Как найти магнитную индукцию в центре петли

2018-08-08   

Бесконечно длинный тонкий проводник с током $I = 50 А$ имеет изгиб (плоскую петлю) радиусом $R = 10 см$. Определить в точке О магнитную индукцию $B$ поля, создаваемого этим током, в случаях а-е, изображенных на рис.

Решение:

а) Закон Био — Савара Лапласа

$d vec{B} = frac{ mu_{0} mu }{4 pi} [d vec{l} vec{r} ] frac{I}{r^{3} }$ (1)

где $d vec{B}$ — магнитнная индукция поля создаваемого элементов проводника с током; $mu$ — магнитная проницаемость; $mu_{0}$ — магнитная постоянная; $d vec{l}$ — вектор, равный по модулю длине $dl$ проводника и совпадающий по направлению с током; $I$ — сила тока радиус; $vec{r}$ -вектор, проведенный от вередины элемента проводника к точке, магнитная индукция в которой определяется.

Модуль вектора $d vec{B}: dB = frac{ mu mu_{0} }{4 pi} frac{I sin alpha}{r^{2} } dl$ (2)

где $alpha$ — угол между векторами $d vec{l}$ и $vec{r}$:

Магнитная индукция в точке О определим по принципу суперпозиции магнитных полей, создаваемых прямолинейными участками I и II и полуокружностью III

$vec{B} = vec{B}_{1} + vec{B}_{2} + vec{B}_{3}$

так как точка О находится на оси прямолинейных участков то для них в формуле (2) $alpha = 0; sin alpha = 0$, следовательно $B_{1} = B_{2} = 0$:

и магнитная индукция в точке О определяется полукруговым током: $B = B_{3}$. Выделим на участке III элемент $dl$. Тогда $dB_{3} = frac{ mu mu_{0} }{4 pi} frac{I}{r^{2} }dl$: (в каждой точке полуокружности $alpha = pi / 2$ )

Учтя, что $r = R$ ( $R$ — радиус полукоружности ), проинтегрируем

$B = B_{3} = int_{0}^{ pi R} frac{ mu mu_{0} }{4 pi} frac{Idl}{R^{2} } = frac{ mu mu_{0}I }{4R}$

для вакуума $mu = 1$

$B = frac{4 pi cdot 10^{-7} cdot 50 }{4 cdot 0,1} = 1,57 cdot 10^{-4} Тл$

б) Согласно принципу суперпозиции магнитных полей результирующая магнитная индукция в точке О будет складываться из магнитных индукций, создаваемых из трех участков провода в отдельности

$vec{B} = vec{B}_{I} + vec{B}_{II} + vec{B}_{III}$

Все три вектора направлены в точке О в одну сторону. В силу симметрии $vec{B}_{I} = vec{B}_{III} Rightarrow B = 2B_{I}+B_{II}$

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком проводника

$B = frac{ mu mu_{0} }{4 pi} frac{I}{r_{0} } ( cos phi_{1} — cos phi_{2} )$

В нашем случае (рис.): $r_{0} = R; phi_{1} = frac{ pi}{2}; cos phi_{1} = 0; phi_{2} rightarrow pi; cos phi_{2} = 2 rightarrow B_{i} = frac{ mu mu_{0} }{4 pi} frac{I}{R} (0 — (-1)) = frac{ mu mu_{0} I }{4 pi R}$.

($mu$ — магнитная постоянная, $mu_{0} = 4 pi cdot 10^{-4} Гн/м$ )

Магнитная индукция поля, создаваемого круговым током в центре (точка О):

$B = frac{ mu mu_{0} I }{2R}$.

Тогда, индукция поля полукругового тока равна: $B_{II} = frac{1}{2} frac{ mu mu_{0} I }{2R} = frac{ mu mu_{0} I }{4R}$

Результирующая индукция поля в точке О:

$B = frac{ mu mu_{0}I }{2 pi R} + frac{ mu mu_{0} I }{4R} = frac{ mu mu_{0}I }{4 pi R}(2 + pi)$

для вакуума $mu = 1$

$B = frac{4 pi cdot 10^{-7} cdot 50 }{4 pi cdot 0,1} (2 + 3,14) = 2,57 cdot 10^{-4} Тл$

в) Магнитная индукция в точке О определим по принципу суперпозиции $vec{B} = vec{B}_{1} + vec{B}_{2} + vec{B}_{3}$, где $vec{B}_{1}, vec{B}_{2}$ и $vec{B}_{3}$ — индукции полей, создаваемых участками 1,2 и 3 проводника соответственно т.к. точка О лежит на оси проводника 3, то $vec{B}_{1} = 0$. Тогда $vec{B} = vec{B}_{1} + vec{B}_{2}$. Причем $vec{B}_{1} uparrow uparrow vec{B}_{2}$. Поэтому модуль вектора $vec{B}$ равен: $B = B_{1} + B_{2}$. На основании закона Био-Савара-Лапласа индукция в центре кругового витка: $B = frac{ mu_{0}I }{2R}$ т.е. участок 2 представляет собой 3/4 окружности радиуса $R$, то $B_{2} = frac{3}{4} frac{ mu_{0}I }{2R} = frac{3 mu_{0}I }{8R}$

Индукция поля, создаваемого отрезком проводника, равна

$B_{1} = frac{ mu_{0}I }{4 pi R} ( cos phi_{1} = cos phi_{2} )$, где, как видно из рисунка $phi_{1} = frac{ pi}{2} ( cos phi_{1} = 0); phi_{2} rightarrow pi ( cos phi_{2} = — 1 )$. Поэтому

$B_{1} = frac{ mu_{0}I }{4 pi R} (0 -(-1)) = frac{ mu_{0}I }{4 pi R}$.

Следовательно, результирующая индукция поля в точке О:

$B = frac{ mu_{0}I }{4 pi R} + frac{3 mu_{0}I }{8R} = frac{ mu_{0}I }{8 pi R} (2 + 3 pi)$

($mu_{0} = 4 pi cdot 10^{-7} Гн/м$ — магнитная постоянная)

$B = frac{4 pi cdot 10^{-7} cdot 50 }{8 pi cdot 0,1} (3 cdot 3,14 + 2) = 2,86 cdot 10^{-4} Тл$

г) В соответствии с принципом суперпозиции магнитная индукция в точке О равна:

$vec{B} = vec{B}_{1} + vec{B}_{2} + vec{B}_{3}$, где $vec{B}_{1}, vec{B}_[2]$ и $vec{B}_{3}$ — индукции полей, создаваемых проямолинейными участками 1,2 и 3 проводника, соответственно (рис). В силу симметрии индукции полей, создаваемых прямолинейными участками 1 и 3 проводника, в точке О равны между собой: $vec{B}_{1} = vec{B}_{2}$. Поэтому

$vec{B} = 2 vec{B}_{1} + vec{B}_{2}$.

Векторы $vec{B}_{1}$ и $vec{B}_{2}$ в точке О направлены противоположно. Следовательно, модуль вектора $vec{B}$:

$B = |2B_{1} — B_{2} |$, (1)

Участок 2 проводника представляет собой окружность радиуса $R$. Магнитная индукция $B_{2}$ в центре этого кругово витка с током определяется по формуле:

$B_{2} = frac{ mu_{0}I }{2R}$, (2)

где $mu_{0}$ — магнитная постоянная ($ mu_{0} = 4 pi cdot 10^{-7} Гн/м$)

Определим индукцию поля $B_{1}$ прямолинейного проводника. Выделим на участке 1 элемент проводника $dl$. Этот элементарный ток создает магнитное поле, модуль вектора магнитной индукции которого в точке О, согласно закону Био-Савара0Лапласа, равен:

$dB_{1} = frac{ mu_{0} I sin alpha }{4 pi r^{2} }dl$,

где $r$ — расстояние от элемента $dl$ до точки О; $alpha$ — угол между векторами $d vec{l}$ и $vec{r}$.

