Как найти массу тела ограниченного поверхностями

2.6. Физические приложения тройного интеграла

Сначала разомнёмся физически (давно пора), тело – в дело :). Пожалуйста, встаньте и найдите какой-нибудь пакет или мешок.

Можно коробку. Теперь походите по квартире, ну или по улице и наведём порядок. А именно, наполним тару мусором.

…Очень хорошо, молодцы! В результате ваших трудов получено ограниченное тело неоднородной плотности. Как

говорится, есть бумажка, а есть жестяная крышка. Воздух, кстати, тоже обладает вполне определённой плотностью. Напоминаю, что

физическая плотность – есть отношение единицы массы к единице объёма, например, 100 грамм на

кубический метр (средняя плотность хлопка) или 19,32 грамма на кубический сантиметр (да, всего лишь на сантиметр – это

плотность чистого золота).

Ставим мешок рядышком и читаем дальше:

2.6.1. Масса тела

Рассмотрим неоднородное (переменной плотности) тело . Если известна непрерывная в области  функция  плотности тела, то его масса равна следующему тройному интегралу:

Возможно, не всем до конца понятен смысл функции плотности. Поясняю: если взять произвольную точку , принадлежащую телу , то значение функции  будет равно плотности тела в данной точке. В частности, если эта функция равна

константе: , то речь идёт об однородном

теле («мешок» хлопка или золота, например).

Но на практике не всё так легко:

Пример 50

Вычислить массу неоднородного тела, ограниченного поверхностями , если известна функция его плотности .

Решение: искомое тело ограничено цилиндром  сбоку, эллиптическим параболоидом  – сверху и плоскостью  – снизу. Дополнительные условия  «загоняют нас» в 1-й октант, и проекция тела на плоскость  представляет собой соответствующую «четвертинку»

единичного круга:

Аналитическим методом уточним высоту, на которой параболоид пересекает цилиндр:  и выполним пространственный чертёж:

Проекция тела на плоскость  сразу же наводит

на мысль о переходе к цилиндрической системе координат . Найдём уравнения поверхностей в этой системе:
 – цилиндр;
 – и параболоид.

Порядок обхода тела очевиден:

 (не забываем, что у нас только

«четвертинка» круга!)

Осталось преобразовать подынтегральную функцию:

и осуществить переход:

Вычисления элементарны:

Ответ:  ед. массы, то

есть, в предложенном теле (см. чертёж выше) содержится одна единица (грамм, килограмм или другая) массы.

Пример 51

Вычислить массу неоднородного тела, ограниченного поверхностями , если известна функция его плотности .

Краткое решение в конце книги. И старая песня о главном:

2.6.2. Центр тяжести тела

2.5. Тройной интеграл в сферических координатах

| Оглавление |



Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

ЗАМЕЧАНИЕ.
При решении следующих задач будут
использованы термины, которые мы сейчас
введем.

Область
(D)
плоскости

будем
называть y—трапецией,
если она может быть задана системой
неравенств вида a
x
b,
y₁(x)

y
y₂(x).
Такая
область допускает удобную штриховку
вертикальными отрезками: все их нижние
концы лежат на кривой y
= y₁(x),
все верхние на
кривой y
y₂(x)
(рис.71).

Аналогично
введем понятие x—трапеции:
c
y
d,
x₁(y)

x
x₂(y).
(рис.71).
Для
x-трапеции
удобна горизонтальная штриховка.

Рис.71

В
случае y-трапеции

=;

в
случае x-трапеции

=.

Тело
(T)
в пространстве
назовем z—брусом,
если оно может быть задано следующим
образом: (x,
y)D
длянекоторой
области D
в плоскости
,
ограниченной замкнутой кусочно-гладкой
кривой, z₁(x,y)

z
z₂(x,y).
Каждый z-брус
может быть “заполнен” отрезками
,параллельными оси
,
нижние концы которых лежат на поверхности
z
z₁(x,y)
”дне”,
а верхние 
на поверхности z
z₂(x,y)
”крышке”.
Аналогично введем понятия y—бруса
и x—бруса
(рис.72).

В
случае z-бруса

.

Рис.72

ЗАДАНИЕ
5. Изменить
порядок интегрирования в интеграле

.

