Как найти линию соединяющую середины диагоналей трапеции - AvtoShod.ru

Свойства трапеции: отрезок, соединяющий середины диагоналей

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

Пусть точка М – середина диагонали АС, N – середина диагонали ВD, Р и Q – середины боковых сторон АВ и СD.
Тогда РМ – средняя линия треугольника АВС, РМ параллельна ВС. Это значит, что точка М лежит на средней линии РQ трапеции, поскольку через точку Р можно провести на плоскости единственную прямую, параллельную прямой ВС. При этом $PM=frac{BC}{2}$ .
Аналогично, точка N – середина диагонали BD – также лежит на РQ, то есть на средней линии трапеции, и $QN=frac{BC}{2}$ . Поскольку $PQ=frac{AD+BC}{2}$ , $MN=frac{AD+BC}{2}-PM-QN=frac{AD+BC}{2}-frac{BC}{2}-frac{BC}{2}=frac{AD-BC}{2}$ .

Задача ЕГЭ по теме: «Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований».

Основания трапеции равны 10 и 6. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Проведем PQ – среднюю линию трапеции, PQ = 8. Как мы доказали, отрезок MN, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии.
PM – средняя линия треугольника ABC, значит, PM = 3.
NQ – средняя линия треугольника BCD, значит, NQ = 3.

Тогда MN = PQ − PM − NQ = 8 − 3 − 3 = 2
Ответ: 2.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Свойства трапеции: отрезок, соединяющий середины диагоналей» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

1) лежит на средней линии трапеции,

2) равен полуразности оснований трапеции.

Дано: ABCD — трапеция, AD||BC,

F — середина AC, K — середина BD,

MN — средняя линия трапеции

Доказать: FK∈MN,

$[ FK = frac{{AD - BC}}{2}. ]$

Доказательство:

Так MN — средняя линия трапеции ABCD, то M — середина AB, N — середина CD, и MN||AD, MN||BC.

Рассмотрим угол ABD.

Так как AM=BM и MN||AD, то по теореме Фалеса, отрезки, на которые прямая MN делит BD, также равны, то есть MN пересекает отрезок BD в его середине, то есть в точке K.

Аналогично, для угла BAC:

AM=BM, MN||AD, следовательно, по теореме Фалеса прямая MN пересекает отрезок AC в его середине, то есть в точке F.

Таким образом, отрезок, соединяющий середины диагонали трапеции, параллелен основаниям трапеции и лежит на её средней линии.

MK — средняя линия треугольника ABD. Поэтому

$[ MK = frac{1}{2}AD. ]$

MF — средняя линия треугольника ABC. Поэтому

$[ MF = frac{1}{2}BC. ]$

$[ FK = MK - MF = frac{1}{2}AD - frac{1}{2}BC = frac{1}{2}(AD - BC). ]$

Что и требовалось доказать.

Если использовать обозначения AD=a, BC=b, то формула длины отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, примет вид

$[ FK = frac{{a - b}}{2}. ]$

Источник

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

Одним из общих свойств трапеции является следующее: отрезок, соединяющий середины диагоналей равен половине разности оснований и лежит на средней линии.

Школьный курс геометрии включает в себя следующую задачу:

Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, является параллельным ее основаниям и равен половине их разности.

Исходные данные:

Трапеция АВCD;
М принадлежит АС, АМ = МС;
N принадлежит BD, BM=ND;

Необходимо доказать следующее:

MN параллельна AD;
MN = (AD-BC)/2.

Доказательство:

Исходя из теоремы Фалеса, средняя линия KF данной трапеции проходит через средины сторон AC и BD, из этого получаем, что MN принадлежит KF, а отрезок MN параллелен стороне AD. Что и следовало доказать.
Для доказательства второй половины задачи воспользуемся свойством средней линии трапеции: средняя линия трапеции является параллельной основаниям и равняется их полусумме.
треугольник АСD:
MF = AD/2;

треугольник BCD:
NF=BC/2.

Исходя из этого, получаем выражение MN = MF- NF. Подставляем в формулу значение отрезков MF и NF:

MN = (AD/2)-(BC/2) = (AD-BC)/2

Теорема доказана.

Источник

Задача решается просто, если построить дополнительные построения в виде двух отрезков. Я имею в виду отрезки КЕ и FP, являющимися продолжениями отрезка EF до пересечения с боковыми сторонами трапеции ABCD.