Как следует из рисунка $r = frac{R}{ sin alpha}; dl = frac{r d alpha}{ sin alpha} = frac{R d alpha}{ sin^{2} alpha }$

Следовательно

$dB_{1} = frac{ mu_{0} I sin alpha }{4 pi R^{2} / sin^{2} alpha } frac{R d alpha}{ sin^{2} alpha } = frac{ mu_{0}I }{4 pi R} sin alpha d alpha$

Интегрируя в пределах от $alpha_{1} = 0$ до $alpha_{2} = frac{ pi}{2}$ получим:

$B_{1} = frac{ mu_{0}I }{4 pi R} int_{0}^{ pi /2} sin alpha d alpha = frac{ mu_{0}I }{4 pi R} left . ( — cos alpha) right |_{0}^{ pi /2} = frac{ mu_{0} I }{4 pi R} ( cos 0 — cos frac{ pi}{2} ) = frac{ mu_{0} I }{4 pi R}$, (3)

Подставим выражения (2) в (3) в формулу (1) получаем:

$B = left |2 frac{ mu_{0}I }{4 pi R} — frac{ mu_{0}I }{2R} right | = left | frac{ mu_{0}I }{2 pi R} — frac{ mu_{0}I }{2R} right | = frac{ mu_{0}I }{2 pi R} |1 — pi|$, (4)

Так как выражение под знаком модуля отрицательно ($1 — pi < 0$), то, следовательно, $B_{2} > 2B_{1}$. Поэтому вектор $vec{B}$ сонаправлен с вектором $vec{B}_{2}$ направлен (перпендикулярно плоскости чертежа, за чертежом).

Раскрывая энак модуля в выражении (4) получаем:

$B = frac{ mu_{0} I }{2 pi R} ( pi — 1)$

$B = frac{4 pi cdot 10^{-7} cdot 50 }{2 pi cdot 0,1} (3,14 — 1) = 2,14 cdot 10^{-4} Тл$

д) В соответствии с принципом суперпозиции магнитная индукция в точке О равна:

$vec{B} = vec{B}_{1} + vec{B}_{2} + vec[B]_{3}$, где $vec{B}_{1}, vec{B}_{2}$ и $vec{B}_{3}$ — индукции полей, создаваемых участками 1,2 и 3 проводника соответственно (рис). В силу симметрии индукции полей, создаваемых прямолинейными участками 1 и 3 проводника, в точке О равны между собой: $vec{B}_{1} = vec{B}_{3}$. Поэтому:

$vec{B} = 2 vec{B}_{1} + vec{B}_{2}$.

Векторы $vec{B}_{1}$ и $vec{B}_{2}$ в точке О направлены в одну сторону. Следовательно направление вектора $vec{B}$ совпадает с направлениями векторов $vec{B}_{1}$ и $vec{B}_{2}$ (перпендикулярно плоскости сертежа, на нас ), и модуль вектора $vec{B}$ равен:

$B = 2B_{1} + B_{2}$, (1)

Участок 2 проводника представляет собой окружность радиуса $R$. Магнитная индукция $B_{2}$ в центре этого кругового витка с током определяется по формуле:

$B_{2} = frac{ mu_{0}I }{2R}$, (2)

где $mu_{0}$ — магнитная постоянная ($mu_{0} = 4 pi cdot 10^{-7} Гн/м$)

Определим индукцию $B_{1}$ поля прямолинейного проводника. Выделим на участке 1 элемент проводника $dl$. Этот элементарный ток создает магнитное поле, модуль вектора магнитной индукции которого в точке О согласно закону Био-Савара-Лапласа, равен:

$dB_{1} = frac{ mu_{0} I sin alpha }{4 pi r^{2} } dl$,

где $r$ — расстояние от эдемента $dl$ до точки O; $alpha$ — угол инжду векторами $d vec{l}$ и $vec{r}$.

Как следует из рисунка $r = frac{R}{ sin alpha}; dl = frac{r d alpha}{ sin alpha} = frac{D d alpha}{ sin^{2} alpha }$.