РЕШЕНИЕ.

Восстановим
область интегрирования ()
по пределам повторных интегралов:

=₁₂,

(₁):

;

(₂):

Изобразим
область интегрирования на чертеже.
Найдем точки пересечения параболы

и прямой
:

т.е. точкам пересечения кривых соответствуют
точки, для которых

и
.
Вертикальной штриховкой покажем порядок
интегрирования: сначала по
y
при фиксированном x.
Сменим
штриховку на горизонтальную. Из рисунка
видно, что данная область является

-трапецией.

Рис.73

Уравнение
“нижней” кривой есть
,
“верхней” — прямая
.
Поэтому ():

и в
результате подстановки пределов получим
следующий повторный интеграл:

Ответ.

ЗАДАНИЕ
6.
Найти объем
тела, ограниченного поверхностями

;

.

РЕШЕНИЕ.

Тело

ограничено с “боков” плоскостью

и цилиндром (цилиндрической поверхностью)

.
“Снизу” тело “накрыто” плоскостью

,
сверху – плоскостью
.
Изобразим на чертеже заданное тело

(рис.74).

Рис.74

Очевидно,
тело

есть
—
цилиндрический брус. Область (),
являющуюся ортогональной проекцией
тела

на плоскость
,
изобразим на отдельном рисунке. Для
этого найдем точки пересечения параболы

с прямой
.
Опуская подробности вычислений, получим,
что прямая и “положительная” ветвь
параболы пересекаются в точке, в которой

.
Объем цилиндрического бруса может
быть найден с помощью двойного интеграла.
Учитывая, что тело “стоит” на плоскости

,
для объема запишем формулу

и перейдем к повторному интегралу.
Область (),
изображенная на рисунке, очевидно не
является
—
трапецией, но является
—
трапецией:

():

.

Записав объем через
повторный интеграл и производя вычисления,
последовательно получим

V=.

Ответ.
Объем тела равен 80.

ЗАДАНИЕ
7.
Найти объем
тела, ограниченного указанными
поверхностями.

Приведем
решение двух задач на вычисление объемов
тел, рассматривая тела с различной
геометрией поверхности.

1)

,

2)

.

РЕШЕНИЕ.

1).
Тело

ограничено двумя поверхностями:
параболоидом

и плоскостью
.
Изобразим это тело на чертеже (рис.75).

Рис.75

Данное
тело является
-цилиндрическим
брусом (рис.72); боковая поверхность
выродилась в линию пересечения заданных
поверхностей. Найдем область, в которую
тело проектируется на плоскость
,
для чего из уравнений поверхностей,
ограничивающих тело, следует исключить
переменную

(т.е. совершить ортогональное
проектирование):

и

.

Таким
образом, областью ()
является круг с центром в точке (0; 1)
радиуса
=1
(см. рис.75).

Объем
тела может быть вычислен с помощью
тройного интеграла по формуле
.
В декартовой системе координат тройной
интеграл записывается через повторный
следующим образом:

,

откуда
видно, что его вычисление сопряжено со
значительными трудностями (на завершающей
стадии вычисления повторного интеграла).

Запишем
интеграл в цилиндрической системе
координат
,
с которой
декартова система связана формулами

.

Якобиан
преобразования
.
Формула перехода (в интеграле) имеет
вид

.

В
нашем случае

.

Запишем
уравнения параболоида и плоскости в
цилиндрической системе координат:

;

.

Для
окружности

имеем
;
угол
,
очевидно, необходимо менять в пределах
от 0 до
.
Таким образом ,

===.

Ответ.

=.

2)
Изобразим тело
,
ограниченное поверхностями цилиндра

,
параболоида

и плоскостью

(рис.76).

Рис.76

Замечание.
При построении следует преобразовать
уравнение направляющей цилиндра
,
лежащей в плоскости

к каноническому виду (прибавляя и
вычитая 2):
,
откуда получим
,
то есть направляющей цилиндра в плоскости

служит окружность с центром в точке

радиуса
.
Кроме того, при построении следует
учесть, что поверхность параболоида
пересекается с плоскостью

по окружности
.
Тело

является z-цилиндрическим брусом,
проектирующимся на плоскость

в область (),
являющуюся
-трапецией.

