Цель урока: сформировать у учащихся
представление о медиане набора чисел и умение
вычислять ее для несложных числовых наборов,
закрепление понятия среднего арифметического
набора чисел.
Тип урока: объяснение нового материала.
Оборудование: доска, учебник под ред. Ю.Н
Тюрина “Теория вероятностей и статистика”,
компьютер с проектором.
Ход урока
1. Организационный момент.
Сообщить тему урока и сформулировать его цели.
2. Актуализация прежних знаний.
Вопросы учащимся:
- Что называется средним арифметическим набора
чисел? - Где располагается среднее арифметическое
внутри набора чисел? - Что характеризует среднее арифметическое
набора чисел? - Где часто применяется среднее арифметическое
набора чисел?
Устные задачи:
Найти среднее арифметическое набора чисел:
- 1, 3, 5, 7, 9;
- 10, 12, 18, 20
Проверка домашнего задания с помощью проектора
(Приложение 1):
Учебник: :№12(б,г), №18(в,г)
3. Изучение нового материала.
На предыдущем уроке мы познакомились с такой
статистической характеристикой как среднее
арифметическое набора чисел. Сегодня мы посвятим
урок еще одной статистической характеристике –
медиане.
Не только среднее арифметическое показывает,
где на числовой прямой располагаются числа
какого-либо набора и где их центр. Другим
показателем является медиана.
Медианой набора чисел называется такое число,
которое разделяет набор на две равные по
численности части. Вместо “медиана” можно было
бы сказать “середина”.
Сначала на примерах разберем, как найти
медиану, а затем дадим строгое определение.
Рассмотрим следующий устный пример с
применением проектора (Приложение
2)
В конце учебного года 11 учеников 7-го класса
сдали норматив по бегу на 100 метров. Были
зафиксированы следующие результаты:
|
Ученик |
Результат в секундах |
| Данила |
15,3 |
| Петя |
16,9 |
| Лена |
21,8 |
| Катя |
18,4 |
| Стас |
16,1 |
| Аня |
25,1 |
| Оля |
19,9 |
| Боря |
15,5 |
| Паша |
14,7 |
| Наташа |
20,2 |
| Миша |
15,4 |
После того как ребята пробежали дистанцию, к
преподавателю подошел Петя и спросил, кокой у
него результат.
“Самый средний результат: 16,9 секунды”, –
ответил учитель
“Почему?” – удивился Петя. – Ведь среднее
арифметическое всех результатов – примерно 18,3
секунды, а я пробежал на секунду с лишним лучше. И
вообще, результат Кати (18,4) гораздо ближе к
среднему, чем мой”.
“Твой результат средний, так как пять человек
пробежали лучше, чем ты, и пять – хуже. То есть ты
как раз посередине”, – сказал учитель. [ 2 ]
Далее предложить учащимся самостоятельно
рассмотреть по учебнику примеры 1,2,3 и
сформулировать алгоритм нахождения медианы
набора чисел.
Записать алгоритм нахождения медианы
набора чисел:
- Упорядочить числовой набор (составить
ранжированный ряд). - Одновременно зачеркиваем “самое большое” и
“самое маленькое” числа данного набора чисел до
тех пор пока не останется одно число или два
числа. - Если осталось одно число, то оно и есть медиана.
- Если осталось два числа, то медианой будет
среднее арифметическое двух оставшихся чисел.
Предложить учащимся самостоятельно
сформулировать определение медианы набора
чисел, затем прочитать в учебнике два
определения медианы ( стр. 50), далее разобрать
примеры 4 и 5 учебника (стр.50-52)
Замечание:
Обратить внимание учащихся на важное
обстоятельство: медиана практически не
чувствительна к значительным отклонениям
отдельных крайних значений наборов чисел. В
статистике это свойство называется
устойчивостью. Устойчивость статистического
показателя – очень важное свойство, оно страхует
нас от случайных ошибок и отдельных
недостоверных данных.
4. Закрепление изученного материала.
Решение номеров из учебника к п.11 “Медиана”.
№ 1(а)
Набор чисел: 1,3,5,7,9
=( 1+3+5+7+9):5=25:5=5
Ме = 5
= Ме
№1(б)
Набор чисел: 1,3,5,7,14.
=( 1+3+5+7+14):5=30:5=6
Ме = 5
> Ме
№5
а) Набор чисел: 3,4,11,17,21
Ме=11
б) Набор чисел: 17,18,19,25,28
Ме=19
в) Набор чисел:25, 25, 27, 28, 29, 40, 50
Ме = 28
Вывод : медиана набора чисел, состоящего из
нечетного числа членов равна числу, стоящему
посередине.
№ 6
а) Набор чисел:2, 4, 8, 9.
Ме = (4+8):2=12:2=6
б) Набор чисел:1,3,5,7,8,9.
Ме = (5+7):2=12:2=6
Медиана набора чисел, содержащего четное число
членов равна полусумме двух чисел, стоящих
посередине.
Задача 1.
Ученик получил в течении четверти следующие
оценки по алгебре:
5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.
Найдите средний балл и медиану этого набора. [ 3 ]
- Найдем средний балл, то есть среднее
арифметическое: - Найдем медиану этого набора чисел:
= ( 5+4+2+5+5+4+4+5+5+5): 10=44:10 =
4,4
Упорядочим набор чисел: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5
Всего 10 чисел, чтобы найти медиану надо взять
два средних числа и найти их полусумму.
Ме = (5+5):2 = 5
Вопрос к учащимся: Если бы вы были учителем,
какую бы вы поставили оценку за четверть этому
ученику? Ответ обоснуйте.
Задача 2.
Президент компании получает зарплату 300000 руб.
три его заместителя получают по 150000 руб., сорок
служащих – по 50000 руб. и зарплата уборщицы
составляет 10000 руб. Найдите среднее
арифметическое и медиану зарплат в компании.
Какую из этих характеристик выгоднее
использовать президенту в рекламных целях?
= (
300000+3·150000+40·50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:45
61333,33 (руб.)
Ме = 50000 руб.
В рекламных целях выгоднее использовать
среднее арифметическое зарплат, т.к. она выше.
Задача 3. (Предложить учащимся решить
самостоятельно, задачу спроецировать с помощью
проектора)
В таблице показан примерный объем воды
крупнейших озер и водохранилищ России в куб. км. (Приложение 3) [ 4 ]
|
Водоем |
Объем воды в куб. км |
| Ладожское озеро | 900 |
| Онежское озеро | 290 |
| Озеро Байкал | 23000 |
| Рыбинское водохранилище | 30 |
| Куйбышевское водохранилище | 60 |
| Цимлянское водохранилище | 20 |
| Саяно-Шушенское водохранилище | 30 |
| Волгоградское водохранилище | 30 |
| Красноярское водохранилище | 60 |
| Братское водохранилище | 170 |
А) Найдите средний объем воды в данных водоемах
(среднее арифметическое);
Б) Найдите объем воды в среднем по величине
водоеме (медиану данных);
В) По вашему мнению, какая из этих характеристик
– среднее арифметическое или медиана – лучше
описывает объем типичного крупного водоема
России? Ответ объясните.
Ответ :
а) 2459 куб. км
б) 60 куб. км
в) Медиана, т.к. данные содержат значения сильно
отличающиеся от всех прочих.
Задача 4. Устно.
А) Сколько чисел в наборе, если его медианой
служит ее девятый член?
Б) Сколько чисел в наборе, если его медианой
служит среднее арифметическое 7-го и 8-го членов?
В) В наборе из семи чисел наибольшее число
увеличили на 14. Изменится ли при этом и как
среднее арифметическое и медиана ?
Г) Каждое из чисел набора увеличили на 3. Что
произойдет со средним арифметическим и медианой?
Задача 5.
Конфеты в магазине продают на вес. Чтобы узнать,
сколько конфет содержится в одном килограмме,
Маша решила найти вес одной конфеты. Она взвесила
несколько конфет и получила следующие
результаты:
12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.
Решение.
= 13,33
Ме = 13
Для оценки веса одной конфеты пригодны обе
характеристики, т.к. они не сильно отличаются
друг от друга.
Итак, для характеристики статистической
информации используют среднее арифметическое и
медиану. Во многих случаях какая-то из
характеристик может не иметь никакого
содержательного смысла( например, имея сведения
о времени дорожно-транспортных происшествий,
вряд ли имеет смысл говорить о среднем
арифметическом этих данных).
- Домашнее задание :пункт 11, № 3,4,9,11.
- Итоги урока. Рефлексия.
Литература:
- Ю.Н. Тюрин и др. “Теория вероятностей и
статистика”, Издательство МЦНМО, ОАО
“Московские учебники”, Москва 2008. - Е.А. Бунимович, В.А. Булычев “Основы статистики и
вероятность”, ДРОФА, Москва 2004. - Газета “Математика” №23, 2007 год.
- Демоверсия контрольной работы по теории
вероятностей и статистике для 7 класса, 2007/2008 уч.
год.
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Среднее значение, медиана и мода — значения, которые часто используются в статистике и математике. Эти значения найти довольно легко, но их легко и перепутать. Мы расскажем, что они из себя представляют и как их найти.
-
1
Сложите все числа, которые вам даны. Допустим, вам даны числа 2, 3 и 4. Сложим их: 2 + 3 + 4 = 9.
-
2
Сосчитайте количество чисел. У нас есть три цифры.
-
3
Разделите сумму чисел на их количество. Берем 9, делим на 3. 9/3 = 3. Среднее значение в данном случае равно 3. Помните, что не всегда получается целое число.
Реклама
-
1
Запишите все числа, которые вам даны, в порядке возрастания. Например, нам даны числа: 4, 2, 8, 1, 15. Запишите их от меньшего к большему, вот так: 1, 2, 4, 8, 15.
-
2
Найдите два средних числа. Мы расскажем, как это сделать, если у вас имеется четное количество чисел, и как это сделать, если количество чисел нечетное:
- Если у вас нечетное количество чисел, вычеркните левое крайнее число, затем правое крайнее число и так далее. Один оставшийся номер и будет искомой медианой. Если вам дан ряд чисел 4, 7, 8, 11, 21, тогда 8 — медиана, так как 8 стоит посередине.
- Если у вас четное количество чисел, вычеркните по одному числу с каждой стороны, пока у вас не останется два числа посередине. Сложите их и разделите на два. Это и есть значение медианы. Если вам дан ряд чисел 1, 2, 5, 3, 7, 10, то два средних числа — это 5 и 3. Сложим 5 и 3, получим 8, разделим на два, получим 4. Это и есть медиана.
Реклама
-
1
Запишите все числа в ряд. Например, вам даны числа 2, 4, 5, 5, 4 и 5. Запишите их в порядке возрастания.
-
2
Найдите число, которое чаще всего встречается. В данном случае это 5. Если два числа встречаются одинаково часто, то этот ряд двухвершинный или бимодальный, а если больше — то мультимодальный.
Реклама
Советы
- Вам будет легче найти моду и медиану, если вы запишете числа в порядке возрастания.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 355 010 раз.
Была ли эта статья полезной?
Онлайн калькулятор для нахождения медианы ряда чисел. Медианой (серединой) набора чисел называется число стоящее посередине упорядоченного по возрастанию ряда чисел. Если количество чисел в ряду чётное, то медианой ряда является полусумма двух стоящих посередине чисел.
Применяется в математической статистике — число, характеризующее выборку (например, набор чисел), также используется для вычисления медианной зарплаты.
Формула медианы числового набора, пример вычисления медианы числового ряда: 3, 7, 1, 6, 9
Решение: упорядочиваем список чисел в порядке возрастания: 1, 3, 6, 7, 9. Поскольку количество чисел в ряду нечётное, то число 6 стоящее по середине и будет являться медианой данного ряда.
Пример нахождения медианы ряда чисел: 1, 5, 8, 4, 3, 9
Решение: записываем все числа ряда в порядке возрастания: 1, 3, 4 ,5, 8, 9. Поскольку чисел в ряду чётное, то медиана этого ряда будет равна полусумме двух средних чисел: (4+5)/2 = 4.5
Центральную тенденцию данных можно рассматривать не только, как значение с нулевым суммарным отклонением (среднее арифметическое) или максимальную частоту (мода), но и как некоторую отметку (значение в совокупности), делящую ранжированные данные (отсортированные по возрастанию или убыванию) на две равные части. Половина исходных данных меньше этой отметки, а половина – больше. Это и есть медиана.
Итак, медиана в статистике – это уровень показателя, который делит набор данных на две равные половины. Значения в одной половине меньше, а в другой больше медианы. В качестве примера обратимся к набору нормально распределенных случайных чисел.
Очевидно, что при симметричном распределении середина, делящая совокупность пополам, будет находиться в самом центре – там же, где средняя арифметическая (и мода). Это, так сказать, идеальная ситуация, когда мода, медиана и средняя арифметическая совпадают и все их свойства приходятся на одну точку – максимальная частота, деление пополам, нулевая сумма отклонений – все в одном месте. Однако, жизнь не так симметрична, как нормальное распределение.
Допустим, мы имеем дело с техническими замерами отклонений от ожидаемой величины чего-нибудь (содержания элементов, расстояния, уровня, массы и т.д. и т.п.). Если все ОК, то отклонения, скорее всего, будут распределены по закону, близкому к нормальному, примерно, как на рисунке выше. Но если в процессе присутствует важный и неконтролируемый фактор, то могут появиться аномальные значения, которые в значительной мере повлияют на среднюю арифметическую, но при этом почти не затронут медиану.
Медиана выборки – это альтернатива средней арифметической, т.к. она устойчива к аномальным отклонениям (выбросам).
Математическим свойством медианы является то, что сумма абсолютных (по модулю) отклонений от медианного значения дает минимально возможное значение, если сравнивать с отклонениями от любой другой величины. Даже меньше, чем от средней арифметической, о как! Данный факт находит свое применение, например, при решении транспортных задач, когда нужно рассчитать место строительства объектов около дороги таким образом, чтобы суммарная длина рейсов до него из разных мест была минимальной (остановки, заправки, склады и т.д. и т.п.).
Формула медианы
Формула медианы в статистике для дискретных данных чем-то напоминает формулу моды. А именно тем, что формулы как таковой нет. Медианное значение выбирают из имеющихся данных и только, если это невозможно, проводят несложный расчет.
Первым делом данные ранжируют (сортируют по убыванию). Далее есть два варианта. Если количество значений нечетно, то медиана будет соответствовать центральному значению ряда, номер которого можно определить по формуле:
где
№Me – номер значения, соответствующего медиане,
N – количество значений в совокупности данных.
Тогда медиана обозначается, как
Это первый вариант, когда в данных есть одно центральное значение. Второй вариант наступает тогда, когда количество данных четно, то есть вместо одного есть два центральных значения. Выход прост: берется средняя арифметическая из двух центральных значений:
В интервальных данных выбрать конкретное значение не представляется возможным. Медиану рассчитывают по определенному правилу.
Для начала (после ранжирования данных) находят медианный интервал. Это такой интервал, через который проходит искомое медианное значение. Определяется с помощью накопленной доли ранжированных интервалов. Где накопленная доля впервые перевалила через 50% всех значений, там и медианный интервал.
Не знаю, кто придумал формулу медианы, но исходили явно из того предположения, что распределение данных внутри медианного интервала равномерное (т.е. 30% ширины интервала – это 30% значений, 80% ширины – 80% значений и т.д.). Отсюда, зная количество значений от начала медианного интервала до 50% всех значений совокупности (разница между половиной количества всех значений и накопленной частотой предмедианного интервала), можно найти, какую долю они занимают во всем медианном интервале. Вот эта доля аккурат переносится на ширину медианного интервала, указывая на конкретное значение, именуемое впоследствии медианой.
Обратимся к наглядной схеме.