Следовательно,

$dB_{1} = frac{ mu_{0} I sin alpha }{4 pi R^{2} / sin^{2} alpha } frac{R d alpha}{ sin^{2} alpha } = frac{ mu_{0}I }{4 pi R} sin alpha d alpha$

Интегрируя в пределах от $alpha_{1} = 0$ до $alpha_{2} = frac{ pi}{2}$ получим:

$B_{1} = frac{ mu_{0} I }{4 pi R} int_{0}^{ pi /2} sin alpha d alpha = frac{ mu_{0}I }{4 pi R} left . (- cos alpha) right |_{0}^{ pi /2} = frac{ mu_{0}I }{4 pi R} ( cos 0 — cos frac{ pi}{2} ) = frac{ mu_{0}I }{4 pi R}$. (3)

Подставляя выражение (3) и (2) в формулу (1) получаем:

$B = 2 frac{ mu_{0} I }{2 pi R} + frac{ mu_{0} I }{2 R} = frac{ mu_{0}I }{2 pi R} + frac{ mu_{0}I }{2R} = frac{ mu_{0}I }{2 pi R} ( pi + 1)$

$B = frac{4 pi cdot 10^{-7} cdot 50 }{2 pi cdot 0,1} ( pi + 1) = 4,14 cdot 10^{-4} Тл$

е) В соответствии с принципом суперпозиции магнитная индукция в точке О равна:

$vec{B} = vec{B}_{1} + vec{B}_{2} + vec{B}_{3}$, где $vec{B}_{1}, vec{B}_{2}$ и $vec{B}_{3}$ — индукция полей создаеваемых участками 1,2 и 3 проводника соответственно (рис.). В силу симметрии индукции полей, создаваемых прямолинейными участками 1 и 3 проводника, в точке О равны между собой: $vec{B}_{1} = vec{B}_{3}$. Поэтому

$vec{B} = 2 vec{B}_{1} + vec{B}_{2}$.

Векторы $vec{B}_{1}$ и $vec{B}_{2}$ в точке О направлены потивоположно. Следовательно, модуль векторы $vec{B}$:

$B = |2B_{1} — B_{2} |$, (1)

Участок 2 проводника представляет собой дугу, составляюшую две трети окружности радиуса $R$, т.к. $frac{2 pi — 2pi /3}{2 pi} = 1- frac{1}{3} = frac{2}{3}$. Магнитная индукция в центре кругового витка с током определяется выражением:

$B = frac{ mu_{0}I }{2R}$.

Поэтому индукция $B_{1}$ поля участка 2 проводника в точке О равна:

$B_{2} = frac{2}{3} frac{ mu_{0}I }{2R} = frac{ mu_{0}I }{3R}$. (2)

Определим индукцию $B_{1}$ поля прямолинейного проводника. Выделим на участке 1 элемент проводника $dl$. Этот элементарный токслздает магнитное поле, модуль вектора магнитной индукции которого в токе О, согласно закону Био-Савара-Лапласа, равен:

$dB_{1} = frac{ mu_{0} I sin alpha }{4 pi r^{2} }dl$, (3)

где $r$ — расстояние от элемента $dl$ до точки О; $alpha$ — угол между векторами $d vec{l}$ и $vec{r}$; $mu_{0}$ — магнитная постоянная ($ mu_{0} = 4 pi cdot 10^{-7} Гн/м $)

Как следует из рисунка

$r_{0} = R sin frac{ pi}{6} = frac{R}{2}; r = frac{r_{0} }{ sin alpha} = frac{R/2}{ sin alpha}; dl = frac{rd alpha}{ sin alpha} = frac{R/2}{ sin^{2} alpha } d alpha$.

С учетом этих соотношений формула (3) примет вид:

$dB_{1} = frac{ mu_[0] I sin alpha }{4 pi R^{2} / (4 sin^{2} alpha) } frac{R/2}{ sin^{2} alpha } d alpha = frac{ mu_{0}I }{2 pi R} sin alpha d alpha$.

