Как найти логарифм с одинаковым основанием

Основные свойства логарифмов

2 февраля 2017

• Скачать все формулы

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: log_a x и log_a y. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

1. log_a x + log_a y = log_a (x · y);
2. log_a x − log_a y = log_a (x : y).

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:

Задача. Найдите значение выражения: log₆ 4 + log₆ 9.

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ (4 · 9) = log₆ 36 = 2.

Задача. Найдите значение выражения: log₂ 48 − log₂ 3.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log₂ 48 − log₂ 3 = log₂ (48 : 3) = log₂ 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log₃ 135 − log₃ 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log₃ 135 − log₃ 5 = log₃ (135 : 5) = log₃ 27 = 3.

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

1. log_a xⁿ = n · log_a x;
2. 
3. 

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

Задача. Найдите значение выражения: log₇ 49⁶.

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log₇ 49⁶ = 6 · log₇ 49 = 6 · 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:

Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 2⁴; 49 = 7². Имеем:

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log₂ 7. Поскольку log₂ 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Пусть дан логарифм log_a x. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

В частности, если положить c = x, получим:

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

Задача. Найдите значение выражения: log₅ 16 · log₂ 25.

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log₅ 16 = log₅ 2⁴ = 4log₅ 2; log₂ 25 = log₂ 5² = 2log₂ 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Задача. Найдите значение выражения: log₉ 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

Основное логарифмическое тождество

Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

1. n = log_a aⁿ
2. 

В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: основное логарифмическое тождество.

В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a? Правильно: получится это самое число a. Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».

Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

Задача. Найдите значение выражения:

Заметим, что log₂₅ 64 = log₅ 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

1. log_a a = 1 — это логарифмическая единица. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
2. log_a 1 = 0 — это логарифмический ноль. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a⁰ = 1 — это прямое следствие из определения.

Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

Смотрите также:

1. Тест к уроку «Что такое логарифм» (тяжелый)
2. Как решать простейшие логарифмические уравнения
3. Не пишите единицы измерения в задаче B12
4. Что такое логарифм
5. Сложные задачи на проценты
6. Задача B4: экономика

Формула перехода к новому основанию

Теорема

Если , ,  – положительные числа, причем a и c отличны от 1, то имеет место равенство:  – формула перехода к новому основанию

Доказательство

Преобразуем данное равенство, домножив левую и правую часть на знаменатель правой части:

Далее возведем  в степень левой и правой части:

Преобразуем левую часть, применив свойство степеней:

Согласно основному логарифмическому тождеству:

Таким образом:

Согласно основному логарифмическому тождеству:

Следовательно:

Мы получили равенство, которое верно по основному логарифмическому тождеству. То есть:

Что и требовалось доказать.

Следствия из формулы перехода к новому основанию

1. Первое следствие мы вывели попутно, доказывая формулу перехода:

2. Подставим в предыдущую формулу :

Доказательство

Докажем третье следствие из формулы перехода к новому основанию

 , при ;

Доказательство

Прологарифмируем данное равенство по основанию :

В правой и левой части вынесем степень за знак логарифма:

Так как , то:

Согласно второму следствию из формулы перехода к новому основанию , следовательно:  

Домножим левую и правую часть на знаменатель правой части:

Равенство верное, следовательно:

Что и требовалось доказать.

Пример 1

Вычислите:

Решение

Разность логарифмов с одинаковым основанием – это логарифм частного, а сумма логарифмов с одинаковым основанием – логарифм произведения. А у нас в числителях и знаменателях стоят логарифмы с одинаковыми основаниями.

Применяя эти свойства, получаем:

Согласно формуле перехода к новому основанию :

Следовательно: 

Из основания логарифма показатель степени  выносится за знак логарифма как , а из подлогарифмического выражения – как , то есть:

Следовательно: 

Ответ: .

Пример 2

Вычислите:

Решение

Нам известно следствие из формулы перехода к новому основанию:

С помощью этой формулы преобразуем показатель степени в данном выражении:

Таким образом:

Ответ: .

Пример 3

Вычислите:

Решение

Преобразуем показатель степени, избавившись от минус первой степени:

Приведем всё к одному основанию (в данном случае к 5), воспользовавшись следствием из формулы перехода к новому основанию

Домножим числитель и знаменатель на :

Следовательно:

Применим основное логарифмическое тождество:

Ответ: 5.

Пример 4

Известно, что , ; . Вычислить:  

Решение

Существует два способа решения этой задачи.

1. Перейдем в логарифмах (в выражении, которое нам необходимо вычислить) к одному основанию – . Для этого воспользуемся формулой перехода к новому основанию:

а) 

Так как:

 – по условию, то: 

б) 

в) Таким образом: 

2. Второе решение состоит в том, что если , то . Подставив это в наше выражение, мы получим выражение с одной переменной , вычислить его будет несложно, главное не запутаться в степенях.

Ответ: .

Пример 5

Дано: . Найти:

Решение

Заметим, что все числа в условии – это комбинации двоек и троек: ; ; ; . Перейдем в данных логарифмах к основанию 2 или 3. Например, к трем:

1. 

Таким образом: 

Выразим из этого выражения : 

Домножаем это выражение на 3: 

Вычтем из левой и правой части выражения 1 и разделим эти части на 2:

2. 

3. Так как , то: 

Домножим числитель и знаменатель на : 

Ответ: .

Пример

Упростите выражение:

Решение

Согласно основному логарифмическому тождеству представим 2 в виде:

Тогда:

Следовательно:

В данном примере мы попутно доказали полезное свойство:

Ответ: 0.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. – М.: Мнемозина, 2001.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. – М.: Просвещение, 1990.

4. Мордкович А.Г., Денищева Л.О., Корешкова Т.А., Мишустина Т.Н., Тульчинская Е.Е. Алгебра и начала анализа 10-11 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2001.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт youtube.com (Источник)

2. Интернет-сайт «Гипермаркет Знаний» (Источник)

3. Интернет-портал «ЯКласс» (Источник)

4. Интернет-сайт «Уроки математики» (Источник)

Домашнее задание

1. Задания 1596, 1602, 1612 (стр. 237–239) – Мордкович А.Г., Денищева Л.О., Корешкова Т.А., Мишустина Т.Н., Тульчинская Е.Е. Алгебра и начала анализа 10-11 кл.: Задачник (Источник)

2. Докажите тождество: .

3. Докажите тождество: .

На этой странице вы узнаете

• Что значит расти по экспоненте? 
• Как быстро избавиться от логарифмов с одинаковым основанием?
• Как не попасть в аварию в погоне за результатом?

Математики иногда скучают. Иначе как объяснить то, что для понимания этой пугающей многих учеников темы, нужно запомнить единственный факт: «Степень числа и логарифм — разная запись одного и того же математического события». В этой статье мы ближе познакомимся с логарифмами и увидим, что ничего экстремально сложного в них на самом деле нет.

Понятие логарифма

Математика очень интересная наука, действия в которой можно повернуть в обе стороны. Например, возведение в степень и извлечение корня — одно и то же действие, но совершаемое «в разные направления». Это как шарик-маятник, который качается туда-сюда. 

Однако помимо извлечения корня степень числа имеет еще одно противодействие: это логарифм. Разберемся, чем же они отличаются.

Итак, извлекая корень, мы находим первоначальное число, которое возвели в степень. Например, если мы вычислим, чему равно (4^3), то получим 64. А если извлечем (sqrt[3]{64}), то получим число, которое возводили в степень. Иными словами, извлекая корень, мы находим основание степени. 

Но что, если мы знаем основание степени и число, полученное при возведении, но при этом не знаем показатель степени? Можем ли мы как-нибудь найти, в какую именно степень возвели то или иное число? 

Ответ: да! Для этого и существуют логарифмы. Логарифм отвечает на вопрос: «В какую степень возвести число a, чтобы получилось число b?»

Например, мы возвели двойку в неизвестную степень и получили 4:

(2^x=4)

Зададим вопрос: в какую степень нужно возвести 2, чтобы получился такой результат? Ответ приходит сразу — это 2:

(2^2=4)

Эту же операцию можно записать значительно короче, если использовать логарифм. Запись будет выглядеть так: 

 (log_24=2)

Вот и всё!

Если понятие «степень» все еще звучит устрашающе, мы написали для вас статью «Действия с натуральными числами».

А теперь внедрим в нашу статью немного научности. Что такое логарифм во вселенной математики?

Логарифм — это число, в которое нужно возвести основание a, чтобы получить число b.

У каждого элемента любой математической функции есть название. Как называются элементы логарифма? 

Снова вспомним корни. Корень степени 2 мы записываем без показателя степени, например, (sqrt{25}). Это связано с его распространенностью и «особенностью». Так и в логарифмах существуют свои «краткие записи», применяемые для «особенных» логарифмов. Такими логарифмами являются десятичный и натуральный. Рассмотрим их чуть подробнее. 

Десятичный логарифм — это логарифм числа по основанию 10. 

Например, нам нужно узнать, в какую степень нужно возвести 10, чтобы получить 100. То есть мы находим (log_{10}100=2). Аналогично (log_{10}1000=3) или (log_{10}100000=5).

Для сокращения записи мы не пишем основание, а само название логарифма немного меняем. Выглядит запись десятичного логарифма следующим образом:

Запись такого логарифма нужно просто запомнить. Но не будет и ошибкой, если записать обычным способом. 

Что же с натуральным логарифмом? Аналогично десятичному, в его основании стоит особое число — экспонента. 

Экспонента — это такая математическая константа, постоянная (как, например, ускорение свободного падения в физике), которая примерно равна 2,72. 

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию е (e ≈ 2,72). 

Такой логарифм тоже имеет «свою» запись, которую нужно запомнить: 

У натурального логарифма в основании стоит число e, которое называется числом Эйлера. На самом деле, это иррациональное число, которое имеет бесконечное количество знаков после запятой, но мы ограничиваемся краткой записью 2,72. Число e играет важную роль во многих разделах математики.

