Как найти линейные комбинации матриц примеры

Пример 1.

Матрицы    и    составлены из одних и тех же элементов, но имеют различные размеры.

Следовательно,  A ≠ B.

***

Пример 2.

Матрицы    и    составлены из одних и тех же элементов и имеют одинаковые размеры. Однако не все соответствующие матричные элементы попарно равны.

Следовательно,  C ≠ D.

***

Пример 3.

Если   ,   то     .

***

***

***

Примеры решения задач

1.
Найти линейную комбинацию матриц
,
где,.

Решение:

.

2.
Пусть
– матрица размерности 2x
3,
– матрица размерности 3 х 3. Найти
произведенияи(если это возможно).

Решение:
Используем
формулу (2.1):

Произведение
не существует, так как число столбцов
матрицыB
не совпадает с числом строк матрицы A:

.

3.
Найти,
если.

Решение:
.

.

4.
Найти значение матричного многочлена
,
если
,

.

Решение:

.

.

5.
Транспонировать матрицу
.

Решение:
Так как у матрицы A
две строки и три столбца, то у матрицы
будет три строки и два столбца:.

6.
Дана матрица
.
Найти обратную матрицу.

Решение:
Воспользуемся первым способом нахождения
обратной матрицы, т.е. формулой (2.2).
Вычисляем определитель матрицы A:

.

Так
как
,
то матрицасуществует. Найдем алгебраические
дополнения ко всем элементам матрицыA:

; ;

; ;

; ;

;

;

.

Составим
присоединенную матрицу:
.
Находим обратную матрицу, поделив каждый
элемент присоединенной матрицы на
определитель матрицы A.
Получаем ответ:

.

7.
Решить матричное уравнение:
.

Решение:
Запишем данное матричное уравнение в
виде
.
Его решением является матрица
(если существует матрица).
Найдем определитель матрицыA:

.
Значит,
обратная матрица
существует, и исходное уравнение имеет
(единственное) решение. Найдем обратную
матрицу:
,

;

,

.
Найдем
решение матричного уравнения:

.

8.
Найти обратную к матрице
,
используя метод элементарных
преобразований.

Решение:
Припишем справа единичную матрицу

.

Разделив первую
строку на три и обнулив элемент в первом
столбце ниже тройки, получим

.

Умножив
вторую строку на три и обнулив элемент
во втором столбце выше
,
получим

.

Таким
образом,
.

Задачи для самостоятельного решения

1.
Найти линейную комбинацию матриц
,
где

.

2.
Найти произведения матриц
и
(если они существуют), где

.

3.
Проверить коммутируют ли матрицы

и

.

4.
Найти значение матричного многочлена
,
еслии.

5.
Вычислить произведение
при заданной матрице
.

6.
Привести к ступенчатому виду матрицу

.

7.
Найти произведения матриц
и,
где

.

8.
Найти обратную матрицу к матрице
.

Решить
матричные уравнения:

9.
;

10.
.

11.
Найти линейную комбинацию матриц
,
где

.

12.
Найти произведения матриц
и
(если они существуют), где

.

13.
Проверить, коммутируют ли матрицы

и
.

14.
Найти значение матричного многочлена
,
если
.

15.
Вычислить произведение
при заданной матрице.

16.
Привести к ступенчатому виду матрицу
.

17.
Найти произведения матриц
и,
если

.

18.
Найти обратную матрицу к матрице
.

Решить
матричные уравнения:

19.
;

20.
.

Ответы:

1)

;
2)

;3)
Да;
4) ;5)
;
6)
;7)
;  ;9)
;10)
;11)
;
12)
;13)
Нет; 14)
;15) ;
16) ;17)
;18)
;19) ;20) .

ПРАКТИЧЕСКОЕ
ЗАНЯТИЕ 3

Решение систем линейных уравнений методом Крамера и Гаусса

1. Метод Крамера.

Система
уравнений вида

(3.1)

называется
системой
m
линейных уравнений с n
неизвестными.

Коэффициенты
этих уравнений записываются в виде
матрицы А,
называемой матрицей
системы,
а числа, стоящие в правой части системы,
образуют столбец В,
называемый столбцом
свободных членов.
Неизвестные системы так же записываются
в столбец, называемый столбец
неизвестных:

,

,

Используя
произведение матриц, можно записать
данную систему в матричном виде:
.

Совокупность
чисел
называетсярешением
системы,
если каждое уравнение системы обращается
в равенство после подстановки в него
чисел
вместо неизвестных.

Системы,
не имеющие решения, называются
несовместными.

Системы,
имеющие решения, называются совместными.
Заметим, что система может иметь
единственное решение, а может иметь
бесконечно много решений.

Для
нахождения единственного решения систем
с одинаковым количеством уравнений и
неизвестных есть метод, называемый
метод
Крамера.

Система
n
уравнений с n
неизвестными

имеет
единственное решение, если определитель
матрицы системы отличен от нуля.
Это решение находится по
формулам
Крамера:

,
(3.2)

где

– определитель матрицы системы, а _k
– определитель матрицы, полученной
из матрицы системы заменой k-го
столбца столбцом свободных членов.

Содержание:

Линейная алгебра

Линейная алгебра — раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений, среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы, сопряжение. Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно (в целом или частично) также считаются составными частями линейной алгебры.

Матрицы и операции над ними

Основные определения:

В математике и ее приложениях наряду с числами часто бывает удобным использовать чис­ловые таблицы, которые называются матрицами. Аппарат теории матриц эффективно приме­няется, например, при решении систем линейных уравнений, как мы скоро в этом убедимся. Перейдем к точным определениям.

Определение: Матрицей размерности m х n называется прямоугольная таблица дейст­вительных чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Для доступа к элементам мат­рицы используются два индекса: первый указывает на номер строки, второй — на номер столб­ца, на пересечении которых расположен данный элемент.

Обозначаются матрицы, как правило, прописными латинскими буквами A, B, C,иногда указывается размерность, например, Amxn. В развернутой форме матрица записывается как таблица:

Более компактно с указанием элементов матрица записывается в виде:

Матрицы А и В одинаковой размерности считаются равными, если все элементы одной матрицы равны соответвующим элементам другой матрицы.

Рассмотрим некоторые специальные виды матриц.

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нуль-матрицей и обозначается через O.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Размерность квадратной матрицы часто называют ее порядком.

Числа  в квадратной матрице называются диагональными элементами. Совокупность диагональных элементов составляет главную диагональ квадрат­ной матрицы.

Квадратная матрица, диагональные элементы которой равны единице, а все остальные — нулю, называется единичной матрицей и обозначается через где n — порядок матрицы.

Таким образом,

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные ниже (выше) главной диагонали, равны нулю. Например, треугольной является матрица

Матрица называется трапециевидной, если она представляет собой следующую таблицу:

Операции над матрицами

Введем сначала линейные операции над матрицами.

Произведением действительного числа  на матрицу называется матрица

 

Суммой двух матриц одинаковой размерности называется матрица 

Таким образом, элементы суммы матриц равны суммам соответствующих элементов данных матриц.

Разность матриц А и B можно определить как А — В = А + (-1)В.

Свойства линейных операций над матрицами аналогичны соответствующим свойствам действительных чисел.

Пример №1

Даны матрицы

Найти матрицу -2А +3В.

Решение.

Тогда

Определим теперь операцию умножения матриц. Рассмотрим сначала матрицу-строку и матрицу-столбец с одинаковым числом элементов, т.е.

Произведением этих строки и столбца называется число1

Рассмотрим так называемые согласованные матрицы , у первой из которых число столбцов равно числу строк второй матрицы. Обозначим строку с номером i матрицы А через а столбец с номером j матрицы B через

Произведением данных согласованных матриц А и B называется матрица

Часто для суммы n чисел  мы будем использовать короткое обо значение

размерности m х p, элементы которой равны произведениям строк матрицы A на столбцы B.

Пример №2

Найти произведение согласованных матриц

Решение. Найдем произведение строк матрицы А на столбцы матрицы В.

Осталось записать искомое произведение матриц: 

Отметим некоторые свойства произведения матриц1. 

Первые три сразу следуют из определения произведения матриц. Докажем последнее свой­ство. Пусть заданы три матрицы Элемент dij произ­ведения (AB)C  равен произведению строки с номером i матрицы AB на столбец с номером j матрицы C : Поменяв порядок суммирования в последней двойной сумме, получим:

что представляет собой произведение Тем строки с номером i матрицы A на столбец с номером j матрицы ВС. Тем самым свойство 4 доказано. 

Заметим, что в отличие от чисел матрицы, вообще говоря, не коммутируют (не переста­новочны). Приведем соответствующий

 Контрпример. Доказать, что матрицы

не коммутируют. 

Действительно, 

Таким образом, для этих матриц 

Замечание. Пользуясь случаем, введем здесь определение n-мерного векторного пространства Rn, как множество упорядоченных совокупностей n действительных чисел. Каждую такую совокупность мы будем обозначать через и называть n-мерным вектором.

Мы предполагаем, что все матрицы в свойствах согласованы.

Очевидно, каждый вектор мы можем отождествить с соответствующей матрицей-строкой или матрицей-столбцом, поэтому на векторы автоматически переносятся линейные операции, которые мы определили выше для матриц.

Определитель матрицы и его свойства

Познакомимся теперь с такой важнейшей характеристикой матрицы, как определитель. Вве­дем предварительно понятие перестановки и изучим некоторые ее свойства.

Перестановки

Перестановкой n натуральных чисел 1, 2, ….., n называется строка

                                                          (1)

содержащая все эти числа.

Первым элементом перестановки может быть любое из чисел 1, 2, …., n, вторым — любое из оставшихся n — 1 чисел и так далее, следовательно, число различных перестановок данных чисел равно  (читается n-факториал).

Два числа в перестановке находятся в инверсии, если большее из них имеет меньший номер. Число всех инверсий в перестановке (1) мы обозначим через 

В связи с этим перестановка (1) называется четной, если в ней число  четно и нечетной — в противном случае.

Отметим два свойства перестановок, которые мы будем использовать ниже.

Лемма 1. Характер четности перестановки изменится на противоположный, если в ней поменять местами какие-нибудь два элемента.

Доказательство. Предположим сначала, что меняются местами рядом стоящие элементы к и l перестановки. В этом случае число инверсий в новой перестановке изменится на единицу, а именно, увеличится на единицу, если к и l не находились в инверсии, или на­столько же уменьшится, если они находились в инверсии. Таким образом, характер четности перестановки изменится на противоположный. Рассмотрим теперь случай, когда числа к и l разделяют s других элементов перестановки. Тогда поменять местами данные элементы мы можем последовательно переставляя число к с s промежуточными элементами, а затем пере­ставляя число l в обратном порядке с элементом к и всеми s промежуточными. В результате мы выполним 2s + 1 обменов рядом стоящих элементов и, таким образом, характер четно­сти исходной перестановки изменится нечетное число раз и, следовательно, он изменится на противоположный. Лемма  доказана.

Из этой леммы сразу же следует, что количество четных перестановок равно количеству нечетных. В самом деле, поменяв местами любые два элемента в каждой из p четных переста­новок, мы получим p нечетных и, следовательно,  где q — количество нечетных перестано­вок. Аналогично мы можем убедиться в справедливости неравенства  Из этих неравенств и следует, что p = q.

Лемма 2. Пусть

                                                              (2)

— перестановка чисел 1, 2, …, n — 1. Зафиксируем число j из множества {1, 2, … , n} и оставим его перестановку (2) на место с номером i, сдвинув вправо на одну позицию все ее элементы с номерами i, i + 1, … , n — 1 и увеличив на единицу все не меньшие, чем j элемен­ты этой перестановки. В результате получим перестановку

                                                                                                         (3)

чисел 1, 2, …. , n. Четности перестановок (2) и (3) связаны равенством

Действительно, предположим сначало, что элемент j в перестановке (3) стоит на первом месте. Тогда, очевидно, количество инверсий в этой перестановке равно  Перегоним теперь число j на место с номером i, последовательно обменивая его со следующими i — 1 элементами. По лемме 1 характер четности перестановки изменится i — 1 ра и, значит, 

Определитель и его вычисление для матриц второго и третьего порядков

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n :

Составим произведение элементов данной матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Упорядочив элементы этого произведения по возрастанию номеров строк, мы можем записать его в виде:

 

Номера столбцов в записанном произведении образуют перестановку чисел 1, 2, … , n.

Определение: Число, равное сумме всех n! произведений

называется определителем данной квадратной матрицы А (определителем n-го порядка) и обозначается через |А| или det А. В развернутой форме определитель записывается как

Найдем пользуясь этим определением выражение для определителей второго и третьего порядков.

Так как то

Аналогично, для вычисления определителя третьего порядка найдем число инверсий в каждой из перестановок чисел 1, 2, 3 :

Тогда

Для упрощения вычисления определителя третьего порядка можно использовать правило треугольников, согласно которому со знаком » + » следует брать произведения по схеме

а со знаком » — » — по схеме 

Пример №3

Вычислить определитель

Решение. Воспользуемся правилом треугольников: = —2 + 6 — 6 — 9 — 8 — 1 = -20.

Свойства определителя

1) Если какая-либо строка (столбец) определителя состоит из нулей, то и определитель равен нулю.

2) Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

3) Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя равны суммам двух слагаемых, то данный определитель равен сумме двух определителей, в которых в указан­ной строке (столбце) стоят, соответственно, первые и вторые слагаемые, а остальные элементы обоих определителей такие же, как и в исходном определителе.

Эти свойства напрямую следуют из определения определителя.

4) Если переставить две какие-нибудь строки (столбца) определителя, то он поменяет знак на противоположный.

Действительно, переставим, например, две строки определителя. В результате получим определитель, каждое слагаемое которого отличается знаком от соответствующего слагаемого исходного определителя, так как по доказанной в пункте 1 лемме 1 четность соответствующей перестановки вторых индексов изменится па противоположную.

5) Если в определителе совпадают (пропорциональны) две какие-нибудь строки (столбцы), то этот определитель равен нулю.

В самом деле, если в определителе совпадают две каие-нибудь строки (столбцы), то, с одной стороны, определитель при этом не изменится, а, с другой стороны, по предыдущему свойству его знак поменяется на противоположный. Таким образом |A| = — |A| и, стало быть, |A| = 0. Если же в определителе имеются две пропорциональные строки (столбца), то после вынесе­ния за его знак по свойству 2) общего множителя элементов строки (столбца), мы получим определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), который равен нулю.

6) Определитель не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) доба­вить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число.

Это следует из свойств 3) и 5), так как в этом случае полученный определитель можно представить в виде суммы двух определителей, один из которых равен исходному, а в другом имеются пропорциональные строки (столбцы), и поэтому он равен пулю.

Прежде чем сформулировать очередное свойство, введем понятие алгебраического дополне­ния к элементу матрицы.

Алгеброическим дополнением элемента aij квадратной матрицы A = (aij)nxn мы будем называть число

где — определитель порядка n — 1, полученный из определителя этой матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца. 

7) Разложение определителя по элементам строки (столбца).

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (столб­ца) на соответствующие алгебраические дополнения. Таким образом,

или

Докажем, например, первую из этих формул. Убедимся в том, что правая часть данной формулы содержит все слагаемые определителя матрицы А. Выражение

содержит n(n — 1)! = n! различных произведений элементов определи теля матрицы A, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Осталось проверить соответствие знаков.

Рассмотрим произвольное произведение

Каждое слагаемое определителя  представляет собой произведение элементов данной мат­рицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, исключая строку с номером i и столбец с номером j. Знак этого произведения определяется четностью перестановки

чисел 1, 2, … , n — 1. Умножив данное произведение на число  и поставив множитель  на место с номером i, мы получим соответствующее произведение определителя матрицы А с перестановкой вторых индексов  и знаком который по лемме 2  пункта 1 соответствует четности перестановки

Таким образом, вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей (n-1)-го порядка.

Пример №4

Вычислить определитель.

Решение. Разложим этот определитель по элементам второй строки:

Пример №5

Вычислить определитель треугольной матрицы

Разлагая этот и следующие определители по первому столбцу, получим:

таким образом, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных эле­ментов.

Сумма произведений n действительных чисел на алгебраические дополнения к элементам какой-нибудь строки (столбца) равна определителю, в котором в указанной строке (столбце) расположены данные числа, а все остальные элементы совпадают с соответствующими элементами исходного определителя.

Это свойство является прямым следствием предыдущего.  

9) Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на алгебраические до­полнения к элементам какой-нибудь другой строки (столбца) определителя равна нулю.

Действительно, по предыдущему свойству эта сумма произведений равна определителю с двумя совпадающими строками (столбцами), а такой определитель по свойству 5) равен нулю.

10) Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, т. е.

Достаточно громоздкое доказательство этого свойства мы приводить не будем.

Обратная матрица

Определение:  Обратной к квадратной матрице  называется обозначаемая  через А-1 матрицы, для которой АА-1 = А-1А = Е, где Е — единичная матрица.

Из этого определения следует, что матрица А-1 также является квадратной той же размер­ности, что и матрица А.

Отметим некоторые свойства обратной матрицы, следующие из ее определения.

а) У матрицы не может существовать больше одной обратной.

Действительно, пусть для матрицы А имеются две обратные Тогда

Умножив обе части первого равенства слева на матрицу получим

b) (A-1)-1 = A.

c) Если для квадратных матриц А и В одного порядка существуют обратные, то и у матрицы АВ также существует обратная , причем

Выясним условия, при которых обратная матрица существует.

Теорема (критерий существования обратной матрицы). Для того, чтобы существовала матрица, обратная данной, необходимо и достаточно, чтобы данная матрица была невырожденной, то есть чтобы ее определитель был не равен нулю.

Доказательство. Докажем сначала необходимость условия теоремы. Пусть для матрицы А существует обратная матрица. Тогда из равенства АА-1 = E, воспользовавшись свойством 10) определителя произведения матриц, получаем: det(AA-1) = det А det А-1 = det E = 1. Следователь но, det А  0.

Убедимся теперь в том, что условие теоремы является и достаточным. Предположим, что матрица А является невырожденной. Проверим, что обратной к данной является матрица со следующей структурой 1:

Действительно, если 

откуда, воспользовавшись свойствами 7) и 9) определителя (§2, пункт 3), заключаем:

т. е. АА-1 = Е. Аналогично убеждаем, что А-1А = Е. Теорема доказана.

В строках указанной ниже матрицы записаны алгебраические дополнения к элементам соответствующих столбцов.

Пример №6

Найти обратную к матрице

Решение. Найдем сначала определитель матрицы:  Обратная матрица существует. Находим алгебраические дополнения к элементам данной матрицы:

Следовательно,

Обратную матрицу можно использовать при решении линейных матричных уравнений. Пусть, например, требуется решить матричное уравнение

AX = B

с известными матрицами А и B, причем матрица A является невырожденной. Умножая обе части данного матричного уравнения слева на обратную матрицу A-1, получим:

Аналогично, решением матричного уравнения XA = B является матрица X = BA-1, а ре­шением матричного уравнения AXB = С с невырожденными матрицами A и B является матрица X = A-1CB-1.

Ранг матрицы и его вычисление

Рассмотрим произвольную матрицу

Минором порядка k матрицы A называется определитель, стоящий на пересечении выбран­ных k строк и k столбцов данной матрицы.

Определение: Рангом матрицы А называется максимальный из порядков ненулевых миноров этой матрицы. Обозначается ранг через rang A.

Естественно считать, что rang O = 0. Очевидно также, что

Пример №7

Найти ранг матрицы

Решение. Вычислим минор, находящийся на пересечении первых двух строк и первого и четвертого столбцов:

Все же миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю, так как третья строка равна разности второй и первой строк. Следовательно, rang A = 2.

Как видно из определения, вычисление ранга матрицы через миноры является весьма тру­доемкой задачей, особенно для матриц большой размерности. Значительно сократить объем вычислений позволяет другой метод, основанный на элементарных преобразованиях матрицы.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие операции над ее стро­ками или столбцами:

1. перестановка двух строк (столбцов) матрицы;
2. умножение строки (столбца) на ненулевое действительное число;
3. добавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на действительное число.

Тот факт, что матрица В получена из матрицы А с помощью одного или нескольких последовательно выполненных элементарных преобразований, мы будем обе тачать как

Теорема. Ранг матрицы не меняется при ее элементарных преобразованиях.

Доказательство этого утверждения для первого и второго элементарных преобразований следует из того, что по свойствам 2) и 4) определителя (§2, пункт 3) миноры исходной матрицы могут отличаться от миноров преобразованной разве лишь знаком или ненулевым множителем, что. естественно, не отражается на ранге матрицы. Пусть теперь матрица А’ получена из матрицы А с помощью третьего элементарного преобразования, для определенности будем считать, что к строке с номером i добавлена строка с номером j, умноженная на действительное число Возьмем в матрице А’ минор М порядка (если такого минора нет, то rang ). Этот минор либо совпадает с минором матрицы A, либо по свойствам 3). 2). 4) определителя он равен сумме двух миноров матрицы А с действительными коэффициентами, один из которых равен 1. а второй В обоих случаях по определению ранга матрицы минор М равен 0. Следовательно, rang А’ < rang А. Точно также мы можем убедиться в том, что rang А < rang А’, так как матрица А может быть получена из матрицы А’ вычитанием из ее строки с номером i строки с номером j. умноженной на числоТаким образом, и для третьего элементарного преобразования rang что и завершает доказательство теоремы.

Из этой теоремы следует, что для вычисления ранга матрицы достаточно привести ее с помощью элементарных преобразований к более простой — трапециевидной, ранг которой легко находится. Изложим соответствующий алгоритм, который мы будем использовать ниже при решении систем линейных алгебраических уравнений.

Итак, рассмотрим матрицу

Если А = О, то rang A = 0. Пусть теперь . Мы всегда можем считать, что так как в противном случае этого всегда можно добиться перестановкой соответствующих строк и столбцов. Превратим теперь в нули все элементы первого столбца, расположенные ниже первого диагонального элемента Для этого из каждой строки с  данной матрицы вычтем первую строку, умноженную на число В результате получим матрицу:

Повторяя теперь все рассуждения из предыдущего абзаца применительно к полученной матрице с вычеркнутыми из нее первой строкой и первым столбцом и всем последующим матрицам, после конечного числа шагов, не превышающего m — 1, мы придем к трапециевидной матрице

и в дальнейшем под записью мы подразумеваем, что величина р последовательно принимает значения 1, 2,…, q.

с r ненулевыми диагональными элементами a11, b22, . . . , crr. Ранг матрицы равен r, так как минор этой матрицы, расположенный первых ее r строках и столбцах равен а все миноры более высокого порядка содержат нулевую строку и потому равны нулю. Так как матрица получена из матрицы A с помощью
элементарных преобразований, то 

Замечание. При практическом использовании приведенного алгоритма матрицу бывает
иногда удобно приводить к форме, которая отличается от трапециевидной порядком следования столбцов.

Пример №8

Найти ранг матрицы

Решение.

Приведем матрицу к трапециевидной с помощью элементарных преобразований:

Здесь вторая матрица получена из исходной вычитанием в ней из второй и третьей строк первой, умноженной на 4 и 3 соответственно, а затем вторая матрица преобразована в третью вычитанием из последней строки, умноженной на 5, второй строки. Перегнав в последней матрице четвертый столбец на первое место, получим трапециевидную матрицу с тремя ненулевыми элементами на диагонали. Следовательно, rang

Системы линейных алгебраических уравнений

Основные определения:

Определение: Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, короче, линейной системой) называется система вида

где действительные числа коэффициенты системы, правые части уравнений системы, неизвестные.

Числа которые при подстановке их в систему обращают каждое из уравнений в верное равенство, составляют решение линейной системы. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, иначе несовместной. Представим линейную систему в компактной матричной форме.

Для этого введем следующие обозначения:
— основная матрица системы,
− столбец неизвестных, 
 — столбец правых частей.

В этих обозначениях данная линейная система принимает вид:
AX = B.

Линейная система с нулевыми правыми частями, т.е. система АХ = О, называется однородной.

Решение невырожденных линейных систем

Рассмотрим линейную систему n уравнений с n неизвестными и невырожденной основной матрицей. Такая система называется невырожденной.

Рассмотрим два метода решения невырожденных систем.

Метод обратной матрицы

Так как определитель основной матрицы невырожденной системы линейных уравнений отличен от Iгуля. то решение этой системы мы можем найти как решение матричного линейного уравнения (§3)

по формуле

Полученное таким образом решение является единственным. Действительно, пусть -два решения системы. Тогда и, следовательно, после умножения слева обеих частей первого из этих равенств на матрицу , получим, что

Пример №9

Решить систему линейных уравнений:

Решение.

Здесь

В §3 был вычислен определитель матрицы данной системы следовательно, она является невырожденной. Там же была найдена и обратная матрица:

Тогда

Таким образом,  

Формулы Крамера

Воспользовавшись представлением обратной матрицы через алгебраические дополнения, получим:

следовательно,

По свойству определителя выражение в скобках равно

т. е. определителю, который может быть получен из определителя основной матрицы системы заменой в нем столбца с номером j столбцом правых частей. Таким образом, решение данной невырожденной системы линейных уравнений может быть найдено по следующим формулам Крамера:

 

Пример №10

Решить систему линейных уравнений:

Решение. Для этой системы (§2. пункт 2). следовательно, она является невырожденной. Кроме того,

Тогда по формулам Крамера

 

Решение произвольных систем линейных уравнений. Метод исключения неизвестных (метод Гаусса)

Рассмотрим линейную систему общего вида:

Определим, как и для матриц, элементарные преобразования над уравнениями линейной системы. Таковыми являются:

1. перестановка двух уравнений системы;
2. умножение обеих частей уравнения на отличное от. нуля действительное число:
3. добавление к обеим частям уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на действительное число.

Все эти преобразования, очевидно, обратимы и поэтому их результатом является система, эквивалентная исходной, т. е. система, множество решений которой, совпадает с множеством решений данной системы.

Упростим теперь систему, последовательно исключая неизвестные из ее уравнений с помощью элементарных преобразований. Для этого, расширенную матрицу системы

с помощью элементарных преобразований над ее строками приведем к трапециевидной форме с помощью алгоритма, изложенного в §4. В результате получим матрицу

где диагональные элементы матрица является расширенной, имеет вид:

Очевидно, последняя система получена из исходной с помощью тех же элементарных преобразований, какими матрица приведена к трапециевидной и, следовательно, эта упрощенная система эквивалентна данной.

Рассмотрим два случая, которые здесь возможны.

a) Тогда система (2). а, значит, и система (1) несовместны.

b) В этом случае имеем совместную систему

Здесь, в свою очередь, представляются две возможности.

Из последнего, самого короткого, уравнения этой системы мы находим неизвестное которое линейно выражается через неизвестные называемые свободными. Далее из предпоследнего уравнения системы (3), подставив в него полученное выражение для неизвестного мы определяем неизвестное Продолжая этот процесс, мы найдем неизвестные которые называются базисными, через свободные неизвестные. На свободные неизвестные никаких ограничений нет, поэтому подставляя их произвольные значения в полученные выражения для базисных неизвестных, мы найдем тем самым множество решений системы (1). Таким образом, в этом случае система имеет бесконечное множество решений.

Здесь свободных неизвестных нет и система имеет единственное решение, так как все неизвестные однозначно находятся таким же образом, как и в предыдущем пункте.

Приведенный алгоритм метода исключения неизвестных позволяет сформулировать критерий совместности линейной системы.

Теорема Кронекера. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы.

Доказательство немедленно следует из вида матрицы к которой приводится расширенная матрица системы. Совместность имеет место и том и только в том случае, когда , что равносильно тому, что

Из теоремы Кронекера следует, что если то система линейных уравнений (1) несовместна, если же то система имеет единственное решение и, наконец, если rang то множество решений данной линейной системы бесконечно.

Пример №11

Решить систему линейных уравнений:

Решение. Приведем расширенную матрицу этой системы к трапециевидной с помощью элементарных преобразований над ее строками:

Вторая матрица получена из первой вычитанием из третьей строки второй и добавлением ко второй строке, умноженной на 2, первой строки. С точностью до перестановки столбцов, мы получили трапециевидную матрицу. Здесь, очевидно, rang поэтому система совместна. Осталось решить упрощенную систему

Придавая свободным неизвестным произвольные значения — найдем базисные неизвестные Из третьего уравнения системы мы находим неизвестное Подставив его во второе уравнение, определим неизвестное -Наконец, из первого уравнения получим: — Таким образом, линейная система имеет бесконечное множество решений

где — любые действительные числа.

Замечание. Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как она имеет нулевое решение. Если rang A = n, то однородная система имеет единственное (нулевое) решение. а если то множество решений этой системы бесконечно. В частности, если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, т. е. m = n, то она имеет единственное (нулевое) решение в том и только в том случае, когда . Соответственно, эта система имеет ненулевое решение (а, значит, и бесконечно много решений) тогда и только тогда, когда

Обращение невырожденной матрицы с помощью элементарных преобразований

Рассмотрим невырожденную квадратную матрицу Решая невырожденную систему линейных уравнений с матрицей А и столбцом правых частей В методом исключения неизвестных (пункт 3), мы приведем расширенную матрицу этой системы с помощью элементарных преобразований над ее строками к виду — треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами. Продолжая далее элементарные преобразования над строками, мы можем привести расширенную матрицу к виду — единичная матрица. Столбец представляет собой решение системы, т. е. . Следовательно, выбирая в качестве В столбцы единичной матрицы, мы получим соответствующие столбцы обратной матрицы как решения соответствующих систем линейных уравнений.

Таким образом, для того, чтобы найти матрицу, обратную к данной невырожденной матрице А, достаточно в расширенной матрице с помощью элементарных преобразований над ее строками перегнать матрицу А в единичную Е. В результате получим матрицу

Пример №12

Найти обратную к матрице

Решение. Воспользуемся изложенным выше алгоритмом.

Следовательно,

Изложенный выше алгоритм нахождения обратной матрицы является более экономичным по сравнению с изложенным в §3, так как он требует гораздо меньшего объема вычислений. Заметим также, что программирование этого метода также не представляет трудностей.

Справочный материал по линейной алгебра

Этот раздел математики возник в связи с необходимостью решать  системы линейных уравнений.  

Рассмотрим систему линейных уравнений: 

Чтобы  решить  ее,  можно,  например,  выразить  одну  из  переменных  из первого уравнения, подставить во второе, после чего найти неизвестные  x  и  y .  
Однако можно найти решение быстрее: легко убедиться, что  

Способ получения этого результата станет ясным, если рассмотреть таблицы, составленные из коэффициентов системы: 

   

Такие таблицы называются матрицами второго порядка (так как в них две строки и два столбца), а соответствующие числа  —  определителями. Матрицы и определители играют важную роль при решении более сложных систем линейных уравнений, поэтому начнем изучение линейной алгебры с матриц. 
 

Матрицы и действия над ними

Определение:  Числовой  матрицей  размера    называется  совокупность   чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n  
столбцов. 

 – элемент матрицы, стоящий на пересечении i -й строки и k -го столбца.

Определение:  Если   то матрица называется  квадратной n -го порядка, в противном случае – прямоугольной.  

Элементы   квадратной матрицы  А образуют ее главную диагональ.  

Матрица размера  называется матрицей-строкой, а матрица размера  – матрицей-столбцом.  

Пример №13

    

Определение:  Две  матрицы  называются  равными,  если  они  имеют 
одинаковый размер и равны их элементы, стоящие на одинаковых  местах. 

Пример №14

 

Определение:  Квадратная  матрица  называется  диагональной,  если равны нулю все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, то есть  

На главной диагонали могут быть любые числа. Если все они равны 1, то диагональная матрица называется единичной и обозначается буквой  E .  

Пример №15

        – единичная матрица третьего порядка. 
 – диагональная матрица 3-го порядка. 
 

Определение: Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы снизу (сверху) от главной диагонали равны нулю. 

Пример №16

  – треугольная матрица третьего порядка, 
 – треугольная матрица второго порядка.

Линейные операции над матрицами

К числу линейных относятся операции сложения и умножения на число. 
 

Определение:  Пусть   – матрицы размера  Матрица  также размера  называется суммой матриц  A  и  B , если

Пример №17

 
 

Определение:    Произведением  матрицы    размера  на число называется  матрица    того  же  размера,  элементы  которой

Пример №18

 
 

Определение:  Нулевой матрицей O  называется матрица, все элементы которой равны нулю. 

Определение: Матрица  (-1) * A называется противоположной для  A и обозначается  -A. 

Определение: Разностью матриц  A и  B  одного размера называется сумма   и обозначается A- B. 

Определение:    Результат  конечного  числа  линейных  операций  над матрицами называется их линейной комбинацией. 

Пример №19

Пусть  
Матрица   – линейная  комбинация матриц  A  и  B  с коэффициентами 2 и 4.

Свойства линейных операций

Если  A ,  B , и C  – матрицы одного размера,  – числа, то, очевидно, справедливо следующее: 
1.   – свойство коммутативности сложения. 
2.    – свойство ассоциативности. 
3.  – свойство дистрибутивности.  
4.       
5.
 

Транспонирование и умножение матриц

Эти операции над матрицами не относятся к числу линейных. 

Определение: Транспонированной матрицей    для матрицы  A  размера называется матрица размера , полученная из  A заменой всех ее строк столбцами с теми же порядковыми номерами. 
То есть, если  

Пример №20

 

Определение: Если   , то матрица А называется симметрической. 

Все диагональные матрицы симметрические, так как равны их элементы, 
симметричные относительно главной диагонали. 

Очевидно, справедливы следующие свойства операции транспонирования: 

 

Определение: Пусть    –  матрица  размера    – 
матрица  размера  .  Произведение  этих  матриц       –  матрица    размера , элементы которой вычисляются по формуле:  
 то есть элемент i -й строки  и  j -го столбца матрицы C  равен сумме произведений соответствующих элементов i -й строки матрицы  A  и  j -го столбца матрицы B.

Пример №21

Произведение  – не существует.

Свойства операции умножения матриц

1. , даже если оба произведения определены. 

Пример №22

 

Определение: Матрицы  A  и  B  называются перестановочными, если , в противном случае  A  и  B  называются не перестановочными. 
Из определения следует, что перестановочными могут быть лишь квадратные матрицы одного размера. 

Пример №23

   

матрицы C  и  L   перестановочные. 
 – перестановочные матрицы. 

Вообще единичная матрица перестановочная с любой квадратной матрицей того же порядка, и для любой матрицы   . Это свойство матрицы  E  объясняет, почему именно она называется единичной: при умножении 
чисел таким свойством обладает число 1. 

Если соответствующие  произведения определены, то: 

Пример №24

 

ЗАМЕЧАНИЕ. Элементами матрицы могут быть не только числа, но и функции. Такая матрица называется функциональной. 
 

Пример №25

Определители и их свойства

Каждой  квадратной  матрице  можно  по  определенным  правилам  поста-
вить в соответствие некоторое число, которое называется ее определителем. 
Рассмотрим  квадратную  матрицу  второго  порядка:  
Её определителем называется число, которое записывается и вычисляется так: 
 
Такой определитель называется определителем второго порядка и может  
обозначаться по-другому: 

Определителем  третьего  порядка  называется  число,  соответствующее квадратной матрице  , которое вычисляется по правилу: 

Это правило вычисления определителя третьего порядка называется правилом треугольников и схематически его можно представить так: 
 
 

Пример №26

Если справа от определителя приписать первый, а затем второй столбец, то правило треугольников можно модифицировать: 

Сначала умножаются числа на главной диагонали и двух ей параллельных диагоналях, затем – числа на другой (побочной) диагонали и ей параллельных. Из суммы первых трех произведений вычитается сумма остальных. 

Группируя слагаемые в (1.2) и используя (1.1), заметим, что  

То  есть  при  вычислении  определителя  третьего  порядка  используются 
определители второго порядка, причем    – определитель матрицы, полученный из    вычеркиванием элемента   (точнее, первой строки и первого столбца,  на  пересечении которых  стоит  ),    – вычеркиванием элемента  – элемента  
 

Определение: Дополнительным минором    элемента  квадратной матрицы  A  называется определитель матрицы, получаемой из  A  вычеркиванием i -ой строки и k -го столбца. 

Пример №27

и так далее:  матрица третьего порядка  имеет  9 дополнительных миноров. 
 

Определение: Алгебраическим  дополнением элемента aik  квадратной 
матрицы  A  называется  число  

Пример №28

Для матрицы  A2 : 
Для матрицы  A3:    и так далее.  
Итак, с учетом сформулированных определений (1.3) можно переписать в 
виде:   
Перейдем теперь к общему случаю.

Определение:  Определителем  квадратной  матрицы     порядка  n называется число, которое записывается и вычисляется следующим образом: 

Равенство  (1.4)  называется  разложением  определителя  по  элементам  первой строки. В этой формуле алгебраические дополнения вычисляются как определители -го порядка. Таким образом, при вычислении определителя  4-го порядка по формуле (1.4) надо, вообще говоря, вычислить 4 определителя 3-го порядка; при вычислении определителя 5-го порядка – 5 определителей   4-го порядка  и  т.д.  Однако  если,  к  примеру,  в  определителе  4-го  порядка  первая строка содержит 3 нулевых элемента, то в формуле (1.4) останется лишь одно ненулевое слагаемое.  

Пример №29

Рассмотрим (без доказательства) свойства определителей: 

1.  Определитель можно разложить по элементам первого столбца: 

Пример №30

    

 

ЗАМЕЧАНИЕ. Рассмотренные примеры позволяют сделать вывод: определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали. 

2.  При транспонировании матрицы величина ее определителя не меняется:  
 
Отсюда следует, что строки и столбцы определителя равноправны. 

3.  Если  в  определителе  поменять  местами  две  строки  (два  столбца),  то 
определитель  изменит  свой  знак,  не  изменившись по  абсолютной  вели-
чине.  

4.  Определитель, имеющий две  равные строки (столбца), равен нулю. 

5.  Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя умножить на число , то величина определителя  умножится на это число. 
Отсюда, в частности, следует, что общий множитель любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя. Кроме того, определитель, имеющий нулевую строку или нулевой столбец, равен нулю. 

6.  Определитель, имеющий пропорциональные строки (столбцы), равен нулю. 

7.  Определитель  можно  разложить  по  элементам  любой  строки  (любого 
столбца):    
или  
Равенство  (1.6)  называется  разложением  определителя  по  элементам  i -й строки. 
Равенство  (1.7)  называется  разложением  определителя  по элементам k -го столбца.       

8.  Сумма  произведений  всех  элементов  некоторой  строки  (столбца)  на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки  (столбца) равна нулю, то есть при 

9.  Определитель не изменится от прибавления ко всем элементам некоторой строки  (столбца)  соответствующих  элементов  другой  строки  (столбца),умноженных на одно и то же число.  

10.  Определитель произведения двух матриц одного порядка равен произведению определителей этих матриц: ( A, B – квадратные матрицы одного порядка).

Пример №31

 ,  так  как  элементы  первой  и  второй  строк этого определителя соответственно пропорциональны (свойство 6).  
Особенно часто при вычислении определителей используется свойство 9, так как оно позволяет в любом определителе получать строку или столбец,  где все элементы, кроме одного, равны нулю.  

Пример №32

 

Определение обратной матрицы

Определение:  Матрица    называется  обратной  для  матрицы  A , если она вместе с  A  удовлетворяет условию:   , где  E  – единичная матрица. 

Из определения следует, что  A  и    – перестановочные, значит, обратная матрица  существует  лишь  для  квадратной  матрицы  A   (прямоугольные  матрицы обратных не имеют).  

Определение:  Квадратная  матрица  A   называется  невырожденной, если . Если , то  A  называется  вырожденной.

Пример №33

по свойству 6 определителей, то есть  A  – вырожденная.  
, значит,  B – невырожденная.  
 

Теорема:  Всякая невырожденная матрица имеет обратную, причем одну. 

Доказательство: Рассмотрим  для  определенности  квадратную матрицу  A  третьего порядка: 

Покажем, что матрица вида  является обратной для   – алгебраические дополнения элементов  матрицы   ). 

По  условию  A   –  невырожденная,  т.е.     существует.    Найдем произведение  , используя свойства 7,8 определителей: 

Аналогично доказывается, что   . 

Следовательно, по определению матрица  X  является обратной для  A .  
Докажем единственность обратной матрицы. 
 

Пусть невырожденная матрица  A  имеет две обратные:   . Тогда по определению 

Умножим (1.8) слева на  
 

Используя свойство 2 умножения матриц и равенство (1.9), получим:  
 

Таким образом, обратная матрица единственна, что и требовалось доказать. 
Обратная матрица для матрицы  A  n — го порядка имеет вид: 

 

Пример №34

Найти матрицу, обратную для  

 существует.
Проверка: 

Пример №35

Найти матрицу, обратную для          

существует. 

Проверка: 

Аналогично проверяется, что
 

Крамеровские системы уравнений

Рассмотрим систему n  линейных уравнений с n  неизвестными: 

Определение: Система  линейных  уравнений  называется  Крамеровской, если 
1) число уравнений равно числу неизвестных; 
2) основной определитель не равен нулю. 

Рассмотрим матрицы   Х – столбец неизвестных,  
В – столбец правых частей. Очевидно, что система (1.10) может быть записана 
в виде матричного уравнения 

 

Определение: Совокупность  n  чисел  называется решением системы (1.10), если каждое из уравнений  системы обращается в верное числовое равенство при подстановке в него чисел  вместо соответствующих переменных  

Теорема: Всякая Крамеровская система имеет решение, причем одно.  

Доказательство: По условию . Значит, для основной матрицы А системы существует обратная матрица   . Умножим (1.11) на    слева: 

По формуле (1.12) определяется каждое из неизвестных    то есть находится  решение  системы  (1.10),  причем  оно  единственно,  так  как  единственна обратная матрица  .

ЗАМЕЧАНИЕ. Способ решения системы (1.10) по формуле (1.12) называется матричным способом решения системы линейных уравнений.

Пример №36

Решить систему уравнений матричным способом: 

В  предыдущем  примере    было  показано,  что   ,  значит,  систему матричным способом решить можно. Там же была найдена обратная матрица 

Таким образом,    Проверкой убеждаемся, что решение найдено верно. 
 

ЗАМЕЧАНИЕ. Матричный способ удобен, когда надо решить несколько Крамеровских  систем, которые отличаются только правыми частями.  
Вернемся к равенству (1.12). Из него следует, что  
                                                     
где   –  определитель  матрицы,  полученной  из  А  заменой  ее  i -го столбца  на  столбец  правых  частей  системы  (1.10)  ,  .  Формулы (1.13) называются формулами Крамера. 
 

Ранг матрицы и элементарные преобразования

Определение:  Минором  порядка   k  матрицы А называется определитель  k -го порядка, составленный из элементов матрицы А, стоящих  на пересечении произвольно  выбранных k строк и  k столбцов без изменения порядка их следования. 

Пример №37

Рассмотрим матрицу 

Миноры первого порядка – каждый элемент матрицы  A .  
Миноры  второго порядка:   и так далее.  
Матрица   A  имеет всего 18 миноров второго порядка. 
Миноры третьего порядка:
Миноров четвертого порядка у этой матрицы нет. 
 

Теорема: Если  все миноры  k -го порядка  матрица  А  равны нулю, то равны нулю и все миноры старших порядков, если они существуют. 

Доказательство: Рассмотрим минор порядка  (k+1) . Это определитель  (k-1) -го порядка, который ( по свойству 7 ) можно разложить по элементам некоторой  строки (столбца ). В разложении будут алгебраические дополнения, которые с точностью до знака совпадают с минорами  k — го порядка и по условию равны нулю. Поэтому равен нулю и рассматриваемый минор порядка k( 1 ). Аналогично равны нулю и миноры старших порядков  если они существуют, что и требовалось доказать. 
 

Определение:. Рангом  матрицы А называется такое целое число  r , 
что среди ее миноров  r -го порядка есть хотя бы один ненулевой, а все миноры 
порядка (r+1) равны нулю. 

Из доказанной теоремы следует, что, другими словами, ранг матрицы – это наивысший порядок отличного от нуля минора. 
Будем обозначать  ранг матрицы  A . 
Ранг матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда ее миноры равны 
нулю, то есть если матрица нулевая. 

Пример №38

Матрица  F , очевидно, имеет ненулевой минор второго порядка, например,, но все ее миноры третьего порядка – их всего 16 – равны нулю, 
поэтому  Для того чтобы обнаружить этот факт без трудоемких вычислений, введем понятие элементарных преобразований. 
 

Определение: Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие действия: 

1. умножение любой строки на число ; 
2. перемена местами двух строк; 
3. прибавление ко всем элементам строки  соответствующих элементов другой  строки, умноженных на одно и то же число ; 
4. отбрасывание нулевой строки; 
5. отбрасывание одной из двух пропорциональных строк; 
6. те же преобразования со столбцами. 

Теорема: Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы. 
С их помощью всякую матрицу можно привести к диагональному виду, и ее ранг равен количеству ненулевых элементов на главной диагонали (без доказательства). 

Покажем теперь, что ранг матрицы F из последнего примера равен 2. 

При переходе от  F  к    использовались элементарные  преобразования  3), 5), 6): первую строку  F прибавили ко второй и четвертой, затем отбросили две из трех пропорциональных строк; далее первый столбец   прибавили ко второму и четвертому с коэффициентами 2 и (-4) соответственно и два из трех пропорциональных столбцов отбросили. По теореме  2 
Вычислить   очевидно, можно было, получив лишь матрицу   не выполняя дальнейших преобразований.

Исследование произвольных систем  линейных уравнений

Рассмотрим систему  m линейных уравнений с n неизвестными. 

Матрица называется основной матрицей системы (1.14), а    

Определение: Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она решений не имеет. 

Определение:  Совместная  система  называется  определенной,  если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений у нее более одного. 

Пример №39

 — единственное решение системы
— решений нет
 — решений бесконечное множество

Теорема:  (Кронекера-Капелли,  критерий  совместности  системы  линейных уравнений)   Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был равен  рангу расширенной (без доказательства). 

Теорема: (о числе решений). Пусть выполнены условия совместности системы линейных уравнений. Тогда, если   , где n  – число неизвестных, то система имеет единственное решение. Если   , то система имеет  бесконечное множество решений, при этом  (n — r ) переменных задаются свободно, тогда оставшиеся  r  переменных определятся единственным образом (без доказательства). 

Однородные системы линейных уравнений

Система линейных уравнений вида  

называется однородной. 
 

Однородная система всегда совместна, так как    – ее решение. Такое решение называется нулевым или тривиальным.  
 

Теорема:  Для  того  чтобы  система  линейных  однородных  уравнений (1.15) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы  r   был меньше числа неизвестных  n . 

Доказательство:

1. Достаточность:  (1.15) имеет нетривиальное решение.  По теореме о числе решений система  в этом случае имеет бесконечное множество решений, среди которых содержатся и нетривиальные. 
2. Необходимость: (1.15) имеет нетривиальное решение  Пусть  r = n,  тогда  по  теореме  о  числе  решений  система  (1.15)  имеет  единственное решение. Это решение тривиальное, что противоречит условию. Поэтому сделанное предположение неверно  и r > n.

Следствие: Для того чтобы однородная система   n  уравнений  с   n  неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее основной определитель был равен нулю. 

Доказательство:

1. Достаточность:  система имеет нетривиальное решение.  Так как единственный минор  n -го порядка равен нулю, то  r < n, значит, нетривиальное решение существует. 
2. Необходимость: система имеет нетривиальное решение Если  то не равен нулю минор  n -го порядка основной матрицы, значит,  r = n и решение единственно, что противоречит условию. 

Метод Гаусса

Этим методом можно решить любую систему линейных уравнений (1.14) или доказать, что она несовместна. Он состоит в  последовательном исключении  неизвестных  системы  (1.14)  по  следующей  схеме:  выписывается  расширенная  матрица  системы     и  приводится    к  наиболее  простому  виду  –  треугольному или виду трапеции – с помощью следующих преобразований над ее  строками: 

1. перемена местами двух строк  (уравнений); 
2. умножение любой строки (уравнения) на число
3.  отбрасывание  одной  из  двух  равных  или  пропорциональных  строк  (уравнений) ; 
4. прибавление к любой строке (уравнению) другой строки (уравнения),  умноженной на число

После выполнения преобразований возможны три  случая:  
а) . В этом случае  A  эквивалентна треугольной матрице и   , значит, решение системы единственно. Последовательно вычисляя  неизвестные снизу вверх, находим решение системы.

б)  В этом случае   A   эквивалентна  трапециевидной матрице, значит,  r < n и система имеет бесконечное множество решений: (n — r ) переменных перенесем вправо и будем считать их свободными (известными), тогда оставшиеся  r  переменных определятся единственным образом  как функции свободных. 
в) . В этом случае  , и система несовместна. 
 

Пример №40

Решить систему линейных уравнений: 
Выпишем расширенную матрицу и системы и упростим ее с помощью элементарных преобразований над строками: 

Очевидно, что   по  теореме 

Кронекера-Капелли система совместна. 
, значит, по теореме о числе решений система неопределенная, то есть имеет бесконечное множество решений и   n — r = 2 – число свободных переменных.

Выпишем систему, соответствующую матрице     и  эквивалентную исходной: 

Перенесем  в  правую  часть    переменные    считая  их  свободными (– зависимые переменные):  

Теперь подставим    в первое уравнение и выразим    через свободные переменные: 
 – общее решение системы. 
 

Определение:  Общим решением системы (1.14) называется   решение, содержащее информацию обо всех неизвестных, в котором зависимые переменные выражаются как функции свободных. 

Решение,  полученное  из  общего  при  конкретных  значениях  свободных переменных, называется частным решением. 
Например, частными решениями этой системы являются:  

Сделаем проверку частного решения  (для всех уравнений исходной системы!): 

Лекции по предметам:

1. Математика
2. Алгебра
3. Векторная алгебра
4. Геометрия
5. Аналитическая геометрия
6. Высшая математика
7. Дискретная математика
8. Математический анализ
9. Теория вероятностей
10. Математическая статистика
11. Математическая логика

Здравствуйте, на этой странице я собрала полный курс лекций по предмету «линейная алгебра»

Лекции подготовлены для школьников и студентов и охватывает полный курс предмета « линейная алгебра ».

В лекциях вы найдёте основные законы, теоремы, формулы и примеры задач с подробным решением.

Изучаемый в математике и рассматриваемый как единое целое объект, с которым производятся какие-либо математические действия, будем называть математическим объектом. К математическим объектам относятся, например, числа, геометрические объекты (линии, поверхности и т. п.), переменные величины и т. д.

Лине́йная а́лгебра — раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства, линейные отображения[⇨], системы линейных уравнений[⇨], среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы[⇨], сопряжение. Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно (в целом или частично) также считаются составными частями линейной алгебры[1]. Такие объекты как квадратичные и билинейные формы[⇨], тензоры[⇨] и операции как тензорное произведение непосредственно вытекают из изучения линейных пространств, но как таковые относятся к полилинейной алгебре. wikipedia.org/wiki/Линейная_алгебра

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Линейная алгебра

Линейная алгебра — это раздел математики, касающийся линейных уравнений. Линейная алгебра занимает центральное место почти во всех областях математики. Например, линейная алгебра является фундаментальной в современных представлениях геометрии, в том числе для определения основных объектов, таких как линии, плоскости и вращения.

Кроме того, функциональный анализ, раздел математического анализа, можно рассматривать как в основном применение линейной алгебры к пространствам функций.

Линейная алгебра также используется в большинстве наук и областей техники , поскольку она позволяет моделировать многие природные явления и эффективно проводить вычисления с такими моделями. Для нелинейных систем, которые не могут быть смоделированы с линейной алгеброй, он часто используются для борьбы с аппроксимациями первого порядка, используя тот факт, что дифференциал из многомерной функции в точке является линейным отображением , что лучше аппроксимирует функцию вблизи этой точки.

Матрицы

Термин «матрица» был введен Дж. Сильвестром в 1850 году, в математику — А. Кэли в 1857 году. Матрицей называется математический объект, состоящий из элементов, взятых в определенном порядке.

Для указания на порядок элементов матрицы их выписывают в виде таблицы из строк и столбцов. Элемент матрицы, стоящий на пересечении строки с номером и столбца с номером обозначают Если — числа, матрица называется числовой. Обозначают матрицы большими латинскими буквами.
Обозначение матриц

где

Иногда матрицу обозначают одной буквой, например,

Основные виды матриц

Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, т. е. то матрица называется квадратной. Порядком квадратной матрицы называется число ее строк (или столбцов). Строки и столбцы матрицы называют ее рядами.

Обозначение квадратной матрицы порядка

— квадратная матрица 3-го порядка.

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и элементы одной матрицы равны соответствующим элементам другой матрицы:

В квадратной матрице элементы образуют главную диагональ, а элементы — побочную.
Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой отличны от нуля только элементы, стоящие по главной диагонали.

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой отличны от нуля только элементы, стоящие по главной диагонали.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной Например,

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю:

Симметрическая матрица — квадратная матрица, для которой Например, матрица симметрическая.

Трапециевидная матрица — матрица произвольных размеров, если она имеет вид

где отличны от нуля.

Треугольная матрица (частный случай трапециевидной) -квадратная матрица, все элементы которой по одну или другую сторону от главной диагонали равны нулю. Различают верхнюю и нижнюю треугольные матрицы. Например, матрица вида

называется верхней треугольной матрицей.

Матрица полученная из данной матрицы заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной.

Если

то

Операция нахождения матрицы, транспонированной к данной, называется транспонированием матрицы.
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Она имеет вид Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом.

Имеет вид

Действия над матрицами

К линейным операциям над матрицами относятся умножение матрицы на число, сложение матриц.

1. Умножение, матрицы на число.
   Произведением матрицы на действительное число
   называется новая матрица где Обозначение: Например,

Матрица вида называется матрицей, противоположной матрице

Сложение, матриц

Складывать можно только матрицы одинаковых размеров, т. е. имеющие одинаковое число строк и столбцов.

Суммой двух матриц и называется матрица где и обозначается

Пример №1.1.

Разность матриц определяется так:

Умножение, матриц

Матрицу будем называть согласованной с матрицей если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы

Пример №1.2.

Пусть

Матрица согласована с матрицей но матрица не согласована с матрицей

Если матрица согласована с матрицей то произведением матрицы на матрицу называется новая матрица такая, что

Формула (1.1) называется правилом произведения матриц.
Из определения произведения матриц следует, что для того, чтобы получить элемент произведения матриц стоящий в строке и столбце, нужно умножить элементы строки матрицы на соответствующие элементы столбца матрицы и эти произведения сложить.

Пример №1.3.

Вычислить если

Решение:

Матрица (три столбца) согласована с матрицей (три строки).

Замечание. Умножить матрицу на в данном случае нельзя — число столбцов матрицы (три) не равно числу строк матрицы (двум).

Замечание. Так как в общем случае то произведение матриц не коммутативно.

Свойства действий над матрицами

(коммутативность относительно сложения).

(ассоциативность).

где (дистрибутивность сложения матриц относительно умножения на число).

(дистрибутивность сложения чисел относительно умножения на матрицу).

(дистрибутивность умножения).

Транспонирование связано со сложением и умножением матриц нижепредставленными формулами.

(ассоциативность).

Доказательство этих формул вытекает непосредственно из определений соответствующих операций сложения и умножения.

Определители и их основные свойства

Понятие «определитель» было введено Г. Лейбницем и японским математиком Кова Секи независимо друг от друга в 1683 году.
Развитие теории определителей нашло свое отражение в работах Ю. Вронского, Э. Кристоффеля, О. Коши и Дж. Сильвестра.
Понятие определителя (детерминанта) матрицы вводится только для квадратной матрицы.

Дана квадратная матрица порядка

Определитель порядка, порожденный матрицей порядка

имеет вид

Определитель обозначается Определитель является числовой характеристикой квадратной матрицы.

Элементы, строки, столбцы и диагонали матрицы называют соответственно элементами, строками, столбцами и диагоналями определителя матрицы.

Определителем матрицы первого порядка называется сам элемент этой матрицы. Обозначение:

Определителем матрицы второго порядка называется число, равное разности произведений элементов главной и побочной диагоналей, т. е.

Пример №1.4.

Вычислить

Определитель третьего порядка имеет вид

Элементы стоят на главной диагонали, элементы — на побочной.

Существует ряд правил для вычисления определителей третьего порядка. Так, например, значение определителя третьего порядка можно вычислить по правилу треугольников:

Можно вычислить также по правилу Саррюса: к определителю приписывают справа первый и второй столбцы.

Произведения из трех элементов, стоящих на главной диагонали и на прямых, ей параллельных, берутся со знаком «+», а произведения из трех элементов, стоящих на побочной диагонали и на прямых, ей параллельных, берутся со знаком «-».

Пример №1.5.

Вычислить определитель

Решение:

Воспользуемся правилом треугольников:

или по правилу Саррюса

Определители четвертого и более высоких порядков при вычислении сводятся к определителям более низких порядков (например, третьего).

Основные свойства определителей

Иллюстрация этих свойств будет приведена для определителей третьего порядка.

1. Свойство инвариантности (неизменности) определителя при транспонировании матрицы: при замене строк столбцами величина определителя не меняется (причем каждую строку следует заменить столбцом с тем же номером). Свойство выражает равноправность строк и столбцов. В дальнейшем слова «строка» и «столбец» заменим одним словом — ряд. Свойство записывается так:

Доказательство. Проверим справедливость этого свойства, применяя правило треугольников к левой и правой части равенства (1.2) и сравним результаты:

2. Если поменять местами два параллельных ряда, то определитель изменит знак.
Так, например, переставляя первый и второй столбцы, получаем

3. Если определитель имеет два одинаковых параллельных ряда, то он равен нулю.

4. Если в определителе элементы какого-либо ряда содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Следствие 1. При умножении определителя на скаляр (число) необходимо умножить на этот скаляр только один из рядов определителя.
Следствие 2. Величина определителя равна нулю, если элементы какого-либо его ряда равны пулю.

5. Определитель, у которого элементы двух параллельных рядов пропорциональны, равен нулю.

6. Определитель, у которого каждый элемент некоторого ряда является суммой двух слагаемых, равен сумме двух определителей, у первого из которых в указанном ряду стоят первые слагаемые, а у второго — вторые слагаемые. Остальные ряды, параллельные указанному, у всех определителей одинаковы.

Все сформулированные свойства (2-6) доказываются аналогично первому, т. е. по правилу треугольников.
Минором элемента называется определитель, который получается из данного путем вычеркивания строки с номером и столбца с номером Например, для элемента минором является определитель

Алгебраическим дополнением для элемента называется его минор , взятый со знаком , где — номер строки,
— номер столбца. Например, для элемента алгебраическое дополнение имеет вид

7. Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов любого ряда на соответствующие алгебраические дополнения элементов этого ряда.

где

Доказательство. Докажем в случае разложения по элементам первого столбца.

Пример №1.6.

Вычислить определитель разлагая по элементам второго столбца.

Решение:

8. Величина определителя не изменится, если к элементам какого-либо ряда прибавить элементы другого параллельного ему ряда, предварительно умноженные на одно и то же число. Например, убедимся, что

На основании свойства 6

В этой сумме второй определитель по свойству 3 равен 0. Свойство 8 широко используется для получения пулей в определителе и приведения его к треугольному виду.

Пример №1.7.

Вычислить определитель

Решение:

Если из пятой строки вычесть первую, а из четвертой — удвоенную вторую, то полученный определитель

будет с нулями под главной диагональю, и он равен произведению элементов, стоящих на его главной диагонали,

Пример №1.8.

Вычислить определитель

Решение:

Если из второй строки вычесть первую, из третьей -удвоенную первую, из четвертой — утроенную первую, то получим определитель равный исходному. Разложим полученный определитель по элементам первого столбца (используя свойство 7), и определитель примет вид

Используя свойство 8 можно записать по свойству 7

9. Теорема аннулирования. Сумма произведений элементов некоторого ряда определителя на алгебраические дополнения другого параллельного ему ряда равна нулю:

Доказательство. Составим сумму произведений элементов первой строки на алгебраические дополнения элементов второй строки:

Свойства определителей широко используются при вычислении определителей произвольного порядка.

Определитель произведения квадратных матриц

Теорема. Определитель произведения двух квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей этих матриц, т. е.

Доказательство теоремы проведем на примере матриц второго порядка.

Дано

на основании свойства 6 определителей имеем

На основании свойства 4 запишем

Первый и четвертый определители равны нулю на основании свойства 3:

Аналогично эта теорема доказывается для квадратных матриц любого порядка.

Обратная матрица

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратной матрицы. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю, т. е. и вырожденной, если
Матрица называется обратной квадратной матрице , если

где — единичная матрица.

Союзной матрицей для квадратной матрицы

называется матрица

где — алгебраические дополнения к элементам матрицы где
Лемма. Если — союзная матрица для матрицы то

Теорема (о существовании обратной матрицы). Для того чтобы существовала матрица обратная матрице необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной.
Доказательство необходимости. Пусть для матрицы существует обратная матрица . Докажем, что Так как существует, то на основании формул (1.6) и (1.7) следует:

т. е. матрица невырожденная.

Доказательство достаточности

Пусть Докажем, что существует.
Если — союзная матрица для матрицы то справедлива формула (1.9). Разделим равенство (1.9) на и получим

Из этого равенства на основании формулы (1.7) следует, что в качестве обратной матрицы выступает матрица

Замечание. Из доказательства достаточности следует правило нахождения обратной матрицы.

где — алгебраические дополнения элемента матрицы
Свойства обратных матриц

Правило для нахождения обратной матрицы

1. Вычислим определитель матрицы Пусть

2. Найдем алгебраические дополнения для элементов .
Составим матрицу алгебраических дополнений определителя Обозначим ее

3. Полученную матрицу транспонируем и обозначим ее (союзная матрица).

4. Союзную матрицу умножим на и получим обратную
А
матрицу .

Пример №1.9.

Найти обратную матрицу матрице

Решение:

Теорема. Для невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица.
Доказательство. Докажем методом от противного. Предложим, что для матрицы существует две обратные матрицы и .

По определению обратной матрицы имеем и или

Системы линейных алгебраических уравнений. Матричная запись системы. Основные определения

Системой линейных уравнений с неизвестными называется система вида

где — действительные числа, называемые коэффициентами системы

— неизвестные системы; — свободные члены системы.

Все неизвестные в первой степени, поэтому система (1.11)- это система линейных уравнений.
Если все свободные члены системы (1.11) равны нулю, то система называется однородной.

Матрица составленная из коэффициентов системы, называется матрицей системы. Матрица полученная из матрицы добавлением столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы

Если через обозначить матрицу-столбец из неизвестных, т. е.

а через — матрицу-столбец свободных членов, т. е. то так как матрица (имеет столбцов) согласована с матрицей (имеет строк), произведение существует и линейную систему (1.11) можно записать в матричном виде

Упорядоченная совокупность чисел называется решением системы (1.11), если каждое из уравнений (1.11) обращается в верное равенство после подстановки вместо соответственно чисел

Решение системы, записанное в виде матрицы-столбца

называется вектор-решением системы.

Если существует хотя бы одно решение системы (1.11), то она называется совместной, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение.

Система, имеющая более одного решения, называется неопределенной.

Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна, и в случае совместности найти все ее решения.

Две системы называются эквивалентными или равносильными, если всякое решение одной из них является решением другой и наоборот.

Решение невырожденной системы линейных алгебраических уравнений матричным методом и по формулам Крамера

Габриель Крамер (1704-1752) — швейцарский математик, один из создателей линейной алгебры.
Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными.

или

Определитель матрицы А имеет вид

и называется определителем системы. Если то система называется невырожденной. Найдем решение системы, предполагая что В этом случае матрица невырожденная и для нее существует единственная обратная матрица (по теоремам пп. 1.1.6)

Умножим матричное уравнение (1.12′) слева на и получим

Формула (1.13)- решение системы (1.12) в матричном виде. Это равенство можно записать так:

где или

Из формулы (1.13′) видно, что любая переменная определяется по формуле

где — определитель, полученный из заменой столбца столбцом свободных членов. Формулы (1.14) называются формулами Крамера.

Пример №1.10.

Решить систему

Решение:

Матрица имеет вид

Вычислим

Следовательно, матрица вырождена и система несовместна, т. е. нет решений.

Пример №1.11.

Решить систему

Решение:

а) Так как то матрица невырожденная и решение системы найдем матричным методом, т. е. по формуле (1.13): Найдем обратную матрицу Составим алгебраические дополнения:

В данном случае матричное равенство (1.13) запишем в виде

б) Решим данную систему по формулам Крамера (1.14):

Ответ:

Ранг матрицы

Элементарные преобразования матрицы.

Рассмотрим матрицу и выделим в ней произвольно строк и столбцов:

Определитель -го порядка, составленный из элементов матрицы стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором -го порядка этой матрицы и обозначается

Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля.
Ранг обозначается любым из символов:

Из определения ранга следует:
1) для матрицы

2) тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю;
3) для квадратной матрицы -го порядка тогда и только тогда, когда матрица невырожденная

Отметим важное свойство миноров матрицы, которым пользуются при нахождении ранга.

Теорема 1. Если все миноры порядка данной матрицы равны нулю, то все миноры более высокого порядка равны нулю.
Доказательство этой теоремы следует из теоремы Лапласа (свойство 7).

Свойства ранга матрицы

1. Ранг матрицы, полученной изданной вычеркиванием какого-либо ряда, равен рангу данной матрицы или меньше его на 1.
2. Ранг матрицы, полученной из данной приписыванием к ней ряда, элементами которого являются произвольные числа, равен рангу исходной матрицы или больше его на 1.
3. Если вычеркнуть из матрицы или приписать к ней нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.
4. Ранг матрицы, полученной из данной транспонированием, равен рангу данной матрицы.

Ранг матрицы обычно находят:

Пример №1.12.

Определить ранг матрицы

Решение:

Среди элементов матрицы есть не равные нулю, например, элемент, который находится в левом верхнем углу Среди миноров второго порядка, которые окаймляют этот элемент, есть не равные нулю, например, следовательно, ранг матрицы равен 2 или больше. Вычисляем окаймляющие миноры для например, но

Следовательно, ранг матрицы равен 3 или больше, так как среди миноров третьего порядка есть отличный от нуля.

Вычисляем все окаймляющие миноры для

Все они равны нулю (четвертая строка пропорциональна первой), и поэтому ранг матрицы не равен четырем. Итак, ранг матрицы равен трем.

Метод МЭП

Рассмотрим метод нахождения ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями матрицы называют:
1) умножение некоторого ряда матрицы на число, отличное от нуля;
2) прибавление к одному ряду матрицы другого, параллельного ему ряда, умноженного на произвольное число;
3) перестановку местами двух параллельных рядов.
Если матрица получена из матрицы с помощью элементарных преобразований, то матрицы и называются эквивалентными, при этом пишут (или ).
Теорема 2 (об инвариантности ранга). Ранг матрицы, полученной из данной элементарными преобразованиями, равен рангу данной матрицы, т. е. если , то
Суть МЭП состоит в том, что данная матрица с помощью элементарных преобразований сводится к эквивалентной матрице трапециевидной (или треугольной) формы.

Тогда в силу теоремы а ранг трапециевидной матрицы равен числу ее ненулевых строк ( в левом верхнем углу не равен пулю) и, таким образом,

Пример №1.13.

Найти ранг матрицы

Решение:

С помощью элементарных преобразований сведем матрицу к трапециевидной:

Произвели следующие преобразования: ко второй строке матрицы прибавлена первая, умноженная на (-2); к третьей строке прибавлена первая, умноженная на (-11); из четвертой строки вычтена первая, умноженная на 2; из новой третьей строки вычтена новая вторая, умноженная на 4; к четвертой строке прибавлена вторая.

Полученная матрица имеет ранг равный 2, так как она трапециевидна и имеет две ненулевые строки, следовательно, и ранг матрицы равен двум.

Пример №1.14.

Найти ранг матрицы

Решение:

Матрица имеет трапециевидную форму. Минор второго порядка этой матрицы, составленный из элементов первой и второй строк, не равен нулю: например,

Следовательно, По теореме

Итак,

Пример №1.15.

Определить ранг матрицы

Решение:

С помощью элементарных преобразований приведем матрицу к трапециевидной форме или треугольной. Вычеркнем столбец из нулей. А затем элементы первой строки матрицы умножим на -3, 4 и сложим соответственно с элементами второй и четвертой строки и получим

Из новой второй строки вычтем новую четвертую строку, четвертую строку вычеркнем и получим

Минор третьего порядка матрицы

По теореме Значит,

Базисным минором матрицы называется отличный от нуля ее минор, порядок которого равен рангу матрицы.

Например, для матрицы базисный минор имеет вид

Для ненулевой матрицы существует не единственный базисный минор. Строки и столбцы, на пересечении которых стоят элементы базисного минора, называются базисными.

Если в матрице некоторый ряд может быть представлен в виде суммы других параллельных ему рядов, умноженных соответственно на числа то данный ряд является линейной комбинацией указанных рядов.

параллельных рядов матрицы линейно зависимы, если хотя бы один из этих рядов является линейной комбинацией остальных. В противном случае параллельные ряды называются линейно независимыми.

Теорема (о базисном миноре). Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (столбцов). Базисные строки (столбцы) матрицы линейно независимы.

Теорема. Если ранг матрицы равен то существует линейно независимых строк (столбцов), от которых линейно зависят все остальные строки (столбцы).

Теорема (о связи ранга с независимостью рядов). Максимальное число линейно независимых строк в матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов в этой же матрице и равно ее рангу.

Например, дана матрица ранг а один из базисных миноров размещается в первых двух строках. Это означает, что третья строка является линейной комбинацией первой и второй строки. Если и то

Решение произвольных систем
Теорема Кронекера-Капелли

Рассмотрим произвольную систему линейных алгебраических уравнений

Число уравнений может быть и не равно числу неизвестных. Обозначим через матрицу данной системы, а через — матрицу, полученную из присоединением столбца свободных членов:

Матрица называется расширенной матрицей системы.
Теорема Кронекера-Капелли (о совместности системы линейных уравнений). Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы равнялся рангу расширенной матрицы .

Решение произвольных систем

Теорема. Если ранг матрицы равен рангу матрицы и равен числу неизвестных, т. е. где — число неизвестных, то система имеет единственное решение.
Теорема. Если ранг матрицы равен рангу матрицы , но меньше числа неизвестных, т. е. то система имеет бесконечное множество различных решений.
Теорема. Если ранг матрицы не равен рангу матрицы , то система не имеет решений.

Базисными неизвестными совместной системы, ранг которой равен , назовем неизвестных, коэффициенты при которых образуют базисный минор. Остальные неизвестные назовем свободными. Так как базисный минор может быть выбран не единственным образом, то и совокупность базисных неизвестных может быть выбрана не единственным образом.

Пример №1.16.

Исследовать на совместность и решить следующие системы уравнений:

Решение:

а) Матрица системы имеет вид

Преобразуем расширенную матрицу системы:

В матрице из 3-й строки вычитаем удвоенную 2-ю и ставим полученную строку на 1-е место. Умножаем эту строку на -5, на -3 и складываем результаты соответственно со 2-й и 3-й строкой и получаем

Так как миноры 2-го порядка, например, то следовательно, система совместна. Число неизвестных системы то система имеет бесчисленное множество решений. В качестве базисного минора можно взять, например,

При таком выборе базисного минора базисными неизвестными будут и , а свободным — .

Запишем систему в виде или

Полагая, что по формулам Крамера получим

где

Ответ:

б) — матрица системы.

Преобразуем расширенную матрицу, умножив первую строку на -3 и на -2 и сложив с соответствующими элементами второй и третьей строками:

Так как то система несовместна.

Системы линейных однородных уравнений

Рассмотрим однородную систему линейных алгебраических уравнений

Система (1.15) является частным случаем системы (1.11). Однородная система (1.15) всегда совместна, так как ранг ее матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Решение является решением системы (1.15), оно называется нулевым или тривиальным.
Однородная система имеет тривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен числу неизвестных. В частности, когда то для того, чтобы система (1.15) имела только тривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был отличен от нуля.
Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных то система (1.15) имеет бесчисленное множество решений и решается аналогично неоднородной произвольной системе.

Пример №1.17

Решить систему однородных уравнений

Решение:

Найдем ранг матрицы системы, преобразовав матрицу:

Так как ранг матрицы системы равен числу неизвестных, то однородная система имеет единственное нулевое решение.

Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)

Дана система уравнений с неизвестными:

Для решения этой системы применим метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

С помощью элементарных преобразований над строками система линейных уравнений с неизвестными может быть приведена к трапециевидной форме:

где
Система (1.16) эквивалентна исходной системе. Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система (1.16), а следовательно, и исходная система несовместны. Если же то система совместна и из уравнений (1.16) выражают последовательно, начиная с последнего уравнения, находим последовательно значения неизвестны

Пример №1.18.

Методом Гаусса решить систему

Решение:

Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы, получим

Этой матрице соответствует система

Решив эту систему, получим
Ответ:

Пример №1.19.

Методом Гаусса решить систему

Решение:

С помощью элементарных преобразований над строками расширенную матрицу приведем к трапециевидной форме:

Этой матрице соответствует система

решив которую получим

Пример №1.20.

Решить систему

Решение:

Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы получим.

Поскольку и то

Этой матрице соответствует система

Так как ранги равны, т. е. где то система имеет бесчисленное множество решений.
Данная система эквивалентна преобразованной системе.

За базисные неизвестные примем и свободная неизвестная будет

Полагая, что решим систему по формулам Крамера:

где Итак,

Придавая с различные числовые значения, будем получать различные решения данной системы уравнений.

Возможно эти страницы вам будут полезны:

• Решение задач по линейной алгебре
• Помощь с линейной алгеброй
• Заказать контрольную работу по линейной алгебре
• Заказать работу по линейной алгебре
• Теория из учебников тут
• Готовые контрольные работы по линейной алгебре