Как найти матрицу леонтьева

Перейдем к построе­нию математической модели. Для этого введем понятие коэффициентов прямых материальных затрат:

                                  (1)

Коэффициент aij показывает, какое количество i-го продукта затрачивается на производство единицы j-го продукта.

Поскольку продукция измеряется в стоимостных единицах, коэффици­енты прямых затрат являются величинами безразмерными. Кроме того, из (1) следует, что

                                 (2)

Считая коэффициенты прямых материальных затрат постоянными, запишем систему балансовых соотношений

следующим образом:

Перенося yi в правую часть, а xi в левую и меняя знаки на противопо­ложные, получаем

В матричной форме эта система уравнений выглядит следующим обра­зом:

X — AX = Y  или  (E — A) X = Y,

где Е — единичная матрица n-го порядка;

 — матрица коэффициентов прямых материальных затрат.

Итак, мы получили систему уравнений межотраслевого баланса, кото­рую называют моделью Леонтьева. Используя эту модель, можно ответить на основной вопрос межотраслевого анализа — каким должно быть валовое производство каждой отрасли для того, чтобы экономическая система в целом произвела заданное количество конечной продукции?

Следует отметить одно важное свойство А — сумма элементов любого ее столбца меньше единицы:

                                 (3)

Для доказательства разделим обе части балансового соотношения

на хj и, выполнив простейшие преобразования, полу­чим

где vj / xj= — доля условно-чистой продукции в единице валового выпуска.

Очевидно, что >0, так как в процессе производства не может не создавать­ся новой стоимости. Из этого следует справедливость соотношения (3).

Свойства (2) и (3) матрицы А играют ключевую роль в доказательстве ее продуктивности, т. е. в доказательстве того, что при любом неотрицатель­ном Y система

X — AX = Y  или  (E — A) X = Y,

имеет единственное и неотрицательное решение Х=(Е-А)-1Y. Матрицу (Е-А)-1 обозначают через В и называют матрицей коэффициентов полных материальных затрат, или обратной матрицей Леонтьева. Коэф­фициент bij этой матрицы показывает, каким должен быть валовой выпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечить производство единицы конечного продукта j-й отрасли. Используя матрицу В, можем записать

Х = ВY

или в развернутом виде

Преимущество такой формы записи балансовой модели состоит в том, что, вычислив матрицу В лишь однажды, мы можем многократно использовать ее для вычисления Х прямым счетом, т.е. умножением В на Y. Это гораздо проще, чем каждый раз решать систему линейных уравнений.

Обратную матрицу В можно вычислить, используя метод обращения с применением формулы разложения ее в матричный ряд:

В=Е+А+А2+…+Аk+…                                             (4)

Число членов ряда, необходимое для получения достаточно точного приближения, зависит от матрицы А, но в любом случае приемлемый результат достигается при k 30.

Формула (4) имеет строгое математическое доказательство. Но мы ограничимся тем, что попытаемся осмыслить ее, рассматривая Х как результат некоторого гипотетического процесса последовательного уточне­ния промежуточной продукции, необходимой для создания заданного конечного продукта.

Итак, вектор конечной продукции, которую должна произвести эконо­мическая система, равен Y. Будем считать, что это и есть первоначальное задание отраслям, т. е. Х0 =Y. Для выполнения собственного задания каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей. Если бы все отрасли подсчитали потребности и подали заявки в некоторый центр, то оказалось бы, что суммарная потребность составляет X1 =АХ0=АY. Вектор X1 можно рассматривать как промежуточную продукцию, необходимую для производства Х0. Но под обеспечение производства X1 тоже нужна проме­жуточная продукция: X2 =АХ1 =А2Y. Рассуждая так и далее, мы приходим к выводу, что

Х=Х0+Х1+Х2+…+Хk+… = Y+АY+А2Y+…+AkY+… =

= (Е+А+А2+…+Аk+…)Y.

Полные затраты можно разложить на прямую и косвенную составля­ющие.  Прямые затраты осуществляются непосредственно при производстве данного продукта, а косвенные А2+А3+…+Аk+… относятся к предшествую­щим стадиям производства. Они осуществляются не прямо, а через посред­ство других ингредиентов, входящих в данный продукт. Элементы матрицы А2 представляют собой косвенные затраты первого порядка, элементы матрицы А3 — косвенные затраты второго порядка и т. д.

Пример 1. Рассматривается трехотраслевой МОБ. Известна матрица коэффициен­тов прямых материальных затрат и задан вектор конечного продукта:

.

Определить валовое производство X, обеспечивающее заданный конеч­ный продукт.

Для ответа на поставленный вопрос необходимо составить и решить систему линейных уравнений (Е-А)Х = Y.

Получим соответствующую систему уравнений

Решим систему методом Крамера. Если определитель системы  отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам

где  — определитель, который получается из  заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Применяя формулы Крамера, получаем решение системы:

Пример 2. Вычислить изменение межотраслевых потоков, если известна матрица коэффициентов полных материальных затрат и задан вектор изменения ко­нечного продукта:

Изменение межотраслевых потоков вычисляется по формулам

Вектор изменения валового производства определяется следующим образом:

Кроме того, нам необходимо знать матрицу А. Из формулы В=(Е-А)-1 следует, что

Теперь, отвечая на поставленный вопрос, получаем:

 и т.д.

Источник: https://lms2.sseu.ru

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Задача

Экономика
представлена двумя отраслями производства: промышленностью и сельским
хозяйством. За отчетный период получены следующие данные о межотраслевых
поставках

 и векторе объемов конечного использования

.

Требуется:

Указание:
При вычислениях производить округление с точностью до тысячных.

Решение

Матрица прямых затрат

Найдем
валовые выпуски отраслей, просуммировав в каждой строке межотраслевые поставки
и координату вектора

:

Найдем
матрицу прямых затрат. Ее элементы можно найти по формуле:

Подставляя
числовые значения, получаем:

Матрица «Затраты — выпуск»

Найдем матрицу
«Затраты — выпуск»

Вектор конечного использования Y для валового объема выпуска X

Вектор
конечного использования Y для валового объема выпуска X определим на основе
балансового соотношения: 

Для этого выполним умножение двух матриц

Матрица полных затрат

Найдем
матрицу коэффициентов полных материальных затрат

 -она будет равна обратной матрице

:

Определитель матрицы

:

Алгебраические
дополнения:

Обратная матрица:

Вектор валового объема выпуска X для конечного использования Y

Вектор валового объема выпуска

 для конечного продукта

 определим формуле:

Приросты валовых объемов выпуска

Найдем
приросты валовых объемов выпуска, если конечное потребление должно изменяться
на

 по сравнению с

:

Матрица полных затрат ресурсов S

Найдем
матрицу полных затрат ресурсов S для заданной матрицы ее прямых затрат M:

Суммарная потребность в ресурсах

Суммарная  потребность в ресурсах для вектора Y₀:

Суммарная  потребность в ресурсах для вектора Y_n:

Матрицы косвенных затрат и сумма затрат

Найдем
матрицы косвенных затрат первого, второго и третьего порядка

Сумма затрат:

Разность
матриц:

Вектор потребности в продукции

Найдем
вектор потребности в продукции всех отраслей материального производства b_ij
для получения единицы конечного продукта b_j вида. Для этого
просуммируем столбцы матрицы полных затрат:

Это значит, что для производства
единицы конечного продукта в первой отрасли во всех отраслях надо расходовать
продукции на сумму 1,913 ден.ед., для производства единицы конечного продукта
во второй отрасли -на 2,021 ден.ед.

Продуктивные модели Леонтьева

Матрица

,
все элементы которой неотрицательны,
называется продуктивной, если для любого
вектора

с неотрицательными компонентами
существует решение уравнения (27) –
вектор

,
все элементы которого неотрицательны.

Для
уравнения типа (27) разработана
соответствующая математическая теория
исследования решения и его особенностей.
Укажем некоторые ее основные моменты.
Приведем без доказательства теорему,
позволяющую устанавливать продуктивность
матрицы.

Теорема.
Если для матрицы

с неотрицательными элементами и
некоторого вектора

с неотрицательными компонентами
уравнения (27) имеет решение

с неотрицательными компонентами, то
матрица

продуктивна.

Иными
словами, достаточно установить наличие
положительного решения системы (27) хотя
бы для одного положительного вектора

,
чтобы матрица

была продуктивной. Перепишем систему
(27) с использованием единичной матрицы

в виде

. (28)

Если
существует обратная матрица

,
то существует и единственное решение
уравнения (28)

. (29)

Матрица

называется матрицей
полных затрат.

Существует
несколько критериев продуктивности
матрицы

.

Первый
критерий продуктивности.
Матрица

продуктивна тогда и только тогда, когда
матрица

существует и ее элементы неотрицательны.

Второй
критерий продуктивности.
Матрица

с неотрицательными элементами продуктивна,
если сумма элементов по любому ее столбцу
(строке) не превышает единицы:

, (30)

причем
хотя бы для одного столбца (строки) эта
сумма строго меньше единицы.

Рассмотрим
применение модели Леонтьева на несложном
примере.

Пример
1.
Таблица 1 содержит данные баланса трех
отраслей промышленности за некоторый
период. Требуется найти объем валового
выпуска продукции, если конечное
потребление по отраслям увеличить
соответственно до 60, 70 и 30.

Таблица
1.

Решение.
Выпишем векторы валового выпуска и
конечного потребления и матрицу
коэффициентов прямых затрат. Согласно
формулам (24) и (26),

Матрица

удовлетворяет обоим критериям
продуктивности. В случае заданного
увеличения конечного потребления новый
вектор конечного продукта будет иметь
вид

Требуется
найти новый вектор валового выпуска

,
удовлетворяющий соотношениям баланса
в предположении, что матрица

не изменяется. В таком случае компоненты

,

,

неизвестного вектора

находятся из системы уравнений, которая,
согласно (25), имеет в данном случае вид

В
матричной форме эта система выглядит
следующим образом:

,
или
,

где
матрица

имеет вид

Отсюда
расчитывается новый вектор

как решение этого уравнения баланса:

.

Найдем
обратную матрицу (матрицу полных затрат)

,
с использованием формулы

(31)

Определитель
матрицы

,

так
что обратная матрица и решение указанной
системы уравнений существуют. Вычисление
обратной матрицы дается с точностью до
третьего знака:

.

Заметим,
что найденная обратная матрица
удовлетворяет первому критерию
продуктивности матрицы

.

Теперь
можно вычислить вектор валового выпуска

:

.

Таким
образом, для того чтобы обеспечить
заданное увеличение компонент вектора
конечного продукта, необходимо увеличить
соответствующие валовые выпуски: добычу
и переработку углеводородов на

,
уровень энергетики – на

и выпуск машиностроения – на

по сравнению с исходными величинами,
указанными в табл. 1.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Предположим, что рассматривается N отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции, произведенной отраслью, идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, за год). Введем следующие обозначения:

Xi – общий (валовой) объем продукции I-ой отрасли (I = 1, 2,… N);

Xij – объем продукции I-ой отрасли, потребляемой J-ой отраслью в процессе производства (I,J = 1, 2,… N);

Yi –объем продукции I-ой отрасли для непроизводственного (личного и общественного) потребления (I = 1, 2,… N).

Указанные величины можно свести в таблицу:

Так как валовой объем продукции любой I-ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой всеми N отраслями, и конечного продукта, то должно выполняться соотношение

(I = 1, 2,… N),

Или, в сокращенной форме

(I = 1, 2,… N). (3.1)

Уравнения (3.1) (их N штук) называются Соотношениями межотраслевого баланса. Единицы измерения содержащихся в уравнениях (3.1) величин могут быть натуральными и для каждого уравнения свои (кубометры, тонны, штуки и т. п.). Но они могут быть и универсальными (стоимостными). В зависимости от этого различают Натуральный И Стоимостной межотраслевые балансы. Для определенности рассмотрим далее стоимостной баланс (все величины, входящие в уравнения (3.1), выражены в рублях).

Введем Коэффициенты прямых затрат

(I = 1, 2,… N), (3.2)

Показывающие затраты I-ой отрасли на производство единицы продукции J-ой отрасли. То есть Aij – стоимость продукции отрасли I, вложенной в 1 рубль продукции отрасли J. Так как эти коэффициенты зависят в основном от существующей технологии производства в производящих отраслях, а эта технология меняется достаточно медленно и за рассматриваемый относительно короткий период времени может считаться неизменной, то их можно считать постоянными. Это означает линейную зависимость объема Xij продукции I-ой отрасли, потребляемой J-ой отраслью, от валового объема Xj J-ой отрасли:

(I = 1, 2,… N). (3.3)

Построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название Линейной, или модели Леонтьева (американский экономист русского происхождения, лауреат Нобелевской премии по экономике).

С учетом линейных соотношений (3.3) равнения межотраслевого баланса (3.1) примут вид:

(I = 1, 2,… N). (3.4)

Введем обозначения:

; ; , (3.5)

Где А – так называемая матрица прямых затрат, X – матрица-столбец валового выпуска, Y – матрица-столбец конечного продукта. Тогда систему (3.4) N линейных уравнений с N неизвестными (X1; X2; …Xn) можно записать в матричном виде:

(3.6)

Система (3.6) представляет собой математическую формулировку модели Леонтьева межотраслевого баланса в матричной форме. А задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такой матрицы-столбца валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор-столбец конечного продукта Y.

В соответствии с экономическим смыслом задачи искомые элементы столбца X должны быть неотрицательны при любых неотрицательных значениях YI и AIj (I = 1, 2,… N). В таком случае модель Леонтьева называется Продуктивной.

Существует несколько различных по форме Критериев продуктивности модели Леонтьева. Один из них формулируется так (доказательство опускаем): если максимум сумм элементов столбцов матрицы A прямых затрат не превосходит единицы, то есть если

(3.7)

И существует номер J такой, что эта сумма строго меньше единицы

, (3.8)

То модель Леонтьева (3.6) (или, что одно и то же, (3.4)) является продуктивной. Отметим, что условия (3.7) и (3.8) естественны, так как они имеют наглядный экономический смысл. Действительно,

– (3.9)

– это доля, которую составляет суммарная стоимость продукции всех отраслей, вложенная в продукцию J-ой отрасли, по отношению к общей стоимости продукции J-ой отрасли. И эта доля для любой отрасли, естественно, не должна превосходить единицу. А точнее, для рентабельной отрасли должна быть меньше единицы, ибо общая стоимость Xj продукции J-ой отрасли включает в себя и другие затраты – стоимость рабочей силы, амортизацию основных фондов и т. д., а также прибыль, получаемую отраслью от продажи продукции.

Пример 1. В таблице ниже содержатся данные баланса промышленности и сельского хозяйства в некотором регионе за некоторый период (в миллиардах рублей):

Требуется вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт промышленности увеличится вдвое, а сельского хозяйства останется на прежнем уровне.

Решение. Согласно таблицы имеем:

По формуле (3.2) находим коэффициенты прямых затрат:

; ; ;

Таким образом, матрица А Прямых затрат

Имеет неотрицательные элементы и, очевидно, удовлетворяет критерию продуктивности, выражаемому неравенствами (3.7) и (3.8), ибо

; .

По условию задачи, в измененных условиях производства конечный продукт промышленности Y1 должен составить млрд. рублей, а конечный продукт Y2 сельского хозяйства должен остаться неизменным и составить 12,3 млрд. рублей. Поэтому для определения соответствующих валовых объемов X1 и X2 этих отраслей получаем, согласно (3.4), следующую систему линейных уравнений 2-го порядка:

Ее главный определитель

Значит, система имеет единственное решение. Вычисляя еще два определителя неизвестных

И используя формулы Крамера (2.5), получим:

; .