Интегрируя в пределах от $alpha_{1} = 0$ до $alpha_{2} = frac{ pi}{6}$ получаем:

$B_{1} = frac{ mu_{0} I }{2 pi R} int_{0}^{ pi /6} sin alpha d alpha = frac{ mu_{0}I }{2 pi R} left . ( — cos alpha) right |_{0}^{ pi /6} = frac{ mu_{0}I }{2 pi R} ( cos 0 — cos frac{ pi}{6} )$

Подставляя значения $cos 0 = 1$ и $cos frac{ pi}{6} = frac{ sqrt{3} }{2}$ получим:

$B_{1} = frac{ mu_{0}I }{2 pi R} left ( 1 — frac{ sqrt{3} }{2} right )$, (4)

Подставляя выражения (2) и (4) в формулу (1) получаем:

$B = left | frac{ mu_{0}I }{ pi R} left ( 1 — frac{ sqrt{3} }{2} right ) right | = frac{ mu_{0}I }{R} left | frac{2 — sqrt{3} }{2 pi} — frac{1}{3} right | $, (5)

Так как выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно $ left ( left ( frac{2 — sqrt{3} }{2 pi} — frac{1}{3} right ) < 0 right ) $, то следовательно $B_{2} > 2B_{1}$. Поэтому вектор $vec{B}$ сонаправлен с вектором $vec{B}_{2}$ (направлен перпендикулярно плоскости чертежа, за чертежом)

Раскрывая щнак модуля в выражении (5) получаем:

$B = frac{ mu_{0}I }{R} left ( frac{1}{3} — frac{2 — sqrt{3} }{2 pi} right )$.

$B = frac{4 pi cdot 10^{-7} cdot 50 }{0,1} ( frac{1}{3} — frac{2 — sqrt{3} }{2 cdot 3,14} ) = 1,82 cdot 10^{-4} Тл$

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Магнитное поле в центре кругового проводника с током

Для
нахождения индукции магнитного поля в
центре кругового проводника с током
необходимо разбить этот проводник на
элементы
,
для каждого из них найти век­тор
,
а затем все эти векторы сложить. Так как
всевек­торы

направлены
вдоль нормали к плоскости витка (рис.
11), то сложение век­торов

можно заменить сложением их модулей
dB.

По
закону Био-Савара-Лапласа модуль вектора

:

.

Так
как все элементы
проводника перпендикулярны соответствующим
радиусам-векторам
,то sin
= 1 для всех
элементов
.
Расстояния
r
=
R для всех
элементов проводника
.
Тогда выражение для модуля вектора
:

.

Теперь
можно перейти к интегрированию:

.

Итак,
индукция магнитного поля в центре
кругового проводника с током:

(R
– радиус
витка с током I).

Тема 4. Действие магнитного поля на проводник с током (закон Ампера) и на движущийся заряд (сила Лоренца)

Закон
Ампера. На
элемент проводника

с током I
, помещённый
в магнитное поле с индукцией

(рис. 12), действует сила
(–сила
Ампера):

.

Модуль
вектора
:
,

где

–
угол между векторами
и
.

Направление вектора
можно определить поправилу
левой руки:
если силовые линии входят в ладонь, а
четыре вытянутых пальца располагаются
по току, то отведённый большой палец
укажет направление вектора силы Ампера
.

(Сила
перпендикулярна плоскости рисунка 12.)

Сила
Лоренца. На
заряд q
, движущийся со скоростью в магнитном
поле с индукцией (рис. 13), действует сила
(
–сила Лоренца
):

.

Модуль вектора
:,

где
α – угол
между векторами
и
.

Н

Рис.
13

аправление вектораможет быть определено поправилу
левой руки для движущихся
положительных зарядов и по правилу
правой руки для движущихся
отрицательных зарядов:

если
силовые линии магнитного поля входят
в ладонь, а четыре вытянутых пальца
располагаются по скорости движения
частицы, то отведённый большой палец
укажет направление силы
Лоренца
(рис. 13, сила
перпендикулярна плоскости рисунка).

Тема. 5. Магнитный поток. Теорема Гаусса для магнитного поля

Поток
вектора магнитной индукции

(или
магнитный поток)
через произвольную площадку S
характеризуется числом силовых линий
магнитного поля, пронизывающих данную
площадку S.

