Как найти магнитную индукцию проводника с током

Всем доброго времени суток. В прошлой статье я рассказал о магнитном поле и немного остановился на его параметрах. Данная статья продолжает тему магнитного поля и посвящена такому параметру как магнитная индукция. Для упрощения темы я буду рассказывать о магнитном поле в вакууме, так как различные вещества имеют разные магнитные свойства, и как следствие необходимо учитывать их свойства.

Для сборки радиоэлектронного устройства можно преобрески DIY KIT набор по ссылке.

Закон Био – Савара – Лапласа

В результате исследования магнитных полей создаваемых электрическим током, исследователи пришли к таким выводам:

• магнитная индукция, создаваемая электрическим током пропорциональна силе тока;
• магнитная индукция имеет зависимость от формы и размеров проводника, по которому протекает электрический ток;
• магнитная индукция в любой точке магнитного поля зависит от расположения данной точки по отношению к проводнику с током.

Французские учёные Био и Савар, которые пришли к таким выводам обратились к великому математику П. Лапласу для обобщения и вывода основного закона магнитной индукции. Он высказал гипотезу, что индукция в любой точке магнитного поля, создаваемое проводником с током можно представить в виде суммы магнитных индукций элементарных магнитных полей, которые создаются элементарным участком проводника с током. Данная гипотеза и стала законом магнитной индукции, называемого законом Био – Савара – Лапласа. Для рассмотрения данного закона изобразим проводник с током и создаваемую им магнитную индукцию

Магнитная индукция dB, создаваемая элементарным участком проводника dl.

Тогда магнитная индукция dB элементарного магнитного поля, которое создается участком проводника dl, с током I в произвольной точке Р будет определяться следующим выражением

где I – сила тока, протекающая по проводнику,

r – радиус-вектор, проведённый от элемента проводника к точке магнитного поля,

dl – минимальный элемент проводника, который создает индукцию dB,

k – коэффициент пропорциональности, зависящий от системы отсчёта, в СИ k = μ₀/(4π)

Так как [dl r] является векторным произведением, тогда итоговое выражение для элементарной магнитной индукции будет выглядеть следующим образом

Таким образом, данное выражение позволяет найти магнитную индукцию магнитного поля, которое создается проводником с током произвольной формы и размеров при помощи интегрирования правой части выражения

где символ l обозначает, что интегрирование происходит по всей длине проводника.

Магнитная индукция прямолинейного проводника

Как известно простейшее магнитное поле создает прямолинейный проводник, по которому протекает электрический ток. Как я уже говорил в предыдущей статье, силовые линии данного магнитного поля представляют собой концентрические окружности расположенные вокруг проводника.

Магнитная индукция магнитного поля создаваемого прямолинейным проводником с током.

Для определения магнитной индукции В прямого провода в точке Р введем некоторые обозначения. Так как точка Р находится на расстоянии b от провода, то расстояние от любой точки провода до точки Р определяется как r = b/sinα. Тогда наименьшую длину проводника dl можно вычислить из следующего выражения

В итоге закон Био – Савара – Лапласа для прямолинейного провода бесконечной длины будет иметь вид

где I – ток, протекающий по проводу,

b – расстояние от центра провода до точки, в которой рассчитывается магнитная индукция.

Теперь просто проинтегрируем получившееся выражение по dα в пределах от 0 до π.

Таким образом, итоговое выражение для магнитной индукции прямолинейного провода бесконечной длины будет иметь вид

где μ₀  – магнитная постоянная, μ₀ = 4π•10^-7 Гн/м,

I – ток, протекающий по проводу,

b – расстояние от центра проводника до точки, в которой измеряется индукция.

Магнитная индукция кольца

Индукция прямого провода имеет небольшое значение и уменьшается при удалении от проводника, поэтому в практических устройствах практически не применяется. Наиболее широко используются магнитные поля созданные проводом, намотанным на какой либо каркас. Поэтому такие поля называются магнитными полями кругового тока. Простейшим таким магнитным поле обладает электрический ток, протекающий по проводнику, который имеет форму окружности радиуса R.