Нетрудно
убедиться, что и здесь, как и в предыдущем
случае, повторный интеграл, записанный
в декартовой системе координат, при
вычислении требует значительных усилий;
поэтому и в этом случае перейдем к
цилиндрической системе координат (см.
предыдущую задачу):

.

Найдем
уравнения поверхностей, ограничивающих
тело, в цилиндрической системе координат:
уравнение цилиндра

перейдет в
,
уравнение параболоида

– в
,
плоскости

– в
.
Область (),
являющаяся проекцией тела на плоскость

,
ограничена окружностью

и окружностью

(так как
).
Найдем значения параметра
,
соответствующие точкам пересечения
этих окружностей:
,
откуда

и для

получим два значения:
.
Учитывая симметрию тела

относительно плоскости
,
объем

запишем в виде следующего повторного
интеграла:

.

Приведем
вычисление объема:

=

=

=.

Ответ.

.

ЗАДАНИЕ
8.
Найти объем тела
,
ограниченного поверхностями

а)

;
б)
;
в)

.

РЕШЕНИЕ.

Изобразим
тело, ограниченное двумя концентрическими
сферами с центрами в начале координат
и радиусами 8 и 12 и (“снизу”) 
конусом
;
от полученного таким образом тела
плоскостями

и

“отрезается” заданное условием задачи
тело (V) (рис.77) .

Рис.77

Объем
тела может быть вычислен по формуле
.
Рассматривая тело в декартовой системе
координат, видим, что оно не является
ни
-,
ни
-,
ни
-цилиндрическими
брусами (см. рис.72); разбиение тела на
z—
цилиндрические бруски является само
по себе не простой задачей, не говоря
уже о вычислении повторных интегралов.
“Конструкция” тела

такова, что вычисление тройного интеграла
удобнее провести в сферической системе
координат r,,
связанной с декартовой системой
координат формулами:

;

;

.

Якобиан
такого преобразования
.
Для объема получим:

.

Чтобы тройной интеграл
записать в виде повторного, перейдем в
уравнениях ограничивающих тело
поверхностей к сферическим координатам.
Следует использовать соотношения

.

Уравнение

переходит в
,
уравнение


в
;
для уравнения конуса

получим последовательно:
,

и
,
откуда

и
;
уравнение плоскости

переходит в уравнение
,
уравнение плоскости

в

,
т.е. в
.
Таким образом,

.

Так
как подынтегральная функция представляет
собой произведение функций, каждая из
которых зависит только от одной
переменной, а пределы интегрирования
постоянны, то повторный интеграл
представляет собой просто произведение
трех интегралов

;

==;

.

Для
объема тела получим

.

Ответ.

.

ЗАДАНИЕ
9.
Найти массу
пластинки

():

,

Плотность
массы пластинки

Очевидно,
что область ()
не является ни
-,
ни
—
трапецией; при вычислении двойного
интеграла в декартовой системе координат
область ()
пришлось бы разбить на три области. Как
для областей, заключенных между
концентрическими окружностями с центром
в начале координат “родной” является
полярная система координат, так и для
эллиптических колец “своей “ является
эллиптическая система координат
(обобщенная полярная система координат)

;

.

Выбор

обусловлен соображениями удобства при
вычислении интегралов. Положим для
заданной области
:

;

.

Якобиан
преобразования вычисляется по формуле

.

Совершим
преобразование области ():
уравнение эллипса

перейдет в
,
т.е.


эллипс преобразуется в

окружность
радиуса 1; эллипс

переходит в окружность
;
прямая


в луч
,
прямая


в луч

(действительно,

и
).
Запишем двойной интеграл в обобщенной
полярной системе координат:

.

В
данном случае повторный интеграл есть
произведение двух определенных
интегралов, так как внутренний интеграл
по

есть скаляр. Вычислим их:

;

.

Таким
образом,
.

Ответ.
Масса пластинки равна 1.

ЗАДАНИЕ
10. Найти
массу тела
,
ограниченного
поверхностями:
;

;

;

;
плотность массы тела
.

РЕШЕНИЕ.

Область

ограничена с боков координатными
плоскостями

и цилиндрической поверхностью
.
Снизу она “накрыта” плоскостью
,
сверху 
поверхностью параболоида

(рис.79).

Рис.79

Область

является
-цилиндрическим
брусом. Масса тела может быть вычислена
по формуле:

.

Цилиндрический
брус проектируется на плоскость

в криволинейную трапецию (D):
0
x
1,
0
y
.
Преобразуем
тройной интеграл в повторный и вычислим
его:

=

=[
замена переменных

;

;

;

]=

(схема 41)

     Для функции трех переменных имеет место обобщение определенного интеграла — тройной интеграл (также кратный интеграл). Его теория аналогична теории двойного интеграла. 

      Пусть непрерывная функция u=f (x,y,z) задана в
некоторой ограниченной замкнутой пространственной области V (рис. 6.4). Разобьем эту область на пространственные
ячейки .

В каждой ячейке  выберем произвольную
точку   и умножим значение
функции  f в этой точке на объем ∆ν_i ячейки V_i. Сумма таких произведений по всем ячейкам называется
интегральной
суммой. Обозначим через d(V_i) диаметр ячейки V_i, то есть расстояние между наиболее удаленными точками
этой ячейки, и max d(V_i)
– наибольший из диаметров всех ячеек данного разбиения.

Тройным интегралом  от функции f(M) по области  V  называется предел интегральной суммы при условии max d(V_i)→0,
то есть при неограниченном увеличении числа ячеек, когда все ячейки стягиваются
в точку:

    .                                                                                                          

Если такой предел существует, то функция f(M)
называется интегрируемой в области V; всякая непрерывная в ограниченной замкнутой области V функция f(M)
интегрируема в ней. В дальнейшем мы будем рассматривать только непрерывные
функции.

В декартовых координатах элемент объема обычно
записывают в виде dν=dxdydz, а
тройной интеграл обозначают

 .                                                                                                                                                                (6.9)

Тройной интеграл (6.9) выражает массу неоднородного тела объема V, с плотностью в каждой точке γ=f (x,y,z) посредством формулы:

.                                                                                                                                                       (6.10)

Координаты
центра тяжести тела
вычисляются по формулам:

   .                                                                                        (6.11)

Если плотность γ=1,
то тройной интеграл (6.9) будет выражать собой объем области V, а формулы
(6.11) будут представлять координаты центра тяжести однородного тела.

1.
Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат

Пусть V проектируется в область D на плоскости x0y так, что всякая прямая, параллельная оси 0z и
проходящая внутри области D, пересекает границу области V ровно в
двух точках. В общем случае такая область ограничена сверху поверхностью z=ψ₂(x,y), снизу –
поверхностью z=ψ₁(x,y) и с боков – цилиндрической поверхностью с
образующими, параллельными оси 0z (рис. 52). Такая область V называется правильной. В частных случаях
боковая поверхность цилиндра может превратиться в линию. Функции ψ₁(x,y) и ψ₂(x,y) мы будем считать непрерывными. Тройной интеграл по
такой области вычисляется по формуле

.                                                                                                               (6.12)

Здесь
внутренний интеграл  берется по z при фиксированных, но
произвольных в D значениях x и y, от нижней границы области V до ее
верхней границы, то есть по отрезку KL (рис. 6.4). В
результате получается некоторая функция двух переменных x и y, которая
интегрируется затем по области D с помощью формул (6.5) или (6.6). Таким образом,
вычисление тройного интеграла сводится к трехкратному интегрированию.

Наиболее простой вид формула (6.12) принимает в
случае, когда V есть прямоугольный параллелепипед, ограниченный
плоскостями :

.                                                                                                       (6.13)

Если область V имеет более сложную форму, то ее разбивают на
конечное число областей , каждая из которых удовлетворяет условиям, изложенным выше.

Примечание. Аналогичные определения и формулы могут быть
получены и тогда, когда область V проектируется в область D, лежащую или в плоскости  x0z, или в плоскости 
y0z

             Пример 6.4. Вычислить тройной интеграл , где область V ограничена координатными плоскостями и плоскостью x+y+z=1 (рис. 6.5).

Решение. Область V – треугольная пирамида – ограничена снизу плоскостью z=0, сверху –
плоскостью z=1–x–y. Область V проектируется на плоскость x0y в виде
прямоугольного треугольника, который определяется неравенствами . Следовательно, используя (6.5) и (6.12), получим:

Пример 6.5. Найти объём тела ограниченного параболоидом z=x²+y²+2 и
плоскостями z=1, x=0, y=0, x+y=2 (рис. 6.6).

 
Решение. По условию область V задана
неравенствами:

.

Следовательно,

(единиц
объема)

Пример 6.6. Найти массу тела ограниченного координатными
плоскостями и плоскостью x+y+z=1, если плотность в каждой его точке равна
произведению координат этой точки, то есть γ = f(x,y,z) = x y z.

Решение. По условию область V совпадает с той областью, которая была рассмотрена в
примере 6.4 (см. рис. 6.5). Искомая масса M согласно
формуле (6.11) равна интегралу . Следовательно,

.

Чтобы
вычислить полученный интеграл, положим 1–x=t; тогда dx= – dt; при этом t=1 при x=0 и t=0 при x=1.

   (единиц массы)

Пример 6.7. Вычислить координаты центра тяжести куба , если плотность в каждой его точке равна произведению
координат этой точки.

Решение. По условию плотность γ=x y z. Вычислим массу M куба по (6.10): 

.

Из соображений симметрии следует x_c = y_c = z_c. Поэтому достаточно найти только одну координату x_c.
Вычислим числитель для x_c в формуле (6.11).

2.     Вычисление
тройного интеграла в цилиндрических координатах

Для упрощения вычисления тройного интеграла часто
бывает целесообразным перейти к цилиндрическим координатам. Точка M(x;y;z) в
пространстве 0xyz может быть определена заданием трех величин r; φ; z, где
r – длина
радиус-вектора проекции точки M  на плоскость x0y, φ – угол, образованный этим  радиус-вектором с осью 0x, z –
аппликата точки  M (рис. 6.7).   Эти
числа (r; φ; z) называются цилиндрическими координатами точки M. Эти
координаты связаны с ее декартовыми координатами соотношениями:

                                                                                                                                              (6.14)

.

В этом случае тройной
интеграл вычисляется по формуле

.                              (6.15)

После применения (6.15)
вычисление тройного интеграла сводится к 
трехкратному  по r, по φ и по z
согласно формуле (6.12).

Пример
6.8.  Вычислить , где V – область, ограниченная частью конуса  и плоскостью z=2.

Решение. Заданная область V – часть конуса, вершина которого расположена в начале
координат. Его уравнение в цилиндрических координатах (6.14) имеет вид

 или z=r. Граница области V – окружность x²+y² =4 запишется
как r=2. Новые переменные изменяются в следующих пределах:

,  (прямая, параллельная
оси 0z, пересекающая область D, входит в конус z=r и выходит
из него на высоте z=2).

С учетом формулы замены (6.15) можем вычислить
заданный тройной интеграл:

Обратим внимание на то, что, не переходя к
цилиндрическим координатам, мы получили бы достаточно сложное трехкратное
интегрирование согласно формуле (6.12)

Примечание. Переход
к цилиндрическим координатам рационален, когда область интегрирования
образована цилиндрической или конической поверхностью

3.    
Вычисление тройного интеграла в сферических
координатах

Если область интегрирования V представляет собой шар или
его часть (граница шара x²+y²+z²=R² в сферических координатах имеет очень простой вид ρ=R),  то удобно переходить к сферическим
координатам.

Сферическими координатами точки M(x;y;z) пространства 0xyz называется тройка чисел ρ; φ; θ (рис.
6.8), где ρ – длина радиус-вектора точки
M, φ – угол, образованный проекцией радиус-вектора на плоскость x0y и осью 0x, θ – угол отклонения радиус-вектора  от оси 0z. Эти координаты связаны с декартовыми координатами
точки M соотношениями:

.  (6.16)

В этом случае тройной
интеграл вычисляется по формуле

.                                                           (6.17)

Примечание. Переход к
сферическим координатам целесообразен также в том случае, когда подынтегральная
функция имеет вид f(x²+y²+z²)