На чтение 3 мин. Просмотров 42k.
Квадратный трехчлен ax2+bx+c можно разложить на линейные множители по формуле:
ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2), где x1, x2 — корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0.
Разложить квадратный трехчлен на линейные множители:
Пример 1). 2x2-7x-15.
Решение. Найдем корни квадратного уравнения: 2x2-7x-15=0.
a=2; b=-7; c=-15. Это общий случай для полного квадратного уравнения. Находим дискриминант D.
D=b2-4ac=(-7)2-4∙2∙(-15)=49+120=169=132>0; 2 действительных корня.
Применим формулу: ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2).
2x2-7x-15=2 (х+1,5)(х-5)=(2х+3)(х-5). Мы представили данный трехчлен 2x2-7x-15 в виде произведения двучленов 2х+3 и х-5.
Ответ: 2x2-7x-15=(2х+3)(х-5).
Пример 2). 3x2+2x-8.
Решение. Найдем корни квадратного уравнения:
3x2+2x-8=0.
a=3; b=2; c=-8. Это частный случай для полного квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (b=2). Находим дискриминант D1.
Применим формулу: ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2).
Мы представили трехчлен 3x2+2x-8 в виде произведения двучленов х+2 и 3х-4.
Ответ: 3x2+2x-8=(х+2)(3х-4).
Пример 3). 5x2-3x-2.
Решение. Найдем корни квадратного уравнения:
5x2-3x-2=0.
a=5; b=-3; c=-2. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a+b+c=0 (5-3-2=0). В таких случаях первый корень всегда равен единице, а второй корень равен частному от деления свободного члена на первый коэффициент:
Применим формулу: ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2).
5x2-3x-2=5 (х-1)(х+0,4)=(х-1)(5х+2). Мы представили трехчлен 5x2-3x-2 в виде произведения двучленов х-1 и 5х+2.
Ответ: 5x2-3x-2=(х-1)(5х+2).
Пример 4). 6x2+x-5.
Решение. Найдем корни квадратного уравнения:
6x2+x-5=0.
a=6; b=1; c=-5. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a-b+c=0 (6-1-5=0). В таких случаях первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус частному от деления свободного члена на первый коэффициент:
Применим формулу: ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2).
Мы представили трехчлен 6x2+x-5 в виде произведения двучленов х+1 и 6х-5.
Ответ: 6x2+x-5=(х+1)(6х-5).
Пример 5). x2-13x+12.
Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:
x2-13x+12=0. Проверим, можно ли применить теорему Виета. Для этого найдем дискриминант и убедимся, что он является полным квадратом целого числа.
a=1; b=-13; c=12. Находим дискриминант D.
D=b2-4ac=132-4∙1∙12=169-48=121=112.
Применим теорему Виета: сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней должно быть равно свободному члену:
x1+x2=13; x1∙x2=12. Очевидно, что x1=1; x2=12.
Применим формулу: ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2).
x2-13x+12=(х-1)(х-12).
Ответ: x2-13x+12=(х-1)(х-12).
Пример 6). x2-4x-6.
Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:
x2-4x-6=0.
a=1; b=-4; c=-6. Второй коэффициент — четное число. Находим дискриминант D1.
Дискриминант не является полным квадратом целого числа, поэтому, теорема Виета нам не поможет, и мы найдем корни по формулам для четного второго коэффициента:
Применим формулу: ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2) и запишем ответ:
Друзья, для того, чтобы разложить квадратные трехчлены на множители, мы решали каждое квадратное уравнение рациональным способом. Все эти способы мы рассмотрели ранее в теме: «Решение полных квадратных уравнений».
На чтение 3 мин Просмотров 3.6к. Опубликовано 21 октября, 2020
Что такое квадратный трехчлен и как разложить на множители квадратный трехчлен.
Содержание
- Квадратный трехчлен
- Разложение на множители квадратного трехчлена
- Краткая схема разложения на множители квадратного трехчлена
Квадратный трехчлен
Квадратным трехчленом называют выражение вида
Разложить на множители квадратный трехчлен — это значит, записать его в виде произведения.
Разложение на множители квадратного трехчлена
Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен используем следующее правило:
, где 
, где 
и 
— корни уравнения 
— корни уравнения 
.
Таким образом, нам нужно решить квадратное уравнение и затем найденные корни подставить сюда: и затем найденные корни подставить сюда: 
Рассмотрим на примере: требуется разложить на множители квадратный трехчлен:
Решим уравнение: 
, находим дискриминант 
, находим дискриминант 
, тогда корни уравнения: 
и 
и 
, тогда по формуле разложения на множители получаем:
Давайте еще рассмотрим один пример: пусть требуется разложить на линейные множители квадратный трехчлен 
. Находим корни этого уравнения 
. Находим корни этого уравнения 
.
Находим дискриминант уравнения. Если вы забыли как найти дискриминант посмотрите здесь.
, отсюда корни уравнения 
, отсюда корни уравнения 
и 
. И разложение квадратного трехчлена на множители мы запишем так: 
. И разложение квадратного трехчлена на множители мы запишем так: 
.
Краткая схема разложения на множители квадратного трехчлена
- Приравнять квадратный трехчлен к нулю. Получим квадратное уравнение.
- Решим квадратное уравнение, найдем два корня.
- Подставим корни в формулу
Схема не сложная. Но иногда могут встречаться затруднения. Например — что если корень получился один, а не два. На самом деле в квадратном уравнении всегда два корня. Об этом нам «говорит» степень 2, над 
. Это означает, что если у вас дискриминант равен нулю, вы получаете не один корень, а два совпадающих друг с другом корня. И разложение на множители будет выглядеть так:
.
Например: квадратный трехчлен 
при равенстве нулю имеет два совпадающих корня 
при равенстве нулю имеет два совпадающих корня 
и раскладывать на множители мы будем его так
.
В дальнейшем, следует помнить — что в кубическом уравнении 3 корня, в биквадратном — 4. Сколько степеней в уравнении, столько и корней у него должно быть. Другое дело, что некоторые из них, и даже все, могут совпадать в значении. Геометрический смысл такого совпадения в том, что график кривой, которая описывается уравнением, будет лишь касаться оси 
.
Итак, давайте выполним следующее задание: нужно разложить на множители квадратных трехчлен 
.
Найдем корни уравнения 
. Для этого сначала найдем дискриминант 
. Для этого сначала найдем дискриминант 
.
Тогда корни уравнения: 
. И 
. И 
.
Итак, получили 
и 
и 
. Подставляя в формулу разложения на множители квадратного трехчлена, получим:
.
Теперь вы знаете как разложить на множители квадратный трехчлен. Успехов в учебе!
Теорема о разложении многочлена на линейные множители
Всякий
многочлен n –
ой степени разлагается на n линейных
множителей вида х
– а и
множитель, равный коэффициенту при
старшей степени xn.
Доказательство.
Пусть f (x)
= A0xn +
A1xn —
1 +
… + An —
многочлен n –
ой степени. Этот многочлен в силу основной
теоремы алгебры имеет один корень а1.
Тогда из следствия теоремы Безу будем
иметь f (x)
= (х
– а1)·f1 (x),
где f1 (x)
— многочлен степени n —
1. Многочлен f1 (x)
тоже имеет корень а2.
Тогда f1 (x)
= (х
– а2 )·f2 (x),
где f 2 (x)
— многочлен степени n – 2.
Аналогично f2 (x)
= (х
– а3)·f3 (x).
Продолжая процесс выделения линейных
множителей, дойдём до соотношения fn(x)
= (х
– а n )·fn,
где fn —
число (многочлен нулевой степени), и это
число равно коэффициенту при хn,
то есть fn =
А0.
На основании всех этих равенств можно
записать
f (x)
= А0·( х
– а 1)·( х
– а2)·
… ·( х
– аn).
17.Разложение
многочлена с действительными коэффицентами
на неприводимые множетели
Неприводимый
многочлен — многочлен,
неразложимый на нетривиальные
(неконстантные) многочлены. Неприводимые
многочлены являются неприводимыми
элементами кольца
многочленов.
Определение
Неприводимый
многочлен над полем 
― многочлен 
от 
переменных
над полем
является
простым элементом кольца 
,
то есть, непредставим в виде произведения 
,
где 
и 
―
многочлены с коэффициентами из
,
отличные от констант.