Немного громоздко получилось, но теперь, надеюсь, все наглядно и понятно. Чтобы при расчете каждый раз не рисовать такой график, можно воспользоваться готовой формулой. Формула медианы имеет следующий вид:
где xMe — нижняя граница медианного интервала;
iMe — ширина медианного интервала;
∑f/2 — количество всех значений, деленное на 2 (два);
S(Me-1)— суммарное количество наблюдений, которое было накоплено до начала медианного интервала, т.е. накопленная частота предмедианного интервала;
fMe — число наблюдений в медианном интервале.
Как нетрудно заметить, формула медианы состоит из двух слагаемых: 1 – значение начала медианного интервала и 2 – та самая часть, которая пропорциональна недостающей накопленной доли до 50%.
Для примера рассчитаем медиану по следующим данным.
Требуется найти медианную цену, то есть ту цену, дешевле и дороже которой по половине количества товаров. Для начала произведем вспомогательные расчеты накопленной частоты, накопленной доли, общего количества товаров.
По последней колонке «Накопленная доля» определяем медианный интервал – 300-400 руб (накопленная доля впервые более 50%). Ширина интервала – 100 руб. Теперь остается подставить данные в приведенную выше формулу и рассчитать медиану.
То есть у одной половины товаров цена ниже, чем 350 руб., у другой половины – выше. Все просто. Средняя арифметическая, рассчитанная по этим же данным, равна 355 руб. Отличие не значительное, но оно есть.
Расчет медианы в Excel
Медиану для числовых данных легко найти, используя функцию Excel, которая так и называется — МЕДИАНА. Другое дело интервальные данные. Соответствующей функции в Excel нет. Поэтому нужно задействовать приведенную выше формулу. Что поделаешь? Но это не очень трагично, так как расчет медианы по интервальным данным – редкий случай. Можно и на калькуляторе разок посчитать.
Напоследок предлагаю задачку. Имеется набор данных. 15, 5, 20, 5, 10. Каково среднее значение? Четыре варианта:
а) 11;
б) 5;
в) 10;
г) 5, 10, 11.
Мода, медиана и среднее значение выборки – это разный способ определить центральную тенденцию в выборке.
Ниже видеоролик о том, как рассчитать медиану в Excel.
Поделиться в социальных сетях:
Правила ввода
Вводить можно целые(1, 2, 3, -7), десятичные(0.25, -1.15), дробные(-1/8, 32/9). Если необходимо ввести смешанное число, то нужно перед вводом перевести его в неправильную обыкновенную дробь. Т.е. 1 целая 1/2 вводить нужно будет как 3/2.
При вводе десятичных дробей использовать точку. Запятая зарезервирована под разделитель.
В качестве разделителя можно использовать любой символ кроме цифр(0-9), слэша(/), точки(.), знака минус(-). Остальные символы и перенос строки будут программой заменены на разделители.
Калькулятор может находить медиану 3 чисел, 4 чисел, 5 чисел. Количество ограничено 500 числами.
Определение медианы ряда чисел
Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом чисел, называется число записанное посередине.
Медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом чисел, называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.
Как найти медиану ряда чисел
- Для начала необходимо отсортировать по возрастанию данный ряд
- Если количество чисел в ряду нечётное, то медианой будет среднее число
- Если количество чисел в ряду чётное, то медианой будет среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.
Пример нахождения медианы ряда чисел
Пример 1
Дан ряд чисел 4, 7, 2, 6, 3, 1 необходимо найти медиану данного ряда.
Отсортируем ряд по возрастанию
1, 2, 3, 4, 6, 7
Т.к. количество чисел чётное медиана будет равна (3+4)/2=3.5
Пример 2
Дан ряд чисел 0.4, 0.7, 0.2, 0.6, 0.3 необходимо найти медиану данного ряда.
Отсортируем ряд по возрастанию
0.2, 0.3, 0.4, 0.6, 0.7
Т.к. количество чисел нечётное медиана будет равна 0.4
Найти медиану чисел 3, 6, 12
Найти медиану чисел 158, 166, 134, 130, 132
Найти медиану чисел 30, 32, 37
Найти медиану чисел 102, 104, 205