Если
площадка S
расположена
перпендикулярно
силовым линиям магнитного поля (рис.
14), то поток Ф_B
вектора индукции

через данную площадкуS
:

.

Рис.
14 Рис.
15

Если
площадка S
расположена
неперпендикулярно силовым линиям
магнитного поля (рис. 15), то поток Ф_B
вектора индукции
через данную площадкуS
:

,

где
α
– угол между векторами
и нормалик площадкеS.

Д

ля
того, чтобы найти потокФ_B
вектора магнитной индукции

через произвольную поверхностьS,
необходимо разбить
эту поверхность на элементарные площадки
dS
(рис.
16) и
определить элементарный
поток
векторачерез каждую площадкуdS
по формуле:

,

г

Рис.
16

де α
– угол между векторами
и нормалик данной площадкеdS;

–вектор,
равный по величине площади площадки dS
и направленный по вектору нормали к
данной площадке dS
.

Тогда
поток вектора
через произвольную поверхностьS
равен
алгебраической сумме элементарных
потоков
через все элементарные площадки
dS,
на которые разбита поверхность S,
что приводит к интегрированию:

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

72. Катушка длиной l = 20 см содержит N = 100 витков. По обмотке катушки идет ток I = 5 А. Диаметр d катушки равен 20 см. Определить магнитную индукцию B в точке, лежащей на оси катушки на расстоянии a = 10 см от ее конца.

73. Из проволоки диаметром d = 1 мм надо намотать соленоид, внутри которого должна быть напряженность магнитного поля Н = 24 кА/м. По проволоке можно пропускать предельный ток I = 6 А. Из какого числа слоев будет со- стоять обмотка соленоида, если витки наматывать плотно друг к другу? Диаметр катушки считать малым по сравнению с ее длиной.

74. Непроводящий тонкий диск радиуса R, равномерно заряженный с одной сто- роны с поверхностной плотностью σ, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ω. Найти индукцию магнитного поля в центре диска.

75. Из проволоки нужно намотать соленоид, индукция магнитного поля внутри которого должна быть равна B = 6,28·10-3 Тл. Предельная сила тока, который можно пропускать по проволоке, равна I = 4,0 А. Чтобы обеспечить необходимую индукцию поля необходимо намотать N = 3 слоя обмотки, причем витки должны плотно прилегать друг к другу Найти диаметр проволоки d, считая диаметр катушки малым по сравнению с ее длиной.

76. Из проволоки диаметром d = 0,4 мм изготовлен соленоид. Предельная сила тока, который можно пропускать по проволоке, равна I = 10,0 А. Чтобы обеспечить необходимую индукцию поля, намотано N = 2 слоя обмотки, причем витки плотно прилегают друг к другу. Найти индукция магнитного поля внутри соленоида, считая диаметр катушки малым по сравнению с ее длиной.

77. Из проволоки диаметром d = 0,5 мм нужно намотать соленоид, индукция магнитного поля внутри которого должна быть равна B = 1,2·10-2 Тл. Чтобы обеспечить необходимую индукцию необходимо намотать N = 4 слоя обмот-36 ки, причем витки должны плотно прилегать друг к другу. Найти силу тока, который нужно пропускать по проволоке, считая диаметр катушки малым по сравнению с ее длиной.

78. Из проволоки диаметром d = 1,57 мм нужно намотать соленоид, индукция магнитного поля внутри которого должна быть равна B = 1,6·10-2 Тл. Предельная сила тока, который можно пропускать по проволоке, равна I = 5,0 А. Сколько слоев обмотки необходимо намотать, причем витки должны плотно прилегать друг к другу, чтобы обеспечить необходимую индукцию магнитного поля? Диаметр катушки считать малым по сравнению с ее длиной.

79. Ион, несущий один элементарный заряд, движется в однородном магнитном поле с индукцией B = 0,015 Тл по окружности радиусом R = 10 см. Определить импульс p иона.

80. Электрон движется в магнитном поле с индукцией B = 0,02 Тл по окружности радиусом R = 1 см. Определить кинетическую энергию Eкин электрона (в джоулях и электрон-вольтах).