Многочлен
называется абсолютно
неприводимым,
если он неприводим над алгебраическим
замыканием поля коэффициентов. Абсолютно
неприводимые многочлены одной переменной
― это многочлены 1-й степени и только
они. В случае нескольких переменных
существуют абсолютно неприводимые
многочлены сколь угодно высокой степени
— например, любой многочлен вида
абсолютно
неприводим.
Примеры
Следующие
пять многочленов демонстрируют некоторые
элементарные свойства неприводимых
многочленов:
,
,
,
,
.
Над
кольцом 
целых
чисел,
первые два многочлена — приводимые,
последние два — неприводимые. (Третий
вообще не является многочленом над
целыми числами).
Над
полем 
рациональных
чисел,
первые три многочлена являются
приводимыми, двое других — неприводимыми.
Над
полем 
действительных
чисел,
первые четыре многочлена — приводимые,
но 
является
неприводимым. В поле действительных
чисел неприводимыми являются линейные
многочлены и квадратичные многочлены
без действительных корней. Например
разложение многочлена 
в
поле действительных чисел имеет вид 
.
Оба множителя в данном разложении
являются неприводимыми многочленами.
Над
полем
комплексных
чисел,
все пять многочленов — приводимые.
Фактически, каждый отличный от константы
многочлен 
над
может
быть разложен на множители вида:
где
— степень
многочлена,
—
старший коэффициент, 
— корни
.
Поэтому единственными неприводимыми
многочленами над
являются
линейные многочлены (основная
теорема алгебры).
[Править]Конечные поля
Многочлены
с целочисленными коэффициентами, которые
являются неприводимыми над полем
могут
быть приводимыми над конечным
полем.
Например, многочлен 
является
неприводимым над
,
но над полем 
из
двух элементов мы имеем:
18.Интегрирование
по частям.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Разложение на линейные множители некоторых квадратных трехчленов
Прежде всего укажем на некоторые употребительные названия. Станем рассматривать многочлены, в состав которых входит лишь одна какая-нибудь буква, напр., буква x. Тогда самым простым является многочлен, в котором два члена, причем в одном из них имеется буква x в первой степени, а в другом вовсе буквы x не имеется, напр., 3x – 5 или 15 – 7x или 8z + 7 (здесь уже вместо буквы x взята буква z) и т. д. Такие многочлены называются линейными двучленами.
Далее, усложняя дело, составим многочлен из трех членов: в одном буква x пусть входит во второй степени, в другом – в первой, а третий член вовсе этой буквы не содержит, напр.:
3x² – 5x + 7 или x² + 2x – 1
или 5y² + 7y + 8 или z² – 5z – 2 и т. д.
Такие многочлены называются квадратными трехчленами.
Затем, мы можем составить кубический четырехчлен, напр.:
x³ + 2x² – x + 1 или 3x³ – 5x² – 2x – 3 и т. д.,
многочлен четвертой степени, напр.:
x4 – 2x³ – 3x² + 4x – 5 и т. д.
Возможно обозначать коэффициенты при x, при x², при x³ и т. д. также буквами, напр., буквами a, b, c и т. д. Тогда получим:
1) общий вид линейного относительно x двучлена ax + b,
2) общий вид квадратного трехчлена (относительно x): ax² + bx + c,
3) общий вид кубического трехчлена (относительно x): ax³ + bx² + cx + d и т. д.
Заменяя в этих формулах буквы a, b, c, d … различными числами, получим всевозможные линейные двучлены, квадратные трехчлены и т. д. Напр., в формуле ax² + bx + c, выражающей общий вид квадратного трехчлена, заменим букву a числом +3, букву b числом –2 и букву c числом –1, получим квадратный трехчлен 3x² – 2x – 1. В частном случае возможно получить и двучлен, заменяя одну из букв нулем, напр., если a = +1, b = 0 и c = –3, то получим квадратный двучлен x² – 3.
Можно научиться раскладывать некоторые квадратные трехчлены довольно быстро на линейные множители. Ограничимся, однако, рассмотрением только таких квадратных трехчленов, которые удовлетворяют следующим условиям:
1) коэффициентом при старшем члене (при x²) служит +1,
2) можно подыскать такие два целых числа (со знаками, или два относительных целых числа), чтобы их сумма равнялась коэффициенту при x в первой степени и их произведение равнялось члену, свободному от x (где буквы x вовсе нет).