Понятно, что отрезок КР является средней линией этой трапеции, а отрезки КЕ и FP соответственно являются средними линиями треугольников ACD и BCD. По теореме о средней линии треугольника КЕ = DC/2=1 и FP=DC/2=1, а по теореме о средней линии трапеции KP=(AB+DC)/2=(2+3)/2=2,5. Значит ЕF=КP-(КЕ+FP)=2,5-2=0,5.

Ответ: 0,5.

Источник

math-public:srednyaya_liniya_trapecii

Содержание

Определение

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется
средней линией трапеции.

Свойства средней линии трапеции

Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их
полусумме.

Доказательство

Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой проведена средняя линия $MN$.

Докажем, что $MNparallel AD$ и $MN=frac{AD+BC}{2}$.

Проведем через точку $M$ прямую $FE$ параллельно $CD$ ($Fin CB, Ein AD$).

Тогда $FCDE$ – параллелограмм ($FCparallel ED, FEparallel CD$).

Следовательно, $FE=CD$, $FC=ED$.

Кроме того $triangle FBM=triangle AME$, по второму признаку равенства ($angle
1=angle 2$, как накрест лежащие, $angle 3=angle 4$, как вертикальные,
$AM=MB$, так как $M$ – середина).

Следовательно, $FM=ME$.

Тогда $FMNC$ и $MNDE$ — параллелограммы ($FM=ME=ND=NC$ и $FEparallel
CD$).

Следовательно, $MNparallel BC$.

Кроме того, из равенства треугольников $triangle FBM=triangle AME$ следует,что $FB=AE$.

Пусть $FB=AE=x$ и $BC=y$.

Тогда $FC=ED=x+y$.

Следовательно, $MN=x+y$.

Кроме того, $BC+AD=BC+AE+ED=y+x+(x+y)=2x+2y$.

Таким образом, $MN=x+y=dfrac{BC+AD}{2}$.

Признаки средней линии трапеции

Пусть отрезок $MN$ соединяет точки на боковых сторонах трапеции. Если $M$ – середина боковой стороны, и $MN$ параллелен основаниям трапеции, то $MN$ – это средняя линия трапеции.
Пусть отрезок $MN$ соединяет точки на боковых сторонах трапеции. Если $MN$ параллелен основанием трапеции и равен их полусумме, то $MN$ – средняя линия трапеции.

Доказательство

Первый пункт теоремы является прямым следствием теоремы Фалеса.

Докажем второй пункт теоремы.

Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой на боковых сторонах $AB$ и $CD$ выбраны точки $M$ и $N$ соответственно, и при этом $MN=dfrac{AD+BC}{2}$.

Докажем, что тогда $MN$ – средняя линия трапеции $ABCD$.

Предположим противное, то есть $MN$ – не средняя линия данной трапеции.

Если ровно одна из точек $M$ или $N$ является серединой, то по первому пункту теоремы $MN$ – это средняя линия, так как $MN$ параллельна основаниям трапеции.

Пусть точки $M$ и $N$ – не середины боковых сторон.

Тогда пусть $M’N’$ – средняя линия трапеции.

Следовательно, $M’N’=frac{BC+AD}{2}=MN$ и $MNparallel BCparallel MN$.

Но тогда $MNN’M’$ – параллелограмм, и, следовательно, $MM’parallel NN’$, что противоречит тому, что $ABCD$ – это трапеция.

Следовательно, $MN$ – средняя линия.

Теорема (об отрезке, соединяющем середины диагоналей трапеции)

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен
полуразности ее оснований.

Доказательство

Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой точки $E$ и $F$ – это
середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно.

Докажем, что $EF=frac{AD-BC}{2}$.

По теореме Фалеса средняя линия трапеции $MN$ делит диагонали $AC$ и $BD$ пополам, то есть точки $E$ и $F$ лежат на средней линии.

Тогда $ME$ и $FN$ – это средние линии треугольников $triangle ABC$ и $triangle DBC$.

Следовательно, если обозначить $BC=2x$, то $ME=FN=x$.

Тогда $EF=frac{2x+AD}{2}-x-x=frac{AD-2x}{2}=frac{AD-BC}{2}$.

math-public/srednyaya_liniya_trapecii.txt

· Последнее изменение: 2022/01/14 16:52 —

mesuslina

Источник

Свойства трапеции: отрезок, соединяющий середины диагоналей

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

Содержание

Определение

Свойства средней линии трапеции

Доказательство

Признаки средней линии трапеции

Доказательство

Теорема (об отрезке, соединяющем середины диагоналей трапеции)

Доказательство

Не пропустите также: