Как найти массу дуги окружности

Как найти массу дуги окружности

Центр масс и моменты инерции кривой;

Работа при перемещении тела в силовом поле;

Магнитное поле вокруг проводника с током (Закон Ампера);

Электромагнитная индукция в замкнутом контуре при изменении магнитного потока (Закон Фарадея).

Рассмотрим эти приложения более подробно с примерами.

Пусть снова кусок проволоки описывается некоторой кривой (C,) а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотности (rho left( right).) Тогда координаты центра масс кривой определяются формулами [bar x = frac<<>>>,;;bar y = frac<<>>>,;;bar z = frac<<>>>,] где [ <> = intlimits_C right)ds> ,>;; <> = intlimits_C right)ds> ,>;; <> = intlimits_C right)ds> > ] − так называемые моменты первого порядка .

Моменты инерции относительно осей (Ox, Oy) и (Oz) определяются формулами [ <= intlimits_C <left( <+ > right)rho left( right)ds> ,>;; <= intlimits_C <left( <+ > right)rho left( right)ds> ,>;; <= intlimits_C <left( <+ > right)rho left( right)ds> .> ]

Работа при перемещении тела в силовом поле (mathbf) вдоль кривой (C) выражается через криволинейный интеграл второго рода [W = intlimits_C <mathbfcdot dmathbf> ,] где (mathbf) − сила, действующая на тело, (dmathbf) − единичный касательный вектор (рисунок (1)). Обозначение ( <mathbfcdot dmathbf>) означает скалярное произведение векторов (mathbf) и (dmathbf.)

Заметим, что силовое поле (mathbf) не обязательно является причиной движения тела. Тело может двигаться под действием другой силы. В таком случае работа силы (mathbf) иногда может оказаться отрицательной.

Если векторное поле задано в координатной форме в виде [mathbf = left( right),Qleft( right),Rleft( right)> right),] то работа поля вычисляется по формуле [W = intlimits_C <mathbfcdot dmathbf> = intlimits_C .] В частном случае, когда тело двигается вдоль плоской кривой (C) в плоскости (Oxy,) справедлива формула [W = intlimits_C <mathbfcdot dmathbf> = intlimits_C ,] где (mathbf = left( right),Qleft( right)> right).)

Если векторное поле (mathbf) потенциально , то работа по перемещению тела из точки (A) в точку (B) выражается формулой [W = uleft( B right) — uleft( A right),] где (uleft( right)) − потенциал поля.

Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией (mathbf) вдоль замкнутого контура (C) пропорционален полному току, протекающему через область, ограниченную контуром (C) (рисунок (2)). Это выражается формулой [intlimits_C <mathbfcdot dmathbf> = <mu _0>I,] где (<mu _0>) − магнитная проницаемость ваккуума , равная (1,26 times <10^< — 6>>,text<Н/м>.)

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

	Найти массу дуги окружности… 27.05.2007, 15:45
27/05/07 1	Найти массу дуги окружности , расположенной в I квадранте, если плотность распределения массы в каждой точке кривой равна квадрату ординаты.

Ivan_primat	27.05.2007, 15:51
27/05/07 2	Перейди в полярные координаты и разбивай дугу на элементарные массы.

Zai	27.05.2007, 17:01
Заслуженный участник 11/04/07 1352 Москва	Масса равна моменту инерции дуги с единичной плотностью массы по длине относительно абсциссы.

olga_helga	28.09.2007, 18:01
28/09/07 86	а как тогда найти массу материальной дуги L: 4y=x^4,0<=x<=1 линии при линейной плотности f(x,y,z)=x^5+8xy[/math]

Brukvalub	28.09.2007, 18:17
Заслуженный участник 01/03/06 13626 Москва	Запишите соответствующий задаче криволинейный интеграл первого рода и вычислите его.

нг	28.09.2007, 20:44
Экс-модератор 30/11/06 1265	!  olga_helga На форуме принято записывать формулы, используя нотацию (; введение, справка). Отредактируйте, пожалуйста, свое сообщение.

olga_helga	29.09.2007, 21:54
28/09/07 86

Someone	29.09.2007, 22:19
Заслуженный участник 23/07/05 17973 Москва	1) Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через две точки, и подставьте в формулу для вычисления криволинейного интеграла. 2) Раз сказано — применить формулу Грина, значит, надо её применить.

olga_helga	30.09.2007, 13:44
28/09/07 86

Brukvalub	30.09.2007, 19:21
Заслуженный участник 01/03/06 13626 Москва	olga_helga писал(а): Тогда другой вопрос: найти длину линии .Это значит надо вычислить криволинейный интеграл ? Да

незваный гость	30.09.2007, 19:27
Заслуженный участник 17/10/05 3709	olga_helga писал(а): Это значит надо вычислить криволинейный интеграл Терминологический нюанс: это не криволинейный, а обычный интеграл.

olga_helga	30.09.2007, 20:33
28/09/07 86	Я хотела сказать,что криволинейный интеграл преобразуется в обычный интеграл по такой формуле, если линия Г задана параметрически.

olga_helga	11.10.2007, 20:01
28/09/07 86

Brukvalub	11.10.2007, 20:02
Заслуженный участник 01/03/06 13626 Москва	1. Непонятен способ задания поверхности 2. Куда делся множитель 2 ?

olga_helga	11.10.2007, 20:13
28/09/07 86

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

dimagar, используйте стандартную формулу для вычисления массы длины дуги кривой, заданной параметрически, с плотностью [math]rho[/math]. В Вашем примере [math]rho=sqrt{2y}[/math].

[math]{M_L=intlimits_a^b!rhosqrt{x’^2+y’^2},dt=intlimits_0^1!sqrt{2y}sqrt{(t)’^2+{left(frac{t^2}{2}right)!}’^2},dt=intlimits_0^1!tsqrt{1+t^2},dt=}[/math]

[math]{=frac{1}{2}intlimits_0^1(1+t^2)^{1/2},d(1+t^2)=left.{frac{1}{3}(1+t^2)^{3/2}}right|_0^1=frac{2^{3/2}-1}{3}=frac{2sqrt2-1}{3}.}[/math]