Примеры. 1. x² + 5x + 6; легко в уме подыскать два числа (со знаками), чтобы их сумма равнялась +5 (коэффициенту при x) и чтобы их произведение = +6 (члену, свободному от x), – эти числа суть: +2 и +3 [в самом деле, +2 + 3 = +5 и (+2) ∙ (+3) = +6]. При помощи этих двух чисел заменим член +5x двумя членами, а именно: +2x + 3x (конечно, +2x + 3x = +5x); тогда наш техчлен искусственно будет обращен в четырехчлен x² + 2x + 3x + 6. Применим теперь к нему прием группировки, относя первые два члена в одну группу и последние два – в другую:
x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3).
В первой группе мы вынесли за скобку x и во второй +3, получили два члена, у которых оказался общий множитель (x + 2), который также вынесли за скобку, и наш трехчлен x² + 5x + 6 разложился на 2 линейных множителя: x + 2 и x + 3.
2. x² – x – 12. Здесь надо подыскать два числа (относительных), чтобы их сумма равнялась –1 и чтобы их произведение равнялось –12. Такие числа суть: –4 и +3.
Проверка: –4 + 3 = –1; (–4) (+3) = –12. При помощи этих чисел заменим член –x двумя членами: –x = –4x + 3x, – получим:
x² – x – 12 = x² – 4x + 3x – 12 = x (x – 4) + 3 (x – 4) = (x – 4) (x + 3).
3. x² – 7x + 6; здесь нужные числа суть: –6 и –1. [Проверка: –6 + (–1) = –7; (–6) (–1) = +6].
Тогда:
x² – 7x + 6 = x² – 6x – x + 6 = x (x – 6) – (x – 6) = (x – 6) (x – 1).
Здесь члены второй группы –x + 6 пришлось заключить в скобки, со знаком минус перед ними.
4. x² + 8x – 48. Здесь нужно подыскать два числа, чтобы их сумма равнялась +8 и чтобы их произведение равнялось –48. Так как произведение должно иметь знак минус, то искомые числа должны быть с разными знаками, так как сумма наших чисел имеет знак +, то абсолютная величина положительного числа должна быть больше. Раскладывая арифметическое число 48 на два множителя (а это можно сделать по-разному), получим: 48 = 1 ∙ 48 = 2 ∙ 24 = 3 ∙ 16 = 4 ∙ 12 = 6 ∙ 8. Из этих разложений легко выбрать подходящее к нашим требованиям, а именно: 48 = 4 ∙ 12. Тогда наши числа суть: +12 и –4. Дальнейшее просто:
x² + 8x – 48 = x² + 12x – 4x – 48 = x (x + 12) – 4 (x + 12) = (x + 12) (x – 4).
5. x² + 7x – 12. Здесь надо найти 2 числа, чтобы их сумма равнялась +7 и произведение = –12; 12 = 1 ∙ 12 = 2 ∙ 6 = 3 ∙ 4. По-видимому, подходящими числами являлись бы 3 и 4, но их надо взять с разными знаками, чтобы их произведение равнялось –12, а тогда их сумма ни в коем случае не может равняться +7 [–3 + (+4) = +1, +3 + (–4) = –1]. Другие разложения на множители также не дают требуемых чисел; поэтому мы приходим к заключению, что данных квадратных трехчлен мы еще не умеем разложить на линейные множители, так как к нему наш прием не применим (он не удовлетворяет второму из условий, какие были установлены вначале).
- Алгоритм разложения квадратного трёхчлена на множители с помощью дискриминанта
- Алгоритм разложения квадратного трёхчлена на множители по теореме Виета
- Примеры
Алгоритм разложения квадратного трёхчлена на множители с помощью дискриминанта
Данный алгоритм является универсальным.
На входе: квадратный трёхчлен $ax^2+bx+c$
Задача: разложить трёхчлен на множители
Шаг 1. Находим дискриминант $D = b^2-4ac$
Шаг 2. Если $D gt 0, x_1,2 = frac{-b pm sqrt{D}}{2a} $ и $ax^2+bx+c = a(x-x_1 )(x-x_2 )$
Если D = 0, $x_0 = — frac{b}{2a}$ и $ax^2+bx+c = a(x-x_0 )^2$
Если $D lt 0$, разложение на множители невозможно.
Шаг 3. Работа завершена.
Алгоритм разложения квадратного трёхчлена на множители по теореме Виета
Данный алгоритм применяется в частных случаях.
Если один (или оба) корня квадратного уравнения целые, то полезным навыком становится разложение на множители «в уме», с помощью теоремы Виета.
Навык этот не простой, и если у вас сразу не получится, не расстраивайтесь.
Рассмотрим следующий трёхчлен: $x^2+8x+15$
b = 8, c = 15
Если корни трёхчлена существуют, то их произведение равно 15.
Прикинем «в уме» соответствующие пары натуральных чисел:
(1;15),(3;5)
В трёхчлене $c gt 0$, значит корни одного знака, и в построении b участвует сумма этих корней. Из пары (1;15) сумма 8 не выходит, а вот из пары (3;5) — получается.
Для выбранной пары (3;5) запишем разложение, пока без знаков:
$$ (x…3)(x…5) = x^2+8x+15 $$
Теперь видно, что знаки в скобках – два плюса:
$$ (x+3)(x+5) = x^2+8x+15 $$
Разложение найдено.
Рассмотрим другой трёхчлен: $x^2+2x-35$
b = 2, c = -35
Пары натуральных чисел, дающие произведение 35:
(1;35),(5;7)
В трёхчлене $c lt 0$, значит корни разных знаков, и в построении b участвует разность этих корней. Из пары (1;35) разность 2 не выходит, а вот из пары (5;7) — получается.
Для выбранной пары (5;7) запишем разложение, пока без знаков:
$$ (x…5)(x…7) = x^2+2x-35 $$
Теперь видно, что 7 должно быть с плюсом, а 5 – с минусом:
$$ (x-5)(x+7) = x^2+2x-35 $$
Разложение найдено.
Обобщим алгоритм разложения по теореме Виета.
На входе: приведенный квадратный трёхчлен $x^2+bx+c$
Задача: разложить трёхчлен на множители при гипотезе, что корни — целочисленные
Шаг 1. Записать все пары натуральных чисел (m;n), дающих в произведении c.
Шаг 2. Если $c gt 0$, то из всех пар выбрать ту, сумма которой даёт b.
Если $c lt 0$, то из всех пар выбрать ту, разность которой даёт b.
Если выбрать пару не удаётся, данный алгоритм не подходит, и нужно приступить к разложению с помощью дискриминанта.
Шаг 3. Для выбранной пары записать разложение без знаков в виде:
$$ (x…m)(x…n) = x^2+bx+c $$
Сопоставляя левую и правую части, окончательно расставить знаки в скобках.
Шаг 4. Работа завершена.
Внимание!
Предложенный алгоритм позволяет не только раскладывать на линейные множители трёхчлены, но и находить их корни, т.е. решать соответствующие квадратные уравнения.
Не забывайте менять знаки при записи решений уравнения!
Например:
Решаем $x^2+8x+15 = 0$. Получаем (x+3)(x+5) = 0. Корни $x_1 = -3, x_2 = -5$.
Решаем $x^2+2x-35 = 0$. Получаем (x-5)(x+7) = 0. Корни $x_1 = 5, x_2 = -7$.
При некотором опыте, можно наловчиться раскладывать не только приведенные трёхчлены, например:
$$ 5x^2-14x-3 = (5x+1)(x-3), 3x^2+13x-10 = (3x-2)(x+5), $$
$$ 6x^2+7x-3 = (3x-1)(2x+3) $$
В этих случаях алгоритм усложняется за счёт дополнительных вариантов расстановки коэффициентов при переменной в скобках.
Примеры
Пример 1. Разложите квадратный трёхчлен с помощью дискриминанта:
$а) 2x^2+7x-4$
$ D = 7^2-4 cdot 2 cdot (-4) = 49+32 = 81 = 9^2 $
$ x = frac{-7 pm 9}{4} = left[ begin{array}{cc} x_1 = -4 \ x_2 = frac{1}{2} end{array} right. $
Получаем: $2x^2+7x-4 = 2(x+4) left(x- frac{1}{2} right)$
Можно также записать: $2x^2+7x-4 = (x+4)(2x-1)$
$б) 3x^2+20x-7$
$ D = 20^2-4 cdot 3 cdot (-7) = 400+84 = 484 = 22^2 $
$x = frac{-20 pm 22}{6} = left[ begin{array}{cc} x_1 = -7 \ x_2 = frac{1}{3} end{array} right.$
Получаем: $3x^2+20x-7 = 3(x+7) left(x-frac{1}{3} right)$
Можно также записать: $3x^2+20x-7 = (x+7)(3x-1)$
$в) 4x^2-19x-5$
$D = 19^2-4 cdot 4 cdot (-5) = 361+80 = 441 = 21^2$
$ x = frac{19 pm 21}{8} = left[ begin{array}{cc} x_1 = -frac{1}{4} \ x_2 = 5 end{array} right.$
Получаем: $4x^2-19x-5 = 4 left(x+ frac{1}{4} right)(x-5)$
Можно также записать: $4x^2-19x-5 = (4x+1)(x-5)$
$г*) x^2- sqrt{2}x+ frac{1}{2}$
$ D = (sqrt{2})^2-4 cdot frac{1}{2} = 2-2 = 0, x = frac{sqrt{2}}{2} $
Получаем: $x^2-sqrt{2} x+ frac{1}{2} = left(x- frac{sqrt{2}}{2} right)^2 $
Пример 2*. Разложите трёхчлены на множители подбором по теореме Виета:
$а) x^2+7x+12$
Пары множителей: (1;12),(2;6),(3;4)
$c = 12 gt 0 Rightarrow$ выбираем из пар ту, что в сумме дает b = 7. Это пара (3;4).
Записываем разложение без знаков: $(x…3)(x…4) = x^2+7x+12$
Расставляем знаки, результат: $x^2+7x+12 = (x+3)(x+4)$
$б) x^2+3x-18$
Пары множителей: (1;18),(2;9),(3;6)
$c = -18 lt 0 Rightarrow$ выбираем из пар ту, разность которой дает b = 3. Это пара (3;6).
Записываем разложение без знаков: $(x…3)(x…6) = x^2+3x-18$
Расставляем знаки, результат: $x^2+3x-18 = (x-3)(x+6)$
в) x+4x-77
Пары множителей: (1;77),(7;11)
$c = -18 lt 0 Rightarrow$ выбираем из пар ту, разность которой дает b=4. Это пара (7;11).
Записываем разложение без знаков: $(x…7)(x…11) = x^2+4x-77$
Расставляем знаки, результат: $x^2+4x-77 = (x-7)(x+11)$
$г*) 2x^2-x-3$
Одна пара множителей (1;3)
Возможные разложения с коэффициентом:
$$ (2x…1)(x…3) = 2x^2-x-3, (2x…3)(x…1) = 2x^2-x-3 $$
$c = -3 lt 0$, в скобках разные знаки.
Перебираем четыре возможных варианта и получаем:
$$2x^2-x-3 = (2x+3)(x-1) = 2 left(x+ frac{3}{2} right)(x-1)$$
Пример 3. Сократите дробь.
Разложение на множители проводим по формулам сокращенного умножения, с помощью дискриминанта или по теореме Виета.
а) $$ frac{x^2-16}{x^2+11x+28} = frac{(x-4)(x+4)}{(x+4)(x+7)} = frac{x-4}{x+7}$$
б) $$ frac{x^2-2x-15}{x^2-10x+25} = frac{(x-5)(x+3)}{(x-5)^2} = frac{x+3}{x-5}$$
в) $$ frac{3y^2-5y+2}{3y^2-y-2} = frac{(3y-2)(y-1)}{(3y+2)(y-1)} = frac{3y-2}{3y+2}$$
г)$$ frac{2y^2-3y+1}{3y^2-4y+1} = frac{(2y-1)(y-1)}{(3y-1)(y-1)} = frac{2y-1}{3y-1}$$
Пример 4. Упростите выражение:
$$ frac{x-16}{(x+2)^2} ∶ left(frac{3x+11}{(3x^2+17x+22)} — frac{2}{x+2} right) = frac{x-16}{(x+2)^2} ∶ left(frac{3x+11}{(3x+11)(x+2)} — frac{2}{x+2} right) = $$
$$ = frac{x-16}{(x+2)^2} ∶ left(frac{1}{x+2} — frac{2}{x+2}right) = frac{x-16}{(x+2)^2} ∶ left(-frac{1}{x+2}right) = -frac{(x-16)(x+2)}{(x+2)^2} = $$
$$ =-frac{x-16}{x+2} = frac{16-x}{x+2}$$