В данном случае практический интерес представляет два случая: магнитное поле в центре окружности и магнитное поле в точке Р, которое лежит на оси окружности. Рассмотрим первый случай.

Магнитная индукция в центре кругового тока.

В данном случае каждый элемент тока dl создаёт в центре окружности элементарную магнитную индукцию dB, которая перпендикулярна к плоскости контура, тогда закон Био-Савара-Лапласа будет иметь вид

Остается только проинтегрировать полученное выражение по всей длине окружности

где μ₀  – магнитная постоянная, μ₀ = 4π•10^-7 Гн/м,

I – сила тока в проводнике,

R – радиус окружности, в которое свернут проводник.

Рассмотрим второй случай, когда точка, в которой вычисляется магнитная индукция, лежит на прямой х, которая перпендикулярна плоскости ограниченной круговым током.

Магнитная индукция в точке, лежащей на оси окружности.

В данном случае индукция в точке Р будет представлять собой сумму элементарных индукций dB_X, которые в свою очередь представляет собой проекцию на ось х элементарной индукции dB

Применив закон Био-Савара-Лапласа вычислим величину магнитной индукции

Теперь проинтегрируем данное выражение по всей длине окружности

где μ₀ – магнитная постоянная, μ₀ = 4π•10^-7 Гн/м,

I – сила тока в проводнике,

R – радиус окружности, в которое свернут проводник,

х – расстояние от точки, в которой вычисляется магнитная индукция, до центра окружности.

Как видно из формулы при х = 0, получившееся выражение переходит в формулу для магнитной индукции в центре кругового тока.

Циркуляция вектора магнитной индукции

Для расчёта магнитной индукции простых магнитных полей достаточно закона Био-Савара-Лапласа. Однако при более сложных магнитных полях, например, магнитное поле соленоида или тороида, количество расчётов и громоздкость формул значительно увеличится. Для упрощения расчётов вводится понятие циркуляции вектора магнитной индукции.

Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному контуру.

Представим некоторый контур l, который перпендикулярный току I. В любой точке Р данного контура, магнитная индукция В направлена по касательной к данному контуру. Тогда произведение векторов dl и В описывается следующим выражением

Так как угол dφ достаточно мал, то векторов dl_В определяется, как длина дуги

Таким образом, зная магнитную индукцию прямолинейного проводника в данной точке, можно вывести выражение для циркуляции вектора магнитной индукции

Теперь остаётся проинтегрировать получившееся выражение по всей длине контура

В нашем случае вектор магнитной индукции циркулирует вокруг одного тока, в случае же нескольких токов выражение циркуляции магнитной индукции переходит в закон полного тока, который гласит:

Циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру пропорциональна алгебраической сумме токов, которые охватывает данный контур.

Магнитное поле соленоида и тороида

С помощью закона полного тока и циркуляции вектора магнитной индукции достаточно легко определить магнитную индукцию таких сложных магнитных полей как у соленоида и тороида.

Соленоидом называется цилиндрическая катушка, которая состоит из множества витков проводника, намотанных виток к витку на цилиндрический каркас. Магнитное поле соленоида фактически состоит из множества магнитных полей кругового тока с общей осью, перпендикулярной к плоскости каждого кругового тока.

Магнитная индукция соленоида.

Воспользуемся циркуляцией вектора магнитной индукции и представим циркуляцию по прямоугольному контуру 1-2-3-4. Тогда циркуляция вектора магнитной индукции для данного контура будет иметь вид

Так как на участках 2-3 и 4-1 вектор магнитной индукции перпендикулярен к контуру, то циркуляция равна нулю. На участке 3-4, который значительно удалён от соленоида, то его так же можно не учитывать. Тогда с учётом закона полного тока магнитная индукция в соленоиде достаточно большой длины будет иметь вид

где n – число витков проводника соленоида, которое приходится на единицу длины,

I – ток, протекающий по соленоиду.

Тороид образуется путём намотки проводника на кольцевой каркас. Данная конструкция эквивалентна системе из множества одинаковых круговых токов, центры которых расположены на окружности.

Магнитная индукция тороида.

В качестве примера рассмотрим тороид радиуса R, на который намотано N витков провода. Вокруг каждого витка провода возьмём контур радиуса r, центр данного контура совпадает в центром тороида. Так как вектор магнитной индукции B направлен по касательной к контуру в каждой точке контура, то циркуляция вектора магнитной индукции будет иметь вид

где r – радиус контура магнитной индукции.

Контур проходя внутри тороида охватывает N витков провода с током I, тогда закон полного тока для тороида будет иметь вид

где n – число витков проводника, которое приходится на единицу длины,

r – радиус контура магнитной индукции,

R – радиус тороида.

Таким образом, используя закон полного тока и циркуляцию вектора магнитной индукции можно рассчитать сколь угодно сложное магнитное поле. Однако закон полного тока дает правильные результаты только лишь в вакууме. В случае расчёта магнитной индукции в веществе необходимо учитывать так называемые молекулярные токи. Об этом пойдёт речь в следующей статье.

Часто бывает, что задачу не удается решить из-за того, что под рукой нет нужной формулы. Выводить формулу с  самого начала – дело не самое быстрое, а у нас на счету каждая минута.

Ниже мы собрали вместе основные формулы по теме «Электричество и Магнетизм». Теперь, решая задачи, вы сможете пользоваться этим материалом как справочником, чтобы не терять время на поиски нужной информации.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Магнетизм: определение

Магнетизм – это взаимодействие движущихся электрических зарядов, происходящее посредством магнитного поля.

Поле – особая форма материи. В рамках стандартной модели существует электрическое, магнитное, электромагнитные поля, поле ядерных сил, гравитационное поле и поле Хиггса. Возможно, есть и другие гипотетические поля, о которых мы пока что можем только догадываться или не догадываться вовсе. Сегодня нас интересует магнитное поле.

Магнитная индукция

Так же, как заряженные тела создают вокруг себя электрическое поле, движущиеся заряженные тела порождают магнитное поле. Магнитное поле не только создается движущимися зарядами (электрическим током), но еще и действует на них. По сути магнитное поле можно обнаружить только по действию на движущиеся заряды. А действует оно на них с силой, называемой силой Ампера, о которой речь пойдет позже.

Прежде чем мы начнем приводить конкретные формулы, нужно рассказать про магнитную индукцию.

Магнитная индукция – это силовая векторная характеристика магнитного поля.

Она обозначается буквой B и измеряется в Тесла (Тл). По аналогии с напряженностью для электрического поля Е магнитная индукция показывает, с какой силой магнитное поле действует на заряд.

Кстати, вы найдете много интересных фактов на эту тему в нашей статье про теорию магнитного поля и интересные факты о магнитном поле Земли.

Как определять направление вектора магнитной индукции? Здесь нас интересует практическая сторона вопроса. Самый частый случай в задачах – это магнитное поле, создаваемое проводником с током, который может быть либо прямым, либо в форме окружности или витка.

Для определения направления вектора магнитной индукции существует правило правой руки. Приготовьтесь задействовать абстрактное и пространственное мышление!

Если взять проводник в правую руку так, что большой палец будет указывать на направление тока, то загнутые вокруг проводника пальцы покажут направление силовых линий магнитного поля вокруг проводника. Вектор магнитной индукции в каждой точке будет направлен по касательной к силовым линиям.

Сила Ампера

Представим, что есть магнитное поле с индукцией B. Если мы поместим в него проводник длиной l, по которому течет ток силой I, то поле будет действовать на проводник с силой:

Это и есть сила Ампера. Угол альфа – угол между направлением вектора магнитной индукции и направлением тока в проводнике.

Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки: если расположить левую руку так, чтобы в ладонь входили линии магнитной индукции, а вытянутые пальцы указывали бы направление тока, отставленный большой палец укажет направление силы Ампера.

Сила Лоренца

Мы выяснили, что поле действует на проводник с током. Но если это так, то изначально оно действует отдельно на каждый движущийся заряд. Сила, с которой магнитное поле действует на движущийся в нем электрический заряд, называется силой Лоренца. Здесь важно отметить слово «движущийся», так на неподвижные заряды магнитное поле не действует.

Итак, частица с зарядом q движется в магнитном поле с индукцией В со скоростью v, а альфа – это угол между вектором скорости частицы и вектором магнитной индукции. Тогда сила, которая действует на частицу:

Как определить направление силы Лоренца? По правилу левой руки. Если вектор индукции входит в ладонь, а пальцы указывают на направление скорости, то отогнутый большой палец покажет направление силы Лоренца. Отметим, что так направление определяется для положительно заряженных частиц. Для отрицательных зарядов полученное направление нужно поменять на противоположное.

Если частица массы m влетает в поле перпендикулярно линиям индукции, то она будет двигаться по окружности, а сила Лоренца будет играть роль центростремительной силы. Радиус окружности и период обращения частицы в однородном магнитном поле можно найти по формулам:

Взаимодействие токов

Рассмотрим два случая. Первый – ток течет по прямому проводу. Второй – по круговому витку. Как мы знаем, ток создает магнитное поле.

В первом случае магнитная индукция провода с током I на расстоянии R от него считается по формуле:

Мю – магнитная проницаемость вещества, мю с индексом ноль – магнитная постоянная.

Во втором случае магнитная индукция в центре кругового витка с током равна:

Также при решении задач может пригодиться формула для магнитного поля внутри соленоида. Соленоид – это катушка, то есть множество круговых витков с током.

Пусть их количество – N, а длина самого соленоилда – l. Тогда поле внутри соленоида вычисляется по формуле:

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Магнитный поток и ЭДС

Если магнитная индукция – векторная характеристика магнитного поля, то магнитный поток – скалярная величина, которая также является одной из самых важных характеристик поля. Представим, что у нас есть какая-то рамка или контур, имеющий определенную площадь. Магнитный поток показывает, какое количество силовых линий проходит через единицу площади, то есть характеризует интенсивность поля. Измеряется в Веберах (Вб) и обозначается Ф.

S – площадь контура, альфа – угол между нормалью (перпендикуляром) к плоскости контура и вектором В.

При изменении магнитного потока через контур в контуре индуцируется ЭДС, равная скорости изменения магнитного потока через контур. Кстати, подробнее о том, что такое электродвижущая сила, вы можете почитать в еще одной нашей статье.

По сути формула выше – это формула для закона электромагнитной индукции Фарадея. Напоминаем, что скорость изменения какой-либо величины есть не что иное, как ее производная по времени.

Для магнитного потока и ЭДС индукции также справедливо обратное. Изменение тока в контуре приводит к изменению магнитного поля и, соответственно, к изменению магнитного потока. При этом возникает ЭДС самоиндукции, которая препятствует изменению тока в контуре. Магнитный поток, который пронизывает контур с током, называется собственным магнитным потоком, пропорционален силе тока в контуре и вычисляется по формуле:

L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью, который измеряется в Генри (Гн). На индуктивность влияют форма контура и свойства среды. Для катушки с длиной l и с числом витков N индуктивность рассчитывается по формуле:

Формула для ЭДС самоиндукции:

Энергия магнитного поля

Электроэнергия, ядерная энергия, кинетическая энергия. Магнитная энергия – одна из форм энергии. В физических задачах чаще всего нужно рассчитывать энергию магнитного поля катушки. Магнитная энергия катушки с током I и индуктивностью L равна:

Объемная плотность энергии поля:

Конечно, это не все основные формулы раздела физики «электричество и магнетизм», однако они часто могут помочь при решении стандартных задач и расчетах. Если же вам попалась задача со звездочкой, и вы никак не можете подобрать к ней ключ, упростите себе жизнь и обратитесь за решением в сервис студенческой помощи.

46

ВОЛОДИНА Л. А., доцент кафедры физики
РГУ им.Губкина «Электромагнетизм и
волны» (конспект, прод.6)

МАГНИТНОЕ
ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Сила Лоренца.

Неподвижные в
некоторой системе отсчета К
электрические
заряды взаимодействуют между собой с
кулоновской (электростатической) силой.
Если эти заряды рассматривать, находясь
в другой системе отсчета К,
движущейся
относительно системы К
с постоянной
скоростью
v,
и использовать формулы релятивистской
механики, то выражение для силы
взаимодействия зарядов оказывается
другим.¹
Появляется дополнительная сила,
зависящая от скорости. Эту дополнительную
силу называют магнитной силой. Кулоновская
сила зависит от расстояния между
зарядами, магнитная сила зависит от
скорости движения зарядов. Полную силу
взаимодействия зарядов называют силой
Лоренца или электромагнитной силой.

Это выражение для
силы Лоренца следует из теории
относительности – из инвариантности
релятивистского уравнения движения
².
Можно сказать, что это выражение является
релятивистским обобщением закона
Кулона. Второе слагаемое F_магн
можно назвать
также релятивистской добавкой к
кулоновской силе. Из теории относительности
следует, что отношение
F_магн
/F_эл
= v²/c²
,

где v
– скорость движения заряда, с
– скорость света в вакууме, т.е. магнитная
часть силы Лоренца F_магн

F_эл
.Для отдельного заряда эти силы становятся
сравнимы при очень больших скоростях.
Однако, и при малых скоростях магнитная
сила оказывается заметной. Например,
когда по проводнику течет ток, электрическое
поле движущихся отрицательных зарядов
нейтрализуется полем положительных
зарядов. В результате остается одна
магнитная сила, именно она проявляется
при взаимодействии проводников с током
(сила Ампера).

Магнитное поле.
Вектор магнитной индукции.

Вокруг неподвижного
электрического заряда существует
электростатическое поле, которое
характеризуют вектором напряженности
Е,
посредством этого поля осуществляется
взаимодействие данного заряда с другими
неподвижными зарядами, находящимися в
этом поле. Если электрический заряд
движется,
вокруг него, а также вокруг проводника
с током (ток – это движущиеся направленно
заряды) возникает поле, которое называют
магнитным
полем и
характеризуют вектором В

вектором
магнитной индукции. Это поле действует
на другие движущиеся
заряды и
проводники с током
с силой,
которую называют магнитной
силой.

Физический смысл
вектора В
можно определить из выражений для
магнитных
сил.

Из формулы ():
B=
F_max/(qv)

магнитная индукция численно равна
максимальной силе, действующей на
единичный положительный заряд, движущийся
в магнитном поле с единичной скоростью
((sin)_max=1).
Из формулы ():
B=F_max/Il

магнитная
индукция численно равна максимальной
силе, действующей в магнитном поле на
проводник единичной длины, по которому
течет единичный ток. Таким образом,
вектор магнитной индукции – это силовая
характеристика магнитного поля.

Магнитное поле
характеризуют также с помощью
вспомогательного вектора 
вектора напряженности магнитного поля
Н:

Графически
магнитное поле изображают с помощью
линии магнитной
индукции –
это линия, в каждой точке которой вектор
магнитной индукции совпадает с
направлением касательной. Линии магнитной
индукции не следует называть силовыми
линиями, т.к. магнитная сила направлена
в каждой точке линии не по касательной,
как в случае электростатического поля,
а перпендикулярно ей. Линии магнитной
индукции 
это непрерывные замкнутые кривые, они
не имеют ни начала, ни конца, не могут
пересекаться. На рис. показаны линии
индукции поля прямого тока и поля катушки
с током.

Закон Био –
Савара – Лапласа.

Установление
основных законов электромагнетизма
произошло в очень короткий срок с 1820 г
по 1824 г. Французские ученые Био и Савар
экспериментально изучали действие
различных токов на магнитные стрелки.
Впоследствии французскому математику
Лапласу удалось обобщить их результаты
и получить выражение, которое впоследствии
получило название закон Био – Савара
– Лапласа (закон БСЛ). Кроме того, Лаплас
установил принцип независимого сложения
магнитных полей – принцип суперпозиции
магнитных полей:

Смысл принципа
суперпозиции в том, что, как и в случае
электростатических полей, магнитные
поля складываются независимо, т.е. не
влияя друг на друга.

Пользуясь
законом БСЛ и принципом суперпозиции
можно найти выражения для индукции
магнитных полей различных проводников
с током. Это сложная математическая
задача. Мы рассмотрим магнитное поле
прямого проводника с током и поле на
оси кольца с током. При этом мы будем
пренебрегать магнитным полем, которое
создают подводящие ток провода. При
выводе формул сначала надо записать
закон БСЛ для магнитной индукции поля,
создаваемого бесконечно малым элементом
с током, а затем использовать принцип
суперпозиции в интегральной форме.

Выберем
произвольную точку на расстоянии r₀
от проводника (см. рис.) и бесконечно
малый элемент проводника dl
с током I,
находящийся на расстоянии r
от нее. Вектор магнитной индукции поля
от этого элемента dB
направлен
перпендикулярно чертежу (на нас). Векторы
магнитной индукции от остальных элементов
проводника направлены также, поэтому
интегрирование будет производиться в
скалярной форме.

— — — — — — — — — — — выдано
10.03.05

(Магнитное поле
тока в подводящих проводах не учитываем).

2)Магнитное поле прямого бесконечно длинного проводника.

В случае бесконечно
длинного проводника ₁

0, ₂

180^о
(cos180^o
= 1),
получим:

3)Магнитное поле на оси кругового тока.

На рисунке
показаны линии магнитной индукции поля
кругового тока (половина поля). Это
сложное трехмерное поле, аналитической
формулы для которого не существует. Мы
получим выражение для магнитной индукции
только на
оси кольца.

Выделим на кольце
с током два элемента dl₁
и dl₂
, расположенных диаметрально противоположно
(см. рис. ниже). Магнитные индукции от
этих элементов dB₁
и dB₂
. Если разложить эти векторы на составляющие
вдоль оси х
и в перпендикулярном к ней направлении,
то перпендикулярные составляющие
взаимно компенсируются, а составляющие
по оси х будут
складываться. К этому же мы придем,
рассматривая подобные элементы по всему
кольцу. Таким образом, магнитная индукция
на оси кольца направлена вдоль оси
кольца (по правилу буравчика).

4) Магнитное поле в центре кругового тока

Это частный случай
предыдущего примера, когда х
= 0

Магнитный момент
контура с током.

Контур с током
(виток с током) при изучении магнитных
свойств вещества имеет такое же значение,
как диполь при изучении электрических
свойств вещества. Рассматривая поведение
витка с током во внешнем магнитном поле,
можно качественно объяснить намагниченность
различных веществ. Контур с током
характеризуют векторной величиной
р_магн

магнитным моментом.

Теорема о
циркуляции вектора магнитной индукции.

Так же, как
теорема Гаусса в электростатике облегчает
вычисление напряженности электростатического
поля в некоторых случаях, также теорема
о циркуляции ⁴вектора
магнитной индукции дает возможность
легко получить формулы для магнитной
индукции в некоторых простейших случаях.

Выражение ()
применяется в случаях дискретного
распределения проводников с токами,
т.е. когда имеются отдельные проводники
с токами и требуется найти индукцию В
поля вне проводников. Выражение ()
используется в случаях, когда требуется
найти индукцию В
магнитного поля внутри проводника с
током, т.е. при непрерывном распределении
тока по проводнику.

Рассмотрим
некоторые примеры применения теоремы
о циркуляции В.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #