)) | (left.left[182;190right.right)) | (left[190;198right]) |
| (f_i) | 4 | 7 | 11 | 34 | 33 | 8 | 3 |
Найдем середины интервалов, относительные частоты и накопленные относительные частоты:
| (x_i) | 146 | 154 | 162 | 170 | 178 | 186 | 194 |
| (w_i) | 0,04 | 0,07 | 0,11 | 0,34 | 0,33 | 0,08 | 0,03 |
| (S_i) | 0,04 | 0,11 | 0,22 | 0,56 | 0,89 | 0,97 | 1 |
Построим гистограмму и полигон:
Построим кумуляту и эмпирическую функцию распределения: 
Эмпирическая функция распределения (относительно середин интервалов): $$ F(x)= begin{cases} 0, xleq 146\ 0,04, 146lt xleq 154\ 0,11, 154lt xleq 162\ 0,22, 162lt xleq 170\ 0,56, 170lt xleq 178\ 0,89, 178lt xleq 186\ 0,97, 186lt xleq 194\ 1, xgt 194 end{cases} $$
п.3. Выборочная средняя, мода и медиана. Симметрия ряда
Выборочная средняя интервального вариационного ряда определяется как средняя взвешенная по частотам: $$ X_{cp}=frac{x_1f_1+x_2f_2+…+x_kf_k}{N}=frac1Nsum_{i=1}^k x_if_i $$ где (x_i) — середины интервалов: (x_i=frac{a_{i-1}+a_i}{2}, i=overline{1,k}).
Или, через относительные частоты: $$ X_{cp}=sum_{i=1}^k x_iw_i $$
Модальным интервалом называют интервал с максимальной частотой: $$ f_m=max f_i $$ Мода интервального вариационного ряда определяется по формуле: $$ M_o=x_o+frac{f_m-f_{m-1}}{(f_m-f_{m-1})+(f_m+f_{m+1})}h $$ где
(h) – шаг интервального ряда;
(x_o) — нижняя граница модального интервала;
(f_m,f_{m-1},f_{m+1}) — соответственно, частоты модального интервала, интервала слева от модального и интервала справа.
Медианным интервалом называют первый интервал слева, на котором кумулята превысила значение 0,5. Медиана интервального вариационного ряда определяется по формуле: $$ M_e=x_o+frac{0,5-S_{me-1}}{w_{me}}h $$ где
(h) – шаг интервального ряда;
(x_o) — нижняя граница медианного интервала;
(S_{me-1}) накопленная относительная частота для интервала слева от медианного;
(w_{me}) относительная частота медианного интервала.
Расположение выборочной средней, моды и медианы в зависимости от симметрии ряда аналогично их расположению в дискретном ряду (см. §65 данного справочника).
Например:
Для распределения учеников по росту получаем:
| (x_i) | 146 | 154 | 162 | 170 | 178 | 186 | 194 | ∑ |
| (w_i) | 0,04 | 0,07 | 0,11 | 0,34 | 0,33 | 0,08 | 0,03 | 1 |
| (x_iw_i) | 5,84 | 10,78 | 17,82 | 57,80 | 58,74 | 14,88 | 5,82 | 171,68 |
$$ X_{cp}=sum_{i=1}^k x_iw_i=171,68approx 171,7 text{(см)} $$ На гистограмме (или полигоне) относительных частот максимальная частота приходится на 4й интервал [166;174). Это модальный интервал.
Данные для расчета моды: begin{gather*} x_o=166, f_m=34, f_{m-1}=11, f_{m+1}=33, h=8\ M_o=x_o+frac{f_m-f_{m-1}}{(f_m-f_{m-1})+(f_m+f_{m+1})}h=\ =166+frac{34-11}{(34-11)+(34-33)}cdot 8approx 173,7 text{(см)} end{gather*} На кумуляте значение 0,5 пересекается на 4м интервале. Это – медианный интервал.
Данные для расчета медианы: begin{gather*} x_o=166, w_m=0,34, S_{me-1}=0,22, h=8\ \ M_e=x_o+frac{0,5-S_{me-1}}{w_me}h=166+frac{0,5-0,22}{0,34}cdot 8approx 172,6 text{(см)} end{gather*} begin{gather*} \ X_{cp}=171,7; M_o=173,7; M_e=172,6\ X_{cp}lt M_elt M_o end{gather*} Ряд асимметричный с левосторонней асимметрией.
При этом (frac{|M_o-X_{cp}|}{|M_e-X_{cp}|}=frac{2,0}{0,9}approx 2,2lt 3), т.е. распределение умеренно асимметрично.
п.4. Выборочная дисперсия и СКО
Выборочная дисперсия интервального вариационного ряда определяется как средняя взвешенная для квадрата отклонения от средней: begin{gather*} D=frac1Nsum_{i=1}^k(x_i-X_{cp})^2 f_i=frac1Nsum_{i=1}^k x_i^2 f_i-X_{cp}^2 end{gather*} где (x_i) — середины интервалов: (x_i=frac{a_{i-1}+a_i}{2}, i=overline{1,k}).
Или, через относительные частоты: $$ D=sum_{i=1}^k(x_i-X_{cp})^2 w_i=sum_{i=1}^k x_i^2 w_i-X_{cp}^2 $$
Выборочное среднее квадратичное отклонение (СКО) определяется как корень квадратный из выборочной дисперсии: $$ sigma=sqrt{D} $$
Например:
Для распределения учеников по росту получаем:
| $x_i$ | 146 | 154 | 162 | 170 | 178 | 186 | 194 | ∑ |
| (w_i) | 0,04 | 0,07 | 0,11 | 0,34 | 0,33 | 0,08 | 0,03 | 1 |
| (x_iw_i) | 5,84 | 10,78 | 17,82 | 57,80 | 58,74 | 14,88 | 5,82 | 171,68 |
| (x_i^2w_i) — результат | 852,64 | 1660,12 | 2886,84 | 9826 | 10455,72 | 2767,68 | 1129,08 | 29578,08 |
$$ D=sum_{i=1}^k x_i^2 w_i-X_{cp}^2=29578,08-171,7^2approx 104,1 $$ $$ sigma=sqrt{D}approx 10,2 $$
п.5. Исправленная выборочная дисперсия, стандартное отклонение выборки и коэффициент вариации
Исправленная выборочная дисперсия интервального вариационного ряда определяется как: begin{gather*} S^2=frac{N}{N-1}D end{gather*}
Стандартное отклонение выборки определяется как корень квадратный из исправленной выборочной дисперсии: $$ s=sqrt{S^2} $$
Коэффициент вариации это отношение стандартного отклонения выборки к выборочной средней, выраженное в процентах: $$ V=frac{s}{X_{cp}}cdot 100text{%} $$
Подробней о том, почему и когда нужно «исправлять» дисперсию, и для чего использовать коэффициент вариации – см. §65 данного справочника.
Например:
Для распределения учеников по росту получаем: begin{gather*} S^2=frac{100}{99}cdot 104,1approx 105,1\ sapprox 10,3 end{gather*} Коэффициент вариации: $$ V=frac{10,3}{171,7}cdot 100text{%}approx 6,0text{%}lt 33text{%} $$ Выборка однородна. Найденное значение среднего роста (X_{cp})=171,7 см можно распространить на всю генеральную совокупность (старшеклассников из других школ).
п.6. Алгоритм исследования интервального вариационного ряда
На входе: все значения признака (left{x_jright}, j=overline{1,N})
Шаг 1. Построить интервальный ряд с интервалами (left.right[a_{i-1}, a_ileft.right)) и частотами (f_i, i=overline{1,k}) (см. алгоритм выше).
Шаг 2. Составить расчетную таблицу. Найти (x_i,w_i,S_i,x_iw_i,x_i^2w_i)
Шаг 3. Построить гистограмму (и/или полигон) относительных частот, эмпирическую функцию распределения (и/или кумуляту). Записать эмпирическую функцию распределения.
Шаг 4. Найти выборочную среднюю, моду и медиану. Проанализировать симметрию распределения.
Шаг 5. Найти выборочную дисперсию и СКО.
Шаг 6. Найти исправленную выборочную дисперсию, стандартное отклонение и коэффициент вариации. Сделать вывод об однородности выборки.
п.7. Примеры
Пример 1. При изучении возраста пользователей коворкинга выбрали 30 человек.
Получили следующий набор данных:
18,38,28,29,26,38,34,22,28,30,22,23,35,33,27,24,30,32,28,25,29,26,31,24,29,27,32,24,29,29
Постройте интервальный ряд и исследуйте его.
1) Построим интервальный ряд. В наборе данных: $$ x_{min}=18, x_{max}=38, N=30 $$ Размах вариации: (R=38-18=20)
Оптимальное число интервалов: (k=1+lfloorlog_2 30rfloor=1+4=5)
Шаг интервального ряда: (h=lceilfrac{20}{5}rceil=4)
Получаем узлы ряда: $$ a_0=x_{min}=18, a_i=18+icdot 4, i=overline{1,5} $$
| (left.left[a_{i-1},a_iright.right)) лет | (left.left[18;22right.right)) | (left.left[22;26right.right)) | (left.left[26;30right.right)) | (left.left[30;34right.right)) | (left.left[34;38right.right)) |
Считаем частоты для каждого интервала. Получаем интервальный ряд:
| (left.left[a_{i-1},a_iright.right)) лет | (left.left[18;22right.right)) | (left.left[22;26right.right)) | (left.left[26;30right.right)) | (left.left[30;34right.right)) | (left.left[34;38right.right)) |
| (f_i) | 1 | 7 | 12 | 6 | 4 |
2) Составляем расчетную таблицу:
| (x_i) | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | ∑ |
| (f_i) | 1 | 7 | 12 | 6 | 4 | 30 |
| (w_i) | 0,033 | 0,233 | 0,4 | 0,2 | 0,133 | 1 |
| (S_i) | 0,033 | 0,267 | 0,667 | 0,867 | 1 | — |
| (x_iw_i) | 0,667 | 5,6 | 11,2 | 6,4 | 4,8 | 28,67 |
| (x_i^2w_i) | 13,333 | 134,4 | 313,6 | 204,8 | 172,8 | 838,93 |
3) Строим полигон и кумуляту
Эмпирическая функция распределения: $$ F(x)= begin{cases} 0, xleq 20\ 0,033, 20lt xleq 24\ 0,267, 24lt xleq 28\ 0,667, 28lt xleq 32\ 0,867, 32lt xleq 36\ 1, xgt 36 end{cases} $$ 4) Находим выборочную среднюю, моду и медиану $$ X_{cp}=sum_{i=1}^k x_iw_iapprox 28,7 text{(лет)} $$ На полигоне модальным является 3й интервал (самая высокая точка).
Данные для расчета моды: begin{gather*} x_0=26, f_m=12, f_{m-1}=7, f_{m+1}=6, h=4\ M_o=x_o+frac{f_m-f_{m-1}}{(f_m-f_{m-1})+(f_m+f_{m+1})}h=\ =26+frac{12-7}{(12-7)+(12-6)}cdot 4approx 27,8 text{(лет)} end{gather*}
На кумуляте медианным является 3й интервал (преодолевает уровень 0,5).
Данные для расчета медианы: begin{gather*} x_0=26, w_m=0,4, S_{me-1}=0,267, h=4\ M_e=x_o+frac{0,5-S_{me-1}}{w_{me}}h=26+frac{0,5-0,4}{0,267}cdot 4approx 28,3 text{(лет)} end{gather*} Получаем: begin{gather*} X_{cp}=28,7; M_o=27,8; M_e=28,6\ X_{cp}gt M_egt M_0 end{gather*} Ряд асимметричный с правосторонней асимметрией.
При этом (frac{|M_o-X_{cp}|}{|M_e-X_{cp}|} =frac{0,9}{0,1}=9gt 3), т.е. распределение сильно асимметрично.
5) Находим выборочную дисперсию и СКО: begin{gather*} D=sum_{i=1}^k x_i^2w_i-X_{cp}^2=838,93-28,7^2approx 17,2\ sigma=sqrt{D}approx 4,1 end{gather*}
6) Исправленная выборочная дисперсия: $$ S^2=frac{N}{N-1}D=frac{30}{29}cdot 17,2approx 17,7 $$ Стандартное отклонение (s=sqrt{S^2}approx 4,2)
Коэффициент вариации: (V=frac{4,2}{28,7}cdot 100text{%}approx 14,7text{%}lt 33text{%})
Выборка однородна. Найденное значение среднего возраста (X_{cp}=28,7) лет можно распространить на всю генеральную совокупность (пользователей коворкинга).