Может возникнуть вопрос: неужели при решении каждого логарифмического уравнения или неравенства придется прибегать к «переформулировке»? На самом деле, нет, ведь для упрощения решений существуют свои правила, а главное, свойства логарифмов. Рассмотрим их чуть подробнее. 

Основное логарифмическое тождество

Итак, какими свойствами обладает логарифм? Начнем с одного из самых важных, а именно — основного логарифмического тождества.

Возможно, вас смутило, что логарифм стоит в степени числа. На самом деле, логарифм — это тоже какое-то число, просто в другой записи. Так, (3^2) и (3^{log_24}=32) — одно и то же число, но в разных записях. 

Разберемся чуть подробнее, как работает тождество. Путь (a=2, b=4). Тогда получаем запись:

(2^{log_24}=4)

Решим отдельно левую часть: 

(2^{log_24}=2^2=4)

Получаем, что тождество верно. Но почему это так работает? 

Заметим, что при вычислении логарифма мы получаем значение степени x, в которую должны возвести основание а, чтобы получить аргумент b.

(log_ab=x), тогда (a^x=b)

После этого мы снова возводим то же основание а в ту же степень, и снова получаем аргумент b. То есть делаем одно и то же действие дважды. 

(a^{log_ab}=a^x=b)

Следовательно, это тождество позволяет сократить вычисление на несколько шагов. Важно: оно будет работать только в случае, когда основания степени и логарифма будут совпадать. Тогда совпадут и аргумент с ответом. 

Рассмотрим, почему это не работает при несовпадающих основаниях. Для этого найдем значение выражения (3^{log_24}). Итак, (log_24=2), значит, мы получаем выражение (3^2=9). Очевидно, что (9neq4), соответственно, применить основное тождество логарифмов мы здесь не можем (поскольку (3neq2)). 

Данное тождество часто используется для преобразований. 

Свойства логарифмов

Логарифмы, как и числа, можно складывать, умножать и делать множество действий с ними. Как не запутаться в них, не производить лишних вычислений и не ошибиться? Для этого нужно хорошо знать все свойства, которые представлены в таблице ниже. Каждое из рассмотренных в таблице свойств можно использовать для преобразований.

Рассмотрим каждое свойство чуть подробнее. 

Свойство 1. (log_ab^m=m*log_ab). 

Попробуем найти значение выражения (log_28^2) без применения свойства. Тогда возведем аргумент в степень и получим:

(log_28^2=log_264)

Воспользовавшись определение логарифма, заметим, что (log_264=6).
Но что делать, если числа окажутся большими, или, более того, у логарифма не будет точного значения — примером такого логарифма может служить (log_57). Да и вычисление в несколько действий с большими числами может занять много времени. 

Именно поэтому мы применяем это свойство! 

(log_28^2=2*log_28=2*3=6)

Свойство 2. (log_{a^n}b=frac{1}{n}*log_ab)

Рассмотрим на примере логарифма (log_{2^2}4). Посчитаем без свойства:

(log_{2^2}4=log_44=1)

Заметим, что:

• в первом свойстве мы увеличивали аргумент логарифма (то есть конечный результат, который получается при возведении числа в степень);
• в этот раз мы увеличиваем уже число, которое возводим в степень. 

Сравните:

(2^2=4) или (3^2=9)

Следовательно, когда мы будем производить «обратные» действия, то есть считать логарифм, то при увеличении основания степени (и сохранении результата возведения в степень), у нас должна уменьшиться сама степень, в которую мы возводим. 

Например:

(2^4=16) и (4^2=16)

Именно поэтому у нас появляется дробь: она уменьшает степень во столько раз, во сколько мы увеличили первоначальное число:

(log_{2^2}4=frac{1}{2}log_24=frac{1}{2}*2=1)

Свойство 3. (log_{a^n}b^m=frac{m}{n}*log_ab)

Это свойство вытекает из двух предыдущих, просто их соединили вместе. Иначе пришлось бы отдельно выносить степень из аргумента и отдельно из основания логарифма. Сравните:

(log_{2^3}5^7=7*log_{2^3}5=7*frac{1}{3}*log_25=frac{7}{3}log_25)
или
(log_{2^3}5^7=frac{7}{3}log_25)

Свойство 4. (log_ab+log_ac=log_a(b*c))

Найдем значение выражения (log_24+log_28):

(log_24+log_28=2+3=5)

Но в случае, когда числа не будут так легко считаться (или вовсе не будут считаться), на помощь придет это свойство:

(log_512,5+log_52=log_525=2)

Свойство 5. (log_ab-log_ac=log_afrac{b}{c})

Аналогично с предыдущим свойством это нужно для упрощения вычислений. 

Например:

(log_318-log_32=log_3frac{18}{2}=log_39=2)

Свойства 6 и 7. (log_aa=1) и (log_a1=0)

Эти свойства напрямую связаны с возведением числа в степень. Достаточно лишь ответить на два вопроса:

• В какую степень нужно возвести число, чтобы получилось такое же число?
• В какую степень нужно возвести любое число, чтобы получить 1?

Ответы на эти вопросы будут 1 и 0. Отсюда и эти свойства:

• Число в степени 1 будет равно само себе: (log_aa=1).
• Число в степени 0 будет равно 1: (log_a1=0).

Свойство 8. (log_ab=frac{log_cb}{log_ca})

Это свойство используется в случаях, когда нам нужно представить логарифм с любым другим основанием. 

Например:

(log_25=frac{log_35}{log_25})

Это свойство может пригодиться в решении уравнений и неравенств для упрощения выражений. 

Свойство 9. (log_ab=frac{1}{log_ba})

Что делать, если нам нужно представить логарифм с определенным основанием, которое равно аргументу этого логарифма? Все просто: мы можем поменять основание и аргумент местами, если воспользуемся свойством (log_ab=frac{1}{log_ba}).

Например:

(log_{27}3=frac{1}{log_327}=frac{1}{3})

Заметим, что это же выражение можно было решить немного по-другому:

(log_{27}3=log_{3^3}3=frac{1}{3}*log_33=frac{1}{3}).

В этом случае мы воспользовались свойствами 2 и 6.

Свойство 10. (a^{log_cb}=b^{log_ca})

Еще одно свойство, которое позволяет изменить аргумент логарифма, и при этом не менять значение выражения. 

Рассмотрим на примере (2^{log_24}):

 (2^{log_24}=2^2=4)
(2^{log_24}=4^{log_22}=4^1=4)

Для более простого запоминания свойств логарифмов предлагаем вам воспользоваться нашими забавными ассоциациями.  

Теперь, когда мы знаем свойства логарифмов, мы можем перейти к более сложным преобразованиям — к решениям уравнений и неравенств.

Простейшие логарифмические уравнения

В других статьях мы уже рассматривали разные виды уравнений: линейные, квадратные, показательные и т.п. Настало время узнать про логарифмические уравнения. 

Логарифмическое уравнение — это уравнение, в котором неизвестная стоит в аргументе или основании логарифмов. 

Иными словами, если в уравнении мы видим логарифм с неизвестной — это логарифмическое уравнение. 

Например, (log_2x=4) — логарифмическое уравнение. 

А вот (log_25+x=x^2) не будет логарифмическим уравнением, поскольку неизвестная не стоит ни в аргументе, ни в основании логарифма. 

Как решать логарифмические уравнения?
Логарифмическое уравнение нужно привести к такому виду:

(log_af(x)=log_ag(x)).

При решении таких уравнений нужно обязательно учитывать, что по определению аргумент логарифма всегда должен быть больше нуля, а основание больше нуля и не должно равняться единице. Эти ограничения называются областью допустимых значений или ОДЗ логарифма. 

Область допустимых значений — это те значения, которые может принимать переменная x (или другая буква латинского алфавита) в выражении.

(log_ab)
ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 0, b> 0.

Рассмотрим на примере:

(log_2(5x-4)=log_2(x+8))

1. В первую очередь найдем ОДЗ. Для этого вспомним, что аргумент логарифма всегда строго положителен:

(5x-4>0) и (x+8>0)

Найдем возможные значения х:

(5x>4) и (x>-8)
(x>frac{4}{5}) и (x>-8)

Нанесем найденные промежутки на числовую прямую и определим, какие значения может принимать х. Для этого нам нужно будет найти промежутки, которые удовлетворяют обоим неравенствам: 

Теперь мы можем определить ОДЗ: (x in(frac{4}{5};+{infty}))

1. Если в обеих частях уравнения находится логарифм по одинаковому основанию, то можно «скинуть» логарифмы и записать равенство аргументов. Поскольку и у первого, и у второго логарифма основания равны 2, то мы можем приравнять их аргументы: 

(5x-4=x+8)

1. Решим полученное уравнение:

(5x-x=8+4)
(4x=12)
(x=3)

1. Подставим в ОДЗ и проверим, подходит ли корень. Поскольку (3>frac{4}{5}), то корень нам подходит. 

Ответ: 3.

А теперь немного усложним задачу. Допустим, переменная будет стоять и в основании, и в аргументе логарифма. 

Рассмотрим еще одно уравнение: 

(log_2(x-4)=log_{4x}4+log_{4x}x)

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма всегда строго больше 0, а основание больше 0 и не равно 1. Тогда получаем следующие неравенства для аргументов логарифмов:

(x>0)
(x-4>0)

И для оснований логарифмов:

(4x>0)
(4xneq1)

Решим неравенства:

(x>0)
(x>4)
(x>0)
(xneqfrac{1}{4})

Теперь отметим все ограничения на числовой прямой и найдем, чему равна ОДЗ:

Поскольку нам нужно, чтобы ограничение удовлетворяло всем полученным неравенствам и уравнениям, то (xin(4;+{infty})).

1. Теперь перейдем к решению самого уравнения. По свойствам логарифма (свойства 4 и 6) преобразуем правую часть уравнения:

(log_2(x-4)=log_{4x}4x)
(log_2(x-4)=1)

1. Чтобы отбросить логарифмы и перейти к уравнению с аргументами, необходимо, чтобы их основания были равны. Поскольку основание левого логарифма равно 2, то представим правую часть в виде логарифма с таким же основанием 2:

(log_2(x-4)=log_22)

1. Отбросим логарифмы и перейдем к уравнению с ними:

(x-4=2)
(x=6)

Поскольку (6>4), то корень принадлежит ОДЗ, а значит, его можно записать в ответ. 

Ответ: 6.

Мы разобрали уравнения с логарифмами. Остался вопрос: а как решать неравенства с ними? 

Простейшие логарифмические неравенства

Логарифмическое неравенство — это неравенство, в котором переменная стоит в аргументе или основании логарифма. 

Для решения логарифмических неравенств тоже можно избавляться от логарифмов.

Делается это уже известным способом — если основания равны, то можно перейти к неравенству с аргументами. При этом нужно обращать внимание на основание логарифма.

Важно!
Если (0<a<1), тогда знак неравенства меняется на противоположный.
Если (a>1), тогда знак неравенства не меняется.

Разберемся, почему это так работает. Рассмотрим два примера:

(log_24=2)
(log_{frac{1}{2}}4=log_{2^{-1}}4=-1*log_24=-2)

Как можно увидеть, если основание логарифма меньше 1, то результат вычислений отрицательный (в случае, если аргумент больше 1). Это связано с тем, что при возведении дробного числа в степень, большую 1, это число только уменьшается, например:

((frac{1}{3})^2=frac{1}{9})

Но если мы возведем такое число в отрицательную степень, то получим больший результат:

((frac{1}{3})^{-2}=3^2=9)

Именно поэтому ради избежания путаницы со знаками, при отбрасывании логарифмов с основанием (0<a<1) мы меняем знак на противоположный: тем самым мы сразу избавляемся от минуса. 

Например:

(log_{frac{1}{3}}9>0)
(log_{3^{-1}}9>0)
(-log_39>0 |*(-1))
(log_39<0)

А теперь чуть подробнее рассмотрим, как действовать с логарифмическими неравенствами:

Получаем промежутки:

Сделаем обратную замену:

Представим правые части неравенства в виде логарифмов с основанием 3:

Теперь у нас справа и слева логарифмы с одинаковым основанием, соответственно, мы можем отбросить логарифмы и перейти к неравенствам с аргументами. Поскольку 3>1, то знаки неравенства менять не нужно:

Отметим на числовой прямой полученные промежутки, а также нанесем ОДЗ:

Теперь давайте рассмотрим решение неравенства с основанием, которое меньше 1.

(log_{frac{1}{5}}x^2geq log_{frac{1}{5}}x+2)

Шаг 1. Напишем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше 0, поэтому получаем два неравенства:

Шаг 2. Преобразуем правую часть. Для этого воспользуемся свойством логарифмов и вынесем степень аргумента перед логарифмом. 

Поскольку степень положительная, то мы должны поставить аргумент в модуль, чтобы не потерять отрицательные значения:

(2*log_{frac{1}{5}}|x|geq log_{frac{1}{5}}x+2)

Шаг 3. Раскроем модуль. По ОДЗ мы получили, что x>0, а значит, мы можем убрать модуль, поскольку под ним всегда будет стоять положительное число:

(2*log_{frac{1}{5}}xgeq log_{frac{1}{5}}x+2)

Шаг 4. Перенесем одно слагаемое влево и упростим: 

(2*log_{frac{1}{5}}x-log_{frac{1}{5}}xgeq 2)
(log_{frac{1}{5}}xgeq 2)

Представим правую часть в виде логарифма с основанием (frac{1}{5}):

(log_{frac{1}{5}}xgeq log_{frac{1}{5}}frac{1}{25})

Шаг 5. Отбросим логарифмы. Поскольку (frac{1}{5}<1), то знак неравенства меняется на противоположный:

(xgeq 125)

Шаг 6. Отметим полученный промежуток на числовой прямой и нанесем ОДЗ:

С учетом ОДЗ получаем промежуток ((0;frac{1}{25}]). 

Ответ: ((0;frac{1}{25}])

Мы рассмотрели логарифмы, уравнения и неравенства с ними. Научиться решать их не так сложно. Практикуйтесь побольше, тогда все обязательно получится. А чтобы продолжить освоение математической науки, рекомендуем вам познакомиться со статьей «Тригонометрическая окружность и графики функций». 

Термины

Дискриминант в квадратном уравнении — это выражение, которое ищется по формуле (D=b^2-4⋅a⋅c), где а, b и с берутся из уравнения. Подробнее о нем рассказано в статье «Линейные, квадратные и кубические уравнения».

Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби, то есть они не имеют точного значения. 

Квадратное неравенство — это такое неравенство, которое можно привести к виду (ax^2+bx+c ⋁ 0), где a, b и с — любые числа (причем a ≠ 0), x — неизвестная переменная, а ⋁ — любой из знаков сравнения (> , < , ≤ , ≥ ). Решение таких неравенств мы обсуждаем в статье «Метод интервалов».

Модуль числа — это его абсолютная величина. При взятии модуля мы не учитываем знак этого числа — положительное оно или отрицательное. Модуль числа всегда неотрицателен и обозначается с помощью модульных скобок: |a| ≥ 0. Этому математическому понятию посвящена отдельная статья Учебника.  

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Показательная функция — это функция, у которой неизвестная находится в показателе степени. Например, (y = 2^x). Подробнее о ней мы рассказываем в одноименной статье.

Производная функции — это математическое понятие, показывающее скорость изменения функции в определенной точке. Подробнее про производные можно прочесть в статье «Исследование функции с помощью производной».

Фактчек

• Логарифм — это степень, в которую возводится основание логарифма, чтобы получить аргумент.

• Десятичный логарифм — это логарифм числа по основанию 10. Записывается так: lg a.
• Натуральный логарифм — это логарифм по основанию е (e ≈ 2,72). Записывается как ln a.
• Основное логарифмическое тождество: (a^{log_ab}=b), при (a >0, a ≠ 1, b>0).
• Существуют специальные свойства логарифмов, благодаря которым можно совершать преобразования.
• При решении уравнений и неравенств нельзя забывать про ОДЗ на аргумент и основание логарифма: основание больше нуля и не равно единице, аргумент больше нуля.
• В логарифмических неравенствах при переходе к неравенству аргументов логарифмов знак меняется на противоположный, если значение основания логарифма находится на промежутке от 0 до 1.

Проверь себя

Задание 1.
Решите уравнение (log_3(x^2+4)=log_3(4x)).

1. 1 и -1
2. 2 и -2
3. 2
4. -1

Задание 2.
Решите уравнение (log_28=log_{16}(x)+2).

1. 16
2. 12
3. 1
4. 8

Задание 3.
Решите уравнение (log_2(2x^2)-5=log_2(x) +log_2(x-5)).

1. 0 и (frac{16}{3})
2. 0 и (frac{32}{3})
3. 32
4. (frac{16}{3})

Задание 4.
Решите неравенство (log_9(x+4)geq log_9(2x)^2).  

1. ([-frac{4}{3};0)bigcup(0;4])
2. ((0;4])
3. ([-frac{4}{3};0))
4. ([-frac{4}{3};4])

Задание 5.
Решите неравенство (log_{500}500geq log_2(1+3x)). 

1. ((0;frac{1}{3}])
2. ((-frac{1}{3};frac{1}{3}])
3. ([-frac{1}{3};frac{1}{3}])
4. ((-frac{1}{3};0)

Ответы:1. — 3; 2. — 1; 3. — 4; 4. — 1; 5. — 2.

Начнем с простого. Как решить уравнение (displaystyle {{2}^{x}}=8)?

Очень легко – просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число (2) чтобы получить (8)?

Решаем методом подбора: два в первой степени – нет, два во второй степени – нет, два в третей степени – ДА! 

Двойку нужно возвести в ТРЕТЬЮ степень, чтобы получить восемь ((displaystyle {{2}^{3}}=8)) и значит решением уравнения будет число три ((x=3)).

Следующий вопрос. Как решить уравнение (displaystyle {{2}^{x}}=5)?

Опять просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число (2), чтобы получить число (5)?

Попытаемся подобрать: два во второй степени равно четыре – мало, два в третьей степени равно восемь – много.

Метод подбора сразу ответ не дает… Да и вообще, в этом случае подобрать решение не получится – ведь это не только нецелое число, это число даже не рациональное.

Для нахождения таких решений было придумано понятие логарифм:

(displaystyle x={{log }_{2}}5).

В общем виде он записывается так: 

То есть логарифм – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. 

Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь (2,321928ldots ) и т.д. Это число иррациональное. Оно мало того, что не подбирается, оно еще и не кончается…

Ну и как с такими числами работать? Как их запоминать? Как их записывать? 

В нашем случае решение уравнения можно записать как (2,321928ldots ) или как (displaystyle {{log }_{2}}5).

Согласись второе выражение гораздо удобнее, чем первое. И оно, кстати, абсолютно точное. Словами это произносится как: 

Решением уравнения два в степени икс равно пяти является логарифм пяти по основанию два, или логарифм по основанию два от пяти.

Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание всегда находится «ВНИЗУ». Легко запомнить правда? А вот «вверху», у степени находится ее показатель, а у логарифма – аргумент.

Выражение (displaystyle {{2}^{3}}=8) можно также записать в виде (displaystyle {{log }_{2}}8=3). Читается так:

«Логарифм восьми по основанию два равен трем» 

или 

«Логарифм по основанию два от восьми равен трем»

Теперь более общая запись:

Читается так:

«Логарифм по основанию (a) от (b) равен (c)»,

и означает:

«Чтобы получить число (b), нужно число (a) возвести в степень (c)»:

Иными словами, (displaystyle {{log }_{a}}b) – это степень, в которую нужно возвести (a), чтобы получить (b).

8 примеров вычисления логарифмов

Пример 1 

Чему равен (displaystyle {{log }_{2}}4)?

(displaystyle {{log }_{2}}4=2), так как число (2) нужно возвести во вторую степень, чтобы получить (4).

Пример 2

Чему равен (displaystyle {{log }_{2}}frac{1}{8})?

Заметим, что (displaystyle 8={{2}^{3}}), тогда (displaystyle frac{1}{8}=frac{1}{{{2}^{3}}}={{2}^{-3}}), то есть (2) нужно возвести в степень (-3), чтобы получить (displaystyle frac{1}{8}).

Значит  (displaystyle {{log }_{2}}frac{1}{8}=-3)

Пример 3

А чему равен (displaystyle {{log }_{2}}0,25)?

Обращать внимание нужно, в первую очередь, на основание. Возможно ли представить (0,25) как (2) в какой-то степени? Да, возможно: запишем это число в виде обычной дроби: (displaystyle 0,25=frac{1}{4}=frac{1}{{{2}^{2}}}={{2}^{-2}}).

Значит, (displaystyle {{log }_{2}}0,25=-2).

Пример 4

Чему равен (displaystyle {{log }_{7}}1)?

В какую степень надо возвести (7), чтобы получить (1)? Вспоминаем, что любое число в нулевой степени равно (1) (подробнее читай в разделе «Степень и ее свойства»).

Значит, (displaystyle {{log }_{7}}1=0). Более того, логарифм с любым основанием от единицы равен (0).

Пример 5

(displaystyle {{log }_{4}}2). В этом случае аргумент (2) равен корню основания: (displaystyle 2=sqrt{4}).

Но мы помним, что корень тоже можно представить в виде степени (с дробным показателем): (displaystyle 2=sqrt{4}={{4}^{frac{1}{2}}}text{ }Rightarrow text{ }{{log }_{4}}2=frac{1}{2}).

Когда нужная степень не подбирается

Как я уже говорил, далеко не всегда удается подобрать такую степень. Но это не значит, что такого числа не существует, просто его можно вычислить только на калькуляторе.

Например, (displaystyle {{log }_{2}}5=2,321928…).

Видим, что это число расположено между (displaystyle 2) и (displaystyle 3), и это понятно: ведь это значит, чтобы получить (5), нужно (2) возводить в степень больше (2), но меньше (3).

На ЕГЭ пользоваться калькулятором нельзя, но даже если бы было можно, нельзя записывать приближенные вычисления.

Поэтому, если перед нами задача первой части, ответ обязательно должен получиться «хороший», и его можно посчитать в уме.

 В письменной части могут попасться и «плохие» числа; в этом случае пугаться не нужно, в ответе можно просто написать логарифм.

Например, ответ вполне может выглядеть так:

(displaystyle {{log }_{3}}10), или даже так: (displaystyle frac{2+{{log }_{3}}7}{5}).

Получается, что теперь мы можем мгновенно записать решение любого элементарного показательного уравнения:

(displaystyle {{3}^{x}}=8)? Легко: (displaystyle x={{log }_{3}}8).

(displaystyle {{17}^{x}}=0,387)? (displaystyle x={{log }_{17}}0,387)

(displaystyle {{0,56}^{x}}=23,7)? (displaystyle x={{log }_{0,56}}23,7). 

И так далее.

Но увлекаться и халтурить тоже не стоит – если в ответе оставить (displaystyle x={{log }_{3}}81), высший балл за задачу не поставят.

То есть, если ответ возможно упростить и представить в виде рационального числа, это обязательно нужно будет сделать. 

Потренируйся на следующих простых примерах:

Начнем с простого: допустим, что ( a=1). Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили ( 1), всегда получается ( 1).

Более того, ( displaystyle {{log }_{1}}b) не существует ни для какого ( displaystyle bne 1).

Но при этом ( displaystyle {{log }_{1}}1) может равняться чему угодно (по той же причине – ( 1) в любой степени равно ( 1)).

Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.

Похожая проблема у нас и в случае ( a=0): ( 0) в любой положительной степени – это ( 0), а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что ( displaystyle {{a}^{-c}}=frac{1}{{{a}^{c}}})).

При ( a<0) мы столкнемся с проблемой возведения в дробную степень (которая представляется в виде корня: ( displaystyle {{a}^{frac{m}{n}}}=sqrt[n]{{{a}^{m}}}).

Например, ( displaystyle {{log }_{4}}2=frac{1}{2}) (то есть ( displaystyle {{4}^{frac{1}{2}}}=sqrt{4}=2)), а вот ( displaystyle {{log }_{-4}}2) не существует.

Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное.

Значит, аргумент должен быть положительным.

Например, ( displaystyle {{log }_{2}}left( -4 right)) не существует, так как ( 2) ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому ( displaystyle {{log }_{2}}0) тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. 

Приведу пример:

Решим уравнение ( displaystyle {{log }_{x}}left( x+2 right)=2).

Вспомним определение: логарифм ( displaystyle {{log }_{x}}left( x+2 right)) – это степень, в которую надо возвести основание ( x), чтобы получить аргумент ( displaystyle left( x+2 right)).

И по условию, эта степень равна ( 2): ( displaystyle {{x}^{2}}=x+2).

Получаем обычное квадратное уравнение: ( displaystyle {{x}^{2}}-x-2=0).

Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна ( 1), а произведение ( -2). Легко подобрать, это числа ( 2) и ( -1).

Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу на ЕГЭ.

Почему?

Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

( displaystyle x=2text{: }{{log }_{2}}left( 2+2 right)={{log }_{2}}4=2) – верно.

( displaystyle x=-1text{: }{{log }_{-1}}left( -1+2 right)=2) – это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень ( x=-1) – «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

Пример 1 (попробуй решить самостоятельно)

Найдите корень уравнения ( displaystyle {{log }_{x+1}}left( 2x+5 right)=2). Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.

Решение:

( displaystyle {{log }_{x+1}}left( 2x+5 right)=2).

Свойство 3 – разность логарифмов

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного:( displaystyle lo{{g}_{a}}b-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}frac{b}{c}).

Доказательство:

Все точно так же, как и в пункте 2:

Пусть ( displaystyle {{log }_{a}}b=x), тогда ( displaystyle {{a}^{x}}=b).

Пусть ( displaystyle {{log }_{a}}c=y), тогда ( displaystyle {{a}^{y}}=c).

Имеем:

( displaystyle {{log }_{a}}left( frac{b}{c} right)={{log }_{a}}left( frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}} right)={{log }_{a}}{{a}^{x-y}}=x-y={{log }_{a}}b-{{log }_{a}}c), ч.т.д.

( displaystyle {{log }_{a}}b-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}left( frac{b}{c}cdot c right)-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}frac{b}{c}+{{log }_{a}}c-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}frac{b}{c}), ч.т.д.

Пример из прошлого пункта теперь становится еще проще:

( displaystyle {{log }_{5}}250-{{log }_{5}}2={{log }_{5}}frac{250}{2}={{log }_{5}}125={{log }_{5}}{{5}^{3}}=3).

Пример посложнее: ( displaystyle log _{2}^{2}2sqrt{3}-log _{2}^{2}sqrt{3}-{{log }_{2}}3).

Догадаешься сам, как решить?

Здесь нужно заметить, что у нас нету ни одной формулы про логарифмы в квадрате. Это что-то сродни выражению ( displaystyle {{2}^{{{x}^{2}}}}) – такое сразу не упростить.

Поэтому отвлечемся от формул про логарифмы, и подумаем, какие вообще формулы мы используем в математике чаще всего? Еще начиная с 7 класса!

Это – формулы сокращенного умножения. Нужно привыкнуть к тому, что они везде! И в показательных, и в тригонометрических, и в иррациональных задачах они встречаются. Поэтому их нужно обязательно помнить.

Нажми на ссылку «Формулы сокращенного умножения», и внимательно на них посмотри. Какую из них можно применить здесь?

Если присмотреться к первым двум слагаемым, становится ясно, что это разность квадратов:

( displaystyle log _{2}^{2}2sqrt{3}-log _{2}^{2}sqrt{3}=left( {{log }_{2}}2sqrt{3}-{{log }_{2}}sqrt{3} right)left( {{log }_{2}}2sqrt{3}+{{log }_{2}}sqrt{3} right)).

Дальше все просто – применяем только что выученные правила 2 и 3. Что получилось?

Ответ для проверки:

( displaystyle log _{2}^{2}2sqrt{3}-log _{2}^{2}sqrt{3}-{{log }_{2}}3=).

( displaystyle=left( {{log }_{2}}2sqrt{3}-{{log }_{2}}sqrt{3} right)left( {{log }_{2}}2sqrt{3}+{{log }_{2}}sqrt{3} right)-{{log }_{2}}3=).

( displaystyle={{log }_{2}}frac{2sqrt{3}}{sqrt{3}}cdot {{log }_{2}}left( 2sqrt{3}cdot sqrt{3} right)-{{log }_{2}}3=).

( displaystyle={{log }_{2}}2cdot {{log }_{2}}left( 2cdot 3 right)-{{log }_{2}}3=1cdot left( 1+{{log }_{2}}3 right)-{{log }_{2}}3=1.).

Упрости сам:

• ( displaystyle {{log }_{3}}4-{{log }_{3}}12)
• ( displaystyle {{log }_{0,3}}3-{{log }_{0,3}}10)
• ( displaystyle {{log }_{1,75}}28+{{log }_{1,75}}2-{{log }_{1,75}}32)
• ( displaystyle lg sqrt{0,05}-lg sqrt{5})
• ( displaystyle {{lg }^{2}}2sqrt{5}-{{lg }^{2}}5sqrt{2}-frac{3}{2}lg sqrt{frac{2}{5}})

Ответы:

Была ли эта статья полезной?